复变与积分变换教案

第一篇：复变与积分变换教案

《复变与积分变换教案》

第七次课 教学目标：导出解析函数的高阶导数，学会运用高阶导数公式计算复积分。

讲课段落：

 Cauchy积分高阶导数定理的背景；  多连通域的Cauchy积分高阶导数定理  运用高阶导数公式计算复积分。知识要点：

 对每个自然数

n，在D内定义函数

f()Fn(z)d n(z)则对zD，有

Fn(z)nFn1(z)

 对每个自然数n，f(z)在D内处处有n阶 导数，且对zD 有 f(n)n!f()(z)dn1 2i(z) 由于f(z)uxivxvyiuy，而高阶导数定理认定，一但

f(z)解析 则f(z)也解析，自然更有f(z)连续，从而可知ux,vx,uy,vy都连续。

 设D为单连域，f(z)在D内连续，若对

f(z)dz0CD任一内简单闭曲线有 C，则f(z)在D解析。

第二篇：复变函数与积分变换复习题

复变函数与积分变换复习题

1，将下列复数化为三角形式与指数形式1)z2i;

2)zsin3i

cos

3;

3）z1icot,2.4）z1cosisin,0.(cos5isin5)2

5）z 3(cos3isin3)

2，求下列函数的辐角

1)z;2z)n)3）求下列复数的模

1)z45）设n为正整数，证明下式成立

3n13n11.6）证明函数f(z)1i4n11i4n1? Re(z)当z0时极限不存在； z

z当z0时极限不存在； z

1zz()当z0时极限不存在； 2izz7）证明函数f(z)8）证明函数f(z)

[Re(z2)]2,z029)证明函数f(z)在z=0点连续。z

0,z0

x3y(yix),z042f(z)10)证明函数在z=0点连续。xy

0,z0

11）判断f(z)x2yi是否可导。

12）判断函数的解析性

1）z;2）zRe(z)；

13）证明函数f(z)z=0处满足C-R方程，但是不可导。（P33）

14）已知调和函数u(x,y)x2y2xy，求一解析函数f(z)u(x,y)iv(x,y)使得f(0)0，并求出df(z).dz

15）验证以下函数为调和函数，并求出以zxiy为自变量的解析函数wf(z)uiv.1)u(x,y)(xy)(x24xyy2)

2）P74例题3.4.2例题3.4.3

16)解方程sinzish1.17）求Ln(i),Ln(34i)和它们的主值。

18）求ii,3i,(1i)i的值。

19）解方程lnz2i

20）计算6czdz.（1）C：ii的直线段;

（2）C：左半平面以原点为中心逆时针方向的单位半圆周.21）计算积分dz(nZ).n(zz)0CC:zz0r0.22）计算积分dz,zCdz,zCCdzz,C:z1.23）计算积分1dz,C为包含0与1的任何正向简单闭曲线.2zzC

ez

24）计算积分,其中C:z1,a为a1的任何复数.3(za)C

25）计算积分3z2,其中C:z(1i) 4z1C

ez

26）计算积分,其中C:zr(r1,2).z(z1)(z2)C

27）计算积分z,其中C:z2.2(9z)(zi)C

cosz,其中C:z2.5(z1)C28）计算积分

ez

29）计算积分,其中C:zr1.22(z1)C

30）计算积分sin5z,其中C:z4.32z(z1)C

31）判断下列数列是否收敛？如果收敛，求出其极限。

1i)n;nncinosn(1en.32）下列级数是否收敛？是否绝对收敛？

nn1ii(8i)(1)i(1e)n;;n ]nn2n1nn0nn1

33）求下列幂级数的收敛半径

zn(z1n)

3;;(coinszn)nn1nn1n0

34）把函数1展成z的幂级数.(1z)3

1展成z的幂级数,1

1展成z-1幂级数,0

37）把函数z22z5展成z的幂级数,1

2z2z5展成z的幂级数,2

1展成z的幂级数.(z-1)(z-2)38）把函数

39）把函数ze在0

41）求积分zz01e1zz0(zz0)3dz.42）求积分zez21z.1z

43）求下列各函数在孤立奇点（不考虑无穷远点）的留数

z2n1e2z1;4;n1zzsinz

44）计算积分z1

2sinz.2zz(1e)

z.(z2)2(z1)45）计算积分1z22

122C1z4.C:xy2x.sinz3.C:z.47）计算积分Cz246）计算积分

3z3248）计算积分C(z1)(z29).C:z4.49）计算积分Czdz.C正向曲线:z2.z41

50）计算积分1C(z+i)10(z1)5(z4).C正向曲线:z5.2

51）计算积分0

2sin2d.(ab0).abcos

52）计算积分cos2d.(0p1).212pcosp0



计算积分cos2d.(a21).212acosa0



53）计算积分01dx.(n0,1,2,).2n1(1x)

x2

54）计算积分2dx.(a0,b0).222(xa)(xb)



55）计算积分cosaxdx.(a0).2x1



56）计算积分0

xsinxdx.(a0).22xa(x21)cosax57）计算积分dx.42xx1

|z|1f(z)dz2πiRes[f(z),z]kk1n

第三篇：读《复变函数》与《积分变换》有感

班级B10202姓名李建良学号36

读《复变函数》与《积分变换》有感

在学了《高等数学》之后，我们进一步学习《复变函数》和《积分变换》这两本书，这两本书是《高等数学》的微积分扩展和延伸，还有将复数将以深入学习和扩展，并引入函数的概念。因此感觉有一定的深度和难度。它们都利用数学的理论来解决实际问题。

复变函数中有很多概念，其中理论和方法是实变函数在复数领域内的推广和发展，因而它们有许多相似之处，但是复变函数与实变函数有不同之点。就拿第一章来说，复数与复变函数，本课程研究对象就是自变量为复数的函数。在中学阶段，我们已经学习过复数的概念和基本运算。本章将原来的基础上作简要的复习和补充。然后再介绍在复变平面上区域以及复变函数的极限和连续性等概念，为进一步研究解析函数理论和方法奠定必要的基础。概括一下，以前学过方程x2=-1是无解的，因而设有一个实数的平方等于-1。第一节是复习原来的内容，然后逐步引入函数的概念。再引进对复变函数的表达式和复变函数重幂与方根以及加减法研究。由于上学期，我们学习函数概念中，引入极限的概念，然而复变函数也有极限特性。所以对复变函数极限分析有着相似之处，因此可以借鉴学函数极限方法来研究复变函数，然而复变函数又有其独特特性，研究时必然会给我们带来很多困难和意想不到的问题，所以就是它的不同之处。后面将复变函数引入微积分的概念，刚开始觉得挺好学，按照以前学微积分的思想就能接纳复变函数的微积分，当我遇到了用函数微积分解决复变函数时，复变函数的转化和变形却是难题，但是经过一番努力，我逐渐领悟到复变函数在微积分在数学中的独特魅力。

在学习复变函数中，要勤于思考，善于比较分析其共同点，更要领越复变函数的独特魅力，如果这样才能抓住本质，融会贯通。

而《积分变换》研究的是将复杂的运算转化为较简单的运算。本书讲解了积分在数学中的应用，常用的两种积分变换Fourier变换和Laplace变换。利用Fourier变换和Laplace变换将复杂的积分转化为简单的积分变换，有利于对复杂积分的求解，所以学习《积分变换》的思路就不像学习《复变函数》一样，它的解题思路和《积分变换》截然不同，就拿Fourier变换而言，先引进Fourier定理，然后利用Fourier定理解决数学中一些难解的积分，用积分变换也可以解决工业中一些工程计算。其重在积分变换。对于积分变换理论的学习，有助于解决我们在工业设计中遇到的问题，但对与此书着重对积分变换的思想培养和应用。当我开始学习《积分变换》时，感觉无从下手，尤其是对积分的变换，一看到积分变换的过程就很头疼，不知道从哪个地方开始下手，当学到Laplace变换时，才发现积分变换有它的一定的规律，只要把Fourier变换的思路用在Laplace变换，就会简化对Laplace变换的学习，我才明白Fourier变换只是学习积分变换的一种方法，第一种内容学会了，后面的内容就迎刃而解了。

通过这两本书的学习，我觉的，它不仅仅带给我的是挑战，而且也将为我们将来在工程技术领域中开扩了思路，照亮了方向，这也让我们知道数学在工程领域的作用和不可磨灭的高度。

第四篇：2014年3月大工《复变函数与积分变换》课程考试模拟试卷A

机密★启用前

大连理工大学网络教育学院

2014年3月份《复变函数与积分变换》课程考试

模 拟 试 卷

考试形式：闭卷试卷类型：（A）

☆ 注意事项：本考卷满分共：100分；考试时间：90分钟。

学习中心______________姓名____________学号____________

四、证明题（本大题1小题，共10分）

证明：若F[ei(t)1。(t)][F()F()]]F()，其中(t)为一实函数，则F[cos2证明：F()

ei(t)eitdt



F()ei(t)eitdtei(t)eitdt 

i(t)e1ei(t)

it[F()F()]edt 22

cos(t)eitdt 

F[cos(t)]

大工《复变函数与积分变换》课程考试 模拟试卷（A）

第五篇：2014年3月大工《复变函数与积分变换》课程考试模拟试卷B

机密★启用前

大连理工大学网络教育学院

2014年3月份《复变函数与积分变换》课程考试

模 拟 试 卷

考试形式：闭卷试卷类型：（B）

☆ 注意事项：本考卷满分共：100分；考试时间：90分钟。

学习中心______________姓名____________学号____________

四、证明题（本大题1小题，共10分）证明(z)在复平面上不解析

证明：令zxiy，(z)xyi2xy，（1分）

所以u(x,y)xy，(1分)v(x,y)2xy。（1分）222222

uvuv（1分）（1分）（1分）（1分）2y，2x。2x，2y，yyxx

由此可知，(z)仅在点（0,0）处柯西—黎曼条件成立，所以(z)仅在点（0,0）处可导，而在整个复平面上不解析。（3分）22

大工《复变函数与积分变换》课程考试 模拟试卷（B）