复变函数教案7.3.2（五篇）

第一篇：复变函数教案7.3.2

第七章 共形映射

教学课题：第三节

黎曼存在定理

教学目的：

1、充分理解黎曼存在定理极其重要意义；

2、充分了解边界对应定理；

3、了解线性变换的不动点；

4、掌握线性变换的保形性、保圆性、保交比性、保对称点性。

教学重点：线性变换的保形性、保圆性、保交比性、保对称点性 教学难点：线性变换的保交比性、保对称点性 教学方法：启发式、讨论式 教学手段：多媒体与板书相结合

教材分析：由于线性变换的保形性、保圆性、保交比性和保对称点性，它在处理边界为圆弧或直线的区域的变换中，起着重要的作用。教学过程：

8、实例：

在解决某些实际问题以及数学理论问题时，我们往往要把有关解析函数的定义域保形映射成较简单的区域，以便进行研究及计算，我们下面给出几个实例。例

1、求作一个单叶函数，把半圆盘|z|<1，Imz>0保形映射成上半平面。解：因为圆及实轴在-1及+1直交，所以作分式线性函数

z1，w'z1把-1及+1分别映射成w'平面上的0及两点，于是把|z|=1及Imz=0映射成w'平面上在原点互相直交上面的两条直线。

由于分式线性函数中的系数是实数，所以z平面上的实轴映射成w'平面上的实轴；又由于z=0映射成w'=-1，半圆的直径AC映射成w'平面上的负半实轴。

yDABCxCB(1)OA(0)CD(1)A(0)B(1)OD(i)Cz平面w'平面w平面i1显然圆|z|=1映射成w'平面上的虚轴；又由于z=i映射成w'i，i1半圆ADC映射成w'平面上的下半虚轴。

根据在保形映射下区域及其边界之间的对应关系，已给半圆盘映射到w'平面上的的区域，应当在周界ABC的左方，因此它是第三象限最后作映射

argw'2。

ww'2，当w'在第三象限中变化时，argw'在2及3之间变化。因此w'平面上的第三象限就映照成w平面上的上半平面。因此，所求单叶函数为：

例

2、求作一个单叶函数，把z平面上的带形0Imz保形映射成w平面上的单位圆|w|<1。解：函数

z12ww'()。

z12w'ez，把z平面上的已给带形保形映射成w'平面上的上半平面。

y取

iiw'

1xOOi平面上

Oz平面w'平面w平面关于实轴的对称点-i及i，那么函数

w'i, ww'i把的w'平面上的上半平面保形映射成w平面上的单位圆|w|<1。

因此，我们得到

eziwz.ei

例

3、求作一个单叶函数，把扩充z平面上单位圆的外部|z|>1保形映射成扩充w平面上去掉割线1Rew1,Imw0而得的区域。解：容易验证，分式线性函数

w1，w'w1把割线1Rew1,Imw0保形映射成

yw'平面上的负实轴，把扩充w平面上已给区域保形映射成w'平面上除去负实轴（包括0）而得的区域。

Ow'平面xOO11Cz平面平面w平面另一方面，分式线性函数

z1，z1把圆|z|=1保形映射成平面上的 虚轴。由于它把z=2映射成3，可见它

平面上的右半平面。显然

w'2，把扩充z平面上单位圆的外部|z|>1保形映射成把平面上的这一部分保形映射成w'平面上除去负实轴而得的区域。

因此我们得到

w1z1w1z1由此可得函数 w(z)2z即为所求函数。

例

4、求作一个单叶函数，把z平面上半带域射成w平面上的上半平面，并且使得

/2x/2,y0保形映

f(/2)1,f(0)0。

解：把坐标系按反时针方向旋转一个直角，并且应用指数函数做映射，我们求得函数

w'eiz，把上述半带域映射成w'平面上的半圆盘。

yyDDA()CB(1)C(0)ABCxODBxw1平面OA(1)AB(0)C(1)z平面w'平面w平面

把坐标系按反时针方向旋转一个直角，并且应用例1中的映射，得到函数

iw'1w1iw'1这时z把w12，因此，我们得到把以给半带域保形映射成w1平面的上半平面的单叶函数，不过/2,0,/2分别被映射成w1,1,0。作分式线性函数，,1,0映射成w1,0,1：

w11w，w11最后得到所求的单叶函数：

(iw'1)2(iw'1)2w'211izizw(ee)sinz。22(iw'1)(iw'1)2iw'2i例

5、在z平面的上半平面上，沿虚轴作一长h为的割线。求作一个单叶函数，把上述半平面去掉割线而得的区域保形映射成w平面上的上半平面。

解：首先作映射，把割线去掉，使已给区域的全部边界都变到w'平面的实轴上。为此，用在上述区域内的单叶解析函数

w'z2，把z平面的第一及第二象限分别映射成w'平面的上半平面及下半平面。这时射线AD被映射成w'平面上正实轴的上沿，DC被映射成从0到h2的线段的上沿，CB被映射成这条线段的下沿，BA被映射成正实轴的下沿，于是z平面上已给区域yC(hi)C(h2)D(0)A()B(0)ABDA()xAB(h)w'平面A()C(0)D(h)OD(h2)C(0)A()w平面A()B(h2)z平面A()w1平面被保形影射成w'平面除去射线Imw'0,Rew'h2而得的区域。

显然，函数

w1w'h2，把w'平面的上述区域映射成w1平面上除去正实轴所得的区域；而函数

ww1，又把这一区域映射成w平面上的上半平面，其中取正值的一个解析分支。

结合以上讨论，我们得到所求的单叶函数是：

w1应理解为在正实轴的上沿ww1w'h2z2h2。

第二篇：复变函数教案1.1

第一章

复数与复变函数

教学课题：第一节 复数

教学目的：

1、复习、了解中学所学复数的知识；

2、理解所补充的新理论；

3、熟练掌握复数的运算并能灵活运用。

教学重点：复数的辐角 教学难点：辐角的计算 教学方法：启发式教学

教学手段：多媒体与板书相结合 教材分析：复变函数这门学科的一切讨论都是在复数范围内进行的，它是学好本们课程的基础。因此，复习、了解中学所学复数的知识，理解所补充的新理论，熟练掌握复数的运算并能灵活运用显得尤为重要。教学过程：

1、复数域：

每个复数z具有xiy的形状，其中别称为

x和yR，i1是虚数单位；

x和y分z的实部和虚部，分别记作xRez，yImz。

复数z1x1iy1和z2x2iy2相等是指它们的实部与虚部分别相等。

z可以看成一个实数；如果Imz0，那么z称为一个虚数；如果Imz0，而Rez0，则称z为一个纯虚数。如果Imz0，则复数的四则运算定义为：

(a1ib1)(a2ib2)(a1a2)i(b1b2)(a1ib1)(a2ib2)(a1a2b1b2)i(a1b2a2b1)

(a1ib1)a1a2b1b2a2b1a1b2)2i 222(a2ib2)a2b2a2b2复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C。

2、复平面：

C也可以看成平面R，我们称为复平面。

2作映射：CR2:zxiy(x,y)，则在复数集与平面R2之建立了一个1-1对应。横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z-平面，w-平面等。

3、复数的模和辐角

复数可以等同于平面中的向量，z(x,y)xiy。

x2y2向量的长度称为复数的模，定义为：|z|；

向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：Argzarctany2i（kZx）。

tany,Argz我们知道人亦非零复数有无限多个辐角，今以xargz表示其中的一个特定值，并称合条件

argz的一个为主值，或称之为z的主辐角。于是，Argzargz2k,(k0,1,2,)。注意，当z=0时辐角无异议。当z0时argz表示z的主辐角,它与反正切Arctan的主值arctan（argz，arctan）

22yxy有如下关系xyxyarctan,当x0,y0;x,当x0,y0;2yarctan,当x0,y0;argzx(z0)yarctan,当x0,y0;x-,当x0,y0;2复数的三角表示定义为：z|z|(cosArgzisinArgz)； 复数加法的几何表示： 设z1、z2是两个复数，它们的加法、减法几何意义是向量相加减，几何意义如下图：

yz2z1z2z2z1xz1z20z2关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：（1）、|z1z2||z1||z2|；（2）、|z1z2|||z1||z2||；（3）、|z1z2||z1||z2|；（4）、|z1z2|||z1||z2||；（5）、|Rez||z|,|Imz||z|；（6）、|z|2zz； 例1 试用复数表示圆的方程：

a(x2y2)bxcyd0

（a0）

其中，a,b,c,d是实常数。

解：方程为

azzzzd0，其中(bic)。

例

2、设z1、z2是两个复数，证明

z1z2z1z2,z1z2z1z2

12z1z1

利用复数的三角表示，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法：设z1、z2是两个非零复数，则有 z1|z1|(cosArgz1isinArgz1)z2|z2|(cosArgz2isinArgz2)

则有

z1z2|z1||z2|[cos(Argz1Argz2)isin(Argz1Argz2)]

即|z1z2||z1||z2|，Arg(z1z2)Argz1Argz2，其中后一个式子应理解为集合相等。

同理，对除法，有

z1/z2|z1|/|z2|[cos(Argz1Argz2)isin(Argz1Argz2)]

即|z1/z2||z1|/|z2|，Arg(z1/z2)Argz1Argz2，其后一个式子也应理解为集合相等。

例

3、设z1、z2是两个复数，求证：

|z1z2|2|z1|2|z2|22Re(z1z2)，例

4、作出过复平面C上不同两点a,b的直线及过不共线三点 a,b,c的圆的表示式。解：直线：Imza0； bazaca)0 圆：Im(zbcb4、复数的乘幂与方根

利用复数的三角表示，我们也可以考虑复数的乘幂：

ab

abc

zn|z|n(cosnArgzisinnArgz)rn(cosnisinn)从而有znz,当r1时,则得棣莫弗(DeMoivre)公式1，则 znn

令znzn|z|n[cos(nArgz)isin(nArgz)]

进一步，有

11zn|z|[cos(Argz)isin(Argz)]

nn1n共有n-个值。

例

4、求4(1i)的所有值。解：由于1i2(cos4isin)，所以有 4411(2k)isin(2k)] 4444(1i)82[cos4(1i)82[cos(16kk)isin()]2162其中，k0,1,2,3。

5、共轭复数

复数的共轭定义为：zxiy；显然zz,ArgzArgz,这表明在复平面上,z与z两点关于实轴是对称的

我们也容易验证下列公式：(1),zz,z1z2z1z2,(2),z1z2z1z2,(2z1z)1(z20),z2z2zzzz ,Imz,22i(4),设R(a,b,c)表示对于复数a,b,c的任一有理运算,则(3),zzz,RezR(a,b,c)R(a,b,c)

6、作业：

第三篇：复变函数总结

第一章

复数

=-1

欧拉公式

z=x+iy

实部Re

z

虚部

Im

z

2运算

①

②

③

④

⑤

共轭复数

共轭技巧

运算律

P1页

3代数，几何表示

z与平面点一一对应，与向量一一对应

辐角

当z≠0时，向量z和x轴正向之间的夹角θ，记作θ=Arg

z=

k=±1±2±3…

把位于-π＜≤π的叫做Arg

z辐角主值

记作=

4如何寻找arg

z

例：z=1-i

z=i

z=1+i

z=-1

π

极坐标：，利用欧拉公式

可得到

高次幂及n次方

凡是满足方程的ω值称为z的n次方根，记作

即

第二章解析函数

1极限

2函数极限

①

复变函数

对于任一都有

与其对应

注：与实际情况相比，定义域，值域变化

例

②

称当时以A为极限

☆

当时，连续

例1

证明在每一点都连续

证：

所以在每一点都连续

3导数

例2

时有

证：对有

所以

例3证明不可导

解：令

当时，不存在，所以不可导。

定理：在处可导u，v在处可微，且满足C-R条件

且

例4证明不可导

解：

其中

u,v

关于x,y可微

不满足C-R条件

所以在每一点都不可导

例5

解：

不满足C-R条件

所以在每一点都不可导

例6：

解：

其中

根据C-R条件可得

所以该函数在处可导

4解析

若在的一个邻域内都可导，此时称在处解析。

用C-R条件必须明确u,v

四则运算

☆

例：证明

解：

则

任一点处满足C-R条件

所以处处解析

练习：求下列函数的导数

解:

所以

根据C-R方程可得

所以当时存在导数且导数为0，其它点不存在导数。

初等函数

Ⅰ常数

Ⅱ指数函数

①

定义域

②

③

④

Ⅲ对数函数

称满足的叫做的对数函数，记作

分类：类比的求法（经验）

目标：寻找

幅角主值

可用：

过程：

所以

例：求的值

Ⅳ幂函数

对于任意复数，当时

例1：求的值

解：

例2：求

Ⅴ三角函数

定义：对于任意复数，由关系式可得的余弦函数和正弦函数

例：求

解：

第三章复变函数的积分

1复积分

定理3.1

设C是复平面上的逐段光滑曲线在C上连续，则在C上可积，且有

注：①C是线

②方式跟一元一样

方法一：思路：复数→实化

把函数与微分相乘，可得

方法二：参数方程法

☆核心：把C参数

C：

例：

求

①C：0→的直线段②；

解：①C：

②

★

结果不一样

2柯西积分定理

例：

C：以a为圆心，ρ为半径的圆，方向：逆时针

解：C：

☆

积分与路径无关：①单联通

②处处解析

例：求，其中C是连接O到点的摆线：

解：已知，直线段L与C构成一条闭曲线。因在全平面上解析，则

即

把函数沿曲线C的积分化为沿着直线段L上的积分。由于

故

★关键：①恰当参数

②合适准确带入z

3不定积分

定义3.2

设函数在区域D内连续，若D内的一个函数满足条件

定理3.7

若可用上式，则

例：

计算

解：

练习：计算

解：

4柯西积分公式

定理

处处解析在简单闭曲线C所围成的区域内则

例1：

解：

例2：

解：

例3：

解：

注：①C：

②

一次分式

③找到

在D内处处解析

例4：

解：5

解析函数的高阶导数

公式：

n=1，2……

应用要点：①

②

③精准分离

例：

调和函数

若满足则称叫做D内的调和函数

若在D内解析

所以

把称为共轭调和函数

第四章

级数理论

1复数到

距离

谈极限

对若有使得

此时

为的极限点

记作

或

推广：对一个度量空间都可谈极限

极限的性质

级数问题

部分和数列

若

则收敛，反之则发散。

性质：1若

都收敛，则收敛

2若一个收敛，一个发散，可推出发散

若

绝对收敛

若

但收敛，为条件收敛

等比级数

：

时收敛，其他发散

幂级数

则

求收敛域

例：求的收敛半径及收敛圆

解：因为

所以级数的收敛半径为R=1，收敛圆为

泰勒级数

泰勒定理：设函数在圆K：内解析，则在K内可以展成幂级数

其中，（n=0,1,2……），且展式还是唯一的。

例

1：求在处的泰勒展式

解

：在全平面上解析，所以在处的泰勒展式为

例2：

将函数展成的幂级数

解：

罗朗级数

罗朗定理

若函数在圆环D：内解析，则当时，有

其中

例：将函数在圆环（1）

（2）

内展成罗朗级数。

解：（1）在内，由于，所以

（2）在内，由于，所以

孤立奇点

定义：若函数在的去心邻域内解析，在点不解析，则称为的孤立奇点。

例

：

为可去奇点

为一级极点

为本性奇点

第5章

留数理论（残数）

定义：

设函数以有限项点为孤立奇点，即在的去心邻域内解析，则称积分的值为函数在点处的留数

记作：

其中，C的方向是逆时针。

例1：求函数在处的留数。

解：因为以为一级零点，而，因此以为一级极点。

例2：求函数在处的留数

解：是的本性奇点，因为

所以

可得

第7章

傅里叶变换

通过一种途径使复杂问题简单化，以便于研究。

定义：对满足某些条件的函数

在上有定义，则称

为傅里叶变换。

同时

为傅里叶逆变换

注：①傅里叶变换是把函数变为函数

②傅里叶逆变换是把函数变为函数

③求傅里叶变换或傅里叶逆变换，关键是计算积分

④两种常见的积分方法：凑微分、分部积分

复习积分：①

②

③

④

⑤

注：

例1：求的解：

例2：求的解：

-函数

定义：如果对于任意一个在区间上连续的函数，恒有，则称为-函数。

例1：求-函数的解：

例2：求正弦函数的傅氏变换

解：

☆

第8章

拉普拉斯变换

设在时有定义

第四篇：复变函数小结

复变函数小结 第一章 复变函数

1)掌握复数的定义(引入),知道复数的几何意义(即复数可看成复数平面的一个点也可以表示为复数平面上的向量)2)掌握 复数的直角坐标表示与三角表示式及指数表示式的关系.3)掌握复数的几种运算:(1)相等;(2)加法;(3)减法;(4)乘法;(5)除法;(6)开方;(7)共轭.需要注意的是开方 : 开n次有n个根.例题

nz1n1ei02kn1ei02kn,k0,1,2,n1

4)掌握复变函数的定义,知道复变函数的极限与连续的定义.5)熟悉几个常用的基本初等函数及性质:(1)多项式;(2)有理分式;(3)根式;(4)指数;(5)三角函数.6)掌握复变函数导数的定义, 因复变函数导数的定义在形式上跟实变函数的导数定义一样,故实变函数中关于导数的规则和公式在复变函数情况仍适用.7)复变函数可导的充要条件是:(1)函数f(z)的实部u 与虚部的偏导数存在,且连续.uuvv，,xyxy(2)满足 C-R条件

uvuv,.xyyx8)知道复变函数解析的定义,复变函数解析,可导及连续的关系.9)解析函数的性质:

(1)若f(z)在区域B上解析,则f(z)的实部u与虚部v的等值(势)线互相正交.(2)若f(z)在区域B上解析,则f(z)的实部u与虚部v均为调和函数.(3)若f(z)在区域B上解析,则f(z)的实部u与虚部v 不是独立的,可由己知解析函数的实部u(或v)求出解析函数f(z).具体求法有3种

:1.直接积分法;2.凑全微分法;3.路径积分法.10)解析函数性质的应用:

平面标量场.11)知道复变函数中多值性的起源在于幅角,只需对幅角作限定(一般限定在主值范围,且一般把幅角作限定的复变平面称为黎曼面.),多值函数就退化为单值函数.第二章 复变函数的积分

1)知道复变函数积分的定义,以及它与实变函数的路径的关系.2)掌握单连通区域与复连通区域上Cauchy定理及数学表示式:fzdz0(1)其中l为区域的所有边界线.l

对单连通区域(1)可表示为

lfzdzn0,(2)对复连通区域(1)也可表示为:

fzdzfzdzli1ci(3)其中l为区域的外边界线,ci为区域的内边界线.(3)式反映对复连通区域的解析函数沿外边界的积分值与沿内边界积分的关系.作为(3)式一个特例: 包含一个奇点的任意一个闭合曲线积分值相同,它为求积分带来方便.nzadzl0,n1一个重要的积分公式: zandz2i,n1

l其中l 包含a 点.Cauchy定理为本章的重点.3)解析函数的不定积分.fzf'12i12illfdzz),4)Cauchy公式

zz(lfd2, ,fnn!2i(fdz)n1若对复连通区域 l 为区域的所有边界线.第三章 幂级数

1)了解一般的复数项级数,知道级数收敛的Cauchy判据,绝对收敛与一致收敛的概念,掌握外氏定理及运用.2)掌握幂级数的一般形式,收敛半径的计算(Rlimnanan1)，知道幂级数在收敛圆内绝对且一致收敛，能逐项求导与积分.3)掌握解析函数在单连通区域的Taylor 展开式: fzazzk0k0k,akfkz0k!

知道Taylor 展开式是唯一的,即同一个函数在同一区域的展开式不管用什么方法得出其结果是相同的.熟悉一些基本的Taylor 展开式: 例1ez,2cosz,sinz,311z,4ln1z

知道函数在无穷运点的展开式.4)掌握解析函数在复连通区域的洛朗 展开式: fzazkkz0,其中akk2ic1fdz0k1，c为环域内任一沿逆时针方向的闭合曲线.知道洛朗 展开式是唯一的,即同一个函数在同一环域的展开式不管用什么方法得出其结果是相同的.所以对洛朗展开可利用熟悉的一些基本Taylor展开式来处理,例如对有理分式总可以把它分解为一系列最简单的有理分式（1zz0)之和, 而对1zz0能用等比级数来展开(关键是满足公比的绝对值小11z于1).并与

k0z,z1 比较.知道在什么情况下洛

k朗展开就退化为Taylor展开.5)掌握孤立奇点的分类方法:(1)可去奇点:设z0是f(z)的奇点当f(z)在z=z0的邻域上展开时,其洛朗展开式中没有负幂项,就称z0是f(z)的可去奇点.性质limfza

a为常数.zz0(2)m阶极点: 设z0是f(z)的奇点当f(z)在z=z0的邻域上展开时,其洛朗展开式中有有限项负幂项,其负幂项的最高幂为m,就称z0是f(z)的m阶极点.性质limfzzz0.(4)本性奇点: 设z0是f(z)的奇点当f(z)在z=z0的邻域上展开时,其洛朗展开式中有无穷多项负幂项,就称z0是f(z)的本性奇点.性质limfz不存在zz0

知道函数在无穷运点奇点的分类.第四章 留数定理

1)掌握留数定理及其计算

fzdzl2iResfzi,其中zi为l内的奇点i1n 2)掌握留数计算的两种方法

(1)洛朗展开 : 设z0是f(z)的奇点当f(z)在z=z0的邻域上展开时,其洛朗展开式中的负一次幂的系数a-1=Resf(z0).任何情况都适合.(2)对m阶极点Resfz0limmzz01dn1n11!dzzz0fz,作为一个特例,若f(z)=P(z)/ Q(z),当f(z)为一阶极点, Pz00,Qz00,Resfz0 'Qz0Pz0主要处理有理分式中分母为单根情况.3)应用留数定理计算实变函数定积分 •类型一

20zz1zz1Rcos,sindR,22iz1dziz2iResfzi,11izzi为fz在单单位圆的奇点zz1zz1,fzR,22i

•1)被积函数为三角函数的有理分式.2)积分区域为[0,2π] 作变换z=eiθ,当θ从变到2π时,复变数z恰好在单位圆上走一圈.类型二

积分条件: 1)积分区域为(-∞,∞)

2)f(z)在实轴有一价极点bk,且在上半平面除有限个奇点ak外是解析的，3)当z→∞时,zf(z)→0 fxdx2iResfakiResfbk.(2)

k1k1mp

类型三

(m>0)fxeimxdx,令Fzfzeimz

积分条件: 1)积分区域为(-∞,∞)

2)f(z)在实轴有一价极点bk,且在上半平面除有限个奇点ak外是解析的，3)当z→∞时,f(z)→0, fxeimxdx2iResFakiResFbkk1k1mp

(3)当f(x)为奇函数时(3)为fxsin0mxdx[ResFakk1m1pRe2k1sFbk]当fx为偶函数时,mfxeimxdx2fxcosmxdx,0

fxcosmxdx0i[ResFakk11pRe2k1sFbk]

第五篇：复变函数教案(双语)

复变函数论课程教学实施方案

章节、名称：第一章，第1、2、3节，I Complex number field, 1.1 Sums and products, 1.2 Operation, 1.3 Modulus and arguments 课时安排：2 教学方式：理论讲授 教学目的和要求：

重温熟悉复数的概念，熟练掌握复数的四则运算及共轭运算，了解复平面，理解复数的几何表示及其应用。

教学内容及重点、难点：

介绍课程理论框架： Chapter I Complex number field Chapter II Analytic Functions Chapter III Elementary Functions Chapter IV Integrals Chapter V Series Chapter VI Residues Chapter VII Applications of Residues 第一章 Complex number field 介绍复数的背景知识，复数的代数表示、代数运算、几何表示。1．Complex numbers 2.operations;Grip the operations, representations and the triangle inequality of complex numbers;3．Complex plane, moduli and arguments of complex numbers;授课实施方案：

启发式教学法，以讲授为主，讲练结合。注重知识背景的阐述，适当增加课外知识、实例分析。讨论、思考题、作业：

思考：（1）复数为什么不能比较大小？（2）复数可以用向量表示，则可以认为与向量运算相同？ 作业：P7 Exercises 1(a)参考资料：

1.Cao Huai-Xin, Zhang Jiang-Hua, Chen Zheng-Li, Ren Fang, An Introduction to Complex Analysis,Xi'an:Shaanxi Normal University Press, 2006.2.Conway J.B., Functions of one Comp1ex Variable,Springer-Verlag, New York Inc., 1978 3.Yu Jia-Rong, Theory of complex variable functions, Beijing: Advanced Education Press, 2000.章节、名称：第一章，第4、5、6节，I Complex number field, 1.4 Conjugate, 1.5 Exponential form, 1.6 Regions in complex plane 课时安排：2 教学方式：理论讲授 教学目的和要求：

掌握复数的共轭、乘幂与方根的运算，了解复平面中的区域概念。教学内容及重点、难点：

回顾总结上一节知识要点，解答思考题。1．Roots of complex numbers and applications;Use masterly the root formulas of complex numbers.2．Point sets and regions on the complex plane.Understand the concepts of point sets, regions;授课实施方案：

启发式教学法，以讲授为主，讲练结合。注重知识背景的阐述，适当增加课外知识、实例分析。讨论、思考题、作业：

思考：复数的方根与实数的方根有何区别？ 作业：P26 Exercises 1 参考资料：

1.Cao Huai-Xin, Zhang Jiang-Hua, Chen Zheng-Li, Ren Fang, An Introduction to Complex Analysis,Xi'an:Shaanxi Normal University Press, 2006.2.Conway J.B., Functions of one Comp1ex Variable,Springer-Verlag, New York Inc., 1978 3.Yu Jia-Rong, Theory of complex variable functions, Beijing: Advanced Education Press, 2000.章节、名称：第二章，第1、2、3节，II Analytic functions, 2.1 Functions of a complex variable, 2.2 Limits, 2.3 Continuous functions 课时安排：2 教学方式：理论讲授 教学目的和要求：

了解复变函数的定义，极限以及连续性的定义。教学内容及重点、难点：

回顾总结上一节知识要点，解答思考题。1．Definitions of complex variable functions and their mapping properties;Grip the definitions of functions with complex variables;2.Limits , continuity of complex variable functions;Understand the definitions of limits, continuity of functions with complex variables;授课实施方案：

启发式教学法，以讲授为主，讲练结合。注重知识背景的阐述，适当增加课外知识、实例分析。讨论、思考题、作业：

思考：复变函数的极限定义与实变函数的极限定义有何区别？ 参考资料：

1.Cao Huai-Xin, Zhang Jiang-Hua, Chen Zheng-Li, Ren Fang, An Introduction to Complex Analysis,Xi'an:Shaanxi Normal University Press, 2006.2.Conway J.B., Functions of one Comp1ex Variable,Springer-Verlag, New York Inc., 1978 3.Yu Jia-Rong, Theory of complex variable functions, Beijing: Advanced Education Press, 2000.章节、名称：第二章，第4、5节，II Analytic functions, 2.4 Derivatives, 2.5 Analytic functions 课时安排：2

教学方式：理论讲授 教学目的和要求：

熟悉导数与解析函数的定义，掌握解析函数的判定，掌握柯西-黎曼条件。教学内容及重点、难点：

回顾总结上一节知识要点，解答思考题。1.Derivatives of complex variable functions;Understand the definitions of derivative of functions with complex variables;2．Cauchy-Riemann equations(C-R conditions);Grip how to determine the analytics of functions by using C-R conditions.3．Concepts and basic properties of analytic functions.授课实施方案：

启发式教学法，以讲授为主，讲练结合。注重知识背景的阐述，适当增加课外知识、实例分析。讨论、思考题、作业：

思考：复变函数解析与可导的区别？ 作业：P74 Exercises 1(a),2(c)参考资料：

1.Cao Huai-Xin, Zhang Jiang-Hua, Chen Zheng-Li, Ren Fang, An Introduction to Complex Analysis,Xi'an:Shaanxi Normal University Press, 2006.2.Conway J.B., Functions of one Comp1ex Variable,Springer-Verlag, New York Inc., 1978 3.Yu Jia-Rong, Theory of complex variable functions, Beijing: Advanced Education Press, 2000.章节、名称：第三章，第1、2节，III Elementary functions, 3.1 Exponential functions, 3.2 Logarithm 课时安排：2 教学方式：理论讲授 教学目的和要求：

掌握基本初等函数指数函数、对数函数的定义，理解基本初等函数的性质。教学内容及重点、难点：

回顾总结上一节知识要点，解答思考题。1．Definitions of Exponential functions and their basic properties;Grip the definitions, basic properties and related identities of exponential functions.Wedefineezexiyexeiyex(cosyisiny).2．Concepts and basic properties and related identities of logarithmic functions;Logzln|z|iArgz授课实施方案：

启发式教学法，以讲授为主，讲练结合。注重知识背景的阐述，适当增加课外知识、实例分析。讨论、思考题、作业：

思考：指数函数为什么那样定义？ 作业：P88 Exercises 1,2(c)参考资料：

1.Cao Huai-Xin, Zhang Jiang-Hua, Chen Zheng-Li, Ren Fang, An Introduction to Complex Analysis,Xi'an:Shaanxi Normal University Press, 2006.2.Conway J.B., Functions of one Comp1ex Variable,Springer-Verlag, New York Inc., 1978 3.Yu Jia-Rong, Theory of complex variable functions, Beijing: Advanced Education Press, 2000.章节、名称：第三章，第3、4节，III Elementary functions, 3.3 Power function, 3.4 Trigonometric functions 课时安排：2 教学方式：理论讲授 教学目的和要求：

掌握基本初等函数幂函数、三角函数的定义，理解基本初等函数的性质。教学内容及重点、难点：

回顾总结上一节知识要点，解答思考题。1．Complex power functions and related properties;Grip the definitions, basic properties and related identities of power functions;zcecLogz，2．Concepts and related identities of trigonometric functions.Be familiar with trigonometric function, and grip the difference and relation between it and real function.授课实施方案： Wedefineeizeizeizeizcosz,sinz22iremark:sinzandcoszarenotboundedonC;启发式教学法，以讲授为主，讲练结合。注重知识背景的阐述，适当增加课外知识、实例分析。

讨论、思考题、作业：

思考：为什么后定义幂函数和三角函数？ 作业：P94 Exercises 1(a),2(c)参考资料：

1.Cao Huai-Xin, Zhang Jiang-Hua, Chen Zheng-Li, Ren Fang, An Introduction to Complex Analysis,Xi'an:Shaanxi Normal University Press, 2006.2.Conway J.B., Functions of one Comp1ex Variable,Springer-Verlag, New York Inc., 1978 3.Yu Jia-Rong, Theory of complex variable functions, Beijing: Advanced Education Press, 2000.章节、名称：第四章，第1、2、3节，IV Integrals, 4.1 Path, 4.2 Integrals of complex-valued functions, 4.3 Primitives 课时安排：2 教学方式：理论讲授 教学目的和要求：

理解复积分的概念，掌握复积分的性质及一般计算法。了解复变函数的原函数和变上限积分函数。教学内容及重点、难点：

回顾总结上一节知识要点，解答思考题。引进积分 f(z)Cdz1．Definitions and basic properties of integrals of complex variable functions;Grip the definitions, basic properties and calculation methods of the integrals of functions following a finite of smooth curves in complex plane;2．Primitive functions ForafunctionfdefinedonadomainD,ifafunctionF(z)satisfyF(z)f(z)forallzD,thenwe

callFaprimitivefunctionoff.NLFormula:SupposethatfiscontinuousondomainD andhasaprimitivefunctionFinD.IfCisasimplepath fromz1toz2lyinginD,thenCf(z)dzF(z2)F(z1).授课实施方案：

启发式教学法，以讲授为主，讲练结合。注重知识背景的阐述，适当增加课外知识、结合例子分析。讨论、思考题、作业：

思考：复变函数的积分对应数学分析中哪种积分？ 作业：P120 Exercises 1(a),2(b)参考资料：

1.Cao Huai-Xin, Zhang Jiang-Hua, Chen Zheng-Li, Ren Fang, An Introduction to Complex Analysis,Xi'an:Shaanxi Normal University Press, 2006.2.Conway J.B., Functions of one Comp1ex Variable,Springer-Verlag, New York Inc., 1978 3.Yu Jia-Rong, Theory of complex variable functions, Beijing: Advanced Education Press, 2000.章节、名称：第四章，第4节，IV Integrals, 4.4 Cauchy Integral Thoerem 课时安排：2 教学方式：理论讲授 教学目的和要求：

掌握复数的共轭、乘幂与方根的运算，了解复平面中的区域概念。教学内容及重点、难点：

回顾总结上一节知识要点，解答思考题。1.Cauchy Integral Thoerem： IffisanalyticinasimplyconnecteddomainD,then Cf(z)dz0foreverysimpleclosedcurveCD.2.Proof of Cauchy Integral Thoerem 3.Generalization: fisanalyticinamultiplyconnecteddomainDwithboundaryC,C1,C2,,Cn.Ck(k1,2,,n)are simpleclosedpathsinteriortoC.If ThenCf(z)dzk1nCkf(z)dz.授课实施方案：

启发式教学法，以讲授为主，讲练结合。注重知识背景的阐述，适当增加课外知识、实例分析。讨论、思考题、作业：

思考：Cauchy定理成立满足的条件？ 作业：P150 Exercises 1 参考资料：

1.Cao Huai-Xin, Zhang Jiang-Hua, Chen Zheng-Li, Ren Fang, An Introduction to Complex Analysis,Xi'an:Shaanxi Normal University Press, 2006.2.Conway J.B., Functions of one Comp1ex Variable,Springer-Verlag, New York Inc., 1978 3.Yu Jia-Rong, Theory of complex variable functions, Beijing: Advanced Education Press, 2000.章节、名称：第四章，第5节，IV Integrals, 4.4 Cauchy Integral Formula 课时安排：2 教学方式：理论讲授 教学目的和要求：

了解Cauchy公式的背景，牢记Cauchy公式成立的条件，并会熟练使用Cauchy公式求解部分封闭曲线积分。教学内容及重点、难点：

回顾总结上一节知识要点，解答思考题。1．Introduce Cauchy Integral Formula LetfbeanalyticinsideandonasimpleclosedpathC,1f(z)dz.thenforanyz0interiortoC,wehavef(z0)2iCzz02.Genaralization of Cauchy Integral Formula Iffisanalyticinamultiplyconnecteddomain DwithboundaryC,C1,C2,,Cn.Ck(k1,2,,n)aresimpleclosedpathsinteriortoC.Thenforanyz0D,1f(z)1nf(z)wehavef(z0)dzdz.CzzCk2i2izz0k10 3．Examples 授课实施方案： 启发式教学法，以讲授为主，讲练结合。注重知识背景的阐述，适当增加课外知识、实例分析。讨论、思考题、作业： 思考：被积函数在积分曲线上有奇点可否使用Cauchy Formula？ 作业：Homework 参考资料：

1.Cao Huai-Xin, Zhang Jiang-Hua, Chen Zheng-Li, Ren Fang, An Introduction to Complex Analysis,Xi'an:Shaanxi Normal University Press, 2006.2.Conway J.B., Functions of one Comp1ex Variable,Springer-Verlag, New York Inc., 1978 3.Yu Jia-Rong, Theory of complex variable functions, Beijing: Advanced Education Press, 2000.章节、名称：第四章，第4节，IV Integrals, 4.6 Derivatives of Analytic Functions 课时安排：2 教学方式：理论讲授 教学目的和要求：

牢记高阶导数公式的条件、内容，并会熟练使用高阶导数公式求解部分封闭曲线积分，熟悉解析函数可导的性质。教学内容及重点、难点：

回顾总结上一节知识要点，解答思考题。1． Derivatives of Analytic Functions IffisanalyticinsideandonasimpleclosedpathC,thenforn0,1,2,,wehaven!f()(n)f(z)2iC(z)n1d,zins(C).2．Properties of analytic function Iffuivisanalyticatz,thenuandvhavecontinuouspartialderivativesofallordersatz.3.Morera Theroem LetfC(D), foranyclosedpathCD.fisanalyticinD.4.Liouville’s Theorem Cf(z)dz0,Iffisentireandboundedin,thenfisconstant.授课实施方案：

启发式教学法，以讲授为主，讲练结合。注重知识背景的阐述，适当增加课外知识、实例分析。讨论、思考题、作业：

思考：为什么实变函数可导不一定无穷阶可导？ 作业：P156 Exercises 2,4 参考资料：

1.Cao Huai-Xin, Zhang Jiang-Hua, Chen Zheng-Li, Ren Fang, An Introduction to Complex Analysis,Xi'an:Shaanxi Normal University Press, 2006.2.Conway J.B., Functions of one Comp1ex Variable,Springer-Verlag, New York Inc., 1978 3.Yu Jia-Rong, Theory of complex variable functions, Beijing: Advanced Education Press, 2000.章节、名称：第五章，第1节，V Series, 5.1 Convergence of Series, 课时安排：2 教学方式：理论讲授 教学目的和要求：

了解常数项复变级数的定义，收敛的定义及定义判别法，绝对收敛。知道实常数项级数与复常数项级数的联系。教学内容及重点、难点：

回顾总结上一节知识要点，解答思考题。1． Definitions and convergence of series of complex numbers;Let{zn}beasequence,thenz1z2zn iscalledaseriesofcomplexnumbers.zn1nn1 zniscallledabsolutelyconvergentif|zn1n|converges.授课实施方案：

启发式教学法，以讲授为主，讲练结合。注重知识背景的阐述，适当增加课外知识,由芝诺悖论引入级数。讨论、思考题、作业：

思考：复变中的绝对收敛和实变的区别？ 参考资料：

1.Cao Huai-Xin, Zhang Jiang-Hua, Chen Zheng-Li, Ren Fang, An Introduction to Complex Analysis,Xi'an:Shaanxi Normal University Press, 2006.2.Conway J.B., Functions of one Comp1ex Variable,Springer-Verlag, New York Inc., 1978 3.Yu Jia-Rong, Theory of complex variable functions, Beijing: Advanced Education Press, 2000.章节、名称：第五章，第2节，V Series, 5.2Taylor Expansion, 课时安排：2 教学方式：理论讲授 教学目的和要求：

了解Taylor级数的定义。理解解析函数的Taylor级数展式，并会熟练使用Taylor展开定理求解简单初等函数的Taylor展式。教学内容及重点、难点：

回顾总结上一节知识要点，解答思考题。1． Taylor Expansion;Supposethatf(z)isanalyticinU:|zz0|R,(n)f(z0)nthenf(z)n(zz0)inU,wheren.n!n02． Taylor Expansion of elementary function： nzez,n0n!1,1zRemember and use the power expansions of exp(z), sin(z)and cos(z);授课实施方案：

启发式教学法，以讲授为主，讲练结合。注重知识背景的阐述，适当增加课外知识、实例分析。讨论、思考题、作业：

思考：Taylor 展开公式是否方便求Taylor级数展式？ 作业：P175 Exercises 3,10,12 参考资料：

1.Cao Huai-Xin, Zhang Jiang-Hua, Chen Zheng-Li, Ren Fang, An Introduction to Complex Analysis,Xi'an:Shaanxi Normal University Press, 2006.2.Conway J.B., Functions of one Comp1ex Variable,Springer-Verlag, New York Inc., 1978 3.Yu Jia-Rong, Theory of complex variable functions, Beijing: Advanced Education Press, 2000.章节、名称：第五章，第3节，V Series, 5.3Laurent Expansion, 课时安排：2 教学方式：理论讲授 教学目的和要求：

熟悉Laurent级数展开定理，并会熟练使用间接法求初等函数的Laurent级数展式。教学内容及重点、难点：

回顾总结上一节知识要点，解答思考题。1． Definitions of Laurent expansion: f(z)A(D),whereD:0R1|zz0|R2,n21(zz)(zz)(zz)n02010n01(zz0)2(zz0)2 thenf(z) inD,wheren 1f(z)dz,(n0,1,2,),n1C2i(zz0)andC:|zz0|,(R1R2).2.Find Laurent expansion by known formula: 授课实施方案：

启发式教学法，以讲授为主，讲练结合。注重知识背景的阐述，适当增加课外知识、实例分析。讨论、思考题、作业：

思考：为什么Laurent展开公式很难使用还要作为定理存在？ 作业：P184 Exercises 4,6 参考资料：

1.Cao Huai-Xin, Zhang Jiang-Hua, Chen Zheng-Li, Ren Fang, An Introduction to Complex Analysis,Xi'an:Shaanxi Normal University Press, 2006.2.Conway J.B., Functions of one Comp1ex Variable,Springer-Verlag, New York Inc., 1978 3.Yu Jia-Rong, Theory of complex variable functions, Beijing: Advanced Education Press, 2000.章节、名称：第五章，第4节，V Series, 5.4Power Series, 课时安排：2 教学方式：理论讲授 教学目的和要求：

了解幂级数的定义、收敛性质。会求解幂级数的收敛半径，确定幂级数的收敛区域。教学内容及重点、难点：

回顾总结上一节知识要点，解答思考题。1． Properties of power series Ifapowerseries n(zz)convergesforpointn0n0zz1(z0),thenitisaboslutelyconvergentateachzin|zz0||z1z0|.2.Radius of convergenceof power series;RadiusofconvergenceRsup{|zz|:(zz)converges}.0n0 n0Rlimn|n||n1|授课实施方案：

启发式教学法，以讲授为主，讲练结合。注重知识背景的阐述，适当增加课外知识、实例分析。讨论、思考题、作业：

思考：幂级数的收敛区域会是方形吗？ 参考资料：

1.Cao Huai-Xin, Zhang Jiang-Hua, Chen Zheng-Li, Ren Fang, An Introduction to Complex Analysis,Xi'an:Shaanxi Normal University Press, 2006.2.Conway J.B., Functions of one Comp1ex Variable,Springer-Verlag, New York Inc., 1978 3.Yu Jia-Rong, Theory of complex variable functions, Beijing: Advanced Education Press, 2000.章节、名称：第六章，第1节，VI Residues and Poles, 6.1 Residues 课时安排：2 教学方式：理论讲授 教学目的和要求：

理解留数的定义，清楚Laurent展式与级数的关系，并会熟练利用函数的Laurent级数展式求留数。熟记留数定理，并会熟练使用留数定理求积分。教学内容及重点、难点：

回顾总结上一节知识要点，解答思考题。1． Definitions of Residue: Isolatedsingularpointz0:f(z)A(0|zz0|)1Res(f,z0)1f(z)dz.c2i2.Residue Theorem： LetCbeasimpleclosedpath.IffisanalyticinsideandonCexceptforafinitenumberofisolatedsingularpointzk(k1,2,,n)insideC,thencf(z)dz2iRes(f,zk).k1n授课实施方案：

启发式教学法，以讲授为主，讲练结合。注重知识背景的阐述，适当增加课外知识、实例分析。讨论、思考题、作业：

思考：孤立奇点隐含哪些条件？ 作业：P213 Exercises 1(a)(c)参考资料：

1.Cao Huai-Xin, Zhang Jiang-Hua, Chen Zheng-Li, Ren Fang, An Introduction to Complex Analysis,Xi'an:Shaanxi Normal University Press, 2006.2.Conway J.B., Functions of one Comp1ex Variable,Springer-Verlag, New York Inc., 1978 3.Yu Jia-Rong, Theory of complex variable functions, Beijing: Advanced Education Press, 2000.章节、名称：第六章，第2节，VI Residues and Poles, 6.2 Three Types of Isolated Singular Points 课时安排：2 教学方式：理论讲授 教学目的和要求：

理解三种孤立奇点的定义，会熟练使用定义法、极限法判别孤立奇点的种类。教学内容及重点、难点：

回顾总结上一节知识要点，解答思考题。1． Removable singular point: limf(z)exists.zz02.Pole and order: limf(z).zz0lim(zz0)mf(z)m0.zz03.Essential singular point: limf(z)doesnotexist().zz0授课实施方案：

启发式教学法，以讲授为主，讲练结合。注重知识背景的阐述，适当增加课外知识、实例分析。讨论、思考题、作业：

思考：有理分式函数的奇点一定是极点吗？ 作业：P217 Exercises 1 参考资料：

1.Cao Huai-Xin, Zhang Jiang-Hua, Chen Zheng-Li, Ren Fang, An Introduction to Complex Analysis,Xi'an:Shaanxi Normal University Press, 2006.2.Conway J.B., Functions of one Comp1ex Variable,Springer-Verlag, New York Inc., 1978 3.Yu Jia-Rong, Theory of complex variable functions, Beijing: Advanced Education Press, 2000.章节、名称：第六章，第3节，VI Residues and Poles, 6.3 Residue at Poles 课时安排：2 教学方式：理论讲授 教学目的和要求：

会熟练使用极限公式求极点处的留数，进而求封闭曲线积分。教学内容及重点、难点：

回顾总结上一节知识要点，解答思考题。1． Removable singular point: 2.Pole and order: Ifz0isapoleofordermoff(z),(z0)thenRes(f,z0)(m1)!(m1)[(zz0)mf(z)](m1)|zz0(m1)!.z0isremovable, z0isapoleoforderm, (m1)(z0)[(zz0)mf(z)](m1)|zz 10.(m1)!0(m1)!3.Essential singular point: 10.z0isremovable,m(m1)[(zz)f(z)]|zz00 z0isapoleoforderm,1(m1)! 1?z0isessential,授课实施方案： 启发式教学法，以讲授为主，讲练结合。注重知识背景的阐述，适当增加课外知识、实例分析。讨论、思考题、作业：

思考：求留数，极限法简单还是定义法简单？ 作业：P222 Exercises 4 参考资料：

1.Cao Huai-Xin, Zhang Jiang-Hua, Chen Zheng-Li, Ren Fang, An Introduction to Complex Analysis,Xi'an:Shaanxi Normal University Press, 2006.2.Conway J.B., Functions of one Comp1ex Variable,Springer-Verlag, New York Inc., 1978 3.Yu Jia-Rong, Theory of complex variable functions, Beijing: Advanced Education Press, 2000.章节、名称：第六章，第4节，VI Residues and Poles, 6.4 Zeros of analytic function, 课时安排：2 教学方式：理论讲授 教学目的和要求：

了解解析函数零点以及阶的定义，零点与极点的关系，阶的关系，理解解析函数零点的孤立性。教学内容及重点、难点：

回顾总结上一节知识要点，解答思考题。1．Zeros of analytic function f(z)A(z0),f(z0)0,thenthepointz0isazerooff(z).Iff(k)(z0)0(k1,2,,m1),andf(m)(z0)0,2．Zeros of analytic function Relation betweenZeros and Poles 3.Zeros of analytic function Uniqueness of Zeros of analytic function 授课实施方案：

启发式教学法，以讲授为主，讲练结合。讨论、思考题、作业：

思考：为什么对于解析函数在线段上为零等价于在邻域内为零？ 参考资料：

1.Cao Huai-Xin, Zhang Jiang-Hua, Chen Zheng-Li, Ren Fang, An Introduction to Complex Analysis,Xi'an:Shaanxi Normal University Press, 2006.2.Conway J.B., Functions of one Comp1ex Variable,Springer-Verlag, New York Inc., 1978 3.Yu Jia-Rong, Theory of complex variable functions, Beijing: Advanced Education Press, 2000.章节、名称：第七章，第1节，VII Application of Residues 7.1 Evaluation of Improper integrals 课时安排：2 教学方式：理论讲授 教学目的和要求：

复习反常积分的定义，了解如何将实积分转化为封闭曲线积分，掌握利用留数求无穷积分的方法。教学内容及重点、难点：

回顾总结上一节知识要点，解答思考题。1． Definitions of Improper integral: 2.Hold adroitly the basic idea of evaluating improper integrals by theory of residues;f(x)dxlimRf(x)dx+lim0f(x)dx.R220R1R1RRf(x)dx=？Ccf(z)dzRRf(x)dx+CRf(z)dz=f(z)dzf(x)withoutsingularpointsonxaxis.授课实施方案：

启发式教学法，以讲授为主，讲练结合。注重知识背景的阐述，适当增加课外知识、实例分析。讨论、思考题、作业：

思考：无穷积分的积分限为什么要对称？ 作业：P246 Exercises 2,3,6 参考资料：

1.Cao Huai-Xin, Zhang Jiang-Hua, Chen Zheng-Li, Ren Fang, An Introduction to Complex Analysis,Xi'an:Shaanxi Normal University Press, 2006.2.Conway J.B., Functions of one Comp1ex Variable,Springer-Verlag, New York Inc., 1978 3.Yu Jia-Rong, Theory of complex variable functions, Beijing: Advanced Education Press, 2000.章节、名称：第七章，第2节，VII Application of Residues 7.2 Improper integrals from Fourier analysis 课时安排：2 教学方式：理论讲授 教学目的和要求：

了解Fourier分析中此类积分的作用，理解Jordan’s Lemma，掌握利用留数求解此类积分的方法。教学内容及重点、难点：

回顾总结上一节知识要点，解答思考题。1．Improper integrals from Fourier analysis，f(x)eiaxdxf(x)(cosaxisinax)dx2.Evaluating improper integrals by theory of residues: 授课实施方案： f(x)eiaxdx+limRCRf(z)eiaxdz=f(z)eiazdzC启发式教学法，以讲授为主，讲练结合。注重知识背景的阐述，解释Fourier分析的应用，为什么要求解此类积分。讨论、思考题、作业：

思考：为什么不直接求解三角函数形式的无穷积分？ 作业： P252 Exercises 1,4 参考资料：

1.Cao Huai-Xin, Zhang Jiang-Hua, Chen Zheng-Li, Ren Fang, An Introduction to Complex Analysis,Xi'an:Shaanxi Normal University Press, 2006.2.Conway J.B., Functions of one Comp1ex Variable,Springer-Verlag, New York Inc., 1978 3.Yu Jia-Rong, Theory of complex variable functions, Beijing: Advanced Education Press, 2000.章节、名称：第七章，第3节，VII Application of Residues 7.3 Definite integral involving Sin and Cos 课时安排：2 教学方式：理论讲授 教学目的和要求：

回忆三角函数定积分的计算，掌握利用留数计算特定三角函数积分的值。教学内容及重点、难点：

回顾总结上一节知识要点，解答思考题。1． Definite integral involving Sin and Cos: 20R(sint,cost)dteitz|z|1f(z)dz2iRes(f,z0)2.Examples 授课实施方案： CalculateI20dt,(a1).asint启发式教学法，以讲授为主，讲练结合。讨论、思考题、作业：

思考：将区间映射为圆的半径必须是1吗？ 作业： P262 Exercises 1 参考资料：

1.Cao Huai-Xin, Zhang Jiang-Hua, Chen Zheng-Li, Ren Fang, An Introduction to Complex Analysis,Xi'an:Shaanxi Normal University Press, 2006.2.Conway J.B., Functions of one Comp1ex Variable,Springer-Verlag, New York Inc., 1978 3.Yu Jia-Rong, Theory of complex variable functions, Beijing: Advanced Education Press, 2000.章节、名称：第七章，第3节，VII Application of Residues 7.4 Argument Principle and Rouche’s Theorem 课时安排：2 教学方式：理论讲授 教学目的和要求：

理解亚纯函数的定义，了解辅角与绕原点的圈数的关系，掌握辅角原理，掌握儒歇定理，会使用儒歇定理求方程根的个数。教学内容及重点、难点：

回顾总结上一节知识要点，解答思考题。1． Argument Principle Meromorphic function 1 Cargf(z)ZP,22.Rouche’s Theorem f and g are analytic inside and on a simple closed curve C, | f(z)||g(z)|onC,thenfandfghavethesamenumberofzerosinsideC.授课实施方案：

启发式教学法，以讲授为主，讲练结合。讨论、思考题、作业：

思考：将区间映射为圆的半径必须是1吗？ 作业：P270 Exercises 2(b),3(c),4 参考资料：

1.Cao Huai-Xin, Zhang Jiang-Hua, Chen Zheng-Li, Ren Fang, An Introduction to Complex Analysis,Xi'an:Shaanxi Normal University Press, 2006.2.Conway J.B., Functions of one Comp1ex Variable,Springer-Verlag, New York Inc., 1978 3.Yu Jia-Rong, Theory of complex variable functions, Beijing: Advanced Education Press, 2000.