陈宗煊老师复变函数 后感

第一篇：陈宗煊老师复变函数 后感

听陈宗煊老师的讲座小结

学习复变函数已经是大二的事情了。我想如果我还没有学习这门课的话也许得到的收获不是这样，或许根本就听不懂，或许仅仅是有个模糊的概念，或许就像浮云，听过了就算了。虽然我是方向二的学生，学习复变函数的内容很浅也很少，但是听完讲座之后对复变函数多少还是有那么一点怀念的。

记忆又回想到大二的时候每周一上午的三节复变函数课，从最初的复数，复平面上的点集合，复球面与无穷远点开始学起，当时对复球面根本无法理解，到第二章的解析函数的概念，柯西黎曼条件，到第三章的复变函数的积分，第四章的解析函数的级数展开到学期末才学了一点点的留数。

当时学习的时候我只是纯粹的学习复变函数的内容，仅仅是知道复变函数中的函数是定义在复数集（复平面）上的，主要研究其中一类性质非常好的函数----解析函数，也就是能在各点处展开成Taylor级数的函数。解析函数在工程技术中应用很广，是有用的工具，而其他的一无所知。

那天听了讲座之后，知道其实复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。

还记得大二那学期快结束的时候，我们班有几个方向一的同学一起写了一篇关于复变函数论的课程论文，后来还发表到了一个学报上面。听了讲座之后想想，其实这个与她们学习复变函数的方法有关吧。

大家都以为高中生活可以跟小学初中一样,稍稍努力下就可以拿到好成绩,其实不然,高中的所有学科都是高级学科,跟初中比起来等级差好多,2个阶段是不一样的,但是也不用灰心,有办法学好的.其实复变函数的知识最重要的是基础知识的稳固和有一套适合自己的学习方法和解题方法,基础是指路标,学习和解题方法是武器,建议要多做题,另外,不要只死背数学公式和物理公式,以前我也这样，后来我试着去理解每一条公式的由来和过程,试着自己去推理出来,发现其实一道公式可以变换出非常多公式出来，但是都离不开那些基础概念,所以不要小看那些概念和定义,去记好它们,可以帮助我们很好理解题目.这是第一.第二,要多做练习题,但是不要选难度较大的做,基础很重要,所以先从小题做起,多做小题,有了一定的积累后你会发现,以前一道想很久的大题现在解一下其实没什么.还有做题不要只满足做好,如果一道可以一看到题目就想出做法的题那就可以过了,但是需要思想斗争的话,建议做完后再思考看看,为什么要这样做。另外,上课绝对要认真,千万不要分神啊,因为很多基础知识的巩固也是靠上课的听讲得到的.记住,基础要扎实.基础扎实了，比你做上1000道题的效果还有用。

第二篇：复变函数总结

第一章

复数

=-1

欧拉公式

z=x+iy

实部Re

z

虚部

Im

z

2运算

①

②

③

④

⑤

共轭复数

共轭技巧

运算律

P1页

3代数，几何表示

z与平面点一一对应，与向量一一对应

辐角

当z≠0时，向量z和x轴正向之间的夹角θ，记作θ=Arg

z=

k=±1±2±3…

把位于-π＜≤π的叫做Arg

z辐角主值

记作=

4如何寻找arg

z

例：z=1-i

z=i

z=1+i

z=-1

π

极坐标：，利用欧拉公式

可得到

高次幂及n次方

凡是满足方程的ω值称为z的n次方根，记作

即

第二章解析函数

1极限

2函数极限

①

复变函数

对于任一都有

与其对应

注：与实际情况相比，定义域，值域变化

例

②

称当时以A为极限

☆

当时，连续

例1

证明在每一点都连续

证：

所以在每一点都连续

3导数

例2

时有

证：对有

所以

例3证明不可导

解：令

当时，不存在，所以不可导。

定理：在处可导u，v在处可微，且满足C-R条件

且

例4证明不可导

解：

其中

u,v

关于x,y可微

不满足C-R条件

所以在每一点都不可导

例5

解：

不满足C-R条件

所以在每一点都不可导

例6：

解：

其中

根据C-R条件可得

所以该函数在处可导

4解析

若在的一个邻域内都可导，此时称在处解析。

用C-R条件必须明确u,v

四则运算

☆

例：证明

解：

则

任一点处满足C-R条件

所以处处解析

练习：求下列函数的导数

解:

所以

根据C-R方程可得

所以当时存在导数且导数为0，其它点不存在导数。

初等函数

Ⅰ常数

Ⅱ指数函数

①

定义域

②

③

④

Ⅲ对数函数

称满足的叫做的对数函数，记作

分类：类比的求法（经验）

目标：寻找

幅角主值

可用：

过程：

所以

例：求的值

Ⅳ幂函数

对于任意复数，当时

例1：求的值

解：

例2：求

Ⅴ三角函数

定义：对于任意复数，由关系式可得的余弦函数和正弦函数

例：求

解：

第三章复变函数的积分

1复积分

定理3.1

设C是复平面上的逐段光滑曲线在C上连续，则在C上可积，且有

注：①C是线

②方式跟一元一样

方法一：思路：复数→实化

把函数与微分相乘，可得

方法二：参数方程法

☆核心：把C参数

C：

例：

求

①C：0→的直线段②；

解：①C：

②

★

结果不一样

2柯西积分定理

例：

C：以a为圆心，ρ为半径的圆，方向：逆时针

解：C：

☆

积分与路径无关：①单联通

②处处解析

例：求，其中C是连接O到点的摆线：

解：已知，直线段L与C构成一条闭曲线。因在全平面上解析，则

即

把函数沿曲线C的积分化为沿着直线段L上的积分。由于

故

★关键：①恰当参数

②合适准确带入z

3不定积分

定义3.2

设函数在区域D内连续，若D内的一个函数满足条件

定理3.7

若可用上式，则

例：

计算

解：

练习：计算

解：

4柯西积分公式

定理

处处解析在简单闭曲线C所围成的区域内则

例1：

解：

例2：

解：

例3：

解：

注：①C：

②

一次分式

③找到

在D内处处解析

例4：

解：5

解析函数的高阶导数

公式：

n=1，2……

应用要点：①

②

③精准分离

例：

调和函数

若满足则称叫做D内的调和函数

若在D内解析

所以

把称为共轭调和函数

第四章

级数理论

1复数到

距离

谈极限

对若有使得

此时

为的极限点

记作

或

推广：对一个度量空间都可谈极限

极限的性质

级数问题

部分和数列

若

则收敛，反之则发散。

性质：1若

都收敛，则收敛

2若一个收敛，一个发散，可推出发散

若

绝对收敛

若

但收敛，为条件收敛

等比级数

：

时收敛，其他发散

幂级数

则

求收敛域

例：求的收敛半径及收敛圆

解：因为

所以级数的收敛半径为R=1，收敛圆为

泰勒级数

泰勒定理：设函数在圆K：内解析，则在K内可以展成幂级数

其中，（n=0,1,2……），且展式还是唯一的。

例

1：求在处的泰勒展式

解

：在全平面上解析，所以在处的泰勒展式为

例2：

将函数展成的幂级数

解：

罗朗级数

罗朗定理

若函数在圆环D：内解析，则当时，有

其中

例：将函数在圆环（1）

（2）

内展成罗朗级数。

解：（1）在内，由于，所以

（2）在内，由于，所以

孤立奇点

定义：若函数在的去心邻域内解析，在点不解析，则称为的孤立奇点。

例

：

为可去奇点

为一级极点

为本性奇点

第5章

留数理论（残数）

定义：

设函数以有限项点为孤立奇点，即在的去心邻域内解析，则称积分的值为函数在点处的留数

记作：

其中，C的方向是逆时针。

例1：求函数在处的留数。

解：因为以为一级零点，而，因此以为一级极点。

例2：求函数在处的留数

解：是的本性奇点，因为

所以

可得

第7章

傅里叶变换

通过一种途径使复杂问题简单化，以便于研究。

定义：对满足某些条件的函数

在上有定义，则称

为傅里叶变换。

同时

为傅里叶逆变换

注：①傅里叶变换是把函数变为函数

②傅里叶逆变换是把函数变为函数

③求傅里叶变换或傅里叶逆变换，关键是计算积分

④两种常见的积分方法：凑微分、分部积分

复习积分：①

②

③

④

⑤

注：

例1：求的解：

例2：求的解：

-函数

定义：如果对于任意一个在区间上连续的函数，恒有，则称为-函数。

例1：求-函数的解：

例2：求正弦函数的傅氏变换

解：

☆

第8章

拉普拉斯变换

设在时有定义

第三篇：复变函数小结

复变函数小结 第一章 复变函数

1)掌握复数的定义(引入),知道复数的几何意义(即复数可看成复数平面的一个点也可以表示为复数平面上的向量)2)掌握 复数的直角坐标表示与三角表示式及指数表示式的关系.3)掌握复数的几种运算:(1)相等;(2)加法;(3)减法;(4)乘法;(5)除法;(6)开方;(7)共轭.需要注意的是开方 : 开n次有n个根.例题

nz1n1ei02kn1ei02kn,k0,1,2,n1

4)掌握复变函数的定义,知道复变函数的极限与连续的定义.5)熟悉几个常用的基本初等函数及性质:(1)多项式;(2)有理分式;(3)根式;(4)指数;(5)三角函数.6)掌握复变函数导数的定义, 因复变函数导数的定义在形式上跟实变函数的导数定义一样,故实变函数中关于导数的规则和公式在复变函数情况仍适用.7)复变函数可导的充要条件是:(1)函数f(z)的实部u 与虚部的偏导数存在,且连续.uuvv，,xyxy(2)满足 C-R条件

uvuv,.xyyx8)知道复变函数解析的定义,复变函数解析,可导及连续的关系.9)解析函数的性质:

(1)若f(z)在区域B上解析,则f(z)的实部u与虚部v的等值(势)线互相正交.(2)若f(z)在区域B上解析,则f(z)的实部u与虚部v均为调和函数.(3)若f(z)在区域B上解析,则f(z)的实部u与虚部v 不是独立的,可由己知解析函数的实部u(或v)求出解析函数f(z).具体求法有3种

:1.直接积分法;2.凑全微分法;3.路径积分法.10)解析函数性质的应用:

平面标量场.11)知道复变函数中多值性的起源在于幅角,只需对幅角作限定(一般限定在主值范围,且一般把幅角作限定的复变平面称为黎曼面.),多值函数就退化为单值函数.第二章 复变函数的积分

1)知道复变函数积分的定义,以及它与实变函数的路径的关系.2)掌握单连通区域与复连通区域上Cauchy定理及数学表示式:fzdz0(1)其中l为区域的所有边界线.l

对单连通区域(1)可表示为

lfzdzn0,(2)对复连通区域(1)也可表示为:

fzdzfzdzli1ci(3)其中l为区域的外边界线,ci为区域的内边界线.(3)式反映对复连通区域的解析函数沿外边界的积分值与沿内边界积分的关系.作为(3)式一个特例: 包含一个奇点的任意一个闭合曲线积分值相同,它为求积分带来方便.nzadzl0,n1一个重要的积分公式: zandz2i,n1

l其中l 包含a 点.Cauchy定理为本章的重点.3)解析函数的不定积分.fzf'12i12illfdzz),4)Cauchy公式

zz(lfd2, ,fnn!2i(fdz)n1若对复连通区域 l 为区域的所有边界线.第三章 幂级数

1)了解一般的复数项级数,知道级数收敛的Cauchy判据,绝对收敛与一致收敛的概念,掌握外氏定理及运用.2)掌握幂级数的一般形式,收敛半径的计算(Rlimnanan1)，知道幂级数在收敛圆内绝对且一致收敛，能逐项求导与积分.3)掌握解析函数在单连通区域的Taylor 展开式: fzazzk0k0k,akfkz0k!

知道Taylor 展开式是唯一的,即同一个函数在同一区域的展开式不管用什么方法得出其结果是相同的.熟悉一些基本的Taylor 展开式: 例1ez,2cosz,sinz,311z,4ln1z

知道函数在无穷运点的展开式.4)掌握解析函数在复连通区域的洛朗 展开式: fzazkkz0,其中akk2ic1fdz0k1，c为环域内任一沿逆时针方向的闭合曲线.知道洛朗 展开式是唯一的,即同一个函数在同一环域的展开式不管用什么方法得出其结果是相同的.所以对洛朗展开可利用熟悉的一些基本Taylor展开式来处理,例如对有理分式总可以把它分解为一系列最简单的有理分式（1zz0)之和, 而对1zz0能用等比级数来展开(关键是满足公比的绝对值小11z于1).并与

k0z,z1 比较.知道在什么情况下洛

k朗展开就退化为Taylor展开.5)掌握孤立奇点的分类方法:(1)可去奇点:设z0是f(z)的奇点当f(z)在z=z0的邻域上展开时,其洛朗展开式中没有负幂项,就称z0是f(z)的可去奇点.性质limfza

a为常数.zz0(2)m阶极点: 设z0是f(z)的奇点当f(z)在z=z0的邻域上展开时,其洛朗展开式中有有限项负幂项,其负幂项的最高幂为m,就称z0是f(z)的m阶极点.性质limfzzz0.(4)本性奇点: 设z0是f(z)的奇点当f(z)在z=z0的邻域上展开时,其洛朗展开式中有无穷多项负幂项,就称z0是f(z)的本性奇点.性质limfz不存在zz0

知道函数在无穷运点奇点的分类.第四章 留数定理

1)掌握留数定理及其计算

fzdzl2iResfzi,其中zi为l内的奇点i1n 2)掌握留数计算的两种方法

(1)洛朗展开 : 设z0是f(z)的奇点当f(z)在z=z0的邻域上展开时,其洛朗展开式中的负一次幂的系数a-1=Resf(z0).任何情况都适合.(2)对m阶极点Resfz0limmzz01dn1n11!dzzz0fz,作为一个特例,若f(z)=P(z)/ Q(z),当f(z)为一阶极点, Pz00,Qz00,Resfz0 'Qz0Pz0主要处理有理分式中分母为单根情况.3)应用留数定理计算实变函数定积分 •类型一

20zz1zz1Rcos,sindR,22iz1dziz2iResfzi,11izzi为fz在单单位圆的奇点zz1zz1,fzR,22i

•1)被积函数为三角函数的有理分式.2)积分区域为[0,2π] 作变换z=eiθ,当θ从变到2π时,复变数z恰好在单位圆上走一圈.类型二

积分条件: 1)积分区域为(-∞,∞)

2)f(z)在实轴有一价极点bk,且在上半平面除有限个奇点ak外是解析的，3)当z→∞时,zf(z)→0 fxdx2iResfakiResfbk.(2)

k1k1mp

类型三

(m>0)fxeimxdx,令Fzfzeimz

积分条件: 1)积分区域为(-∞,∞)

2)f(z)在实轴有一价极点bk,且在上半平面除有限个奇点ak外是解析的，3)当z→∞时,f(z)→0, fxeimxdx2iResFakiResFbkk1k1mp

(3)当f(x)为奇函数时(3)为fxsin0mxdx[ResFakk1m1pRe2k1sFbk]当fx为偶函数时,mfxeimxdx2fxcosmxdx,0

fxcosmxdx0i[ResFakk11pRe2k1sFbk]

第四篇：大学复变函数课件-复变函数

第二章

复变函数

第一节

解析函数的概念及C.-R.方程

1、导数、解析函数

定义2.1：设是在区域内确定的单值函数，并且。如果极限

存在，为复数，则称在处可导或可微，极限称为在处的导数，记作，或。

定义2.2：如果在及的某个邻域内处处可导，则称在处解析；如果在区域内处处解析，则我们称在内解析，也称是的解析函数。解析函数的导（函）数一般记为或。

注解1、语言，如果任给，可以找到一个与有关的正数，使得当，并且时，则称在处可导。

注解2、解析性与连续性：在一个点的可导的函数必然是这个点的连续函数；反之不一定成立；

注解3、解析性与可导性：在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；

注解4、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，因此在此点可导；反之，在一个点的可导性不能得到在这个点解析。

解析函数的四则运算：

和在区域内解析，那么，（分母不为零）也在区域内解析，并且有下面的导数的四则运算法则：。

复合求导法则：设在平面上的区域内解析，在平面上的区域内解析，而且当时，那么复合函数在内解析，并且有

求导的例子：

（1）、如果（常数），那么；

（2）、，；

（3）、的任何多项式

在整个复平面解析，并且有

（4）、在复平面上，任何有理函数，除去使分母为零的点外是解析的，它的导数的求法与是实变量时相同。

2、柯西-黎曼条件

可微复变函数的实部与虚部满足下面的定理：

定理2.1

设函数在区域内确定，那么在点可微的充要条件是：

1、实部和虚部在处可微；

2、和满足柯西-黎曼条件（简称方程）

证明：（必要性）设在有导数，根据导数的定义，当时

其中。比较上式的实部与虚部，得

因此，由实变二元函数的可微性定义知，在点可微，并且有

因此，柯西-黎曼方程成立。

（充分性）设，在点可微，并且有柯西-黎曼方程成立：

设则由可微性的定义，有：

令，当（）时，有

令，则有

所以，在点可微的。

定理2.2

设函数在区域内确定，那么在区域内解析的充要条件是：

1、实部和虚部在内可微；

2、)和在内满足柯西-黎曼条件（简称方程）

关于柯西-黎曼条件，有下面的注解：

注解1、解析函数的实部与虚部不是完全独立的，它们是方程的一组解，它们是在研究流体力学时得到的；

注解2、解析函数的导数形式更简洁：

公式可避免利用定义计算带来的困难。

注解3、利用两个定理，可以判断一个复变函数是否在一点可微或在一个区域内解析。

3、例题

例1

证明在任何点都不可微。

解，四个偏导数在复平面内连续，但任何点都不满足方程，故在任何点都不可微。

例2

试讨论定义于复平面内的函数的可导性。

解：

四个偏导数在复平面内连续，且在复平面内满足方程，故在复平面内处处可导。

例3

设函数在复平面可导，试确定常数之值。

解

由方程

得

（1）

（2）

由（1）

得

（3）

由（2）

得

（4）

（5）

解（3），（4），（5）得。

第二节

初等解析函数

1、幂函数

利用对数函数，可以定义幂函数：设是任何复数，则定义的次幂函数为

当为正实数，且时，还规定。

由于

因此，对同一个的不同数值的个数等于不同数值的因子

个数。

2、幂函数的基本性质：

1、由于对数函数的多值性，幂函数一般是一个多值函数；

2、当是正整数时，幂函数是一个单值函数；

3、当（当是正整数）时，幂函数是一个值函数；

4、当是有理数时，幂函数是一个值函数；

5、当是无理数或虚数时，幂函数是一个无穷值多值函数。

设在区域内，我们可以把分成无穷个解析分支。对于的一个解析分支，相应地有一个单值连续分支。根据复合函数求导法则，的这个单值连续分支在内解析，并且,其中应当理解为对它求导数的那个分支，应当理解为对数函数相应的分支。

对应于在内任一解析分支：当是整数时，在内是同一解析函数；当时，在G内有个解析分支；当是无理数或虚数时，幂函数在内有无穷多个解析分支，是一个无穷值多值函数。

例如当是大于1的整数时，称为根式函数，它是的反函数。当时，有

这是一个值函数。在复平面上以负实轴（包括0）为割线而得得区域内，它有个不同的解析分支：

它们也可以记作，这些分支在负实轴的上沿与下沿所取的值，与相应的连续分支在该处所取的值一致。

当不是整数时，原点及无穷远点是的支点。但按照a是有理数或者不是有理数，这两个支点具有完全不同的性质。

为了理解这些结论，我们在0或无穷远点的充分小的邻域内，任作一条简单闭曲线围绕0或无穷远点。在上任取一点，确定在的一个值；相应地确定,在的一个值。现在考虑下列两种情况：

(1)

是有理数，当一点从出发按反时针或顺时针方向连续变动周时，从连续变动到，而则从相应地连续变动到,也即第一次回到了它从出发时的值。这时，我们称原点和无穷远点是的阶支点，也称为阶代数支点。

（2）不是有理数时，容易验证原点和无穷远点是的无穷阶支点。

当不是整数时，由于原点和无穷远点是的支点，所以任取连接这两个支点的一条简单连续曲线作为割线，得一个区域。在内，可以把分解成解析分支。

关于幂函数当为正实数时的映射性质，有下面的结论：

设是一个实数，并且。在平面上取正实数轴（包括原点）作为割线，得到一个区域。考虑内的角形，并取在内的一个解析分支

当描出内的一条射线时（不包括0），在平面描出一条射线。让从0增加到（不包括0及），那么射线扫过角形，而相应的射线扫过角形，因此把夹角为的角形双射成一个夹角为的角形，同时，这个函数把中以原点为心的圆弧映射成中以原点为心的圆弧。

类似地，我们有，当是正整数时，的个分支

分别把区域双射成平面的个角形

.3、例题

例1、作出一个含的区域，使得函数

在这个区域内可以分解成解析分支；求一个分支在点的值。

解：由于

我们先求函数的支点。因为的支点是0及无穷远点，所以函数可能的支点是0、1、2及无穷远点。任作一条简单连续闭曲线，使其不经过0、1、2，并使其内区域含0，但不包含1及2。设是上一点，我们确定、及在这点的值分别为

。当从按反时针方向沿连续变动一周时，通过连续变动可以看到，增加了，而

没有变化，于是在的值就从

连续变动到

因此0是函数的一个支点；

同时，任作一条简单连续闭曲线，使其不经过0、1、2，并使其内区域含1，但不包含0及2。设是上一点，我们确定、及在这点的值分别为

。当从按反时针方向沿连续变动一周时，通过连续变动可以看到，增加了，而没有变化，于是在的值就从

连续变动到

因此1也是函数的一个支点；

同理，2和无穷远点也是它的支点。

支点确定后，我们作区域，把函数分解成单值解析分支。

首先，在复平面内作一条连接0、1、2及无穷远点的任意无界简单连续曲线作为割线，在所得区域内，可以把分解成连续分支。例如可取作为复平面上这样的割线，得区域。

其次，任作作一条简单连续闭曲线，使其不经过0、1、2，并使其内区域包含这三个点中的两个，但不包含另外一点。设是上一点，确定在的一个值，同样的讨论，有当从沿连续变化一周回到时，连续变化而得的值没有变化。

所以，我们可以作为割线如下，取线段及从2出发且不与

相交的射线为割线，也可以把分解成连续分支。例如取在所得区域内，可以把w分解成连续分支。例如可取及作为复平面上的割线，得区域。

求在上述区域中的一个解析分支

在的值。

在，取

于是在或内，可以分解成两个解析分支

由于所求的分支在的值为，可见这个分支是

由下图可以得到，在或内处，因此的所求分支在的值是

.例2、验证函数在区域内可以分解成解析分支；求出这个函数在上沿取正实值的一个分支在处的值及函数在下沿的值。

证明：我们有

则0及1是的三阶支点，而无穷远点不是它的支点。

事实上，任作一条简单连续闭曲线，使其内区域包含0、1，设是上一点，确定在的一个值，当从沿连续变化一周回到时，连续变化而得的值没有变化。

因此，在区域内，可以把分解成解析分支。现在选取在上沿取正实值的那一支，即在上沿，其中，根号表示算术根。求这一支在的值。

在上沿，取。于是所求的一支为

其中，根号表示算术根。求这一支在的在内处

于是的指定的一支在处的值是

.最后，考虑上述单值分支在下沿取值的情况。在区域内，当沿右边的曲线，从上沿变动到下沿时，没有变化，而减少了，于是在的下沿，有

当沿左边的曲线，从上沿变动到下沿时，增加了，而

没有变化，于是在的下沿，有

因此，无论怎样，当在的下沿时，上述单值分支的值是

.注解1：

对具有多个有限支点的多值函数，不便采取限制辐角范围的办法，而是首先求出该函数的一切支点，然后适当联结支点以割破复平面，于是，在复平面上以此割线为边界的区域内就能分出该函数的单值解析分支。因为在内变点不能穿过支割线，也就不能单独绕任一支点转一整周，函数就不可能在内同一点取不同的值了。

注解2：

解例1，例2这类题的要点，就是作图观察，当动点z沿路线（在内，且不穿过支割线）从起点到终点时，各因子辐角的连续改变量：，即观察向量的辐角的连续改变量。由此可计算。

第五篇：复变函数教案1.1

第一章

复数与复变函数

教学课题：第一节 复数

教学目的：

1、复习、了解中学所学复数的知识；

2、理解所补充的新理论；

3、熟练掌握复数的运算并能灵活运用。

教学重点：复数的辐角 教学难点：辐角的计算 教学方法：启发式教学

教学手段：多媒体与板书相结合 教材分析：复变函数这门学科的一切讨论都是在复数范围内进行的，它是学好本们课程的基础。因此，复习、了解中学所学复数的知识，理解所补充的新理论，熟练掌握复数的运算并能灵活运用显得尤为重要。教学过程：

1、复数域：

每个复数z具有xiy的形状，其中别称为

x和yR，i1是虚数单位；

x和y分z的实部和虚部，分别记作xRez，yImz。

复数z1x1iy1和z2x2iy2相等是指它们的实部与虚部分别相等。

z可以看成一个实数；如果Imz0，那么z称为一个虚数；如果Imz0，而Rez0，则称z为一个纯虚数。如果Imz0，则复数的四则运算定义为：

(a1ib1)(a2ib2)(a1a2)i(b1b2)(a1ib1)(a2ib2)(a1a2b1b2)i(a1b2a2b1)

(a1ib1)a1a2b1b2a2b1a1b2)2i 222(a2ib2)a2b2a2b2复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C。

2、复平面：

C也可以看成平面R，我们称为复平面。

2作映射：CR2:zxiy(x,y)，则在复数集与平面R2之建立了一个1-1对应。横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z-平面，w-平面等。

3、复数的模和辐角

复数可以等同于平面中的向量，z(x,y)xiy。

x2y2向量的长度称为复数的模，定义为：|z|；

向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：Argzarctany2i（kZx）。

tany,Argz我们知道人亦非零复数有无限多个辐角，今以xargz表示其中的一个特定值，并称合条件

argz的一个为主值，或称之为z的主辐角。于是，Argzargz2k,(k0,1,2,)。注意，当z=0时辐角无异议。当z0时argz表示z的主辐角,它与反正切Arctan的主值arctan（argz，arctan）

22yxy有如下关系xyxyarctan,当x0,y0;x,当x0,y0;2yarctan,当x0,y0;argzx(z0)yarctan,当x0,y0;x-,当x0,y0;2复数的三角表示定义为：z|z|(cosArgzisinArgz)； 复数加法的几何表示： 设z1、z2是两个复数，它们的加法、减法几何意义是向量相加减，几何意义如下图：

yz2z1z2z2z1xz1z20z2关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：（1）、|z1z2||z1||z2|；（2）、|z1z2|||z1||z2||；（3）、|z1z2||z1||z2|；（4）、|z1z2|||z1||z2||；（5）、|Rez||z|,|Imz||z|；（6）、|z|2zz； 例1 试用复数表示圆的方程：

a(x2y2)bxcyd0

（a0）

其中，a,b,c,d是实常数。

解：方程为

azzzzd0，其中(bic)。

例

2、设z1、z2是两个复数，证明

z1z2z1z2,z1z2z1z2

12z1z1

利用复数的三角表示，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法：设z1、z2是两个非零复数，则有 z1|z1|(cosArgz1isinArgz1)z2|z2|(cosArgz2isinArgz2)

则有

z1z2|z1||z2|[cos(Argz1Argz2)isin(Argz1Argz2)]

即|z1z2||z1||z2|，Arg(z1z2)Argz1Argz2，其中后一个式子应理解为集合相等。

同理，对除法，有

z1/z2|z1|/|z2|[cos(Argz1Argz2)isin(Argz1Argz2)]

即|z1/z2||z1|/|z2|，Arg(z1/z2)Argz1Argz2，其后一个式子也应理解为集合相等。

例

3、设z1、z2是两个复数，求证：

|z1z2|2|z1|2|z2|22Re(z1z2)，例

4、作出过复平面C上不同两点a,b的直线及过不共线三点 a,b,c的圆的表示式。解：直线：Imza0； bazaca)0 圆：Im(zbcb4、复数的乘幂与方根

利用复数的三角表示，我们也可以考虑复数的乘幂：

ab

abc

zn|z|n(cosnArgzisinnArgz)rn(cosnisinn)从而有znz,当r1时,则得棣莫弗(DeMoivre)公式1，则 znn

令znzn|z|n[cos(nArgz)isin(nArgz)]

进一步，有

11zn|z|[cos(Argz)isin(Argz)]

nn1n共有n-个值。

例

4、求4(1i)的所有值。解：由于1i2(cos4isin)，所以有 4411(2k)isin(2k)] 4444(1i)82[cos4(1i)82[cos(16kk)isin()]2162其中，k0,1,2,3。

5、共轭复数

复数的共轭定义为：zxiy；显然zz,ArgzArgz,这表明在复平面上,z与z两点关于实轴是对称的

我们也容易验证下列公式：(1),zz,z1z2z1z2,(2),z1z2z1z2,(2z1z)1(z20),z2z2zzzz ,Imz,22i(4),设R(a,b,c)表示对于复数a,b,c的任一有理运算,则(3),zzz,RezR(a,b,c)R(a,b,c)

6、作业：