复变函数与积分变换
(修订版)
主编:马柏林
——课后习题答案
习题一
1.用复数的代数形式a+ib表示下列复数
.①解
②解:
③解:
④解:
2.求下列各复数的实部和虚部(z=x+iy)
R);
①
:
∵设z=x+iy
则
∴,.
②解:
设z=x+iy
∵
∴,.
③解:
∵
∴,.
④解:
∵
∴,.
⑤解:
∵.
∴当时,;
当时,.
3.求下列复数的模和共轭复数
①解:.
②解:
③解:.
④解:
4、证明:当且仅当时,z才是实数.
证明:若,设,则有,从而有,即y=0
∴z=x为实数.
若z=x,x∈¡,则.
∴.
命题成立.
5、设z,w∈£,证明:
证明∵
∴.
6、设z,w∈£,证明下列不等式.
并给出最后一个等式的几何解释.
证明:在上面第五题的证明已经证明了.
下面证.
∵
.从而得证.
∴
几何意义:平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和.
7.将下列复数表示为指数形式或三角形式
①解:
其中.
②解:其中.
③解:
④解:.∴
⑤解:
解:∵.
∴
8.计算:(1)i的三次根;(2)-1的三次根;(3)的平方根.⑴i的三次根.
解:
∴.
⑵-1的三次根
解:
∴
⑶的平方根.
解:
∴
∴
.
9.设.证明:
证明:∵ ∴,即.
∴
又∵n≥2.
∴z≠1
从而
11.设是圆周令,其中.求出在a切于圆周的关于的充分必要条件.解:如图所示.
因为={z:
=0}表示通过点a且方向与b同向的直线,要使得直线在a处与圆相切,则CA⊥.过C作直线平行,则有∠BCD=β,∠ACB=90°
故α-β=90°
所以在α处切于圆周T的关于β的充要条件是α-β=90°.
12.指出下列各式中点z所确定的平面图形,并作出草图.解:
(1)、argz=π.表示负实轴.
(2)、|z-1|=|z|.表示直线z=.
(3)、1<|z+i|<2
解:表示以-i为圆心,以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。
(4)、Re(z)>Imz.
解:表示直线y=x的右下半平面
5、Imz>1,且|z|<2.
解:表示圆盘内的一弓形域。
习题二
1.求映射下圆周的像.解:设则
因为,所以
所以,所以即,表示椭圆.2.在映射下,下列z平面上的图形映射为w平面上的什么图形,设或.(1);
(2);
(3)
x=a,y=b.(a,b为实数)
解:设
所以
(1)
记,则映射成w平面内虚轴上从O到4i的一段,即
(2)
记,则映成了w平面上扇形域,即
(3)
记,则将直线x=a映成了即是以原点为焦点,张口向左的抛物线将y=b映成了
即是以原点为焦点,张口向右抛物线如图所示.3.求下列极限.(1)
;
解:令,则.于是.(2)
;
解:设z=x+yi,则有
显然当取不同的值时f(z)的极限不同
所以极限不存在.(3);
解:=.(4)
.解:因为
所以.4.讨论下列函数的连续性:
(1)
解:因为,若令y=kx,则,因为当k取不同值时,f(z)的取值不同,所以f(z)在z=0处极限不存在.从而f(z)在z=0处不连续,除z=0外连续.(2)
解:因为,所以
所以f(z)在整个z平面连续.5.下列函数在何处求导?并求其导数.(1)
(n为正整数);
解:因为n为正整数,所以f(z)在整个z平面上可导..(2)
.解:因为f(z)为有理函数,所以f(z)在处不可导.从而f(z)除外可导.(3)
.解:f(z)除外处处可导,且.(4)
.解:因为
.所以f(z)除z=0外处处可导,且.6.试判断下列函数的可导性与解析性.(1)
;
解:在全平面上可微.所以要使得,,只有当z=0时,从而f(z)在z=0处可导,在全平面上不解析.(2)
.解:在全平面上可微.只有当z=0时,即(0,0)处有,.所以f(z)在z=0处可导,在全平面上不解析.(3)
;
解:在全平面上可微.所以只有当时,才满足C-R方程.从而f(z)在处可导,在全平面不解析.(4)
.解:设,则
所以只有当z=0时才满足C-R方程.从而f(z)在z=0处可导,处处不解析.7.证明区域D内满足下列条件之一的解析函数必为常数.(1)
;
证明:因为,所以,.所以u,v为常数,于是f(z)为常数.(2)
解析.证明:设在D内解析,则
而f(z)为解析函数,所以
所以即
从而v为常数,u为常数,即f(z)为常数.(3)
Ref(z)=常数.证明:因为Ref(z)为常数,即u=C1,因为f(z)解析,C-R条件成立。故即u=C2
从而f(z)为常数.(4)
Imf(z)=常数.证明:与(3)类似,由v=C1得
因为f(z)解析,由C-R方程得,即u=C2
所以f(z)为常数.5.|f(z)|=常数.证明:因为|f(z)|=C,对C进行讨论.若C=0,则u=0,v=0,f(z)=0为常数.若C0,则f(z)
0,但,即u2+v2=C2
则两边对x,y分别求偏导数,有
利用C-R条件,由于f(z)在D内解析,有
所以
所以
即u=C1,v=C2,于是f(z)为常数.(6)
argf(z)=常数.证明:argf(z)=常数,即,于是
得
C-R条件→
解得,即u,v为常数,于是f(z)为常数.8.设f(z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)在z平面上解析,求m,n,l的值.解:因为f(z)解析,从而满足C-R条件.所以.9.试证下列函数在z平面上解析,并求其导数.(1)
f(z)=x3+3x2yi-3xy2-y3i
证明:u(x,y)=x3-3xy2,v(x,y)=3x2y-y3在全平面可微,且
所以f(z)在全平面上满足C-R方程,处处可导,处处解析..(2)
.证明:
处处可微,且
所以,所以f(z)处处可导,处处解析.10.设
求证:(1)
f(z)在z=0处连续.
(2)f(z)在z=0处满足柯西—黎曼方程.
(3)f′(0)不存在.
证明.(1)∵
而
∵
∴
∴
同理
∴
∴f(z)在z=0处连续.
(2)考察极限
当z沿虚轴趋向于零时,z=iy,有
.
当z沿实轴趋向于零时,z=x,有
它们分别为
∴
∴满足C-R条件.
(3)当z沿y=x趋向于零时,有
∴不存在.即f(z)在z=0处不可导.
11.设区域D位于上半平面,D1是D关于x轴的对称区域,若f(z)在区域D内解析,求证在区域D1内解析.
证明:设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),因为f(z)在区域D内解析.
所以u(x,y),v(x,y)在D内可微且满足C-R方程,即.,得
故φ(x,y),ψ(x,y)在D1内可微且满足C-R条件
从而在D1内解析
13.计算下列各值
(1)
e2+i=e2∙ei=e2∙(cos1+isin1)
(2)
(3)
(4)
14.设z沿通过原点的放射线趋于∞点,试讨论f(z)=z+ez的极限.
解:令z=reiθ,对于θ,z→∞时,r→∞.
故.
所以.
15.计算下列各值.
(1)
(2)
(3)ln(ei)=ln1+iarg(ei)=ln1+i=i
(4)
16.试讨论函数f(z)=|z|+lnz的连续性与可导性.
解:显然g(z)=|z|在复平面上连续,lnz除负实轴及原点外处处连续.
设z=x+iy,在复平面内可微.
故g(z)=|z|在复平面上处处不可导.
从而f(x)=|z|+lnz在复平面上处处不可导.
f(z)在复平面除原点及负实轴外处处连续.
17.计算下列各值.
(1)
(2)
(3)
18.计算下列各值
(1)
(2)
(3)(4)
(5)
(6)
19.求解下列方程
(1)
sinz=2.
解:
(2)
解: 即
(3)
解: 即
(4)
解:.
20.若z=x+iy,求证
(1)
sinz=sinxchy+icosx∙shy
证明:
(2)cosz=cosx∙chy-isinx∙shy
证明:
(3)|sinz|2=sin2x+sh2y
证明:
(4)|cosz|2=cos2x+sh2y
证明:
21.证明当y→∞时,|sin(x+iy)|和|cos(x+iy)|都趋于无穷大.
证明:
∴
而
当y→+∞时,e-y→0,ey→+∞有|sinz|→∞.
当y→-∞时,e-y→+∞,ey→0有|sinz|→∞.
同理得
所以当y→∞时有|cosz|→∞.
习题三
1.计算积分,其中C为从原点到点1+i的直线段.解
设直线段的方程为,则.故
2.计算积分,其中积分路径C为
(1)
从点0到点1+i的直线段;
(2)
沿抛物线y=x2,从点0到点1+i的弧段.解
(1)设.(2)设.3.计算积分,其中积分路径C为
(1)
从点-i到点i的直线段;
(2)
沿单位圆周|z|=1的左半圆周,从点-i到点i;
(3)
沿单位圆周|z|=1的右半圆周,从点-i到点i.解
(1)设.(2)设.从到
(3)
设.从到
6.计算积分,其中为.解
∵在所围的区域内解析
∴
从而
故
7.计算积分,其中积分路径为
(1)
(2)
(3)
(4)
解:(1)在所围的区域内,只有一个奇点.(2)在所围的区域内包含三个奇点.故
(3)在所围的区域内包含一个奇点,故
(4)在所围的区域内包含两个奇点,故
10.利用牛顿-莱布尼兹公式计算下列积分.(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
解
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
11.计算积分,其中为
(1)
(2)
(3)
解
(1)
(2)
(3)
16.求下列积分的值,其中积分路径C均为|z|=1.(1)
(2)
(3)
解
(1)
(2)
(3)
17.计算积分,其中积分路径为
(1)中心位于点,半径为的正向圆周(2)
中心位于点,半径为的正向圆周解:(1)
内包含了奇点
∴
(2)
内包含了奇点,∴
19.验证下列函数为调和函数.解(1)
设,∴
从而有,满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.(2)
设,∴
从而有,满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.,满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.20.证明:函数,都是调和函数,但不是解析函数
证明:
∴,从而是调和函数.∴,从而是调和函数.但∵
∴不满足C-R方程,从而不是解析函数.22.由下列各已知调和函数,求解析函数
(1)
(2)
解
(1)因为
所以
令y=0,上式变为
从而
(2)
用线积分法,取(x0,y0)为(1,0),有
由,得C=0
23.设,其中各不相同,闭路C不通过,证明积分
等于位于C内的p(z)的零点的个数.证明:
不妨设闭路C内的零点的个数为k,其零点分别为
24.试证明下述定理(无界区域的柯西积分公式):
设f(z)在闭路C及其外部区域D内解析,且,则
其中G为C所围内部区域.证明:在D内任取一点Z,并取充分大的R,作圆CR:,将C与Z包含在内
则f(z)在以C及为边界的区域内解析,依柯西积分公式,有
因为
在上解析,且
所以,当Z在C外部时,有
即
设Z在C内,则f(z)=0,即
故有:
习题四
1.复级数与都发散,则级数和发散.这个命题是否成立?为什么?
答.不一定.反例:
发散
但收敛
发散
收敛.2.下列复数项级数是否收敛,是绝对收敛还是条件收敛?
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
解
(1)
因为发散,所以发散
(2)发散
又因为
所以发散
(3)
发散,又因为收敛,所以不绝对收敛.(4)
因为
所以级数不绝对收敛.又因为当n=2k时,级数化为收敛
当n=2k+1时,级数化为也收敛
所以原级数条件收敛
(5)
其中
发散,收敛
所以原级数发散.3.证明:若,且和收敛,则级数绝对收敛.证明:设
因为和收敛
所以收敛
又因为,所以且
当n充分大时,所以收敛
而收敛,收敛
所以收敛,从而级数绝对收敛.4.讨论级数的敛散性
解
因为部分和,所以,不存在.当而时(即),cosnθ和sinnθ都没有极限,所以也不收敛.
.故当和时,收敛.5.幂级数能否在z=0处收敛而在z=3处发散.解:
设,则当时,级数收敛,时发散.若在z=0处收敛,则
若在z=3处发散,则
显然矛盾,所以幂级数不能在z=0处收敛而在z=3处发散
6.下列说法是否正确?为什么?
(1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛.(2)
每一个幂级数的和函数在它的收敛圆内可能有奇点.答:
(1)
不正确,因为幂级数在它的收敛圆周上可能收敛,也可能发散.(2)
不正确,因为收敛的幂级数的和函数在收敛圆周内是解析的.7.若的收敛半径为R,求的收敛半径。
解:
因为
所以
8.证明:若幂级数的系数满足,则
(1)当时,(2)
当时,(3)
当时,证明:考虑正项级数
由于,若,由正项级数的根值判别法知,当,即,收敛。当,即,不能趋于零,级数发散.故收敛半径.当时,级数收敛且.若,对当充分大时,必有不能趋于零,级数发散.且
9.求下列级数的收敛半径,并写出收敛圆周。
(1)
(2)
(3)
(4)
解:
(1)
收敛圆周(2)
所以收敛圆周(3)
记
由比值法,有
要级数收敛,则
级数绝对收敛,收敛半径为
所以收敛圆周(4)
记
所以时绝对收敛,收敛半径
收敛圆周10.求下列级数的和函数.(1)
(2)
解:
(1)
故收敛半径R=1,由逐项积分性质,有:
所以
于是有:
(2)
令:
故R=∞,由逐项求导性质
由此得到
即有微分方程
故有:,A,B待定。
所以
11.设级数收敛,而发散,证明的收敛半径为1
证明:因为级数收敛
设
若的收敛半径为1
则
现用反证法证明
若则,有,即收敛,与条件矛盾。
若则,从而在单位圆上等于,是收敛的,这与收敛半径的概念矛盾。
综上述可知,必有,所以
12.若在点处发散,证明级数对于所有满足点都发散.证明:不妨设当时,在处收敛
则对,绝对收敛,则在点处收敛
所以矛盾,从而在处发散.13.用直接法将函数在点处展开为泰勒级数,(到项),并指出其收敛半径.解:因为
奇点为
所以
又
于是,有展开式
14.用直接法将函数在点处展开为泰勒级数,(到项)
解:为的奇点,所以收敛半径
又
于是,在处的泰勒级数为
15.用间接法将下列函数展开为泰勒级数,并指出其收敛性.(1)
分别在和处
(2)
在处
(3)
在处
(4)
在处
(5)
在处
解
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)因为从沿负实轴不解析
所以,收敛半径为R=1
16.为什么区域内解析且在区间取实数值的函数展开成的幂级数时,展开式的系数都是实数?
答:因为当取实数值时,与的泰勒级数展开式是完全一致的,而在内,的展开式系数都是实数。所以在内,的幂级数展开式的系数是实数.17.求的以为中心的各个圆环域内的罗朗级数.解:函数有奇点与,有三个以为中心的圆环域,其罗朗级数.分别为:
19.在内将展开成罗朗级数.解:令则
而在内展开式为
所以,代入可得
20.有人做下列运算,并根据运算做出如下结果
因为,所以有结果
你认为正确吗?为什么?
答:不正确,因为要求
而要求
所以,在不同区域内
21.证明:
用z的幂表示的罗朗级数展开式中的系数为
证明:因为和是的奇点,所以在内,的罗朗级数为
其中
其中C为内任一条绕原点的简单曲线.22.是函数的孤立奇点吗?为什么?
解:
因为的奇点有
所以在的任意去心邻域,总包括奇点,当时,z=0。
从而不是的孤立奇点.23.用级数展开法指出函数在处零点的级.解:
故z=0为f(z)的15级零点
24.判断是否为下列函数的孤立奇点,并确定奇点的类型:
⑴ ; ⑵
解:
是的孤立奇点
因为
所以是的本性奇点.(2)因为
所以是的可去奇点.25.下列函数有些什么奇点?如果是极点,指出其点:
⑴
⑵
⑶
解:
(1)
所以是奇点,是二级极点.解:
(2)
是奇点,是一级极点,0是二级极点.解:
(3)
是的二级零点
而是的一级零点,是的一级零点
所以
是的二级极点,是的一级极点.26.判定下列各函数的什么奇点?
⑴
⑵
⑶
解:
(1)当时,所以,是的可去奇点.(2)因为
所以,是的本性奇点.(3)
当时,所以,是的可去奇点.27.函数在处有一个二级极点,但根据下面罗朗展开式:
.我们得到“又是的本性奇点”,这两个结果哪一个是正确的?为什么?
解:
不对,z=1是f(z)的二级极点,不是本性奇点.所给罗朗展开式不是在内得到的在内的罗朗展开式为
28.如果C为正向圆周,求积分的值
(1)
(2)
解:(1)先将展开为罗朗级数,得
而
=3在内,,故
(2)在内处处解析,罗朗展开式为
而=3在内,,故
习题五
1.求下列函数的留数.
(1)在z=0处.
解:在0<|z|<+∞的罗朗展开式为
∴
(2)在z=1处.
解:在0<|
<+∞的罗朗展开式为
∴.
2.利用各种方法计算f(z)在有限孤立奇点处的留数.
(1)
解:的有限孤立奇点处有z=0,z=-2.其中z=0为二级极点z=-2为一级极点.
∴
3.利用罗朗展开式求函数在∞处的留数.
解:
∴
从而
5.计算下列积分.
(1),n为正整数,c为|z|=n取正向.
解:.
为在c内tanπz有
(k=0,±1,±2…±(n-1))一级极点
由于
∴
(2)
c:|z|=2取正向.
解:因为在c内有z=1,z=-i两个奇点.
所以
6.计算下列积分.
(1)
因被积函数为θ的偶函数,所以
令则有
设
则
被积函数在|z|=1内只有一个简单极点
但
所以
又因为
∴
(2),|a|>1.
解:令
令z=eiθ.,则
得
(3),a>0,b>0.
解:令,被积函数R(z)在上半平面有一级极点z=ia和ib.故
(4).,a>0.
解:
令,则z=±ai分别为R(z)的二级极点
故(5),β>0,b>0.
解:
而考知,则R(z)在上半平面有z=bi一个二级极点.
从而
(6),a>0
解:令,在上半平面有z=ai一个一级极点
7.计算下列积分
(1)
解:令,则R(z)在实轴上有孤立奇点z=0,作以原点为圆心、r为半径的上半圆周cr,使CR,[-R,-r],Cr,[r,R]构成封闭曲线,此时闭曲线内只有一个奇点i,于是:而.
故: