复变函数第二版答案

第一篇：复变函数第二版答案

班级活动策划

一、活动目的

圣诞节是基督教徒纪念耶稣的诞生的节日，是一个西方的节日，但是近年来，它却为越来越多的中国人所接受，并且渐渐被赋予了许多中国式的特色和内容。为了丰富同学们的课余生活，了解和体验圣诞节的气氛，结交新朋友促进沟通，增进彼此的感情，故策划了此次活动。

二、活动主题：圣诞节之夜

三、活动内容

1、时间：2014.12.25

2、对象：110班全体同学

3、活动步骤

A、19：00之前的等待时间，播放圣诞节歌曲，营造圣诞节气氛。如《叮叮当，叮叮当》《平安夜》，活动要求每位参与者携带一张平安夜贺卡，在入场时交给负责人员。B、19:00准时开始。

C、19:00-19:10首先由主持人致辞。内容为圣诞祝福，圣诞由来，以及世界各地的圣诞风俗。D、19:10-19-30，进行第一个活动“拍七令”，目的是为了炒活现场的气氛，让所有人参与到其中来。

活动规则如下：多人参加，从1-99报数，但有人数到“7”的数字或“7”的倍数时，不许报数。在所有到场者中循环2-5次，如果有人报错或拍错人给予一定的处罚。

处罚方式：每循环一次，所以有出错者一起出一个表演，可一起合作，也可选派代表。E：第二个活动，“椅上功夫”。先不宣布活动内容，邀请多名到场者参与，并把参与者按人数分为多组，然后进行比赛，若比赛中人数不够，可再邀请人加入。方法：

1、各组互相商量要如何才能站上最多的人。

2、依照号令比赛，哪一张椅子上站最多的人。

3、可以限定一个时间，如3分钟。惩罚方式：对于人数最多并且站到椅子上人给予一份小礼物，对于人数最少的一组且站到椅子上的人，则给予相应惩罚。

四：奖品设置：笔记本10元/本x10本=100元或杯子15元/个x10=150元

五、注意事项：此次的活动主要针对于班级内部，由于人数不是太多，应避免活动进行过程中出现的冷场现象。而且，本次活动的难度不大，经费的开支，会场布置，奖品的费用，应尽量控制在预算范围内。

第二篇：复变函数课后习题答案

习题一答案

1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：

（1）

（2）

（3）

（4）

解：（1），因此：，（2），因此，（3），因此，（4）

因此，2．

将下列复数化为三角表达式和指数表达式：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

解：（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

3．求下列各式的值：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

解：（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

4．设试用三角形式表示与

解：，所以，5．

解下列方程：

（1）

（2）

解：（1）

由此，（2），当时，对应的4个根分别为：

6．证明下列各题：（1）设则

证明：首先，显然有；

其次，因

固此有

从而。

（2）对任意复数有

证明：验证即可，首先左端，而右端，由此，左端=右端，即原式成立。

（3）若是实系数代数方程的一个根，那么也是它的一个根。

证明：方程两端取共轭，注意到系数皆为实数，并且根据复数的乘法运算规则，由此得到：

由此说明：若为实系数代数方程的一个根，则也是。结论得证。

（4）若则皆有

证明：根据已知条件，有，因此：，证毕。

（5）若，则有

证明：，因为，所以，因而，即，结论得证。

7．设试写出使达到最大的的表达式，其中为正整数，为复数。

解：首先，由复数的三角不等式有，在上面两个不等式都取等号时达到最大，为此，需要取与同向且，即应为的单位化向量，由此，8．试用来表述使这三个点共线的条件。

解：要使三点共线，那么用向量表示时，与应平行，因而二者应同向或反向，即幅角应相差或的整数倍，再由复数的除法运算规则知应为或的整数倍，至此得到：

三个点共线的条件是为实数。

9．写出过两点的直线的复参数方程。

解：过两点的直线的实参数方程为：，因而，复参数方程为：

其中为实参数。

10．下列参数方程表示什么曲线？（其中为实参数）

（1）

（2）

（3）

解：只需化为实参数方程即可。

（1），因而表示直线

（2），因而表示椭圆

（3），因而表示双曲线

11．证明复平面上的圆周方程可表示为，其中为复常数，为实常数

证明：圆周的实方程可表示为：，代入，并注意到，由此，整理，得

记，则，由此得到，结论得证。

12．证明：幅角主值函数在原点及负实轴上不连续。

证明：首先，在原点无定义，因而不连续。

对于，由的定义不难看出，当由实轴上方趋于时，而当由实轴下方趋于时，由此说明不存在，因而在点不连续，即在负实轴上不连续，结论得证。

13．函数把平面上的曲线和分别映成平面中的什么曲线？

解：对于，其方程可表示为，代入映射函数中，得，因而映成的像曲线的方程为，消去参数，得

即表示一个圆周。

对于，其方程可表示为

代入映射函数中，得

因而映成的像曲线的方程为，消去参数，得，表示一半径为的圆周。

14．指出下列各题中点的轨迹或所表示的点集，并做图：

解：（1），说明动点到的距离为一常数，因而表示圆心为，半径为的圆周。

（2）是由到的距离大于或等于的点构成的集合，即圆心为半径为的圆周及圆周外部的点集。

（3）说明动点到两个固定点1和3的距离之和为一常数，因而表示一个椭圆。代入化为实方程得

（4）说明动点到和的距离相等，因而是和连线的垂直平分线，即轴。

（5），幅角为一常数，因而表示以为顶点的与轴正向夹角为的射线。

15．做出下列不等式所确定的区域的图形，并指出是有界还是无界，单连通还是多连通。

（1），以原点为心，内、外圆半径分别为2、3的圆环区域，有界，多连通

（2），顶点在原点，两条边的倾角分别为的角形区域，无界，单连通

（3），显然，并且原不等式等价于，说明到3的距离比到2的距离大，因此原不等式表示2与3

连线的垂直平分线即2.5左边部分除掉2后的点构成的集合，是一无界，多连通区域。

（4），显然该区域的边界为双曲线，化为实方程为，再注意到到2与到2的距离之差大于1，因而不等式表示的应为上述双曲线左边一支的左侧部分，是一无界单连通区域。

（5），代入，化为实不等式，得

所以表示圆心为半径为的圆周外部，是一无界多连通区域。

习题二答案

1．指出下列函数的解析区域和奇点，并求出可导点的导数。

（1）

（2）

（3）

（4）

解：根据函数的可导性法则（可导函数的和、差、积、商仍为可导函数，商时分母不为0），根据和、差、积、商的导数公式及复合函数导数公式，再注意到区域上可导一定解析，由此得到：

（1）处处解析，（2）处处解析，（3）的奇点为，即，（4）的奇点为，2．

判别下列函数在何处可导，何处解析，并求出可导点的导数。

（1）

（2）

（3）

（4）

解：根据柯西—黎曼定理：

（1），四个一阶偏导数皆连续，因而处处可微，再由柯西—黎曼方程

解得：，因此，函数在点可导，函数处处不解析。

（2），四个一阶偏导数皆连续，因而处处可微，再由柯西—黎曼方程

解得：，因此，函数在直线上可导，因可导点集为直线，构不成区域，因而函数处处不解析。

（3），四个一阶偏导数皆连续，因而

处处可微，并且

处处满足柯西—黎曼方程

因此，函数处处可导，处处解析，且导数为

（4），，因函数的定义域为，故此，处处不满足柯西—黎曼方程，因而函数处处不可导，处处不解析。

3．当取何值时在复平面上处处解析？

解：，由柯西—黎曼方程得：

由（1）得，由（2）得，因而，最终有

4．证明：若解析，则有

证明：由柯西—黎曼方程知，左端

右端，证毕。

5．证明：若在区域D内解析，且满足下列条件之一，则在D内一定为常数。

（1）在D内解析，（2）在D内为常数，（3）在D内为常数，（4）

（5）

证明：关键证明的一阶偏导数皆为0！

（1），因其解析，故此由柯西—黎曼方程得

------------------------（1）

而由的解析性，又有

------------------------（2）

由（1）、（2）知，因此即

为常数

（2）设，那么由柯西—黎曼方程得，说明与无关，因而，从而为常数。

（3）由已知，为常数，等式两端分别对求偏导数，得

----------------------------（1）

因解析，所以又有

-------------------------（2）

求解方程组（1）、（2），得，说明

皆与无关，因而为常数，从而也为常数。

（4）同理，两端分别对求偏导数，得

再联立柯西—黎曼方程，仍有

（5）同前面一样，两端分别对求偏导数，得

考虑到柯西—黎曼方程，仍有，证毕。

6．计算下列各值（若是对数还需求出主值）

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

解：（1）

（2），为任意整数，主值为：

（3），为任意整数

主值为：

（4）

（5），为任意整数

（6），当分别取0，1，2时得到3个值：，7．

求和

解：，因此根据指数函数的定义，有，（为任意整数）

8．设，求

解：，因此

9．解下列方程：

（1）

（2）

（3）

（4）

解：（1）方程两端取对数得：

（为任意整数）

（2）根据对数与指数的关系，应有

（3）由三角函数公式（同实三角函数一样），方程可变形为

因此

即，为任意整数

（4）由双曲函数的定义得，解得，即，所以，为任意整数

10．证明罗比塔法则：若及在点解析，且，则，并由此求极限

证明：由商的极限运算法则及导数定义知，由此，11．

用对数计算公式直接验证：

（1）

（2）

解：记，则

（1）左端，右端，其中的为任意整数。

显然，左端所包含的元素比右端的要多（如左端在时的值为，而右端却取不到这一值），因此两端不相等。

（2）左端

右端

其中为任意整数，而

不难看出，对于左端任意的，右端取或时与其对应；反之，对于右端任意的，当为偶数时，左端可取于其对应，而当为奇数时，左端可取于其对应。综上所述，左右两个集合中的元素相互对应，即二者相等。

12．证明

证明：首先有，因此，第一式子证毕。

同理可证第二式子也成立。

13．证明

（即）

证明：首先，右端不等式得到证明。

其次，由复数的三角不等式又有，根据高等数学中的单调性方法可以证明时，因此接着上面的证明，有，左端不等式得到证明。

14．设，证明

证明：由复数的三角不等式，有，由已知，再主要到时单调增加，因此有，同理，证毕。

15．已知平面流场的复势为

（1）

（2）

（3）

试求流动的速度及流线和等势线方程。

解：只需注意，若记，则

流场的流速为，流线为，等势线为，因此，有

（1）

流速为，流线为，等势线为

（2）

流速为，流线为，等势线为

（3）

流速为，流线为，等势线为

习题三答案

1．计算积分，其中为从原点到的直线段

解：积分曲线的方程为，即，代入原积分表达式中，得

2．计算积分，其中为

（1）从0到1再到的折线

（2）从0到的直线

解：（1）从0到1的线段方程为：，从1到的线段方程为：，代入积分表达式中，得；

（2）从0到的直线段的方程为，代入积分表达式中，得，对上述积分应用分步积分法，得

3．积分，其中为

（1）沿从0到

（2）沿从0到

解：（1）积分曲线的方程为，代入原积分表达式中，得

（2）积分曲线的方程为，代入积分表达式中，得

4．计算积分，其中为

（1）从1到+1的直线段

（2）从1到+1的圆心在原点的上半圆周解：（1）的方程为，代入，得

（2）的方程为，代入，得

5．估计积分的模,其中为+1到-1的圆心在原点的上半圆周。

解：在上，=1，因而由积分估计式得的弧长

6．用积分估计式证明：若在整个复平面上有界，则正整数时

其中为圆心在原点半径为的正向圆周。

证明：记，则由积分估计式得，因，因此上式两端令取极限，由夹比定理，得，证毕。

7．通过分析被积函数的奇点分布情况说明下列积分为0的原因，其中积分曲线皆为。

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

解：各积分的被积函数的奇点为：（1），（2）

即，（3）

（4）为任意整数，（5）被积函数处处解析，无奇点

不难看出，上述奇点的模皆大于1，即皆在积分曲线之外，从而在积分曲线内被积函数解析，因此根据柯西基本定理，以上积分值都为0。

8．计算下列积分：

（1）

（2）

（3）

解：以上积分皆与路径无关，因此用求原函数的方法：

（1）

（2）

（3）

9．计算，其中为不经过的任一简单正向闭曲线。

解：被积函数的奇点为，根据其与的位置分四种情况讨论：

（1）皆在外，则在内被积函数解析，因而由柯西基本定理

（2）在内，在外，则在内解析，因而由柯西积分

公式：

（3）同理，当在内，在外时，（4）皆在内

此时，在内围绕分别做两条相互外离的小闭合曲线，则由复合闭路原理得：

注：此题若分解，则更简单！

10．计算下列各积分

解：（1），由柯西积分公式

（2），在积分曲线内被积函数只有一个奇点，故此同上题一样：

（3）

在积分曲线内被积函数有两个奇点，围绕分别做两条相互外离的小闭合曲线，则由复合闭路原理得：

（4），在积分曲线内被积函数只有一个奇点1，故此

（5），在积分曲线内被积函数有两个奇点，围绕分别做两条相互外离的小闭合曲线，则由复合闭路原理得：

（6）为正整数，由高阶导数公式

11．计算积分，其中为

（1）

（2）

（3）

解：（1）由柯西积分公式

（2）同理，由高阶导数公式

（3）由复合闭路原理，其中，为内分别围绕0，1且相互外离的小闭合曲线。

12．积分的值是什么？并由此证明

解：首先，由柯西基本定理，因为被积函数的奇点在积分曲线外。

其次，令，代入上述积分中，得

考察上述积分的被积函数的虚部，便得到，再由的周期性，得

即，证毕。

13．设都在简单闭曲线上及内解析，且在上，证明在内也有。

证明：由柯西积分公式，对于内任意点，由已知，在积分曲线上，故此有

再由的任意性知，在内恒有，证毕。

14．设在单连通区域内解析，且，证明

（1）

在内；

（2）

对于内任一简单闭曲线，皆有

证明：（1）显然，因为若在某点处则由已知，矛盾！

（也可直接证明：，因此，即，说明）

（3）

既然，再注意到解析，也解析，因此由函数的解析性法则知也在区域内解析，这样，根据柯西基本定理，对于内任一简单闭曲线，皆有，证毕。

15．求双曲线

（为常数）的正交（即垂直）曲线族。

解：为调和函数，因此只需求出其共轭调和函数，则

便是所要求的曲线族。为此，由柯西—黎曼方程，因此，再由

知，即为常数，因此，从而所求的正交曲线族为

（注：实际上，本题的答案也可观察出，因极易想到

解析）

16．设，求的值使得为调和函数。

解：由调和函数的定义，因此要使为某个区域内的调和函数，即在某区域内上述等式成立，必须，即。

17．已知，试确定解析函数

解：首先，等式两端分别对求偏导数，得

----------------------------------（1）

-------------------------------（2）

再联立上柯西—黎曼方程

------------------------------------------------------（3）

----------------------------------------------------（4）

从上述方程组中解出，得

这样，对积分，得再代入中，得

至此得到：由二者之和又可解出，因此，其中为任意实常数。

注：此题还有一种方法：由定理知

由此也可很方便的求出。

18．由下列各已知调和函数求解析函数

解：（1），由柯西—黎曼方程，对积分，得，再由得，因此，所以，因，说明时，由此求出，至此得到：，整理后可得：

（2），此类问题，除了上题采用的方法外，也可这样：，所以，其中为复常数。代入得，故此

（3）

同上题一样，因此，其中的为对数主值，为任意实常数。

（4），对积分，得

再由得，所以为常数，由知，时，由此确定出，至此得到：，整理后可得

19．设在上解析，且，证明

证明：由高阶导数公式及积分估计式，得，证毕。

20．若在闭圆盘上解析，且，试证明柯西不等式，并由此证明刘维尔定理：在整个复平面上有界且处处解析的函数一定为常数。

证明：由高阶导数公式及积分估计式，得，柯西不等式证毕；下证刘维尔定理：

因为函数有界，不妨设，那么由柯西不等式，对任意都有，又因处处解析，因此可任意大，这样，令，得，从而，即，再由的任意性知，因而为常数，证毕。

习题四答案

1．考察下列数列是否收敛，如果收敛，求出其极限．

（1）

解：因为不存在，所以不存在，由定理4.1知，数列不收敛．

（2）

解：，其中，则

．

因为，所以

由定义4.1知，数列收敛，极限为0．

（3）

解：因为，所以

由定义4.1知，数列收敛，极限为0．

（4）

解：设，则，因为，都不存在，所以不存在，由定理4.1知，数列不收敛．

2．下列级数是否收敛？是否绝对收敛?

(1)

解：，由正项级数的比值判别法知该级数收敛，故级数收敛，且为绝对收敛．

(2)

解：，因为是交错级数，根据交错级数的莱布尼兹审敛法知该级数收敛，同样可知，也收敛，故级数是收敛的．

又，因为发散，故级数发散，从而级数条件收敛．

(3)

解：，因级数发散，故发散．

(4)

解：，由正项正项级数比值判别法知该级数收敛，故级数收敛，且为绝对收敛．

3．试确定下列幂级数的收敛半径．

(1)

解：，故此幂级数的收敛半径．

(2)

解：，故此幂级数的收敛半径．

(3)

解：，故此幂级数的收敛半径．

(4)

解：令，则，故幂级数的收敛域为，即，从而幂级数的收敛域为，收敛半径为．

4．设级数收敛，而发散，证明的收敛半径为．

证明：在点处，因为收敛，所以收敛，故由阿贝尔定理知，时，收敛，且为绝对收敛，即收敛．

时，因为发散，根据正项级数的比较准则可知，发散，从而的收敛半径为1，由定理4.6，的收敛半径也为1．

5．如果级数在它的收敛圆的圆周上一点处绝对收敛，证明它在收敛圆所围的闭区域上绝对收敛．

证明：时，由阿贝尔定理，绝对收敛．

时，由已知条件知，收敛，即收敛，亦即绝对收敛．

6．将下列函数展开为的幂级数，并指出其收敛区域．

（1）

解：由于函数的奇点为，因此它在内处处解析，可以在此圆内展开成的幂级数．根据例4.2的结果，可以得到

．

将上式两边逐项求导，即得所要求的展开式

=．

（2）

解：①时，由于函数的奇点为，因此它在内处处解析，可以在此圆内展开成的幂级数．

===．

②时，由于函数的奇点为，因此它在内处处解析，可以在此圆内展开成的幂级数．

=

=．

（3）

解：由于函数在复平面内处处解析，所以它在整个复平面内可以展开成的幂级数．

．

（4）

解：由于函数在复平面内处处解析，所以它在整个复平面内可以展开成的幂级数．

（5）

解：由于函数在复平面内处处解析，所以它在整个复平面内可以展开成的幂级数．

=．

（6）

解：由于函数在复平面内处处解析，所以它在整个复平面内可以展开成的幂级数．

=

==．

7．求下列函数展开在指定点处的泰勒展式，并写出展式成立的区域．

（1）

解：，．

由于函数的奇点为，所以这两个展开式在内处处成立．所以有：

．

（2）

解：由于

所以．

（3）

解：

=．

展开式成立的区域：，即

（4）

解：，，……，，……，故有

因为的奇点为，所以这个等式在的范围内处处成立。

8．将下列函数在指定的圆域内展开成洛朗级数．

(1)

解：，故有

(2)

解：

①在内

②在内

(3)

解：①在内，②在内

(4)

解：在内

(5)

解：

在内

故有

9．将在的去心邻域内展开成洛朗级数．

解：因为函数的奇点为，所以它以点为心的去心邻域是圆环域．在内

又

故有

10．函数能否在圆环域内展开为洛朗级数？为什么？

答：不能。函数的奇点为,，所以对于，内都有的奇点，即以为环心的处处解析的圆环域不存在，所以函数不能在圆环域内展开为洛朗级数．

习题五答案

1．求下列各函数的孤立奇点，说明其类型，如果是极点，指出它的级．

（1）

解：函数的孤立奇点是，因

由性质5.2知，是函数的1级极点，均是函数的2级极点．

（2）

解：函数的孤立奇点是，因，由极点定义知，是函数的2级极点．

（3）

解：函数的孤立奇点是，因，由性质5.1知，是函数可去奇点．

（4）

解：函数的孤立奇点是,①，即时，因

所以是的3级零点，由性质5.5知，它是的3级极点

②，时，令，因，由定义5.2知，是的1级零点，由性质5.5知，它是的1级极点

（5）

解：函数的孤立奇点是,令，①

时，，由定义5.2知，是的2级零点，由性质5.5知，它是的2级极点，故是的2级极点．

②时，，由定义5.2知，是的1级零点，由性质5.5知，它是的1级极点，故是的１级极点．

（６）

解：函数的孤立奇点是，令，①

时，因，所以是的2级零点，从而它是的2级极点．

②时，，由定义5.2知，是的1级零点，由性质5.5知，它是的１级极点．

2．指出下列各函数的所有零点，并说明其级数．

（1）

解：函数的零点是，记，①

时，因，故是的2级零点．

②时，，由定义5.2知，是的1级零点．

（2）

解：函数的零点是，因，所以由性质5.4知，是的2级零点．

（3）

解：函数的零点是，，记，①

时，是的1级零点，的1级零点，的2级零点，所以是的4级零点．

②，时，，由定义5.2知，是的1级零点．

③，时，，由定义5.2知，是的1级零点．

3．是函数的几级极点？

答：记，则，，，将代入，得：，由定义5.2知，是函数的5级零点，故是的10级极点．

4．证明：如果是的级零点，那么是的级零点．

证明：因为是的级零点，所以，即，由定义5.2知，是的级零点．

5．求下列函数在有限孤立奇点处的留数．

（1）

解：函数的有限孤立奇点是，且均是其1级极点．由定理5.2知，．

（2）

解：函数的有限孤立奇点是，且是函数的3级极点，由定理5.2，．

（3）

解：函数的有限孤立奇点是，因

所以由定义5.5知，．

（4）

解：函数的有限孤立奇点是，因

所以由定义5.5知，．

（5）

解：函数的有限孤立奇点是，因

所以由定义5.5知，．

（6）

解：函数的有限孤立奇点是．

①，即，因为

所以是的2级极点．由定理5.2，．

②时，记，则，因为，所以由定义5.2知，是的1级零点，故它是的1级极点．由定理5.3，．

6．利用留数计算下列积分（积分曲线均取正向）．

（1）

解：是被积函数在积分区域内的有限孤立奇点，且为2级极点，由定理5.2，由定理5.1知，．

（2）

解：是被积函数在积分区域内的有限孤立奇点，且为1级极点，所以由定理5.1及定理5.2，．

（3）

解：是被积函数在积分区域内的有限孤立奇点，因为，所以由性质5.1知是函数的可去奇点，从而由定理5.1，由定理5.1，．

（4）

解：是被积函数在积分区域内的有限孤立奇点，且为2级极点，由定理5.2，由定理5.1，．

（5）

解：是被积函数在积分区域内的有限孤立奇点，由性质5.6知是函数的1级极点，由定理5.1，．

（6）

解：被积函数在积分区域内的有限孤立奇点为：，由定理5.3，这些点均为的1级极点，且

由定理5.1，．

7．计算积分，其中为正整数，．

解：记，则的有限孤立奇点为，且为级极点，分情况讨论如下：

①时，均在积分区域内，由定理5.1，故有．

②时，均不在积分区域内，所以．

③时，在积分区域内，不在积分区域内，所以

习题五

8．判断是下列各函数的什么奇点？求出在的留数。

解：（1）因为

所以，是的可去奇点，且。

（2）因为

所以

于是，是的本性奇点，且。

（3）因为

所以

容易看出，展式中由无穷多的正幂项，所以是的本性奇点。

（4）因为

所以是的可去奇点。

9．计算下列积分：

解：（1）

（2）

从上式可知，所以。

10．求下列各积分之值：

（1）解：设则。于是

（2）解：设则。于是

（3）解：显然，满足分母的次数至少比分子的次数高二次，且在实轴上没有奇点，积分是存在的。在上半平面内只有一个奇点，且为2级极点。于是

（4）解：

显然，满足分母的次数至少比分子的次数高二次，且在实轴上没有奇点，积分是存在的。在上半平面内只有和二个奇点，且都为1

级极点。于是

所以

（5）解：显然，满足分母的次数至少比分子的次数高一次，且在实轴上没有奇点，在上半平面内只有一个奇点，且为1

级极点。于是

（6）解：显然，满足分母的次数至少比分子的次数高一次，且在实轴上没有奇点，在上半平面内只有一个奇点，且为1

级极点。于是

11．利用对数留数计算下列积分：

解：（1），这里为函数在内的零点数，为在内的极点数。

（2）

这里为函数在内的零点数，为在内的极点数；为函数在内的零点数，为在内的极点数。

(3)

这里为函数在内的零点数，为在内的极点数。

(4)

这里为函数在内的零点数，为在内的极点数。

12．证明方程有三个根在环域内

证明：令。因为当时，有

所以，方程与在内根的数目相同，即4个。

又当时，有

所以，方程与在内根的数目相同，即1个。

综合上述得到，在环域内有3个根。

13．讨论方程在与内各有几个根。

解：令。因为当时，有

所以，方程与在内根的数目相同，即1个。

又当时，有

所以，方程与在内根的数目相同，即4个。

根据上述还可以得到，在环域内有3个根。

14．当时，证明方程与在单位圆内有n个根。

证明：令。因为当时，有

所以，当时，方程与在内根的数目相同，即n个。

习题七答案

1．试证：若满足傅氏积分定理的条件，则有

证明：根据付氏积分公式，有

2．求下列函数的傅氏变换：

（1）

（2）

（3）

（4）

解：（1）

f(t)

(2)

(3)

(4)

由于

所以

3．求下列函数的傅氏变换，并推证所列的积分等式。

(1)

证明

(2)

证明。

解：(1)

由傅氏积分公式，当时

所以，根据傅氏积分定理

(2)

由傅氏积分公式

所以，根据傅氏积分定理

5．求下列函数的傅氏变换：

(1)

(2)

(3)

(4)

解：（1）

(2)

(3)

由于

所以

(4)

由于

所以

6．证明：若其中为一实函数，则

其中为的共轭函数。

证明：由于

所以

于是有

7．若，证明（翻转性质）。

证明：由于

所以

对上述积分作变换，则

8．证明下列各式：

(1)

（为常数）；

(2)

证明：（1）

（2）

9．计算下列函数和的卷积：

(1)

(2)

(2)

(2)

解:

(1)

显然，有

当时，由于=0，所以；

当时，（2）显然，有

所以，当

或

或

时，皆有=0。于是

当时，；

当时，；

当时。

又

所以

从而

当时，当时，总结上述，得。

10．求下列函数的傅氏变换：

(1)

(2)

(3)

(4)

解：（1）由于

根据位移性质

（2）

（3）根据位移性质

再根据像函数的位移性质

（4）由于

根据微分性质

再根据位移性质。

习题八

1．求下列函数的拉氏变换：

(1)

解：由拉氏变换的定义知：

(2)

解：由拉氏变换的定义以及单位脉动函数的筛选性质知：

2.求下列函数的拉氏变换：

(1)

解：由拉氏变换的线性性质知：

(2)

解：由拉氏变换的线性性质和位移性质知：

(3)

解：法一：利用位移性质。

由拉氏变换的位移性质知：

法二：利用微分性质。

令

则

由拉氏变换的微分性质知：

即

(4)

解：因为

故由拉氏变换的位移性知：

(5)

解：

故

(6)

解：因为

即：

故

(7)

解：

法一：利用拉氏变换的位移性质。

法二：利用微分性质。

令则

由拉氏变换的微分性质知：

又因为

所以

(8)

解：法一：利用拉氏变换的位移性质。

因为

故

法二：利用微分性质。

令，则

故

由拉氏变换的微分性质知：.故

3.利用拉氏变换的性质计算下列各式：

(1)

求

解：因为

所以由拉氏变换的位移性质知：

(2)

求

解：设

则

由拉氏变换的积分性质知：

再由微分性质得：

所以

4.利用拉氏变换的性质求

(1)

解：法一：利用卷积求解。

设

则

而

由卷积定理知：

法二：利用留数求解。

显然在内有两个2级极点。除此外处处解析，且当时，故由定理8.3知：

(2)

解：法一：利用卷积求解。

设

则

而

由卷积定理知

法二：用留数求解。

显然在内有两个2级极点。除此外处处解析，且当时，故由定理8.3知：

法三：利用拉氏变换积分性质求解。

由(1)题知

故

即

5.利用积分性质计算

(1)

解：设

由拉氏变换的微分性质得：

所以

(2)

解：在(1)题中取得

由拉氏变换的位移性质知：

再由拉氏变换的积分性质得

6.计算下列积分：

(1)

解：

由拉氏变换表知：取

则

(2)

解：

7．求下列函数的拉氏逆变换：

(1)

解：因

取得

故

(2)

解：因为

而

所以

(3)

解：设则是的四级极点。

除此外处处解析，且当时，故由定理8.3知：

下面来求留数。

因为

故.所以

(4)

解：设

则在内具有两个单极点

除此外处处解析，且当时，故由定理8.3得：

(5)

解：设

分别为的一阶、二阶极点。显然满足定理8.3的条件，故由定理8.3知：

(6)

解：设

显然

查表知

故由卷积定理得：

(7)

解：设

则

因为

所以

故

(8)

解：，因为

所以

即：

8.求下列函数的拉氏逆变换：

(1)

解：

由拉氏变换表知：

所以

(2)

解：

而

所以

(3)

解：设

则

设

则

由卷积定理知，所以

(4)

解：设

则

设

则

故

所以

(5)

解：

因为

故由卷积定理知：

又因为

所以

(6)

解：

由拉氏变换表知：

所以

9.求下列卷积：

(1)

解：`因为

所以

(2)

（m,n为正整数）；

解：

(3)

解：

(4)

解：

(5)

解：因为

当时，故当

时，即

(6)

解：设

则

所以当

即

时，上式为0.当

即

时，由函数的筛选性质得：

10.利用卷积定理证明下列等式：

(1)

证明：因为

故由卷积定理：

也即，证毕。

(2)

证明：因为

故由卷积定理知：

证毕。

11.解下列微分方程或微分方程组：

(1)

解：设

对方程两边取拉氏变换，得

代入

得：

用留数方法求解拉氏逆变换，有：

(2)

解：设

对方程两边同时取拉氏变换，得

代入初值条件，得：

求拉氏逆变换得方程的解为：

(3)

解：设

用拉氏变换作用方程两边，得：

代入初值条件，有：

即：

因为

所以由卷积定理求拉氏逆变换得：

(4)

解：设

用拉氏变换作用在方程两边得：

将初始条件代入，得：

因为

所以

因此

故方程的解：

(5)

解：设

对方程两边取拉氏变换，得：

代入初始条件，整理得：

由例8.16知：

又因为

故

因为

所以方程的解

(6)

解：设

对方程组的每个方程两边分别取拉氏变换，并考虑到初始条件得：

求解该方程组得：

取拉式逆变换得原方程组的解为：

(7)

解：设

对方程组的每个方程两边分别取拉氏变换，并考虑到初始条件得：

整理计算得：

下求的拉氏逆变换：

因为

故由卷积定理可得

同理可求

所以方程组的解为

(8)

解：设

对方程组的每个方程两边分别取拉氏变换，并考虑到初始条件得：

解此方程组得：

取拉氏逆变换得原方程组的解为：

12.求解积分方程

解：令

由卷积定理

知

将拉氏变换作用于原方程两端，得：

也即：

取拉式逆变换得原方程的解为：

第三篇：复变函数小结

复变函数小结 第一章 复变函数

1)掌握复数的定义(引入),知道复数的几何意义(即复数可看成复数平面的一个点也可以表示为复数平面上的向量)2)掌握 复数的直角坐标表示与三角表示式及指数表示式的关系.3)掌握复数的几种运算:(1)相等;(2)加法;(3)减法;(4)乘法;(5)除法;(6)开方;(7)共轭.需要注意的是开方 : 开n次有n个根.例题

nz1n1ei02kn1ei02kn,k0,1,2,n1

4)掌握复变函数的定义,知道复变函数的极限与连续的定义.5)熟悉几个常用的基本初等函数及性质:(1)多项式;(2)有理分式;(3)根式;(4)指数;(5)三角函数.6)掌握复变函数导数的定义, 因复变函数导数的定义在形式上跟实变函数的导数定义一样,故实变函数中关于导数的规则和公式在复变函数情况仍适用.7)复变函数可导的充要条件是:(1)函数f(z)的实部u 与虚部的偏导数存在,且连续.uuvv，,xyxy(2)满足 C-R条件

uvuv,.xyyx8)知道复变函数解析的定义,复变函数解析,可导及连续的关系.9)解析函数的性质:

(1)若f(z)在区域B上解析,则f(z)的实部u与虚部v的等值(势)线互相正交.(2)若f(z)在区域B上解析,则f(z)的实部u与虚部v均为调和函数.(3)若f(z)在区域B上解析,则f(z)的实部u与虚部v 不是独立的,可由己知解析函数的实部u(或v)求出解析函数f(z).具体求法有3种

:1.直接积分法;2.凑全微分法;3.路径积分法.10)解析函数性质的应用:

平面标量场.11)知道复变函数中多值性的起源在于幅角,只需对幅角作限定(一般限定在主值范围,且一般把幅角作限定的复变平面称为黎曼面.),多值函数就退化为单值函数.第二章 复变函数的积分

1)知道复变函数积分的定义,以及它与实变函数的路径的关系.2)掌握单连通区域与复连通区域上Cauchy定理及数学表示式:fzdz0(1)其中l为区域的所有边界线.l

对单连通区域(1)可表示为

lfzdzn0,(2)对复连通区域(1)也可表示为:

fzdzfzdzli1ci(3)其中l为区域的外边界线,ci为区域的内边界线.(3)式反映对复连通区域的解析函数沿外边界的积分值与沿内边界积分的关系.作为(3)式一个特例: 包含一个奇点的任意一个闭合曲线积分值相同,它为求积分带来方便.nzadzl0,n1一个重要的积分公式: zandz2i,n1

l其中l 包含a 点.Cauchy定理为本章的重点.3)解析函数的不定积分.fzf'12i12illfdzz),4)Cauchy公式

zz(lfd2, ,fnn!2i(fdz)n1若对复连通区域 l 为区域的所有边界线.第三章 幂级数

1)了解一般的复数项级数,知道级数收敛的Cauchy判据,绝对收敛与一致收敛的概念,掌握外氏定理及运用.2)掌握幂级数的一般形式,收敛半径的计算(Rlimnanan1)，知道幂级数在收敛圆内绝对且一致收敛，能逐项求导与积分.3)掌握解析函数在单连通区域的Taylor 展开式: fzazzk0k0k,akfkz0k!

知道Taylor 展开式是唯一的,即同一个函数在同一区域的展开式不管用什么方法得出其结果是相同的.熟悉一些基本的Taylor 展开式: 例1ez,2cosz,sinz,311z,4ln1z

知道函数在无穷运点的展开式.4)掌握解析函数在复连通区域的洛朗 展开式: fzazkkz0,其中akk2ic1fdz0k1，c为环域内任一沿逆时针方向的闭合曲线.知道洛朗 展开式是唯一的,即同一个函数在同一环域的展开式不管用什么方法得出其结果是相同的.所以对洛朗展开可利用熟悉的一些基本Taylor展开式来处理,例如对有理分式总可以把它分解为一系列最简单的有理分式（1zz0)之和, 而对1zz0能用等比级数来展开(关键是满足公比的绝对值小11z于1).并与

k0z,z1 比较.知道在什么情况下洛

k朗展开就退化为Taylor展开.5)掌握孤立奇点的分类方法:(1)可去奇点:设z0是f(z)的奇点当f(z)在z=z0的邻域上展开时,其洛朗展开式中没有负幂项,就称z0是f(z)的可去奇点.性质limfza

a为常数.zz0(2)m阶极点: 设z0是f(z)的奇点当f(z)在z=z0的邻域上展开时,其洛朗展开式中有有限项负幂项,其负幂项的最高幂为m,就称z0是f(z)的m阶极点.性质limfzzz0.(4)本性奇点: 设z0是f(z)的奇点当f(z)在z=z0的邻域上展开时,其洛朗展开式中有无穷多项负幂项,就称z0是f(z)的本性奇点.性质limfz不存在zz0

知道函数在无穷运点奇点的分类.第四章 留数定理

1)掌握留数定理及其计算

fzdzl2iResfzi,其中zi为l内的奇点i1n 2)掌握留数计算的两种方法

(1)洛朗展开 : 设z0是f(z)的奇点当f(z)在z=z0的邻域上展开时,其洛朗展开式中的负一次幂的系数a-1=Resf(z0).任何情况都适合.(2)对m阶极点Resfz0limmzz01dn1n11!dzzz0fz,作为一个特例,若f(z)=P(z)/ Q(z),当f(z)为一阶极点, Pz00,Qz00,Resfz0 'Qz0Pz0主要处理有理分式中分母为单根情况.3)应用留数定理计算实变函数定积分 •类型一

20zz1zz1Rcos,sindR,22iz1dziz2iResfzi,11izzi为fz在单单位圆的奇点zz1zz1,fzR,22i

•1)被积函数为三角函数的有理分式.2)积分区域为[0,2π] 作变换z=eiθ,当θ从变到2π时,复变数z恰好在单位圆上走一圈.类型二

积分条件: 1)积分区域为(-∞,∞)

2)f(z)在实轴有一价极点bk,且在上半平面除有限个奇点ak外是解析的，3)当z→∞时,zf(z)→0 fxdx2iResfakiResfbk.(2)

k1k1mp

类型三

(m>0)fxeimxdx,令Fzfzeimz

积分条件: 1)积分区域为(-∞,∞)

2)f(z)在实轴有一价极点bk,且在上半平面除有限个奇点ak外是解析的，3)当z→∞时,f(z)→0, fxeimxdx2iResFakiResFbkk1k1mp

(3)当f(x)为奇函数时(3)为fxsin0mxdx[ResFakk1m1pRe2k1sFbk]当fx为偶函数时,mfxeimxdx2fxcosmxdx,0

fxcosmxdx0i[ResFakk11pRe2k1sFbk]

第四篇：复变函数教案1.1

第一章

复数与复变函数

教学课题：第一节 复数

教学目的：

1、复习、了解中学所学复数的知识；

2、理解所补充的新理论；

3、熟练掌握复数的运算并能灵活运用。

教学重点：复数的辐角 教学难点：辐角的计算 教学方法：启发式教学

教学手段：多媒体与板书相结合 教材分析：复变函数这门学科的一切讨论都是在复数范围内进行的，它是学好本们课程的基础。因此，复习、了解中学所学复数的知识，理解所补充的新理论，熟练掌握复数的运算并能灵活运用显得尤为重要。教学过程：

1、复数域：

每个复数z具有xiy的形状，其中别称为

x和yR，i1是虚数单位；

x和y分z的实部和虚部，分别记作xRez，yImz。

复数z1x1iy1和z2x2iy2相等是指它们的实部与虚部分别相等。

z可以看成一个实数；如果Imz0，那么z称为一个虚数；如果Imz0，而Rez0，则称z为一个纯虚数。如果Imz0，则复数的四则运算定义为：

(a1ib1)(a2ib2)(a1a2)i(b1b2)(a1ib1)(a2ib2)(a1a2b1b2)i(a1b2a2b1)

(a1ib1)a1a2b1b2a2b1a1b2)2i 222(a2ib2)a2b2a2b2复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C。

2、复平面：

C也可以看成平面R，我们称为复平面。

2作映射：CR2:zxiy(x,y)，则在复数集与平面R2之建立了一个1-1对应。横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z-平面，w-平面等。

3、复数的模和辐角

复数可以等同于平面中的向量，z(x,y)xiy。

x2y2向量的长度称为复数的模，定义为：|z|；

向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：Argzarctany2i（kZx）。

tany,Argz我们知道人亦非零复数有无限多个辐角，今以xargz表示其中的一个特定值，并称合条件

argz的一个为主值，或称之为z的主辐角。于是，Argzargz2k,(k0,1,2,)。注意，当z=0时辐角无异议。当z0时argz表示z的主辐角,它与反正切Arctan的主值arctan（argz，arctan）

22yxy有如下关系xyxyarctan,当x0,y0;x,当x0,y0;2yarctan,当x0,y0;argzx(z0)yarctan,当x0,y0;x-,当x0,y0;2复数的三角表示定义为：z|z|(cosArgzisinArgz)； 复数加法的几何表示： 设z1、z2是两个复数，它们的加法、减法几何意义是向量相加减，几何意义如下图：

yz2z1z2z2z1xz1z20z2关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：（1）、|z1z2||z1||z2|；（2）、|z1z2|||z1||z2||；（3）、|z1z2||z1||z2|；（4）、|z1z2|||z1||z2||；（5）、|Rez||z|,|Imz||z|；（6）、|z|2zz； 例1 试用复数表示圆的方程：

a(x2y2)bxcyd0

（a0）

其中，a,b,c,d是实常数。

解：方程为

azzzzd0，其中(bic)。

例

2、设z1、z2是两个复数，证明

z1z2z1z2,z1z2z1z2

12z1z1

利用复数的三角表示，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法：设z1、z2是两个非零复数，则有 z1|z1|(cosArgz1isinArgz1)z2|z2|(cosArgz2isinArgz2)

则有

z1z2|z1||z2|[cos(Argz1Argz2)isin(Argz1Argz2)]

即|z1z2||z1||z2|，Arg(z1z2)Argz1Argz2，其中后一个式子应理解为集合相等。

同理，对除法，有

z1/z2|z1|/|z2|[cos(Argz1Argz2)isin(Argz1Argz2)]

即|z1/z2||z1|/|z2|，Arg(z1/z2)Argz1Argz2，其后一个式子也应理解为集合相等。

例

3、设z1、z2是两个复数，求证：

|z1z2|2|z1|2|z2|22Re(z1z2)，例

4、作出过复平面C上不同两点a,b的直线及过不共线三点 a,b,c的圆的表示式。解：直线：Imza0； bazaca)0 圆：Im(zbcb4、复数的乘幂与方根

利用复数的三角表示，我们也可以考虑复数的乘幂：

ab

abc

zn|z|n(cosnArgzisinnArgz)rn(cosnisinn)从而有znz,当r1时,则得棣莫弗(DeMoivre)公式1，则 znn

令znzn|z|n[cos(nArgz)isin(nArgz)]

进一步，有

11zn|z|[cos(Argz)isin(Argz)]

nn1n共有n-个值。

例

4、求4(1i)的所有值。解：由于1i2(cos4isin)，所以有 4411(2k)isin(2k)] 4444(1i)82[cos4(1i)82[cos(16kk)isin()]2162其中，k0,1,2,3。

5、共轭复数

复数的共轭定义为：zxiy；显然zz,ArgzArgz,这表明在复平面上,z与z两点关于实轴是对称的

我们也容易验证下列公式：(1),zz,z1z2z1z2,(2),z1z2z1z2,(2z1z)1(z20),z2z2zzzz ,Imz,22i(4),设R(a,b,c)表示对于复数a,b,c的任一有理运算,则(3),zzz,RezR(a,b,c)R(a,b,c)

6、作业：

第五篇：复变函数教案7.3.2

第七章 共形映射

教学课题：第三节

黎曼存在定理

教学目的：

1、充分理解黎曼存在定理极其重要意义；

2、充分了解边界对应定理；

3、了解线性变换的不动点；

4、掌握线性变换的保形性、保圆性、保交比性、保对称点性。

教学重点：线性变换的保形性、保圆性、保交比性、保对称点性 教学难点：线性变换的保交比性、保对称点性 教学方法：启发式、讨论式 教学手段：多媒体与板书相结合

教材分析：由于线性变换的保形性、保圆性、保交比性和保对称点性，它在处理边界为圆弧或直线的区域的变换中，起着重要的作用。教学过程：

8、实例：

在解决某些实际问题以及数学理论问题时，我们往往要把有关解析函数的定义域保形映射成较简单的区域，以便进行研究及计算，我们下面给出几个实例。例

1、求作一个单叶函数，把半圆盘|z|<1，Imz>0保形映射成上半平面。解：因为圆及实轴在-1及+1直交，所以作分式线性函数

z1，w'z1把-1及+1分别映射成w'平面上的0及两点，于是把|z|=1及Imz=0映射成w'平面上在原点互相直交上面的两条直线。

由于分式线性函数中的系数是实数，所以z平面上的实轴映射成w'平面上的实轴；又由于z=0映射成w'=-1，半圆的直径AC映射成w'平面上的负半实轴。

yDABCxCB(1)OA(0)CD(1)A(0)B(1)OD(i)Cz平面w'平面w平面i1显然圆|z|=1映射成w'平面上的虚轴；又由于z=i映射成w'i，i1半圆ADC映射成w'平面上的下半虚轴。

根据在保形映射下区域及其边界之间的对应关系，已给半圆盘映射到w'平面上的的区域，应当在周界ABC的左方，因此它是第三象限最后作映射

argw'2。

ww'2，当w'在第三象限中变化时，argw'在2及3之间变化。因此w'平面上的第三象限就映照成w平面上的上半平面。因此，所求单叶函数为：

例

2、求作一个单叶函数，把z平面上的带形0Imz保形映射成w平面上的单位圆|w|<1。解：函数

z12ww'()。

z12w'ez，把z平面上的已给带形保形映射成w'平面上的上半平面。

y取

iiw'

1xOOi平面上

Oz平面w'平面w平面关于实轴的对称点-i及i，那么函数

w'i, ww'i把的w'平面上的上半平面保形映射成w平面上的单位圆|w|<1。

因此，我们得到

eziwz.ei

例

3、求作一个单叶函数，把扩充z平面上单位圆的外部|z|>1保形映射成扩充w平面上去掉割线1Rew1,Imw0而得的区域。解：容易验证，分式线性函数

w1，w'w1把割线1Rew1,Imw0保形映射成

yw'平面上的负实轴，把扩充w平面上已给区域保形映射成w'平面上除去负实轴（包括0）而得的区域。

Ow'平面xOO11Cz平面平面w平面另一方面，分式线性函数

z1，z1把圆|z|=1保形映射成平面上的 虚轴。由于它把z=2映射成3，可见它

平面上的右半平面。显然

w'2，把扩充z平面上单位圆的外部|z|>1保形映射成把平面上的这一部分保形映射成w'平面上除去负实轴而得的区域。

因此我们得到

w1z1w1z1由此可得函数 w(z)2z即为所求函数。

例

4、求作一个单叶函数，把z平面上半带域射成w平面上的上半平面，并且使得

/2x/2,y0保形映

f(/2)1,f(0)0。

解：把坐标系按反时针方向旋转一个直角，并且应用指数函数做映射，我们求得函数

w'eiz，把上述半带域映射成w'平面上的半圆盘。

yyDDA()CB(1)C(0)ABCxODBxw1平面OA(1)AB(0)C(1)z平面w'平面w平面

把坐标系按反时针方向旋转一个直角，并且应用例1中的映射，得到函数

iw'1w1iw'1这时z把w12，因此，我们得到把以给半带域保形映射成w1平面的上半平面的单叶函数，不过/2,0,/2分别被映射成w1,1,0。作分式线性函数，,1,0映射成w1,0,1：

w11w，w11最后得到所求的单叶函数：

(iw'1)2(iw'1)2w'211izizw(ee)sinz。22(iw'1)(iw'1)2iw'2i例

5、在z平面的上半平面上，沿虚轴作一长h为的割线。求作一个单叶函数，把上述半平面去掉割线而得的区域保形映射成w平面上的上半平面。

解：首先作映射，把割线去掉，使已给区域的全部边界都变到w'平面的实轴上。为此，用在上述区域内的单叶解析函数

w'z2，把z平面的第一及第二象限分别映射成w'平面的上半平面及下半平面。这时射线AD被映射成w'平面上正实轴的上沿，DC被映射成从0到h2的线段的上沿，CB被映射成这条线段的下沿，BA被映射成正实轴的下沿，于是z平面上已给区域yC(hi)C(h2)D(0)A()B(0)ABDA()xAB(h)w'平面A()C(0)D(h)OD(h2)C(0)A()w平面A()B(h2)z平面A()w1平面被保形影射成w'平面除去射线Imw'0,Rew'h2而得的区域。

显然，函数

w1w'h2，把w'平面的上述区域映射成w1平面上除去正实轴所得的区域；而函数

ww1，又把这一区域映射成w平面上的上半平面，其中取正值的一个解析分支。

结合以上讨论，我们得到所求的单叶函数是：

w1应理解为在正实轴的上沿ww1w'h2z2h2。