国开（中央电大）本科《复变函数》网上形考（任务1至3）试题及答案

国开(中央电大)本科《复变函数》网上形考(任务1至3)试题及答案

形考任务1

试题及答案

一、选择题

1.若z1=（a，b），z2=（c，d），则z1·z2=（）。

[答案]（ac-bd，bd+ad）

2.若R>0，则N（∞，R）={z：（）}。

[答案]丨z丨>R

3.若z=x+iy，则y=（）。

[答案]

4.若，则丨A丨=（）。

[答案]1

二、填空题

5.若z=x+iy，w=z2=u+iv，则v=_______.[答案]2xy

6.复平面上满足

Rez=4的点集为_______.[答案]{x：x=4，x∈R}

7._______称为区域。

[答案]连通的开集

8.设z0=x0+iy0，zn=xn+iyn（n=1，2，…），则{zn}以z0为极限的充分必要条件是=_______且=_______。

[答案]x0，y0

三、计算题

9.求复数

-1-i的实部、虚部、模与主辐角.[答案]

解：Re(-1-i)=-1

Im(-1-i)=-1

|-1-i|=

10.写出复数

-i的三角式.[答案]

11.写出复数的代数式.[答案]

解：

12.求根式的值.[答案]

四、证明题

13.证明：若，则a2+b2=1.证明：

14.证明：

证明：

形考任务2

试题及答案

一、选择题

1.若f（z）=x2-y2+2xyi，则=（）。

[答案]

2x+2yi

2.若f（z）=u（x，y）+iv（x，y），则柯西—黎曼条件为（）。

[答案]

3.若f（z）=z+1，则f（z）在复平面上（）。

[答案]处处解析

4.若f（z）在复平面解析，g（z）在复平面上连续，则f（z）+g（z）在复平面上（）。

[答案]连续

二、填空题

5.若f（z）在点a_______，则称a为f（z）的奇点.[答案]不解析

6.若f（z）在点z=1_______，则f（z）在点z=1解析.[答案]不解析

7.若f（z）=z2+2z+1，则f＇(z)=

_______.[答案]

2z+2

8.若，则f＇(1)=

_______.[答案]

三、计算题

9.设f（z）=zRe（z），求。

解：

=

10.设f（z）=excos

y

+

iexsin

y，求f＇(z)。

解：f(z)=excosy+iexsiny=ez,z=x+iy

u=excosy

v=exsiny

f(z)=u+iv

∴f(z)在复平面解析，且

=excosy+iexsiny

11.设f（z）=u+iv在区域G内为解析函数，且满足u=x3-3xy2，f（i）=0，试求f（z）。

解：依C-R条件有Vy=ux=3x2-3y2

则V（x1y）=3x2y-y3+c(c为常数)

故f(z)=x3-3xy2+i(3x2y-y3+c)=x3-3xy2+i(cx2y-y3)+ic

=z3+ic，为使f(i)=0,当x=0,y=1时，f(i)=0,有f(0)=-i+ic=0

∴c=1

∴f(z)=Z3+i

12.设f（z）=u+iv在区域G内为解析函数，且满足u=2（x-1）y，f（2）=-i，试求f（z）。

解：依C-R条件有Vy=ux=2y

∴V=

=y2+(x)

∴Vx=

∴(x)=

V=y2-x2+2x+c(c为常数)

∴f(z)=2(x-1)y+i(y2-x2+2x+c)

为使f(z)=-i,当x=2

y=0时,f(2)=ci=-i

∴c=-1

∴f(z)=2(x-1)y+i(y2-x2+2x-1)

=-(z-1)2i

四、证明题

13.试在复平面讨论的解析性。

解：令f(z)=u+iv

z=x+iy

则iz=i(x+iy)=-y+ix

∴u=-y

v=x

于是ux=0

uy=-1

Vx=1

Vy=0

∵ux、uy、vx在复平面内处处连接

又Ux=Vy

Uy=-Vx。

∴f(z)=iz在复平面解析。

14.试证：若函数f（z）在区域G内为解析函数，且满足条件f＇(z)=0，z∈G，则f（z）在G内为常数。

证：设f(z)=u+iv,z=x+iy,z∈G

∵f(z)在G内解析，Ux=Vy,Uy=-Vx

又

（z）=0,（z）=Ux+iVx

Ux=0

Vx=0

Uy=-Vx=0

Ux=Vy=0

U为实常数C1，V也为实常数C2，f(z)=C1+iC2=Z0

f(z)在G内为常数。

形考任务3

试题及答案

一、选择题

1.z=（）是根式函数的支点。

[答案]0

2.z=（）是函数的支点

[答案]0

3.ei=（）。

[答案]cos1+isin1

4.sin1=（）。

[答案]

二、填空题

5.cosi=_______。

[答案]

6.=_______。

[答案]e(cos1+isin1)

7.=_______。

[答案]

8.=_______。

[答案]

k为整数

三、计算题

9.设z=x+iy，计算

解:

∴

∴

=

=

10.设z=x+iy，计算

解:

∵

z

=

x+iy

∴

∴

∴

11.求方程2

Inz

=

πi的解。

解:

∵

lnz

=

∴

由对数函数的定义有:

Z=

∴

所给方程的解为z

=

i

12.求方程的解。

解:

∵

=

根据指数函数的定义有:

z=Ln(1+)

四、证明

13.试证：sin

2z

=

sin

z·cos

z。

证明：根据正弦函数及余弦正数定义有：

∴

sin2z=2sinz·cosz

14.证明：

证明:

令A=

B=sinx+sin2x+…sinnx

∴

=

∴