第一章
复数与复变函数
第一节
复数
1．复数域
每个复数具有的形状，其中和，是虚数单位；和分别称为的实部和虚部，分别记作。
复数和相等是指它们的实部与虚部分别相等。
如果，则可以看成一个实数；如果，那么称为一个虚数；如果，而，则称为一个纯虚数。
复数的四则运算定义为：
复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C。
2．复平面
C也可以看成平面，我们称为复平面。
作映射：，则在复数集与平面之建立了一个1-1对应。
横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为-平面，w-平面等。
3．复数的模与辐角
复数可以等同于平面中的向量。向量的长度称为复数的模，定义为：；
向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：
（）。
复数的共轭定义为：；
复数的三角表示定义为：；
复数加法的几何表示：
设、是两个复数，它们的加法、减法几何意义是向量相加减，几何意义如下图：
关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：
（1）、；（2）、；
（3）、；（4）、；
（5）、；（6）、；
例1．1试用复数表示圆的方程：
（）
其中a,b,c,d是实常数。
解：方程为，其中。
例1.2、设、是两个复数，证明
利用复数的三角表示，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法：设、是两个非零复数，则有,则有
即，其中后一个式子应理解为集合相等。
同理，对除法，有
即，其后一个式子也应理解为集合相等。
例1.3、设、是两个复数，求证：
例1.4、作出过复平面C上不同两点a,b的直线及过不共线三点
a,b,c的圆的表示式。
解：直线：；
圆：
4．复数的乘幂与方根
利用复数的三角表示，我们也可以考虑复数的乘幂：
令，则
进一步，有
共有-个值。
例1.5、求的所有值。
解：由于，所以有
其中。
第二节
复平面上的点集
1．初步概念：
设，的-邻域定义为
称集合为以为中心，为半径的闭圆盘，记为。
设，若中有无穷个点，则称为的极限点；
若，使得，则称为的内点；
若中既有属于的点，由有不属于的点，则称为的边界点；
集的全部边界点所组成的集合称为的边界，记为；
称为的闭包，记为；
若，使得，则称为的孤立点（是边界点但不是聚点）；
开集：所有点为内点的集合；
闭集：或者没有聚点，或者所有聚点都属于；则任何集合的闭包一定是闭集；
如果，使得，则称是有界集，否则称是无界集；
复平面上的有界闭集称为紧集。
例1.6、圆盘是有界开集；闭圆盘是有界闭集；
例1.7、集合是以为心，半径为的圆周，它是圆盘
和闭圆盘的边界。
例1.8、复平面、实轴、虚轴是无界集，复平面是无界开集。
例1.9、集合是去掉圆心的圆盘。圆心，它是的孤立点，是集合的聚点。
无穷远点的邻域：，集合称为无穷远点的一个邻域。类似地有，聚点、内点、边界点与孤立点，开集、闭集等概念。
我们也称为的一点紧化。
2．区域、曲线
复平面C上的集合，如果满足：
（1）、是开集；
（2）、中任意两点可以用有限条相衔接的线段所构成的折线连起来，而使这条折线上的点完全属于。
则称是一个区域。
结合前面的定义，有有界区域、无界区域。
性质（2）我们称为连通性，即区域是连通的开集。
区域内及其边界上全部点所组成的集称为闭区域。
扩充复平面上不含无穷远点的区域的定义同上；含无穷远点的区域是C上的一个区域与无穷远点的一个邻域的并集。
设已给
如果和都在闭区间上连续，则称集合为一条连续曲线。
如果对上任意不同两点及，但不同时是的端点，我们有，那么上述集合称为一条简单连续曲线，或若尔当曲线。若还有，则称为一条简单连续闭曲线，或若尔当闭曲线。
若尔当定理:
任意一条若尔当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共点的区域：一个有界的称为内区域，一个无界的称为外区域。
光滑曲线：
如果和都在闭区间上连续，且有连续的导函数，在上，则称集合为一条光滑曲线；类似地，可以定义分段光滑曲线。
设是一个区域，在复平面C上，如果内任何简单闭曲线的内区域中每一点都属于，则称是单连通区域，否则称是多连通区域。
中区域的连通性：如果内任何简单闭曲线的内区域或外区域中每一点都属于，则称是单连通区域，否则称是多连通区域。
例1.10集合为半平面，它是一个单连通无界区域，其边界为直线
即。
例1.11集合为一个垂直带形，它是一个单连通无界区域，其边界为直线及。
例1.12集合为一角形，它是一个单连通无界区域，其边界为半射线
及。
例1.13集合为一个圆环，它是一个多连通有界区域，其边界为圆及。
例1.14在上，集合与分别为单连通及多连通的无界区域，其边界分别为及。
第三节
复变函数
1．复变函数的概念
设在复平面C上以给点集。如果有一个法则，使得，同它对应，则称为在上定义了一个复变数函数，简称为复变函数，记为。
注解1、同样可以定义函数的定义域与值域；
注解2、此定义与传统的定义不同，没有明确指出是否只有一个和对应；
注解3、复变函数等价于两个实变量的实值函数：若，则等价于两个二元实变函数和。
函数也称为从到C上的一个映射或映照。把集合表示在一个复平面上，称为-平面；把相应的函数值表示在另一个复平面上，称为-平面。
从集合论的观点，令，记作，我们称映射把任意的映射成为，把集映射成集。
称及分别为和的象，而称和分别为及的原象。
若把中不同的点映射成中不同的点，则称它是一个从到的双射。
例1.15考虑映射。
解：设，，则有，这是一个平面到平面的双射，我们称为一个平移。
例1.16考虑映射，其中。
解：令，则它可以分解为以下两个映射的复合：，第一个映射是一个旋转（旋转角为），第二个映射是一个以原点为中心的相似映射。
例1.17考虑映射。
解：它可以分解为以下两个映射的复合：，映射是一个关于实数轴的对称映射；
映射把映射成，其辐角与相同：
而模，满足。我们称为关于单位圆的对称映射，与称为关于单位圆的互相对称点。
若规定把映射成，则它是一个扩充平面到扩充平面的一个双射。
例1.18、考虑映射。
解：等价于。
2．复变函数的极限
设函数在集合上确定，是的一个聚点，是一个复常数。如果任给，可以找到一个与有关的正数，使得当，并且时，则称为函数当趋于时的极限，记作：
注解：1、复变函数的极限等价于两个实变二元函数的重极限。
2、关于极限的和、差、积、商等性质可以不加改变的推广到复变函数。
3．复变函数连续性的定义
设函数在集合上确定，是的一个聚点，如果
成立，则称在处连续；如果在中每一点连续，则称在上连续。
注解1
如果，则在处连续的充要条件为：
即一个复变函数的连续性等价于两个实变二元函数的连续性；
注解2
连续函数的四则运算结论成立：两个复变函数连续的加、减、乘、除（分母不等于零）是复变函数连续；
注解3
如果函数在集上连续，并且函数值属于集，而在集上，函数连续，那么复合函数在上连续。
4．一致连续性
设函数在集合上确定，如果任给，可以找到一个仅与有关的正数，使得当，并且时，则称函数在上一致连续。
定理1.1、设函数在简单曲线或有界闭区域上连续，那么它在上一致连续。
定理1.2、设函数在简单曲线或有界闭区域上连续，那么它在上有界，即在集上有界。
定理1.3、设函数在简单曲线或有界闭区域上连续，那么在上达到它的最大模和最小模。
5．无穷大极限
设函数在复平面上的区域或闭区域上确定，是的一个聚点，不属于。如果任给，可以找到一个与有关的正数，使得当，并且时，则称当趋于时，函数趋于无穷大，记作：
设函数在复平面上的无界区域或闭区域上确定。是一个有限复常数。如果任给，可以找到一个与有关的正数，使得当，并且时，则称当趋于时，函数趋于极限，记作：
第四节
复球面与无穷远点
在点坐标是的三维空间中，把
xOy面看作就是面。考虑球面：
取定球面上一点称为球极。
我们可以建立一个复平面C到之间的一个1-1对应：。
我们称上面的映射为球极射影。
对应于球极射影为，我们引入一个新的非正常复数无穷远点，称为扩充复平面，记为。
关于，其实部、虚部、辐角无意义，模等于；基本运算为（为有限复数）：；
。
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