第五章
洛朗级数
第一节
洛朗展式
双边幂级数
设级数
（）
它在收敛圆内绝对且内闭一致收敛到解析函数；
考虑函数项级数
（）
作代换
则（）即为，它在收敛圆内绝对且内闭一致收敛到解析函数，从而（）在区域内绝对且内闭一致收敛到解析函数；
当且仅当时，（）（）有共同的收敛区域，此时，称为双边幂级数。
关于双边幂级数的性质，见p185
定理
定理1
（洛朗定理）
设函数f(z)在圆环：内解析，那么在H内
其中，是圆是一个满足的任何数，并且展式是唯一的。
证明：，作圆周和使含于圆环内，于是在圆环内解析。由柯西积分公式，其中
现考虑
而沿，（在上一致收敛）
由于函数沿有界，所以
故当：，其中
展式的唯一性：设
任意取某正整数，在上有界，故，展式唯一。
注解：我们称为f(z)的解析部分，而称为其主要部分。
例1、求函数分别在圆环1<|z|<2及内的洛朗级数式。
解：如果1<|z|<2，那么利用当时的幂级数展式
我们得
如果，那么同样，我们有
例2、及在内的洛朗级数展式是：
例3、在内的洛朗级数展式是：。
例4、求函数在圆环1<|z|<3内的洛朗级数展式。
解：由于1<|z|<3，那么利用当时的幂级数展式
我们得，而
所以，有
第二节
解析函数的孤立奇点
1．解析函数的孤立奇点的定义
设函数f(z)在去掉圆心的圆盘内确定并且解析，那么我们称为f(z)的孤立奇点。在D内，f(z)有洛朗展式
其中
是圆。
例如，0是的孤立奇点。
一般地，对于上述函数f(z)，按照它的洛朗展式中含负幂的情况（主要部分的情况），可以把孤立奇点分类如下：
⑴如果在的主要部分为，那么我们说是f(z)的可去奇点，这时因为令，就得到在整个圆盘内的解析函数f(z)；
⑵如果在的主要部分是有限多项：我们称是f(z)的阶极点；
⑶如果在的主要部分是无限多项，我们称是f(z)的本性奇点。
例如，0分别是的可去奇点、单极点及本性奇点。
2．孤立奇点的判定
定理1
是f(z)的可去奇点的必要与充分条件是：，其中是一个复数。
证明：（必要性）。由假设，在内，f(z)有洛朗级数展式：
因为上式右边的幂级数的收敛半径至少是R，所以它的和函数在内解析，于是显然存在着。
（充分性）。设在内，f(z)的洛朗级数展式是
由假设，存在着两个正数M及，使得在内，那么取，使得，我们有
当n=-1,-2,-3,…时，在上式中令趋近于0，就得到。于是是f(z)的可去奇点。
推论1
是f(z)的可去奇点的必要与充分条件是：存在着某一个正数，使得f(z)在内有界。
下面研究极点的特征。
设函数f(z)在内解析，是f(z)的阶极点，那么在内，f(z)有洛朗展式：
在这里
则在这里是一个在内解析的函数，并且。反之，如果函数f(z)在内可以表示成为上面的形状，而是一个在内解析的函数，并且，那么可以推出是f(z)的m阶极点。
定理2
是f(z)的极点的必要与充分条件是：。
证明：必要性是显然的，我们只证明充分性。在定理的假设下，存在着某个正数，使得在内，于是在内解析，不等于零，而且。因此是F(z)的一个可去奇点，从而在内，有洛朗级数展式：
我们有。由于在内，可以设。由此得，其中在内解析，并且不等于零。于是在内，在这里，在内解析。因此是f(z)的m阶极点。
推论2设函数f(z)在内解析，那么是f(z)的m阶极点的必要与充分条件是：，在这里m是一个正整数，是一个不等于0的复数。
关于解析函数的本性奇点，我们有下面的结论：
定理3
是f(z)的本性奇点的必要与充分条件是：不存在有限或无穷极限。
例：0是函数的本性奇点，不难看出不存在。
解：当z沿正实轴趋近于0时，趋近于；
当z沿负实轴趋近于0时，趋近于0；
当z沿虚轴趋近于0时，没有极限。
第三节
解析函数在无穷远点的性质
1．解析函数在无穷远点的性质
设函数f(z)在区域内解析，那么无穷远点称为f(z)的孤立奇点。在这个区域内，f(z)有洛朗级数展式：
其中系数由定理5.1中类似的公式确定。
令，按照R>0或R=0，我们得到在或内解析的函数，其洛朗级数展式是：
如果w=0是的可去奇点、（m阶）极点或本性奇点，那么分别说是f(z)的可去奇点、（m阶）极点或本性奇点。因此
（1）如果当时n=1,2,3,…，那么是f(z)的可去奇点。
（2）如果只有有限个（至少一个）整数n，使得，那么是f(z)的极点。设对于正整数m，而当n>m时，那么我们称是f(z)的m阶极点。
（3）如果有无限个整数n>0，使得，那么我们说是f(z)的本性奇点。
注解1若为f(z)的可去奇点，我们也说f(z)在无穷远点解析；
注解2上一段的结论都可以推广到无穷远点的情形，我们综合如下：
定理1设函数f(z)在区域内解析，那么是f(z)的可去奇点、极点或本性奇点的必要与充分条件是：存在着极限、无穷极限或不存在有限或无穷的极限。
推论
设函数f(z)在区域内解析，那么是f(z)的可去奇点的必要与充分条件是：存在着某一个正数，使得f(z)在内有界。
第四节
整函数与亚纯函数
1．整函数的分类
如果f(z)在有限复平面C上解析，则
那么它就称为一个整函数。显然无穷远点是整函数在扩充复平面上唯一的孤立奇点。我们按孤立奇点的类型，可以将整函数分类：
定理1
设为整函数
⑴为的可去奇点（常数）；
⑵为的阶极点
即次多项式；
⑶为的本性奇点无穷多个不等于（此时称为超越整函数）例如：；；
2．亚纯函数的定义与性质
如果函数f(z)在有限平面上除去有极点外，无其他类型的奇点那么称它为一个亚纯函数。
亚纯函数是整函数的推广，它可能有无穷多个极点。例如是一个亚纯函数，它有极点。有理函数
也是一个亚纯函数，它在有限复平面上有有限个极点，而无穷远点是它的极点（当n>m时）或可去奇点（当时），在这里是复常数，m及n是正整数。
定理1
为有理函数在扩充复平面上，除极点外没有其他类型的奇点。
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