积分变换与数理方程报告

第一篇：积分变换与数理方程报告

积分变换与数理方程

班级：电信09103班 学号：200911020309 姓名：何双来

《积分变换与数理方程》学习总结报告

这个学期我们开了《积分变换与数理方程》这门课。这个课是为大三学习《信号与线性系统分析》做准备而开的。

现在，信号与系统的概念已经深入到人们的生活和社会的各个方面。手机、电视机、通信网、计算机网等已经成为人们常用的工具和设备，这些工具和设备都可以看成系统，而各种设备传送的语音、音乐、图像、文字等都可以看成信号。所以《信号与线性系统分析》这门课非常重要，已经成为电子信息类专业的基础必修课。然而，这门课程并不是那么好学，它里面涉及到很多高等数学的知识。要学习这门课程必须有较好的高等数学知识，并且能够运用这些数学知识解决实际问题。除此之外，还要求学生有较强的阅读理解能力，因为本课程的教材里面有很多抽象的概念、定义和公式。总的来说，是运算量大，内容多阅读量大，理解能力要求高。要在一个学期内学好这门课程并不是一件容易的事情。因此，为了减轻大三的时候学习这门课程的负担，我们开设了《积分变换与数理方程》这门课，主要讲授的是《信号与线性系统分析》中三数学变换和其它一些与数学运算有关的知识，目的是在上《信号与线性系统分析》课之前，让学生提前接触这门课程，以减少大三学习这门课程时难度。

经过这个学期对《积分变换与数理方程》这门课程的学习，我学到了很多东西，下面就对我所学到的东西做一个汇总。

一、首先，是信号的概念。信号是信息的一种表示方式，通过信号传递信息。信号有一维信号，也有n维信号，而本课程只讨论一维信号。信号根据不同的分类方式可以分为连续信号和离散信号，也可分为周期信号与非周期信号，又可分为实信号和复信号，还可分为能量信号和功率信号。此外，信号还可以进行某些基本运算，包括加法和乘法运算、反转和平移和尺度变换。

二、在这门课程中我还学习到了一些和信号分析与处理有关的基本的常见的函数。

（1）阶跃函数以及其图像（2）冲击函数及其图像

0,t0def1(t)limn(t)2,t0 (t)limpn(t)

nn1,t0def(t)t o o (t)t 阶跃函数与冲击函数的关系如下：

(t)d(t)dtt

(x)dx (t)

三、此外，我还学到了一些对函数的运算和函数的三大变换。

1、卷积积分。卷积方法在信号与系统理论中占有重要地位。卷积积分的定义如下：

一般而言，如有两个函数f1(t)和f2(t)，积分

f(t)=

f1()f2(t)d

（2.3 —

7）

称为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积。式（2.3 — 7）常记作

f(t)=f1(t)*f2(t)=f1()f2(t)d

下面是一些常用函数的卷积积分：

（1）函数与冲击函数的卷积：

f(t)(t)(t)f(t)()f(t)df(t)

f(t)(tt1)(tt1)f(t)f(tt1)

f(tt1)(tt2)(tt1)f(tt2)f(tt1t2)

(tt1)(tt2)(tt2)(tt1)(tt1t2)（2）常用卷积积分：

①f(t)'(t)f'(t)②f(t)(t)f(t)

③f(t)(t)

2、傅立叶变换（1）、正交函数集

如有定义在(t1,t2)区间两个函数1(t)和2(t)，若满足

1(t)2(t)dt0

t1t2tf()d ④(t)(t)t(t)

则称1(t)和2(t)在区间(t1,t2)内正交。

若有n个函数1(t)，2(t)，…，n(t)构成一个函数集，当这些函 在区间(t1,t2)内满足

t2t1i(t)j(t)dt0,ijki0,ij 式中ki为常数，则称此函数集为在区间(t1,t2)的正交函数集。

（2）、周期信号的频谱。如前所述，周期信号可以分解成一系列正弦信号或指数信号之和，即

f(t)A02n12An1cos(ntn)jn 或 f(t)Fennjnt

其中FnAnejn|Fn|e。

（3）、非周期信号的频谱。为了描述非周期信号的频谱特性，引入了频谱密度的概念。令

F(j)limFn1TlimFnTTT 称F(j)为频谱密度函数，简称频谱函数。

对于任意一个非周期信号的时间函数f(t)有

defF(j)limFnTTdeff(t)edjtdt（4.4 — 4）

f(t)12F(j)ejt（4.4 — 5）式（4.4 — 4）称为函数f(t)的傅里叶变换，式（4.4 — 5）称为函数F(j)的傅里叶逆变换。F(j)称为f(t)的频谱密度函数或频谱函数，而f(t)称为F(j)的原函数。f(t)和F(j)的关系可以简记为f(t)F(j)。

（4）、奇异函数的傅里叶变换。

①冲激函数的频谱 F t)](t)t (t)ejtdt1

F(j)(1)1 

②冲激函数导数的频谱 F ['(t)]j

F [(n)(t)](j)n ③符号函数的频谱 F [sgn(t)]2j1

④阶跃函数的频谱 F [(t)]()（5）、傅立叶变换的性质。

1()j j①线性，若 f1(t)F1(j)，f2(t)F2(j)

则对任意常数a1和a2，有a1f1(t)a2f2(t)a1F1(j)a2F2(j)②对称性，若 f(t)F(j)，则 F(jt)2f()③尺度变换，若 f(t)F(j)，则对实常数a(a0)，有

f(at)Fj|a|a1

④时移特性，若 f(t)F(j)，且t0为常数，则有

f(tt0)ejt0F(j)

⑤频移特性，若，f(t)F(j)，且0为常数，则有

f(t)ej0tF[j(0)]（6）一般周期函数的傅立叶变换。

 F [fT(t)]F FnejntnFF [ennjnt]2F(n)

nn

3、拉普拉斯变换

（1）、Fb(s)f(t)e1stdt（5.1 — 4）

stFb(s)eds（5.1 — 5）f(t)2jjj 式（5.1 — 4）和式（5.1 — 5）称为双边拉普拉斯变换对或复傅立叶变换对。式中复变函数Fb(s)称为f(t)的双边拉普拉斯变换（或象函数），时间函数f(t)称为Fb(s)的双边拉普拉斯逆变换（或原函数）。（2）、单边拉普拉斯变换

F(s)L [f(t)]defdef0f(t)e0,stdt

t0stf(t)=L 1[F(s)]12jjjF(s)eds,t0

其变换与逆变换的关系也简记作f(t)F(s)。（3）、拉普拉斯变换的性质

①线性，若 f1(t)F1(s),Re[s]1

f2(t)F2(s),Re[s]2

且有常数a1，a2，则 a1f1(t)a2f2(t)a1F1(s)a2F2(s),Re[s]max(1,2)

②尺度变换，若 f(t)F(s)，Re[s]0 则 L [f(at)]0f(x)e(sa)xdxa1sFaa

③时移特性，若 f(t)F(s)，Re[s]0 且有正实常数t0，则

f(tt0)(tt0)estF(s),Re[s]0

0 ④复频移特性，若 f(t)F(s)，Re[s]0 且有复常数saaja，则

f(t)estF(ssa),Re[s]0a

a（4）、几种常用函数的拉普拉斯变换

①L ['(t)]s ② L [(t)]1 ③L [(t)] ⑤L [sin(t)]

3、z变换

（1）如果有离散序列f(k)(k0,1,2,)，z为复变量，则函数

1s ④L [b0et]b0s

s22 ⑥L [cos(t)]ss22 ⑦L [sinh(t)]s22

F(z)kf(k)zk（6.1 — 7）

F(z)k0f(k)zk（6.1 — 8）

式（6.1 — 7）称为序列f(k)的双边z变换，式（6.1 — 8）称为序列f(k)的单边z变换。

（1）几种常用函数的z变换

①Z [(k)]1 ②Z [(km)]zm ③Z [(k)]④Z [(km)]zz1zmzz1zza

⑤Z [ak] 以上就是我这个学期所学到的内容。通过这个学期的学习，我对《信号与线性系统分析》这门课程中涉及到的数学运算进行了初步的学习。这将为我大三的时候进一步学习《信号与线性系统分析》打下坚实的基础。到时候，我一定能把《信号与线性系统分析》这门课学好。

第二篇：复变与积分变换教案

《复变与积分变换教案》

第七次课 教学目标：导出解析函数的高阶导数，学会运用高阶导数公式计算复积分。

讲课段落：

 Cauchy积分高阶导数定理的背景；  多连通域的Cauchy积分高阶导数定理  运用高阶导数公式计算复积分。知识要点：

 对每个自然数

n，在D内定义函数

f()Fn(z)d n(z)则对zD，有

Fn(z)nFn1(z)

 对每个自然数n，f(z)在D内处处有n阶 导数，且对zD 有 f(n)n!f()(z)dn1 2i(z) 由于f(z)uxivxvyiuy，而高阶导数定理认定，一但

f(z)解析 则f(z)也解析，自然更有f(z)连续，从而可知ux,vx,uy,vy都连续。

 设D为单连域，f(z)在D内连续，若对

f(z)dz0CD任一内简单闭曲线有 C，则f(z)在D解析。

第三篇：复变函数与积分变换复习题

复变函数与积分变换复习题

1，将下列复数化为三角形式与指数形式1)z2i;

2)zsin3i

cos

3;

3）z1icot,2.4）z1cosisin,0.(cos5isin5)2

5）z 3(cos3isin3)

2，求下列函数的辐角

1)z;2z)n)3）求下列复数的模

1)z45）设n为正整数，证明下式成立

3n13n11.6）证明函数f(z)1i4n11i4n1? Re(z)当z0时极限不存在； z

z当z0时极限不存在； z

1zz()当z0时极限不存在； 2izz7）证明函数f(z)8）证明函数f(z)

[Re(z2)]2,z029)证明函数f(z)在z=0点连续。z

0,z0

x3y(yix),z042f(z)10)证明函数在z=0点连续。xy

0,z0

11）判断f(z)x2yi是否可导。

12）判断函数的解析性

1）z;2）zRe(z)；

13）证明函数f(z)z=0处满足C-R方程，但是不可导。（P33）

14）已知调和函数u(x,y)x2y2xy，求一解析函数f(z)u(x,y)iv(x,y)使得f(0)0，并求出df(z).dz

15）验证以下函数为调和函数，并求出以zxiy为自变量的解析函数wf(z)uiv.1)u(x,y)(xy)(x24xyy2)

2）P74例题3.4.2例题3.4.3

16)解方程sinzish1.17）求Ln(i),Ln(34i)和它们的主值。

18）求ii,3i,(1i)i的值。

19）解方程lnz2i

20）计算6czdz.（1）C：ii的直线段;

（2）C：左半平面以原点为中心逆时针方向的单位半圆周.21）计算积分dz(nZ).n(zz)0CC:zz0r0.22）计算积分dz,zCdz,zCCdzz,C:z1.23）计算积分1dz,C为包含0与1的任何正向简单闭曲线.2zzC

ez

24）计算积分,其中C:z1,a为a1的任何复数.3(za)C

25）计算积分3z2,其中C:z(1i) 4z1C

ez

26）计算积分,其中C:zr(r1,2).z(z1)(z2)C

27）计算积分z,其中C:z2.2(9z)(zi)C

cosz,其中C:z2.5(z1)C28）计算积分

ez

29）计算积分,其中C:zr1.22(z1)C

30）计算积分sin5z,其中C:z4.32z(z1)C

31）判断下列数列是否收敛？如果收敛，求出其极限。

1i)n;nncinosn(1en.32）下列级数是否收敛？是否绝对收敛？

nn1ii(8i)(1)i(1e)n;;n ]nn2n1nn0nn1

33）求下列幂级数的收敛半径

zn(z1n)

3;;(coinszn)nn1nn1n0

34）把函数1展成z的幂级数.(1z)3

1展成z的幂级数,1

1展成z-1幂级数,0

37）把函数z22z5展成z的幂级数,1

2z2z5展成z的幂级数,2

1展成z的幂级数.(z-1)(z-2)38）把函数

39）把函数ze在0

41）求积分zz01e1zz0(zz0)3dz.42）求积分zez21z.1z

43）求下列各函数在孤立奇点（不考虑无穷远点）的留数

z2n1e2z1;4;n1zzsinz

44）计算积分z1

2sinz.2zz(1e)

z.(z2)2(z1)45）计算积分1z22

122C1z4.C:xy2x.sinz3.C:z.47）计算积分Cz246）计算积分

3z3248）计算积分C(z1)(z29).C:z4.49）计算积分Czdz.C正向曲线:z2.z41

50）计算积分1C(z+i)10(z1)5(z4).C正向曲线:z5.2

51）计算积分0

2sin2d.(ab0).abcos

52）计算积分cos2d.(0p1).212pcosp0



计算积分cos2d.(a21).212acosa0



53）计算积分01dx.(n0,1,2,).2n1(1x)

x2

54）计算积分2dx.(a0,b0).222(xa)(xb)



55）计算积分cosaxdx.(a0).2x1



56）计算积分0

xsinxdx.(a0).22xa(x21)cosax57）计算积分dx.42xx1

|z|1f(z)dz2πiRes[f(z),z]kk1n

第四篇：积分变换电子教案使用说明

积分变换电子教案使用说明

一、简介

“积分变换电子教案”是为教师在课堂上讲授“积分变换”课程而制作的，属于助教型教案。该教案适合开设“积分变换”课程的各大专院校的本科、专科使用。教案是以东南大学张元林老师主编的《积分变换》第四版为主要内容制作的，紧扣教材，服务于教材。

二、软件特点

1． 完全的开放性，采用PowerPoint编辑制作，教师可按自己的意愿随意修改； 2．操作、修改简单，只要会使用PowerPoint就行； 3．含有习题解答与测试题，省去了教师极大的工作量。

三、特别说明

本软件除了图片外，用户可以将它作为模板，经过修改、编辑，制作成为自己的教案。实践证明，这往往是必须的，否则将无法体现各个教师的个性及主动性，教学软件也就失去了生命力。

四、教案的运行环境：

1．硬件要求：

“积分变换电子教案”单机版本要求PC机及其兼容机的最低配置如下（每一配置的括号内为推荐配置）：

CPU: Pentium 200以上或AMD K2-200以上 RAM（内存）：３２M（最好６４M以上）HD（硬盘）： 4.3G以上 CD（光盘驱动器）：16倍速以上 需要鼠标 最小显示分辩率与色彩：640480256色（64048016bit）

2.运行环境：

操作系统：中文Windows98/2000/XP 应用平台：Office2000/XP/2003（必须含PowerPoint组件且安装了公式编辑器）

五、教案的使用说明

为方便起见，现以Fourier变换为例介绍本软件的操作使用。

图一 积分变换电子教案主画面

在图一中移动鼠标，当鼠标箭头变为“手”形后，单击左键进入教案总目录，此时出现图二的界面，将鼠标移到“Fourier变换”上，变为“手”形后单击左键，进入图三的界面。在图三所示的界面上, 单击左键，就进入图四的界面。

图二

课程总目录画面

图三

某章目录画面

在图四中，用鼠标左键单击任意一小标题，就进入到具体教学内容的讲解，如单击 “§1.1Fourier积分”，就进入图五的界面。然后，每单击一次左键，就出现一个对象，直到该内容讲解完毕。单击“主页”按钮返回上一级目录；单击“上一页”箭头按钮返回上一页；单击“下一页”箭头按钮转到下一页。（注意：单击标题前，必须等到出现“手”形，以下类似。）

图四

某章目录画面

图五

某节目录画面

第五篇：读《复变函数》与《积分变换》有感

班级B10202姓名李建良学号36

读《复变函数》与《积分变换》有感

在学了《高等数学》之后，我们进一步学习《复变函数》和《积分变换》这两本书，这两本书是《高等数学》的微积分扩展和延伸，还有将复数将以深入学习和扩展，并引入函数的概念。因此感觉有一定的深度和难度。它们都利用数学的理论来解决实际问题。

复变函数中有很多概念，其中理论和方法是实变函数在复数领域内的推广和发展，因而它们有许多相似之处，但是复变函数与实变函数有不同之点。就拿第一章来说，复数与复变函数，本课程研究对象就是自变量为复数的函数。在中学阶段，我们已经学习过复数的概念和基本运算。本章将原来的基础上作简要的复习和补充。然后再介绍在复变平面上区域以及复变函数的极限和连续性等概念，为进一步研究解析函数理论和方法奠定必要的基础。概括一下，以前学过方程x2=-1是无解的，因而设有一个实数的平方等于-1。第一节是复习原来的内容，然后逐步引入函数的概念。再引进对复变函数的表达式和复变函数重幂与方根以及加减法研究。由于上学期，我们学习函数概念中，引入极限的概念，然而复变函数也有极限特性。所以对复变函数极限分析有着相似之处，因此可以借鉴学函数极限方法来研究复变函数，然而复变函数又有其独特特性，研究时必然会给我们带来很多困难和意想不到的问题，所以就是它的不同之处。后面将复变函数引入微积分的概念，刚开始觉得挺好学，按照以前学微积分的思想就能接纳复变函数的微积分，当我遇到了用函数微积分解决复变函数时，复变函数的转化和变形却是难题，但是经过一番努力，我逐渐领悟到复变函数在微积分在数学中的独特魅力。

在学习复变函数中，要勤于思考，善于比较分析其共同点，更要领越复变函数的独特魅力，如果这样才能抓住本质，融会贯通。

而《积分变换》研究的是将复杂的运算转化为较简单的运算。本书讲解了积分在数学中的应用，常用的两种积分变换Fourier变换和Laplace变换。利用Fourier变换和Laplace变换将复杂的积分转化为简单的积分变换，有利于对复杂积分的求解，所以学习《积分变换》的思路就不像学习《复变函数》一样，它的解题思路和《积分变换》截然不同，就拿Fourier变换而言，先引进Fourier定理，然后利用Fourier定理解决数学中一些难解的积分，用积分变换也可以解决工业中一些工程计算。其重在积分变换。对于积分变换理论的学习，有助于解决我们在工业设计中遇到的问题，但对与此书着重对积分变换的思想培养和应用。当我开始学习《积分变换》时，感觉无从下手，尤其是对积分的变换，一看到积分变换的过程就很头疼，不知道从哪个地方开始下手，当学到Laplace变换时，才发现积分变换有它的一定的规律，只要把Fourier变换的思路用在Laplace变换，就会简化对Laplace变换的学习，我才明白Fourier变换只是学习积分变换的一种方法，第一种内容学会了，后面的内容就迎刃而解了。

通过这两本书的学习，我觉的，它不仅仅带给我的是挑战，而且也将为我们将来在工程技术领域中开扩了思路，照亮了方向，这也让我们知道数学在工程领域的作用和不可磨灭的高度。