一次函数与方程、不等式

第一篇：一次函数与方程、不等式

怎样上好一次函数与方程、不等式这节课

----课堂反思

本节课安排了两个内容：一是探索一次函数与二元一次方程的关系，这是本节的重点；二是探索一次函数与不等式的关系，这是本节的难点。

我先让学生通过画图来观察并探索，从而揭示一元一次方程与一次函数之间的关系，为从函数的观点认识解方程组作好了铺垫。学生经历了前面的探究学习后，很自然从“形”的角度来认识解方程。为了帮助学生从“数”的角度来认识解方程，设计了一个练习，先让学生体验再引导学生归纳结论，使学生的思维活跃起来。这种呈现知识的形式符合学生的认知规律。之后的不等式类比学习方程，先让学生解不等式，再从图像的角度来看不等式的解。即函数值为确定的值时，求对应的自变量的取值范围。

在例题的教学中，引导学生分析题意，建立函数模型，然后让学生讨论交流，对于利用图象观察方程及不等式的解。分析比较，然后强调自变量的取值范围。

这节课主要对学生进行“数形结合”思想方法的教学及类比教学，让学生充分思考，探索发现，经历知识形成的过程，并且让学生讨论，小组交流，让学生都参与到课堂中，成为学习的主人。

第二篇：一次函数与方程不等式教学反思

为达成课堂教学目标，我首先设定两个问题情境，让学生感知函数与方程、不等式的密切联系，再引导学生从以下两个方面分别讨论:一次函数与一元一次方程、一次函数与不等式。讨论时，结合函数图象从“数”和“形”的角度，进一步体会“以形表数，以数释形”的数形结合思想。现就我本节课教学情况反思如下：

教学优点：

1.能积极学习并采用多媒体课件进行授课。应用多媒体课件直观、明了的展示了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的联系，且课堂容量大、课堂效率高。运用幻灯片让枯燥的理论知识直观、形象、生动起来，激发了学生学习的积极性。

2.能紧紧抓住教学重难点进行精讲精练。本节课重难点是让学生掌握一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的联系，会用函数的观点解释方程和不等式及其解或解集的意义，掌握用图象求解方程、不等式的方法。教学时，每讲一个知识点，我都会及时给予训练题进行巩固，让学生理解理论知识的应用价值，从而把难点知识逐一击破，也让学生一点一点的感悟到用函数模型解决问题的可操作性和简便性。

3.“数形结合”思想的完美体现。我能够从“数”的方面来解释方程的解及不等式的解集，反过来，又利用一次函数图象从“形”方面直观地表示方程和不等式的解或解集的含义。实质就是图象上对应点的自变量的取值或取值范围。这节课让学生充分感受到“数形结合”思想的重要性。

4.课堂练习设置恰当。练习量适中，能达到及时训练巩固的目的；练习题的难度有梯度，层层递进；题型新颖，有选择、填空、回答、解答题型，让学生从不同角度理解知识，提高理论知识的认识水平；难度把握较好，情境

1、情境2属于铺垫性练习，探究题属于讨论性题型，练习题属于巩固性题型，最后的热气球问题属于拔高性题型。

教学不足：

1.课堂容量有些大，学生组内讨论时间较少。

2.对学生语言表达能力估计过高，用函数观点解释方程、不等式，学生只可意会，不会言语表达。

第三篇：一次函数与方程不等式的关系教学设计（定稿）

一次函数与方程不等式的关系

凉水河中学 王小清 教学目标

1，借助图像，使学生初步理解一次函数与二元一次方程的关系.。2，能根据一次函数的图像求二元一次方程的近似解。3，借助图像，使学生理解一次函数与一元一次不等式的关系。4，能根据一次函数的图像求不等式的解集。

重点：理解一次函数与二元一次方程，一元一次不等式的关系

难点：根据一次函数的图像求二元一次方程组的解、一元一次不等式的解集，发展学生数形结合的思想和辩证思维的能力。

学情分析： 本节内容是对一次函数，二元一次方程组，一元一次不等式的综合运用，通过探索方程、不等式与一次函数图像之间的关系，培养学生数形转化的思想。学生已经有 了了解二元一次方程（组）、一元一次不等式的能力和一次函数及其图像的基本知识，学习本节知识困难不大，关键是让学生理解一次函数与二元一次方程和不等式 的内在联系，体会“数”和“形”之间的相互转化，从中使学生进一步感受到“数”的问题可以通过“形”来解决，“形”的问题也可以通过“数”来解决。一，激情导入

1.古诗《题西林壁》引入，全体同学背诵古诗，同学代表讲解古诗内容。老师总结，看待事物和问题要多角度，客观、真实的去认知评价。2.出示幻灯片2x-y=-1

提出问题“老师带来的这位朋友，你们认识吗？”

设计意图：通过古诗引入，充分激起学生的兴趣，古诗内容的理解，老师的过度，对2x-y=-1理解，使学生更加全面的认识了它，从而很好的为本节课所学的内容打好基础。

二、探究新知 问题1：

对于任意的一个二元一次方程是否都可以转化成一次函数的形式呢？ 学生活动：找同学板演，其他同学自己独立完成，同学总结得出结论

设计意图：使学生完成从特殊到一般的转化过程，认识到任何一个二元一次方程都可以转化成一次函数的形式，他们只是形式的不同而已。问题2：

出示幻灯片第6张

画一次函数图像的步骤有哪些？

对于函数y=2X+1的图像你能得到哪些信息？ 学生活动：找同学根据图像回答问题。

设计意图：复习旧知识，并进一步明确这些点都在函数图像上，为下边二元一次方程的解做好对比。问题3 出示幻灯片第7张

二元一次方程的解有什么特点？ 下面表格中x、y的值是二元一次方程的解吗？ 学生活动：独立完成上面的问题，找同学回答。

设计意图：通过对二元一次方程的解的复习，加深对这些数值的记忆，很好的为下个环节中的对比打下基础。问题4 出示幻灯片第8张

提出问题，你发现了什么？

学生活动：可以独立完成，也可以小组讨论

设计意图：通过对比，认识到一次函数上的点和和二元一次方程的解的关系。二元一次方程的解就是它所对应的一次函数的图像上的点的坐标，一次函数图像上点的坐标就是它所对应的二元一次方程的解。

问题5 出示幻灯片第10张

1、两个函数图像的交点有什么意义？

2、不解方程组，你能求出方程组的解吗？ 学生活动：观察图像，小组讨论，班级交流

设计意图：通过对一次函数与二元一次方程的关系，以及二元一次方程组解的特点，掌握一次函数图像与二元一次方程组的关系 问题6 出示幻灯片第11张

提出问题：和第10张有什么不同？不解方程组你能求出方程组的解吗？ 学生活动：学生独立完成。指名回答问题

设计意图：通过对两个一次函数位置的不同情形，使同学们认识到平行的两条只线，此二元一次方程组无解，加深学生对两条一次函数的图像与二元一次方程组的关系。问题7 出示幻灯片第12张

提出问题：你看到了什么？ 学生活动：小组讨论，组内交流，班级交流

设计意图：通过观察图形，使学生认识到一次函数的图像与x轴相交时，交点坐标的意义，x轴的上侧、下侧各有什么意义？此时，他们对应的x的取值范围各是什么？

被y轴所截时，与y轴的交点的意义，交点的上侧和下侧y各有什么意义？此时，他们对应的x的取值范围各是什么。问题8 出示幻灯片第13张

提出问题：和第12张有什么不同？你看到了什么？ 学生活动：独立观察，小组讨论，组内交流，班级交流

设计意图：通过观察不同点，使同学们意识到，不是与x轴、y轴的交点时，可以过交点做一条与x轴平行的直线，建立与第12张幻灯片相同的情形，从而加深一次函数图像与不等式之间的关系，为下边打基础。问题9 出示幻灯片第14张

你看到了什么？猜想老师可能提出什么样的问题 不解不等式5x+4＜2x+10，你能求出它的解吗？

学生活动：观察图像，独立思考问题，找同学回答老师可能提出的问题 设计意图：对上边所学的知识进行巩固，同时为不等式打下基础。得出问题的答案。感受到一次函数与不等式的关系。问题10 出示幻灯片第15张

你看到了什么？猜想老师可能提出什么样的问题 不解不等式5x+4＜2x+10，你能求出它的解吗？

学生活动：观察图像，独立思考问题，找同学回答老师可能提出的问题 设计意图：对一次函数和二元一次方程组和不等式的关系进行巩固，同时让学生养成数形结合的好习惯，通过猜测老师的问题，培养学生主动思考的好习惯。问题2的揭示，更加加深学生对一次函数的图像和不等式的解集的关系进行巩固。问题11 出示幻灯片第16张

1你看到了什么？猜想老师可能提出什么样的问题 2，两直线的交点，说明了什么？

3，在点p的右侧，y1在y2的上方，说明了什么？ 4，在点p的左侧，y1在y2的下方，说明了什么？ 5，对于问题3和4，我们还能提出与之相同的问题吗？ 学生活动：自己独立思考后在小组交流，然后班内展示交流

设计意图：这个图像包括了本节课所学的所有知识，是对本节课内容的综合运用，使学生对知识形成整体的把握，更好的认识到一次函数的图像与二元一次方程（组）、不等式的关系。学生猜想的过程其实就是运用总结的过程。问题12 你学到了什么？ 学生活动：主动发言

设计意图：对本节课所学的知识进行总结，对知识的掌握达到理论的提升。

三、巩固练习

四、课下作业

第四篇：不等式与一次函数专题练习

不等式与一次函数专题练习

题型一：方程、不等式的直接应用

典型例题：李晖到“宁泉牌”服装专卖店做社会调查．了解到商店为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资＋计件奖金”的方法，并获得如下信息：

假设月销售件数为x件，月总收入为y元，销售1件奖励a元，营业员月基本工资为b元．（1）求a，b的值；

（2）若营业员小俐某月总收入不低于1800元，则小俐当月至少要卖服装多少件？

配套练习：

1、(2009,益阳)开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小

亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本.(1)求每支钢笔和每本笔记本的价格；

(2)校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出.2、北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．

（1）该商场两次共购进这种运动服多少套？

（2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？（利

利润润率100%）成本

题型二：方案设计

典型例题

3、（2009，深圳）迎接大运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．

（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．

（2）若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？

典型例题4：(2008、湖北咸宁)“５、１２”四川汶川大地震的灾情牵动全国人民的心，某市A、B两个蔬菜基地得知四川C、D两个灾民安置点分别急需蔬菜240吨和260吨的消息后，决定调运蔬菜支援灾区。已知A蔬菜基地有蔬菜200吨，B蔬菜基地有蔬菜300吨，现将这些蔬菜全部调往C、D两个灾民安置点。从A地运往C、D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C、D两处的费用分别为每吨15元和18元。设从地运往处的蔬菜为x吨。

⑴、请填写下表，并求出两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值；

⑵、设A、B两个蔬菜基地的总运费为w元，写出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案； ⑶、经过抢修，从B地到C地的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元(m>0)，其余路线的运费不变，试讨论总运费最小的调运方案。

配套练习： 1．（2009，牡丹江）某冰箱厂为响应国家“家电下乡”号召，计划生产A、B两种型号的冰箱100台．经预算，两种冰箱全部售出后，可获得利润不低于 4.75万元，不高于4.8万元，两种型号的冰箱生产成本和售价如下表：（1）冰箱厂有哪几种生产方案？

（2）该冰箱厂按哪种方案生产，才能使投入成本最少？“家电下乡”后农民买家

电（冰箱、彩电、洗衣机）可享受13%的政府补贴，那么在这种方案下政府需补贴给农民多少元？

（3）若按（2）中的方案生产，冰箱厂计划将获得的全部利润购买三种物品：体育器材、实验设备、办公用品支援某希望小学．其中体育器材至多买4套，体育器材每套6000元，实验设备每套3000元，办公用品每套1800元，把钱全部用尽且三种物品都购买的情况下，请你直接写出实验设备的买法共有多少种．

2．光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台．•现将这50台联合收割机派往A，B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区．

（1）设派往A地区y（元），求y

与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，•说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；

（3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提出一条合理建议。解：（1）派往A地区的乙型收割机为x台，则派往A地区的甲型收割机为（30－x）台，派往B地区的乙型收割机为（30－x）台，派往B地区的甲型收割机为（x－10）台，则：

3.（2009，抚顺）某食品加工厂，准备研制加工两种口味的核桃巧克力，即原味核桃巧克力和益智核桃巧克力．现有主要原料可可粉410克，核桃粉520克．计划利用这两种主要原料，研制加工上述两种口味的巧克力共50块．加工一块原味核桃巧克力需可可粉13克，需核桃粉4克；加工一块益智核桃巧克力需可可粉5克，需核桃粉14克．加工一块原味核桃巧克力的成本是1.2元，加工一块益智核桃巧克力的成本是2元．设这次研制加工的原味核桃巧克力x块．

（1）求该工厂加工这两种口味的巧克力有哪几种方案？

（2）设加工两种巧克力的总成本为y元，求y与x的函数关系式，并说明哪种加工方案使总成本最低？总成本最低是多少元？

题型三：不等式与一次函数的实际应用 典型例题5：（南充市2009）某电信公司给顾客提供了两种手机上网计费方式：

方式A以每分钟0.1元的价格按上网时间计费；方式B除收月基费20元外，再以每分钟0.06元的价格按上网时间计费．假设顾客甲一个月手机上网的时间共有x分钟，上网费用为y元．

（1）分别写出顾客甲按A、B两种方式计费的上网费y元与上网时间x分钟之间的函数关系式，并在图7的坐标系中作出这两个函数的图象；

（2）如何选择计费方式能使甲上网费更合算？

典型例题6：(2009，朝阳)某学校计划租用6辆客车送一批师生参加

一年一度的哈尔滨冰雕节，感受冰雕艺术的魅力．现有甲、乙两种客

车，它们的载客量和租金如下表．设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元．（1）求出y（元）与x（辆）之间的函数关系式，指出自变量的取值范围；

（2）若该校共有240名师生前往参加，领队老师从学校预支租车费用1650元，试问预支的租车费用是否可以结余？若有结余，最多可结余多少元？

典型例题7：(2009、唐山)送家电下乡活动开展后，某家电经销商计划购进A、B、C三种家电共70台，每种家电至少要购进8台，且恰好用完资金45000元。设购进A种家电x台，B种家电y台。三种家电的进价和预售价如下表： ⑴、用含x，y的式子表示购进C种家电的台数； ⑵、求出y与x之间的函数关系式；

⑶、假设所购进家电全部售出，综合考虑各种因素，该家电经销商在购销这批家电过程中需另外支出各种费用共1000元。①、求出预估利润P(元)与x(台)的函数关系式；

②、求出预估利润的最大值，并写出此时购进三种家电各多少台。

配套练习：

1、(2009、保定)水果经销商计划将一批苹果从我市运往某地销售，有汽车、火车两种运输工具可供选择，两种运输工具的主要参考数据如下：

设我市到某地的路程为x千米，这批水果在途中的损耗为150元/时，若选用汽车运输，其总费用为y1元，若选

⑴、分别写出1，2与之间的函数关系式；

⑵、请你为水果经销商设计省钱的运输方案，并说明理由。

3、（2009，清远）某饮料厂为了开发新产品，用A种果汁原料和B种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x千克，两种饮料的成本总额为y元．

（1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y与x之间的函数关系式．

（2）若用

AB

y值最小，最小值是多少？

5、（2009，梧州）某工厂要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别为600元和1000元．

（1）设招聘甲种工种工人x人，工厂付给甲、乙两种工种的工人工资共y元，写出y（元）与x（人）的函数关系式；

（2）现要求招聘的乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种 各招聘多少人时，可使得每月所付的工资最少？

6、(2009、河南)某家电商场计划用32400元购进“家电下乡”指定产品

中的电视机、冰箱、洗衣机共15台。三种家电的进价和售价如下表所示：

⑴、在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和冰箱的数量相

同，洗衣机数量不大于电视机数量的一半，商场有哪几种进货方案？

⑵、国家规定：农民购买家电后，可根据商场售价的13%领取补贴。在⑴的条件下，如果这15台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元？

题型四：不等式与一次函数图象性质的应用

典型例题10：（2009年江苏省）某加油站五月份营销一种油品的销售利润y（万元）与销售量x（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量）请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：（1）求销售量x为多少时，销售利润为4万元；（2）分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式；（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA.AB.BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？

典型例题11：（2009 黑龙江大兴安岭）邮递员小王从县城出发，骑自行车到A村投递，途中遇到县城中学的学生李明从A村步行返校．小王在A村完成投递工作后，返回县城途中又遇到李明，便用自行车载上李明，一起到达县城，结果小王比预计时间晚到1分钟．二人与县城间的距离s(千米)和小王从县城出发后所用的时间t(分)之间的函数关系如图，假设二人之间交流的时间忽略不计，求：（1）小王和李明第一次相遇时，距县城多少千米？请直接写出答案．（2）小王从县城出发到返回县城所用的时间．（3）李明从A村到县城共用多长时间？

配套练习

1．（2008贵州贵阳)如图，反映了甲、乙两名自行车运动员在公路上进行训练时的行驶路程s（千米）和行驶时间t（小时）之间的关系，根据所给图象，解答下列问题：

（1）写出甲的行驶路程s和行驶时间t(t≥0)之间的函数关系式．（3分）

（2）在哪一段时间内，甲的行驶速度小于乙的行驶速度；在哪一段时间内，甲的行驶速度大于乙的行驶速度．（4分）

（3）从图象中你还能获得什么信息？请写出其中的一条．（3分）

2、（2009·南宁）南宁市狮山公园计划在健身区铺设广场砖．现有甲、乙两个工程队参加竞标，甲工程队铺设广场砖的造价y甲（元）与铺设面积x(m2)的函数关系如图所示；乙工程队铺设广场砖的造价y乙（元）与铺设面积x(m2)满足函数关系式：y乙＝kx．

（1）根据图写出甲工程队铺设广场砖的造价y甲（元）与铺设面积x(m2)的函数关系式；（2）如果狮山公园铺设广场砖的面积为1600m2，那么公园应选择哪个工程队施工更合算？

3．（2009年娄底）娄底至新化高速公路的路基工程分段招标，市路桥公司中标承包了一段路基工程，进入施工场地后，所挖筑路基的长度y（m）与挖筑时间x（天）之间的函数关系如图所示，请根据提供的信息解答下列问题：（1）请你求出：

①在0≤x＜2的时间段内，y与x的函数关系式； ②在x≥2时间段内，y与x的函数关系式.（2）用所求的函数解析式预测完成1620 m的路基工程，需要挖筑多少天？

第五篇：不等式与一次函数

一元一次不等式与一次函数

一、替换法

例：一次函数y=2x-3，当x取何值时y>12 ？

因为 y等于2x-3，所以将y>12中的y替换为2x-3，得2x-3>12

解这个不等式就可以知道x的取值范围。

二、结合图形

求一元一次不等式kx+b>m（k≠0）的解集

（1）先画出y=kx+b（k≠0）的图像；

（2）在图像上找到相应的y=m时的点（n,m）；

（3）由图像性质，可得出kx+b>m的解集为x>n（或x

练习：

1、已知函数y=3x+5

（1）当x取何值时，y>0 ？

（2）当x取何值时，y=0 ？

（3）当x取何值时，y<0 ？

2、一次函数y=ax+b的图像经过点A、点B，则不等式ax+b>0的解集是（）

2、兄弟赛跑，哥哥先让弟弟跑9m，然后自己才开始跑，已知弟弟每秒跑3米，哥哥每秒

跑4m，列出函数关系式，画出函数图像，观察图象回答下列问题。

（1）何时弟弟跑在哥哥前面？

（2）何时哥哥跑在弟弟前面？

（3）谁先跑过20m？谁先跑过100m？

3、甲、乙两人骑摩托车从相距20km的A、B两地相向而行，如图，