数理方程-分离变量法（优秀范文五篇）

第一篇：数理方程-分离变量法

第八章

分离变量法

22u2ua0xl,t022tx u(0,t)0,u(l,t)0t0u(x,0)u(x,0)(x),(x)0xlt对于这样的定解问题，我们将介绍分离变量法求解，首先回忆高数中我们如何处理的求解的，高数中处理微分或重积分是把函数分成单元函数

分离变量法的思路：对于二阶线性微分方程变换成单元函数来求解，也就是通过分离变量法把x、t两个变量分开来，即把常微分方程变化为两个偏微分方程来求解。

分离变量法的思想：先求出具有分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理做出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数（叠加后这些特解满足边界条件不满足初始条件，再由初始条件确定通解中的未知的数）。

叠加原理：线性偏微分方程的解的线性组合仍是这个方程的解。特点：（1）数学上 解的唯一性来做作保证。（2）物理上 由叠加原理作保证。例：有界弦的自由振动

1.求两端固定的弦的自由振动的规律

22u2ua0xl,t022tx u(0,t)0,u(l,t)0t0u(x,0)u(x,0)(x),(x)0xlt第一步：分离变量（建立常微分方程定解问题）令u(x,t)X(x)T(t)

这个思想可从实际的物理现象可抽象出来，比如我现在说话的声音，它的振幅肯定随时间变化，但到达每个同学的位置不同，振幅又是随位置变化，可把声音分成两部分，一部分认为它随时间变化，一部分随位置变化。

第二步：代入方程

（偏微分就可写成微分的形式，对于u有两个变量，但对于X、T都只有一个变量）

X(x)T(t)a2X(x)T(t)

变形得X(x)T(t)=  X(x)a2T(t)左边与t无关，右边与x无关，左右两边相互独立，要想相等，必定等于一个常数。由于x, t 是相互

独立的变量，上式必然等于同一常数。

方程左边为关于x的函数，方程右边为关于t的函数，只有当左右两边都等于常数的时候才成立 令其为（得到的两个常微分方程形式比较标准）

X(x)X(x)0

T(t)a2T(t)0

得到两个常微分方程 第三步：代入边界条件

得到：X(0)T(t)0

X(l)T(t)0，由于是t>0得值，T(t)是一个范围内不固定的值，所以X(0)0

X(l)0

常微分方程含，未知，需要对进行讨论

X(x)X(x)0，X(0)0

X(l)0

特征（固有）值问题：含有待定常数常微分方程子一定条件下的求解问题。特征（固有）函数：和特征值相对应的非零解 第四步：确定特征值并得到它的特征函数 分情况讨论：

1）<0时, 特征方程为R0,特征根为：R- 得通解为X(x)Aex2Bex（A、B为待定系数）

x把定解条件X(0)0

X(l)0代入通解X(x)Ae得到A+B=0

Bex

AelBel0

x于是A=B=0X(x)AeBex即X(x)=0 则u(x,t)X(x)T(t)=0，零解无意义 即<0时，定解问题无解。2）=0时, X(x)X(x)0 有X(x)AxB A=B=0X(x)AexBex即X(x)=0 则u(x,t)X(x)T(t)=0，零解无意义 3）>0时, X(x)X(x)0

令2（为非零实数）

特征方程为R0,特征根为虚数：R-i 通解为X(x)AcosxBsinx（A、B为待定系数）

把定解条件X(0)0，X(l)0代入通解X(x)AcosxBsinx 2X(0)0得到A =0，即X(x)Bsinx X(a)0得到Bsinl0

在B≠0的情况下，有sinl=0，即n为非零实数）

现在就完成了用分离变量法求解X（x）的部分，得到特征值为nn(数为：X(x)Bnsin2n（n=1,2,3，…注意n≠0，若n=0，则=0，0而ln2)，所对应的特征函lnx ln2)代入 l下面求解关于t的常微分方程

T(t)T(t)0，将n(2n22Tn(t)aTn(t)0，这种情况的通解与X(x)X(x)0的>0的情况相同。

l2cos即Tn(t)CnnatnatsinDn

（n=1,2,3，…）

ll至此Xn(x)与Tn(t)都求出来了，所以定解问题的n个特解（这n个特解均满足边界条件）为：

un(x,t)Xn(x)Tn(t)=(CncosnatnatnDnsin)sinx

（n=1,2,3，…）lll根据叠加原理，特解的叠加仍是方程的解，所以得到通解

u(x,t)un(x,t))

i1n=(Cncosi1nnatnatnDnsin)sinx（n=1,2,3，…）lllu(x,0)(x)求解）t其中Cn、Dn为待定系数（利用初始条件u(x,0)(x),第五步: 利用本征函数的正交归一性确定待定系数

u(x,t)(Cncosi1nnatnatnDnsin)sinx lll

u(x,t)t0u(x,0)

Cnsini1nnx(x)l(i1nu(x,t)ti1nt0natnatnanatnCnsinccos)sinxt0 lllllnanDnsinx(x)ll(x)与(x)正是傅里叶正弦级数，Cn、Dn是傅里叶系数。

利用三角函数的正交性

l1cos(2n/l)nlxdxdx 00l22lnm1lnmnmsinxxdx[coscosxx]dx0（m≠n）0ll20lllsin2lmnml得到：(x)sinxdxCnsinxxdxCn

00lll2n0l2lm(x)sinxdx 0lll2lm2lm(x)sinxdx(x)sinxdx 同理，Dnnal0lna0l于是得到：Cn回顾整个求解过程，可作出分离变量法流程图

u|t0(x)u|t0(x)uta2uxxu|x0u|xl0X(0)X(L)0分离变量流程图uT(t)X(x)T'/(a2T)X“/XT'a2T0TAexp(a2t)X”X0Xsinx,nlunTn(t)Xn(x)uu(x,t)2.解的性质

uTnXn

un(x,t)=(Cncos于x的函数）natnatnDnsin)sinx---------方程的特解（前面是关于t的函数，后面是关lllun(x,t)=(CncosnnatnatnDnsin)sinx=Ancos(ntn)sinx llllnaD，narctann lCn22其中：AnCnDn，n当xx0时，un(x,t)=Ansin点的振动方程）。

nx0cos(ntn)---------弦上确定的一点以频率n做振动（弦上某lnx----------某一时刻，特解为正弦函数的形式，所有点l当tt0时，un(x,t)=Ancos(nt0n)sin的位置，波动方程（驻波的方程），每个特解代表一个驻波，因此分离变量法又称为驻波法。

标准的驻波方程：y2Acos2xcost

sinn2x的（驻波）波长为nl（n=1,2,3，…）

nl

频率：fnnna 22lna2T la2ln波速：vnfnn3.分离变量法概要：

（1）作分离变量假设，代入方程和边界条件中得到固有值问题（2）确定固有函数和固有值（3）写出定解问题的特解（4）将特解叠加无，给出通解

（5）用初始条件确定通解系数（傅立叶展开）4.回顾整体思路：

2u(x,0)2u2u(x)

定解问题2a初始条件u(x,0)(x), 边界条件u(0,t)0,u(l,t)0 2ttx22u2ua将假设u(x,t)X(x)T(t)代入方程，此偏微分方程得到两个常微分方程t2x2X(x)X(x)0

T(t)a2T(t)0。

将边界条件u(0,t)0,u(l,t)0代入u(x,t)X(x)T(t)，得到X(0)0、X(l)0，求解已知定解条件的常微分方程X(x)X(x)0的特征值为nn(n2n)，特征方程Xn(x)Bnsinx，llnatnatcossinDn求解T(t)a2T(t)0的特征函数Tn(t)Cn，所以

llnatnatnDnsin)Bnsinx。un(x,t)Xn(x)Tn(t)=(Cncoslll2根据叠加原理，特解的叠加是方程的通解，所以得到：

u(x,t)un(x,t))i1n=

(Cncosi1nnatnatnDnsin)sinxlll，将初始条件u(x,0)(x),u(x,0)(x)代入，求解待定系数Cn、Dn（傅立叶展开）。tx(10x)，求弦做

1000分离变量法的适用条件：任何二阶线性（齐次）偏微分方程

例一：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速度为零，初位移为(x)微小横振动时的位移。

22u4u100x10,t022tx u(0,t)0,u(10,t)0t0x(10x)u(x,0)u(x,0),01000t解：设u(x,t)X(x)T(t)，代入

X1T4 X10T4得到：X(x)X(x)0

T(t)10T(t)0

u(0,t)X(0)T(t)0,u(10,t)X(10)T(t)0

X(x)X(x)0,0x10得到本征值问题：，

X(0)0,X(10)0经讨论20时，有非零解，X(x)AcosxBsinx

X(0)A0,X(10)Bsin100，n2n，n=1,2,3，… 10nn22x 得到特征值：

得到特征方程：Xn(x)Bnsin10100于是：T(t)100n2cos10ntDnsin10nt 2T(t)0，其解为Tn(t)Cnun(x,t)Xn(x)Tn(t)

ncos10ntDnsin10nt)x(Cn10nx =(Cncos10ntDnsin10nt)sin10Bnsinu(x,t)un(x,t))=(Cncos10ntDnsin10nt)sini1n1nnx 10将初始条件u(x,0) Cnsin10nt n1x(10x)

1000210x(10x)nsinxdx运用分部积分法求解 010100010110nx(10x)sinxdx

=5000010n为偶数20=44(1cosn)4

n为奇数5n5n44Cnu(x,0)nanDnsinx0，故Dn=0.tlln1所以uun(x,t))=i1n1n(2n1)4sinx cos10(2n1)t105(2n1)4422u2ua0xl,t022txu(l,t)例二： u(0,t)0,0t0xu(x,0)x22lx,u(x,0)00xlt解：设u(x,t)X(x)T(t)，代入

X1T2 XaT得到：X(x)X(x)0

T(t)a2T(t)0

u(0,t)X(0)T(t)0u(l,t)0x

X(0)0

 u(l,t)X(l)T(t)0xX(l)0

X(x)X(x)0,0xl得到本征值问题：，

X(0)0,X(l)0经讨论0，X(x)AexBex（A、B为待定系数）

x把定解条件X(0)0

X(l)0代入通解X(x)Ae得到A+B=0

Bex

AelBel0

于是A=B=0即X(x)=0 =0时, X(x)X(x)0，有X(x)AxB，A=B=0即X(x)=0 20时，X(x)X(x)0，X(x)AcosxBsinx

X(0)0X(l)0所以n A0

X(x)Bcosl0

(2n1) n=1,2,3，… 2l2(2n1)(2n1)22X(x)Bsinx 写出特征值和特征函数，nn22l4l(2n1)22Tn(t)0 T(t)aT(t)0变为Tn(t)a4l222(2n1)a(2n1)asintDnt，2l2l(2n1)a(2n1)a(2n1)cossintDnt)sinx 所以un(x,t)Xn(x)Tn(t)=(Cn2l2l2lcosTn(t)Cn所以uun(x,t))=(Cncosi1i12nn(2n1)a(2n1)a(2n1)atDnsint)sinx 2l2l2l由初始条件u(x,0)x2lx,u(x,0)0确定Cn、Dn。tu(x,0)Cnsinl(2n1)xx22lx 2l2(2n1)32l22 Cn(x2lx)sinxdx33l02l(2n1)u(x,0)(2n1)a(2n1)Dnsinx0，Dn=0 t2l2luun(x,t))=i1n32l231(2n1)a(2n1)costsinx 32l2li1(2n1)n附录1：二阶常系数微分方程：ypyqy0 特征方程：rprq0 根的三种情况

2r1r2r1r2rri

得到常系数微分方程的通解： yC1er1xC2er2x

附录2：线性方程满足叠加原理。

线性齐次方程（只含未知量的一次项，无零次项）通解为所有线性无关特解的叠加；而线性非齐次方程通解为其特解与相应齐次方程（去掉零次项后的线性方程）通解的叠加。

rxrxyC1eC2xeyex(CcosxCsinx)12附录3：和差化积公式

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

第二篇：分离变量法习题

第十章习题解答 求解混合问题

utta2uxx0(0xl,t0)0

u(0,t)0,u(l,t)0，其中(x)v00u(x,0)0,u(x,0)(x)t0xccxc cxl解：用分离变量法：设混合问题的非零解函数为u(x,t)X(x)T(t)，则，utt(x,t)X(x)T(t),uxx(x,t)X(x)T(t)

代入混合问题中的微分方程可得：

X(x)T(t)aX(x)T(t)02X(x)X(x)aT(t)T(t)2

由初始条件可得：u(0,t)X(0)T(t)u(l,t)X(l)T(t)0X(0)X(l)0由此可得，X(x)为如下常微分方程边值问题的非零解：

X(x)X(x)0X(0)0,X(l)0(0xl)



若λ<0，则此定解问题的微分方程的通解为 X(x)c1exp(x)c2exp(x)，代入边值条件后可得c1c20X(x)0，不符合要求。若λ=0，则此定解问题的微分方程的通解为

X(x)c1c2x，代入边值条件后仍可得c1c20X(x)0，不符合要求。若λ>0，则此定解问题的微分方程的通解为 X(x)c1cos代入边界条件后可得： X(0)c1cos0c2sin0c10X(x)c2sinx，2xc2sinx，X(l)c2sinl0,X(x)0sinnxlnl0,n，l所以可取 X(x)Xn(x)sin

(n1,2,)由T(t)所满足的方程可得：

T(t)a22T(t)0T(t)Tn(t)ancosnatlnatlbnsinnatl，所以，原混合问题的微分方程的满足边界条件的分离变量形式解为 u(x,t)un(x,t)Xn(x)Tn(t)(ancosbnsinnatl)sinnxl，设原混合问题的解函数为 u(x,t)n1(ancosnatlbnsinnatl)sinnxl，则由初始条件可得：0u(x,0)n1ansinnxlan0(n1,2,)

 ut(x,t)n1nalbncosnatlsinnxlnxl， (x)ut(x,0)n1natlbnsinbnna2l0(x)sinnxldx，bnna2ccv0sinnxldx2v0lna22(cosn(c)lnxlcosn(c)l)（*）所以，原混合问题的解为 u(x,t)2 求解混合问题

bn1nsinnatlsin，其中的bn由（*）给出。

utta2uxx0(0xl,t0)

u(0,t)E,u(l,t)0

u(x,0)0,u(x,0)0(E为常数）t解：由于边界条件非齐次，需作函数变换如下：设

v(x,t)u(x,t)El(lx)u(x,t)v(x,t)El(lx)，则

vxx(x,t)uxx(x,t),vt(x,t)ut(x,t),vtt(x,t)utt(x,t)，2vtt(x,t)avxx(x,t)utt(x,t)auxx(x,t)0，v(0,t)u(0,t)

v(x,0)u(x,0)ElEl(l0)u(0,t)E0,v(l,t)u(l,t)00，(lx)El(lx),vt(x,0)ut(x,0)0，所以，u(x,t)是原混合问题的解的充要条件是：v(x,t)是如下混合问题的解：

2vtt(x,t)avxx(x,t)0(0xl,

v(0,t)0,v(l,t)0Ev(x,0)(lx),vt(x,t)0lt0)

（*）

用分离变量法求解此定解问题，由分离变量法的标准步骤可得：



v(x,t)n1(AncosnatlBnsinnatl)sinnxl，代入初始条件可得：，Bn0，An2llEl0(lx)sinnxldx2En(n1,2,)

所以，v(x,t)n12EncosnatlElsinnxl，原混合问题的解函数为u(x,t)3 求解下列阻尼波动问题的解：

(lx)n12Encosnatlsinnxl

utt2huta2uxx0(0xl,t0)

u(0,t)0,ux(l,t)0

u(x,0)(x),u(x,0)(x)t其中，h为正常数，且ha2l。

解：使用分离变量法，设原定解问题的微分方程有如下分离变量形式非零解函数满足边界条件：

u(x,t)X(x)T(t)

则容易算得：uxx(x,t)X(x)T(t),ut(x,t)X(x)T(t),utt(x,t)X(x)T(t)，代入方程后化简可得：

T(t)2hT(t)aT(t)2X(x)X(x)

0u(0,t)X(0)T(t)X(0)0，0ux(l,t)X(l)T(t)X(l)0，T(t)2hT(t)aT(t)0

X(x)X(x)0

，X(0)0,X(l)02由X(x)的非零性可得0，此时，X(x)c1cosxc2sinx，X(0)c1cos0c2sin0c10X(x)c2sinx，取c21得：X(x)sin2n1l0n

2l22x,X(l)cos2n1将代入T(t)所满足的方程可得：T(t)2hT(t)aT(t)0

l

22n12ha0nh2l2(2n1)ah

2l222

ha2l(2n1)a2lnh(2n1)a2hi2l(n1,2,)

从而有：

T(t)Tn(t)eht(AncosntBnsinnt)，2n1a2l22其中

nh(n1,2,)，（1）

设原混合问题的解函数为：



u(x,t)n1eht(AncosntBnsinnt)sin(2n1)2lx，

(x)u(x,0)ln1Ansinl(2n1)2lx，(2n1)xl(1cosdx，0022l2l22l(2n1)xdx(n1,2,)

（2）所以

An(x)sin0l2l而

sin2(2n1)xdx1ut(x,t)n1eht((hAnnBn)cosnt(hBnnAn)sinnt))sin(2n1)x2l



(x)ut(x,0)1n1(hAnnBn)sin(2n1)x2l，Bnn(hAn2ll0(x)sin(2n1)x2ldx)。

（3）

所以，原混合问题的解是u(x,t)n1eht(AncosntBnsinnt)sin(2n1)2lx，其中的 n,An,Bn分别由（1）式、（2）式、（3）式给出。

4 求解混合问题

uxxLCutt(LGRC)utGRu

u(0,t)0,ux(l,t)0GEu(x,0)E,u(x,0)tC(0xl,t0)

其中L、C、G、R为常数，且LG=RC。（提示：作函数变换u(x,t)exp(Rt/L)v(x,t)）

解：记a21LC,bGCRL，混合问题的微分方程两边同除LC，方程可化为

a2uxx(x,t)utt(x,t)2but(x,t)b2u(x,t)，a22x(u(x,t)exp(bt))t22(u(x,t)exp(bt))，设v(x,t)u(x,t)exp(bt)，则有

a2vxx(x,t)vtt(x,t)，而且，vx(x,t)ux(x,t)exp(bt),()0,所以

v(0,t)u(0,t)expbtvt(x,t)ut(x,t)exp(bt)bu(x,t)exp(bt)，vx(l,t)ux(l,t)expbt()0，vt(x,0)ut(x,0)bu(x,0)0，(0)u(x,0)E, v(x,0)u(x,0)expb所以，若u(x,t)是原混合问题的解函数，则v(x,t)是如下混合问题的解函数：

vtt(x,t)a2vxx(x,t)0

v(0,t)0,vx(x,t)0v(x,0)E,v(x,t)0t(0xl,t0)

用分离变量法求解此混合问题，设方程的分离变量解形式的满足边界条件的非零解为 v(x,t)X(x)T(t)，则

vx(x,t)X(x)T(t)，vxx(x,t)X(x)T(t),vxx(x,t)X(x)T(t), X(x)X(x)T(t)aT(t)2

由齐次边界条件可得，X(x)为如下定解问题的解：

X(x)X(x)0X(x)c1cosxc2sinx，X(0)0,X(l)0

X(0)0c10，取c21得X(x)sinx，X(l)T(t)aT(t)2(2n1)cosl0n2lnT(t)Tn(t)Ancos(2n1)x2l2(n1,2,)，(2n1)at2l

(2n1)at2lBnsin，X(x)Xn(x)sin(n1,2,)，设

v(x,t)n1(Ancos(2n1)at2llBnsin(2n1)at2l)sin(2n1)x2l

代入初始条件可得：An2l0v(x,0)sin(2n1)x2ldx4E(2n1),Bn0，所以

v(x,t)(2n1)n14Ecos(2n1)at2lsin(2n1)x2l

所以，原题目所给的混合问题的解函数为：

u(x,t)exp(bt)n14E(2n1)cos(2n1)at2lsin(2n1)x2l。用固有函数法求解

utta2uxxg(const),

u(0,t)0,ux(l,t)0u(x,0)0,u(x,0)0t(0xl,t0)

解：用分离变量法：设原混合问题的微分方程对应的齐次方程有如下分离变量形式的非零解函数：u(x,t)X(x)T(t)，利用分离变量法的标准步骤可求得： (2n1)

n,2l2X(x)Xn(x)sin(2n1)x2l(n1,2,)

将f(x,t)g展开成Xn(x)的广义Fourier级数如下：

fn(t)2ll0f(x,t)Xn(x)dx2ll0gsin(2n1)x2ldx4g(2n1)，T(t)a2nT(t)fn(t)16gl(2n1)atT(t)T(t)(1cos)n3322l(2n1)aT(0)0,T(0)02[注：方程T(t)aT(t)fn(t)的通解为

Tn(t)Ancos

(2n1)at2lBnsin(2n1)at2l16gl(2n1)a332，代入初始条件即可得此处的结果。] 所以，题目所给的混合问题的解函数为

u(x,t)Tn(t)Xn(x)n1(2n1)16gl3a32(1cos(2n1)at2lt0))sin(2n1)x2l。

ut(x,t)a2uxx(x,t)06．求解混合问题u(0,t)0,ux(l,t)0u(x,0)u(const)0(0xl,。

解：用分离变量法：设混合问题中的微分方程有如下满足边界条件的分离变量形式的非零解函数：u(x,t)X(x)T(t)，则

ut(x,t)X(x)T(t),ux(x,t)X(x)T(t),uxx(x,t)X(x)T(t)，代入方程后化简再由边界条件可得：

T(t)aT(t)2X(x)X(x)T(t)aT(t)0,22X(x)aX(x)0

u(0,t)X(0)T(t)0X(0)0,ux(l,t)X(l)T(t)0X(l)0，所以，X(x)为如下常微分方程边值问题的非零解函数：

X(x)X(x)0X(0)0,X(l)0

2(0xl)

(2n1)解之得 n,2lX(x)Xn(x)sin(2n1)x2l(n1,2,)，2(2n1)a

T(t)na2T(t)0T(t)Tn(t)Anexp(t)。

2l设原问题的解函数为

u(x,t)n1(2n1)x(2n1)a，Anexp(t)sin2l2l2由初始条件可得：

u0u(x,0)An1nsin(2n1)x2l4u0，由此可得：

An2ll0u0sin(2n1)x2ldx(2n1)2(n1,2,)，所以，u(x,t)n1(2n1)x(2n1)a exp(t)sin(2n1)2l2l4u0 7 ut(x,t)a2uxx(x,t)0(0xl,7．求解混合问题u(0,t)0,ux(l,t)u(l,t)0u(x,0)(x)t0)

解：用分离变量法：设混合问题中的微分方程有如下满足边界条件的分离变量形式的非零解函数：u(x,t)X(x)T(t)，则

ux(x,t)X(x)T(t),uxx(x,t)X(x)T(t),ut(x,t)X(x)T(t)，代入方程后化简，并由边界条件可得：

T(t)a2T(t)0,X(x)X(x)0，u(0,t)X(0)T(t)0X(0)0，ux(l,t)u(l,t)(X(l)X(l))T(t)0X(l)X(l)0，所以，X(x)为如下常微分方程边值问题的解函数：

X(x)X(x)0(0xl)



X(0)0,X(l)X(l)0由u(x,t)是非零解可得：0X(x)c1cos

X(0)0c10X(x)sinxxc2sinx

(letc21)，X(l)X(l)设

tanlcoslsinl0tanl(n1,2,)，则nn

2

n0所以，X(x)Xn(x)sinnx，22((an)t)

T(t)(an)T(t)0T(t)Tn(t)Anexp(n1,2,)，设原混合问题的解函数为

u(x,t)An1nexp((an)t)sinnx，2利用Xn(x)的正交性可求得 An(x)sin0lnxdx(n1,2,)。

[注]：可以证明：Xn(x)具有正交性。

l0sinnxdx2 8 ut(x,t)a2uxx(x,t)08．求解混合问题u(0,t),u(l,t)u(x,0)u0(0xl,t0)，其中，,,u0为常数。

解：作函数变换 v(x,t)u(x,t)(则

ut(x,t)vt(x,t),lx)u(x,t)v(x,t)(l x)，uxx(x,t)vxx(x,t)，u(0,t),u(l,t)v(0,t)0,v(l,t)0，u(x,0)u0v(x,0)u0(lx)

所以，u(x,t)是原混合问题的解的充要条件是v(x,t)是如下混合问题的解： 2vt(x,t)avxx(x,t)0(0xl,（*）

v(0,t)0,v(l,t)0v(x,0)u(x)0lt0)

用分离变量法求解（*），由分离变量法的标准步骤可得：

X(x)Xn(x)sinnxl,naT(t)Tn(t)Anexp(t)，l2

v(x,t)Tn1n(t)Xn(x)n1nxna，Anexp(t)sinll2代入初始条件可得：u0(l2lx)v(x,0)ln1Ansinnxlnxl

由Xn(x)的正交性可得：An

An0(u0(nlx))sindx，2n((u0)(1)(u0))(n1,2,)，2所以，v(x,t)n1nxnan((u0)(1)(u0))exp(t)sinnll2

u(x,t)v(x,t)(lx)。

uxx(x,y)uyy(x,y)0(0xa,9．求解 u(x,0)x(xa),limu(x,y)0yu(0,y)0,u(a,y)0y0)。

解：用分离变量法：设给定的定解问题中的微分方程有如下满足齐次边界条件的分离变量形式非零解：

u(x,y)X(x)Y(y)，则

uxx(x,y)X(x)Y(y),uyy(x,y)X(x)Y(y)，uxx(x,y)uyy(x,y)X(x)Y(y)X(x)Y(y)0，X(x)X(x)Y(y)Y(y)X(x)X(x)0,Y(y)Y(y)0，

u(0,y)X(0)Y(y)0X(0)0，u(a,y)X(a)Y(y)0X(a)0，所以，X(x)为如下常微分方程边值问题的解函数：

2X(x)X(x)0nn

,X(0)0,X(a)0aX(x)Xn(x)sinnyanxa，从而有：Y(y)Yn(y)Anexp(又由另一个边界条件可得：

nya)Bnexp()(n1,2,)

（limun(x,y)limXn(x)Yn(y)0An0Yn(y)Bnexpyynya)，设原定解问题的解函数是u(x,y)n1un(x,y)n1Bnexp(nya)sinnxa，则

u(x,0)x(xa)x(xa)n1Bnsinnxa

Bna2a0x(xa)sinnxandx22aannya333((1)1)n(n1,2,)，所以，u(x,y)10．求解边值问题：

4a23n1(1)1n3exp()sinnxa。

uxx(x,y)uyy(x,y)0(0xa,

u(0,y)0,u(a,y)0xxu(x,0)0,u(x,b)sinaa0yb)。

解： 用分离变量法：设给定的定解问题中的微分方程有如下分离变量形式的满足齐次边界条件的非零解：

u(x,y)X(x)Y(y)，则有：

uxx(x,y)X(x)Y(y), X(x)X(x)Y(y)Y(y)uyy(x,y)X(x)Y(y)，0X(x)X(x)0,Y(y)Y(y)0，u(0,y)X(0)Y(y)0X(0)0，同理 X(a)0，所以，X(x)是如下二阶常微分方程边值问题的解函数：

2X(x)X(x)0nn

,X(0)0,X(a)0aXn(x)sinnyanxa，Y(y)nY(y)0Y(y)Yn(y)Ancoshny，Bnsinha设原定解问题的解为：u(x,y)n1(AncoshnyaBnsinhnya)sinnxa，则

0u(x,0)n1AnsinnxaAn0(n1,2,)，xasinxa2au(x,b)nban1aBnsinhnbasinsinnxadx，所以，Bn(sinh)1xa0sinxanxanb2

sinha11(1)n1(1)n(n1)2(n1)2(n2,3,)

axbxxb

B1(sinh)1sinsindx2sinh0aaaaaa21。

所以，原定解问题的解函数为u(x,y)n1Bnsinhnyasinnxa，其中的Bn由以上式子给出。11．求解边值问题

uxx(x,y)uyy(x,y)k(0xa,

u(0,y)0,u(a,y)0u(x,0)0,u(x,b)00yb)，提示：令u(x,y)v(x,y)w(x),而w(x)满足条件w(x)k,w(0)w(a)0。解：令w(x,y)k2x(xa),v(x,y)u(x,y)w(x,y)，则

vxx(x,y)uxx(x,y)wxx(x,y)uxx(x,y)k，vyy(x,y)uyy(x,y)wyy(x,y)uyy(x,y)

所以，uxx(x,y)uyy(x,y)kvxx(x,y)vyy(x,y)0，u(0,y)0,u(a,y)0v(0,y)0,v(a,y)0，u(x,0)0,u(x,b)0v(x,0)k2x(xa),v(x,b)k2x(xa)

所以，u(x,y)是原定解问题的解的充要条件是v(x,y)是如下定解问题的解： vxx(x,y)vyy(x,y)0（*）v(0,y)0,v(a,y)0，kkv(x,0)x(xa),v(x,b)x(xa)22用分离变量法求解（*），由分离变量法的标准步骤可得：

v(x,y)X(x)Y(y)X(x)X(x)0,n

n,a2Y(y)Y(y)0，Xn(x)sinnxa,nynyYn(y)Anexp()Bnexp()

aa(n1,2,)，v(x,y)vn(x,y)Xn(x)Yn(y)设（*）的解函数为v(x,y)n1(Anexp(nyak2)Bnexp(nya))sinnxa

则

v(x,0)n1(AnBn)sinnxa1x(xa)，v(x,b)n1(AnDnBnDn)sinnxa，（其中 Dnexp(nba)）

若记

Cna2ak20x(xa)sinnxadx2k2aa2n333((1)1)，31nb)1CnAnexp(ABCannn则有： ，11ADBDCnbnbnnnnnBexp()exp()1Cnnaa 12 其中，An,Bn,Cn,Dn由以上各式给出。而题目所给的定解问题的解函数为

u(x,y)v(x,y)w(x,y)v(x,y)12．求解边值问题

uxx(x,y)uyy(x,y)0(0xa,

u(x,0)0,u(x,b)0u(0,y)y(yb),u(a,y)00yb)k2x(xa)。

解：用分离变量法求解此定解问题：设u(x,y)X(x)Y(y)，由分离变量法的标准过程

nyn可得

n,Yn(y)sinX(x)Y(y)bbX(x)nX(x)0X(x)Xn(x)Anexp(nxb)Bnexp(nxb)(n1,2,)X(x)Y(y)2设原定解问题的解函数为



u(x,y)n1Xn(x)Yn(y)n1(Anexp(nxb)Bnexp(nxb))sinnyb，则由关于x的边界条件可得：y(yb)u(0,y)2bn1(AnBn)sinnyb，AnBnb0y(yb)sinnybdy



0u(a,y)nabn1(Anexp(nabnab1b)Bnexp(nab))sinnyb，Anexp(所以

An

Bn2b)Bnexp(2nabb)0，y(yb)sin)1)12b(exp()1)nyb0dy，nybdy，exp(2na)(exp(2nabb0y(yb)sin所以，u(x,y)所以，……。

13.求解混合问题

(An1nexp(nxb)Bnexp(nxb))sinnyb

3x3at2u(x,t)au(x,t)sinsinxxtt2l2l

u(0,t)0,ux(l,t)0u(x,0)0,u(x,0)0t(0xl,t0)。

解：用分离变量法求解此混合问题：设原给定的混合问题中的微分方程对应的齐次方程有如下分离变量形式的满足边界条件的非零解：

u(x,t)X(x)T(t)ux(x,t)X(x)T(t),uxx(x,t)X(x)T(t)，ut(x,t)X(x)T(t),utt(x,t)X(x)T(t)，utt(x,t)a2uxx(x,t)0

X(x)X(x)0, 由边界条件可得：u(0,t)X(0)T(t)0X(0)0，ux(l,t)X(l)T(t)0X(l)0，所以，X(x)是如下边值问题的非零解函数：

X(x)X(x)0



X(0)0,X(l)0X(x)X(x)T(t)aT(t)2

(2n1)求解此问题，可当n时，问题有非零解，其解函数集构成一个

2l2一维线性空间，它的一个基向量函数为X(x)Xn(x)sin令

fn(t)2l(2n1)x2l2lsin，dx，l0f(x,t)Xn(x)dx,fn(t)0,l0sin3x2lsin3at(2n1)x2l则

f2(t)sin3at2l(n1,3,4,5,)

令{Tn(t)}为如下初值问题的解函数： T(t)na2T(t)fn(t)

T(0)0,T(0)0(t0)，（1）

则Tn(t)0(n1,3,4,5,)，对于n=2,可用常数变易法来求：

T(t)2aT(t)0T(t)Acos设（1）的解函数为 T(t)A(t)cos则 T(t)A(t)cos令

A(t)cos3at2lB(t)sin3at2l3at2l3atB(t)sin3a2l2l3at2lBsin3at2l，3at2lB(t)cos3at2l)

(A(t)sin3at2lB(t)sin3at2l0，14 则

T(t)3a2l3a2l(A(t)sin3at2l3atB(t)cos)，2lT(t)(A(t)sin3at2lB(t)cos3a2l3at3at3at3a)B(t)sin)(A(t)cos2l2l2l2l3at2l3at B(t)cos)f2(t)，2l2

T(t)2a2T(t)f2(t)(A(t)sin3at3at(t)cos(t)sinAB02l2l也就是：

，3a3at3at3at(A(t)sinB(t)cos)sin2l2l2l2l求解此线性方程组得：A(t)22l3asin23at2l,B(t)2l3asin23at2lcos3at2l，3atll

A(t)sintc1,l3a3a3atl B(t)cosc2，l3a所以，（1）的解为：

3atl3at3at3atl

T(t)T2(t) tcosc1cosc2sinsin3a2l3a2l2l2l2由初始条件T(0)0,T(0)0可得：c10,2l22lc2，3a3at2l2所以，T2(t)3asin3at2ll3atcos，所以，题目所给的定解问题的解函数为：



u(x,t)14．求解混合问题

n12l23atl3atXn(x)Tn(t)sintcos(3a)22l3a2l3xsin。2l2x2u(x,t)au(x,t)sin(0xl,xxttl

u(0,t)0,u(l,t)03x2xu(x,0)2sin,u(x,0)sintllt0)。

解：作函数变换v(x,t)u(x,t)w(x)，其中w(x)为待定函数，则

vtt(x,t)utt(x,t),vt(x,t)ut(x,t),vxx(x,t)uxx(x,t)w(x)，22

vtt(x,t)avxx(x,t)utt(x,t)a(uxx(x,t)w(x))

utt(x,t)auxx(x,t)aw(x)，15 设u(x,t)是原定解问题的解函数，2xl取aw(x)sin222xl，则有： 0，即w(x)sinl2a222vtt(x,t)avxx(x,t)utt(x,t)auxx(x,t)aw(x)sin2xl aw(x)0，2而

v(0,t)u(0,t)w(0)000,3xlv(l,t)u(l,t)w(l)0

v(x,0)u(x,0)w(x)2sin2xl2xl，sin2al2

vt(x,0)ut(x,0)sin，所以，v(x,t)为如下定解问题的解函数： v(x,t)a2v(x,t)0ttxx（*）

v(0,t)0,v(l,t)03xlv(x,0)2sinl2a(0xl,2xsin,l2t0)，vt(x,0)sin2xl用分离变量法求解此定解问题：由分离变量法的标准过程可得： n

n,l2X(x)Xn(x)sinnatlBnsinnatlnxl,，T(t)Tn(t)Ancos设（*）的解函数为

(n1,2,)



v(x,t)n1un(x,t)n1(AncosnatlBnsinnatl)sinnxl，由初始条件可得：2sin3xl2xlv(x,0)sin2al22n1Ansinnxl

l可得： A10,A2,A32,2aAn0(n4,5,)

natllna

vt(x,t)n1nal(AnsinnatlnxlBncos)sinnxl，sin2xlvt(x,0)n1nalBnsinB2,Bn0(n1,3,4,5,)

2atl2at2x3at3xl所以，v(x,t)(，cossin)sin2cossinl2allll2a2所以，题目所给的定解问题的解函数为u(x,t)v(x,t)w(x)。15． 求解混合问题

2x2sinx(0xl,utt(x,t)auxx(x,t)l

u(0,t)t,u(l,t)sintu(x,0)0,u(x,0)(为常数)tt0)。

[注]：此定解问题中的微分方程非齐次项中的sinx应为sint，才能得到书中答案。

解：先将边界条件齐次化：令v(x,t)u(x,t)((sintt)t)，lx则

vtt(x,t)utt(x,t)xlsint,2vxx(x,t)uxx(x,t)，若u(x,t)是原定解问题的解函数，则

vtt(x,t)avxx(x,t)utt(x,t)2xl2sintauxx(x,t)

xl22

utt(x,t)auxx(x,t)0lsint0，2tt)t)tt0，v(0,t)u(0,t)((sintt)t)tt0，v(l,t)u(l,t)((sinll

v(x,0)u(x,0)00,vt(x,0)ut(x,0)(xl(cos*0))0，所以，v(x,t)是如下定解问题的解函数：

vtt(x,t)a2vxx(x,t)0

v(0,t)0,v(l,t)0v(x,0)0,v(x,0)0t(0xl,t0)v(x,t)0，所以，原定解问题的解函数为 u(x,t)xl(sintt)t

utt(x,t)a2uxx(x,t)3x2tex16． 求解 ux(0,t)t,ux(l,t)u(l,t)tu(x,0)0,u(x,0)1ext(0xl,t0)。

解：作如下函数变换：v(x,t)u(x,t)t(1ex)u(x,t)ttex，若u(x,t)是原定解问题的解函数，则经验证可得：v(x,t)是如下定解问题的解函数： vtt(x,t)a2vxx(x,t)3x2(1a2)tex

vx(0,t)0,vx(1,t)v(1,t)0v(x,0)0,v(x,0)0t(0x1,t0)

用分离变量法求解此定解问题：设v(x,t)X(x)T(t)，T(t)aT(t)2由分离变量法的标准过程可得：

X(x)X(x)X(x)X(x)0，vx(0,t)0,vx(1,t)v(1,t)0X(0)0,X(1)X(1)0 由X(x)所满足的方程可得：X(x)c1cosxc2sinx，由边界条件可得：c20,0，取c11，则得X(x)cos

X(1)X(1)0sincos02所以，nn,X(x)Xn(x)cosnxx，ctg，(n1,2,)，其中，n是方程ctg的所有正解。因为

10cosnxdx22100.5(1cos2nx)dx0.5(1sinn)，2令

fn(t)1sinn21sin2210f(x,t)cosnxdx

1n0((3x)(1a)te22x)cosnxdx

4sinn(1sinn)3n22(1a)sinn1sinn222tbncnt

则

f(x,t)n1fn(t)cosnx，设原定解问题的解函数为v(x,t)Tn12n(t)cosnx，则

vttavxx2(Tn1n(t)aT(t))cosnx2nn1fn(t)cosnx，22从而有：

Tn(t)anTn(t)fn(t)(n1,2,)，由初始条件可得：v(x,0)vt(x,0)0Tn(0)Tn(t)0，所以，Tn(t)为如下初值问题的解函数： 22Tn(t)anTn(t)fn(t)

Tn(0)0,Tn(0)0(t0)

22用常数变易法：Tn(t)anTn(t)0Tn(t)AncosantBnsinant，设此边值问题的解为： Tn(t)An(t)cosantBn(t)sinant，A(t)cosatB(t)sinat0nnnn经简单推导得： ，1A(t)sinatB(t)cosatf(t)nnnnnan1A(t)fn(t)sinantnan解此线性方程级：

1Bn(t)fn(t)cosantan积分并利用初始条件可得：

cn1A(t)((bct)cosatb)sinantnnnn23nanan

，cn1Bn(t)(bncnt)sinant(cosant1)23anan

Tn(t)An(t)cosantBn(t)sinant

1anbn2bncnt1an2(bncosantcnansinant)

an21cosantcnan21tsinatn an所以，u(x,t)Tn1n(t)cosnx，其中的Tn(t)、bn、cn和n均由以上各式给定。[注]课本上的答案为此处的a=1。

ut(x,t)a2uxx(x,t)0(0xl,17． 求解 ux(0,t),ux(l,t)u(x,0)A(A,为常数)t0)。

解：设u(x,t)是原定解问题的解函数，作函数变换v(x,t)u(x,t)x，19 则

vt(x,t)ut(x,t),vx(x,t)ux(x,t),vxx(x,t)uxx(x,t)

vx(0,t)ux(0,t)0,vx(l,t)ux(l,t)0,v(x,0)u(x,0)xAx，所以，v(x,t)是如下定解问题的解函数：

vt(x,t)a2vxx(x,t)0(0xl,t0)

vx(0,t)0,vx(l,t)0

v(x,0)Ax用分离变量法求解此定解问题：设v(x,t)X(x)T(t)为微分方程的满足齐次边界条件的非零解函数，则将v(x,t)代入方程后化简可得：

T(t)aT(t)X(x)X(x)T(t)aT(t)0,2X(x)X(x)0，vx(0,t)0,vx(l,t)0X(0)0,X(l)0，所以，X(x)为如下边值问题的非零解函数：

2nnX(x)X(x)0(0xl)lX(0)0,X(l)lX(x)X(x)cosnxnl(n0,1,2,)

将n代入T(t)的方程可得：

na

T(t)a2nT(t)0T(t)Tn(t)Bnexp(t)lnxna所以，vn(x,t)Tn(t)Xn(x)Bnexp(。t)cosll22(n0,1,2,)，设

v(x,t)n0nxna，Bnexp(t)cosll2则由初始条件可得：Axv(x,0)1l2ln0Bncosnxl

可得：

B0

Bn)0l(Ax)dxA12l，(n1,2,)，nx2ln(Ax)cosdx(1(1))220lln 20 所以，v(x,t)A

12ln12ln22nxna。(1(1))exp(t)coslln2ut(x,t)a2uxx(x,t)f(x)(0xl,18． 求解 u(0,t)A,u(l,t)B(A,B为常数)u(x,0)g(x)t0)。

解：设F(x)(0xx0f(x)dx)dx，w(x)1a2F(x)(AB)aF(l)al22xA，1a2

v(x,t)u(x,t)w(x)vt(x,t)ut(x,t),vxx(x,t)uxx(x,t)

vt(x,t)a2vxx(x,t)ut(x,t)a2uxx(x,t)f(x)0，1a1a22f(x)，v(0,t)u(0,t)w(0)AF(0)(AB)aF(l)al2220A0，v(l,t)u(l,t)w(l)BF(l)(AB)aF(l)al2lA0，v(x,0)u(x,0)w(x)g(x)w(x)，所以，v(x,t)是如下定解问题的解函数：

vt(x,t)a2vxx(x,t)0

v(0,t)0,v(l,t)0v(x,0)g(x)w(x)(0xl,t0)，用分离变量法可求得：



v(x,t)其中，Ann1nxna，Anexp(t)sinll(g(x)w(x))sin22llnxl20dx(n1,2,)。

所以，u(x,t)n1nxnaAnexp(w(x)。t)sinll21．在扇形区域内求解边值问题

u0(ra,0)

u(r,0)0,u(r,)0。

u(a,)f()解：由极坐标下的Laplace算子表达式可知：

1u1u2

u0rurrruru0。r22rrrr2用分离变量法求解此定解问题：设u(r,)R(r)()，代入以上微分方程化简后可rR(r)rR(r)R(r)2得

()()2：

()()0,rR(r)rR(r)R(r)0

u(r,0)R(r)(0)0(0)0, u(r,)R(r)()0()0，所以，()是如下边值问题的非零解函数：

2nn()()0

(0)0,()0()sinnxn(n1,2,)，2n/n/Bnr

rR(r)rR(r)nR(r)0R(r)Rn(r)Anr，n/又显然有：R(0)Bn0，也就是：Rn(r)Anr，所以，un(r,)Rn(r)n()Anrn/sinnsin，n设原定解问题的解函数是 u(r,)n1Anrn/n/，由关于r的边界条件可得：f()u(a,)其

n1Anasinn，中

Anan/20f()sinn2d(n1,2,)，n/nr所以，u(r,)f()sindn10asinn。

u0(1r2,0)22 求解边值问题

u(1,)sin,u(2,)0。

u(r,0)0,u(r,)0解：由极坐标下的Laplace算子表达式可知：

1u1u20rurrruru0

ur22rrrr

2用分离变量法求解：设u(r,)R(r)()代入方程中并化简得：

rR(r)rR(r)R(r)2

r2R(r)rR(r)R(r)0，()()()0()

u(r,0)0,u(r,)0(0)0,()0，()()0

(0)0,()02n2nn()()sinnn(n1,2,)，将nn2代入R(r)所满足的方程可得：

r2R(r)rR(r)n2R(r)0R(r)Rn(r)AnrnBnrn，n设原定解问题的解函数为 u(r,)Rn1(r)n()(An1nrBnrnn)sinn，nn0u(2,)(An2Bn2)sinnn1由r的边界条件可得：

，sinu(1,)(AnBn)sinnn1容易得到：

AnBn0(n2,3,)，11A12A2B10

3，14B11A1B13所以，u(r,)13r43r1sin。2(ra)uxxuyyy23． 求解边值问题  222uraxy,rxy解：作函数变换 v(x,y)u(x,y)112y，24则有：

vxx(x,y)uxx(x,y),vyy(x,y)uyy(x,y)y 此时，有：

vxxvyyuxxuyyyyy0，所以，v(x,y)是如下边值问题的解函数：

222 23 vxxvyy0(ra)

 14222vxyy,rxy12ra将此定解问题由直角坐标改为极坐标：

r2vrrrvrv0(ra)

1424v(a,)acossinasin12(xrcos,yrsin)，用分离变量法求解此定解问题：设v(r,)R(r)F()，由分离变量法的标准步骤rR(r)rR(r)R(r)2容易得到：

F()F()02，rR(r)rR(r)R(r)0F()F()由v(r,)的实际意义可知：F()是以2为周期的周期函数，R(0) 所以

nn2,F()Fn()AncosnBnsinn(n0,1,2)

22nnn

rR(r)rR(r)nR(r)0R(r)c1rc2r,letRn(r)r，n设

v(r,)Rn0(r)Fn()(An0nncosnBnsinn)r

由关于r的边界条件可得：v(a,)112(An04ncosnBnsinn)a，n而

v(a,)acossin

所以，A013213242asin

12412acos219644a412asin21a,B222196acos4，4a,A224,A4，其余的An、Bn的值均为零。所以，v(r,) u(r,)1324132ar(242124acos212212sin2)1964196rcos4，112rsin。

444ar(124acos22sin2)rcos4u0(ra,0)224.求解边值问题 ur(a,)f()。

u(r,0)0,u(r,)02解：因为其自变量的取值区域是扇形区域，所以可在极坐标系下用分离变量法求解此定 24 解问题，因为，u1rrrur1ur2220，设 u(r,)R(r)()，求出其各阶偏导数并代入方程后化简可得：

rR(r)rR(r)R(r)2

r2R(r)rR(r)R(r)0 ()()()0()(由u(r,)关于的边界条件可得

(0)0,2)0

()()0n4n2所以

(0)0,()0n()sin2n2(n1,2)

r2R(r)rR(r)4n2R(r)0RRn(r)Anr2nBnr2n

u(0,)Rn(0)Rn(r)Anr2n

设原定解问题的解函数为

u(r,)An1nr2nsin2n，则

ur(r,)2nAn1nr2n1sin2n，由边界条件得

f()ur(a,)从而有：

An2na2n12nAn1na2n1sin2n

/20f()sin2nd

（1）

所以，原定解问题的解函数为u(r,)其中的系数由（1）式给出。

An1nr2nsin2n，uxy(ra,0)225．求解边值问题

ur(a,)f()

222u(r,0)0,u(r,)0,rxy2解：设w(x,y)112xy(xy)，作函数变换v(x,y)u(x,y)w(x,y)，22则

vvxxvyyuxxuyy(wxxwyy)0 在极坐标下：

v(r,)u(r,)w(r,)u(r,)124rsin2，25

vr(r,)ur(r,)

vr(a,)ur(a,)经验算得知：

v(r,0)0,v(r,1616rsin2，asin2，332)0，所以，v(r,)为如下边值问题的解函数：

21v1v(r)20v2rrrr13v(a,)f()asin2r6v(r,0)0,v(r,)02(ra,02)

用分离变量法求解，设v(r,)R(r)()代入方程并化简得：

rR(r)rR(r)R(r)2

r2R(r)rR(r)R(r)0，()()()0()由关于的边界条件可得：(0)0,(2)0，(n1,2,)，2由此可得： n4n,n()sin2n222n2n

rR(r)rR(r)4nR(r)0RRn(r)AnrBnr，v(0,)R(0)Rn(r)Anrn2n。

设

v(r,)Rn13(r)n()An1nr2nsin2n，则

f()16asin2vr(a,)22nAn1na2n1sin2n，由可求得： v(r,)An1nr2nsin2na12rsin2，2其中，An2na2n1/20f()sin2nd，124rsin2。

u(r,)v(r,)

第三篇：积分变换与数理方程报告

积分变换与数理方程

班级：电信09103班 学号：200911020309 姓名：何双来

《积分变换与数理方程》学习总结报告

这个学期我们开了《积分变换与数理方程》这门课。这个课是为大三学习《信号与线性系统分析》做准备而开的。

现在，信号与系统的概念已经深入到人们的生活和社会的各个方面。手机、电视机、通信网、计算机网等已经成为人们常用的工具和设备，这些工具和设备都可以看成系统，而各种设备传送的语音、音乐、图像、文字等都可以看成信号。所以《信号与线性系统分析》这门课非常重要，已经成为电子信息类专业的基础必修课。然而，这门课程并不是那么好学，它里面涉及到很多高等数学的知识。要学习这门课程必须有较好的高等数学知识，并且能够运用这些数学知识解决实际问题。除此之外，还要求学生有较强的阅读理解能力，因为本课程的教材里面有很多抽象的概念、定义和公式。总的来说，是运算量大，内容多阅读量大，理解能力要求高。要在一个学期内学好这门课程并不是一件容易的事情。因此，为了减轻大三的时候学习这门课程的负担，我们开设了《积分变换与数理方程》这门课，主要讲授的是《信号与线性系统分析》中三数学变换和其它一些与数学运算有关的知识，目的是在上《信号与线性系统分析》课之前，让学生提前接触这门课程，以减少大三学习这门课程时难度。

经过这个学期对《积分变换与数理方程》这门课程的学习，我学到了很多东西，下面就对我所学到的东西做一个汇总。

一、首先，是信号的概念。信号是信息的一种表示方式，通过信号传递信息。信号有一维信号，也有n维信号，而本课程只讨论一维信号。信号根据不同的分类方式可以分为连续信号和离散信号，也可分为周期信号与非周期信号，又可分为实信号和复信号，还可分为能量信号和功率信号。此外，信号还可以进行某些基本运算，包括加法和乘法运算、反转和平移和尺度变换。

二、在这门课程中我还学习到了一些和信号分析与处理有关的基本的常见的函数。

（1）阶跃函数以及其图像（2）冲击函数及其图像

0,t0def1(t)limn(t)2,t0 (t)limpn(t)

nn1,t0def(t)t o o (t)t 阶跃函数与冲击函数的关系如下：

(t)d(t)dtt

(x)dx (t)

三、此外，我还学到了一些对函数的运算和函数的三大变换。

1、卷积积分。卷积方法在信号与系统理论中占有重要地位。卷积积分的定义如下：

一般而言，如有两个函数f1(t)和f2(t)，积分

f(t)=

f1()f2(t)d

（2.3 —

7）

称为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积。式（2.3 — 7）常记作

f(t)=f1(t)*f2(t)=f1()f2(t)d

下面是一些常用函数的卷积积分：

（1）函数与冲击函数的卷积：

f(t)(t)(t)f(t)()f(t)df(t)

f(t)(tt1)(tt1)f(t)f(tt1)

f(tt1)(tt2)(tt1)f(tt2)f(tt1t2)

(tt1)(tt2)(tt2)(tt1)(tt1t2)（2）常用卷积积分：

①f(t)'(t)f'(t)②f(t)(t)f(t)

③f(t)(t)

2、傅立叶变换（1）、正交函数集

如有定义在(t1,t2)区间两个函数1(t)和2(t)，若满足

1(t)2(t)dt0

t1t2tf()d ④(t)(t)t(t)

则称1(t)和2(t)在区间(t1,t2)内正交。

若有n个函数1(t)，2(t)，…，n(t)构成一个函数集，当这些函 在区间(t1,t2)内满足

t2t1i(t)j(t)dt0,ijki0,ij 式中ki为常数，则称此函数集为在区间(t1,t2)的正交函数集。

（2）、周期信号的频谱。如前所述，周期信号可以分解成一系列正弦信号或指数信号之和，即

f(t)A02n12An1cos(ntn)jn 或 f(t)Fennjnt

其中FnAnejn|Fn|e。

（3）、非周期信号的频谱。为了描述非周期信号的频谱特性，引入了频谱密度的概念。令

F(j)limFn1TlimFnTTT 称F(j)为频谱密度函数，简称频谱函数。

对于任意一个非周期信号的时间函数f(t)有

defF(j)limFnTTdeff(t)edjtdt（4.4 — 4）

f(t)12F(j)ejt（4.4 — 5）式（4.4 — 4）称为函数f(t)的傅里叶变换，式（4.4 — 5）称为函数F(j)的傅里叶逆变换。F(j)称为f(t)的频谱密度函数或频谱函数，而f(t)称为F(j)的原函数。f(t)和F(j)的关系可以简记为f(t)F(j)。

（4）、奇异函数的傅里叶变换。

①冲激函数的频谱 F t)](t)t (t)ejtdt1

F(j)(1)1 

②冲激函数导数的频谱 F ['(t)]j

F [(n)(t)](j)n ③符号函数的频谱 F [sgn(t)]2j1

④阶跃函数的频谱 F [(t)]()（5）、傅立叶变换的性质。

1()j j①线性，若 f1(t)F1(j)，f2(t)F2(j)

则对任意常数a1和a2，有a1f1(t)a2f2(t)a1F1(j)a2F2(j)②对称性，若 f(t)F(j)，则 F(jt)2f()③尺度变换，若 f(t)F(j)，则对实常数a(a0)，有

f(at)Fj|a|a1

④时移特性，若 f(t)F(j)，且t0为常数，则有

f(tt0)ejt0F(j)

⑤频移特性，若，f(t)F(j)，且0为常数，则有

f(t)ej0tF[j(0)]（6）一般周期函数的傅立叶变换。

 F [fT(t)]F FnejntnFF [ennjnt]2F(n)

nn

3、拉普拉斯变换

（1）、Fb(s)f(t)e1stdt（5.1 — 4）

stFb(s)eds（5.1 — 5）f(t)2jjj 式（5.1 — 4）和式（5.1 — 5）称为双边拉普拉斯变换对或复傅立叶变换对。式中复变函数Fb(s)称为f(t)的双边拉普拉斯变换（或象函数），时间函数f(t)称为Fb(s)的双边拉普拉斯逆变换（或原函数）。（2）、单边拉普拉斯变换

F(s)L [f(t)]defdef0f(t)e0,stdt

t0stf(t)=L 1[F(s)]12jjjF(s)eds,t0

其变换与逆变换的关系也简记作f(t)F(s)。（3）、拉普拉斯变换的性质

①线性，若 f1(t)F1(s),Re[s]1

f2(t)F2(s),Re[s]2

且有常数a1，a2，则 a1f1(t)a2f2(t)a1F1(s)a2F2(s),Re[s]max(1,2)

②尺度变换，若 f(t)F(s)，Re[s]0 则 L [f(at)]0f(x)e(sa)xdxa1sFaa

③时移特性，若 f(t)F(s)，Re[s]0 且有正实常数t0，则

f(tt0)(tt0)estF(s),Re[s]0

0 ④复频移特性，若 f(t)F(s)，Re[s]0 且有复常数saaja，则

f(t)estF(ssa),Re[s]0a

a（4）、几种常用函数的拉普拉斯变换

①L ['(t)]s ② L [(t)]1 ③L [(t)] ⑤L [sin(t)]

3、z变换

（1）如果有离散序列f(k)(k0,1,2,)，z为复变量，则函数

1s ④L [b0et]b0s

s22 ⑥L [cos(t)]ss22 ⑦L [sinh(t)]s22

F(z)kf(k)zk（6.1 — 7）

F(z)k0f(k)zk（6.1 — 8）

式（6.1 — 7）称为序列f(k)的双边z变换，式（6.1 — 8）称为序列f(k)的单边z变换。

（1）几种常用函数的z变换

①Z [(k)]1 ②Z [(km)]zm ③Z [(k)]④Z [(km)]zz1zmzz1zza

⑤Z [ak] 以上就是我这个学期所学到的内容。通过这个学期的学习，我对《信号与线性系统分析》这门课程中涉及到的数学运算进行了初步的学习。这将为我大三的时候进一步学习《信号与线性系统分析》打下坚实的基础。到时候，我一定能把《信号与线性系统分析》这门课学好。

第四篇：关于欧拉方程变量代换后系数递推关系的一点总结

关于欧拉方程变量代换后系数递推关系的一点总结

光信1104 李号

我们知道，对于欧拉方程anxyn(n)an1xn1y(n1)a1xya0yf(x)'(a2,a3,,an不全为0可以通过变量代换xet或tlnx化简。本文主要介绍如何用低阶导数来表示高阶导数以及线性表示时的系数递推关系。

先用一个例子来说明我们要探讨的问题。

dydydy'2'''''

已知：xe,。，,求xy,xy,xy（此处均为对x的导数）23dtdtdtt23

显然，由xet可知tlnx,则

y'dtdx1xdydt

dydx2dydtdtdx1xdydtxy'y''dydxddx1x321dy1dy1dydt1dydydydy2''()()2()xy2222dxdxdxxdtdtxdtdxdtdtxxdtdtdydx322ddyd222y'''()ddxxdydt(4)22[12(dydtdydt22dydt)]2x3(dydt22dy1dy1)2(3)2dtxxxdtdtdydt22dy132

(dydt332)xy3'''dydt23332dydt

同理可求出xy4dydt446dydt3311dydt26dydt

我们把系数提出，如下排列： n=1 1 n=2 1-1 n=3 1-3 2 n=4 1-6 11-6 为了方便讨论，我们作出以下两点规定： i)m用“Bn”表示第n排第m列的数（显然nm）；

ii)(1)n1(n1)!(1n)!即（-1）n!（-n）!

n由上文中的迭代求导不难得出下面三点规律：

1i)

Bn1；

nn1ii)

Bn(1n)Bn1;mmm1iii)BnBn1(1n)Bn1nm1 该规律可用数学归纳法归纳得出，限于篇幅，此处省去不证。显然，只要找出了Bnm的通式，就可以表达出xny(n)。

n(n)1nxyBdydtnnB2ndn1ydtn1Bnndydt。

1n为求Bnm，我们有两条路出发。一是由“Bn1”着手，另一个是由Bn着手。

1注意到Bnm既与Bnm1有关，也与Bnm有关，我们选择从Bnn着手。后面我们会看到，带入数1字“1”计算会因为讨论n的取值而使得表达式无法统一。

1

由Bnn(1n)Bnn可知： 1Bn(1n)Bn1(1n)(2n)Bn1(1n)(2n)(1)B1(1n)!nn1n11

Bnn(1n)!

显然我们可以把平行于主对角线的数看成一组数列。取m=n-1，则：

Bnn1Bn1(1n)Bn1n2n1n2Bn1(1n)Bn2(1n)(2n)Bn3(1n)(2n)(3)B2(1n)(2n)(3)(2)B(1n)!1nnn1n3212

(1n)!2n(1n)!3n(1n)!2(1n)!1

(1n)!(i211i)

取m=n-2，则

Bnn2Bn1(1n)Bn1

n3n421n2n3Bn1(1n)Bn2(1n)(2n)Bn3(1n)(2n)(4)B3(1n)(2n)(3)B3n2(1n)!1nn11ii21(1n)!n212nj1i21i(1n)!331ii21(1n)!221i

i21n(1n)![(j311j1i)]

i21n故由数学归纳法可求出Bmn(1n)!a1nm1{[1a1a2nm1a21a111a21()]}

a3nm11现在我们再从“Bn1”入手，看看会有什么情况。Bn1

BnBn1(1n)Bn1Bn11n

12(1n)(2n)(2)B2B2 22121(123n1)BnBn1(1n)Bn1 332n(1n)2

(1n)Bn1(2n)Bn2(3)B3B3 2223n(1n)22(n1)(2n)224(14)22B3

3可以看出求Bn2是需要B22的值，求Bn3时需要B33的值而且还要用立方和与平方和公式。当m较大时，需要Bm的值以及m次方和与m-1次方和的公式。更重要的是，具体化m后，表达式无法统一！因此可以看出，成列分布并不是该数组的真正特性，而平行于主对角线的分布才能使该数组统一。

原式可化为D(D-1)(D-2)(D-3)…(D-i+1)

D^n=d^ny/dx^n m

第五篇：“诉访分离”终结信访不信法

“诉访分离”终结信访不信法

2014-03-20 02:30:50 新京报

近年来，随着越来越多的社会矛盾以案件形式进入司法领域，出现了诉讼与信访交织、法内处理与法外解决并存的现状，导致少数群众“信访不信法”。

近日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于依法处理涉法涉诉信访问题的意见》，提出实行诉讼与信访分离制度；强调建立涉法涉诉信访依法终结制度；坚决杜绝一切“拦卡堵截”正常上访人员的错误做法。

新京报讯 今后，涉诉涉法信访事项的上访群众不需要到信访部门上访了，直接到相关的政法部门反映问题即可。

中办国办近日印发的《关于依法处理涉法涉诉信访问题的意见》提出：实行诉讼与信访分离制度；建立涉法涉诉信访依法终结制度；对于涉法涉诉信访中的错案、瑕疵案应依法纠正。

解决涉法涉诉信访问题入法治轨道

去年11月，党的十八届三中全会通过的《全面深化改革若干重大问题的决定》首次提出改革信访工作制度，把涉法涉诉信访纳入法治轨道解决。《意见》正是根据《决定》的精神细化了规定。

此次改革涉法涉诉信访工作机制、依法处理涉法涉诉信访问题的总体思路是：改变经常性集中交办、过分依靠行政推动、通过信访启动法律程序的工作方式，把解决涉法涉诉信访问题纳入法治轨道，由政法机关依法按程序处理，依法纠正执法差错，保护合法信访、制止违法闹访，努力实现案结事了、息诉息访。

在实行诉讼与信访分离制度方面，《意见》提及，把涉及民商事、行政、刑事等诉讼权利救济的信访事项从普通信访体制中分离出来，由政法机关依法处理。

值得关注的是，在处理涉诉涉法信访案件的程序上，《意见》强调：对于已经进入法律程序处理的案件，各级政法机关应当依法按程序在法定时限内公正办结。对于经复议、审理、复核，确属错案、瑕疵案的，各级政法机关应依法纠正错误、补正瑕疵。

杜绝违法限制上访人员人身自由行为

本轮改革的一大核心是建立涉法涉诉信访依法终结制度。

《意见》称，对涉法涉诉信访事项，已经穷尽法律程序的，依法做出的判决、裁定为终结决定。对在申诉时限内反复缠访缠诉，经过案件审查、评查等方式，并经中央或省级政法机关审核，认定其反映问题已经得到公正处理的，除有法律规定的情形外，依法不再启动复查程序。

此外，对于“拦卡堵截”正常上访人员的做法，《意见》再次强调，坚决杜绝一切“拦卡堵截”正常上访人员的错误做法，坚决杜绝违法限制或变相限制上访人员人身自由的行为。

亮点1

实行诉讼与信访分离制度

意见：实行诉讼与信访分离制度。各级信访部门对到本部门上访的涉诉信访群众，应当引导其到政法机关反映问题；对按规定受理的涉及公安机关、司法行政机关的涉法涉诉信访事项，收到的群众涉法涉诉信件，应当转同级政法机关依法处理。

【解读】

诉访分离倒逼司法公正

中央政法委有关负责人：诉讼与信访分离的好处是信访群众直接到政法机关反映诉求，可以少走弯路，便于政法机关及时处理。

北京大学法学院教授傅郁林：司法是社会公正的最后一道防线。以往以信访这个行政方式来处理涉法涉诉这类司法问题，容易形成民众“信访不信法”的思维，对民众的法律意识、整个国家的司法权威会带来负面影响。

意见提出将诉讼与信访分离，实际上就是要解决这一问题。在以往涉诉涉法信访事项中，包括刑事、民商事、行政案件等多种类型，此次信访制度改革意在让民众意识到法治的重要性，让涉法信访回归司法程序，这一方面有助于更为专业的处理信访案件，同时对司法部门提升办案质量也起到推动作用。

亮点2

错案瑕疵案应依法纠正

意见：严格落实依法按程序办理制度。各级政法机关对于已经进入法律程序处理的案件，应当依法按程序在法定时限内公正办结。对经复议、审理、复核，确属错案、瑕疵案的，依法纠正错误、补正瑕疵。

【解读】

“纠错”能堵住程序漏洞

最高法立案一庭副庭长高莎薇：目前涉法涉诉信访事项有三种情形，第一种是确实出现法官枉法裁判需要再审改判的案件，第二种是有审判瑕疵的案件，第三种是当事人无理缠访的案件。

第一种和第三种是少数，第二种情形较多。对于第一种和第二种情形，意见明确了在法律程序内的案件法官要在法定时限内公正办结时，这对法官在审判此类案件时如何运用自由裁量权起到了监督作用。对于需要司法救济再审的案件，经过多部门审核后，确实发现错案和瑕疵案的，意见明确要纠正错误、补正瑕疵。这对涉法涉诉信访事项在程序上如何保证司法公正起到了非常好的作用，堵住了可能出现的程序漏洞。

亮点3

穷尽程序的判决为终结决定

意见：建立涉法涉诉信访依法终结制度。对涉法涉诉信访事项，已经穷尽法律程序的，依法做出的判决、裁定为终结决定。对在申诉时限内反复缠访缠诉，经过案件审查、评查等方式，并经中央或省级政法机关审核，认定其反映问题已经得到公正处理的，除有法律规定的情形外，依法不再启动复查程序。

【解读】

节约访民成本减少资源浪费

中央政法委有关负责人：以往一些涉诉涉法信访事项终而不结、无限申诉，反复启动法律处理程序。建立涉法涉诉信访依法终结制度，一方面减少了上访群众的负担，另一方面也可减少行政资源和司法资源的浪费。

吉林市保民律师事务所律师修保：以往很多涉诉涉法上访群众直接到信访部门上访，有的直接到北京的国家信访局上访，上访后信访部门一般会将信访事项转交给政法机关处理，这期间无论是时间成本、上访生活成本都是比较大的。建立涉法涉诉信访依法终结制度后，省去了一个环节，对于访民来说可以有效节约成本。

亮点4

办案质量将终身负责

意见：要完善执法司法责任制，严格落实办案质量终身负责制，健全执法过错发现、调查、问责机制，严格倒查执法办案中存在问题的原因和责任，严肃查处错案背后的执法不公、不廉等问题；要把加强执法公开、扩大群众参与、接受群众监督作为依法处理涉法涉诉信访问题的重要内容，以公开确保公正、促进息诉。

【解读】

信访问题突出倒查领导责任

中央政法委有关负责人：此次涉法涉诉信访改革一个重要内容是对于涉诉涉法信访事项，负责处理的政法机关要公正办案。如何在制度上予以强化？就是要严格落实办案质量终身负责制。

中央政法委要求各级政法机关在对信访事项办案时严查案件中存在的司法不公问题，对于群众诉求不及时受理、不按期办结、有错不纠的，要依纪依法追究办案人员和相关领导责任。对于信访问题突出的地方，还要倒查政法单位领导班子责任。同时，中央和省级政法机关将设立审核程序，对反映问题已经得到公正处理的，不再启动复查程序，对未得到公正处理的，要倒查追责。

■ 专家说法

“信访制度改革提升民众法律意识”

北京大学法学院教授傅郁林认为，此次涉诉涉法信访制度改革，实质上是涉诉涉法信访程序和强化纠错方式上的重大变革。

以往，涉诉涉法信访上访群众有冤错案件、瑕疵案件不知道去哪里上访，出现了信访部门、政法部门多头上访的现象。上访群众和办理信访事项的政法机关都浪费了很大的成本。上访群众会浪费时间、精力、金钱等成本，政法机关会在处理时增加时间、政务成本，信访事项的办理也会因此出现效率不高的问题。诉讼与信访分离后，无论对上访群众还是政法机关，都会减少程序，节约成本，办理的效率也会提升。

群众之所以上访，是因为所经历的案件大多数存在司法不公的问题，因此如何在改革过程中强化纠错方式尤为重要。此轮改革通过办案质量终身负责、上级政法部门审查监督、倒查追责机制强化了纠错方式，这对于维护司法公正将起到重要作用。

此外，涉诉涉法信访制度改革实际上是行政信访方式逐步退出司法领域，有利于维护司法权威，提升民众的法律意识。

涉法涉诉信访终结

涉法涉诉信访反映

向政法机关而不是向党政信访部门反映问题。

向有管辖权的政法单位反映问题，而不是多头访、越级访。

提醒：属于哪一级管的，到哪一级申诉；属于哪一个部门办的，到哪一个部门申诉。

审查、甄别

符合法律规定的信访事项进入复议、复核、再审程序处理。

不符合法律规定的信访事项，或是正在法律程序办理中，当事人直接上访的，政法机关依法不予受理。

提醒：反复缠访甚至违法闹访的，将受到依法处理。

依法按程序办理

对已经进入法律程序处理的涉法涉诉信访问题，政法机关依法按程序在法定时限内公正办结。

依法终结

已经穷尽法律程序的，依法做出的判决、裁定为终结决定。对于反复缠访缠诉的，经过案件审查、评查，由中央或省级政法机关审核，认定其反映问题已得公正处理的，除有法律规定情形外，依法不再启动复查程序。有关部门重点做好对信访人解释、疏导工作。

涉法涉诉信访三情形

第一种是确实出现法官枉法裁判需要再审改判的案件，占比少

第二种是有审判瑕疵的案件，占比较多

第三种是当事人无理缠访的案件，占比少

涉法涉诉信访占比下降

去年，中央政法委在涉法涉诉信访改革方面分批部署各省市试点，并于去年10月全面推开。经过1年时间的改革试点，涉法涉诉信访占到整个信访的比例下降明显。

要求一

畅通信访渠道。坚决杜绝一切“拦卡堵截”正常上访人员的错误做法；坚决杜绝违法限制或变相限制上访人员人身自由的行为。

要求二

提高基层化解能力。坚持分级分类处理，加大分流疏导力度，劝导当事人依法按程序反映问题，减少越级上访。

要求三

防止案件积压。政法机关要规范案件流程，加快案件流转，确保依法处理涉法涉诉信访问题有序高效进行。

要求四

严肃处理违法上访行为。坚持教育与处罚并重。对采取极端方式闹访、借上访之名煽动闹事的，依法严肃处理。

各地公安机关不得限制正常信访活动。同时对少数人在信访活动中以信访活动为名实施的违法犯罪行为，要区分情形，依法予以处置。处罚只是一种手段，不是最终目的，从根本上还是为了保护信访群众的合法权益，维护正常的信访秩序和社会秩序。——公安部信访办副主任周新 据新华社