数学分析教案 (华东师大版)第八章不定积分

第一篇：数学分析教案 (华东师大版)第八章不定积分

《数学分析》教案

第八章不定积分

教学要求：

1.积分法是微分法的逆运算。要求学生：深刻理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法则，熟练掌握不定积分的基本积分公式。

2.换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位。要求学生：牢记换元积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地选取替换函数（或凑微分），熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式，知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式，并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积，熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题，从而逐步达到快而准的求出不定积分。

3.有理函数的不定积分是求无理函数和三角函数有理式不定积分的基础。要求学生：掌握化有理函数为分项分式的方法；会求四种有理最简真分式的不定积分，知道有理函数的不定积分（原函数）还是初等函数；学会求某些有理函数的不定积分的技巧；掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法，从理论上认识到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来。

教学重点：深刻理解不定积分的概念；熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式；

教学时数：18学时

《数学分析》教案

可见，若 { │ 有原函数Ｒ}.，则的全体原函数所成集合为

原函数的存在性: 连续函数必有原函数.(下章给出证明).可见, 初等函数在其定义域内有原函数;若则在区间上有介值性.在区间上有原函数, 例2.已知为的一个原函数，=5.求

.2.不定积分—— 原函数族：定义；不定积分的记法；几何意义.例3

;

.（二）不定积分的基本性质: 以下设和

有原函数.⑴

(先积分后求导, 形式不变应记牢！).⑵

..(先求导后积分, 多个常数需当心！)⑶

时，（被积函数乘系数，积分运算往外挪！）

⑷

由⑶、⑷可见, 不定积分是线性运算, 即对, 有

《数学分析》教案

教学要求：换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位。要求学生：牢记换元积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地选取替换函数（或凑微分），熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式，知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式，并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积，熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题，从而逐步达到快而准的求出不定积分。

教学重点：熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式；

一、新课引入：由直接积分的局限性引入

二、讲授新课：

（一）.第一类换元法 ——凑微分法：

由

引出凑微公式.Th1 若

连续可导, 则

该定理即为：若函数

能分解为

《数学分析》教案

.凑法2.特别地, 有

.例9

.和.例10

例11.例12

凑法3

.例13 ⑴

⑵

例14

《数学分析》教案

.例23.例24.例25

例26

三、小结

.（二）第二类换元法 —— 拆微法：从积分出发，从两个方向用凑微法计算，即

引出拆微原理.Th2 设

是单调的可微函数,并且

又

具有原

函数.则有换元公式

(证)

《数学分析》教案

解令形, 有

有

.利用例22的结果, 并用辅助三角 =

例31

⑶正割代换: 正割代换简称为“割换”.是针对型如根式施行的, 目的是去掉根号.方法是: 利用三角公式

有的令

变量还愿时, 常用辅助三角形法.例32

解

.例33

.解法一

（用割换）

解法二

（凑微）

.《数学分析》教案

本题还可用割换计算, 但较繁.3.双曲代换: 利用双曲函数恒等式掉型如如:

的根式., 令 , 可去

.化简时常用到双曲函数的一些恒等式, 例40

.本题可用切换计算,但归结为积分题课例3., 该积分计算较繁.参阅后面习例41

解

.例42

.解

《数学分析》教案

解法三(用初等化简, 并凑微)

例45

解 =.代换法是一种很灵活的方法.三、小结

（三）.分部积分法:导出分部积分公式.介绍使用分部积分公式的一般原则.1.幂

X 型函数的积分: 分部积分追求的目标之一是: 对被积函数两因子之一争取求导, 以使该因子有较大简化, 特别是能降幂或变成代数函数.代价是另一因子用其原函数代替(一般会变繁), 但总体上应使积分简化或能直接积出.对“幂

” 型的积分, 使用分部积分法可使“幂”降次, 或对“

”求导以使其成为代数函数.例46

(幂对搭配，取对为u)

例47(幂三搭配，取幂为u)例48(幂指搭配，取幂为u)例49(幂指搭配，取幂为u)

《数学分析》教案

例56

=，解得.例57

= =，解得

三、小结

.§ 3 有理函数和可化为有理函数的积分(2学时)

教学要求：有理函数的不定积分是求无理函数和三角函数有理式不定积分的基础。要求学生：掌握化有理函数为分项分式的方法；会求四种有理最简真分式的不定积分，知道有理函数的不定积分（原函数）还是初等函数；学会求某些有理函数的不定积分的技巧；掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法，从理论上认识到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来。

教学重点：使学生掌握化有理函数为分项分式的方法；求四种有理最简真分式的不定积分，学会求某些有理函数的不定积分的技巧；求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法，从理论上认识到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来。

《数学分析》教案

例5

求

例6 设

且具有连续导函数.计算积分

例7 , 求积分

二.含有二次三项式的积分:

例8

.例9

=.9-

第二篇：不定积分教案

高等数学教案

第四章

不定积分

教学目的：

第四章

不定积分

1、理解原函数概念、不定积分的概念。

2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二）与分部积分法。

3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。教学重点：

1、不定积分的概念；

2、不定积分的性质及基本公式；

3、换元积分法与分部积分法。教学难点：

1、换元积分法；

2、分部积分法；

3、三角函数有理式的积分。§4 1 不定积分的概念与性质

一、原函数与不定积分的概念

定义

1如果在区间I上 可导函数F(x)的导函数为f(x) 即对任一xI 都有

F (x)f(x)或dF(x)f(x)dx

那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数

例如因为(sin x)cos x  所以sin x 是cos x 的原函数

又如当x (1 )时

因为(x)1 所以x是1的原函数

2x2x

提问:

cos x和1还有其它原函数吗？

原函数存在定理

如果函数f(x)在区间I上连续 那么在区间I上存在可导函数F(x) 使对任一x I 都有

F (x)f(x)

简单地说就是 连续函数一定有原函数

两点说明

第一 如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x) 那么f(x)就有无限多个原函数 F(x)C都是f(x)的原函数 其中C是任意常数

第二 f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数 即如果(x)和F(x)都是f(x)的原函数 则 (x)F(x)C

(C为某个常数)

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第四章

不定积分

定义2 在区间I上 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的不定积分 记作

f(x)dx

其中记号称为积分号 f(x)称为被积函数 f(x)dx称为被积表达式 x 称为积分变量

根据定义 如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数 那么F(x)C就是f(x)的不定积分 即

f(x)dxF(x)C

因而不定积分f(x)dx可以表示f(x)的任意一个原函数

例1因为sin x 是cos x 的原函数所以

cosxdxsinxC

因为x是1的原函数所以

例2.求函数f(x)1的不定积分

x 解：当x>0时(ln x)1

1 dxlnxC(x>0)

当x<0时[ln(x)]1(1)1

xx

1 dxln(x)C(x<0)

x 合并上面两式得到

1 dxln|x|C(x0)

例3 设曲线通过点(1 2) 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍 求此曲线的方程

解设所求的曲线方程为yf(x) 按题设 曲线上任一点(x y)处的切线斜率为yf (x)2x, ，即f(x)是2x 的一个原函数

因为

2xdxx2C

高等数学课程建设组2 21dxxC x高等数学教案

第四章

不定积分

故必有某个常数C使f(x)x 2C 即曲线方程为yx 2C

因所求曲线通过点(1 2) 故

21C

C1

于是所求曲线方程为yx21

积分曲线 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线

从不定积分的定义 即可知下述关系

d[f(x)dx]f(x)

dx或

d[f(x)dx]f(x)dx

又由于F(x)是F (x)的原函数 所以

F(x)dxF(x)C

或记作

dF(x)F(x)C

由此可见 微分运算（以记号d表示）与求不定积分的运算（简称积分运算 以记号表示）是互逆的 当记号与d 连在一起时 或者抵消 或者抵消后差一个常数

二、基本积分表(1)kdxkxC(k是常数)

(2)xdx1x1C

1(3)1dxln|x|C

x(4)exdxexC

x(5)axdxaC

lna(6)cosxdxsinxC

(7)sinxdxcosxC

(8)(9)1dxsec2xdxtanxC cos2x1dxcsc2xdxcotxC

sin2x高等数学课程建设组3 高等数学教案

第四章

不定积分

(10)12dxarctanxC

1x(11)1dxarcsinxC

1x2(12)secxtanxdxsecxC

(13)cscxcotdxcscxC

(14)sh x dxch xC

(15)ch x dxsh xC

例4

例5 x3dxx3dx31x31C2x2C

x2111xdx5x2dx71122xCx2C2x3xC 517725

例6 dxx3x4x3dx41x3413C13x3C33C

三、不定积分的性质

性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和 即

[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx

这是因为, [f(x)dxg(x)dx][f(x)dx][g(x)dx]f(x)g(x).性质2 求不定积分时 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来 即

kf(x)dxkf(x)dx(k是常数 k 0)

例7.x(x5)dx5x2dx725(x215x2)dx 5x2dx51x2dx 15x2dx322 x25x2C

7332(x1)3x3x3x1dx(x331)dx 例8 dx22xx2xx xdx3dx31dx12dx1x23x3ln|x|1C

x2xx高等数学课程建设组4 高等数学教案

第四章

不定积分

例9 (ex3cosx)dxexdx3cosxdxex3sinxC

xx(2e)xC2eC

例10 2edx(2e)dxln(2e)1ln2xxx1xx2dxx(1x2)dx(11)dx 例11 x(1x2)1x2x

x(1x2)12dx1dxarctanxln|x|C

x1x44(x21)(x21)1xx11 例12 dxdxdx

1x21x21x2 (x2112)dxx2dxdx12dx

1x1x 1x3xarctanxC 例13 tan2xdx(sec2x1)dxsec2xdxdx

 tan x  x  C 

例14 sin2x dx1cosxdx1(1cosx)dx

222  例15 1(xsinx)C

21dx412dx4cotxC

sinxsin2xcos2x22

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第四章

不定积分

§4 2 换元积分法

一、第一类换元法

设f(u)有原函数F(u)

u(x) 且(x)可微 那么 根据复合函数微分法 有 d F[(x)]d F(u)F (u)d u F [(x)] d(x) F [(x)](x)d x  所以

F [(x)](x)dx F [(x)] d(x) F (u)d u d F(u)d F[(x)]

因此

F[(x)](x)dxF[(x)]d(x)

F(u)dudF(u)dF[(x)]F[(x)]C 即

f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)[f(u)du]u(x)

[F(u)C] u  (x) F[(x)]C

定理

1设f(u)具有原函数 u(x)可导 则有换元公式

f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)f(u)duF(u)CF[(x)]C 

被积表达式中的dx 可当作变量x的微分来对待 从而微分等式(x)dx du可以应用到被积表达式中

在求积分g(x)dx时 如果函数g(x)可以化为g(x) f[(x)](x)的形式 那么

g(x)dxf[(x)](x)dx[f(u)du]u(x)

例1.2cos2xdxcos2x(2x)dxcos2xd(2x)

cosudusinuCsin 2xC 

例2.32xdx232x(32x)dx232xd(32x)11111

11dx1ln|u|C1ln|32x|C

2u22 例3.2xexdxex(x2)dxexd(x2)eudu

euCexC

例4.x1x2dx11x2(x2)dx11x2dx2 211x2d(1x2)1u2du1u2C

221(1x2)2C

3高等数学课程建设组6 3132222高等数学教案

第四章

不定积分

例5.tanxdxsinxdx1dcosx

cosxcosx

1duln|u|C u

ln|cos x|C 

即

tanxdxln|coxs|C

类似地可得cotxdxln|sinx|C

熟练之后 变量代换就不必再写出了

例6.a2x2dxa2111dx

1(x)2a

11dx1arctanxC

a1(x)2aaaa 即 nC a2x2dxaarctaa11x 例7.chxdxachxdxa shxC

aaaa 例8.当a0时，1dx111xndxdxarcsiC

aaaxxa2x2221()1()aa

即 xn1dxarcsiC

22aax 例9.x2a2dx2a(xaxa)dx2a[xadxxadx] 1111111

1[1d(xa)1d(xa)]

2axaxa

1[ln|xa|ln|xa|]C1ln|xa|C

2a2axa 即 x2a2dx2aln|xa|C 11xa 例10.x(12lnx)12lnx2dxdlnx1d(12lnx)

12lnx

1ln|12lnx|C

2高等数学课程建设组7 高等数学教案

第四章

不定积分

3x 例11.edx2e3xdx2e3xd3x

2e3xC

3含三角函数的积分

例12.sin3xdxsin2xsinxdx(1cos2x)dcosx

dcosxcos2xdcosxcosx1cos3xC 例13.sin2xcos5xdxsin2xcos4xdsinx

sin2x(1sin2x)2dsinx

(sin2x2sin4xsin6x)dsinx

1sin3x2sin5x1sin7xC357 例14.cos2xdx1cos2xdx1(dxcos2xdx)

1dx1cos2xd2x1x1sin2xC

2424 例15.cos4xdx(cos2x)2dx[1(1cos2x)]2dx 1(12cos2xcos22x)dx 1(32cos2x1cos4x)dx

422

1(3xsin2x1sin4x)C 428

3x1sin2x1sin4xC

8432 例16.cos3xcos2xdx1(cosxcos5x)dx

1sinx1sin5xC

2101 例17.cscxdx1dxdx

xxsinx2sincos22高等数学课程建设组8 高等数学教案

第四章

不定积分

dxdtanx22ln|tanx|Cln |csc x cot x |C 



2tanxcos2xtanx222 即

cscln |csc x cot x |C  xdx 例18.secxdxcsc(x)dxln|csc(x )cot(x )|C

222

ln |sec x  tan x |  C

即

secln |sec x  tan x |  C xdx

二、第二类换元法

定理2 设x (t)是单调的、可导的函数 并且(t)0 又设f [(t)](t)具有原函数F(t) 则有换元公式

f(x)dxf[(t)](t)dtF(t)F[1(x)]C

其中t(x)是x(t)的反函数

这是因为

{F[1(x)]}F(t)dtf[(t)](t)1f[(t)]f(x)

dxdxdt 例19.求a2x2dx(a>0)

解: 设xa sin t   t  那么a2x2a2a2sin2tacost

22dx a cos t d t  于是

a2x2dxacostacostdt

a2cos2tdta2(1t1sin2t)C

2422x因为tarcsin, sin2t2sintcost2xax 所以

aaa2a11axdxa(tsin2t)Carcsinx1xa2x2C

242a2222

解: 设xa sin t   t  那么

22高等数学课程建设组9 高等数学教案

第四章

不定积分

a2x2dxacostacostdt a2cos2tdta2(1t1sin2t)Caarcsinx1xa2x2C

242a2提示:a2x2a2a2sin2tacost dxacos tdt 

22提示: tarcsinx, sin2t2sintcost2xax

aaa

例20.求dx(a>0)

x2a

2解法一 设xa tan t  t  那么

22x2a2a2a2tan2ta1tan2ta sec t  dxa sec 2t d t  于是

2asectdtsectdt ln |sec t  tan t |C 

dxasectx2a222因为sectxa tantx 所以

aadx ln |sec t  tan t |Cln(xx2a2)Cln(xx2a2)C

1aax2a2其中C 1Cln a 

解法一 设xa tan t  t  那么

dxasec2tdtsectdtln|secttant|C

asectx2a222xxa

ln()Cln(xx2a2)C1

aa其中C 1Cln a 

提示:x2a2a2a2tan2tasect  dxa sec 2t dt 

22提示:sectxa tantx

解法二: 设xa sh t  那么

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第四章

不定积分

dxach tdtdttCarshxC

ach tax2a2

lnx(x)21Cln(xx2a2)C1

aa其中C 1Cln a 

提示: x2a2a2sh2ta2a ch t  dx a ch t d t 

例23.求dx(a>0)

x2a2

解: 当x>a 时 设xa sec t(0t ) 那么

2x2a2a2sec2ta2asec2t1a tan t 

于是

dxasecttantdtsectdt ln |sec t  tan t |C 

atantx2a222因为tantxa sectx 所以

aadx ln |sec t  tan t |C ln|xx2a2|Cln(xx2a2)C

1aax2a2其中C 1Cln a 

当xa 于是

dxduln(uu2a2)C x2a2u2a2

ln(xx2a2)Cln(xx2a2)C1

22xxalnCln(xx2a2)C1

2a其中C 1C2ln a 

综合起来有



dxln|xx2a2|C 22xa

解: 当x>a 时 设xa sec t(0t ) 那么

2高等数学课程建设组11 高等数学教案

第四章

不定积分

dxasecttantdtsectd t 22atantxa22

ln|setctant|Clnx(xa)C

lnx(x2a2)C

其中C 1Cln a 

当x<a 时 令xu  则u>a 于是

dxduln(uu2a2)C x2a2u2a22222xxa

ln(xxa)ClnC

ln(xx2a2)C1

其中C 1C2ln a 

提示:x2a2a2sec2ta2asec2t1atant 

22xxa提示:tant sect

综合起来有

dxln|xx2a2|C x2a2

补充公式

aaax221dx1ln|xa|C2axaxa221dxarcsinxC

aa2x2

dxln(xx2a2)C

x2a2高等数学课程建设组12 高等数学教案

第四章

不定积分

(24) dxln|xx2a2|C

x2a2

§4 3 分部积分法

设函数uu(x)及vv(x)具有连续导数 那么 两个函数乘积的导数公式为

uvdxuvuvdx或udvuvvdu 这个公式称为分部积分公式

分部积分过程: uvdxudvuvvduuvuvdx   

例1 xcosxdxxdsinxxsinxsinxdxx sin xcos xC 

例2 xexdxxdexxexexdxxexexC

例3 x2exdxx2dexx2exexdx2

x2ex2xexdxx2ex2xdexx2ex2xex2exdx

x2ex2xex2exC ex(x22x2)C

例4 xlnxdx1lnxdx21x2lnx1x21dx

222x1x2lnx1xdx1x2lnx1x2C

2224 例5 arccosxdxxarccosxxdarccosx

xarccosxx1dx

1x21

xarccosx1(1x2)2d(1x2)xarccosx1x2C 例6 xarctanxdx1arctanxdx21x2arctanx1x212dx

2221x

1x2arctanx1(112)dx

221x高等数学课程建设组13 高等数学教案

第四章

不定积分

1x2arctanx1x1arctanxC

222 例7 求exsinxdx

解因为exsinxdxsinxdexexsinxexdsinx

exsinxexcosxdxexsinxcosxdex

exsinxexcosxexdcosx

exsinxexcosxexsinxdx

所以

exsinxdx1ex(sinxcosx)C

例8 求sec3xdx

解因为

sec3xdxsecxsec2xdxsecxdtanx

secxtanxsecxtan2xdx

secxtanxsecx(sec2x1)dx

secxtanxsec3xdxsecxdx

secxtanxln|secxtanx|sec3xdx

所以

se3cxdx1(secxtanxln|secxtanx|)C 例9 求Indx 其中n为正整数(x2a2)n 解 I12dx21arctanxC

axaa

当n1时，用分部积分法 有

dxxx2dx 2(n1)(x2a2)n1(x2a2)n1(x2a2)n高等数学课程建设组14 高等数学教案

第四章

不定积分

x1a2]dx 2(n1)[(x2a2)n1(x2a2)n(x2a2)n1x即 In122(n1)(In1a2In) 2n1(xa)

于是 In1[2x2n1(2n3)In1] 2a(n1)(xa)2以此作为递推公式 并由I1 例10 求exdx 1xarctanC即可得In aa 解令x t 2  则  dx2tdt 于

exdx2tetdt2et(t1)C2ex(x1)C

exdxexd(x)22xexdx

2xdex2xex2exdx

2xex2exC2ex(x1)C

第一换元法与分部积分法的比较: 共同点是第一步都是凑微分

f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)令(x)uf(u)du

u(x)v(x)dxu(x)dv(x)u(x)v(x)v(x)du(x) 哪些积分可以用分部积分法？

xcosxdxxexdxx2exdx xlnxdx arccosxdx xarctanxdx exsinxdx sec3xdx

2xexdxexdx2eudu    x2exdxx2dexx2exexdx2    

有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数 即具有如下形式的函数:

P(x)a0xna1xn1an1xan

 Q(x)b0xmb1xm1bm1xbm其中m和n都是非负整数a0 a1 a2     an及b0 b1 b2     bm都是实数

并且a00 b00 当nm时 称这有理函数是真分式 而当nm时 称这有理函数是假分式

假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式 例如

x3x1x(x21)1x1

x21x21x2

1真分式的不定积分

求真分式的不定积分时 如果分母可因式分解 则先因式分解 然后化成部分分式再积分

例1 求 解 x3dx

x25x6x25x6dx(x2)(x3)dx(x3x2)dx x3x36 6dx5dx6ln|x3|5ln|x2|C

x3x2提示(AB)x(2A3B)x3

AB(x2)(x3)x3x2(x2)(x3)AB1 3A2B3 A6 B5

分母是二次质因式的真分式的不定积分

例2 求 解 x2dx

x2x32x22x3dx(2x22x33x22x3)dx x212x21dx

122x2dx3212x2x3x2x3d(x22x3)d(x1)13

2 2x2x3(x1)2(2)1ln(x22x3)3arctanx1C

2221(2x2)3提示 2x222

12x2321x2x3x2x32x2x3x2x3 例3 求1dx

x(x1)2高等数学课程建设组16 高等数学教案

第四章

不定积分

解 x(x1)2dx[xx1(x1)2]dx 1111

1dx1dx12dxln|x|ln|x1|1C

x1xx1(x1)

提示 11xx11

x(x1)(x1)2x(x1)2x(x1)21xx121112

x(x1)(x1)xx1(x1)

二、三角函数有理式的积分

三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数 其特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算 由于各种三角函数都可以用sin x 及cos x 的有理式表示

故三角函数有理式也就是sin x、cos x 的有理式

用于三角函数有理式积分的变换:

把sin x、cos x表成tanx的函数 然后作变换utanx

222tanx2tanxxx222u

sinx2sincos22sec2x1tan2x1u2221tan2xxx21u2

cosxcos2sin222sec2x1u22变换后原积分变成了有理函数的积分

例4 求1sinxdx

sinx(1cosx)2x2u2du

1u 解令utan 则sinx cosx x2arctan u  dx2221u1u21u(12u2)2du1(u21)du 1u于是 1sinxdx22usinx(1cosx)2u(11u)1u21u21u221u

(2uln|u|)C1tan2xtanx1ln|tanx|C

1sinxdx22du 2sinx(1cosx)2u(11u)1u1u21u2 1(u2uln|u|)C1(u21)du

222u

1tan2xtanx1ln|tanx|C

42222

说明: 并非所有的三角函数有理式的积分都要通过变换化为有理函数的积分例如

三、简单无理函数的积分

无理函数的积分一般要采用第二换元法把根号消去

例5 求x1dx

x 解设x1u 即xu21 则

cosx11sinxdx1sinxd(1sinx)ln(1sinx)C

x1dxu2udu2u2du u21u21x

2(112)du2(uarctanu)C 1u

2(x1arctanx1)C

例6 求dx

1x23 解设3x2u 即xu32 则

dx13u2du3u211du 13x21u1u 3(u11)du3(uuln|1u|)C

1u2

33(x2)233x2ln|13x2|C例7 求dx

(13x)x 解设xt 6 于是dx 6t 5d t 

dx6t5dt6t2dt1(13x)x(1t2)t31t26(11t2)dt6(tarctant)C

6(6xarctan6x)C

例8 求11xdx

xx 解设1xt 即x21 于是

t1x

x11xdx(t21)t2tdt x(t21)22

dt cosx21t21t22dt221tdx11t22

 ddt2t1t2cosx3t31()2321t2323arctant3C23arctan(1xtan)C

23sin5xdx

4cosx4(1co2sx)2sin5xsinx

解 dxdcosxdcosx

x23x2高等数学课程建设组19 高等数学教案

第四章

不定积分

解 3x13x174dx(dx)dx(x2)(x1)x23x2x2x111dx4dx x2x1

7ln|x2|4ln|x1|C

§4.5积分表的使用

积分的计算要比导数的计算来得灵活、复杂为了实用的方便往往把常用的积分公式汇集成表这种表叫做积分表求积分时可根据被积函数的类型直接地或经过简单变形后在表内查得所需的结果 积分表

一、含有axb的积分

71．dx1ln|axb|C

axba2．(axb)dx3．1(axb)1C(1)a(1)xdx1(axbbln|axb|)C axba224．xdx131(axb)22b(axb)b2ln|axb|C

axba25．6．7．8．9．dx1lnaxbC x(axb)bxdx1alnaxbC x2(axb)bxb2xx1ln|axb|bC dx(axb)2a2axbx2dx1axb2bln|axb|b2C(axb)2a3axbdx11lnaxbC x(axb)2b(axb)b2xxdx(3x4)2例1求解这是含有3x4的积分在积分表中查得公式

x1b(axb)2dxa2ln|axb|axbC

x14(3x4)2dx9ln|3x4|3x4C

二、含有axb的积分 1．axbdx2(axb)3C

3a2．xaxbdx22(3ax2b)(axb)3C

15a3．x2axbdx4．5．2(15a2x212abx8b2)(axb)3C 105a3xdx2(ax2b)axbC

3a2axbx2dx2(3a2x24abx8b2)axbC 15a3axb6．dxxaxb7．1lnaxbbC(b0)baxbb 2arctanaxbC(b0)bbdxaxbadx

bx2bxaxbx2axb8．axbdx2axbbdx

xxaxb9．ax2bdxaxbadx xx2xaxb

三、含x2a2的积分 1．2．3．x2a2dx1arctanxC

aadxx2n3dx (x2a2)n2(n1)a2(x2a2)n12(n1)a2(x2a2)n1dx1lnxaC

x2a22axa

四、含有ax2b(a0)的积分

1abarctandx1．2axb1ln2ab2．axC(b0)b axbC(b0)axbxdx1ln|ax2b|C ax2b2a高等数学课程建设组21 高等数学教案

第四章

不定积分

3．4．5．6．7．x2dxxbdx 2axbaaax2bdx1lnx2C x(ax2b)2b|ax2b|dxx2(ax2b)1dx 1a2bxbaxbdxaln|ax2b|1C x3(ax2b)2b2x22bx2dxx11dx (ax2b)22b(ax2b)2bax2b

五、含有ax2bxc(a0)的积分

六、含有x2a2(a0)的积分 1．2．3．4．5．6．7．8．dxarshxCln(xx2a2)C

a1x2a2dxxC

(x2a2)3a2x2a2xdxx2a2C x2a2x1dxC(x2a2)3x2a2x2dxxx2a2a2ln(xx2a2)C

22x2a2x2xdxln(xx2a2)C

22322(xa)xa22dx1lnxaaC

|x|xx2a2ax22a2dxx2C axx2a229．x2a2dxxx2a2aln(xx2a2)C 22例3求dx

x4x29dxdx1x4x292xx2(3)22解因为所以这是含有x2a2的积分这里a3在积分表中查得公式

2高等数学课程建设组22 高等数学教案

第四章

不定积分

dx1lnx2a2aC xx2a2a|x|x2(3)23dx22C1ln4x293C 12ln于是 |x|32|x|x4x292

3七、含有x2a2(a0)的积分 1．2．3．4．5．6．7．8．dxxarch|x|Cln|xx2a2|C 1ax2a2|x|dxxC

(x2a2)3a2x2a2xdxx2a2C 22xax1dxC(x2a2)3x2a2x2dxxx2a2a2ln|xx2a2|C

22x2a2x2xdxln|xx2a2|C

(x2a2)3x2a2dx1arccosaC

|x|xx2a2ax22a2dxx2C axx2a229．x2a2dxxx2a2aln|xx2a2|C 2

2八、含有a2x2(a0)的积分 1．2．3．4．5．6．dxarcsinxC

aa2x2dxxC

(a2x2)3a2a2x2xdxa2x2C 22axx1dxC(a2x2)3a2x2x2dxxa2x2a2arcsinxC

22aa2x2x2xdxarcsinxC

a(a2x2)3a2x2高等数学课程建设组23 高等数学教案

第四章

不定积分

7．8．22dx1lnaaxC |x|xa2x2ax222dxa2xC axa2x229．a2x2dxxa2x2aarcsinxC

22a

九、含有ax2bxc(a0)的积分

十、含有xa或(xa)(xb)的积分 xb

十一、含有三角函数的积分 1．secxdxln|secxtanx|C 2．cscxdxln|cscxcotx|C 3．secxtanxdxsecxC 4．cscxcotxdxcscxC 5．sin2xdxx1sin2xC

246．cos2xdxx1sin2xC

247．sinnxdx1sinn1xcosxn1sinn2xdx

nn8．cosnxdx1cosn1xsinxn1cosn2xdx nn9．sinaxcosbxdx1cos(ab)x1cos(ab)xC

2(ab)2(ab)1sin(ab)x1sin(ab)xC 2(ab)2(ab)10．sinaxsinbxdx11．cosaxcosbxdx1sin(ab)x1sin(ab)xC 2(ab)2(ab)atanxbdx22C(a2b2)12．arctanabsinxa2b2a2b2高等数学课程建设组24 高等数学教案

第四章

不定积分

atanxbb2a2dx22lnC(a2b2)13．22absinxbaatanxbb2a2214．dx2abarctanabtanxC(a2b2)abcosxababab2abbaC(a2b2)abbatanxdxabln214．2abcosxabbatanx2例2求dx 54cosx解这是含三角函数的积分 在积分表中查得公式

abarctxC(a2b2) anabtanabab2这里a

5、b4a 2b2于是

abcoxsabdx2dx2

54coxs5(4)5(4)5(4)xC arctantan

5(4)5(4)2

2arctan3tanxC

32例求sin4xdx

解这是含三角函数的积分 在积分表中查得公式

sinnxdx1sinn1xcosxn1sinn2xdxsin2xdxx1sin2xC

nn24这里n4于是

sin4xdx1sin3xcosx3sin2xdx1sin3xcosx3(x1sin2x)C 444424

高等数学课程建设组25

第三篇：数学分析教案 (华东师大版)第五章导数和微分

《数学分析》教案

第五章导数和微分

教学目的：

1.使学生准确掌握导数与微分的概念。明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分；

2.弄清函数可导与可微之间的一致性及其相互联系，熟悉导数与微分的运算性质和微分法则，牢记基本初等函数的导数公式，并熟练地进行初等函数的微分运算；

3.能利用导数与微分的意义解决某些实际问题的计算。

教学重点、难点：本章重点是导数与微分的概念及其计算；难点是求复合函数的导数。

教学时数：16学时

§ 1 导数的概念（4学时）

教学目的：使学生准备掌握导数的概念。明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分，能利用导数的意义解决某些实际应用的计算问题。

教学要求：深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用为体；会求曲线上一点处的切线方程。

教学重点：导数的概念。教学难点：导数的概念。

教学方法：“系统讲授”结合“问题教学”。

《数学分析》教案

§ 2 求导法则（4学时）

教学目的：熟悉导数的运算性质和求导法则，牢记基本初等函数的导数公式，并熟练进行初等函数的导数运算。

教学要求：熟练掌握导数的四则运算法则，复合函数的求导法则；会求反函数的导数，并在熟记基本初等函数导数公式的基础上综合运用这些法则与方法熟练准确地求出初等函数的导数。

教学重点：导数的四则运算法则、复合函数求导法则、反函数求导法；教学难点：复合函数求导法则及复合函数导数的计算。教学方法：以问题教学法为主，结合课堂练习。

一、复习引新：复习导数的概念等知识，并由此引入新课.二、讲授新课：

（一）.基本初等函数求导

推导基本初等函数的求导公式.（二）.导数的四则运算法则: 推导导数四则运算公式.(只证“ ”和“ ”)例1

求

（例2

例3 求

例4 证明:(用商的求导公式证明).例5 证明:

例6 证明:.《数学分析》教案

设函数

可导且

证（法一）用定义证明.（法二）由

恒有

或

严格单调.(这些事实的证明将在下一章给出.)因此,), 有

有反函数, 设反函数为

用复合函数求导法, 并注意利用反函数求导公式.就有

例1.设

2.取对数求导法:

求

例2.设

例3.设例4.设

求

3..抽象函数求导: 例5.例6 若可导，求

和

求

.§ 4 高阶导数（2学时）

教学目的：了解高阶导数的定义，熟悉高阶导数的计算。

《数学分析》教案

6．分段函数在分段点的高阶导数：以函数

为例.三.高阶导数的运算性质: 设函数

1．和

求

均阶可导.则

2．3．乘积高阶导数的Leibniz公式：约定

（介绍证法.）

例

2求

解

例

3求

解

《数学分析》教案

例6 求

解

§5 微分（2学时）

教学目的：

1.准确掌握微分的概念，明确其几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分。

2.弄清可导与可微之间的一致及其相互关系，熟悉微分的运动性质和微分法则，牢记基本的初等函数的微分公式，并熟练进行初等函数的微分运算。

3.能利用微分的几何意义等解决一些实际应用的计算问题。教学要求：

1.清楚地理解函数在一点的微分的定义，并给出其几何解释；能从定义出发求某些简单函数的微分、能熟练运用基本微分表和微分运算公式求初等函数的微分。

2.明确函数在一点可导性与一点可微之间的一致性，并会利用导数为微分、利用微分求导数。会应用微分的实际意义解决某些计算问题。教学重点：微分的定义、计算、可导与可微的关系教学难点：运用微分的意义解决实际问题

一.微分概念:

1.微分问题的提出: 从求数的情况, 引出微分问题.《数学分析》教案

例

5求 3．估计误差：

绝对误差估计：的近似值.相对误差估计：

例6（[1]P138 E5）设已测得一根圆轴的直径为绝对误差不超过差.4.求速度: 原理:，并知在测量中

.试求以此数据计算圆轴的横截面面积时所产生的误

例7 球半径以增大的速度.四．高阶微分：高阶微分的定义：的速度匀速增大.求

时, 球体积

阶微分定义为

阶微分的微分，即

注意区分符号的意义.1

《数学分析》教案

例3 设函数

定义在区间

内的函数

内，试证明:

（仅依赖于

和

在点.使可导的充要条件是存在

在点连续且适合条件

并有

证设

存在, 定义

易验证函数在点

设

连续，又

且在点

连续.则有

即存在且

（二）.求导数或求切线:

例4 E11.求

和

参阅[4]P92 例5 求

《数学分析》教案

例8 设

在点可导.确定、使函数

和的值，)

（四）.奇、偶函数和周期函数的导函数：

例9 可导奇函数的导函数是偶函数.(给出用定义证和用链导公式证两种证法)例10 设

证是偶函数且在点

可导, 则

.由存在，即

简提可导周期函数的导函数为周期函数, 且周期不变.（五）.关于可导性的一些结果: 1.若义域内, 导函数的定义域是

点是函数是初等函数, 则

也是初等函数.在初等函数的不可导点.例如函数在点

没有定义, 因此的定

不存在的点是函数 , 但导函数的不可导点.2.存在仅在一点可导的函数.例如

第四篇：华东师大2006数学分析考研真题

华东师范大学2006年攻读硕士学位研究生入学试题

考试科目：数学分析

一（30）判别题（正确证明，错误举反例或说理由）

1.设数列{an}满足条件：0,N,使nN,|anaN|,，则{an}收敛。

2.设f(x)在(a,b)上可导。若

f'(x)在(a,b)上有界，则f(x)在(a,b)上有界.an3.设正数列{an}满足条件limnb0则(1)nan收敛。

n14.设f(x)在[a,b]上可积，且f(x)dx0，则存在[c,d][a,b]，a使得:x[c,d],5.设f(x,y)在(x0,f(x)0.y0)的某邻域内连续，且在

(x0,y0)处有偏导数fx(x0,y0),fy(x0,y0),则

f(x,y)在(x0,y0)处可微.二.计算题（30分）6.求limnnanbn,其中0ab.7.求f(x)

8.求

x01costdt的麦克劳林级数展开式。t10x2ln2xdx.)9.设zf(u),方程u(uyxP(t定)d义t了隐函数

''uu(x,y)，其中f(u),(u)可微，P(t),(u)连续，且(u)1 1 求P(y)

10.求zzP(x).xy(y2z2)ds,其中{(x,y,z):x2y2z21}

三.证明题（90分）11.设0,f(x)在(,)上具有连续的二阶导函数

f'(0),x0f''(x),f(0)0.若g(x),求证：g(x)在(,)上有f(x),x0x连续的导函数.12.设fn(x)是[0,1]上连续函数，且在[0,1]上一致收敛于f(x),求证：

limn11n0fn(x)dx10f(x)dx.limf(n)0.求证：13.设f(x)在[0,)上一致连续，且0，nxlimf(x)0.14.设f(x)在[0,)上连续有界，求证：

nlimnn0|f(x)|ndxsup|f(x)|:x[0,]

15.设f(x,y,z)是定义在开区域D上的有连续的偏导数的三元函数，且(x,y,z)D，fx2(x,y,z)fy2(x,y,z)fz2(x,y,z)0,S是由f(x,y,z)0定义的封闭的光滑曲面。若P,QS,且P与Q之间的距离是S中任意两点之间距离的最大值,求证：过P的S的切平面与过Q的S的切平面互相平行，且垂直于过P与Q的连线.4

第五篇：数学分析教案 (华东师大版)第二十章曲线积分

《数学分析》教案

第二十章曲线积分

教学目的：1.理解第一、二型曲线积分的有关概念；2.掌握两种类型曲线积分的计算方法，同时明确它们的联系。

教学重点难点：本章的重点是曲线积分的概念、计算；难点是曲线积分的计算。教学时数：10学时

§ 1 第一型曲线积分

一.第一型线积分的定义:

1.几何体的质量: 已知密度函数 , 分析线段的质量 2.曲线的质量:

3.第一型线积分的定义: 定义及记法.线积分,.4.第一型线积分的性质: P198

二.第一型线积分的计算:

1.第一型曲线积分的计算: 回顾“光滑曲线”概念.Th20.1 设有光滑曲线义在上的连续函数.则

.(证)P199 ，.是定若曲线方程为 : , 则

.《数学分析》教案

, 即

.2.稳流场通过曲线(从一侧到另一侧)的流量: 解释稳流场.(以磁场为例)..求在单位时间内通过曲线AB从左处的切向量为 , 设有流速场

侧到右侧的流量E.设曲线AB上点

(是切向量方向与X轴正向的夹角.切向量方向按如下方法确定: 法线方向是指从曲线的哪一侧到哪一侧, 在我们现在的问题中是指从左侧到右侧的方向.切向量方向与法线向按右手法则确定, 即以右手拇指所指为法线方向, 则食指所指为切线方向.).在弧段

上的流量，.因此，.由 , 得

.于是通过曲线AB从左侧到右侧的总流量E为

.3.第二型曲线积分的定义: 闭路积分的记法.按这一定义 , 有

沿平面曲线从点A到点B所作的功为力场

《数学分析》教案

A , B;函数和

在L上连续, 则沿L的自然方向(即从点A到点B的方向)有

.(证略)例1 计算积分).积分从点A到点B或闭合, 路径为

ⅰ> 直线段AB

ⅱ> 抛物线

ⅲ> A(1, 1)路径.P205例1 例2 计算积分

ⅰ> 沿抛物线

ⅱ> 沿直线

;, L的两个端点为A(1, 1), B(2 ，D(2 , 1)B(2 , 3)A(1, 1), 折线闭合, 这里L :

从点O(0 , 0)到点B(1 , 2);

从点O(0 , 0)到点B(1 , 2);ⅲ> 沿折线闭合路径O(0,0)A(1,0)B(1,2)O(0,0).P205例1 , 其中L是螺例3 计算第二型曲线积分 I = 旋线, 从

到的一段.P207例3 例4 求在力场

ⅰ> 质点由点A

L :

数学分析教案 (华东师大版)第八章不定积分

第一篇：数学分析教案 (华东师大版)第八章不定积分

第二篇：不定积分教案

第三篇：数学分析教案 (华东师大版)第五章导数和微分

第四篇：华东师大2006数学分析考研真题

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