高等数学(上册)教案17 不定积分的概念和性质

第一篇：高等数学(上册)教案17 不定积分的概念和性质

第4章 不定积分

不定积分的概念和性质

【教学目的】：

1.理解原函数的概念；

2.理解不定积分的定义，及几何意义； 3.掌握不定积分的基本公式和性质； 4.会用直接积分法计算不定积分。

【教学重点】： 1.原函数的概念；

2.不定积分的概念及几何意义； 3.不定积分的基本公式和性质。

【教学难点】： 1.基本积分公式；

2.用直接积分法计算不定积分。

【教学时数】：2学时 【教学过程】：

4.1.1原函数与不定积分

定义1 如果在区间I上，可导函数F(x)的导数为f(x)，即F'(x)f(x)或dF(x)f(x)dx（xI），那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数．

如果f(x)有一个原函数，那么f(x)就有无穷多个原函数．

设(x)是f(x)的另一个原函数，则任意的xI，有(x)f(x)．于是

(x)F(x)(x)F(x)f(x)f(x)0所以(x)F(x)C0(C0为某个常数)这表明(x)与F(x)只差一个常数．因此当C为任意常数时，表达式F(x)C 就可以表示f(x)的全体原函数，也就是说，f(x)的全体原函数所组成的集合，即函数族F(x)C|CR．

定义2 如果F(x)是f(x)在某区间上的一个原函数，那么F(x)C（C为任意常数）称为f(x)在该区间上的不定积分．即f(x)dx=F(x)C．其中符号称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量． 由上面的讨论可知，若F(x)是f(x)的一个原函数，那么f(x)dx=F(x)C（C为任意常数）．因此，求函数f(x)的不定积分，只需求出被积函数f(x)的一个原函数再加上积分常数C，求不定积分的方法称为积分法．

从不定积分的定义，即可知不定积分与微分(求导)互为逆运算：

由于f(x)dx是f(x)的原函数，所以[f(x)dx]'f(x)或df(x)dxf(x)dx． 又由于F(x)是F'(x)的原函数，所以F'(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C．

由此可见微分运算(以记号d表示)与求不定积分的运算(简称积分运算以记号表示)是互逆的，记号与d一起时或者抵消，或者抵消后差一常数．

1例3 求dx．

x解 当x0时，由于(lnx)'11，所以lnx是在(0,)内的一个原函数，xx1因此在(0,)内，有 dxlnxC．

x111(1)，所以ln(x)是在(,0)内的一当x0时，由于[ln(x)]'xxx1个原函数，因此在(,0)内 dxln(x)C．

x1把以上结果综合起来，得 dxln|x|C．

x4.1.2不定积分的几何意义

因为不定积分f(x)dx=F(x)C是f(x)的原函数的一般表达式，所以它对应的图形是一族积分曲线，称它为积分曲线族．

积分曲线族F(x)C有如下特点：

（1）积分曲线族中任意一条积分曲线都可以由曲线yF(x)沿y轴方向上、下平移得到；

（2）由于[F(x)C]F(x)f(x)，即横坐标相同的点处，所有曲线的切线都是互相平行的．

4.1.3基本积分公式表

（1）kdxkxC（k为常数）；（2）xdx1x1C； 111xaC，exdxexC；（3）dxln|x|C；（4）axdxxlna（5）cosxdxsinxC；（6）sinxdxcosxC；（7）112dxcsc2xdxcotxC；dxsecxdxtanxC；（8）22sinxcosx（9）11x2dxarcsinxC；（10）1dxarctanxC； 21x（11）cscxcotxdxcscxC；（12）secxtanxdxsecxC．

4.1.4不定积分的性质

性质1 设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则

[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx．

性质

2设函数f(x)的原函数存在，k为非零常数，则kf(x)dxkf(x)dx．

例6 求(x33xexe3)dx．

解 (x33xexe3)dxx3dx3xdxexdxe3dx 141xx3exe3xC． 4ln3注意到被积函数中x3是幂函数，3x和ex是指数函数，而e3是常数，它们的积分公式是不同的．

【教学小节】：

通过本节的学习，理解原函数、不定积分的概念及几何意义，熟记基本积分公式，掌握不定积分性质并学会使用直接积分法计算不定积分。

【课后作业】：

无

第二篇：不定积分教案

高等数学教案

第四章

不定积分

教学目的：

第四章

不定积分

1、理解原函数概念、不定积分的概念。

2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二）与分部积分法。

3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。教学重点：

1、不定积分的概念；

2、不定积分的性质及基本公式；

3、换元积分法与分部积分法。教学难点：

1、换元积分法；

2、分部积分法；

3、三角函数有理式的积分。§4 1 不定积分的概念与性质

一、原函数与不定积分的概念

定义

1如果在区间I上 可导函数F(x)的导函数为f(x) 即对任一xI 都有

F (x)f(x)或dF(x)f(x)dx

那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数

例如 因为(sin x)cos x  所以sin x 是cos x 的原函数

又如当x (1 )时

因为(x)1 所以x是1的原函数

2x2x

提问:

cos x和1还有其它原函数吗？

2x

原函数存在定理

如果函数f(x)在区间I上连续 那么在区间I上存在可导函数F(x) 使对任一x I 都有

F (x)f(x)

简单地说就是 连续函数一定有原函数

两点说明

第一 如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x) 那么f(x)就有无限多个原函数 F(x)C都是f(x)的原函数 其中C是任意常数

第二 f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数 即如果(x)和F(x)都是f(x)的原函数 则 (x)F(x)C

(C为某个常数)

高等数学课程建设组1 高等数学教案

第四章

不定积分

定义2 在区间I上 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的不定积分 记作

f(x)dx

其中记号称为积分号 f(x)称为被积函数 f(x)dx称为被积表达式 x 称为积分变量

根据定义 如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数 那么F(x)C就是f(x)的不定积分 即

f(x)dxF(x)C

因而不定积分f(x)dx可以表示f(x)的任意一个原函数

例1因为sin x 是cos x 的原函数所以

cosxdxsinxC

因为x是1的原函数所以

2x

例2.求函数f(x)1的不定积分

x 解：当x>0时(ln x)1

x

1 dxlnxC(x>0)

x

当x<0时[ln(x)]1(1)1

xx

1 dxln(x)C(x<0)

x 合并上面两式得到

1 dxln|x|C(x0)

x

例3 设曲线通过点(1 2) 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍 求此曲线的方程

解 设所求的曲线方程为yf(x) 按题设 曲线上任一点(x y)处的切线斜率为yf (x)2x, ，即f(x)是2x 的一个原函数

因为

2xdxx2C

高等数学课程建设组2 21dxxC x高等数学教案

第四章

不定积分

故必有某个常数C使f(x)x 2C 即曲线方程为yx 2C

因所求曲线通过点(1 2) 故

21C

C1

于是所求曲线方程为yx21

积分曲线 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线

从不定积分的定义 即可知下述关系

d[f(x)dx]f(x)

dx或

d[f(x)dx]f(x)dx

又由于F(x)是F (x)的原函数 所以

F(x)dxF(x)C

或记作

dF(x)F(x)C

由此可见 微分运算（以记号d表示）与求不定积分的运算（简称积分运算 以记号表示）是互逆的 当记号与d 连在一起时 或者抵消 或者抵消后差一个常数

二、基本积分表(1)kdxkxC(k是常数)

(2)xdx1x1C

1(3)1dxln|x|C

x(4)exdxexC

x(5)axdxaC

lna(6)cosxdxsinxC

(7)sinxdxcosxC

(8)(9)1dxsec2xdxtanxC cos2x1dxcsc2xdxcotxC

sin2x高等数学课程建设组3 高等数学教案

第四章

不定积分

(10)12dxarctanxC

1x(11)1dxarcsinxC

1x2(12)secxtanxdxsecxC

(13)cscxcotdxcscxC

(14)sh x dxch xC

(15)ch x dxsh xC

例4

例5 x3dxx3dx31x31C2x2C

x2111xdx5x2dx71122xCx2C2x3xC 517725

例6 dxx3x4x3dx41x3413C13x3C33C

x

三、不定积分的性质

性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和 即

[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx

这是因为, [f(x)dxg(x)dx][f(x)dx][g(x)dx]f(x)g(x).性质2 求不定积分时 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来 即

kf(x)dxkf(x)dx(k是常数 k 0)

例7.x(x5)dx5x2dx725(x215x2)dx 5x2dx51x2dx 15x2dx322 x25x2C

7332(x1)3x3x3x1dx(x331)dx 例8 dx22xx2xx xdx3dx31dx12dx1x23x3ln|x|1C

x2xx高等数学课程建设组4 高等数学教案

第四章

不定积分

例9 (ex3cosx)dxexdx3cosxdxex3sinxC

xx(2e)xC2eC

例10 2edx(2e)dxln(2e)1ln2xxx1xx2dxx(1x2)dx(11)dx 例11 x(1x2)1x2x

x(1x2)12dx1dxarctanxln|x|C

x1x44(x21)(x21)1xx11 例12 dxdxdx

1x21x21x2 (x2112)dxx2dxdx12dx

1x1x 1x3xarctanxC 例13 tan2xdx(sec2x1)dxsec2xdxdx

 tan x  x  C 

例14 sin2x dx1cosxdx1(1cosx)dx

222  例15 1(xsinx)C

21dx412dx4cotxC

sinxsin2xcos2x22

高等数学课程建设组5 高等数学教案

第四章

不定积分

§4 2 换元积分法

一、第一类换元法

设f(u)有原函数F(u)

u(x) 且(x)可微 那么 根据复合函数微分法 有 d F[(x)]d F(u)F (u)d u F [(x)] d(x) F [(x)](x)d x  所以

F [(x)](x)dx F [(x)] d(x) F (u)d u d F(u)d F[(x)]

因此

F[(x)](x)dxF[(x)]d(x)

F(u)dudF(u)dF[(x)]F[(x)]C 即

f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)[f(u)du]u(x)

[F(u)C] u  (x) F[(x)]C

定理

1设f(u)具有原函数 u(x)可导 则有换元公式

f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)f(u)duF(u)CF[(x)]C 

被积表达式中的dx 可当作变量x的微分来对待 从而微分等式(x)dx du可以应用到被积表达式中

在求积分g(x)dx时 如果函数g(x)可以化为g(x) f[(x)](x)的形式 那么

g(x)dxf[(x)](x)dx[f(u)du]u(x)

例1.2cos2xdxcos2x(2x)dxcos2xd(2x)

cosudusinuCsin 2xC 

例2.32xdx232x(32x)dx232xd(32x)11111

11dx1ln|u|C1ln|32x|C

2u22 例3.2xexdxex(x2)dxexd(x2)eudu

euCexC

例4.x1x2dx11x2(x2)dx11x2dx2 211x2d(1x2)1u2du1u2C

221(1x2)2C

3高等数学课程建设组6 3132222高等数学教案

第四章

不定积分

例5.tanxdxsinxdx1dcosx

cosxcosx

1duln|u|C u

ln|cos x|C 

即

tanxdxln|coxs|C

类似地可得cotxdxln|sinx|C

熟练之后 变量代换就不必再写出了

例6.a2x2dxa2111dx

1(x)2a

11dx1arctanxC

a1(x)2aaaa 即 nC a2x2dxaarctaa11x 例7.chxdxachxdxa shxC

aaaa 例8.当a0时，1dx111xndxdxarcsiC

aaaxxa2x2221()1()aa

即 xn1dxarcsiC

22aax 例9.x2a2dx2a(xaxa)dx2a[xadxxadx] 1111111

1[1d(xa)1d(xa)]

2axaxa

1[ln|xa|ln|xa|]C1ln|xa|C

2a2axa 即 x2a2dx2aln|xa|C 11xa 例10.x(12lnx)12lnx2dxdlnx1d(12lnx)

12lnx

1ln|12lnx|C

2高等数学课程建设组7 高等数学教案

第四章

不定积分

3x 例11.edx2e3xdx2e3xd3x

3x

2e3xC

3含三角函数的积分

例12.sin3xdxsin2xsinxdx(1cos2x)dcosx

dcosxcos2xdcosxcosx1cos3xC 例13.sin2xcos5xdxsin2xcos4xdsinx

sin2x(1sin2x)2dsinx

(sin2x2sin4xsin6x)dsinx

1sin3x2sin5x1sin7xC357 例14.cos2xdx1cos2xdx1(dxcos2xdx)

1dx1cos2xd2x1x1sin2xC

2424 例15.cos4xdx(cos2x)2dx[1(1cos2x)]2dx 1(12cos2xcos22x)dx 1(32cos2x1cos4x)dx

422

1(3xsin2x1sin4x)C 428

3x1sin2x1sin4xC

8432 例16.cos3xcos2xdx1(cosxcos5x)dx

1sinx1sin5xC

2101 例17.cscxdx1dxdx

xxsinx2sincos22高等数学课程建设组8 高等数学教案

第四章

不定积分

dxdtanx22ln|tanx|Cln |csc x cot x |C 



2tanxcos2xtanx222 即

cscln |csc x cot x |C  xdx 例18.secxdxcsc(x)dxln|csc(x )cot(x )|C

222

ln |sec x  tan x |  C

即

secln |sec x  tan x |  C xdx

二、第二类换元法

定理2 设x (t)是单调的、可导的函数 并且(t)0 又设f [(t)](t)具有原函数F(t) 则有换元公式

f(x)dxf[(t)](t)dtF(t)F[1(x)]C

其中t(x)是x(t)的反函数

这是因为

{F[1(x)]}F(t)dtf[(t)](t)1f[(t)]f(x)

dxdxdt 例19.求a2x2dx(a>0)

解: 设xa sin t   t  那么a2x2a2a2sin2tacost

22dx a cos t d t  于是

a2x2dxacostacostdt

a2cos2tdta2(1t1sin2t)C

2422x因为tarcsin, sin2t2sintcost2xax 所以

aaa2a11axdxa(tsin2t)Carcsinx1xa2x2C

242a2222

解: 设xa sin t   t  那么

22高等数学课程建设组9 高等数学教案

第四章

不定积分

a2x2dxacostacostdt a2cos2tdta2(1t1sin2t)Caarcsinx1xa2x2C

242a2提示:a2x2a2a2sin2tacost dxacos tdt 

22提示: tarcsinx, sin2t2sintcost2xax

aaa

例20.求dx(a>0)

x2a

2解法一 设xa tan t  t  那么

22x2a2a2a2tan2ta1tan2ta sec t  dxa sec 2t d t  于是

2asectdtsectdt ln |sec t  tan t |C 

dxasectx2a222因为sectxa tantx 所以

aadx ln |sec t  tan t |Cln(xx2a2)Cln(xx2a2)C

1aax2a2其中C 1Cln a 

解法一 设xa tan t  t  那么

dxasec2tdtsectdtln|secttant|C

asectx2a222xxa

ln()Cln(xx2a2)C1

aa其中C 1Cln a 

提示:x2a2a2a2tan2tasect  dxa sec 2t dt 

22提示:sectxa tantx

aa

解法二: 设xa sh t  那么

高等数学课程建设组10 高等数学教案

第四章

不定积分

dxach tdtdttCarshxC

ach tax2a2

lnx(x)21Cln(xx2a2)C1

aa其中C 1Cln a 

提示: x2a2a2sh2ta2a ch t  dx a ch t d t 

例23.求dx(a>0)

x2a2

解: 当x>a 时 设xa sec t(0t ) 那么

2x2a2a2sec2ta2asec2t1a tan t 

于是

dxasecttantdtsectdt ln |sec t  tan t |C 

atantx2a222因为tantxa sectx 所以

aadx ln |sec t  tan t |C ln|xx2a2|Cln(xx2a2)C

1aax2a2其中C 1Cln a 

当xa 于是

dxduln(uu2a2)C x2a2u2a2

ln(xx2a2)Cln(xx2a2)C1

22xxalnCln(xx2a2)C1

2a其中C 1C2ln a 

综合起来有



dxln|xx2a2|C 22xa

解: 当x>a 时 设xa sec t(0t ) 那么

2高等数学课程建设组11 高等数学教案

第四章

不定积分

dxasecttantdtsectd t 22atantxa22

ln|setctant|Clnx(xa)C

aa

lnx(x2a2)C

其中C 1Cln a 

当x<a 时 令xu  则u>a 于是

dxduln(uu2a2)C x2a2u2a22222xxa

ln(xxa)ClnC

a2

ln(xx2a2)C1

其中C 1C2ln a 

提示:x2a2a2sec2ta2asec2t1atant 

22xxa提示:tant sect

aa

综合起来有

dxln|xx2a2|C x2a2

补充公式

(16)tanxdxln|cosx|C cotxdxln|sinx|C(18)secxdxln|secxtanx|C(19)cscxdxln|cscxcotx|C(20)(21)(22)(23)1dx1arctanxC

aaax221dx1ln|xa|C2axaxa221dxarcsinxC

aa2x2

dxln(xx2a2)C

x2a2高等数学课程建设组12 高等数学教案

第四章

不定积分

(24) dxln|xx2a2|C

x2a2

§4 3 分部积分法

设函数uu(x)及vv(x)具有连续导数 那么 两个函数乘积的导数公式为

(uv)uvuv

移项得

uv(uv)uv

对这个等式两边求不定积分 得

uvdxuvuvdx或udvuvvdu 这个公式称为分部积分公式

分部积分过程: uvdxudvuvvduuvuvdx   

例1 xcosxdxxdsinxxsinxsinxdxx sin xcos xC 

例2 xexdxxdexxexexdxxexexC

例3 x2exdxx2dexx2exexdx2

x2ex2xexdxx2ex2xdexx2ex2xex2exdx

x2ex2xex2exC ex(x22x2)C

例4 xlnxdx1lnxdx21x2lnx1x21dx

222x1x2lnx1xdx1x2lnx1x2C

2224 例5 arccosxdxxarccosxxdarccosx

xarccosxx1dx

1x21

xarccosx1(1x2)2d(1x2)xarccosx1x2C 例6 xarctanxdx1arctanxdx21x2arctanx1x212dx

2221x

1x2arctanx1(112)dx

221x高等数学课程建设组13 高等数学教案

第四章

不定积分

1x2arctanx1x1arctanxC

222 例7 求exsinxdx

解 因为exsinxdxsinxdexexsinxexdsinx

exsinxexcosxdxexsinxcosxdex

exsinxexcosxexdcosx

exsinxexcosxexdcosx

exsinxexcosxexsinxdx

所以

exsinxdx1ex(sinxcosx)C

例8 求sec3xdx

解 因为

sec3xdxsecxsec2xdxsecxdtanx

secxtanxsecxtan2xdx

secxtanxsecx(sec2x1)dx

secxtanxsec3xdxsecxdx

secxtanxln|secxtanx|sec3xdx

所以

se3cxdx1(secxtanxln|secxtanx|)C 例9 求Indx 其中n为正整数(x2a2)n 解 I12dx21arctanxC

axaa

当n1时，用分部积分法 有

dxxx2dx 2(n1)(x2a2)n1(x2a2)n1(x2a2)n高等数学课程建设组14 高等数学教案

第四章

不定积分

x1a2]dx 2(n1)[(x2a2)n1(x2a2)n(x2a2)n1x即 In122(n1)(In1a2In) 2n1(xa)

于是 In1[2x2n1(2n3)In1] 2a(n1)(xa)2以此作为递推公式 并由I1 例10 求exdx 1xarctanC即可得In aa 解 令x t 2  则  dx2tdt 于

exdx2tetdt2et(t1)C2ex(x1)C

exdxexd(x)22xexdx

2xdex2xex2exdx

2xex2exC2ex(x1)C

第一换元法与分部积分法的比较: 共同点是第一步都是凑微分

f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)令(x)uf(u)du

u(x)v(x)dxu(x)dv(x)u(x)v(x)v(x)du(x) 哪些积分可以用分部积分法？

xcosxdxxexdxx2exdx xlnxdx arccosxdx xarctanxdx exsinxdx sec3xdx

2xexdxexdx2eudu    x2exdxx2dexx2exexdx2    

高等数学课程建设组15 22高等数学教案

第四章

不定积分

§4 几种特殊类型函数的积分

一、有理函数的积分

有理函数的形式

有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数 即具有如下形式的函数:

P(x)a0xna1xn1an1xan

 Q(x)b0xmb1xm1bm1xbm其中m和n都是非负整数a0 a1 a2     an及b0 b1 b2     bm都是实数

并且a00 b00 当nm时 称这有理函数是真分式 而当nm时 称这有理函数是假分式

假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式 例如

x3x1x(x21)1x1

x21x21x2

1真分式的不定积分

求真分式的不定积分时 如果分母可因式分解 则先因式分解 然后化成部分分式再积分

例1 求 解 x3dx

x25x6x25x6dx(x2)(x3)dx(x3x2)dx x3x36 6dx5dx6ln|x3|5ln|x2|C

x3x2提示(AB)x(2A3B)x3

AB(x2)(x3)x3x2(x2)(x3)AB1 3A2B3 A6 B5

分母是二次质因式的真分式的不定积分

例2 求 解 x2dx

x2x32x22x3dx(2x22x33x22x3)dx x212x21dx

122x2dx3212x2x3x2x3d(x22x3)d(x1)13

2 2x2x3(x1)2(2)1ln(x22x3)3arctanx1C

2221(2x2)3提示 2x222

12x2321x2x3x2x32x2x3x2x3 例3 求1dx

x(x1)2高等数学课程建设组16 高等数学教案

第四章

不定积分

解 x(x1)2dx[xx1(x1)2]dx 1111

1dx1dx12dxln|x|ln|x1|1C

x1xx1(x1)

提示 11xx11

x(x1)(x1)2x(x1)2x(x1)21xx121112

x(x1)(x1)xx1(x1)

二、三角函数有理式的积分

三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数 其特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算 由于各种三角函数都可以用sin x 及cos x 的有理式表示

故三角函数有理式也就是sin x、cos x 的有理式

用于三角函数有理式积分的变换:

把sin x、cos x表成tanx的函数 然后作变换utanx

222tanx2tanxxx222u

sinx2sincos22sec2x1tan2x1u2221tan2xxx21u2

cosxcos2sin222sec2x1u22变换后原积分变成了有理函数的积分

例4 求1sinxdx

sinx(1cosx)2x2u2du

1u 解 令utan 则sinx cosx x2arctan u  dx2221u1u21u(12u2)2du1(u21)du 1u于是 1sinxdx22usinx(1cosx)2u(11u)1u21u21u221u

(2uln|u|)C1tan2xtanx1ln|tanx|C

4222222 解 令utanx 则

2高等数学课程建设组17 高等数学教案

第四章

不定积分

(12u2)1u

1sinxdx22du 2sinx(1cosx)2u(11u)1u1u21u2 1(u2uln|u|)C1(u21)du

222u

1tan2xtanx1ln|tanx|C

42222

说明: 并非所有的三角函数有理式的积分都要通过变换化为有理函数的积分例如

三、简单无理函数的积分

无理函数的积分一般要采用第二换元法把根号消去

例5 求x1dx

x 解 设x1u 即xu21 则

cosx11sinxdx1sinxd(1sinx)ln(1sinx)C

x1dxu2udu2u2du u21u21x

2(112)du2(uarctanu)C 1u

2(x1arctanx1)C

例6 求dx

1x23 解 设3x2u 即xu32 则

dx13u2du3u211du 13x21u1u 3(u11)du3(uuln|1u|)C

1u2

33(x2)233x2ln|13x2|C例7 求dx

(13x)x 解 设xt 6 于是dx 6t 5d t 

从而

高等数学课程建设组18 高等数学教案

第四章

不定积分

dx6t5dt6t2dt1(13x)x(1t2)t31t26(11t2)dt6(tarctant)C

6(6xarctan6x)C

例8 求11xdx

xx 解 设1xt 即x21 于是

t1x

x11xdx(t21)t2tdt x(t21)22

22tdt2(121)dt

t1t 2tln|t1|C

t11xln1xxC

2

x1xx

练习

1

求dx

2cosx1t2x2

解

作变换ttan

则有dx

dt cosx21t21t22dt221tdx11t22

 ddt2t1t2cosx3t31()2321t2323arctant3C23arctan(1xtan)C

23sin5xdx

4cosx4(1co2sx)2sin5xsinx

解 dxdcosxdcosx

cos4xco4sxco4sx21

(1)dcosx

cos2xcos4x

2

求

cosx

3

求21C

3cosx3cosx3x1dx

x23x2高等数学课程建设组19 高等数学教案

第四章

不定积分

解 3x13x174dx(dx)dx(x2)(x1)x23x2x2x111dx4dx x2x1

7ln|x2|4ln|x1|C

§4.5积分表的使用

积分的计算要比导数的计算来得灵活、复杂为了实用的方便往往把常用的积分公式汇集成表这种表叫做积分表求积分时可根据被积函数的类型直接地或经过简单变形后在表内查得所需的结果 积分表

一、含有axb的积分

71．dx1ln|axb|C

axba2．(axb)dx3．1(axb)1C(1)a(1)xdx1(axbbln|axb|)C axba224．xdx131(axb)22b(axb)b2ln|axb|C

axba25．6．7．8．9．dx1lnaxbC x(axb)bxdx1alnaxbC x2(axb)bxb2xx1ln|axb|bC dx(axb)2a2axbx2dx1axb2bln|axb|b2C(axb)2a3axbdx11lnaxbC x(axb)2b(axb)b2xxdx(3x4)2例1求解这是含有3x4的积分在积分表中查得公式

x1b(axb)2dxa2ln|axb|axbC

高等数学课程建设组20 高等数学教案

第四章

不定积分

现在a

3、b4于是

x14(3x4)2dx9ln|3x4|3x4C

二、含有axb的积分 1．axbdx2(axb)3C

3a2．xaxbdx22(3ax2b)(axb)3C

15a3．x2axbdx4．5．2(15a2x212abx8b2)(axb)3C 105a3xdx2(ax2b)axbC

3a2axbx2dx2(3a2x24abx8b2)axbC 15a3axb6．dxxaxb7．1lnaxbbC(b0)baxbb 2arctanaxbC(b0)bbdxaxbadx

bx2bxaxbx2axb8．axbdx2axbbdx

xxaxb9．ax2bdxaxbadx xx2xaxb

三、含x2a2的积分 1．2．3．x2a2dx1arctanxC

aadxx2n3dx (x2a2)n2(n1)a2(x2a2)n12(n1)a2(x2a2)n1dx1lnxaC

x2a22axa

四、含有ax2b(a0)的积分

1abarctandx1．2axb1ln2ab2．axC(b0)b axbC(b0)axbxdx1ln|ax2b|C ax2b2a高等数学课程建设组21 高等数学教案

第四章

不定积分

3．4．5．6．7．x2dxxbdx 2axbaaax2bdx1lnx2C x(ax2b)2b|ax2b|dxx2(ax2b)1dx 1a2bxbaxbdxaln|ax2b|1C x3(ax2b)2b2x22bx2dxx11dx (ax2b)22b(ax2b)2bax2b

五、含有ax2bxc(a0)的积分

六、含有x2a2(a0)的积分 1．2．3．4．5．6．7．8．dxarshxCln(xx2a2)C

a1x2a2dxxC

(x2a2)3a2x2a2xdxx2a2C x2a2x1dxC(x2a2)3x2a2x2dxxx2a2a2ln(xx2a2)C

22x2a2x2xdxln(xx2a2)C

22322(xa)xa22dx1lnxaaC

|x|xx2a2ax22a2dxx2C axx2a229．x2a2dxxx2a2aln(xx2a2)C 22例3求dx

x4x29dxdx1x4x292xx2(3)22解因为所以这是含有x2a2的积分这里a3在积分表中查得公式

2高等数学课程建设组22 高等数学教案

第四章

不定积分

dx1lnx2a2aC xx2a2a|x|x2(3)23dx22C1ln4x293C 12ln于是 |x|32|x|x4x292

3七、含有x2a2(a0)的积分 1．2．3．4．5．6．7．8．dxxarch|x|Cln|xx2a2|C 1ax2a2|x|dxxC

(x2a2)3a2x2a2xdxx2a2C 22xax1dxC(x2a2)3x2a2x2dxxx2a2a2ln|xx2a2|C

22x2a2x2xdxln|xx2a2|C

(x2a2)3x2a2dx1arccosaC

|x|xx2a2ax22a2dxx2C axx2a229．x2a2dxxx2a2aln|xx2a2|C 2

2八、含有a2x2(a0)的积分 1．2．3．4．5．6．dxarcsinxC

aa2x2dxxC

(a2x2)3a2a2x2xdxa2x2C 22axx1dxC(a2x2)3a2x2x2dxxa2x2a2arcsinxC

22aa2x2x2xdxarcsinxC

a(a2x2)3a2x2高等数学课程建设组23 高等数学教案

第四章

不定积分

7．8．22dx1lnaaxC |x|xa2x2ax222dxa2xC axa2x229．a2x2dxxa2x2aarcsinxC

22a

九、含有ax2bxc(a0)的积分

十、含有xa或(xa)(xb)的积分 xb

十一、含有三角函数的积分 1．secxdxln|secxtanx|C 2．cscxdxln|cscxcotx|C 3．secxtanxdxsecxC 4．cscxcotxdxcscxC 5．sin2xdxx1sin2xC

246．cos2xdxx1sin2xC

247．sinnxdx1sinn1xcosxn1sinn2xdx

nn8．cosnxdx1cosn1xsinxn1cosn2xdx nn9．sinaxcosbxdx1cos(ab)x1cos(ab)xC

2(ab)2(ab)1sin(ab)x1sin(ab)xC 2(ab)2(ab)10．sinaxsinbxdx11．cosaxcosbxdx1sin(ab)x1sin(ab)xC 2(ab)2(ab)atanxbdx22C(a2b2)12．arctanabsinxa2b2a2b2高等数学课程建设组24 高等数学教案

第四章

不定积分

atanxbb2a2dx22lnC(a2b2)13．22absinxbaatanxbb2a2214．dx2abarctanabtanxC(a2b2)abcosxababab2abbaC(a2b2)abbatanxdxabln214．2abcosxabbatanx2例2求dx 54cosx解这是含三角函数的积分 在积分表中查得公式

abarctxC(a2b2) anabtanabab2这里a

5、b4a 2b2于是

abcoxsabdx2dx2

54coxs5(4)5(4)5(4)xC arctantan

5(4)5(4)2

2arctan3tanxC

32例求sin4xdx

解这是含三角函数的积分 在积分表中查得公式

sinnxdx1sinn1xcosxn1sinn2xdxsin2xdxx1sin2xC

nn24这里n4于是

sin4xdx1sin3xcosx3sin2xdx1sin3xcosx3(x1sin2x)C 444424

高等数学课程建设组25

第三篇：旅游的概念,性质教案[范文模版]

第一节 旅游的概念、性质及特征

测试：判断下列活动哪些是旅游？ 学生异地读书 农民异地打工 学者外地参加学术会议 三峡大移民

海外华侨、港澳台同胞回大陆定居 外籍教师来教育学院任教 留学生到外国留学 来到某国家担任外交人员 外国高层政府代表团来华访问 „„ „„

判断的标准：旅游的本质特征（主要目的是追求愉悦）和外部基本特征（异地性、暂时性）和国家相关的规定。辨别词义：

旅游：“旅”，旅行、离家出行（反义词：居家）。“游”，游览、游玩。

二者关系：离家出行不一定是旅游；反过来，要去游览、游玩必须要离家出行。

迁徙：由此地到彼地定居，主要目的是求生存，不再回来。旅行：travel 由此地到彼地，主要目的不是游玩，且一定时间内要返回来。旅游：tour或tourism由此地到彼地，主要目的是游玩，且一定时间内要返回来。

一、旅游的定义

迄今为止，关于旅游的定义众多（高教版9种、田里编著南开高职版8种、李天元编著南开版7种、魏向东林业版列出国际11种、国内7种），还从来没有一个统一的为大家所采用的定义，不同的国家甚至同一国家如美国各州之间对旅游的定义都有不同。

对旅游的定义大体可以划分为两类：理论性定义（或概念性定义）和技术性定义（或实践性定义）。

两者的区别在于侧重点不同：概念性定义旨在提供一个理论框架，用以确定旅游的基本特点，以将它与其他活动区别开来，侧重于对旅游活动的定义；技术性定义主要为了旅游统计、收集数据的需要，以便为决策立法提供旅游信息，所以侧重于对旅游者的定义及划分方法。

人们对旅游的定义之所以会这样多，与人们对旅游的认识有关。因为旅游活动从产生以后，它的旅游实践和内容就在不断丰富变化，所以人们对旅游定义的认识也在不断发展完善。

例1：在中外的一般性语言词典中，对旅游一词的解释是指人们因消遣性原因或目的而离家外出旅行的活动。强调其目的的消遣性。（李天元主编南开版教材46页）

例2： “艾斯特”定义（1942年瑞士圣加仑大学教授亨泽克尔和伯尔尼大学教授克雷夫两位学者提出，70年代被“旅游科学专家国际联合会”采用，该组织英文缩写为AIEST）：

旅游是非定居者的旅行和暂时逗留而引起的现象和关系的总和。这些人不会导致长期定居，并且不会牵涉任何赚钱的活动。（李天元主编南开版教材42页）

例3：世界旅游组织（World Tourism Organization 简称WTO）1991年6月加拿大渥太华会议对旅游的定义：

旅游是人们为了休闲、商务或其他目的离开他们惯常环境，到某些地方停留在那里，但连续不超过一年的活动。（旅游教育出版社陶汉军《新编旅游学概论》第2页、中国旅游出版社（美）威廉.瑟厄波德《全球旅游新论》13页）

例4：旅游是人们以前往异地寻求愉悦为主要目的而度过的一种具有社会、休闲和消费属性的短暂经历。（谢彦君《基础旅游学》，中国旅游出版社2004年第2版）

按照这样的定义，今天数量众多商务、公务、会议及事务性外出访问旅游都没有包括在内。而现代旅游实践和旅游统计中却是包含了上述活动的。（分析见教材46页）

综合定义：

◎旅游是人们出于移民和就业任职以外的其他原因离开长住地前往异地的旅行和暂时逗留活动，以及由此所引起的各种现象和关系的总和。（李天元主编南开版教材47页）◎旅游是人们离开常住地到异国他乡访问的旅行和暂时停留所引起的各种现象和关系的总和。（袁国宏、张月芳《旅游管理知识题解》，中国旅游出版社2003年第1版。F5/283）

二、旅游活动的基本特征（从横向比较角度）

异地性：旅游一定要离开日常居住地到另一个地方，要有空间位置的移动，即旅行。

暂时性：或流动性。旅游是流动的，在异地停留时间是暂时的（国际上一般规定不超过1年），最终必须返回原住地。所以，移民不是旅游。

综合性：旅游是人们的旅行和暂时居留而引起的各种现象和关系的总和。这一点反映了旅游活动的综合性。

在对旅游的定义中，以上三个方面已经基本取得了共识。审美性：或娱乐性。即旅游的主要目的是去寻找并感受美、奇特、快乐的活动。人们之所以到某地去旅游，或者是因为那里很美、奇特，或者是去散心。总之，旅游的目的可以是休闲、商务、公务、会议、探亲等，一定不是移民就业。

其他：◎李天元主编南开版P56：普及性、持续性、地理集中性、季节性

◎田里主编南开高职版16页：异地性、审美性、流动性（暂时性）、综合性

◎高教版：娱乐性、异地流动性、大众普及性、季节变动性、地理变动性

三、旅游的本质和属性

（一）旅游的属性

旅游是人类在基本生存需要得到满足后产生的一种精神文化追求，包括休闲、追求新奇、追求体验感受等，所以主要是人类社会的一种文化现象。但与经济、政治联系紧密。

与经济联系紧密：经济是前提（旅游活动产生本身就是经济发展的产物）、旅游业的兴起缘于经济。

旅游与政治关系密切。表现为：（1）国与国之间的关系是出境旅游实现的前提；（2）稳定的政治环境是发展旅游的又一前提。（3）旅游作为交往活动，可以改善国家的政治关系，经济上还可以平衡进出口贸易。

（二）本质属性（学术界有争议）

◎旅游属于社会文化活动。如田里主编南开高职版：旅游是人类在基本生存的物质需要得到满足后产生的一种高层次的精神文化追求活动，本质属性是文化属性。

◎旅游活动是多种现象的综合体现。如李天元主编南开版（P55）：旅游是涉及经济和政治等许多方面的社会文化活动。

◎又如高教版：旅游的属性应该是一种以文化为主，带有经济属性和政治色彩的综合社会现象。

讨论：你认为旅游最本质的属性是什么？为什么？

分析：

从旅游活动产生的原因看，旅游活动是人类在基本生存需要得到满足后产生的一种精神文化需求，本质属性是文化属性。（旅游者角度）

从旅游业兴起的原因看，人们之所以会经营发展旅游，是因为经济利益的驱动，旅游可以产生巨大经济效益，所以从这个意义上说旅游是一种经济现象，本质属性是经济性。（旅游经营者角度）

第四篇：不定积分 教案示例

不定积分·教案示例

目的要求

1．理解原函数的定义，知道原函数的性质，会求简单函数的原函数．

2．理解不定积分的概念，掌握不定积分的线性性质，会用定义求简单函数的不定积分．

内容分析

1．不定积分是一元函数微积分学的基本内容，本章教材是在学生已掌握求导数方法的基础上，研究求原函数或不定积分的．故学好“导数与微分”是学好不定积分的前提，教学时，要与“导数与微分”一章的有关内容进行对照．

2．本节教学重点是原函数和不定积分的概念教学，难点是原函数的求法．突破难点的关键是紧紧扣住原函数的定义，逆用求导公式，实现认知结构的理顺．由于逆运算概念学生并不陌生，因此教学中要充分利用思维定势的积极因素并引入教学．另外，本节切勿提高教学难度，因为随着后续学习的深入，积分方法多，无需直接用定义求不定积分．

3．本节教学要始终抓住一条主线：“求导数与求原函数或不定积分(在不计所加任意常数时)互为逆运算”．强调求不定积分时，不要漏写任意常数C；另外，要向学生说明：求一个函数的不定积分，允许结果在形式上不同，但结果的导数应相等．指出这点是有益的，一方面使学生会检查得到的不定积分是否正确，另一方面消除学生由于所得不定积分形式的不同而产生的疑问．

4．根据本节知识的抽象性，教学中应充分安排学生进行观察、联想、类比、讨论等课堂活动，使之参与到概念的发现过程，体会知识的形成过程．本着这一原则，本节课宜采用引导发现法进行教学．

教学过程

1．创设情境，引入新课(1)引例(见解本章头)．

用多媒体显示引例图象，提出问题，激起学生求知欲望，揭示并板书课题．(2)介绍微积分产生的时代背景，弘扬科学的学习态度和钻研精神． 2．尝试探索，建立新知

(1)提出问题：已知某个函数的导数，如何求这个函数？(2)尝试练习：求满足下列条件的函数F(x)． ①F′(x)＝3x2 ②F′(x)＝x3

(3)解决问题：上述练习是完成与求导数相反的逆运算．因此，解决问题的方法仍为求导数．

(4)形成定义：详见课本“原函数”的定义． 对于原函数的定义，教师应强调下列三点：

第一，F(x)与f(x)是定义在同一区间I上，这里的区间I可以是闭区间或半闭区间或开区间．

第二，F(x)是f(x)的一个原函数，不是所有的原函数．

第三，求原函数(在不计所加常数C的情况下)与求导数互为逆运算．(5)简单应用：

例1 求下列函数的一个原函数． ①f(x)＝3x2 ②f(x)＝x3

小结解法：根据定义，求函数f(x)的原函数，就是要求一个函数F(x)，使它的导数F′(x)等于f(x)．

(6)讨论问题：已知函数f(x)的一个原函数F(x)，那么函数f(x)是否还有其他原函数？举例说明．(略)(7)归纳性质：

一般地，原函数有下面的性质：

设F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数，对于任意常数C，F(x)＋C也是f(x)的原函数，并且f(x)在区间I上任何一个原函数都可以表示成F(x)＋C的形式．

教师强调：一个函数虽然有无穷多个原函数，但是我们只要求出其中的一个就行，其他的原函数都可以由这个原函数再加上一个常数得到．这样就给出了求已知函数的所有原函数的方法．

3．类比分析，拓广知识

根据原函数的性质，类比引入不定积分的概念．

(1)讲解不定积分的有关概念：不定积分、积分号、被积函数、积分变量、被积式、积分常数等(详见课本)．

对于不定积分的定义，教师说明如下：

第一，函数f(x)的不定积分f(x)dx等于函数f(x)的所有原函数F(x)

＋C．常数C不要漏写，F(x)只能表示一个原函数，这也正是原函数和

不定积分的区别；不定积分记号f(x)dx由积分记号“”和被积式

“f(x)dx”构成，书写时不要漏掉dx．

第二，在不定积分f(x)dx中，积分变量是x；在不定积分uxdx中，积分变量是x，被积分函数u是关于x的指数函数；在udu中，xx

积分变量是u，被积函数ux是关于u的幂函数．

(2)推导不定积分的性质．

性质1：(f(x)dx)＝f(x)

证明：设函数f(x)的一个原函数为F(x)，即F′(x)＝f(x)．

由不定积分的定义得f(x)dx＝F(x)＋C．∴(f(x)dx)′＝(F(x)＋C)′＝F′(x)＝f(x)∴(f(x)dx)′＝f(x)性质2：F′(x)dx＝F(x)＋C

证明(略)上述两个性质表明：求导数与求不定积分(在不计所加的任意常数时)互为逆运算．因此，求不定积分时，常常利用导数与不定积分的这种互逆关系，验证所求的不定积分是否正确．

4．例题评价，反馈训练

例2 如果在区间(a，b)内，恒有f′(x)＝g′(x)，则一定有

[B]

A．f(x)＝g(x)B．f(x)＝g(x)＋C C．[f(x)dx]＝[g(x)dx]

D．f(x)＝Cg(x)例3 求下列不定积分．

(1)xdx(2)cosxdx

小结解法：

(1)求不定积分时，都要在结果上写上任意常数C．本章凡是没有特别说明时，所加的C均表示任意常数．

(2)求一个函数的不定积分，由于方法不同，它的结果在形式上往往也不同．这种形式上不同的结果，可以用求它们的导数的方法，看其导数是否相同，如果导数相同，就说明结果是正确的．

课堂练习：教科书练习第1、3、4题．

例4 已知f(x)是二次函数，且f(x)dx＝2x3－x2＋9x＋C，求f(x)的解析式．

解：由不定积分的性质得

f(x)＝(2x3－x2＋9x＋C)′＝6x2－2x＋9 5．归纳总结，巩固提高

(1)一条主线：求导数与求不定积分(在不计所加任意常数时)互为逆运算．(2)二组概念：原函数的定义和性质，不定积分的定义和性质．

(3)三个注意：一是注意一个函数的原函数有无穷多个，它们之间仅相差一个常数；二是注意求不定积分时，不要漏写任意常数C；三是注意求一个函数的不定积分，允许结果在形式上不同，但其结果的导数应相等．

布置作业

1．课本习题4．1第3、4题．

2．设函数y＝f(x)的图象为a，且在曲线a上任一点M(x，y)处的切线的斜率k(x)＝x3＋1，并且曲线过点P(1，2)，求函数y＝f(x)的解析式．

13(答案：f(x)＝x4＋x＋．)

443．已知函数f(x)＝(2ax＋b)dx，且f(0)＝f(2)＝0，方程f(x)＝x

有两个相等实根．

(1)求f(x)的解析式．

(2)是否存在实数m、n(m＜n)，使f(x)的定义域和值域分别是[m，n]和[2m，2n]．

1(答案：(1)f(x)＝－x2＋x；(2)存在m＝－2，n＝0．)

第五篇：高等数学上册

《高等数学》上册

一、函数与极限

1.函数基本概念—了解

1． 集合及集合的运算

2． 数轴、无穷大和无穷小的几何表示、区间 3． 常量和变量

4． 函数的定义和函数的表达方式 5． 函数的定义域和函数的计算 6． 基本初等函数

7． 复合函数和初等函数 8． 分段函数

2.函数的极限及运算法则—理解极限的含义，会计算求极限的题目；涉及范围较广，高等数学上册下册均有求极限的题目，极限的方法是研究函数的工具。（不会涉及证明用极限定义证明极限的题目）

1． 数列及数列极限 2． 函数的极限

3． 无穷大和无穷小的极限表示

4． 无穷大和无穷小的关系及无穷小的性质（运算注意前提条件有限个和无限个的区别）5． 极限的有界性定理及应用

6． 复合函数求极限（变量代换的方法）

3.两个重要极限（两个极限的运算法则的条件、推广和应用）

1． 第一个重要极限

2． 第一个重要极限的应用 3． 第二个重要极限

4． 第二个重要极限的应用（注意：单调 且有界是证明题的关键部分）4.无穷小的比较

等价无穷小及其应用

重要部分！5.函数的连续性和间断点

1． 增量

2． 函数连续的两个定义 3． 左连续和右连续

4． 函数的间断点分类（重要，出小题）

5． 连续函数四则运算的连续性（运算法则的条件、推广和应用）6． 反函数和复合函数的连续性

7． 连续函数的性质（注意：闭区间上连续函数的性质，重要，但一般不单独出题）一致连续性不用看 练习题一

2.导数与微分（重要,小题必考章节！）1.导数的定义和导数四则运算法则

1． 导数的定义（重要），2． 导数的几何意义（理解；其中数一数二导数的物理意义；数三，经济意义、边际函数、弹性函数）

3． 函数可导性与连续性的关系（必需的！）4． 求导公式表（必需的，熟悉到1+1=2！）

5． 函数导数的四则运算（必需的，熟悉到1+1=2！）2.不同类型函数的求导法则及高阶导数

1． 复合函数的求导法则（必需的，熟悉到1+1=2！）2． 隐函数的求导法则（必需的，熟悉到1+1=2！）

3． 参数方程所确定的函数的求导法则（小题，理解！多元隐函数的求导）4． 高阶导数（重要）

3.函数的微分及应用（理解，重要同导数必考，小题）

1． 微分的定义

2． 微分的几何意义

3． 微分的基本公式和运算法则 4． 复合函数的微分公式

5． 利用微分进行近似计算（除去不用看）练习题二

3.导数的应用（考大题 难题，重要章节！）

1.中值定理和洛必达法则（中值定理包括费马定理的应用及相关的证明题，必须会做证明题！）

1． 罗尔定理及几何意义

2． 拉格郎日中值定理及几何意义

3． 利用拉格郎日中值定理证明不等式

4． 洛必达法则（必考;泰勒公式及其应用，参照张宇的老师的导学或视频）2.函数的极值和最值（考小题，单调性及极值点、最大值最小值）

1． 函数的单调性及判断 2． 函数的极值 3． 函数的最值

3.曲线的凸凹性，拐点及函数作图（考小题，单调性及极值点、凹凸性及拐点、渐近线的定义理解）

1． 曲线的凸凹性及判断 2． 曲线的拐点 3.曲线的渐近线

4.函数作图（会大致描绘图形帮助做题）5.曲率

（了解即可）练习题三

4.不定积分（重要！运算的基础知识。与数

一、数三相比，数二有可能大题。）

1.不定积分的概念和基本公式

1． 原函数与不定积分（理解原函数）

2． 不定积分的定义（必需的，熟悉到1+1=2！）3． 不定积分的性质（必需的，熟悉到1+1=2！）4． 基本积分表（必需的，熟悉到1+1=2！）5． 直接积分法（必需的，熟悉到1+1=2！）2.换元积分法

1． 换元积分法的引入

2． 第一类换元法（必需的，熟悉到1+1=2！）

3． 第一类换元法的应用（必需的，熟悉到1+1=2！）4． 第二类换元法（必需的，熟悉到1+1=2！）

5． 第二类换元法的应用（必需的，熟悉到1+1=2！）3.分部积分法和不定积分技巧的综合应用

1． 分部积分法（必需的，熟悉到1+1=2！）

2． 被积函数和积分变量的选取（必需的，熟悉到1+1=2！）

3.有理函数的积分（重要，常见的一些题型，基本的运算方法的综合利用）4.综合题举例（积分表不必看）

5.定积分（重要！非常重要，是多元函数的二重积分，三重积分，线面积分的基础）1.定积分的定义和基本运算

1． 定积分的定义（理解！）

2． 定积分的性质

3． 变上限的积分函数（理解！）

4． 牛顿—莱布尼兹公式 各种题型的必需的，熟悉到1+1=2！

2.定积分的换元法和分部积分法

若不定积分学好，这一部分涉及的计算应该1． 定积分的换元法 很简单！2． 定积分的分部积分法

3． 利用方程和数列求定积分

常见的各种类型的题目一定要熟悉，再熟悉，3.广义积分（理解！考小题）再再熟悉，怎么熟悉都不为过！

1． 积分区间为无穷区间的广义积分 一元函数的极限，导数，微分，不定积分，定2． 被积函数有无穷间断点的广义积分（Г积分这是高等数学的基础，根本所在；然后多函数不用看）元函数（二元函数）的类似运算，只要把定义4.定积分的运用（会应用）相关推理过程理解了，则 自然会有 水到渠成1． 定积分的元素法 效果，难点不再难点！2． 利用定积分求平面图形面积

3． 利用定积分求体积（数三只看旋转体 体积）

4.曲线的弧长（数

一、数二公式记住，数 三不考）