6.7 二重积分的概念与性质

第一篇：6.7 二重积分的概念与性质

第6章 多元函数微积分6.7二重积分的概念与性质习题解

1．利用二重积分定义证明：

kf(x,y)dkf(x,y)d。

D

Dn0

i

i

i

【证明】由二重积分定义

f(,)f(x,y)dlim

D

i

1n，得

kf(,)kf(x,y)dlim

D

0

i

i

i1

i

limkf(i,i)i

0

i1

n

klimf(i,i)ikf(x,y)d，0

i1

n

D

证毕。

2．利用二重积分的几何意义说明：kdk（kR为常数，为积分区域D的面积）。

D



【说明】二重积分的几何意义，就是说，二重积分的柱体体积，于是知，二重积分

f(x,y)d就是以zf(x,y)为曲顶

D

kd表示以平面zk为顶的柱体体积，D

而以平面zk为顶的柱体体积，等于其底面积乘上其高zk，但该柱体的底面积就是积分区域D的面积，从而得，kdk。

D

3．利用二重积分的性质估计下列积分的值： ⑴

xy(xy)d，其中积分区域D(x,y)0x1,0y1；

D

【解】由于区域D(x,y)0x1,0y1，可知区域D的面积为

而由于0x1，0y1，可得0xy1，0xy2，从而有0xy(xy)2，由二重积分性质6.7.5（估值不等式）即得



d111，D

0dxy(xy)d2d

D

D

D

亦即为0⑵

xy(xy)d2。

D

(xy1)d，其中积分区域D(x,y)0x1,0y2；

D

【解】由于区域D(x,y)0x1,0y2，可知区域D的面积为



d122，D

而由于0x1，0y2，可得0xy3，从而1xy14，由二重积分性质6.7.5（估值不等式）即得

1d(xy1)d4d

D

D

D

亦即为2⑶

(xy1)d42，整理得2(xy1)d8。

D

D

(x

D

4y29)d，其中积分区域D(x,y)x2y24。

【解】由于区域D(x,y)xy4，可知区域D的面积为



d24，D

下面求函数f(x,y)x4y9在条件xy4下的最大、最小值，亦即椭圆抛物面zx4y9在圆柱xy4内部的最大、最小值，易见x4y0，可知zx4y99，当xy0时等号成立，又可知，椭圆抛物面zx4y9与圆柱xy4的交线，在椭圆簇的短轴上

达到最高，亦即当x0，y2时，函数f(x,y)x4y9取得最大值，最大值为

f(0,2)044925，因此得，9x4y925，由二重积分性质6.7.5（估值不等式）即得

9d(x

D

D

4y29)d25d

D

亦即为94整理得36

(xy1)d254，DD

(xy1)d100。

4．利用二重积分的性质比较下列积分的大小： ⑴

(xy)d与(xy)d，其中积分区域D由x轴，y轴与直线xy1所围成。

D

D

【解】积分区域D如图

由图可见，在区域D中，0xy1，于是由于函数ya（0a1）是减函数，而知以xy为底的指数函数是增函数，即由23有(xy)(xy)，于是，由二重积分性质6.7.4（不等式性）即得⑵

x

(xy)d(xy)d。

D

D

与ln(xy)d[ln(xy)]d，其中D(x,y)3x5,0y1。D

D

【解】积分区域D如图

由于在区域D中有3x5，0y1，可得3xy6，于是1lneln3ln(xy)ln6，于是由于函数ya（a1）是增函数，可知以ln(xy)为底的指数函数是增函数，即由12得ln(xy)[ln(xy)]，于是，由二重积分性质6.7.4（不等式性）即得

5．若

。1d=1，则积分区域D可以是（）

D

ln(xy)d[ln(xy)]d。D

D

x

（A）由x轴，y轴与直线xy2所围成的区域；（B）由x1，x2及y2，y4所围成的区域；（C）由x

11，y所围成的区域； 22

（D）由xy1，xy1所围成的区域。【解】应填“（C）”。因为

1dS

D

D

1，而下面各区域D的面积为：

（A）由x轴，y轴与直线xy2所围成的区域如图

得SD

22

21； 2

（B）由x1，x2及y2，y4所围成的区域如图

得SD(21)(42)21；（C）由x

11，y所围成的区域如图

得SD[()][()]1； 至此，可以终止判断了。事实上有：

（D）由xy1，xy1所围成的区域如图

12121212

得SD

21。

第二篇：第一节二重积分的概念与性质

第九章重积分

第一节 二重积分的概念与性质

与定积分类似，二重积分的概念也是从实践中抽象出来的，它是定积分的推广，其中的数学思想与定积分一样，也是一种“和式的极限”.所不同的是：定积分的被积函数是一元函数，积分范围是一个区间；而二重积分的被积函数是二元函数，积分范围是平面上的一个区域.它们之间存在着密切的联系，二重积分可以通过定积分来计算.内容分布图示

★ 曲顶柱体的体积

★ 非均匀平面薄片的质量

★ 二重积分的概念

★ 二重积分的性质

★ 例

1★ 例

4★ 内容小结

★习题9-1

★ 返回

★ 二重积分的中值定理 ★ 例2★ 例3 ★ 例5 ★ 课堂练习

内容要点：

一、二重积分的概念

引例1 求曲顶柱体的体积； 引例2 求非均匀平面薄片的质量二重积分的定义二、二重积分的性质

性质1—性质6

二重积分与定积分有类似的性质.性质1 [f(x,y)g(x,y)]df(x,y)dg(x,y)d.DDD

性质2 如果闭区域D可被曲线分为两个没有公共内点的闭子区域D1和D2, 则

f(x,y)df(x,y)df(x,y)d.DD1D

2这个性质表明二重积分对积分区域具有可加性.性质3 如果在闭区域D上, f(x,y)1,为D的面积, 则

1dd.DD

这个性质的几何意义是: 以D为底、高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积.性质4 如果在闭区域D上, 有f(x,y)g(x,y),则

f(x,y)dg(x,y)d.DD

特别地, 有f(x,y)d|f(x,y)|d.DD

性质5 设M,m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值, 为D的面积, 则

mf(x,y)dM.D

这个不等式称为二重积分的估值不等式.例题选讲：

二重积分的性质

(x例1不作计算，估计Ie

D2y2)d的值，其中D是椭圆闭区域：

x2

a2y2b21(0ba).例2（讲义例1）估计二重积分IDdxy2xy1622的值, 其中积分区域D为矩形

闭区域{(x,y)|0x1,0y2}.例3判断

rxy1ln(x2y2)dxdy的符号.例4积分Dx2y2dxdy有怎样的符号, 其中 D:x2y24.例5（讲义例2）比较积分ln(xy)d与[ln(xy)]2d的大小，其中区域D是三

DD

角形闭区域，三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0).课堂练习

1.将二重积分定义与定积分定义进行比较, 找出它们的相同之处与不同之处.2.试用二重积分表示极限lim

enn2i1j11nni2j2n2.

第三篇：第一节 二重积分的概念与性质09-3-30

第九章 重积分

第一节 二重积分的概念与性质

教学目的:理解并掌握二重积分的概念;几何意义;二重积分存在的条

件.熟练掌握二重积分的性质;

能正确运用性质进行判断、计算与证明.重点: 二重积分的性质的运用.难点: 运用性质判断与计算.教学方法:直观教学,讲练结合.教学过程:

一、二重积分的概念与几何意义

1、【定义】: 设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域

其中i表示D D任意分成n个小闭区域1，2,，n，第i个小闭区域，也表示它的面积，在每个i上任取一点(i,i)，作乘积f(i,i)i，(i1,2,,n)，并作和nf(,)ii

i1i，如果当各小闭区域的直径di中的最大值max{di}0时，这和 1in

式lim0f(,)的极限存在，且此极限与小区间iii

i1ni的分法

以及点(i,i)的取法无关，则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D 上的二重积分，记为

f(x,y)d，即

D

f(,).f(x,y)dlim

D

0

i

i

i

i

1n

其中：① f(x,y)称为被积函数, ② f(x,y)d称为被积表达式,③ x,y称为积分变量, ④ d称为面积元素, ⑤ D称为积分区域,⑥

n

f(,)称为积分和.i

i

i

i12、面积元素d

在直角坐标系下用平行于坐标

轴的直线网来划分区域D,则面积元 素为 ddxdy

故二重积分可写为

D

D

f(x,y)d

3、【二重积分存在定理】 设f(x,y)是有界闭区域D上的连续函数,则二重积分

f(x,y)d存在.D4、二重积分的几何意义

0时,二重积分(1)当被积函数f(x,y)

f(x,y)d

D

表示以

f(x,y)为顶,以D为底面的曲顶柱体的体积．

(2)当被积函数f(x,y)0时,二重积分表示曲顶柱体体积的相反数．

二、二重积分的性质

假设被积函数在有界闭区域D上连续.1．2．

kf(x,y)dkf(x,y)d,k为常数.D

D

[f(x,y)g(x,y)]df(x,y)dg(x,y)d.D

D

D

二重积分的线性性：设,为常数则上述两式合并为

[f(x,y)g(x,y)]d

D

f(x,y)dg(x,y)d.D

D

3．(二重积分对区域可加性)

f(x,y)df(x,y)df(x,y)d,(DDD

D

D

1D

2).4．

d, 为D的面积.D

．(积分不等式)若f(x,y)g(x,y),则

f(x,y)dg(x,y)d.D

D

注意：若在D上f(x,y)g(x,y)但等号不是恒成立，则有

f(x,y)dg(x,y)d.D

D

推论:

f(x,y)d

D

D

f(x,y)d.6.【积分估值定理】设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大

值和最小值，则 m

f(x,y)dM.其中为D的面积.D

7.【积分中值定理】设函数f(x,y)在闭区域D上连续，则在D上至 少存在一点(,)使得

df(x,y)

D

.为D的面积.f(,)

8．设区域DD1D2，且D1与D2关于x轴对称；

（1）当f(x,y)关于y是偶函数即 f(x,－y)＝f(x,y)时，有

f(x,y)d2f(x,y)d.D

D

1当f(x,y)关于y是奇函数时即f(x,－y)＝f(x,y)时，有

f(x,y)d0.D

(2)类似有设区域DD1D2，且D1与D2关于y轴对称； 当f(x,y)关于x是偶函数时即f(x,y)＝f(x,y)时，有

f(x,y)d2f(x,y)d.D

D1

当f(x,y)关于x是奇函数时即f(x,y)＝f(x,y)时，有

f(x,y)d0.D

三、应用举例 例1 比较

3与(xy)d(xy)d D

D的大小,其中

D{(x,y)|(x2)(y1)2}.2

2解：如图,由于点A(1,0)在(x2)(y1)2上,过点A的切线

为xy1,那么在D上有 1xy(xy)(xy),23

(xy)d(xy)d.D

D

2222

cosxyd,Icos(xy)d, 2D

例2(05.4)设I1

I3cos(x2y2)2d,其中D{(x,y)|xy21},则

D

D

(A)I3I2I1(B)I1I2I3(C)I2I1I3(D)I3I1I2

答(A).因为在区域D上，0xy1所以

,且cosz[0,

]为减函数，

1x2y2x2y2(x2y2)20,2222222

从而cos(xy)cos(xy)cos(xy),故I3I2I1.例3设D:x2y2a2,当a()时,(a)1(b)3



D

a2x2y2dxdy.331(c)3(d)3 242

答(b).根据二重积分的几何意义,此积分表示半径为a的上半球体

1433的体积.由a得a3选(b).232

例4当D是由()围成的区域时,dxdy1.D

(a)x轴,y轴及2xy20(b)x1,x2及y3,y

1,y(d)xy1,xy1 22

答(a,b,c).因为dxdy1表示积分区域的面积为1,故只需考察哪

(c)x

D

些选项积分区域的面积为1.例5 判断

xy1

ln(x2y2)d的正负.解：在区域D{(x,y)|xy1 }上有xy1且等号不恒成立，所以ln(xy)ln10且等号不能恒成立，故

xy1

ln(x2y2)d

xy1

(ln1)d0.例6估计积分值I

xy(xy)d,D{(x,y)|0x1,0y2}.D

解：0xy(x2y2)60I12.（注意：积分区域为矩形SD2）例7D1{(x,y)|xy1,x,y0}

D2{(x,y)|(x2)(y1)

2}I1(xy)2d,I2(xy)3d,D1

D1

I3(xy)2d,I4(xy)3d

D2

D2

试用适当符号连接 I1,I2,I3,I4.解：在D1上有I1I2(0xy1),在D2上I4I3(xy1).又由(xy)21I1由(xy)21I3故 I4I3I1I2.22

例8 设D{(x,y)|1xy4}，证明 3e

xeD

d

D1，2

I1，2

y2

d2

D2

d3e4.证明 因为 SD43，又因为 ee由积分的估值性质得 3e

xeD

xy2

e4，y2

d3e4.例9设D{(x,y)|xyR}（1）若f(x,y)在D上有界且可积，则lim

R0

f(x,y)d0.D

f(x,y)df(0,0).R0R2D

（1）证明：设m,M分别为函数f(x,y)在D上的最小值与最大值，则

（2）若f(x,y)在D上连续，则lim

mf(x,y)M，由积分估值定理知mdf(x,y)dMd

又D{(x,y)|xyR}所以mR

D2

D

f(x,y)dMR

D

D2，lim

R0f(x,y)d0.D

D

（2）解：由积分中值定理知f(x,y)在D上连续

(,)D,s..tf(x,y)dR2f(,)，所以lim

112

f(x,y)dlimRf(,)

R0R2R0R2

D

limf(,)limf(,)f(0,0).R0

(,)(0,0)

小结：1.定义

f(,)为二重积分.f(x,y)dlim

D

0

i

i

i

i1

n

2.二重积分几何意义:表示曲顶柱体的体积.3.正确运用各条性质进行判断、计算、证明.课后记：比较大小与证明问题下手较困难.

第四篇：谋略的概念、性质与特点

謀略概念的出現

謀略，作為軍事思維的結晶，歷來為中外軍事家所高度重視，都把它作為戰爭中出奇制勝的根本。早在2500多年以前，我國古代著名軍事家孫武就提出了“上兵伐謀”的名言。著名軍師諸葛亮也深刻地指出：“用兵之道，先定其謀”。這說明謀略在戰爭中有著非常重要的作用。因此，古今中外的任何戰爭，都充滿了謀略的運用，就是在高技術戰爭成為現代戰爭主要類型的今天，謀略仍然經久不衰，不失其誘人的魅力，並使軍事謀略得到了廣泛的運用和發展。正如革命導師列寧指出的，沒有不用計謀的戰爭。在一定意義上說，幾千年的人類戰爭史，就是一部交戰雙方千姿百態的謀略鬥爭史。謀略工作是軍隊的靈魂。謀略人員是軍隊司令機關的“智囊團”，是施計用謀的主要對象。尤其是現代條件下，隨著新的科學技術在軍事領域的廣泛運用，武器裝備不斷更新，戰場情況瞬息萬變，作戰指揮組織協同更顯複雜，謀略工作的地位更加重要，謀略人員的謀略能力更加重要。

因此，學習謀略知識，提高謀略能力，掌握謀略藝術，學會謀略運用，是每一個謀略人員的本職需要，也是在高技術戰爭條件下以高超的謀略藝術彌補我軍武器裝備之不足進而取得未來戰爭勝利的當務之急。

一、謀略的概念

概念，是一種思維形式，反映客觀事物一般的本質的特徵。研究謀略，必須首先弄清謀略的概念、內涵及其特點。

1．謀略概念的出現

謀略，這一人們十分熟悉又非常神秘的字眼，作為人類智慧的象徵，可追溯到遠古時代，當人們還不知謀略為何物的時候，就自覺不自覺地運用謀略於社會實踐之中了。人類創造了文字以來，代表謀略含義的字、詞相繼出現。一直到謀略作為一個完整的概念加以使用，經歷了一個漫長的演進過程。

根據現有的資料記載，“謀略”這兩個字不是同時出現的，而是“謀”字在先，“略”字在後，相差約1000餘年的時間。“謀”這個概念最早見之於距今幾千年前的《書經·大禹謨》之中。如“詢謀僉同”（君臣共同議定計謀）、“弗詢之謀勿庸”（未徵求意見之謀不能用）。此後，“謀”字被廣泛運用於作戰指揮之中，並在歷代諸家軍事名著中屢有記載。如《孫子》中的“計”、“智”，《六韜》中的“韜”，《吳子》中的“圖”等，都可以說是“謀”字的別稱。“略”，古藉上也可找到多種解釋，有的作疆界或地域講，有的作巡視講，也有的註解為經略或治理，還有的當侵略或奪取講等等。把“謀略”作為一個完整的概念加以使用，最早見之於我國公元前3世紀的《三國志·魏書明帝記》之中：“宜選大臣名將……遣詣懿軍，進同謀略，退為輔佐”。大意是應選大臣名將，派遣到司馬懿軍中，戰時共同商定謀略，平時任副職。至此，謀略作為軍事科學中的一個完整概念經常出現於歷代兵書之中。我們根據以上關於“謀”“略”二字的釋義和對謀略的定義，可以歸納出本書的定義：謀略是抗爭中為獲取最大利益，活用智慧於具體情境，通過事先籌劃形成的定性方案。它可用於戰略、戰役、戰術、戰斗等不同等級的場

合，也可以是善意的或惡意的。

根據學術界的研究成果，我們認為，所謂軍事謀略，就是在軍事這個充滿活力對抗的領域中，以鬥智為手段，以趨利避害和克敵制勝為目的，施計用謀的思維過程和結果。它是從客觀實際出發策劃和指導戰爭的藝術，是巧妙運用戰爭規律以智馭敵的方略，是以己之長擊敵之短的集中反映。謀略的內涵十分豐富。為了深入理解和比較確切地把握其精神實質，必須弄清以下幾個問題： 其一，謀略產生的基點是活力對抗。軍事謀略是戰爭的產物。戰爭是人類歷史中充滿恐怖、犧牲的危險而復雜的事物，是敵對雙方為了達成一定的政治經濟目的而激烈競爭對抗的鬥爭，而謀略在戰爭這個充滿對抗的領域中表現的最為充分。這就是說，謀略產生於對抗。從哲學上說，謀略思維的理論依據和客觀基礎是矛盾及矛盾學說。哲學史上不少偉大哲人都認為，世界不是事物的集合體，而是一個矛盾複合體，矛盾和鬥爭普遍存在。離開了矛盾，事物就失去了生命，失去了發展的內動力。比如，日本和美國的汽車業，正是在不斷的競爭中，使汽車的外形、顏色、功能、成本、價格等各個方面得到了改進和提高，製造技術也不斷創新。美國和蘇聯的軍事對抗也是如此。沒有冷戰對峙，雙方的軍事力量不會如此強大，武器不會如此先進。所以，有矛盾存在，就有競爭和對抗相隨；矛盾形式、種類的多樣，決定了競爭和對抗的形式的多樣化。對抗，按其範圍大體可分為三種：一種是非活力之間的對抗，即無生命體之問的對抗；一種是活力與非活力之間的對抗，即生命體與無生命體之間的對抗；一種是活力之間的對抗，即雙方活人或有活人加入的系統之間，由目的相向、心理相互吸引或排斥、作用與反作用構成的無形的活動過程。戰爭中的活力對抗，遠比其他領域明顯、頻繁、激烈。這主要是因為戰爭中的利益爭奪和目的實現。遠比其他領域困難和復雜。戰爭中，流血犧牲是不可避免的。人們總是想方設法去減少這種流血和犧牲。所以，為了贏得對抗勝利和減少損失，人們逐漸將謀略運用於戰爭和平時的軍事活動之中，努力去研究制服對方和提高效果的巧妙途徑及方法，達到“致人而不致於人”、代價小而收穫大的效果。於是，被稱為製勝科學的軍事謀略便應運而生了，並在戰爭和訓練的實踐中不斷得到充實和發展。正是由於軍事謀略是為了適應軍事領域中活力對抗的需要而出現的，它使用的領域又是活力對抗和各種矛盾本身。所以，把軍事謀略產生和使用的基點確定為活力對抗是符合歷史事實的。

其二，謀略的本質是鬥智。謀略的種類和表現多種多樣，但從實質上看，謀略是人腦思維的結晶，是人腦機能的產物，是人的智慧與意志的體現，是謀略人員在一定的客觀物質基礎上，充分發揮主觀能動性的具體反映。離開了人的智力活動，也就談不上什麼謀略。比如，在敵我雙方較量中，我要乘敵之隙，敵要尋我之空；我要避強擊弱，敵要擊虛避實；我要誘敵於圈套之中，敵卻千方百計破我計策等等，這種智慧的較量無時不在，無時不有，較量的結果必然是智高一籌者勝。這就說明，鬥智貫穿於謀略的始終，影響著謀略的發展，決定著謀略的成敗。

其三，謀略的功能是趨利避害。功能是事物運動的功率和作用。謀略的形式是主觀的，而內容是客觀的，是主觀見之於客觀的事物。它的運行過程，可以說就是一個決策活動的過程，大體包括兩個階段：第一個階段是運籌謀劃的階段，即謀的階段；第二個階段是決策的階段，即略的階段。我們可以把這兩個階段看作是思維的創造過程，是以思想指導行為的過程。通過謀劃決策、思維創造，最後達成趨利避害、以較小的代價換取較大的勝利的結局。敵對雙方的謀略鬥爭無不圍繞這一問題而展開。因此，趨利避害這一謀略的功能，充分體現了謀略追求的目標。

其四，謀略的表現繁多。謀略的表現體現在許多方面，很難用具體的數字來統計。比如三十六計歸納為三十六種模式，七十二策又概括了七十二種方式，百戰奇法又歸納了百種。其實，謀略的表現又何止這幾十種上百種表現。這些都是從不同角度加以研究概括的。它是一種變化無窮的藝術。僅三十六計中的每一計，經過不同時間不同地點和不同用謀者的的運用，就又可以產生若干具體方式的變化。對於這種智慧的象徵，恐怕只能用有形與無形互寓互變來概括。所謂有形與無形的互寓互變，一是指謀源於思，謀略的思考過程是看不見、摸不著的，是無形無數的。而思考的結果一旦表露出來，又是有形的。而且謀略在對抗中生成並非是一個簡單的過程，每一個有形的謀略中又蘊含著不同情況的不同思考和表現。這種有形和無形的結合，決定了謀略表現的種類繁多。二是為了達成目的，以巧取勝，就要力爭在思維上調動控制對手，這就需要有意隱藏一些企圖，故意顯露一些跡象，並作時隱時現、時真時假、忽左忽右、忽遠忽近的變換，以使對手產生錯覺和不意，為我所乘，為我所用。這就是說，法無定法，謀略沒有固定的模式和表現種類。

其五，謀略的任務，從根本上說，是施謀人員把握謀略的創造規律，提高應變創新能力。因為創造、創新是謀略的真諦。謀略的過程就是一個創造性思維的過程。謀略創造就是引導人們在既定的客觀物質基礎上，將一般戰爭規律和作戰原則與自己面臨的環境、任務等情況相結合，創造出克敵制勝的新方略。從謀略的指導作用看，有著普遍的適用性。凡帶有活力對抗性質的領域，就必然有著謀略的存在。這裡所說的活力對抗，不僅僅體現在敵對雙方的戰爭中，而是也包括所有帶有雙方意志、意願、目的、心理相排斥的一切領域。這就是說，敵對場合需要謀略，集團內部的管理、領導中也需要謀略。相對穩定的和平時期，軍隊、國防乃至一切為未來對抗作準備的方面，在自身的發展、建設中同樣離不開謀略，只不過其性質和運用手段有所不同罷了。

謀略的含義告訴我們，謀略是在一定條件下發生的，通常是在力有不勝，或力雖勝而不願用力，或憂慮日後無力時如何在抗爭中確保與爭取己方的最大利益的條

件下，人們開始尋找不用力、少用力、巧用力的智巧辦法來解決問題。例如《史記'項羽本紀》記載楚漢相爭時，項羽向劉邦說，天下洶洶者數年，為吾二人，不如你我決鬥以定勝負，莫苦了天下人。劉邦的軍力和個人武力均有不如，所以回答說，吾寧鬥智，不鬥力。這是力有不勝時用謀。司馬光《稽古錄》記舜命禹徵有苗，益向禹說，只有道德能感動人而無遠不屆，滿招損，謙受益，至誠可以感動神明，何況有苗部落呢！禹聽從還師，向舜陳言。舜於是修明文教，崇文抑武。七旬，有苗未經討伐自行前來投誠。這是有力而不願使的例子。馮夢龍《智囊》載：宋太祖即位後，向趙普問起唐末五代期間兵革不息的原因，趙普說是由於節鎮的實力太強，國君難以控制。宋太祖於是召將領石守信等飲酒，酒酣時屏去左右說，沒有你們就沒有我今天，因此我永遠感念你們。但是當天子太難了，不如當節度使快樂，我已很久沒有安枕就睡了。石守信等問為什麼，宋太祖答說，這個位子誰都想，即使你們不想，你們的部下想要富貴也會推動你們奪位，那時你想不當也不行了。待石守信等人惶恐時，宋太祖又說，人生有限，你們何不釋去兵權，買田宅為子孫永久之業，日飲酒相樂以終天年，君臣之間兩無猜嫌。於是次日諸將稱病，求解兵權。這個例子說明，宋太祖趙匡胤不但一舉革去了200餘年枝強幹弱、動亂不已的積弊，而且安排了自己和當年舊部久後的太平。

以上說明，謀略的性質並不限於欺騙詭詐，也指尋找更巧妙有效、影響深遠的解決辦法。上述三個例子都涉及人與人之間的利害關係的處理，帶有明顯的抗爭性質。但謀略還有涉及人與自然界、物質之間的關係的，所謂深謀遠慮，頗有一些屬於後者之抗爭性。如《智囊》記南宋趙從善為京兆尹（首都市長）時，宮內勅一日內辦醮紅桌子300只。從善命酒坊茶肆取相類桌子洗淨，糊白紙刷紅漆進之。帝后夜過萬松嶺，要在片刻內備火炬3000係於夾道松樹；從善命取各處竹簾、蘆簾，卷以脂肪紮緊，燃於道路兩側。又記宋熙寧朝，汴水暴漲，堤防壞陷難修。侯叔獻見上游數十里有一棄城，急破堤注水人城；下流為涸，使人搶填陷處。次日古城水盈，汴水復下；堤防已固。又因內外水平，上游破堤處頃刻塞堵。所以《天玄子》說：“人可以謀人，可以謀事，亦可以謀天，亦可以謀地，謀則變，不謀則不得變。謀則成，不謀則不得成。”以上的事例雖是為了說明謀略的外延和一般性質，但無論如何，謀略總是人們面臨問題時，動用智慧作具體構思，尋找解決問題的最適解法的過程和結果。其中，人與自然抗爭時，只要了解自然規律與當地條件，就能直接用科學方法解決。此時只有那些超出常規科學方法的方案，才具有謀略性質。例如喻皓在開封造高塔（今開封鐵塔前身）時，使塔身向西北傾斜。並預言開封西北風大，塔建100年便被吹正，又200年尚不致傾圮。這種相地度宜，慮及久遠的做法，便帶上了謀略性質。

然而在謀略當中，人與人之間的抗爭，特別是在集團與集團之間的抗爭中，由於雙方都會運用智慧、設置謀略，因而謀略的性質更為突出。可以說，正是人們的鬥智活動才真正使謀略水平得到提高。人際關係方面的抗爭，是謀略最好的用武之地。並且在力所不勝、不願以力迫人和慮及久遠三種情況中，由於力所不勝而不得不用智取勝，是謀略發展的最有力的推動。因為多數情況下，力強者勝，勝券在握者往往不再去殫精竭慮於謀勝圖存。至於慮及久遠也只是某些目光遠大者才強使自己進入的境地，多數人並不作太長遠的考慮。只有在面對抗爭而力所不勝時，為了生存與發展，人們才會在壓力下開動腦筋。所謂情急智生，窮則生變，變則通，就是指這種情況。

所以，人際的抗爭和實力不足的一方，常常是謀略的主要源泉。因此，不妨以此作為謀略的核心本質，即謀略是人類社會抗爭中，為以少力巧獲大利而進行的方案構思活動（成果）。

在古代農業社會中，重視體力、勞力，因此戰爭也唯力是視，戰敗方喪土失民，戰勝方獲取子女財帛而增強實力。戰爭作為政治的集中表現，具有高度的對抗性、殘酷性和激烈性，力弱者和不願實力受損者，不得不依賴謀略，其結果使謀略首先在兵書中得到結晶，在征戰中放出異彩。同時，政治是經濟的集中表現，在政治動亂之際，政治上的抗爭也會高度激烈、殘酷。因此在古代的動亂時期的政書和文書中，就會凝集大量謀略思想和案例。春秋戰國時代是中國歷史政戰抗爭高度激烈的時代，也是我國謀略家輩出，謀略活動高度頻繁的時代。《管子》、《老子》、《韓非子》、《吳子》、《孫子》、《戰國策》、《左傳》等著作記錄了這些謀略遺產。可以看到，政治謀略與軍事謀略有共通之處，又有各自的特點。

然而在今天，商品經濟日漸發展，經濟競爭日趨激烈，波及到各行各業。如此廣闊的領域和日趨複雜的競爭，使得經營謀略已不能通過借用和延伸政戰謀略來代替，也不能用小巧的謀術來求逞。必須通過嫁接、引用、開發、創新等多種途徑來發展經營謀略，使之多樣化和特色化，以利各行各業各層次的選擇，從而滿足社會發展的需要。

由於經濟領域的廣闊、多樣和經濟競爭的不流血的特點，經營謀略的發展必定會引起謀略性質的豐富和謀略理論的發展。如此眾多的經營謀略實踐，也將為謀略研究提供豐富的素材，促進謀略研究，由過去偏重經驗、案例，偏重具體範式，向著科學化、程序化、理論化方向前進，同時又保留其創造性和靈活性、針對性。

謀略特點歸納起來有詭詐性、對抗性、靈活性、制勝性、預見性、針對性、創造性、全程性、廣泛性、可行性、靈活性和彈性等特徵。

詭詐性。因為謀略是競爭中的主意辦法，所以，謀略的雙方為了贏得勝利，都要設法隱蔽自己的企圖，挖空心思製造種種假象，以迷惑對方，造成對方的不意和

不備，用以掩蓋自己的實際行動。對於軍事鬥爭中謀略思維的詭詐性，大軍事家孫武一語破的：“兵者，詭道也。”其實，何止軍事鬥爭，一切充滿激烈競爭，需要施計用謀的場合，都少不了詭詐。因此詭詐性是謹略的一個根本特徵。

對抗性。謀略是矛盾對抗的產物，謀略思維實質上是一種對抗性思維。對立的謀略思維者雙方為了自己的生存發展，或者為實現某種目的，獲得某些利益，展開了激烈的拚搏、競爭，包括有形的與無形的、和平的與戰爭的、政治的與經濟的、流血的與不流血的等等對抗方式，以迫使對方服從、就範，或者吃掉、消滅對方，這種抗爭意識是推動謀略思維的強大動力。離開了抗爭，謀略思維就失去了對象和場地，同時也就失去了奮發向上的內在動力。那些只知道逆來順受、與世無爭之人，不思安危、不思進取之人，決不會想出什麼奇謀妙策來。

靈活性。由於謀略思維的主體是具有智慧的活人，謀略的環境是不斷變化著的各種條件，謀略的過程是充滿著風險和欺詐的曲折發展的過程，面對各種情況的變化，謀略必須具有高度的靈活性。謀略的靈活性要求謀略思維主體要自覺地去適應各種環境條件，面對變化著的信息及時修正原有的計劃方案，當遇到不同對象、不同處境時，要自發地改變心理定勢，擺脫習以為常的思維慣性，以達到措置裕如，從容不迫，另想良策，轉危為安的目的。如果反應遲緩，思維鈍化，不知因敵而變，因勢而行，必然招致被動和失敗。謀略思維常常是在情況錯綜複雜，局勢千變萬化，有利時機稍縱即逝的狀態下進行的，因此，要求謀略思維主體必須採取適時、適情、適度、適宜的靈活態度，才能夠得出正確的謀略。

制勝性。凡事用謀，務求制勝。不能必勝，也務求不敗。制勝性是謀略思維主體所追求的目標，古代大軍事家孫武說：“故善戰者，立於不敗之地，而不失敵之敗也。是故勝兵先勝而後求戰，敗兵先戰而後求勝。”（《孫子·形篇》）唐代軍事家李靖說：“善用兵者，無不正，無不奇，使敵莫測。故正也勝，奇亦勝。（《唐太宗李衛公問對·卷上》）為了必勝，施計用謀必須謹慎，必須有把握，這是用兵作戰的將帥所應遵循的重要原則。毛澤東在解放戰爭中為我軍制定的十大軍事原則中說：“不打無準備之仗，不打無把握之仗，每戰都應力求有準備，力求在敵我條件對比下有勝利的把握。”（《毛澤東選集》第4卷，l247頁）實踐證明，只有遵循這個原則，謀略思維才能夠制訂和實施勝利的方略。

第五篇：函数的概念与性质(习题)范文

函数的概念和性质(习题)

1、（2011浙江）设函数f(x)x,x0，若f(a)4，则实数a =（）2x,x0

A．4或2B．4或2C．2或4D． 2或

22、（2011新课标）下列函数中，既是偶函数又在0,上单调递增的函数是（）

A．yx33、（2011安徽）设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0，f(x)2x2x，f(1)（）

A．3B．1C．1D．

34、（2010广东）若函数f(x)3x3x与g(x)3x3x的定义域均为R，则（）

A．f(x)与g(x)均为偶函数

C．f(x)与g(x)均为奇函数

5、设f(x)是R上的任意函数，下列叙述正确的是（）

A．f(x)f(x)是奇函数B．f(x)f(x)是奇函数B．f(x)为偶函数，g(x)均为奇函数B．yx1C．yx21D．y2xD．f(x)为奇函数，g(x)均为偶函数

C．f(x)f(x)是偶函数

D．f(x)f(x)是偶函数

6、若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(,0]上是减函数，且f(2)0，则使得f(x)0的x的取值范围是（）

A．(,2)B．(2,)C．(,2)(2,)D．（－2，2）

7、函数ye的图象（）

A．与ye的图象关于y轴对称 C．与yexxxB．与ye的图象关于坐标原点对称 D．与ye

xx的图象关于y轴对称 的图象关于坐标原点对称