ch 6 定积分的应用

第一篇：ch 6 定积分的应用

高等数学教案

§6 定积分的应用

第六章

定积分的应用

教学目的

1、理解元素法的基本思想；

2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。

3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。教学重点：

1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积。

2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。教学难点：

1、截面面积为已知的立体体积。

2、引力。

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§6.1 定积分的元素法

回忆曲边梯形的面积

设yf(x)0(x[a b]) 如果说积分

Aaf(x)dx

b是以[a b]为底的曲边梯形的面积 则积分上限函数

A(x)af(t)dt

x就是以[a x]为底的曲边梯形的面积 而微分dA(x)f(x)dx 表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值Af(x)dxf(x)dx称为曲边梯形的面积元素

以[a b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式 以 [a b]为积分区间的定积分

Aaf(x)dx 

b

一般情况下 为求某一量U 先将此量分布在某一区间[a b]上 分布在[a x]上的量用函数U(x)表示 再求这一量的元素dU(x) 设dU(x)u(x)dx 然后以u(x)dx为被积表达式 以[a b]为积分区间求定积分即得

Uaf(x)dx

b

用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法)

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§6 2 定积分在几何上的应用

一、平面图形的面积

1．直角坐标情形

设平面图形由上下两条曲线yf上(x)与yf下(x)及左右两条直线xa与xb所围成 则面积元素为[f上(x) f下(x)]dx 于是平面图形的面积为

Sa[f上(x)f下(x)]dx 

类似地由左右两条曲线x左(y)与x右(y)及上下两条直线yd与yc所围成设平面图形的面积为

Sc[右(y)左(y)]dy

例1 计算抛物线y2x、yx2所围成的图形的面积

解(1)画图

(2)确定在x轴上的投影区间: [0 1](3)确定上下曲线f上(x)x, f下(x)x2

(4)计算积分 S0(xx)dx[2x21x3]10333213db

例2 计算抛物线y22x与直线yx4所围成的图形的面积

解(1)画图

(2)确定在y轴上的投影区间: [2 4](3)确定左右曲线左(y)1y2, 右(y)y4

2(4)计算积分

418

S2(y41y2)dy[1y24y1y3]42622 例3 求椭圆x2a2y21所围成的图形的面积

2b 解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为[0 a] 因为面积元素为ydx

所以 高等数学教案

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S40ydx a椭圆的参数方程为: xa cos t  yb sin t 

于是

S40ydx4bsitdn(acots)

2a02ab02(1co2st)dt2abab

4absi2ntdt022

2．极坐标情形

曲边扇形及曲边扇形的面积元素

由曲线()及射线   围成的图形称为曲边扇形 曲边扇形的面积元素为

dS1[()]2d

2曲边扇形的面积为

S1[()]2d

2例4.计算阿基米德螺线a(a >0)上相应于从0变到2 的一段弧与极轴所围成的图形的面积

24a23

解: S01(a)2d1a2[13]023322

例5.计算心形线a(1cos)(a>0)所围成的图形的面积

 解: S201[a(1cos]2da20(12cos1cos2)d

22232n1si2n]

a2[32si0a

242

二、体 积

1．旋转体的体积

旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体 这直线叫做旋转轴 高等数学教案

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常见的旋转体 圆柱、圆锥、圆台、球体

旋转体都可以看作是由连续曲线yf(x)、直线xa、ab 及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体

设过区间[a b]内点x 且垂直于x轴的平面左侧的旋转体的体积为V(x) 当平面左右平移dx后 体积的增量近似为V[f(x)]2dx 

于是体积元素为

dV  [f(x)]2dx 

旋转体的体积为

Va[f(x)]2dx

例1 连接坐标原点O及点P(h r)的直线、直线xh 及x 轴围成一个直角三角形 将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体 计算这圆锥体的体积

解: 直角三角形斜边的直线方程为yrx

hb

所求圆锥体的体积为

2hh1hr2

V0(rx)2dxr2[1x3]0h33h2y2x 例2 计算由椭圆221所成的图形绕x轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)ab的体积

解: 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆

yba2x2

a及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体 体积元素为

dV  y 2dx 

于是所求旋转椭球体的体积为

22a2 Vab2(a2x2)dxb2[a2x1x3]aaab

33aa

例3 计算由摆线xa(tsin t) ya(1cos t)的一拱 直线y0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积

解

所给图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为 高等数学教案

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Vx0y2dx0a2(1cots)2a(1cots)dt

a30(13cots3co2stco3st)dt

5 2a 3

所给图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积的差 设曲线左半边为x=x1(y)、右半边为x=x2(y) 则

22(y)dy0x1(y)dy

Vy0x22a2a22a2t)2asintdt0a2(tsint)2asintd t

2a2(tsin

a30(tsint)2sintdt6 3a 3 

2．平行截面面积为已知的立体的体积

设立体在x轴的投影区间为[a b] 过点x 且垂直于x轴的平面与立体相截 截面面积为A(x) 则体积元素为A(x)dx  立体的体积为

VaA(x)dx

例4 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心 并与底面交成角 计算这平面截圆柱所得立体的体积

解 取这平面与圆柱体的底面的交线为x轴 底面上过圆中心、且垂直于x轴的直线为y轴 那么底圆的方程为x 2 y 2R 2 立体中过点x且垂直于x轴的截面是一个直角三角形 两个直角边分别为R2x2及R2x2tan 因而截面积为

A(x)1(R2x2)tan 于是所求的立体体积为

2R2R3tan[R2x1x3]

VR1(R2x2)tandx1tanR2233Rb2

例5 求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积

解: 取底圆所在的平面为x O y平面 圆心为原点 并使x轴与正劈锥的顶平行 底圆的方程为x 2 y 2R 2 过x轴上的点x(R

§6 定积分的应用

体得等腰三角形 这截面的面积为

A(x)hyhR2x2

于是所求正劈锥体的体积为

VRhRxdx2Rh02cos2d1R2h

2R222

三、平面曲线的弧长

设A B 是曲线弧上的两个端点 在弧AB上任取分点AM0 M1 M2     Mi1 Mi    Mn1 MnB  并依次连接相邻的分点得一内接折线 当分点的数目无限增加且每个小段Mi1Mi都缩向一点时 如果此折线的长|Mi1Mi|的极限存在 则称此极限为

i1n曲线弧AB的弧长 并称此曲线弧AB是可求长的

定理

光滑曲线弧是可求长的

1．直角坐标情形

设曲线弧由直角坐标方程

yf(x)(axb)给出 其中f(x)在区间[a b]上具有一阶连续导数 现在来计算这曲线弧的长度

取横坐标x为积分变量 它的变化区间为[a b] 曲线yf(x)上相应于[a b]上任一小区间[x xdx]的一段弧的长度 可以用该曲线在点(x f(x))处的切线上相应的一小段的长度来近似代替 而切线上这相应的小段的长度为

(dx)2(dy)21y2dx

从而得弧长元素(即弧微分)

ds1y2dx

以1y2dx为被积表达式 在闭区间[a b]上作定积分 便得所求的弧长为

sa1y2dx

b

在曲率一节中 我们已经知道弧微分的表达式为ds1y2dx这也就是弧长元素因此 高等数学教案

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例1 计算曲线y2x2上相应于x从a到b的一段弧的长度

3解 yx2 从而弧长元素

ds1y2dx1xdx 13因此 所求弧长为

sab2221xdx[2(1x)2]ba[(1b)(1a)]

3333

3例2 计算悬链线ycchx上介于xb与xb之间一段弧的长度

c

解 yshx 从而弧长元素为

cds1sh2xdxchxdx

cc因此 所求弧长为

bbb

sbchxdx20chxdx2c[shxdx]b02cshcccc

2．参数方程情形

设曲线弧由参数方程x(t)、y(t)(t)给出 其中(t)、(t)在[ ]上具有连续导数

因为dy(t) dx(t)d t  所以弧长元素为 dx(t)2(t)ds12(t)dt2(t)2(t)dt

(t)所求弧长为

s2(t)2(t)dt



例3 计算摆线xa(sin) ya(1cos)的一拱(0  2)的长度

解 弧长元素为

dsa2(1cos)2a2sin2da2(1cos)d2asind

2所求弧长为 高等数学教案

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28a

s02asind2a[2cos]0222

3．极坐标情形

设曲线弧由极坐标方程

()(    )给出 其中r()在[ ]上具有连续导数 由直角坐标与极坐标的关系可得

x()cos

y()sin(   ) 于是得弧长元素为

dsx2()y2()d2()2()d

从而所求弧长为

s2()2()d

例14

求阿基米德螺线a(a>0)相应于 从0到2 一段的弧长

解

弧长元素为

dsa22a2da12d

于是所求弧长为

2s0a12da[2142ln(2142)] 高等数学教案

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§6.3 功

水压力和引力

一、变力沿直线所作的功

例1 把一个带q电量的点电荷放在r轴上坐标原点O处 它产生一个电场 这个电场对周围的电荷有作用力 由物理学知道 如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点O为r的地方 那么电场对它的作用力的大小为

Fkq(k是常数)

r2当这个单位正电荷在电场中从ra处沿r轴移动到rb(a

例1

电量为+q的点电荷位于r轴的坐标原点O处它所产生的电场力使r轴上的一个单位正电荷从r=a处移动到r=b(a

提示: 由物理学知道 在电量为+q的点电荷所产生的电场中 距离点电荷r处的单位正电荷所受到的电场力的大小为Fkq(k是常数) r

2解: 在r轴上 当单位正电荷从r移动到r+dr时

电场力对它所作的功近似为k即功元素为dWk于是所求的功为

Wabkq2qdr

r2qdr

r211drkq[1]bakq()

rabr

例2

在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体 在等温条件下 由于气体的膨胀 把容器中的一个活塞(面积为S)从点a处推移到点b处 计算在移动过程中 气体压力所作的功

解 取坐标系如图 活塞的位置可以用坐标x来表示 由物理学知道 一定量的气体在等温条件下 压强p与体积V的乘积是常数k  即

pVk 或pk

V

解: 在点x处 因为VxS 所以作在活塞上的力为 高等数学教案

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FpSkSk

xSx当活塞从x移动到xdx时 变力所作的功近似为kdx

x即功元素为dWkdx

x于是所求的功为

bbWakdxk[lnx]bakln

xa

例3 一圆柱形的贮水桶高为5m 底圆半径为3m 桶内盛满了水 试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？

解 作x轴如图 取深度x 为积分变量 它的变化区间为[0 5] 相应于[0 5]上任小区间[x xdx]的一薄层水的高度为dx 水的比重为98kN/m3 因此如x的单位为m 这薄层水的重力为9832dx 这薄层水吸出桶外需作的功近似地为

dW882xdx

此即功元素 于是所求的功为

225(kj)

xW088.2xdx88.2[]5088.222

5二、水压力

从物理学知道 在水深为h处的压强为ph  这里  是水的比重 如果有一面积为A 的平板水平地放置在水深为h处 那么平板一侧所受的水压力为

PpA

如果这个平板铅直放置在水中 那么 由于水深不同的点处压强p不相等 所以平板所受水的压力就不能用上述方法计算

例4 一个横放着的圆柱形水桶 桶内盛有半桶水 设桶的底半径为R 水的比重为  

计算桶的一个端面上所受的压力

解 桶的一个端面是圆片 与水接触的是下半圆 取坐标系如图

在水深x处于圆片上取一窄条 其宽为dx  得压力元素为 高等数学教案

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dP2xR2x2dx

所求压力为

P02  xR2x2dx(R2x2)2d(R2x2)03222R2rR3

[(Rx)2]033RR

1三、引力

从物理学知道 质量分别为m

1、m 2 相距为r的两质点间的引力的大小为

FGm1m2

r2其中G为引力系数 引力的方向沿着两质点连线方向

如果要计算一根细棒对一个质点的引力 那么 由于细棒上各点与该质点的距离是变化的 且各点对该质点的引力的方向也是变化的 就不能用上述公式来计算

例5 设有一长度为l、线密度为的均匀细直棒 在其中垂线上距棒a单位处有一质量为m的质点M 试计算该棒对质点M的引力

例5 求长度为l、线密度为的均匀细直棒对其中垂线上距棒a单位处质量为m的质点M的引力

解 取坐标系如图 使棒位于y轴上 质点M位于x轴上 棒的中点为原点O 由对称性知 引力在垂直方向上的分量为零 所以只需求引力在水平方向的分量 取y为积分变量 它的变化区间为[l, l] 在[l, l]上y点取长为dy 的一小段 其质量

2222为dy 与M相距ra2y2 于是在水平方向上 引力元素为

dFxGmdyamdya

Ga2y2a2y2(a2y2)3/2引力在水平方向的分量为

Fxl2Gl22Gmlamdy1

223/222a(ay)4al

第二篇：定积分的几何应用教案

4.3.1 定积分在几何上的应用

教材：

《高等数学》第一册第四版，四川大学数学学院高等数学教研室，2009 第四章第三节 定积分的应用

教学目的：

1.理解掌握定积分的微元法；

2.会用微元法计算平面图形的面积、立体的体积、平面曲线的弧长、旋转曲面的面积。

教学重点：定积分的微元法。

教学难点：

计算平面图形的面积、立体体积、平面曲线弧长、旋转曲面面积时的微元如何选取和理解。

教学时数：3学时

教学过程设计：通过大量例题来理解用微元法求定积分在几何上的各种应用。

部分例题：

(1)求平面图形的面积

由定积分的定义和几何意义可知，函数y=f(x)在区间[a,b]上的定积分等于由函数y=f(x)，x=a，x=b 和轴所围成的图形的面积的代数和。由此可知通过求函数的定积分就可求出曲边梯形的面积。

例如：求曲线fx2和直线x=l，x=2及x轴所围成的图形的面积。

分析：由定积分的定义和几何意义可知，函数在区间上的定积分等于由曲线和直线，及轴所围成的图形的面积。

所以该曲边梯形的面积为

f21x223137xdx

31333222(2)求旋转体的体积

(I)由连续曲线y=f(x)与直线x=a、x=b(a

ab(Ⅱ)由连续曲线y=g(y)与直线y=c、y=d(c

cd(III)由连续曲线y=f(x)(f(x)0)与直线x=a、x=b(0a

abx2y2例如：求椭圆221所围成的图形分别绕x轴和y轴旋转一周而成的旋ab转体的体积。

分析：椭圆绕x轴旋转时，旋转体可以看作是上半椭圆b2yax2(axa)，与x轴所围成的图形绕轴旋转一周而成的，因此椭圆ax2y21所围成的图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积为 a2b2b2vy(ax2)aab2213a2(axx)aa3a2dxb2a2aa(a2x2)dx

4ab23椭圆绕y轴旋转时，旋转体可以看作是右半椭圆xa2by2,(byb)，与bx2y2y轴所围成的图形绕y轴旋转一周而成的，因此椭圆221所围成的图形绕

aby轴旋转一周而成的旋转体的体积为

a2a22vy(by)dy2bbb

a2213b422(byy)babb33b2bb22(bydy)

(3)求平面曲线的弧长

(I)、设曲线弧由参数方程

{x(t)(t)

y(t)给出其中'(t),'(t)在[,]上连续，则该曲线弧的长度为s'['(t)2][t(2d)。]x()(Ⅲ)设曲线弧的极坐标方程为rr()()，其中r'()在[,]上连续，则该曲线弧的长度为sr2()[r()']2d()。

x21例如：求曲线ylnx从x=l到x=e之间一段曲线的弧长。

42解：y'x122x，于是弧长微元为

ds1y'2，x111dx1()2dx(x)dx。

22x2x所以，所求弧长为：s

e1111x21e(x)dx(lnx)1(e21)。2x224

第三篇：高等数学教案ch 9 重积分

第九章

重积分

教学目的：

1、理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。

2、掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。

3、掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。

4、会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）。教学重点：

1、二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；

2、三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。

3、二、三重积分的几何应用及物理应用。教学难点：

1、利用极坐标计算二重积分；

2、利用球坐标计算三重积分；

3、物理应用中的引力问题。

§9 1 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念

1 曲顶柱体的体积

设有一立体 它的底是xOy面上的闭区域D 它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面 它的顶是曲面zf(x y) 这里f(x y)0且在D上连续 这种立体叫做曲顶柱体 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积

首先 用一组曲线网把D分成n个小区域：

 1  2      n 

分别以这些小闭区域的边界曲线为准线 作母线平行于z轴的柱面 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体 在每个 i中任取一点( i   i) 以f( i   i)为 高而底为 i的平顶柱体的体积为 ： f( i   i)i(i1 2     n)

这个平顶柱体体积之和：Vf(i,i)i

i1n可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值 为求得曲顶柱体体积的精确值 将分割加密 只需取极限 即 Vlimf(i,i)i

0i1n其中是个小区域的直径中的最大值

2平面薄片的质量

设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 它在点(x y)处的面密度为(x y) 这里(x y)0且在D上连续 现在要计算该薄片的质量M

用一组曲线网把D分成n个小区域

 1  2      n 

把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量

( i   i) i 

各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值 M(i,i)i

i1nn

将分割加细 取极限 得到平面薄片的质量Mlim(i,i)i

0i1其中是个小区域的直径中的最大值

定义 设f(x y)是有界闭区域D上的有界函数 将闭区域D任意分成n个小闭区域

 1  2      n 

其中 i表示第i个小区域 也表示它的面积 在每个 i上任取一点( i i) 作和

ni1f(i,i)i

如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时 这和的极限总存在 则称此极限为函数f(x y)在闭区域D上的二重积分 记作f(x,y)d 即

DDf(x,y)dlim0i1f(i,i)i

nf(x y)被积函数 f(x y)d被积表达式 d面积元素 x y积分变量 D积分区域 积分和

直角坐标系中的面积元素

如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D 那么除了包含边界点的一些小闭区域外 其余的小闭区域都是矩形闭区域 设矩形闭区域i的边长为xi和yi 则ixiyi 因此在直角坐标系中 有时也把面积元素d 记作dxdy 而把二重积分记作

Df(x,y)dxdy

其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素

二重积分的存在性 当f(x y)在闭区域D上连续时 积分和的极限是存在的

也就是说函数f(x y)在D上的二重积分必定存在 我们总假定函数f(x y)在闭区域D上连续 所以f(x y)在D上的二重积分都是存在的

二重积分的几何意义 如果f(x y)0 被积函数f(x y)可解释为曲顶柱体的在点(x y)处的竖坐标 所以二重积分的几何意义就是柱体的体积 如果f(x y)是负的 柱体就在xOy 面的下方 二重积分的绝对值仍等于柱体的体积 但二重积分的值是负的

二

二重积分的性质

性质1 设c1、c2为常数 则

[c1f(x,y)c2g(x,y)]dDc1f(x,y)dc2g(x,y)dDD

性质2如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域 则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和 例如D分为两个闭区域D1与D2 则

Df(x,y)df(x,y)df(x,y)d

D1D

2性质3 1dd(为D的面积)

DD

性质4 如果在D上 f(x y)g(x y) 则有不等式

Df(x,y)dg(x,y)dD

特殊地

|f(x,y)d||f(x,y)|d

DD

性质5 设M、m分别是f(x y)在闭区域D上的最大值和最小值 为D的面积 则有

mDf(x,y)dM

性质6(二重积分的中值定理)设函数f(x y)在闭区域D上连续  为D的面积 则在D上至少存在一点( )使得

Df(x,y)df(,)

§9 2 二重积分的计算法

一、利用直角坐标计算二重积分

X型区域

D 

1(x)y2(x) axb 

Y 型区域

D 

1(x)y2(x) cyd 

混合型区域

设f(x y)0

D{(x y)| 1(x)y2(x) axb}

此时二重积分f(x,y)d在几何上表示以曲面zf(x y)为顶 以区域D为底的D曲顶柱体的体积

对于x0[a b]

曲顶柱体在xx0的截面面积为以区间[1(x0) 2(x0)]为底、以曲线zf(x0 y)为曲边的曲边梯形 所以这截面的面积为

A(x0)2(x0)1(x0)f(x0,y)dy

根据平行截面面积为已知的立体体积的方法 得曲顶柱体体积为

VA(x)dx[aabb2(x)1(x)f(x,y)dy]dx

即

Vf(x,y)d[Dab2(x)1(x)f(x,y)dy]dx

可记为

Df(x,y)ddxab2(x)1(x)f(x,y)dy

类似地 如果区域D为Y 型区域

D  1(x)y2(x) cyd 

则有

Df(x,y)ddycd2(y)1(y)f(x,y)dx

例1 计算xyd 其中D是由直线y

1、x2及yx所围成的闭区域

D

解 画出区域D

解法1

可把D看成是X型区域 1x2 1yx  于是

xydD21[xydy]dx1x21y2x1x4x22912]1[x]1dx(x3x)dx[2212428x2x

注 积分还可以写成xyddxxydyxdxydy

D1111

2解法2 也可把D看成是Y型区域 1y2 yx2  于是

xydD21[xydx]dyy2212y3y429x222[y]ydy(2y)dy[y]112288

例2 计算y1x2y2d 其中D是由直线y

1、x1及yx所围成的闭区D域

解

画出区域D 可把D看成是X型区域 1x1 xy1 于是

D1111y1xyddxy1xydy[(1x2y2)2]1dx(|x|31)dx x1x3131222211 2(x31)dx1

301

2也可D看成是Y型区域：1y1 1x

yD1xydydy12211y1x2y2dx

例3 计算xyd 其中D是由直线yx2及抛物线y2x所围成的闭区域

D

解 积分区域可以表示为DD1+D2

其中D1: 0x1, xyx D2: 1x4, 2yx 于是 Dxyddx01xxxydydx14xx2xydy

积分区域也可以表示为D 1y2 y2xy2 于是

Dxyddy12y2y2xydx[121x2y2y]y2dy221[y(y2)22y5]dy

4y621y4352[y2y]1524368

讨论积分次序的选择

例

4求两个底圆半径都等于的直交圆柱面所围成的立体的体积

解

设这两个圆柱面的方程分别为

x2y2 2及x2z2 2

利用立体关于坐标平面的对称性 只要算出它在第一卦限部分的体积V1 然后再乘以8就行了

第一卦限部分是以D{(x y)| 0yR2x2, 0x}为底 以zR2x2顶的曲顶柱体 于是

V8Rxd8dx220RR2x20R2x2dy8[R2x2y]0R0R2x2dx

D

8(R2x2)dx16R3

0R3

二

利用极坐标计算二重积分

有些二重积分 积分区域D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便 且被积函数用极坐标变量、 表达比较简单

这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分f(x,y)d

Dn按二重积分的定义f(x,y)dlimD0i1f(i,i)i

下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式

以从极点O出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域 小闭区域的面积为

i1(ii)2i1i2i1(2ii)ii i(ii)2iiiii

其中i表示相邻两圆弧的半径的平均值

在i内取点(i , i) 设其直角坐标为( i  i)

则有 ii cosi ii sini

nn于是 lim即

0i1f(i,i)ilim0i1f(i cosi,i sini)i ii

Df(x,y)ds,sin)dd

f(coD若积分区域D可表示为

 1() 2()



则

Df(cos,sin)ddd2()1()f(cos,sin)d

讨论如何确定积分限?

Df(cos,sin)ddd()0f(cos,sin)d

Df(cos,sin)dd220d()0f(cos,sin)d

例5 计算exDy2dxdy 其中D是由中心在原点、半径为a 的圆周所围成的闭区域

解

在极坐标系中 闭区域D可表示为

0a  0 2  于是 xeD2y2dxdyeddD220[ed]d 0a220[12ae]0d 2221a(1e)d(1ea)

02

注 此处积分exD2y2dxdy也常写成x2y2a2xe2y2dxdy

利用x2y2a2ex2y2dxdy(1ea2)计算广义积分 0exdx

2设D1{(x y)|x2y2R2 x0 y0}

D2{(x y)|x2y22R2 x0 y0}

S{(x y)|0xR 0yR}

显然D1SD2 由于ex

xeD122y20 从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式

2y2dxdyexSy2dxdyexD22y2dxdy

因为

xeS2y2dxdyexdxeydy(exdx)2

000R2R2R2又应用上面已得的结果有

xeD12y2dxdy4(1eR)2

xeD22y2dxdy4(1e2R)

2于是上面的不等式可写成(1eR)(exdx)2(1e2R)

2R22404令R 上式两端趋于同一极限

4 从而exdx

2 02

例6 求球体x2y2z24a2被圆柱面x2y22ax所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积

解

由对称性 立体体积为第一卦限部分的四倍

V44a2x2y2dxdy

D其中D为半圆周y2axx2及x轴所围成的闭区域

在极坐标系中D可表示为

02a cos  0 

2于是

V44a22dd42dD02acos04a22d

32a22(1sin3)d32a2(2)

0332§93

三重积分 一、三重积分的概念

定义 设f(x y z)是空间有界闭区域上的有界函数 将任意分成n个小闭区域

v1 v2     vn

其中vi表示第i个小闭区域 也表示它的体积 在每个vi上任取一点(i i i) 作乘积f( i  i  i)vi(i1 2    n)并作和f(i,i,i)vi 如果当各小闭区域的直径

i1n中的最大值趋于零时

这和的极限总存在

则称此极限为函数f(x y z)在闭区域上的三重积分 记作f(x,y,z)dv

即



f(x,y,z)dvlim0i1f(i,i,i)vi

n

三重积分中的有关术语

——积分号

f(x y z)——被积函数

f(x y z)dv

——被积表达式

dv体积元素

x y z——积分变量

——积分区域

在直角坐标系中 如果用平行于坐标面的平面来划分 则vixi yizi  因此也把体积元素记为dv dxdydz 三重积分记作

f(x,y,z)dvf(x,y,z)dxdydz

当函数f(x y z)在闭区域上连续时 极限limf(i,i,i)vi是存在的

0i1n因此f(x y z)在上的三重积分是存在的 以后也总假定f(x y z)在闭区域上是连续的

三重积分的性质 与二重积分类似

比如

[c1f(x,y,z)c2g(x,y,z)]dvc1f(x,y,z)dvc2g(x,y,z)dv

f(x,y,z)dvf(x,y,z)dvf(x,y,z)dv

1212dvV 其中V为区域的体积 二、三重积分的计算

1 利用直角坐标计算三重积分

三重积分的计算 三重积分也可化为三次积分来计算 设空间闭区域可表为

z1(x y)zz2(x y) y1(x)yy2(x) axb

则

f(x,y,z)dv[Dz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]d

dxaby2(x)y1(x)y2(x)y1(x)[z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz

f(x,y,z)dz

dxabdyz2(x,y)z1(x,y)即 f(x,y,z)dvadxy(x)1by2(x)dyz2(x,y)z1(x,y)其中D : y1(x) y y2(x) axb 它是闭区域在xOy面上的投影区域

提示

设空间闭区域可表为

z1(x y)zz2(x y) y1(x)yy2(x) axb

计算f(x,y,z)dv

基本思想

对于平面区域D

y1(x)yy2(x) axb内任意一点(x y) 将f(x y z)只看作z的函数 在区间[z1(x y)

z2(x y)]上对z积分 得到一个二元函数F(x y)

F(x,y)三重积分

z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz

然后计算F(x y)在闭区域D上的二重积分 这就完成了f(x y z)在空间闭区域上的 DF(x,y)d[Dz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]ddxaby2(x)y1(x)[z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy

则 f(x,y,z)dv[Dz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]d

dxaby2(x)y1(x)y2(x)y1(x)[z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz

dxabdyz2(x,y)z1(x,y)即

f(x,y,z)dvdxaby2(x)y1(x)dyz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz

其中D : y1(x) y y2(x) axb 它是闭区域在xOy面上的投影区域

例1 计算三重积分xdxdydz 其中为三个坐标面及平面x2yz1所围成的闭区域

解 作图 区域可表示为:

0z1x2y 0y1(1x) 0x1

2于是

xdxdydz dx0111x20dy1x2y0xdz

xdx01x20(1x2y)dy2

140(x2x1x3)dx1

讨论 其它类型区域呢?

有时 我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分 设空间闭区域{(x y z)|(x y)Dz c1 zc2} 其中Dz是竖坐标为z 的平面截空间闭区域所得到的一个平面闭区域 则有

f(x,y,z)dvdzf(x,y,z)dxdy

c1Dzc

2例2 计算三重积分zdxdydz

222x2y其中是由椭球面22z21所围成的空

abc间闭区域

解 空间区域可表为: 22y2

x221z2 c zc

abc于是

c2cz2dxdydz z2dzdxdyab(1z)z2dz4abc3

2cDzcc1

5练习

1 将三重积分If(x,y,z)dxdydz化为三次积分 其中



(1)是由曲面z1x2y2 z0所围成的闭区域

(2)是双曲抛物面xyz及平面xy10 z0所围成的闭区域

(3)其中是由曲面zx22y2及z2x2所围成的闭区域

2 将三重积分If(x,y,z)dxdydz化为先进行二重积分再进行定积分的形式

其中由曲面z1x2y2 z0所围成的闭区域

2 利用柱面坐标计算三重积分

设M(x y z)为空间内一点 并设点M在xOy面上的投影P 的极坐标为P( ) 则这样的三个数、、z就叫做点M的柱面坐标 这里规定、、z的变化范围为

0< 0 2  

坐标面0   0 zz0的意义

点M 的直角坐标与柱面坐标的关系

xcos ysin zz 

xcosysinzz

柱面坐标系中的体积元素 dvdddz

简单来说 dxdydd  dxdydzdxdydzdd dz

柱面坐标系中的三重积分

f(x,y,z)dxdydzf(cos,sin,z)dddz



例3 利用柱面坐标计算三重积分zdxdydz 其中是由曲面zx2y2与平面z4所围成的闭区域

解 闭区域可表示为

2z4 02 02

于是

zdxdydzzdddz2

42

2ddzdz1d(164)d

00222006 12[8216]2

026

33 利用球面坐标计算三重积分

设M(x y z)为空间内一点 则点M也可用这样三个有次序的数r、、 来确定 其中

r为原点O与点M间的距离 为OM与z轴正向所夹的角 为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段OP的角 这里P为点M在xOy面上的投影 这样的三个数r、、 叫做点M的球面坐标 这里r、、 的变化范围为

0r< 0< 0 2

坐标面rr0 0 0的意义

点M的直角坐标与球面坐标的关系

xrsincos yrsinsin zrcos 

xrsincosyrsinsinzrcos

球面坐标系中的体积元素

dvr2sindrdd 

球面坐标系中的三重积分

f(x,y,z)dvf(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindrdd

例4 求半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积

解 该立体所占区域可表示为

0r2acos 0 02

于是所求立体的体积为

Vdxdydzrsindrdddd222acos000r2sindr

2sind02acos0r2dr

16a3304a34cossind(1cosa)

提示 球面的方程为x2y2(za)2a2 即x2y2z22az 在球面坐标下此球面的方程为r22arcos 即r2acos

§9 4 重积分的应用

元素法的推广

有许多求总量的问题可以用定积分的元素法来处理 这种元素法也可推广到二重积分的应用中 如果所要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(就是说 当闭区域D分成许多小闭区域时 所求量U相应地分成许多部分量 且U等于部分量之和) 并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域d时 相应的部分量可近似地表示为f(x y)d 的形式 其中(x y)在d内 则称f(x y)d 为所求量U的元素 记为dU 以它为被积表达式 在闭区域D上积分

Uf(x,y)d

D这就是所求量的积分表达式

一、曲面的面积

设曲面S由方程 zf(x y)给出 D为曲面S在xOy面上的投影区域 函数f(x y)在D上具有连续偏导数fx(x y)和fy(x y) 现求曲面的面积A 

在区域D内任取一点P(x y) 并在区域D内取一包含点P(x y)的小闭区域d 其面积也记为d 在曲面S上点M(x y f(x y))处做曲面S的切平面T 再做以小区域d的边界曲线为准线、母线平行于z轴的柱面 将含于柱面内的小块切平面的面积作为含于柱面内的小块曲面面积的近似值 记为dA 又设切平面T的法向量与z轴所成的角为  则

d1fx2(x,y)fy2(x,y)d

dAcos这就是曲面S的面积元素

于是曲面S 的面积为

A1fx2(x,y)fy2(x,y)d

D或

A1(z)2(z)2dxdy

Dxy

设dA为曲面S上点M处的面积元素 dA在xOy面上的投影为小闭区域d M在xOy面上的投影为点P(x y) 因为曲面上点M处的法向量为n(fx fy 1) 所以

dA|n|d1fx2(x,y)fy2(x,y)d

提示 dA与xOy面的夹角为(n^ k) dAcos(n^ k)d

nk|n|cos(n^ k)1 cos(n^ k)|n|1

讨论 若曲面方程为xg(y z)或yh(z x) 则曲面的面积如何求？

ADyz1(x2x)()2dydzyzyx

或

A1(Dzxyz)2()2dzdx

其中Dyz是曲面在yOz面上的投影区域

Dzx是曲面在zOx面上的投影区域

例1 求半径为R的球的表面积

解 上半球面方程为zR2x2y2 x2y2R2

因为z对x和对y的偏导数在D x2y2R2上无界 所以上半球面面积不能直接求出 因此先求在区域D1 x2y2a2(aR)上的部分球面面积 然后取极限

x2y2a2RRxy222dxdyR02dardrRr220

2R(RR2a2)

于是上半球面面积为lim2R(RR2a2)2R2

aR整个球面面积为

A2A14R2

提示

zxxRxy222 zyyRxy222 1(z)2(z)2xyRRxy222

解 球面的面积A为上半球面面积的两倍

上半球面的方程为zR2x2y2 而

zxxRxy222 zyyRxy222

所以

A2x2y2R21(z2z2)()xyR2R

2x2y2R2R2x2y2R0dxdy2R0ddR220

4RR22 4R2

例2设有一颗地球同步轨道通讯卫星 距地面的高度为h36000km 运行的角速度与地球自转的角速度相同 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径R6400km)

解 取地心为坐标原点 地心到通讯卫星中心的连线为z轴 建立坐标系

通讯卫星覆盖的曲面是上半球面被半顶角为的圆锥面所截得的部分 的方程为

zR2x2y2 x2y2R2sin2

于是通讯卫星的覆盖面积为

ADxy1(z2z2)()dxdyxyDxyRRxy222dxdy

其中Dxy{(x y)| x2y2R2sin2}是曲面在xOy面上的投影区域

利用极坐标 得

Ad02RsinRR220d2RRsinR220d2R2(1cos)

由于cosR 代入上式得

Rh

A2R2(1R)2R2hRhRh

由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为 Ah36106

42.5%

4R22(Rh)2(366.4)106

由以上结果可知 卫星覆盖了全球三分之一以上的面积 故使用三颗相隔23角度的通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面

二、质心

设有一平面薄片 占有xOy 面上的闭区域D 在点P(x y)处的面密度为(x y) 假定(x y)在D上连续 现在要求该薄片的质心坐标

在闭区域D上任取一点P(x y) 及包含点P(x y)的一直径很小的闭区域d(其面积也记为d) 则平面薄片对x轴和对y轴的力矩(仅考虑大小)元素分别为

dMxy(x y)d dMyx(x y)d

平面薄片对x轴和对y轴的力矩分别为

Mxy(x,y)d Myx(x,y)d

DD

设平面薄片的质心坐标为(x, y)平面薄片的质量为M 则有

xMMy yMMx 

于是

xMMyx(x,y)dD(x,y)dD yMxMy(x,y)dD(x,y)dD

在闭区域D上任取包含点P(x y)小的闭区域d(其面积也记为d) 则

平面薄片对x轴和对y轴的力矩元素分别为

dMxy(x y)d dMyx(x y)d

平面薄片对x轴和对y轴的力矩分别为

Mxy(x,y)d Myx(x,y)d

DD

设平面薄片的质心坐标为(x, y)平面薄片的质量为M 则有

xMMy yMMx 

于是

xMMyx(x,y)dD(x,y)dD yMxMy(x,y)dD(x,y)dD

提示 将P(x y)点处的面积元素d看成是包含点P的直径得小的闭区域 D上任取一点P(x y) 及包含的一直径很小的闭区域d(其面积也记为d) 则平面薄片对x轴和对y轴的力矩(仅考虑大小)元素分别为

讨论 如果平面薄片是均匀的 即面密度是常数 则平面薄片的质心(称为形心)如何求？

求平面图形的形心公式为

xd

xDyd yDdDdD

例3 求位于两圆2sin 和4sin 之间的均匀薄片的质心

解 因为闭区域D对称于y轴 所以质心C(x, y)必位于y轴上 于是x0

因为

ydDD2sinddsind04sin2sin2d7

22d213D

yd所以yDdD777 所求形心是C(0,)

33

3类似地 占有空间闭区域、在点(x y z)处的密度为(x y z)(假宽(x y z)在上连续)的物体的质心坐标是

x1Mx(x,y,z)dv y1My(x,y,z)dv z1Mz(x,y,z)dv



其中M(x,y,z)dv



例4 求均匀半球体的质心

解 取半球体的对称轴为z轴 原点取在球心上 又设球半径为a 则半球体所占空间闭区可表示为

{(x y z)| x2y2z2a2 z0}

显然 质心在z轴上 故xy0

zdvzdv

zdvdv3a8

故质心为(0, 0, 3a)

8提示  0ra 0 02

2

dvd2020drsindrsind020a220da02a3rdr32

zdv02d02da02a1a4123

rcosrsindrsin2ddrdr20024202

三、转动惯量

设有一平面薄片 占有xOy面上的闭区域D 在点P(x y)处的面密度为(x y) 假定(x y)在D上连续 现在要求该薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量

在闭区域D上任取一点P(x y) 及包含点P(x y)的一直径很小的闭区域d(其面积也记为d) 则平面薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量的元素分别为

dIxy2(x y)d  dI yx2(x y)d 

整片平面薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量分别为

Ixy2(x,y)d Iyx2(x,y)d

DD

例5 求半径为a 的均匀半圆薄片(面密度为常量)对于其直径边的转动惯量

解 取坐标系如图 则薄片所占闭区域D可表示为

D{(x y)| x2y2a2 y0} 而所求转动惯量即半圆薄片对于x轴的转动惯量Ix 

Ixy2d2sin2dd

DD

sin d20a0a4d430sin d

2

1a41Ma2

424其中M1a2为半圆薄片的质量

2类似地 占有空间有界闭区域、在点(x y z)处的密度为(x y z)的物体对于x、y、z轴的转动惯量为

Ix(y2z2)(x,y,z)dv



Iy(z2x2)(x,y,z)dv



Iz(x2y2)(x,y,z)dv



例6 求密度为的均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量

解 取球心为坐标原点 z轴与轴l重合 又设球的半径为a 则球体所占空间闭区域

{(x y z)| x2y2z2a2}

所求转动惯量即球体对于z轴的转动惯量Iz 

Iz(x2y2) dv

2222 cosr2sin sin)r2sindrdd

(r2sin2a82

3r4sindrdddsin3 dr4dra5a2M

000155其中M4a3为球体的质量

3提示

x2y2r2sin2cos2r2sin2 sin2r2sin2

四、引力

我们讨论空间一物体对于物体外一点P0(x0 y0 z0)处的单位质量的质点的引力问题

设物体占有空间有界闭区域 它在点(x y z)处的密度为(x y z) 并假定(x y z)在上连续

在物体内任取一点(x y z)及包含该点的一直径很小的闭区域dv(其体积也记为dv) 把这一小块物体的质量dv近似地看作集中在点(x y z)处 这一小块物体对位于P0(x0 y0 z0)处的单位质量的质点的引力近似地为

dF(dFx,dFy,dFz)

(G(x,y,z)(xx0)r3dv,G(x,y,z)(yy0)r3dv,G(x,y,z)(zz0)r3dv)

其中dFx、dFy、dFz为引力元素dF在三个坐标轴上的分量

r(xx0)2(yy0)2(zz0)2 G为引力常数 将dFx、dFy、dFz在上分别积分 即可得Fx、Fy、Fz 从而得F(Fx、Fy、Fz)

例7设半径为R的匀质球占有空间闭区域{(x y z)|x2y2z2R2) 求它对于位于点M0(0 0 a)(a>R)处的单位质量的质点的引力

解 设球的密度为0 由球体的对称性及质量分布的均匀性知Fx=Fy=0, 所求引力沿z轴的分量为

FzG0zadv[x2y2(za)2]3/2

G0(za)dzRRx2y2R2zdxdy[x2y2(za)2]3/22

G0(za)dzdR0R2R2z22d[(za)]23/20

R

2G0(za)(1R1R2aza22az)dz

2G0[2R1(za)dR22aza2]

aRR

2R32G0(2R2R)

3a24R31MG02G23aa



4R3其中M03为球的质量

上述结果表明 匀质球对球外一质点的引力如同球的质量集中于球心时两质点间的引力

第四篇：定积分概念说课稿

定积分的概念说课稿

一、教材分析

1、教材的地位和作用

本节课选自二十一世纪普通高等教育系列教材《高等数学》第三章第二节定积分的概念与性质，是上承导数、不定积分，下接定积分在水力学、电工学、采油等其他学科中的应用。定积分的应用在高职院校理工类各专业课程中十分普遍。

2、教学目标

根据教材内容及教学大纲要求，参照学生现有的知识水平和理解能力，确定本节课的教学目标为：

（1）知识目标：掌握定积分的概念，几何意义和性质

（2）能力目标：掌握“分割、近似代替、求和、取极限”的方法，培养逻辑思维能力和进行知识迁移的能力，培养创新能力。

（3）思想目标：激发学习热情，强化参与意识，培养严谨的学习态度。

3、教学重点和难点

教学重点：定积分的概念和思想

教学难点：理解定积分的概念，领会定积分的思想

二、学情分析

一般来说，学生从知识结构上来说属于好坏差别很大，有的接受很快，有的接受很慢，有的根本听不懂，基于这些特点，综合教材内容，我以板书教学为主，多媒体课件为辅，把概念性较强的课本知识直观化、形象化，引导学生探究性学习。

三、教法和学法

1、教法方面

以讲授为主：案例教学法（引入概念）问题驱动法（加深理解）练习法（巩固知识）

直观性教学法（变抽象为具体）

2、学法方面：

板书教学为主，多媒体课件为辅（化解难点、保证重点）

（1）发现法解决第一个案例

（2）模仿法解决第二个案例

（3）归纳法总结出概念（4）练习法巩固加深理解

四、教学程序

1、组织教学

2、导入新课：

我们前面刚刚学习了不定积分的一些基本知识，我们知道不定积分的概念、几何意义和性质，今天我们要学习定积分的概念、几何意义和性质。

3、讲授新课（分为三个时段）

第一时段讲授

概念：

案例1：曲边梯形的面积如何求？

首先用多媒体演示一个曲边梯形，然后提出问题

（1）什么是曲边梯形？

（2）有关历史：简单介绍割圆术及微积分背景

（3）探究：提出几个问题（注意启发与探究）

a、能否直接求出面积的准确值？

b、用什么图形的面积来代替曲边梯形的面积呢？三角形、矩形、梯形？采用一个矩形的面积来近似与二个矩形的面积来近似，一般来说哪个值更接近？二个矩形与三个相比呢？……探究阶段、概念引入阶段、创设情境、抛砖引玉

（4）猜想:让学生大胆设想，使用什么方法，可使误差越来越小，直到为零？

（5）论证：多媒体图像演示，直观形象模拟,让学生逐步观察到求出面积的方法.（6）教师讲解分析:“分割成块、近似代替、积累求和、无穷累加”的微积分思想方法。思解阶段、概念探索阶段、启发探究、引人入胜

（7）总结: 总结出求该平面图形面积的极限式公式

案例2.如何求变速直线运动物体的路程？

（1）提问: 通过类似方法解决，注意启发引导。

（2）归纳：用数学表达式表示。

案例1和案例2的共同点：特殊的和式极限，并写出模型。

方法：化整为零细划分,不变代变得微分, 积零为整微分和,无限累加得积分。

归结阶段、提炼概念阶段、类比探究、数学建模

（1）定义: 写出定积分的概念。

（2）疑问:不同的分割方法，不同的矩形的高度计算，对曲边梯形的面积有何影响？

（3）定义说明

（4）简单应用

曲边梯形面积 直线运动路程

定义阶段、抓本质建立概念、深化概念

例

1、根据定积分的几何意义，求20sinxdx例

2、比较20xdx与20sinxdx的积分值的大小分析并解题解题示范、巩固理解概念阶段

练习1 定义计算 dxex10练习2 将由曲线及直线y=0,x=0,x=1围成的平面图形的面积用定积分表示。学生练习，教师点评练习、训练巩固阶段意义：意义应用概念阶段、概念具体化1.几何意义分f(x)>0, f(x)<0和f(x)符号不定三种情况。利用图形直观即可得出（关键要说明代数和的含义及原因）。2.范例(1)将几个平面图形的面积用定积分表示(题目略)。(2)利用几何意义求定积分20)32(dxx的值。第二时段指导练习题

4、归纳总结: 总结：梳理知识、巩固重点（1）、回顾四个步骤：①分割②近似③求和④取极限（2）、回顾定积分作为和式极限的概念（3）、加深概念理解的几个注意点（4）、几何意义 第三时段测验

5、作业布置

第五篇：数学分析教案 (华东师大版)第十章定积分的应用

《数学分析》教案

第十章 定积分的应用

教学要求：

1.理解微元法的思想，并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题化成定积分；

2.熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长，用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等。

教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长，用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等

教学时数：10学时

§ 1平面图形的面积（2 时）

教学要求：

1.理解微元法的思想，并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题化成定积分；

2.熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积。教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积

一、组织教学：

二、讲授新课：

（一）直角坐标系下平面图形的面积 ： 1.简单图形：

型和

型平面图形.型和

《数学分析》教案

例

5求由双纽线

所围平面图形的面积.解 倾角为 的两条直线之间).以

轴对称;以

或

.(可见图形夹在过极点，代 方程不变，图形关于 代 , 方程不变, 图形关于 轴对称.参阅P242 图10-6 因此.三、小结：

§ 2 由平行截面面积求体积（2 时）

教学要求：熟练地应用本章给出的公式，用截面面积计算体积。教学重点：熟练地应用本章给出的公式，用截面面积计算体积

（一）已知截面面积的立体的体积: 设立体之截面面积为 推导出该立体之体积

..祖暅原理: 夫幂势即同 , 则积不容异.(祖暅系祖冲之之子 齐梁时人 , 大约在五世纪下半叶到六世纪初)例1

求由两个圆柱面

和

所围立体体积.P244 例1()

《数学分析》教案

和 在区间

上连续可导且

..则

上以

和

为端点的弧段的弧长为为证明这一公式 , 先证以下不等式 : 对 , ,有

Ch 1 §1 Ex 第5题(P4).其几何意义是: 在以点 超过第三边.事实上，和

为顶点的三角形中,两边之差不.为证求弧长公式, 在折线总长表达式中, 先用Lagrange中值定理, 然后对式插项进行估计.如果曲线方程为极坐标形式 出其参数方程

.于是

连续可导, 则可写.§ 4 旋转曲面的面积(1 时)教学要求：旋转曲面的面积。

教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算旋转曲面的面积