定积分在数列和式不等式证明中的应用(含5篇)

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第一篇:定积分在数列和式不等式证明中的应用

定积分在数列和式不等式证明中的应用

湖北省宜昌市第二中学曹超

邮编:443000电子邮箱:c220032003@yahoo.cn

数列和式不等式aiA(或aiA)的证明通常要用到放缩法,由于放缩法技巧性强,且无固定模式,i

1i1

n

n

在实际解题过程中同学们往往难以掌握。学习了定积分的相关知识后,我们可以利用定积分的定义及几何意义证明此类不等式,下面笔者仅就两例对这种方法加以介绍。

例1

证明:1)1

第2题)

证明:

构造函数f(x)

1

1

1(nN)(高中人教(A)版选修4-5P29,作出函数图象,图(1)中n-1个矩形的面积

1

应为直线x1,xn,x轴和曲

线

f(x)

所围成曲边梯形面积的不足近似值,故



n

x

2dx=2x

2n

=2,所以

图(1)

1



1。

图(2)中n

个矩形的面积和1



应为直线

x1,xn1,x轴和曲

线f(x)所围成的曲边梯形

面积的过剩近似值,故1



n1

x

dx=

图(2)

2x2

n1

=2,不等式得证。

评析:

教材对本题证明给出了提示:

①,实际解题过程中,由于不等式①技巧性强,思维量大,学生如不参考提示很难得到。事实

上,如图(3)所示,根据定积分的定义及几何意义,在区间n,n1(nN)上的曲边梯形的面积大于以区间的右端点n1对应的函数值f(n1)为一边的长,以1

为邻边的长的矩形的面积,小于以区间的左端点n对

图(3)

应的函数值f(n)为一边的长,以1为邻边的长的矩形的面积,即

n1n

x

dx2x2

n1n

代数变形技巧得到,更非“空穴来风”,而是有着明确几何意义的代数表示,数形结合思想在这里得以充分地体现。

例 2对于任意正整数n,试证:(1)当nN时,求证:ln(n1)lnn

(2)

1n1

1n2



1nn

ln

3

1n+1

分析:此题的设计意图是利用第(1)问的结论证明第(2)问。但如果没有第一问作铺垫,第(2)问的证明很难用代数方法得到,如果利用例1所述方法,那么证明变得非常简洁。

证明:(1)证明略。

(2)构造函数f(x)

1x

(x0),作出函数图象,根据yf(x)

在区间n,2n上定积分定义及其几何意义,图(4)中n个矩形的面积和小于由直线xn,x2n,x轴和曲线f(x)围

1x

所,即

成

n的12

边梯形的面积

n1

21n1

ln2nxx

n(n2l

7n)n,l不等式nln

得证。

图(4)

新课标新增的微积分知识有着丰富的数学背景及内涵,所蕴含的数学思想方法为我们问题的解决提供了新的视角,所以我们在平常学习过程中应予以足够的重视。最后提供两道练习题供同学们参考。

1、2、求证:()()(n

n

n

n

n1

nnn)()2nn

1n

1n1

(nN)



1n

证明:对于大于1的正整数n,n2

1

第二篇:利用定积分证明数列和型不等式

利用定积分证明数列和型不等式

我们把形如(为常数)或的不等式称之为数列和型不等式,这类不等式常见于高中数学竞赛和高考压轴题中,由于证明难度较大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定积分的几何意证明,则可达到以简驭繁、以形助数的解题效果.下面举例说明供参考.一、(为常数)型

例1(2007年全国高中数学联赛江苏赛区第二试第二题)已知正整数,求证

.分析

这是一边为常数另一边与自然数有关的不等式,标准答案是用数学归纳法证明比这个不等式更强的不等式,这个不等式是怎么来的令人费解.若由所证式子联想到在用定积分求曲边梯形面积的过程中“分割求和”这一步,则可考虑用定积分的几何意义求解.证明 构造函数数图象可知,在区间

并作图象如图1所示.因函数在上是凹函数,由函

上的个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积,图1 即,因为,所以.所以

.例2 求证

.证明 构造函数

而函数在,又,上是凹函数,由图象知,在区间上的个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积,图

2即,所以.例3 证明。

证明 构造函数可知,在区间 上,因,又其函数是凹函数,由图

3个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积,图3

.所以

.二、型

例4 若,求证:.证明 不等式链的左边是通项为前项之和,中间的的数列的前项之和,右边通项为项之和.故只要证当的数列的时这三个数

可当作是某数列的前列的通项不等式

成立即可.构造函数,因为,作的图象,由图4知,在区间上曲边梯形的面积大小在以区间长度1为一边长,以左右端点对应的函数值为另一边长的两个矩形面积之间,即,而,故不等式

成立,从而所证不等式成立.图4

例5(2010年高考湖北卷理科第21题)已知函数处的切线方程为

(Ⅰ)用表示出 ;

.的图象在点(Ⅱ)若 在内恒成立,求的取值范围;

(Ⅲ)证明:

.本题第三问不等式的证明是本大题也是本卷的压轴戏,具有综合性强、难度大、思维含金量高、区分度大等特点.这个不等式的证明既可用第二问的结论证明也可用定积分来证明.证明(Ⅲ)不等式数列的前项之和,我们也可把右边当作是通项为

左边是通项为的数列的前项之和,则当的时,此式适合,故只要证当 时,即,也就是要证

.由此构造函数,并作其图象如图5所示.由图知,直角梯形的面积大于曲边梯形的面积,即

.图

5而,所以,故原不等式成立.点评 本解法另辟蹊径,挖掘新的待证不等式左右两边的几何意义,通过构造函数利用定积分的几何意义来解决问题,解法虽然综合性强,但由于数形结合解法直观便于操作.积分法是在新课标下证明不等式的一个新方法新亮点,很值得品味.由例4例5可知,要解决这类复杂问题的关键是要善于联想善于分析问题和转化问题,这样才能化繁为简、化难为易,

第三篇:利用定积分证明数列和型不等式

利用定积分证明数列和型不等式

我们把形如(为常数)

或的不等式称之为数列和型不等式,这类不等式常见于高中数学竞赛和高考压轴题中,由于证明难度较大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定积分的几何意证明,则可达到以简驭繁、以形助数的解题效果.下面举例说明供参考.一、(为常数)型

例1(2007年全国高中数学联赛江苏赛区第二试第二题)

已知正整数,求证

.分析这是一边为常数另一边与自然数有关的不等式,标准答案是用数学归纳法证明比这个不等式更强的不等式,这个不等式是怎么来的令人费解.若由所证式子联想到在用定积分求曲边梯形面积的过程中“分割求和”这一步,则可考虑用定积分的几何意义求解.证明构造函数

数图象可知,在区间并作图象如图1所示.因函数在上是凹函数,由函上的个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积,图

1即,因为,所以.所以

.例2求证

.证明构造函数而函数

在,又,上是凹函数,由图象知,在区间上的个矩形的面积之和

小于曲边梯形的面积,图

2即,所以

.例3证明。

证明构造函数知,在区间

上,因,又其函数是凹函数,由图3可

个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积,图

3即

.所以

.二、型

例4若,求证:.证明不等式链的左边是通项为前

项之和,中间的的数列的前项之和,右边通项为项之和.故只要证当的数列的时这三个数

可当作是某数列的前

列的通项不等式

成立即可.构造函数,因为,作的图象,由图4知,在区间

上曲边梯形的面积大小在以区间长度1为一边长,以左右端点对应的函数值为另一边长的两

个矩形面积之间,即,而,故不等式

成立,从而所证不等式成立.图

4例5(2010年高考湖北卷理科第21题)已知函数

处的切线方程为的图象在点

.(Ⅰ)用表示出(Ⅱ)若;

在内恒成立,求的取值范围;

(Ⅲ)证明:

.本题第三问不等式的证明是本大题也是本卷的压轴戏,具有综合性强、难度大、思维含金量高、区分度大等特点.这个不等式的证明既可用第二问的结论证明也可用定积分来证明.证明(Ⅲ)不等式

列的前项之和,我们也可把右边当作是通项为

左边是通项为的数列的前项之和,则当的数时,此式适合,故只要证当

时,即,也就是要证

.由此构造函数,并作其图象如图5所示.由图知,直角梯形的面积大于曲边梯形的面

积,即

.图5

故原不等式成立.,所以,

第四篇:关于和式的数列不等式证明方法

关于“和式”的数列不等式证明方法

方法:先求和,再放缩

1、设数列an满足a10且an

n,2an11an1an,n

N*,记Snbk,证明:Sn1.k1n

(Ⅰ)求an的通项公式;(Ⅱ)设bn

【解析】:(Ⅰ)由

11

11.得为等差数列,1a1an11ann

前项为

1111

1,d1,于是1(n1)1n,1an,an

1

1a11annn

(Ⅱ)bn

n

Snbkk

1

11 练习:数列{an}为等差数列,an为正整数,其前n项和为Sn,数列{bn}为等比数列,且

a13,b11,数列{ban}是公比为64的等比数列,b2S264.(1)求an,bn;(2)求证

1113.S1S2Sn

4解:(1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则d为正整数,an3(n1)d,bnqn1

ban1q3ndd6

q642

q3(n1)d依题意有ban①

S2b2(6d)q64

由(6d)q64知q为正有理数,故d为6的因子1,2,3,6之一,解①得d2,q8

故an32(n1)2n1,bn8

n1

(2)Sn35(2n1)n(n2)∴

1111111



S1S2Sn132435n(n2)

11111111(1)232435nn211113(1) 22n1n24

方法:先放缩,再求和 例

1、(放缩之后裂项求和)(辽宁卷21).

在数列|an|,|bn|中,a1=2,b1=4,且an,bn,an1成等差数列,bn,an1,bn1成等比数列(nN)

(Ⅰ)求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测|an|,|bn|的通项公式,并证明你的结论;(Ⅱ)证明:

*

5…. a1b1a2b2anbn1

2本小题主要考查等差数列,等比数列,数学归纳法,不等式等基础知识,考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力.满分12分. 解:(Ⅰ)由条件得2bnanan1,an1bnbn1 由此可得

a26,b29,a312,b316,a420,b425. ···················································· 2分

猜测ann(n1),bn(n1). ······················································································· 4分 用数学归纳法证明:

①当n=1时,由上可得结论成立. ②假设当n=k时,结论成立,即

akk(k1),bk(k1)2,那么当n=k+1时,2ak

ak12bkak2(k1)k(k1)(k1)(k2),bk12(k2)2.

bk

所以当n=k+1时,结论也成立.

由①②,可知ann(n1),bn(n1)对一切正整数都成立. ·········································· 7分(Ⅱ)

5.

a1b161

2n≥2时,由(Ⅰ)知anbn(n1)(2n1)2(n1)n. ·············································· 9分 故

11111111

…… a1b1a2b2anbn622334n(n1)

11111111… 622334nn11111115 622n16412

综上,原不等式成立.··································································································· 12分(例

2、(放缩之后等比求和)

(06福建)已知数列an满足a11,an12an1(nN).*

(Ⅰ)求数列an的通项公式;(Ⅱ)证明:

an1a1a2n

...n(nN*)23a2a3an1

22n

(III).设bnan(an1),数列bn的前n项和为sn,令Tn,sn

(i)求证:T1T2T3Tnn;

(ii)求证:T1T2T3Tn;

本小题主要考查数列、不等式等基本知识,考查化归的数学思想方法,考查综合解题能力。满分14分。

(I)解:an12an1(nN),*

an112(an1),an1是以a112为首项,2为公比的等比数列。an12n.即 an21(nN).*

(II)证法一:41

4k1k2

1...4kn1(an1)kn.4(k1k2...kn)n2nkn.2[(b1b2...bn)n]nbn,①

2[(b1b2...bnbn1)(n1)](n1)bn1.② ②-①,得2(bn11)(n1)bn1nbn, 即(n1)bn1nbn20,nbn2(n1)bn120.③-④,得 nbn22nbn1nbn0,即 bn22bn1bn0,bn2bn1bn1bn(nN*),bn是等差数列。

证法二:同证法一,得(n1)bn1nbn20 令n1,得b12.设b22d(dR),下面用数学归纳法证明 bn2(n1)d.(1)当n1,2时,等式成立。

(2)假设当nk(k2)时,bk2(k1)d,那么

k2k2bk[2(k1)d]2[(k1)1]d.k1k1k1k1这就是说,当nk1时,等式也成立。bk1

根据(1)和(2),可知bn2(n1)d对任何nN都成立。

*

bn1bnd,bn是等差数列。

ak2k12k11

k1,k1,2,...,n,(III)证明:

ak1212(2k1)

2

aa1a2n

...n.a2a3an12

ak2k11111111k1.,k1,2,...,n, ak12122(2k11)23.2k2k2232k

aa1a2n1111n11n1

...n(2...n)(1n), a2a3an1232222322

3an1aan

12...n(nN*).23a2a3an12

方法:先放缩,再化类等差等比

例1(有界性放缩,迭加)、各项为正数的等比数列an中,a1a310,a3a540,nN*;

(1)求数列an的通项公式;(2)设b11,bn1nn

11,求证:bn1bn3n1 bnan

2an2;分析;(1)(2)证明:因为an1(1

所以an0,n

n

所以an1与an同号,又因为a110,)an,2n

n

an0,即an1an.所以数列{an}为递增数列,所以ana11,n2nn12n1

即an1annann,累加得:ana12n1.

22222

12n1112n1

令Sn2n1,所以Sn23n,两式相减得:

2222222

11111n1n1n1Sn23n1n,所以Sn2n1,所以an3n1,22222222

n1

故得an1an3n1.

即an1an

例2(利用有界性化为类等比)、(安徽卷21).(本小题满分13分)

设数列an满足a00,an1can1c,cN,其中c为实数

*

(Ⅰ)证明:an[0,1]对任意nN成立的充分必要条件是c[0,1];

*

1n1*,证明:an1(3c),nN;312222

(Ⅲ)设0c,证明:a1a2ann1,nN*

313c

(Ⅱ)设0c

解(1)必要性 :∵a10,∴a21c,又 ∵a2[0,1],∴01c1,即c[0,1]

充分性 :设 c[0,1],对nN用数学归纳法证明an[0,1]当n1时,a10[0,1].假设ak[0,1](k1)

则ak1cak1cc1c1,且ak1cak1c1c0

*

∴ak1[0,1],由数学归纳法知an[0,1]对所有nN*成立

(2)设 0c,当n1时,a10,结论成立 3

当n2 时,∵ancan11c,∴1anc(1an1)(1an1an1)∵0C

12,由(1)知an1[0,1],所以 1an1an13 且 1an103

∴1an3c(1an1)

∴1an3c(1an1)(3c)(1an2)(3c)∴an1(3c)

(3)设 0c

n1

n1

(1a1)(3c)n1

(nN*)

122,当n1时,a102,结论成立 313c

n1

当n2时,由(2)知an1(3c)

0

∴an(1(3c)n1)212(3c)n1(3c)2(n1)12(3c)n1 22222n1∴a2]1a2ana2ann12[3c(3c)(3c)

2(1(3c)n)2

n1n1

13c13c

第五篇:利用定积分证明数列和型不等式剖析

利用定积分证明数列和型不等式

我们把形如(为常数或的不等式称之为数列和型不等式,这类不等式常见于高中数学竞赛和高考压轴题中,由于证明难度较大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定积分的几何意证明,则可达到以简驭繁、以形助数的解题效果.下面举例说明供参考.一、(为常数型,求证例1(2007年全国高中数学联赛江苏赛区第二试第二题已知正整数

.分析 这是一边为常数另一边与自然数有关的不等式,标准答案是用数学归纳法证明比这个不等式更强的不等式,这个不等式是怎么来的令人费解.若由所证式子联想到在用定积分求曲边梯形面积的过程中“分割求和”这一步,则可考虑用定积分的几何意义求解.证明 构造函数知,在区间 并作图象如图1所示.因函数在上是凹函数,由函数图象可上的个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积,图1

即,因为,所以.所以.例2 求证

.证明 构造函数而函数在和小于曲边梯形的面积,又,上的个矩形的面积之

上是凹函数,由图象知,在区间

2即,所以

.例

3证明。

证明

构造函数区间 上,因,又其函数是凹函数,由图3可知,在个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积,图3 即

.所以

.二、型

例4 若,求证:.证明 不等式链的左边是通项为项之和,中间的通项不等式的数列的前项之和,右边通项为项之和.故只要证当的数列的前时这三个数列的可当作是某数列的前

成立即可.构造函数,因为,作的图象,由图4知,在区间上曲边梯形的面积大小在以区间长度1为一边长,以左右端点对应的函数值为另一边长的两个矩形面积之间,即,而,故不等式

成立,从而所证不等式成立.例5(2010年高考湖北卷理科第21题)已知函数处的切线方程为(Ⅰ)用表示出(Ⅱ)若; 在内恒成立,求的取值范围;.的图象在点(Ⅲ)证明:

.本题第三问不等式的证明是本大题也是本卷的压轴戏,具有综合性强、难度大、思维含金量高、区分度大等特点.这个不等式的证明既可用第二问的结论证明也可用定积分来证明.证明

(Ⅲ)不等式项之和,我们也可把右边当作是通项为的数列的前项之和,此式适合即,左边是通项为,则当,故只要证当的数列的前时,时,也就是要证

由此构造函数积,即,并作其图象如图5所示.由图知,直角梯形的面积大于曲边梯形的面

.图5

而立.,所以,故原不等式成

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