数形结合法在不等式证明中的应用

第一篇：数形结合法在不等式证明中的应用

数形结合在不等式证明中的应用

数形结合思想简而言之就是把数学中“数”和数学中“形”结合起来解决数学问题的一种数学思想。数形结合具体地说就是将抽象数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，通过“数”与“形”之间的对应和转换来解决数学问题。在中学数学不等式的证明中，主要以“形”助“数”。

以“形”助“数” ：

由于“数”和“形”是一种对应，有些数量比较抽象，我们难以把握，而“形”具有形象，直观的优点，能表达较多具体的思维，起着解决问题的定性作用，因此我们可以把“数”的对应——“形”找出来，利用图形来解决问题。我们能够从所给问题的情境中辨认出符合问题目标的某个熟悉的“模式”，这种模式是指数与形的一种特定关系或结构。这种把数量问题转化为图形问题，并通过对图形的分析、推理最终解决数量问题的方法，就是图形分析法。数量问题图形化是数量问题转化为图形问题的条件，将数量问题转化为图形问题一般有三种途径：应用平面几何知识，应用立体几何知识，应用解析几何知识将数量问题转化为图形问题。解一个数学问题，一般来讲都是首先对问题的结构进行分析，分解成已知是什么（条件），要求得到的是什么（目标），然后再把条件与目标相互比较，找出它们之间的内在联系。因此，对于“数”转化为“形”这类问题，解决问题的基本思路： 明确题中所给的条件和所求的目标，从题中已知条件或结论出发，先观察分析其是否相似（相同）于已学过的基本公式（定理）或图形的表达式，再作出或构造出与之相适合的图形，最后利用已经作出或构造出的图形的性质、几何意义等，联系所要求解（求证）的目标去解决问题。

中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义。

不等式的证明在中学阶段甚至是大学阶段都是很重要的知识模块，其证明的方法也不计其数，但是利用数形结合的方法证明却是其中巧妙便捷的方法之一。下面就以实际例子加以阐述。

C

111111119

9，当且仅当abc1时，13abcabcabc

abc3

结构取联想更多的关于此问题的特征表达，不单独的考虑不等式问题，而是将所有已经学习的知识都联系在一起来思考，这样就会找到更多捷径.

第二篇：初中数学教学中的数形结合法

初中数学教学中的数形结合法

覃斗中学徐慧贤

数学课程标准总体目标明确提出：“让学生获得未来社会生活和进一步发展所必须的重要数学知识，以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”。数学知识本身那固然重要，但是对于学生的后续的学习，生活和工作长期起作用，并使其终身受益的是数学思想方法。初中数学常用的数学思想思想方法有：化归思想方法，分类思想方法，数形结合的思想方法，函数思想方法，方程思想方法，模型思想方法，统计思想方法，用字母代替数学的思想方法，运动变换思想方法等。

初中数学的两个分支——代数和几何，代数是研究“数”的，几何是研究”形“的。但是研究代数要借助于“形”，研究几何要借助于“数”，几何图形的形象直观，便于理解，代数方法的一般性，解题过程的机械化，可操作性强，便于把握，因此数形结合思想是数学中重要的思想方法。数学家华罗庚说的好“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离”。

数学史中的数形结合：“中国的儒家传统文化和教育统一贯重“一”或整体的价值”,这种注重“一以贯之”的整体性和直觉性的思维模式，是“数形结合”思想产生的本源。《九章算术》中所给出的各种筹算运演规则，如开方术、方程术、割圆术、阳马术、盈不足术等，从命名上就可以发现这些“程序”性法则（类似于算法）的直观性。现代数学各分支“交叉渗透，学科整合”，无不体现着数形结合长盛不衰的魅力。早在数学萌芽时期，人们在度量长度、面积和体积的过程中，就把数和形联系起来了。我国宋元时期，系统地引进了几何问题代数化的方法，用代数式描述某些几何特征，把图形之间的几何关系表达成代数式之间的代数关系。17世纪上半叶，法国数学家笛卡儿以坐标为桥梁，在点与数对之间、曲线与方程之间建立起来对应关系，用代数方法研究几何问题，从而创立了解析几何学。后来，几何学中许多长期不能解决的问题，例如立方倍积、三等分任意角、化圆为方等问题，最终也借助于代数方法得到了完满的解决。即使在近代和现代数学的研究中，几何问题的代数化也是一条重要的方法原则，有着广泛的应用。沟通数与形的内在联系，不仅使几何学获得了代数化的有力工具，也使许多代数学和数学分析的课题具有了明显的直观性，在数学解题中，运用数形结合思想，就是根据问题的具体情形，或者把图形性质问题转化成数量关系来研究，后者把数量关系问题转化成图形性质来研究，以便以数助形或以形助数，使问题简单化、抽象问题具体化。

数形结合的具体应用：

函数数形结合的应用

1、图形信息的获取，建立适当的代数模型。不少函数问题以图形的形式出现，图形中包含丰富的代数知识，仔细观察图形、图像、把握图形的特点、找出图形中的信息是解决问题的关键所在。

例1：某校部分住校生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水 2升，他们先同时打开两个放水笼头，后来因故障关闭一个放水笼头。假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y（升）与接水时间x（分）的函数图像如图。

请结合图像，回答下列问题：

（1）根据图中信息，请你写出一个结论；

（2）问前15位同学接水结束共需要几分钟？

（3）小敏说：“今天我们寝室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3分钟。”你说可能吗？请说明理由。

分析：此类题型为图像信息问题，所有的信息由图像反映，图形是折线，分为两段，代数模型为：两个不同的一次函数。根据图形可得到点的坐标（0，96），（2，80），（4，72）。代表的意义为：到2分钟，锅炉内原有水96升，接水2分钟后，锅炉内的余水量为80升，接水4分钟，锅炉内的余水量为72升；2分钟前的水流量为每分钟8升等。利用待定系数法的代数方法求出函数解析式，利用代数的精确性说理解题。

解：（1）略

（2）当0≤x≤2时，y=-8x+96（0≤x≤2），当x＞2时，y=-4x+88（x>2）

∵前15位同学接完水时余水量为96-15×2=66（升），∴66=-4x+88，x=5.5

答：前15位同学接完水需5.5分钟。

（3）若小敏他们是一开始接水的，则接水时间为8×2÷8=2（分），即8位同学接完水，只需要2分钟，与接水时间恰好3分钟不符。

若小敏他们是在若干位同学接完水后开始接水的，设8位同学从t分钟开始接水，当0＜t≤2则8（2-t）+4[3-（2-t）]=8×2，16-8t+4+4t=16，∴t=1（分），∴（2-t）+[3-（2-t）]=3（分），符合。

当t＞2时，则8×2÷4=4（分）

即8位同学接完水，需7分钟，与接水时间恰好3分钟不符。

所以小敏说法是可能的，即从1分钟开始8位同学连续接完水恰好用了3分钟。

作为一名中学数学教师，我们要有渗透数学思想方法的意识和自觉性，用心挖掘，在教学中，深入浅出的、潜移默化的、可行的让学生领悟数学思想方法。由此可见加强“数形结合”思想教育，培养学生运用“数形结合”的意识就显得尤为重要。总之，数学知识与数学思想方法是相辅相成的。教师在数学教学过程中，必然涉及很多的概念，数学概念是数学思维的细胞，它是在感觉、知觉、思维形成表象的基础上，经过分析、综合、比较、抽象、概括等思维的逻辑加工而逐步形成的理性认识结果，它蕴涵着丰富的思想内涵。如果能充分揭示“数”与“形”的关系，实现“数”与“形”的转化，一定能使枯燥的数学增加几分趣味性，也能帮助学生拓展知识，强化思维。

第三篇：《数形结合法在函数零点问题中的应用》教学设计

《数形结合法在函数零点问题中的应用》教学设计

李志刚 山东省安丘市第一中学

【教学目标】 函数的零点一直是近年来全国各地高考卷上的热点，因其综合性强，让很多同学感到困难.本文通过对高考试卷中有关零点问题的研究，来说明如何将数形结合思想运用于函数零点 的问题中，使零点问题变得直观形象，从而有效地将问题解决.【教学思想、方法】 数形结合 分类讨论 转化与化归 函数与方程【教学过程】

函数的零点是新课标中增加的内容，一直是近年来全国各地高考考查的热点.含有零点问题的试题常在函数、方程、图象等方面进行知识交汇，可以很好地考查高中的四大数学思想.所以零点问题常常以选择题、填空题、解答题等形式出现，是同学们最常见的失分点之一，这让很多同学感到学习上有障碍.另一方面，数形结合主要是指数与形建立的一一对应关系，将抽象的数学语言与直观的图形 结合起来，通过对图形的处理，化难为易，化抽象为直观.由于零点问题蕴含着丰富的数形结合思想，所以在高考试卷中一直备受青睐.通过对高考试卷上有关函数零点问题的研究，总结出如何将数形结合思想在零点问题中进 行恰当地应用.题目中常有已知函数的零点个数，求参数的范围问题.零点的个数可以转化为方程的根的个数，再利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数，这种方法可以使问题直观地得以解决.多媒体展示： 1.针对题型：

(1)确定零点的大致范围，多出现在选择题中；(2)确定零点的个数问题，多出现在选择题中；

(3)利用已知零点的个数求参数的范围，多出现在选择题、填空题、解答题中均有可能出现。

2.解决方案：

(1)直接画出函数图像，观察图像得出结论。

(2)不能直接画出函数图像的，可以等价地转化为两个函数图像的交点，通过判断交点的个数得出函数零点的个数或要求的参数范围。

例题讲解：

kx2,x0已知函数f(x)kR，若函数y＝|f(x)|+k有三个零点，则

lnx,x0实数k的取值范围是（）A.k2B.1k0C.2k1D.k2

[解析] ：对于零点问题，先让函数等于零。然后移向构造两个函数，在同一坐标系中作出函数y＝|f(x)|的图像和y＝－k 的图像，问题转化为两个函数图像有三个不同的交点．

解：令|f(x)|+k =0，则|f(x)|=-k，在同一坐标系中作出函数y＝|f(x)|的图像和y＝－k的图像，问题转化为两个函数图像有三个不同的交点．由于|f(x)|≥0，故必须－k≥0，即k≤0.显然，k＝0 时两个函数图像只有一个公共点，所以 k< 0，此时两个函数图像有三个公共点，如图所示，只要－k≥2，即k≤－2．

【注】结合FLASH课件展示动态图像，体现数形结合的重要性。

归纳小结：

1.解决此类问题的关键是数形结合； 2.还应把握两类知识：(1)灵活构造函数；

(2)图像的各类变换：平移、伸缩、对称、周期性变换等。

【教学反思】 在某个区间内若存在零点，可以考虑零点定理.但作为压轴题的最后一问，直接运用零点定理肯定会有难度，通过观察，发现出题者给出的第一问对第二问有提示作用，这样就可以创造条件来运用零点定理.这种现象在高考试卷最后的一两道解答题中经常会出现，另外，函数问题通常都要使用数形结合的思想，这样才可以使很多问题迎刃而解，且解法简捷.以高考题为例，对利用数形结合思想在函数零点问题中的应用做了初步研 究.数形结合思想是高中数学四大常用思想方法之一，可以使某些抽象的数学问题直观化、形象化，变抽象思维为形象思维，有利于把握数学问题的本质.零点问题是高中数学的热点、难点，运 用数形结合的思想，可以使零点问题不再让学生 感到困难.我国著名数学家华罗庚曾说过:“数缺 形时少直观，形少数时难人微;数形结合百般好，隔离分家万事休”，可见数和形是数学中两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透.作为中学数学教师，在函数零点问题教学时渗透数形结合的思想，并在平时的训练中不断领悟和总结，可以促使学生在解决零点问题的能力上得到改善和提高！

第四篇：导数在不等式证明中的应用

导数在不等式证明中的应用

引言

不等式的证明是数学学习中的难点，而导数在不等式的证明中起着关键的作用。不等式的证明是可以作为一个系列问题来看待,不等式的证明是数学学习的重要内容之一,也是难点之一。其常用的证明方法有: 比较法、综合法、分析法、重要不等法、数学归纳法等等,然而有一些问题用上面的方法来解决是很困难的,我们在学完导数及其应用这一内容以后,可以利用导数的定义、函数的单调性、最值性(极值性)等相关知识解决一些不等式证明的问题。导数也是微积分的初步基础知识，是研究函数、解决实际问题的有力工，它包括微分中值定理和导数应用。不等式的证明在数学课题中也是一个很重要的问题，此类问题能够培养我们理解问题、分析问题的能力。本文针这篇论文是在指导老师的悉心指导和严格要求下完成的。这篇论文是在指导老师的悉心指导和严格要求下完成的。对导数的定义、微分中值定理、函数的单调性、泰勒公式、函数的极值、函数的凹凸性在不等式证明中的应用进行了举例。

一、利用导数的定义证明不等式

定义 设函数ffx在点x0的某领域内有定义,若极限

fxfx0 存在 limxx0xx0则称函数f在点x0处可导，并称该极限为函数f在点x0处的导数，记作f'x0 令 xx0x，yfx0xfx0，则上式可改写为

fx0xfx0ylimf'x0

x0xx0xlim所以，导数是函数增量y与自变量增量x之比

y的极限。这个增量比称为函x数关于自变量的平均变化率(又称差商)，而导数f'x0则为f在x0处关于x的变化率。

以下是导数的定义的两种等价形式：

1（1）f'x0limxx0fxfx0

xx0fxxfx0

x（2）f'x0limx0例1: 设fxr1sinxr2sin2xrnsinnx，并且fxsinx，证明：r12r2nrn1

证明 fxr1sinxr2sin2xrnsinnx，可得出f00，因为 f'xr1cosx2r2cos2xnrncosnx, 则 f'0r12r2nrn 又由导数的定义可知

limx0fxf0fxfx limlimx0x0x0xxsinx1 xf'0limx0所以 f'01，即可得 r12r2nrn1.1221ylny，求证: y1,y2y2lny.232211分析 令hyy2y2lny，y(1,)，因为h10, 326例

2、已知函数fy要证当x1时，hx0,即hxh10,只需证明hy在(1,)上是增函数。证明 令hy22121yylny，则h'y2y2y，32y'2y3y21(y1)(2y2y1)因为 当y1时, hy0 ，yy所以hy在(1,)上是增函数，就有hyh11210,y3y2lny0，632 2 21即可得y1,y2y2lny.32注:证明方法为先找出x0，使得yf'x0恰为结论中不等式的一边；再利用导数的定义并结合已知条件去证明。

二、利用微分中值定理证明不等式

证题思路 将要证的不等式改写成含变量之商不等式，则可尝试利用中值公式

fbfaf'

bafbfafbfa或的bagbgafbfaf'或者 'gbgag并做适当的放缩到待证不等式中 1.使用拉格朗日中值定理证明不等式 定理 若函数满足如下条件:(i)f在闭区间[a,b]上连续；(ii)在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点，使得

f'fbfa

ba例

3、证明对一切h1,h0成立不等式

hln1hh 1h证明 设fxln1x，则ln1hln1hln1当h0时，由01可推知

11h1h，h，01 1hhhh 1h1hhhh 1h1h当1h0时，由01可推得

11h1h0,从而得到所要证明的结论.注:利用拉格朗日中值定理的方法来证明不等式的关键是将所要证明的结论与已知条件归结为一个函数在某区间上的函数增量，然后利用中值定理转化为其导数的单调性等问题.2．使用柯西中值定理证明不等式 定理 设函数f和g满足(i)在[a,b]上都连续；(ii)在(a,b)内都可导；

(iii)f'x和g'x不同时为零；(iv)gagb，f'fbfa则存在(a,b)，使得' ggbga例

4、证明不等式

ln1yarctany(y0)1y分析 该不等式可化为

1yln1y1(y0)

arctany可设 fy1yln1y，gyarctany，fyf0注意到f0g00，故可考虑对使用柯西中值定理

gyg0证明 如上分析构造辅助函数fy和gy，则对任意y0，由柯西中值定理，存在(0,y)，使得

1yln1yfyf0f'1ln(1)

1arctanygyg0g'12[1ln(1)](12)1.4

三、利用函数的单调性证明不等式

证明思路 首先根据题设条件及所证不等式，构造适当的辅助函数fx，并确定区间[a,b]；然后利用导数确定fx在[a,b]上的单调性；最后根据fx的单调性导出所证的不等式.1.直接构造函数，再运用函数的单调性来证明不等式

例5 证tany2siny3y，其中y[0,)

2分析 欲证f(y)f(a)(ayb)，只要证f(y)在[a,b]上单调递增，即证f'(y)0即可．

若f'(y)的符号不好直接判定，可借助于f''(y)，以至于f3(y)进一步判定.证明 令fytany2siny3y，则 f'ysec2y2cosy3，f''y2sinysec3y1

于是y[0,)时，f''y0，有f'y单调增加

2所以f'yf'00,有fy单调增加，可推得fyf00，即tany2siny3y.2.先将不等式变形，然后再构造函数并来证明不等式 例

6、已知b,cR,be，求证：bccb为(e自然对数的底)证明 设fxxlnbblnx(xbc)

b则 f'xlnb，就有 be，xb

xb因为 lnb1,1, x所以 f'x0，则f'x在(e,)上递增；

又因cb，所以fcfb，就有clnbblncblncblnc0 从而有clnbblnc，即bccb.注: 对于一些不易入手的不等式证明, 可以利用导数思想,先通过特征不等式构 造一个函数, 再判定其函数单调性来证明不等式成立,这就是利用函数的单调性证明不等式的思想。

构造辅助函数有以下几种方法: 1.用不等式的两边“求差”构造辅助函数；  2.用不等式两边适当“求商”构造辅助函数； 3.根据不等式两边结构构造“形似”辅助函数； 

4.如果不等式中涉及到幂指函数形式,则可通过取对数将其化为易证明的形式再根据具体情况由以上所列方法构造辅助函数.四、利用泰勒公式证明不等式

证题思路 若fx在(a,b)内具有(n+1)阶导数，x0(a,b)，则

fxfx0f'x0xx0

f''x02xx0 2!fnx0fn1nn1xx0xx0 n!n1!其中介于x0与x之间．

例

7、设fy在[0,1]上二阶可导，f010,且maxfy1，求证：存在y[0,1](0,1)，使得f''y8.证明 因fy在[0,1]上二阶可导，故在[0,1]上连续, 据最值定理，必c(0,1)使得fc为最大值，即fc=1，且有f'c0.而fy在y=1的一阶泰勒展式为

f''2 fyfcfcycxc，其中介于c与y间

2'分别在上式中令y0与y1得

f011''f1c20,1(0,c)，2 6

1''2f21c0,2(c,1).212故当c(0,]时，f''128，2cf1112当c(,1)时, f''28，221c所以存在(1或2)(0,1),使得f''y8.注: 用泰勒展式证明不等式的方法是将函数fx 在所给区间端点或一些特点(如区间的中点，零点)进行展开，通过分析余项在点的性质，而得出不等式。值得说明的是泰勒公式有时要结合其它知识一起使用,如当使用的不等式中含有积分号时,一般要利用定积分的性质结合使用泰勒公式进行证明;当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合式时,需要作一个辅助函数并用泰勒公式代替。使用泰勒公式巧妙灵活的证明不等式往往使证明方便简捷。

五、利用函数的最值(极值)证明不等式

由连续函数在[a,b]上的性质,若函数f在闭区间[a,b]上连续,则f在[a,b]上一定有最大、最小值，这就为我们求连续函数的最大,最小值提供了理论保证。

若函数f的最大(小)值点x0在区间(a,b)内,则x0必定是f的极大(小)点。又若f在x0可导,则x0还是一个稳定点。所以我们只要比较f在所有稳定点、不可导点和区间端点上的函数值,就能从中找到f在[a,b]上的最大值与最小值。证明方法：先构造辅助函数，再求出fx在所设区间上的极值与最大、最小值，进而证明所求不等式。

例

8、已知: 0x1，证明当r1时，有

r1rrx1x1 r12证明 令fxxr1x，0x1，则f0f11

1，2111111则f()r(1)rrrr1

222222令fx0，求得x因为 f'xrxr1r1xr1，7 令 f'x0,求得驻点为x又因为当r1时，11, r121，2所以fx在[0,1]上的最小值为从而

1，最大值为1, 2r11rrx1x1，0x1，r>1.2r1例

9、证明：当y1时, ey证明 作辅助函数 1yfy1xey，则f'yyey,y0是fy在(,1)内的唯一驻点，且当y0时，f'(y)0 ；当0y1时，f'y0.故y0是fy的极大值点，f01是fy的极大值.因为当y由小变大时，fy由单调增变为单调减, 故f01同时也是fy的最大值, 所以，当y1时，fy1 , 即ey1.1y注:在对不等式的证明过程中，可以以不等式的特点为根据，以此来构造函数，从而运用导数来得出函数的最值，而此项作用也是导数的另一个功能，即可以被用作求函数的最值。例如，当此函数为最大或最小值的时候，不等式的成立都有效的，因此可以推出不等式是永远成立的，从而可以将证明不等式的问题转化到求函数最值的问题上来。

六、利用函数的凹凸性质证明不等式

证明思路 若f''x0(axb)，则函数yfx的图形为凹的，即对任意x1，x2(a,b)，有f(fx1fx2x1x2)，当且仅当x1x2时成立． 22 8 例

10、设r0，h0，证明rlnrhlnh(rh)ln成立．

分析 将欲证的不等式两边同除以2，变形为

rlnrhlnh(rh)rhln 222rh，且等号仅在rh 时2由上式看出，左边是函数fkklnk在r，h两点处的值的平均值，而右边是它在中点rh处的函数值．这时只需证f''k0即可． 2证明 构造辅助函数

fkklnk(k0)，那么就有：

f'k1lnk,f''k故由不等式:

10 成立.kfrfhrhf()

22rlnrhlnh(rh)rhln 222rh也即 rlnrhlnh(rh)ln

2可得

且等号仅在rh 时成立.例

11、已知: 0,0, 332，求证：2.证明 设fyy3,y(0,)，则 f'y3y2,f''y6y0 就有fyy3,y(0,)是凸函数

1，y1,y2，211)则f1y12y2f()f(222设12就有如下式子成立: f1y12y2f(2)1fy12fy211ff 22 9 而又因为有

83(2)3f(2)，ff33111 ff2222所以

83f(2)11ff1 成立 22故2.小结:通过对导数证明不等式的研究，我可以看出不等式的证明方法很多，但各种方法都不尽相同。我们要充分理解各种方法的应用原理，挖掘导数的各种性质。多做此类难题，不但有利于我们在学习和考试中轻松解决同类问题，更有利于培养我们的数学思维和推理论证能力。因而导数在不等式证明当中的应用很有研究价值。

第五篇：导数在不等式证明中的应用

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导数在不等式证明中的应用

作者：唐力 张欢

来源：《考试周刊》2013年第09期

摘要： 中学不等式证明，只能用原始的方法，很多证明需要较高技巧，且证明过程太难，应用高等数学中的导数方法来证明不等式，往往能使问题变得简单.关键词： 导数 拉格朗日中值定理 不等式证明

1.拉格朗日中值定理

定理1：如果函数y=f（x）满足：1）在闭区间[a，b]上连续，2）在开区间（a，b）内可导，则在（a，b）内至少有在一点ξ（a

F（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）

由定理1，我们不难得到如下定理2.