高等数学教案Word版(同济)第二章8

第一篇：高等数学教案Word版(同济)第二章8

习题课

I 教学目的与要求：

1.掌握好导数的定义，会用导数的定义解决函数的可导性;2.熟练掌握复合函数的求导，熟练掌握隐函数的求导方法;3.熟练掌握参数方程的求导方法.II 典型方法与例题: 1.用导数的定义求极限

例1 设 f(x)在xa的某个邻域内有定义，则f(x)在xa处可导的一个充分条件是（）

1hhf(a2h)f(ah)（B）lim

h0hf(ah)f(ah)（C）lim

h02hf(a)f(ah)（D）lim

h0h（A）limh[f(a)f(a)]

分析

（D）

2.用导数定义解函数在某点处的导数

例2 设f(x)(abx)(abx)，其中的(x)在xa处可导，求f(0)解 知f(0)(a)(a)0

因为只说明的(x)在xa处可导，没说明的(x)在x0处是否可导，解f(0)时必须用导数的定义

f(x)f(0)(abx)(abx)limx0x0x0x0[(abx)(a)][(abx)(a)]limx0x(abx)(a)

lim

bx0bx(abx)(a)limbx0bxb(a)b(a)2b(a)f(0)lim3.用导数定义解函数方程 设f(x)在(0,)的上有定义，且f(1)a(0)，又x,y(0,)，有f(xy)f(x)f(y)，解f(x)

解

在f(xy)f(x)f(y)让y1，得

f(x)f(x)f(1)

f(1)0

f(xxy)f(x)f(x)f(1y)f(x)limy0y0xyxy

f(1y)f(1y)f(1)11limlimf(1)y0y0xyyxxf(x)lim即

f(x)a(f(1)a)xf(x)alnxC

让x1，得

f(1)aln1C

因此 f(x)alnx

复合函数的导数

复合函数求导的关键是分析复合函数的复合关系，从处层到里层一层一层地求导，既不重复，又不遗漏

1xsin,x0,例4 讨论函数f(x) x0,x0在x0处的连续性与可导性

解 知 limxsinx010f(0)x函数xsin又有 1在x0的处连续的 xf(0)limx0f(x)f(0)x0 1xsin01xlimlimsinx0x0xx而 limsinx01不存在 x函数f(x)在x0处不可导 函数f(x)在x0处连续，不可导

3xacos,例5 求函数 3yasin;dyd2y的一阶导数及二阶导数2

dxdx解 函数的一阶导数dytan dxd2y1sec4csc 函数的二阶导数23adxIII 课外作业：

P124

9（1）11 12 15

第二篇：同济版高等数学教案第五章 定积分

高等数学教案

第五章 定积分

第五章

定积分

教学目的：

1、理解定积分的概念。

2、掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

3、理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。

4、了解广义积分的概念并会计算广义积分。

教学重点：

1、定积分的性质及定积分中值定理

2、定积分的换元积分法与分部积分法。

3、牛顿—莱布尼茨公式。

教学难点：

1、定积分的概念

2、积分中值定理

3、定积分的换元积分法分部积分法。

4、变上限函数的导数。§5 1 定积分概念与性质

一、定积分问题举例

1 曲边梯形的面积

曲边梯形 设函数yf(x)在区间[a b]上非负、连续 由直线xa、xb、y0及曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形 其中曲线弧称为曲边

求曲边梯形的面积的近似值

将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值 具体方法是 在区间[a b]中任意插入若干个分点

ax0 x1 x2    xn1 xn b

把[a b]分成n个小区间

[x0 x1] [x1 x2] [x2 x3]     [xn1 xn ]

它们的长度依次为x1 x1x0  x2 x2x1      xn  xn xn1 

经过每一个分点作平行于y 轴的直线段 把曲边梯形分成n个窄曲边梯形 在每个小区间 [xi1 xi ]上任取一点i  以[xi1 xi ]为底、f(i)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(i1 2     n) 把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值 即

Af(1)x1 f(2)x2   f(n)xnf(i)xi

i1n

求曲边梯形的面积的精确值

显然 分点越多、每个小曲边梯形越窄 所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

形面积A的精确值 因此 要求曲边梯形面积A的精确值 只需无限地增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 记

max{x1 x2   xn } 于是 上述增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 相当于令0 所以曲边梯形的面积为

Alimf(i)xi

0i1n

2 变速直线运动的路程

设物体作直线运动 已知速度vv(t)是时间间隔[T 1 T 2]上t的连续函数 且v(t)0 计算在这段时间内物体所经过的路程S 

求近似路程

我们把时间间隔[T 1 T 2]分成n 个小的时间间隔ti  在每个小的时间间隔ti内 物体运动看成是均速的 其速度近似为物体在时间间隔ti内某点i的速度v(i) 物体在时间间隔ti内 运动的距离近似为Si v(i)ti  把物体在每一小的时间间隔ti内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T 1  T 2]内所经过的路程S 的近似值 具体做法是

在时间间隔[T 1  T 2]内任意插入若干个分点

T 1t 0 t 1 t 2   t n1 t nT 2

把[T 1  T 2]分成n个小段

[t 0 t 1] [t 1 t 2]    [t n1 t n] 

各小段时间的长依次为

t 1t 1t 0 t 2t 2t 1   t n t n t n1

相应地 在各段时间内物体经过的路程依次为

S 1 S 2    S n

在时间间隔[t i1 t i]上任取一个时刻 i(t i1 i t i) 以 i时刻的速度v( i)来代替[t i1 t i]上各个时刻的速度 得到部分路程S i的近似值 即

S i v( i)t i

(i1 2     n)

于是这n段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值 即

Sv(i)ti

i1n

求精确值

记  max{t 1 t 2   t n} 当0时 取上述和式的极限 即得变速直线运动的路程

Slimv(i)ti

0i1n

设函数yf(x)在区间[a b]上非负、连续 求直线xa、xb、y0 及曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积

(1)用分点ax0x1x2   xn1xn b把区间[a b]分成n个小区间

[x0 x1] [x1 x2] [x2 x3]     [xn1 xn ] 记xixixi1(i1 2     n)

(2)任取i[xi1 xi] 以[xi1 xi]为底的小曲边梯形的面积可近似为

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第五章 定积分

f(i)xi(i1 2     n) 所求曲边梯形面积A的近似值为

Af()x iii1nn

(3)记max{x1 x2   xn } 所以曲边梯形面积的精确值为

Alim0f()x iii1

设物体作直线运动 已知速度vv(t)是时间间隔[T 1 T 2]上t的连续函数

且v(t)0 计算在这段时间内物体所经过的路程S 

(1)用分点T1t0t1t2  t n1tnT2把时间间隔[T 1  T 2]分成n个小时间 段 [t0 t1] [t1 t2]    [tn1 tn]  记ti titi1(i1 2     n)

(2)任取i[ti1 ti] 在时间段[ti1 ti]内物体所经过的路程可近似为v(i)ti

(i1 2     n) 所求路程S 的近似值为

Sv()tii1nni

(3)记max{t1 t2   tn} 所求路程的精确值为

Slim0v()t iii

1二、定积分定义

抛开上述问题的具体意义 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括 就抽象出下述定积分的定义

定义

设函数f(x)在[a b]上有界 在[a b]中任意插入若干个分点

a x0 x1 x2    xn1 xnb

把区间[a b]分成n个小区间

[x0 x1] [x1 x2]    [xn1 xn] 

各小段区间的长依次为

x1x1x0 x2x2x1   xn xn xn1

在每个小区间[xi1 xi]上任取一个点 i(xi1  i  xi) 作函数值f( i)与小区间长度xi的乘积

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第五章 定积分

f( i)xi(i1 2   n) 并作出和

Sf(i)xi

i1n记  max{x1 x2   xn} 如果不论对[a b]怎样分法 也不论在小区间[xi1 xi]上点 i 怎样取法 只要当0时 和S 总趋于确定的极限I 这时我们称这个极限I为函数f(x)在区间[a b]上的定积分 记作af(x)dx

即

limf(i)xi af(x)dx0i1bnb其中f(x)叫做被积函数 f(x)dx叫做被积表达式 x叫做积分变量 a 叫做积分下限 b 叫做积分上限 [a b]叫做积分区间

定义

设函数f(x)在[a b]上有界 用分点ax0x1x2   xn1xnb把[a b]分成n个小区间 [x0 x1] [x1 x2]    [xn1 xn]  记xixixi1(i1 2   n)

任 i[xi1 xi](i1 2   n) 作和

Sf()xii1ni

记max{x1 x2   xn} 如果当0时 上述和式的极限存在 且极限值与区间[a b]的分法和 i的取法无关 则称这个极限为函数f(x)在区间[a b]上的定积分 记作即

根据定积分的定义 曲边梯形的面积为Aaf(x)dx

变速直线运动的路程为ST2v(t)dt

1baf(x)dx

baf(x)dxlimf(i)xi

0i1nbT

说明

(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关 而与积分变量的记法无关 即

af(x)dxaf(t)dtaf(u)du

(2)和f(i)xi通常称为f(x)的积分和

i1nbbb

(3)如果函数f(x)在[a b]上的定积分存在 我们就说f(x)在区间[a b]上可积

函数f(x)在[a b]上满足什么条件时 f(x)在[a b]上可积呢？

定理

1设f(x)在区间[a b]上连续 则f(x)在[a b]上可积

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第五章 定积分

定理2 设f(x)在区间[a b]上有界 且只有有限个间断点 则f(x)在[a b]上可积

定积分的几何意义

在区间[a b]上 当f(x)0时 积分af(x)dx在几何上表示由曲线yf(x)、两条直线xa、xb 与x轴所围成的曲边梯形的面积 当f(x)0时 由曲线y f(x)、两条直线xa、xb 与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方 定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值

babf(x)dxlimf(i)xilim[f(i)]xia[f(x)]dx

0i10i1nnb

当f(x)既取得正值又取得负值时 函数f(x)的图形某些部分在x轴的上方 而其它部分在x轴的下方 如果我们对面积赋以正负号 在x轴上方的图形面积赋以正号 在x轴下方的图形面积赋以负号 则在一般情形下 定积分af(x)dx的几何意义为 它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线xa、xb之间的各部分面积的代数和

b用定积分的定义计算定积分

例1.利用定义计算定积分0x2dx

解

把区间[0 1]分成n等份分点为和小区间长度为

xii(i1 2   n1) xi1(i1 2   n)

nn

取ii(i1 2   n)作积分和 n

1f(i)xii1i1nni2xi(i)21

ni1nnn1i2131n(n1)(2n1)1(11)(21)

3ni1n66nn

因为1 当0时 n 所以n

n12xdxlim00i11(11)(21)1f(i)xinlim6nn

3利定积分的几何意义求积分:

例2用定积分的几何意义求0(1x)dx 解: 函数y1x在区间[0 1]上的定积分是以y1x为曲边以区间[0 1]为底的曲边梯形的面积 因为以y1x为曲边以区间[0 1]为底的曲边梯形是一直角三角形 其底边长及高均为1 所以 1天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

0(1x)dx211211

1三、定积分的性质

两点规定

(1)当ab时

(2)当ab时 af(x)dx0

af(x)dxbf(x)dx

bbbab

性质

1函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)即

a[f(x)g(x)]dxaf(x)dxag(x)dx

bb 证明:a[f(x)g(x)]dxlim[f(i)g(i)]xi

0i1nnn

limf(i)xilimg(i)xi

0i1b0i1

af(x)dxag(x)dx

性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即

bakf(x)dxkaf(x)dxbnnbbb

这是因为akf(x)dxlimkf(i)xiklimf(i)xikaf(x)dx

0i10i1性质如果将积分区间分成两部分则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和即

af(x)dxaf(x)dxcbcbf(x)dx

这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性

值得注意的是不论a b c的相对位置如何总有等式

af(x)dxaf(x)dxcf(x)dx af(x)dxaf(x)dxbf(x)dx

天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 cbcbcb成立 例如 当a

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第五章 定积分

于是有

af(x)dxaf(x)dxbf(x)dxaf(x)dxca1dxadxba

af(x)dx0(ab)

af(x)dxag(x)dx(ab)

ag(x)dxaf(x)dxa[g(x)f(x)]dx0

af(x)dxag(x)dx

bbbbbbbbbbbbbcccbf(x)dx

性质

4如果在区间[a b]上f(x)1 则

性质

5如果在区间[ab]上 f(x)0 则

推论

1如果在区间[ab]上 f(x) g(x)则

这是因为g(x)f(x)0 从而

所以

推论2 |af(x)dx|a|f(x)|dx(ab)

这是因为|f(x)|  f(x) |f(x)|所以

a|f(x)|dxaf(x)dxa|f(x)|dx

即 |af(x)dx|a|f(x)|dx|

性质6 设M 及m 分别是函数f(x)在区间[ab]上的最大值及最小值 则

m(ba)af(x)dxM(ba)(ab)

证明

因为 m f(x) M  所以

从而

m(ba)af(x)dxM(ba)

性质7(定积分中值定理)

如果函数f(x)在闭区间[ab]上连续 则在积分区间[ab]上至少存在一个点 使下式成立 bbbbbbb

amdxaf(x)dxaMdxbbb天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

af(x)dxf()(ba) b这个公式叫做积分中值公式

证明

由性质6

m(ba)af(x)dxM(ba) 各项除以ba

得

b

m1af(x)dxM

bab再由连续函数的介值定理 在[ab]上至少存在一点  使

b

f()1af(x)dx

ba于是两端乘以ba得中值公式

af(x)dxf()(ba) b

积分中值公式的几何解释

应注意 不论ab 积分中值公式都成立

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第五章 定积分

§5 2 微积分基本公式

一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系

设物体从某定点开始作直线运动 在t时刻所经过的路程为S(t) 速度为vv(t)S(t)(v(t)0) 则在时间间隔[T1 T2]内物体所经过的路程S可表示为

S(T2)S(T1)及T2v(t)dt

1T即 T2v(t)dtS(T2)S(T1)

1T

上式表明 速度函数v(t)在区间[T1 T2]上的定积分等于v(t)的原函数S(t)在区间[T1 T2]上的增量

这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？

二、积分上限函数及其导数

设函数f(x)在区间[a b]上连续 并且设x为[a b]上的一点我们把函数f(x)在部分区间[a x]上的定积分

af(x)dx

xx称为积分上限的函数 它是区间[a b]上的函数 记为 (x)af(x)dx 或(x)af(t)dt

定理1 如果函数f(x)在区间[a b]上连续 则函数

(x)af(x)dx

在[a b]上具有导数 并且它的导数为

x

(x)daf(t)dtf(x)(ax

dxxx

简要证明

若x(a b) 取x使xx(a b)

(xx)(x)a

af(t)dtxxxxxxf(t)dtaf(t)dt

xf(t)dtaf(t)dt x天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

xxxf(t)dtf()x

应用积分中值定理 有f()x

其中在x 与xx之间 x0时 x  于是

(x)limlimf()limf()f(x)

x0xx0x

若xa  取x>0 则同理可证(x) f(a) 若xb  取x<0 则同理可证(x) f(b)

定理

2如果函数f(x)在区间[a b]上连续 则函数

(x)af(x)dx

就是f(x)在[a b]上的一个原函数

定理的重要意义 一方面肯定了连续函数的原函数是存在的 另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系

三、牛顿莱布尼茨公式

定理

3如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a b]上的一个原函数 则

xaf(x)dxF(b)F(a)

xb此公式称为牛顿莱布尼茨公式 也称为微积分基本公式

这是因为F(x)和(x)af(t)dt都是f(x)的原函数 所以存在常数C 使

F(x)(x)C(C为某一常数)

由F(a)(a)C及(a)0 得CF(a) F(x)(x)F(a) 由F(b)(b)F(a) 得(b)F(b)F(a) 即

af(x)dxF(b)F(a)

xb

证明 已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数 又根据定理2 积分上限函数

(x)af(t)dt

也是f(x)的一个原函数 于是有一常数C 使

F(x)(x)C(axb)

当xa时 有F(a)(a)C 而(a)0 所以CF(a) 当xb 时 F(b)(b)F(a)

所以(b)F(b)F(a) 即

af(x)dxF(b)F(a) b 为了方便起见 可把F(b)F(a)记成[F(x)]ba 于是天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

aF(b)F(a)

af(x)dx[F(x)]bb

进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系

例1.计算0x2dx

解 由于1x3是x2的一个原函数 所以 11213131xdx[1x3]1010 03333

3例2 计算1dx2

1x

解 由于arctan x是12的一个原函数 所以

1x

13 ( )7

dx[arctanx]3arctan3arctan(1)134121x2

1例3.计算21dx

x

解 12ln 1ln 2ln 22xdx[ln|x|]11

例4.计算正弦曲线ysin x在[0 ]上与x轴所围成的平面图形的面积

解 这图形是曲边梯形的一个特例 它的面积

A0sinxdx[cosx]0(1)(1)2

例5.汽车以每小时36km速度行驶 到某处需要减速停车设汽车以等加速度a5m/s2刹车 问从开始刹车到停车 汽车走了多少距离？

解

从开始刹车到停车所需的时间

当t0时 汽车速度

v036km/h361000m/s10m/s

3600刹车后t时刻汽车的速度为

v(t)v0at 105t 

当汽车停止时 速度v(t)0 从

v(t)105t 0 得 t2(s)

于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为

210(m)

s0v(t)dt0(105t)dt[10t51t2]0222天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

即在刹车后 汽车需走过10m才能停住

例6.设f(x)在[0, )内连续且f(x)>0 证明函数F(x)在(0 )内为单调增加函数

xx 证明 d0 tf(t)dtxf(x) d0f(t)dtf(x) 故

dxdx0tf(t)dt

x0f(t)dtxF(x)xf(x)0f(t)dtf(x)0tf(t)dt(0f(t)dt)xx2xxf(x)0(xt)f(t)dt(0f(t)dt)x2x

按假设 当0tx时f(t)>0(xt)f(t) 0  所以

0f(t)dt0 x0(xt)f(t)dt0

cosxetdtx212从而F (x)>0(x>0) 这就证明了F(x)在(0 )内为单调增加函数

例7.求limx0

解 这是一个零比零型未定式 由罗必达法则

limx0cosxetdtx2x212limx01cosxt2edtx2cosxlimsinxe1

x02x2e2提示 设(x)1etdt 则(cosx)1cosxt2edt

dcosxet2dtd(cosx)d(u)dueu2(sinx)sinxecos2x

dx1dxdudx

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第五章 定积分

§5 3 定积分的换元法和分部积分法

一、换元积分法

定理

假设函数f(x)在区间[a b]上连续 函数x(t)满足条件

(1)()a  ()b

(2)(t)在[ ](或[ ])上具有连续导数 且其值域不越出[a b] 则有

af(x)dxf[(t)](t)dt

这个公式叫做定积分的换元公式

证明

由假设知 f(x)在区间[a b]上是连续 因而是可积的 f [(t)](t)在区间[ ](或[ ])上也是连续的 因而是可积的

假设F(x)是f(x)的一个原函数 则

baf(x)dxF(b)F(a)

另一方面 因为{F[(t)]}F [(t)](t) f [(t)](t) 所以F[(t)]是f [(t)](t)的一个原函数 从而

bf[(t)](t)dtF[()]F[()]F(b)F(a)

因此 af(x)dxf[(t)](t)dt

例1 计算0a2x2dx(a>0)

解 ab0aa2x2dx 令xasint 02acostacostdt 

2a2222(a0costdt1cos2t)dt

20天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

221a2

a[t1sin2t]0224提示 a2x2a2a2sin2tacost dxa cos t  当x0时t0 当xa时t 例2 计算02cos5xsinxdx

解 令tcos x 则

20cosxsinxdx02cos5xdcosx

011 1t5dt0t5dt[1t6]01

令cosxt提示 当x0时t1 当x时t0

2或

20cosxsinxdx02cos5xdcosx 521cos61cos601

[1cos6x]066266

例3 计算0sin3xsin5xdx

解 0sin3xsin5xdx0sin2x|cosx|dx

3 2sin2xcosxdxsin2xcosxdx

023

32sin20xdsinx32sin2xdsinx

55222 [sinx]0[sin2x]2(2)4

555525提示 sinxsinxsinx(1sin35323x)sin2x|cosx|

在[0, ]上|cos x|cos x 在[, ]上|cos x|cos x

4例4 计算x2dx

02x

1解 04x2dx 令2x1t21232x1t32 1tdt11(t23)dt

t2312711122

[t33t]1[(9)(3)]232333天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

2t提示 x1 dxtdt 当x0时t1 当x4时t3

2例5 证明 若f(x)在[a a]上连续且为偶函数 则

af(x)dx20aaaf(x)dx

0a

证明 因为af(x)dxaf(x)dx0f(x)dx 而

所以

af(x)dx a0令xt af(t)dt0f(t)dt0f(x)dx

a0aaaf(x)dx0aaf(x)dx0f(x)dx

aa

0[f(x)f(x)]dxa2f(x)dx20f(x)dx

讨论

若f(x)在[a a]上连续且为奇函数 问af(x)dx？

提示

若f(x)为奇函数 则f(x)f(x)0 从而

aaf(x)dx0[f(x)f(x)]dx0

aa

例6 若f(x)在[0 1]上连续 证明

(1)02f(sinx)dx02f(cosx)dx(2)0xf(sinx)dx 20f(sinx)dx

证明(1)令xt 则 02f(sinx)dx20f[sin(t)]dt

2

2f[sin(t)]dt2f(cosx)dx

002(2)令xt 则

00xf(sinx)dx(t)f[sin(t)]dt

t)]dt0(t)f(sint)dt

0(t)f[sin（0f(sint)dt0tf(sint)dt

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第五章 定积分

0f(sinx)dx0xf(sinx)dx

所以

0xf(sinx)dx20 f(sinx)dx

x24xe x0

例7 设函数f(x)1 计算1f(x2)dx 1x01cosx

解 设x2t 则

14f(x2)dx1f(t)dt1201dt2tet2dt

01cost220

[tant]1[1et]0tan11e41

22222提示 设x2t 则dxdt 当x1时t1 当x4时t2

二、分部积分法

设函数u(x)、v(x)在区间[a b]上具有连续导数u(x)、v(x) 由

(uv)uv u v得u vu vuv  式两端在区间[a b]上积分得

baauvdx 或audv[uv]aavdu auvdx[uv]bbbbb这就是定积分的分部积分公式

分部积分过程

baavdu[uv]aauvdx    

auvdxaudv[uv]bbbbb 例1 计算 解 12arcsinxdx 0

12arcsinxdx0112[xarcsinx]012xdarcsinx0

102xdx

261x21 021221d(1x2)

1x212231

[1x]012122 例2 计算0exdx

解 令xt 则

10e1xdx20ettdt

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第五章 定积分

20tdet

2[tet] 0 20etdt

2e2[et] 0 2

例3 设In02sinnxdx 证明

(1)当n为正偶数时 Inn1n331

nn242

2(2)当n为大于1的正奇数时 Inn1n342

nn2

53证明 In2sinnxdx0111102sinn1xdcosx

n1 2x] 0

[cosxsin02cosxdsinn1x



(n1)02cos2xsinn2xdx(n1)02(sinn2xsinnx)dx

(n1)02sinn2xdx(n1)02sinnxdx

(n1)I n 2(n1)I n 

由此得

Inn1In2

n

I2m2m12m32m531I0

2m2m22m442

I2m12m2m22m442I1

2m12m12m353而I002dx I102sinxdx1

2因此

I2m2m12m32m531

2m2m22m4422

I2m12m2m22m4422m12m12m353 例3 设In02sinnxdx(n为正整数) 证明

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第五章 定积分

I2m2m12m32m531 2m2m22m442 I2m12m2m22m442 2m12m12m353 证明 In02sinnxdx02sinn1xdcosx

[cosxsinn1 2x] 0(n1)02cos2xsinn2xdx



(n1)02(sinn2xsinnx)dx

(n1)02sinn2xdx(n1)02sinnxdx

(n1)I n 2(n1)I n 

由此得 Inn1In2 n

I2m2m12m32m531I0 2m2m22m442

I2m12m2m22m442I1 2m12m12m353特别地 I02dx02 I102sinxdx1 因此

I2m2m12m32m531 2m2m22m4422

I2m12m2m22m442 2m12m12m3

53天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

§5 4 反常积分

一、无穷限的反常积分

定义1 设函数f(x)在区间[a )上连续 取b>a  如果极限

blimaf(x)dx

b存在 则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a )上的反常积分 记作af(x)dx 即

a这时也称反常积分af(x)dx收敛f(x)dxlimaf(x)dx

bb

如果上述极限不存在 函数f(x)在无穷区间[a )上的反常积分af(x)dx就没有意义 此时称反常积分af(x)dx发散

类似地 设函数f(x)在区间( b ]上连续 如果极限

alimaf(x)dx(a

bb存在 则称此极限为函数f(x)在无穷区间( b ]上的反常积分 记作f(x)dx 即

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第五章 定积分

f(x)dxalimf(x)dx

a这时也称反常积分f(x)dx收敛如果上述极限不存在 则称反常积分f(x)dx发散

设函数f(x)在区间( )上连续 如果反常积分 bbbbf(x)dx和0f(x)dx

都收敛 则称上述两个反常积分的和为函数f(x)在无穷区间( )上的反常积分 记作

0f(x)dx 即

f(x)dxf(x)dx00a0f(x)dx

b

limaf(x)dxlim0f(x)dx

b这时也称反常积分f(x)dx收敛

如果上式右端有一个反常积分发散 则称反常积分f(x)dx发散

定义1

连续函数f(x)在区间[a )上的反常积分定义为

af(x)dxlimaf(x)dx

bb

在反常积分的定义式中 如果极限存在 则称此反常积分收敛否则称此反常积分发散

类似地 连续函数f(x)在区间( b]上和在区间( )上的反常积分定义为

f(x)dxlimaf(x)dx

abbf(x)dxlimaf(x)dxlim0f(x)dx

ab0b

反常积分的计算 如果F(x)是f(x)的原函数 则

af(x)dxlimaf(x)dxlim[F(x)]ba

bbb

limF(b)F(a)limF(x)F(a)

bx可采用如下简记形式

类似地 af(x)dx[F(x)]alimF(x)F(a)

xF(b)limF(x)

f(x)dx[F(x)]bxb天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

limF(x)limF(x)

f(x)dx[F(x)]xx 例1 计算反常积分12dx

1x

解 

11x2dx[arctanx]

limarctanxlimarctanx

xx

 ( ) 例2 计算反常积分0teptdt(p是常数 且p>0)

解 0teptdt[teptdt]0[1tdept]0

p

[1tept1eptdt]0pp

[1tept12ept]0pp

lim[1tept12ept]1212

tpppp提示 limteptlimtptlim1pt0

ttetpe 例3 讨论反常积分a 解 当p1时

当p<1时

当p>1时 1dx(a>0)的敛散性

xpa1dx1dx[lnx] 

aaxxpa1dx[1x1p] 

a1pxpa1dx[1x1p] a1p

a1pp1xp1p 因此 当p>1时 此反常积分收敛 其值为a 当p1时 此反常积分发散

p

1二、无界函数的反常积分

定义

2设函数f(x)在区间(a b]上连续 而在点a的右邻域内无界 取>0 如果极限

talimf(x)dx tbb存在 则称此极限为函数f(x)在(a b]上的反常积分 仍然记作af(x)dx 即

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第五章 定积分

af(x)dxtlimatbbf(x)dx

这时也称反常积分af(x)dx收敛

如果上述极限不存在 就称反常积分af(x)dx发散

类似地 设函数f(x)在区间[a b)上连续 而在点b 的左邻域内无界 取>0 如果极限

tbbblimf(x)dx abt存在 则称此极限为函数f(x)在[a b)上的反常积分 仍然记作af(x)dx 即

f(x)dx

af(x)dxlimatbbt这时也称反常积分af(x)dx收敛 如果上述极限不存在 就称反常积分af(x)dx发散

设函数f(x)在区间[a b]上除点c(a

都收敛 则定义

cbaf(x)dxaf(x)dxcf(x)dx

否则 就称反常积分af(x)dx发散

瑕点 如果函数f(x)在点a的任一邻域内都无界 那么点a称为函数f(x)的瑕点 也称为无界

定义2

设函数f(x)在区间(a b]上连续 点a为f(x)的瑕点 函数f(x)在(a b]上的反常积分定义为 bbcbaf(x)dxtlimatbbf(x)dx

在反常积分的定义式中 如果极限存在 则称此反常积分收敛否则称此反常积分发散

类似地函数f(x)在[a b)(b为瑕点)上的反常积分定义为

f(x)dx

af(x)dxlimatbbt

函数f(x)在[a c)(c b](c为瑕点)上的反常积分定义为

af(x)dxtlimcabtf(x)dxlimf(x)dx

ttcb反常积分的计算

如果F(x)为f(x)的原函数 则有

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第五章 定积分

af(x)dxtlimatbbf(x)dxlim[F(x)]bt

ta

F(b)limF(t)F(b)limF(x) taxa可采用如下简记形式

aF(b)limF(x)

af(x)dx[F(x)]bxab类似地 有

alimF(x)F(a)

af(x)dx[F(x)]bxbb当a为瑕点时af(x)dx[F(x)]bF(x)

aF(b)limxab当b为瑕点时af(x)dx[F(x)]bF(x)F(a)

alimxbb当c(acb)为瑕点时

F(x)F(a)][F(b)limF(x)]

af(x)dxaf(x)dxcf(x)dx[xlimcxcbcb 例4 计算反常积分 解 因为limxaa01dx

2ax21 所以点a为被积函数的瑕点

a2x 0a1alimarcsinx0 dx[arcsinx] 0a2xaaa2x2

1例5 讨论反常积分112dx的收敛性

x

解 函数12在区间[1 1]上除x0外连续 且lim12

x0xx0 0 由于112dx[1]lim(1)1

1xxx0x01即反常积分112dx发散 所以反常积分112dx发散

xx

例6 讨论反常积分a

解 当q1时

当q1时 bbbdx的敛散性

(xa)qdxbdx[ln(xa)] b

aa(xa)qaxadx[1(xa)1q] b

aa(xa)q1q天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

当q1时 dx[1(xa)1q] b1(ba)1q

aa(x1qa)q1qb 因此 当q<1时 此反常积分收敛 其值为1(ba)1q 当q1时 此反常积分发散

1q

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第五章 定积分

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第五章 定积分

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第三篇：高等数学教案12

-----

3.余项rnssnun1un2.aqaaqaqaqn2n1: 例1.判断等比级数(几何级数)n0

(a0)的敛散性.aaq解:①q1时，sn，1qna，收敛，和为limsnaqn1qn0a.1q

-----高等数学教案-----

naaq②q1时，sn，1qlimsn，aq发散； nnn0nsn，③q1时，snna，limnn0aq发散.n④q1时，0 , n为偶数limsn不存在，sn，na , n为奇数n0aq发散.nn1例2判断级数ln是否收nn1

-----高等数学教案-----敛，若收敛求其和.解: sn(ln2ln1)(ln3ln2)

[ln(n1)lnn] ln(n1).P②.3225sn，所以原级数发散.由于limnsn11111(1)()23235111()22n12n111(1).22n1

-----高等数学教案-----

1sn，所以原级数收敛 由于limn24.收敛级数的性质: ①如果un收敛和为s，则kunn1n1也收敛，其和为ks；若un发散，n1则kun(k0)也发散.n1②如果un、vn均收敛，其和n1n1n1，分别为s、则(unvn)也收敛，其和为s.-----高等数学教案-----

③在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性.④如果un收敛，则对这级数n1的项任意加括号后所成的级数(u1un)(un1un)

(un1un) 112k1k也收敛，且其和不变.如果一个级数发散，则加括号后所成的级数可能收敛，也可能发散.如果一个正项级数发散，则加

-----高等数学教案-----括号后所成的级数一定发散.⑤级数收敛的必要条件: 若n1un0.un收敛，则limn例3证明调和级数 1111 23n是发散的.证: 假设调和级数收敛，部分

sns.和为sn，和为s，则limnim(s2nsn)ss0.一方面，ln另一方面，-----高等数学教案-----

111s2nsn n1n22n111 2n2n2n1，2(s2nsn)0，矛盾，故调所以limn和级数发散.1P②.由于调和级数发散，n1n1所以也发散.n13n14P225⑤.由于级数n是公比为

n124225

-----高等数学教案-----11q的几何级数，而q1，所2211以n收敛；由于级数n是公比n12n1311为q的几何级数，而q1，331所以n收敛.n1311由于n与n都收敛，所以n12n1311(nn)收敛.n123§12.2 常数项级数的审敛法

-----高等数学教案-----1.正项级数: un(un0).n12.正项级数un的部分和数列

n1sn单调增加.3.正项级数un收敛部分和

n1数列sn有界.4.比较审敛法: 设un、vn都

n1n1是正项级数，且unvn.①若vn收敛，则un收敛；

n1n1

②若un发散，则vn发散.n1n-----高等数学教案-----5.比较审敛法的推论: 设un、n1n1vn都是正项级数.n1

①若vn收敛，且存在自然数N，使当nN时有unkvn(k0)成立，则un收敛.n1

②若un发散，且存在自然数n1N，使当nN时有unkvn(k0)成立，则vn发散.n-----高等数学教案-----例1.判断p级数

1111ppp 23n的敛散性.解: ①当p1时，由于1np而1发散，所以n1n1n1np发散.②当p1时，对于级数

11112p3pnp 加括号后:

-----高等数学教案-----

1n，1111111(pp)(pppp)234567

它的各项均不大于级数

1111111(pp)(pppp224444

111p1p1 24的对应项，而后一个级数是收敛的几何级数，所以级数

-----高等数学教案-----1111111(pp)(pppp)2345671收敛，故正项级数p收敛.n1n1例2.判断级数lnn的敛散性.n121111解: 由于lnnlogn，而nn1n221发散，所以lnn发散.n121例3.判断级数lnn的敛散性.n13111解:由于lnnln3，而ln3n13n1nn1n1pln31，是p级数，所以ln3n1n1收敛，从而lnn收敛.n13-----高等数学教案-----例4.若正项级数an与bn均

n1n1收敛，则下列级数也收敛.①anbn；②(anbn)；③

2n1n1an.n1n证: ①由于an与bn均收敛，n1n1所以(anbn)收敛，而n1anbn2anbn，故anbn收敛.n1②由于

-----高等数学教案-----(anbn)an2anbnbn，而an、2n1n1bn与anbn均收敛，所以n12(anbn)收敛.n11③由于an与2均收敛，所n1n1n11an以(an2)收敛，而an22，n1nnnan故收敛.n1n例5.若an与bn均收敛，且n1n1ancnbn，求证:cn收敛.n-----高等数学教案-----

证:由于an与bn均收敛，所n1n1以(bnan)收敛.n1由于ancnbn，所以

n1bnancnan0，而(bnan)收敛，故(cnan)收敛，而an收敛，从n1n1而cn收敛.n16.比较审敛法的极限形式: 设n1un、vn均是正项级数，n1

-----高等数学教案-----

un0，且vn收敛，则①若limnn1vnun收敛.n1unl(0l)，则vn

②若limnn1vn与un同时收敛和同时发散.n1un，且vn发散，③若limnn1vn则un发散.n11例6.判断级数n的敛散

n1nn

-----高等数学教案-----性.1n1nn解:由于llim，而1n1n1nn1发散，所以n发散.n1nn1n1例7.判断级数ln的敛

n1n2n散性.1lnn1nn1解:由于llim2，而n12n11n1收敛.2收敛，所以lnn1n2nn2n

-----高等数学教案-----例8.判断级数(21)的敛散

nn1性.解: 由于

nn212ln2llimlimln2nn11n，1n而发散，所以(21)发散.n1n1n7.比值审敛法(达朗贝尔判别法): 设un为正项级数，且n1

-----高等数学教案-----un1lim.nun

①若1，则un收敛；

n1

②若1或，则un发

n1散；

③若1，则un可能收敛也

n1可能发散.1例9.判断级数的敛散

n1(n1)!性.-----高等数学教案-----

1n!01解: 由于lim，n1(n1)!1所以收敛.n1(n1)!n!例10.判断级数n的敛散性.n110: 由于(n1)!n1n110limlim，所nn10n!n10n!以n发散.n110

-----高等数学教案-----解8.根值审敛法(柯西判别法): 设un为正项级数，且n1nu.limnn

①若1，则un收敛；

n1

②若1或，则un发

n1散；

③若1，则un可能收敛也

n1可能发散.2n1n例11.判断级数()的n13n1

-----高等数学教案-----敛散性.解: 由于

2n1nn(lim)n3n12n()3n1limnnn3n1，2n1n所以()收敛.n13n110.交错级数: u1u2u3u4，或

u1u2u3u4，其中u1，u2…都是正数.-----高等数学教案-----11.莱不尼兹定理: 如果交错级数(1)un满足条件: n1n1

①unun1；

imun0，②ln则(1)un收敛，其和su1，其余n1n1项的绝对值rnun1.例12.判断级数(1)n1n11的敛

n散性.解: 由于

-----高等数学教案-----11①，即unun1； nn110，即limu0

②lim，nnnnn11所以(1)收敛.n1n12.绝对收敛: 如果un收敛，n1则称un绝对收敛.n1例如，级数(1)n1n11绝对收

2n敛.13.条件收敛: 如果un收敛，n-----高等数学教案-----

而un发散，则称un条件收敛.n1n1例如，级数(1)n1n11条件收敛.nn114.如果任意项级数un的绝对值收敛，则un收敛.n11

证: 令Vn(unun)，21Wn(unun)，则unVn0，2unWn0.由于un收敛，所以Vn、Wnn1n1n-----高等数学教案-----均收敛，故(VnWn)un也收

n1n1敛.15.设un是任意项级数，n1un1nu，如果lim或limnnunn1，un发散，则un发散.n1n1n例13.判别级数(1)是n1n1否收敛，若收敛是条件收敛，还

n1是绝对收敛.-----高等数学教案-----解: 由于lim(1)n以(1)n1n1n1n0，所

n1n发散.n11n例14.判别级数nsin是否

5n12收敛，若收敛是条件收敛，还是绝对收敛.1n11n，解: 由于nsin而n

522n121(是公比为q1的几何级数)21n收敛，所以nsin收敛，故

5n1-----高等数学教案-----1nnsin绝对收敛.5n121例15.判别级数(1)ln(1)nn1是否收敛，若收敛是条件收敛，n还是绝对收敛.11解: 由于ln(1)ln(1)，而

n1n1limln(1)0，所以交错级数nn1n(1)ln(1)收敛.n1n由于

-----高等数学教案-----

1(1)ln(1)1 nlimlimnln(1)nn1nnn1nlimln(1)nn1，11n而 发散，所以(1)ln(1)发n1nn1n1n散，故(1)ln(1)条件收敛.n1n§12.3 幂级数

1.区间I上的函数项级数: u1(x)u2(x)un(x).-----高等数学教案-----对于xx0I，常数项级数

u1(x0)u2(x0)un(x0)

n1收敛，则称x0为un(x)的收敛点.收敛点的全体称为收敛域，发散点的全体称为发散域.2.(xx0)的幂级数: n0an(xx0)na0a1(xx0)a2(xx0)

2nan(xx0)

-----高等数学教案-----3.x的幂级数:

n0anx2nna0a1xa2xanx.4.阿贝尔定理: 如果anx当

nn0则当xx0xx0(x00)时收敛，时anx绝对收敛.反之，如果nn0n0anx当xx0时发散，则当nxx0时anx发散.nn0

5.阿贝尔定理的推论: 如果

-----高等数学教案-----n0anx不是仅在x0一点收敛，n也不是在整个数轴上收敛，则存在R0，使得

①当xR时，幂级数绝对收敛；

②当xR时，幂级数发散；

③当xR与xR时，幂级数可能收敛也可能发散.)为

称R为收敛半径，称(R , R)、收敛区间，收敛域是(R , R[R , R)、(R , R]或[R , R]这四

-----高等数学教案-----个区间之一(由xR处的收敛性决定).规定幂级数仅在x0处收敛时R0，幂级数对一切x都收敛时R.6.对于幂级数anx，如果

nn0an1lim，则 nan

-----高等数学教案-----

1 , 0且R , 0 ,0 , .

(1)x例1.求的收敛域.n1nn(1)n11解: 由于lim，所n1n(1)n1以R1.n1n

-----高等数学教案-----

(1)x1当x1时，()nnn1n1发散.(1)n1xn(1)n1当x1时，nnn1n1(1)n1xn条件收敛.因此，的收

nn1敛域为(1 , 1].n1例2.求2(3x)的收敛域.n01nnnn13解: 2(3x) 2x.n01nn01nn1n

-----高等数学教案-----

321(n1)lim3nn321nn1，1R.31当时，x3(1)nn1(3x) 绝对收敛.22n01nn01n1当时，x3n112(3x) 2收敛.n01nn01nn1因此，的收敛域为(3x)2n01n

-----高等数学教案-----11[ , ].33(1)n例3.求2(x3)的收敛n1nn域.解: 令x3t，则

(1)(1)nn2(x3) 2t.n1nn1n(1)nn对于，2tn1nn1(1)2(n1)lim1R1，.nn(1)2n

-----高等数学教案-----

nn(1)n1当t1时，2t2收n1nn1nn敛.(1)n(1)2t2绝当t1时，n1nn1nn(1)n对收敛.因此，2t的收敛

n1nn(1)n区间为[1 , 1]，故2(x3)n1n的收敛域为[2 , 4].2n11例4.求nx 的收敛域.n03nn

-----高等数学教案-----

1x2(n1)1n1213x解: lim.n1x2n13n321令x1，得3x3，收3敛半径为R3.发散.散.2n11当x3时，nx 3n03n02n11当x3时，nx 3发n03n02n11因此，nx 的收敛域为n03(3 , 3).

-----高等数学教案-----7.幂级数的运算: s(x)anxn0nn0n和(x)bnx的收敛半径分别为R和R，则

n0anxnnn0bnxnn0(anbn)xs(x)(x)的收敛半径为RminR , R.8.幂级数的性质:

①anx的和函数s(x)在其收nn0敛域I上连续.-----高等数学教案-----

②anx的和函数s(x)在其收nn0敛域I上可积，并有逐项积分公式

0s(x)dx0anxdxn0xxn0anxdx nn0xann1x(xIn0n1，ann1nx与anx的收敛半径相n0n0n1同.

-----高等数学教案-----③anx的和函数s(x)在其收nn0敛区间(R , R)内可导，并有逐项求导公式

nns(x)anx(anx)

n0n0 nanx(xR)，n1n1n1nanxn1与anx的收敛半径相

nn0同.n1例5.求x的和函数.n1n

-----高等数学教案-----

1n1R1.1解: lim，n1nn1n1当x1时，x(1)收nn1n1n敛.n11当x1时，x发散.因

n1nn1nn1此，x的收敛域为[1 , 1).n1nn1令s(x)x(1x1)，则 n1nnn11s(x)x(x)n1nn1n

-----高等数学教案-----x n1n11(1x1).1xs(x) x 0s(x)dxs(0)

x10dx0 1ln(1xx)(1x1).例6.求1xn1在其收敛n1n1 , 1)上的和函数.解1xn1x1xnx[ln(1x)] n1nn1n

-----高等数学教案-----

: 域[ xln(1x)x[1 , 1).例7.求(n1)x在其收敛域

nn1(1 , 1)上的和函数.解: 令s(x)(n1)x，则

nn10s(x)dx0(n1)xdx

nn1xxx

n1n1x 1x(1x1).-----高等数学教案-----

2s(x)[ 0s(x)dx]

xx() 1x22xx2(1x)(1x1).2例8.求nx在其收敛域(1 , 1)nn1上的和函数.解: nxnxxx

nnnnn1n1n1nn1n(n1)xx

n1n1

-----高等数学教案-----

2xxx 2(1x)1xx

.(1 , 1)2(1x)2例9.求(n2)x在其收敛区

nn1间(1 , 1)上的和函数.解n1:

nn12(n2)x(n1)xx nnn12xx2(1x)x 1x

-----高等数学教案-----

3x2x2(1x)2

(1 , 1).§12.4 函数展开成幂级数

1.设f(x)在x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数，幂级数

(x0)f2f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)

2!f(x0)n(xx0)

n!称为f(x)的泰勒级数.(n)

如果泰勒级数收敛于f(x)，则

-----高等数学教案-----

第四篇：高等数学教案

-----[xn1 , xn]，AA1A2An，xixixi1(i1 , 2 ,  , n).②在每个小区间[xi1 , xi]上任取一点i，Aif(i)xi，Af(i)xi.i1n③max{x1 , x2 ,  , xn}.Alimf(i)xi.0i

1-----高等数学教案-----

n2.变速直线运动的路程: 设速度vv(t)是时间间隔[T1 , T2]上t的连续函数，路程记为s.①把区间[T1 , T2]分成n个小区间:，…，[t0 , t1] [tn1 , tn]，[t1 , t2]，ss1s2sn，tititi1(i1 , 2 ,  , n).②在每个小区间[ti1 , ti]上任取一点i，siv(i)ti，-----高等数学教案-----sv(i)ti.i1n③max{t1 , t2 ,  , tn}.slimv(i)ti.0i1n3.定积分定义: 设yf(x)在[a , b]上有界.①把区间[a , b]分成n个小区间:，[x1 , x2]，…，[x0 , x1]

[xn1 , xn]，-----高等数学教案-----xixixi1(i1 , 2 ,  , n).②在每个小区间[xi1 , xi]上任取一点i，f(i)xi.i1n③max{x1 , x2 ,  , xn}.如果

limf(i)xi

0i1n存在，且此极限不依赖于对区间[a , b]的分法和在[xi1 , xi]上

-----高等数学教案-----

则称此极限为f(x)i点的取法，在[a , b]上的定积分，记为

f(i)xi.af(x)dxlim0bi1n注意：定积分 af(x)dx只与被积函数f(x)﹑积分区间[a , b]有关，而与积分变量用什么字母表示无关，即

b af(x)dx af(t)dt af(u)du b b b.4.(必要条件).如果f(x , y)在D上可积，则f(x , y)在D上

-----高等数学教案-----有界.5.(充分条件): ①如果f(x)在[a , b]上连续，则f(x)在[a , b]上可积.②如果f(x)在[a , b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a , b]上可积.6.定积分的几何意义：

①如果f(x)在[a , b]上连续，且f(x)0，则

b af(x)dxs

(S是曲边梯

-----高等数学教案-----形的面积).②.如果f(x)在[a , b]上连续，且f(x)0，则 b af(x)dxs

(S是曲边梯形的面积).③如果f(x)在[a , b]上连续，且f(x)的值有正有负，则 b af(x)dx等于x轴上方的曲边梯形面积减去x轴下方的曲边梯形面积.7.规定:

-----高等数学教案-----

①当ab时， af(x)dx0.ab

②当时，ba af(x)dxbf(x)dx.7.定积分的性质：

①f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx.b b② akf(x)dxk af(x)dx.③ b c b af(x)dx af(x)dx cf(x)dx.④如果在[a , b]上f(x)1，则

b b a1dx adxba.b b b b a a a

-----高等数学教案-----⑤如果在[a , b]上f(x)0，则

b af(x)dx0.如果在[a , b]上f(x)g(x)，则

b b af(x)dx ag(x)dx， af(x)dx af(x)dx.b b⑥设mf(x)M，则

bm(ba) af(x)dxM(b.⑦(积分中值定理)如果f(x)

-----高等数学教案-----在[a , b]上连续，则在[a , b]上至少存在一点，使得

b af(x)dxf()(ba).证:由于f(x)在[a , b]上连续，所以存在最大值M和最小值m，使得

mf(x)M，bm(ba) af(x)dxM(ba)，f(x)dx amM，ba

-----高等数学教案-----

b故在[a , b]上至少存在一点，使得

b af(x)dxf()ba即

b af(x)dxf()(ba).b1称为在f(x)dxf(x) aba[a , b]上的平均值.P23511.证: 对任意实数，有 12 0[f(x)]dx0，1 1222 0f(x)dx 0f(x)dx0

-----高等数学教案-----，所以

124 0f(x)dx4 0f(x)dx0，即

 0f(x)dx 0f(x)dx.练习1.设f(x)在[a , b]上连续，且f(x)0，证明: 12 121 af(x)dx af(x)dx(ba)b b.§5.2微积分基本公式

1.积分上限的函数(变上限

-----高等数学教案-----积分): f(x)在[a , b]上连续，称

x(x) af(t)dt x[a , b] 为积分上限的函数.2.如果f(x)在[a , b]上连续，x则(x) af(t)dt可导，且

xd(x)f(t)dtf(x) adx.x例1.求F(x) 0tsintdt的导数.解: F(x)xsinx.-----高等数学教案-----

sintdtsinx 0例2.lim lim2x0x02xx1.2 x例3.tedtlim xxxe2x x2 0t2elimx2tedtx x2 0t2xlimx(12

xlimx1

2-----高等数学教案-----



3. (x)f(t)dt

f[(x)](x)f[(x)](x)(x)1.2.xbd

例4. xaf(t)dt dxf[(xb)]f[(xa)].例

15.( xedt)ee2x xx12xe.lnx2tlnxx22

-----高等数学教案-----例6.设f(x)在[a , b]上连续，且单调增加，证明:

x1 F(x)f(t)dt axa在(a , b]内单调增加.证: 当x(a , b)时，f(x)(xa) af(t)dtF(x) 2(xa)f(x)(xa)f()(xa)2(xa)x

f(x)f()(xa)

-----高等数学教案-----

(ax).由于f(x)在[a , b]上单调增加，而ax，所以

f(x)f()F(x)0，(xa)故F(x)在(a , b]内单调增加.4.微积分基本公式(牛顿—莱布尼茨公式): 如果f(x)在[a , b]上连续，且F(x)是f(x)的一个原函数，则

b af(x)dxF(b)F(a)F(.-----高等数学教案-----

为F(x)、x(x) af(t)dt都是f(x)的原函数，所以(x)F(x)C.由于

(a)F(a)C，a(a) af(t)dt0，得

CF(a)，(x)F(x)F(a)，(b)F(b)F(a)，b即

(b) af(x)dx

F(b)F(a)

F(x).ba

-----高等数学教案-----证: 因

1

1例7. 2dxlnx2

xln1ln2 ln2.1

例 2 1 28. 01xdx 0(1x)dx 1(x1)dx

221xx(x)0(x)22

1.例9.设

x , x[0 , 1), f(x)x , x[1 , 2] ，-----高等数学教案-----2求(x) 0f(t)dt在[0 , 2]上的表达式.x解(x) x2 0tdt , x[0 , 1) 12dt x 0t 1tdt , x[1 ,x3 , 31312(x21), x3 , 31-----高等数学教案 6 ,-----

:

2] x[0 ,x[1 , 2x[0 , x[1 , 2

例10.求

x f(x)0tdt 在( , )上的表达式.0tdt , x0解: f(x)x

tdt , x002x , x02 2x , x0.2x§5.3 定积分的换元法和分部积分法

-----高等数学教案-----1.定积分的换元法:

b af(x)dx x(t)f[(t)]（其中f(x)连续，(t)有连续的导数，a()，b()，.例1. 0 4x2dx 2x11t232 32t12 x  1 tdt 2t 321 1(t3)dt 2331t(3t)1

3-----高等数学教案-----例 例

223.2. 1dx 34 1x1 x(t22t) 1(2t2)12 t2 1121 (1t)dt 2(tlnt)112

12ln2.3.2 111x 2 x2dx xsint  cost 24

-----高等数学教案-----

sin2tcostdt

2 例

2  cottdt

4 2(csc2 t1)dt

4(cottt)2

414. 5 02sinxcosxdx

 5 02cosxdcosx

(166cosx)20

16.-----高等数学教案-----

4.例5. 0x(2x)dx

12421 0(2x)d(2x)2

25111

[(2x)]0

2531

.102.设f(x)在[a , a]上连续且为偶函数，则

a a af(x)dx2 0f(x)dx.证: a 0 a af(x)dx af(x)dx 0f(x)dx.12

4-----高等数学教案----- af(x)dx xt  af(t)( 0 0

 af(t)dt  0f(t)dt  0f(x)dx.a a 0所

以

a a a af(x)dx 0f(x)dx 0f(x)dx

2 0f(x)dx.a3.设f(x)在[a , a]上连续且

a为奇函数，则

 af(x)dx0.xsinxdx.例6.求 242x3x1 2

-----高等数学教案-----

32xsinx解: 由于f(x)42x3x132是 2奇3函2数，所以

xsinxdx0. 242x3x1例7.求 1sinx(arctanx).dx 121x解: 原式1sinx 1(arctanx). 1dxdx22 11x1xsinx由于f(x)2是奇函数，1x

-----高等数学教案-----以(arctanx)是偶函数，所g(x)21x(arctanx)原式02 0 dx21x 122 0(arctanx)d(arctanx)122

312[(arctanx)]0

332()3496例8.设f(x)在[0 , a]上连续，-----高等数学教案-----.3证明:  0f(x)dx 0f(ax)dx.a a证 0f(x)dx 0 xat  af(at)(dt)a:

 af(at)dt  0f(at)dt  0f(ax)dx.a 0 a

例9.若f(x)在[0 , 1]上连续，证明: f(sinx)dx

-----高等数学教案-----2 0f(cosx)dx.2 0 证: f(sinx)dx

 xt 2 2 0f(cost)(d 2 0

f(cost)dt

2 0f(cosx)dx.2 0

例10.若f(x)在[0 , 1]上连续，证明:  0xf(sinx)dx .f(sinx)dx 02 

-----高等数学教案-----证:  0xf(sinx)dx

0 xt  (t)f(sint)

 0(t)f(sint)dt  0f(sint)dt 0tf(sint)dt

 0f(sinx)dx 0xf(sinx)dx.    解 0 得

.f(sinx)dx 02例11.若f(x)为连续函数，xf(sinx)dx

-----高等数学教案-----且ef(xt)dtxe，求f(x)的表达式.xt证:  0ef(xt)dt xt 0x txu  xe 0xuf(u)(du)

eef(u)du x xue 0ef(u)du.ux 0 x所以eef(u)duxe，得

xu 0ef(u)dux.将上式两边对x求导数，得

x ef(x)1，x x 0ux

-----高等数学教案-----即

f(x)e.4.定积分的分部积分法:

x

 auvdx(uv) auvdx.bba b

例12. 1lnxdx(xlnx) 1dx

55ln5x1 55155ln54.例13. 0xedx(xe) 0edx

x1ee0 1xx10 1x1.例14.若f(x)是以T为周期的连续函数，证明:

-----高等数学教案----- af(x)dx 0f(x)dx 其中a为常数.aT T证:  a 0 aTf(x)dx

T aT af(x)dx 0f(x)dx T aT Tf(x)dx

af(x)dx

xuT  0f(uT)du  0f(u)du  0f(x)dx  af(x)dx.0 a a所以

 a aT 0f(x)dx

T 0 af(x)dx 0f(x)dx af(x)dx

-----高等数学教案----- 0f(x)dx.T例15.设f(x)在( , )上连续，证明: 1lim[f(xh)f(x)]dxf(b)f(a)

bh0h a证: 设f(x)的一个原函数为F(x)，则

b1lima [f(xh)f(x)]dx h0h[F(xh)F(x)]lim h0hF(bh)F(b)limh0hF(ah)F(a)limh0h

-----高等数学教案-----

baF(b)F(a)f(b)f(a).§5.4 反常积分 1.无穷限的反常积分: ①设f(x)在[a , )上连续，存在，f(x)dxta，如果tlim a则称反常义积分 af(x)dx收敛，且

t

 af(x)dxtlim.f(x)dx a t否则称反常积分 af(x)dx发散.

-----高等数学教案-----②设f(x)在( , b]上连续，tb，如果limtf(x)dx存在，tb则称反常义积分f(x)dx收敛，且

b

f(x)dxtlim.f(x)dxtb b否则称反常积分f(x)dx发散.③设f(x)在( , )上连 0 续，如果 f(x)dx与 0f(x)dx都收敛，则称反常积分  f(x)dx收敛，且

b

-----高等数学教案----- f(x)dx  f(x)dx 0f(x)dx.0 否则称反常积分 f(x)dx发散.2.引入记号:

F()limF(x)，xF()limF(x).x若在[a , )上F(x)f(x)，则当F()存在时， af(x)dxF()F(a)

[F(x)].a

-----高等数学教案-----若在( , b]上F(x)f(x)，则当F()存在时，bf(x)dxF(b)F()

[F(x)].b若在上( , )F(x)f(x)，则当F()与F()都存在时，f(x)dxF()F()

[F(x)].例1.判断反常积分

x 0xedx

2-----高等数学教案-----是否收敛，若收敛求其值.x1解: 原式(e)0 2x11

xlim(e) 221 .2

例2.判断反常积分

1 cosxdx

22的敛散性.解: 原式(sinx)

1sin(1)limsinx.xsinx不存在，由于xlim所以反

-----高等数学教案-----常积分 cosxdx发散.例3.讨论反常积分 1 1 1xdx.解: 1 1xdx (lnx)1 , (111x)1

-----高等数学教案-----

1 1的敛散性 ,  , 1 , 1 11 , 1 1 1xdx，当1时发散.例4.判断反常积分

 1 1x2dx.解:  1 1x2dx

-----高等数学教案-----

1所以反常积分时收敛，当 的敛散性 (arctanx)0(arctanx)0



22. 1 

例5.判断反常积分

1dx

2xx 的敛散性.1dx解:  1 2xx 11 1()dx x1x[lnxln(1x)]1

-----高等数学教案-----

x[ln]1 1xx1limlnln x1x2ln2.3.如果f(x)在点a的任一邻域内都无界，那么称点a为f(x)的瑕点.4.无界函数的反常积分(瑕积分): ①设f(x)在(a , b]上连续，点a为f(x)的瑕点，ta.如果limtf(x)dx存在，则称反常积ta

-----高等数学教案-----b分 af(x)dx收敛，且 b

 af(x)dxlimtf(x)dx.b bt a否则称反常积分 af(x)dx发散.②设f(x)在[a , b)上连续，点b为f(x)的瑕点，tb.如果

blimaf(x)dx存在，则称反常积tbt分 af(x)dx收敛，且 b

 af(x)dxlimaf(x)dx.btt b否则称反常积分 af(x)dx发散.③设f(x)在[a , b]上除点c(acb)外连续，点c为f(x)的 b

-----高等数学教案-----瑕点.如果两个反常积分

b c af(x)dx、 cf(x)dx都收敛，则

b称反常积分 af(x)dx收敛，且 b c b af(x)dx af(x)dx cf(x)dx.b否则称反常积分 af(x)dx发散.5.引入记号: ①设F(x)为f(x)在(a , b]上的一个原函数，a为f(x)的瑕点，则

b af(x)dxF(b)limF(x)

xa[F(x)].ba

-----高等数学教案-----②设F(x)为f(x)在[a , b)上的一个原函数，b为f(x)的瑕点，则

b af(x)dxlimF(x)F(a)

xb[F(x)].ba

例6.判断反常积分 0lnxdx的敛散性.1解: 0lnxdx(xlnx)0dx 11010lim(xlnx)x

x 0101.-----高等数学教案-----

1例7.讨论反常积分 0dxx 1的敛散性.解:  11 0xdx

(lnx)10 , 1(1111 x)0 , 1

0limx 0lnx , 1lim 0(11x11x)

-----高等数学教案-----

1 1 , 1 , 11 , 1  , 1 11所以反常积分 0dx，当1x时收敛，当1时发散.11

例8.判断反常积分 12dxx的敛散性.1解:  12dx x 01 11 12dx 02dx

xx 1

-----高等数学教案-----

第五篇：高等数学教案ch 8 多元函数微分法及其应用

§8 4 多元复合函数的求导法则

设zf(u v) 而u(t) v(t) 如何求dz？

dt

设zf(u v) 而u(x y) v(x y) 如何求z和z？

xy

1 复合函数的中间变量均为一元函数的情形

定理1 如果函数u(t)及v(t)都在点t可导 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数zf[(t) (t)]在点t可导 且有

dzzduzdv

dtudtvdt

简要证明1 因为zf(u v)具有连续的偏导数 所以它是可微的 即有

dzzduzdv

uv又因为u(t)及v(t)都可导 因而可微 即有

dududt dvdvdt

dtdt代入上式得

dzzdudtzdvdt(zduzdv)dt

udtvdtudtvdt从而

dzzduzdv

dtudtvdt

简要证明2 当t取得增量t时 u、v及z相应地也取得增量u、v及z  由zf(u v)、u(t)及v(t)的可微性 有

zzuzvo()z[duto(t)]z[dvto(t)]o()

uvudtvdt

(zduzdv)t(zz)o(t)o()

udtvdtuvo(t)o()

zzduzdv(zz)

tudtvdtuvtt令t0 上式两边取极限 即得

注limdzzduzdv

dtudtvdtlimt0o()to()t0(u)2(v)2t0(du2dv)()20dtdt

推广 设zf(u v w) u(t) v(t) w(t) 则zf[(t) (t) (t)]对t 的导数为

dzzduzdvzdw

dtudtvdtwdt上述dz称为全导数

dt

2 复合函数的中间变量均为多元函数的情形

定理2 如果函数u(x y) v(x y)都在点(x y)具有对x及y的偏导数 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数zf [(x y) (x y)]在点(x y)的两个偏导数存在 且有

zzuzv zzuzv

xuxvxyuyvy

推广 设zf(u v w) u(x y) v(x y) w(x y) 则

zzuzvzw

zzuzvzw 

xuxvxwxyuyvywy

讨论

(1)设zf(u v) u(x y) v(y) 则z？

xzzuzdv

提示 zzu 

z？ yxuxyuyvdy

(2)设zf(u x y) 且u(x y) 则z？

xz？ y

fufzfuf

提示 z 

xuxxyuyy这里z与xf是不同的 z是把复合函数zf[(x y) x y]中的y看作不变而对x的xx偏导数

ffz是把f(u x y)中的u及y看作不变而 对x的偏导数 与也朋类似

yyx的区别

3．复合函数的中间变量既有一元函数 又有多元函数的情形

定理3 如果函数u(x y)在点(x y)具有对x及对y的偏导数 函数v(y)在点y可导 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数zf[(x y) (y)]在点(x y)的两个偏导数存在 且有

zzuzdv

zzu 

xuxyuyvdy

例1 设zeusin v uxy vxy 求z和

xzy

解 zzuzv

xuxvx

eusin vyeucos v1

ex y[y sin(xy)cos(xy)]

zzuzv

yuyvy

eusin vxeucos v1

exy[x sin(xy)cos(xy)]

例2 设uf(x,y,z)exff

解 uz

xxzx22y2z2 而zx2siny 求u和

xuy

2xexy2z22zex2y2z22xsiny  2x(12x2siny)ex2y2x4si2ny

uffz yyzy2yexy2z22zex2y2z2x2cosy

2(yx4sinycosy)ex2y2x4si2ny

dt

例3 设zuvsin t  而uet vcos t 求全导数dz

解 dzzduzdvz

dtudtvdtt

vetu(sin t)cos t

etcos te tsin tcos t

et(cos tsin t)cos t 

例4 设wf(xyz xyz) f具有二阶连续偏导数

解 令uxyz vxyz  则wf(u v)

引入记号 f1xuxf(u,v)uvx求wx2w及xz

 f12f(u,v)uv等

f22 同理有f2f11ff

wuvf1yzf2

ff2w(f1yzf2)1yf2yz2xzzzz

xyf12yf2yzf21xy2zf22

f11y(xz)f12yf2xy2zf22

f1

1注 f1f1uf1vf2f2uf2vxyf12 xyf22f11f21zuzvzzuzvz

例5 设uf(x y)的所有二阶偏导数连续 把下列表达式转换成极坐标系中的形式

(1)(u2u)()2 xy22u(2)u

22xy解 由直角坐标与极坐标间的关系式得

uf(x y)f(cosθ sinθ)F( θ)

其中xcosθ ysinθ x2y2 arctan应用复合函数求导法则 得

uuuuuysinuxuycosxxx2uucosuuuuyuxsinyyy2yx





两式平方后相加 得

(u)2(u)2(u)212(u)2

xy再求二阶偏导数 得

2uuu()()

2 xxxxxuusinuusinsin(cos)cos(cos)



22u2usincos2usin2u2sincosusin2

2cos2 222同理可得

22u2u2usincos2ucos2u2sincosucos 2

22sin2y222两式相加 得

22u2u112u1u2u

u[()] 2222222xy

全微分形式不变性

设zf(u v)具有连续偏导数 则有全微分

dzzduzdv

uv如果zf(u v)具有连续偏导数 而u(x y) v(x y)也具有连续偏导数 则

zz

dzdxdy

xyzuzvzuzv)dx()dy

(uxyvxuyyvyzuuzvv

(dxdy)(dxdy)

uxvx

zduzdv

uv由此可见 无论z 是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数 它的全微分形式是一样的 这个性质叫做全微分形式不变性

例6 设ze usin v ux y vxy 利用全微分形式不变性求全微分

解 dzzduzdv e usin vdu e ucos v dv uv

 e usin v(y dxx dy) e ucos v(dxdy)

(ye usin v e ucos v)dx(xe usin v e ucos v)dy

e xy [y sin(xy)cos(xy)]dx e xy [x sin(xy)cos(xy)]dy 

§8 5

隐函数的求导法则 一、一个方程的情形

隐函数存在定理1

设函数F(x y)在点P(x0 y0)的某一邻域内具有连续偏导数 F(x0 y0)0 Fy(x0 y0)0 则方程F(x y)0在点(x0 y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数yf(x) 它满足条件y0f(x0) 并有

dydxFxFy



求导公式证明 将yf(x)代入F(x y)0 得恒等式 F(x f(x))0

等式两边对x求导得 FFdy0

xydx由于F y连续 且Fy(x0 y0)0 所以存在(x0 y0)的一个邻域 在这个邻域同Fy 0 于是得 dydxFxFy

例1 验证方程x2y210在点(0 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x) 并求这函数的一阶与二阶导数在x0的值

解 设F(x y)x2y21 则Fx2x Fy2y F(0 1)0 Fy(0 1)20 因此由定理1可知 方程x2y210在点(0 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x)

dydxFxFyxy dydxx00

d2ydx2yxyy2yx(y2x)yy2x2y3d2y13；

dx2y1

x0

隐函数存在定理还可以推广到多元函数 一个二元方程F(x y)0可以确定一个一元隐函数 一个三元方程F(x y z)0可以确定一个二元隐函数

隐函数存在定理2

设函数F(x y z)在点P(x0 y0 z0)的某一邻域内具有连续的偏导数 且F(x0 y0 z0)0 Fz(x0 y0 z0)0  则方程F(x y z)0在点(x0 y0 z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数zf(x y) 它满足条件z0f(x0 y0) 并有

FF

zx zy



xFzyFz

公式的证明 将zf(x y)代入F(x y z)0 得F(x y f(x y))0

将上式两端分别对x和y求导 得

FxFzz0 FyFzz0 xy因为F z连续且F z(x0 y0 z0)0 所以存在点(x0 y0 z0)的一个邻域 使F z0 于是得

FF

zx zy

xFzyFz

例2.设xyz4z0 22

2解

设F(x y z) x2y2z24z 则Fx2x Fy2z4

Fz2xx

xxFz2z42z22z求2x

zx2(2x)xzx(2x)x()22x2z(2x)x

(2z)2(2z)2(2z)

3二、方程组的情形

在一定条件下 由个方程组F(x y u v)0 G(x y u v)0可以确定一对二元函数uu(x y) vv(x y) 例如方程xuyv0和yuxv1可以确定两个二元函数uyx2y2 vxx2y2

yx2y2xx 事实上

xuyv0 vuyuxu1uyy vyxx

2yxy2x2y

2如何根据原方程组求u v的偏导数？

隐函数存在定理设F(x y u v)、G(x y u v)在点P(x0 y0 u0 v0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数 又F(x0 y0 u0 v0)0 G(x0 y0 u0 v0)0 且偏导数所组成的函数行列

F(F,G)u式：

JG(u,v)uFv Gv在点P(x0 y0 u0 v0)不等于零 则方程组F(x y u v)0 G(x y u v)0在点P(x0 y0 u0 v0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数uu(x y) vv(x y) 它们满足条件u0u(x0 y0) v0v(x0 y0) 并有

(F,G)

u1xJ(x,v)FxFvGxGvFuFvGuGvFyFvGyGv(F,G)

v1xJ(u,x)FuFxGuGxFuFvGuGvFuFyGuGy

u1(F,G)yJ(y,v)FuFvGuGv

v1(F,G)yJ(u,y)FuFvGuGv

隐函数的偏导数: 设方程组F(x y u v)0 G(x y u v)0确定一对具有连续偏导数的 二元函数uu(x y) vv(x y) 则

FFuFv0,uvxxx 偏导数u v由方程组确定 uvxxGv0.GxGuxxFFuFv0,uvyyyuv 偏导数 由方程组确定

uvyyGv0.GyGuyyv 例3 设xuyv0 yuxv1 求u v u和

xxyy 解 两个方程两边分别对x 求偏导 得关于u和v的方程组

xxuxuyv0xx uvvx0yxx

yvvyuxv当x2y2 0时 解之得uxu 

2222xxyxxy

两个方程两边分别对x 求偏导 得关于u和v的方程组

yyxuvyv0yy uvx0uyyyyuxuyvv当x2y2 0时 解之得uxv 

2222yxyyxy

另解 将两个方程的两边微分得

udxxduvdyydv0xduydvvdyudx

 即xdv0udyyduvdxyduxdvudyvdx

解之得 duxuyvx2y2dxxvyux2y2dy

dvyuxvx2y2dxxuyvx2y2dy

xuyvxvyu于是

u22 u22

xxyyxyyuxvxuyv

v22 v22 xxyyxy

例 设函数xx(u v) yy(u v)在点(u v)的某一领域内连续且有连续偏导数

又

(x,y)(u,v)0

xx(u,v)

(1)证明方程组

 yy(u,v)在点(x y u v)的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数uu(x y) vv(x y)

(2)求反函数uu(x y) vv(x y)对x y的偏导数

解(1)将方程组改写成下面的形式

F(x,y,u,v)xx(u,v)0



G(x,y,u,v)yy(u,v)0则按假设

J(F,G)(u,v)(x,y)(u,v)0.由隐函数存在定理3 即得所要证的结论

(2)将方程组(7)所确定的反函数uu(x y)vv(x y)代入(7) 即得

xx[u(x,y),v(x,y)]



yy[u(x,y),v(x,y)]将上述恒等式两边分别对x求偏导数得

由于J0 故可解得

yy

u1 v1

xJvxJu1xuxvuxvxyuyv0uxvx

同理 可得

u1xyJv

v1xyJu §8 6

多元函数微分学的几何应用

一

空间曲线的切线与法平面

设空间曲线的参数方程为

x(t) y(t) z(t)这里假定(t) (t) (t)都在[ ]上可导

在曲线上取对应于tt0的一点M0(x0 y0 z0)及对应于tt0t的邻近一点M(x0+x y0+y z0+z) 作曲线的割线MM0 其方程为

xx0xyy0yzz0z 当点M沿着趋于点M0时割线MM0的极限位置就是曲线在点M0处的切线 考虑

xx0yy0zz0 xyzttt当MM0 即t0时 得曲线在点M0处的切线方程为

xx0yy0zz0 (t0)(t0)(t0)

曲线的切向量 切线的方向向量称为曲线的切向量 向量

T((t0) (t0) (t0))就是曲线在点M0处的一个切向量

法平面 通过点M0而与切线垂直的平面称为曲线在点M0 处的法平面 其法平面方程为

(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0

例1 求曲线xt yt2 zt3在点(1 1 1)处的切线及法平面方程

解

因为xt1 yt2t zt3t2 而点(1 1 1)所对应的参数t1 所以

T (1 2 3)

于是 切线方程为

y1z1

x1

123法平面方程为

(x1)2(y1)3(z1)0 即x2y3z6

讨论

1 若曲线的方程为

y(x) z(x)

问其切线和法平面方程是什么形式

提示 曲线方程可看作参数方程 xx y(x) z(x) 切向量为T(1 (x) (x))

2 若曲线的方程为

F(x y z)0 G(x y z)0

问其切线和法平面方程又是什么形式

提示 两方程确定了两个隐函数

y(x) z(x) 曲线的参数方程为

xx y(x) z(x) dydzFxFyFz0dydxdx由方程组可解得dydxdzGxGyGz0dxdx和dz

dx切向量为T(1, dydz,) dxdxdydz2x2y2z0dxdx得dydz10dxdx

例2 求曲线x2y2z26 xyz0在点(1 2 1)处的切线及法平面方程 

解 为求切向量 将所给方程的两边对x求导数

解方程组得dydxzxdzxy  yzdxyzdydx0在点(1 2 1)处

 dz1

dx从而T (1 0 1)

所求切线方程为

y2z1

x1

101法平面方程为

(x1)0(y2)(z1)0 即xz0

二 曲面的切平面与法线

设曲面的方程为

F(x y z)0

M0(x0 y0 z0)是曲面上的一点

并设函数F(x y z)的偏导数在该点连续且不同时为零 在曲面上 通过点M0任意引一条曲线 假定曲线的参数方程式为

x(t) y(t) z(t)

tt0对应于点M0(x0 y0 z0) 且(t0) (t0) (t0)不全为零 曲线在点的切向量为

T ((t0) (t0) (t0))

考虑曲面方程F(x y z)0两端在tt0的全导数

Fx(x0 y0 z0)(t0)Fy(x0 y0 z0)(t0)Fz(x0 y0 z0)(t0)0

引入向量

n(Fx(x0 y0 z0) Fy(x0 y0 z0) Fz(x0 y0 z0))

易见T与n是垂直的 因为曲线是曲面上通过点M0的任意一条曲线 它们在点M0的切线都与同一向量n垂直 所以曲面上通过点M0的一切曲线在点M0的切线都在同一个平面上 这个平面称为曲面在点M0的切平面 这切平面的方程式是

Fx(x0 y0 z0)(xx0)Fy(x0 y0 z0)(yy0)Fz(x0 y0 z0)(zz0)0

曲面的法线 通过点M0(x0 y0 z0)而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线 法线方程为

xx0Fx(x0, y0, z0)yy0Fy(x0, y0, z0)zz0Fz(x0, y0, z0)

曲面的法向量 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量 向量

n(Fx(x0 y0 z0) Fy(x0 y0 z0) Fz(x0 y0 z0))就是曲面在点M0处的一个法向量

例3 求球面x2y2z214在点(1 2 3)处的切平面及法线方程式

解

F(x y z) x2y2z214

Fx2x Fy2y  Fz2z 

Fx(1 2 3)2 Fy(1 2 3)4 Fz(1 2 3)6

法向量为n(2 4 6) 或n(1 2 3)

所求切平面方程为

2(x1)4(y2)6(z3)0 即x2y3z140

法线方程为x11y22z33

讨论 若曲面方程为zf(x y) 问曲面的切平面及法线方程式是什么形式

提示

此时F(x y z)f(x y)z 

n(fx(x0 y0) fy(x0 y0) 1)

例4 求旋转抛物面zx2y21在点(2 1 4)处的切平面及法线方程

解

f(x y)x2y21

n(fx fy 1)(2x 2y 1)

n|(2 1 4)(4 2 1)

所以在点(2 1 4)处的切平面方程为

4(x2)2(y1)(z4)0 即4x2yz60

y1z4法线方程为 x2

421 §8 7

方向导数与梯度

一、方向导数

现在我们来讨论函数zf(x y)在一点P沿某一方向的变化率问题

设l是xOy平面上以P0(x0 y0)为始点的一条射线 el(cos  cos )是与l同方向的单位向量 射线l的参数方程为

xx0t cos  yy0t cos (t0)

设函数zf(x y)在点P0(x0 y0)的某一邻域U(P0)内有定义 P(x0t cos  y0t cos )为l上另一点 且PU(P0) 如果函数增量f(x0t cos  y0t cos )f(x0 y0)与P到P0的距离|PP0|t的比值

f(x0tcos, y0tcos)f(x0,y0)t

当P沿着l趋于P0(即tt0)时的极限存在

则称此极限为函数f(x y)在点P0沿方向l的方向导数 记作flfl(x0,y0) 即

lim(x0,y0)f(x0tcos, y0tcos)f(x0,y0)tt0

从方向导数的定义可知 方向导数

fl(x0,y0)就是函数f(x y)在点P0(x0 y0)处沿方向l的变化率

方向导数的计算

定理

如果函数zf(x y)在点P0(x0 y0)可微分 那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数都存在 且有

fl(x0,y0)fx(x0,y0)cosfy(x0,y0)cos

其中cos  cos 是方向l 的方向余弦

简要证明 设xt cos  yt cos  则

f(x0tcos y0tcos)f(x0 y0)f x(x0 y0)tcosf y(x0 y0)tcoso(t)

所以

limf(x0tcos, y0tcos)f(x0,y0)t0tfx(x0,y0)cosfy(x0,y0)sin

这就证明了方向导数的存在 且其值为

fl(x0,y0)fx(x0,y0)cosfy(x0,y0)cos提示 f(x0x,y0y)f(x0,y0)fx(x0,y0)xfy(x0,y0)yo((x)2(y)2)

xt cos  yt cos (x)2(y)2t

讨论 函数zf(x y)在点P 沿x轴正向和负向

沿y轴正向和负向的方向导数如何? 提示

沿x轴正向时 cos cos0

flfx

沿x轴负向时 cos1 cos0

ff lx

例1 求函数zxe2y在点P(1 0)沿从点P(1 0)到点Q(2 1)的方向的方向导数

解 这里方向l即向量PQ(1, 1)的方向 与l同向的单位向量为

el(12, 12)

e2y1

zy2xe2y2 因为函数可微分 且z所以所求方向导数为

zl(1,0)x(1,0)(1,0)(1,0)(1,0)1122(12)2

2对于三元函数f(x y z)来说 它在空间一点P0(x0 y0 z0)沿el(cos  cos  cos )的方向导数为

fllim(x0,y0,z0)f(x0tcos, y0tcos,z0tcos)f(x0,y0,z0)tt0

如果函数f(x y z)在点(x0 y0 z0)可微分 则函数在该点沿着方向el(cos  cos  cos 的方向导数为

fl(x0,y0,z0)fx(x0 y0 z0)cosfy(x0 y0 z0)cosfz(x0 y0 z0)cos

例2求f(x y z)xyyzzx在点(1 1 2)沿方向l的方向导数 其中l的方向角分

别为60 45 60

解 与l同向的单位向量为

el(cos60 cos 45 cos60(1, 2, 1)

222因为函数可微分且

fx(1 1 2)(yz)|(1 1 2)3

fy(1 1 2)(xz)|(1 1 2)3

fz(1 1 2)(yx)|(1 1 2)2 所以

fl1211332(532)2222(1,1,2)

二 梯度

设函数zf(x y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数 则对于每一点P0(x0 y0)D 都可确定一个向量

fx(x0 y0)ify(x0 y0)j

这向量称为函数f(x y)在点P0(x0 y0)的梯度 记作grad f(x0 y0) 即

grad f(x0 y0) fx(x0 y0)ify(x0 y0)j

梯度与方向导数 

如果函数f(x y)在点P0(x0 y0)可微分 el(cos  cos )是与方向l同方向的单位向量 则

fl(x0,y0)fx(x0,y0)cosfy(x0,y0)cos

 grad f(x0 y0)el

| grad f(x0 y0)|cos(grad f(x0 y0)^ el)

这一关系式表明了函数在一点的梯度与函数在这点的方向导数间的关系 特别 当向量el与grad f(x0 y0)的夹角0 即沿梯度方向时 方向导数

fl取得

(x0,y0)最大值 这个最大值就是梯度的模|grad f(x0 y0)| 这就是说 函数在一点的梯度是个向量 它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向 它的模就等于方向导数的最大值

讨论 fl的最大值



结论 函数在某点的梯度是这样一个向量 它的方向与取得最大方向导数的 方向一致 而它的模为方向导数的最大值

我们知道 一般说来二元函数zf(x y)在几何上表示一个曲面 这曲面被平面zc(c是常数)所截得的曲线L的方程为

zf(x,y)



zc这条曲线L在xOy面上的投影是一条平面曲线L* 它在xOy平面上的方程为

f(x y)c

对于曲线L*上的一切点 已给函数的函数值都是c 所以我们称平面曲线L*为函数zf(x y)的等值线

若f x f y不同时为零 则等值线f(x y)c上任一点P0(x0 y0)处的一个单位法向量为

n1fx2(x0,y0)fy2(x0,y0)(fx(x0,y0),fy(x0,y0))

这表明梯度grad f(x0 y0)的方向与等值线上这点的一个法线方向相同 而沿这个方向的方向导数f就等于|grad f(x0 y0)| 于是 nfn

n

gradf(x0,y0)

这一关系式表明了函数在一点的梯度与过这点的等值线、方向导数间的关系 这说是说 函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同 它的指向为从数值较低的等值线指向数值较高的等值线 梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数

梯度概念可以推广到三元函数的情形 设函数f(x y z)在空间区域G内具有一阶连续偏导数 则对于每一点P0(x0 y0 z0)G 都可定出一个向量

fx(x0 y0 z0)ify(x0 y0 z0)jfz(x0 y0 z0)k

这向量称为函数f(x y z)在点P0(x0 y0 z0)的梯度 记为grad f(x0 y0 z0) 即

grad f(x0 y0 z0)fx(x0 y0 z0)ify(x0 y0 z0)jfz(x0 y0 z0)k

结论 三元函数的梯度也是这样一个向量 它的方向与取得最大方向导数的方向一致 而它的模为方向导数的最大值

如果引进曲面

f(x y z)c

为函数的等量面的概念 则可得函数f(x y z)在点P0(x0 y0 z0)的梯度的方向与过点P0的等量面 f(x y z)c在这点的法线的一个方向相同 且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面 而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数

例3 求grad 1x2y2

 解 这里f(x,y)

因为 1x2y2ff2y2x 

222222xy(xy)(xy)2y2xij

(x2y2)2(x2y2)21所以

grad 2xy2

例4 设f(x y z)x2y2z2 求grad f(1 1 2)

解 grad f(fx fy fz)(2x 2y 2z)

于是

grad f(1 1 2)(2 2 4)

数量场与向量场 如果对于空间区域G内的任一点M 都有一个确定的数量f(M) 则称在这空间区域G内确定了一个数量场(例如温度场、密度场等) 一个数量场可用一个数量函数f(M)来确定 如果与点M相对应的是一个向量F(M) 则称在这空间区域G内确定了一个向量场(例如力场、速度场等) 一个向量场可用一个向量函数F(M)来确定 而

F(M)P(M)iQ(M)jR(M)k

其中P(M) Q(M) R(M)是点M的数量函数

利用场的概念 我们可以说向量函数grad f(M)确定了一个向量场——梯度场 它是由数量场f(M)产生的 通常称函数f(M)为这个向量场的势 而这个向量场又称为势场 必须注意 任意一个向量场不一定是势场 因为它不一定是某个数量函数的梯度场

例5 试求数量场m所产生的梯度场 其中常数m>0

rrx2y2z2为原点O与点M(x y z)间的距离

rmx 解 (m)m 23xrrxr同理

mym()3yrr (m)mz 3zrrymmxz2(ijk) 从而

gradrrrrryxz记erijk 它是与OM同方向的单位向量 则gradmmer

rrrrr2

上式右端在力学上可解释为 位于原点O 而质量为m 质点对位于点M而质量为l的质点的引力 这引力的大小与两质点的质量的乘积成正比、而与它们的距平方成反比 这引力的方向由点M指向原点 因此数量场m的势场即梯度场

rgradm称为引力场 而函数m称为引力势

r

r §88

多元函数的极值及其求法

一、多元函数的极值及最大值、最小值

定义

设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某个邻域内有定义 如果对于该邻域内任何异于(x0 y0)的点(x y) 都有

f(x y)f(x0 y0))

则称函数在点(x0 y0)有极大值(或极小值)f(x0 y0)

极大值、极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点

例1 函数z3x24y2在点(0 0)处有极小值



当(x y)(0 0)时 z0 而当(x y)(0 0)时 z0 因此z0是函数的极小值

例2 函数zx2y2在点(0 0)处有极大值



当(x y)(0 0)时 z0 而当(x y)(0 0)时 z0 因此z0是函数的极大值

例3 函数zxy在点(0 0)处既不取得极大值也不取得极小值



因为在点(0 0)处的函数值为零 而在点(0 0)的任一邻域内 总有使函数值为正的点 也有使函数值为负的点

以上关于二元函数的极值概念 可推广到n元函数

设n元函数uf(P)在点P0的某一邻域内有定义 如果对于该邻域内任何异于P0的点P 都有

f(P)f(P 0))

则称函数f(P)在点P0有极大值(或极小值)f(P0)

定理1(必要条件)设函数zf(x y)在点(x0 y0)具有偏导数 且在点(x0 y0)处有极值 则有

fx(x0 y0)0 fy(x0 y0)0

证明 不妨设zf(x y)在点(x0 y0)处有极大值 依极大值的定义 对于点(x0 y0)的某邻域内异于(x0 y0)的点(x y) 都有不等式

f(x y)

特殊地 在该邻域内取yy0而xx0的点 也应有不等式

f(x y0)

这表明一元函数f(x y0)在xx0处取得极大值 因而必有

fx(x0 y0)0

类似地可证

fy(x0 y0)0

从几何上看 这时如果曲面zf(x y)在点(x0 y0 z0)处有切平面 则切平面

zz0fx(x0 y0)(xx0) fy(x0 y0)(yy0)成为平行于xOy坐标面的平面zz0

类似地可推得 如果三元函数uf(x y z)在点(x0 y0 z0)具有偏导数 则它在点

(x0 y0 z0)具有极值的必要条件为

fx(x0 y0 z0)0 fy(x0 y0 z0)0 fz(x0 y0 z0)0

仿照一元函数 凡是能使fx(x y)0 fy(x y)0同时成立的点(x0 y0)称为函数zf(x y)的驻点

从定理1可知 具有偏导数的函数的极值点必定是驻点 但函数的驻点不一定是极值点



例如 函数zxy在点(0 0)处的两个偏导数都是零 函数在(0 0)既不取得极大值也不取得极小值



定理2(充分条件)

设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数 又fx(x0 y0)0 fy(x0 y0)0 令

fxx(x0 y0)A fxy(x0 y0)B fyy(x0 y0)C

则f(x y)在(x0 y0)处是否取得极值的条件如下

(1)ACB2>0时具有极值 且当A<0时有极大值 当A>0时有极小值

(2)ACB2<0时没有极值

(3)ACB20时可能有极值 也可能没有极值



在函数f(x y)的驻点处如果 fxx fyyfxy2>0 则函数具有极值 且当fxx<0时有极大值 当fxx>0时有极小值

极值的求法

f(3 2)31

应注意的问题

不是驻点也可能是极值点

例如  函数zx2y2在点(0 0)处有极大值 但(0 0)不是函数的驻点 因此 在考虑函数的极值问题时 除了考虑函数的驻点外 如果有偏导数不存在的点 那么对这些点也应当考虑

最大值和最小值问题 如果f(x y)在有界闭区域D上连续 则f(x y)在D上必定能取得最大值和最小值 这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在D的内部 也可能在D的边界上 我们假定 函数在D上连续、在D内可微分且只有有限个驻点 这时如果函数在D的内部取得最大值(最小值) 那么这个最大值(最小值)也是函数的极大值(极小值) 因此 求最大值和最小值的一般方法是 将函数f(x y)在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较 其中最大的就是最大值 最小的就是最小值 在通常遇到的实际问题中 如果根据问题的性质 知道函数f(x y)的最大值(最小值)一定在D的内部取得 而函数在D内只有一个驻点 那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数f(x y)在D上的最大值(最小值)

例5 某厂要用铁板做成一个体积为8m3的有盖长方体水箱 问当长、宽、高各取多少时 才能使用料最省

解 设水箱的长为xm 宽为ym 则其高应为A2(xyy8xym 此水箱所用材料的面积为

8888x)2(xy)(x0, y0) xyxyxyy令Ax2(y82)0 Ay2(x82)0 得x2 y2

x

根据题意可知 水箱所用材料面积的最小值一定存在 并在开区域D{(x

y)|x>0 y>0}内取得 因为函数A在D内只有一个驻点 所以 此驻点一定是A的最小值点 即当水箱的长为2m、宽为2m、高为82m时 水箱所用的材料最省



22 因此A在D内的唯一驻点(2 2)处取得最小值 即长为2m、宽为2m、高为82m时 所用材料最省 

2从这个例子还可看出

在体积一定的长方体中 以立方体的表面积为最小

例6 有一宽为24cm的长方形铁板 把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽 问怎样折法才能使断面的面积最大？

解 设折起来的边长为xcm 倾角为 那末梯形断面的下底长为242x 上底长为242xcos 高为xsin 所以断面面积

A1(242x2xcos242x)xsin

2即A24xsin2x2sinx2sin cos(0

可见断面面积A是x和的二元函数 这就是目标函数 面求使这函数取得最大值的点(x )

令Ax24sin4xsin2xsin cos0

A24xcos2x2 cosx2(cos2sin2)0

由于sin 0 x0 上述方程组可化为



2224cos2xcosx(cossin)0解这方程组 得60 x8cm

根据题意可知断面面积的最大值一定存在 并且在D{(x y)|0

二、条件极值

拉格朗日乘数法

对自变量有附加条件的极值称为条件极值

例如 求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积问题 设长方体的三棱的长为x y z 则体积Vxyz 又因假定表面积为a2 所以自变量x y z还必须满足附加条件2(xyyzxz)a2



这个问题就是求函数Vxyz在条件2(xyyzxz)a2下的最大值问题 这是一个条件极值问题

对于有些实际问题 可以把条件极值问题化为无条件极值问题



例如上述问题  由条件2(xyyzxz)a2 解得z

Vxya22xy() 2(xy)a22xy2(xy)122xxcos0 于是得

只需求V的无条件极值问题

在很多情形下 将条件极值化为无条件极值并不容易 需要另一种求条件极值的专用方法 这就是拉格朗日乘数法

现在我们来寻求函数zf(x y)在条件(x y)0下取得极值的必要条件

如果函数zf(x y)在(x0 y0)取得所求的极值 那么有

(x0 y0)0

假定在(x0 y0)的某一邻域内f(x y)与(x y)均有连续的一阶偏导数 而y(x0 y0)0

由隐函数存在定理 由方程(x y)0确定一个连续且具有连续导数的函数y(x) 将其代入目标函数zf(x y) 得一元函数

zf [x (x)]

于是xx0是一元函数zf [x (x)]的极值点 由取得极值的必要条件 有

dzdxxx0fx(x0,y0)fy(x0,y0)dydxxx00

即

fx(x0,y0)fy(x0,y0)x(x0,y0)0

y(x0,y0)从而函数zf(x y)在条件(x y)0下在(x0 y0)取得极值的必要条件是

fx(x0,y0)fy(x0,y0)x(x0,y0)0与(x0 y0)0同时成立

y(x0,y0)

设fy(x0,y0)y(x0,y0) 上述必要条件变为

fx(x0,y0)x(x0,y0)0fy(x0,y0)y(x0,y0)0(x,y)000

拉格朗日乘数法 要找函数zf(x y)在条件(x y)0下的可能极值点 可以先构成辅助函数

F(x y)f(x y)(x y)

其中为某一常数

然后解方程组

Fx(x,y)fx(x,y)x(x,y)0Fy(x,y)fy(x,y)y(x,y)0 (x,y)0

由这方程组解出x y及 则其中(x y)就是所要求的可能的极值点

这种方法可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形

至于如何确定所求的点是否是极值点 在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定

例7 求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积

解 设长方体的三棱的长为x y z 则问题就是在条件

2(xyyzxz)a2

下求函数Vxyz的最大值

构成辅助函数

F(x y z)xyz(2xy 2yz 2xz a2)

解方程组

Fx(x,y,z)yz2(yz)0Fy(x,y,z)xz2(xz)0

Fz(x,y,z)xy2(yx)022xy2yz2xza得xyz6a

6这是唯一可能的极值点

因为由问题本身可知最大值一定存在 所以最大值就在这个可能的值点处取得 此时V6a3