高等数学教案ch 9 重积分大全

第一篇：高等数学教案ch 9 重积分大全

第九章

重积分

教学目的：

1、理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。

2、掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。

3、掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。

4、会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）。教学重点：

1、二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；

2、三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。

3、二、三重积分的几何应用及物理应用。教学难点：

1、利用极坐标计算二重积分；

2、利用球坐标计算三重积分；

3、物理应用中的引力问题。

§9 1 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念

1 曲顶柱体的体积

设有一立体 它的底是xOy面上的闭区域D 它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面 它的顶是曲面zf(x y) 这里f(x y)0且在D上连续 这种立体叫做曲顶柱体 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积

首先 用一组曲线网把D分成n个小区域：

 1  2      n 

分别以这些小闭区域的边界曲线为准线 作母线平行于z轴的柱面 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体 在每个 i中任取一点( i   i) 以f( i   i)为 高而底为 i的平顶柱体的体积为 ： f( i   i)i(i1 2     n)

这个平顶柱体体积之和：Vf(i,i)i

i1n可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值 为求得曲顶柱体体积的精确值 将分割加密 只需取极限 即 Vlimf(i,i)i

0i1n其中是个小区域的直径中的最大值

2平面薄片的质量

设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 它在点(x y)处的面密度为(x y) 这里(x y)0且在D上连续 现在要计算该薄片的质量M

用一组曲线网把D分成n个小区域

 1  2      n 

把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量

( i   i) i 

各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值 M(i,i)i

i1nn

将分割加细 取极限 得到平面薄片的质量Mlim(i,i)i

0i1其中是个小区域的直径中的最大值

定义 设f(x y)是有界闭区域D上的有界函数 将闭区域D任意分成n个小闭区域

 1  2      n 

其中 i表示第i个小区域 也表示它的面积 在每个 i上任取一点( i i) 作和

ni1f(i,i)i

如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时 这和的极限总存在 则称此极限为函数f(x y)在闭区域D上的二重积分 记作f(x,y)d 即

DDf(x,y)dlim0i1f(i,i)i

nf(x y)被积函数 f(x y)d被积表达式 d面积元素 x y积分变量 D积分区域 积分和

直角坐标系中的面积元素

如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D 那么除了包含边界点的一些小闭区域外 其余的小闭区域都是矩形闭区域 设矩形闭区域i的边长为xi和yi 则ixiyi 因此在直角坐标系中 有时也把面积元素d 记作dxdy 而把二重积分记作

Df(x,y)dxdy

其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素

二重积分的存在性 当f(x y)在闭区域D上连续时 积分和的极限是存在的

也就是说函数f(x y)在D上的二重积分必定存在 我们总假定函数f(x y)在闭区域D上连续 所以f(x y)在D上的二重积分都是存在的

二重积分的几何意义 如果f(x y)0 被积函数f(x y)可解释为曲顶柱体的在点(x y)处的竖坐标 所以二重积分的几何意义就是柱体的体积 如果f(x y)是负的 柱体就在xOy 面的下方 二重积分的绝对值仍等于柱体的体积 但二重积分的值是负的

二

二重积分的性质

性质1 设c1、c2为常数 则

[c1f(x,y)c2g(x,y)]dDc1f(x,y)dc2g(x,y)dDD

性质2如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域 则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和 例如D分为两个闭区域D1与D2 则

Df(x,y)df(x,y)df(x,y)d

D1D

2性质3 1dd(为D的面积)

DD

性质4 如果在D上 f(x y)g(x y) 则有不等式

Df(x,y)dg(x,y)dD

特殊地

|f(x,y)d||f(x,y)|d

DD

性质5 设M、m分别是f(x y)在闭区域D上的最大值和最小值 为D的面积 则有

mDf(x,y)dM

性质6(二重积分的中值定理)设函数f(x y)在闭区域D上连续  为D的面积 则在D上至少存在一点( )使得

Df(x,y)df(,)

§9 2 二重积分的计算法

一、利用直角坐标计算二重积分

X型区域

D 

1(x)y2(x) axb 

Y 型区域

D 

1(x)y2(x) cyd 

混合型区域

设f(x y)0

D{(x y)| 1(x)y2(x) axb}

此时二重积分f(x,y)d在几何上表示以曲面zf(x y)为顶 以区域D为底的D曲顶柱体的体积

对于x0[a b]

曲顶柱体在xx0的截面面积为以区间[1(x0) 2(x0)]为底、以曲线zf(x0 y)为曲边的曲边梯形 所以这截面的面积为

A(x0)2(x0)1(x0)f(x0,y)dy

根据平行截面面积为已知的立体体积的方法 得曲顶柱体体积为

VA(x)dx[aabb2(x)1(x)f(x,y)dy]dx

即

Vf(x,y)d[Dab2(x)1(x)f(x,y)dy]dx

可记为

Df(x,y)ddxab2(x)1(x)f(x,y)dy

类似地 如果区域D为Y 型区域

D  1(x)y2(x) cyd 

则有

Df(x,y)ddycd2(y)1(y)f(x,y)dx

例1 计算xyd 其中D是由直线y

1、x2及yx所围成的闭区域

D

解 画出区域D

解法1

可把D看成是X型区域 1x2 1yx  于是

xydD21[xydy]dx1x21y2x1x4x22912]1[x]1dx(x3x)dx[2212428x2x

注 积分还可以写成xyddxxydyxdxydy

D1111

2解法2 也可把D看成是Y型区域 1y2 yx2  于是

xydD21[xydx]dyy2212y3y429x222[y]ydy(2y)dy[y]112288

例2 计算y1x2y2d 其中D是由直线y

1、x1及yx所围成的闭区D域

解

画出区域D 可把D看成是X型区域 1x1 xy1 于是

D1111y1xyddxy1xydy[(1x2y2)2]1dx(|x|31)dx x1x3131222211 2(x31)dx1

301

2也可D看成是Y型区域：1y1 1x

yD1xydydy12211y1x2y2dx

例3 计算xyd 其中D是由直线yx2及抛物线y2x所围成的闭区域

D

解 积分区域可以表示为DD1+D2

其中D1: 0x1, xyx D2: 1x4, 2yx 于是 Dxyddx01xxxydydx14xx2xydy

积分区域也可以表示为D 1y2 y2xy2 于是

Dxyddy12y2y2xydx[121x2y2y]y2dy221[y(y2)22y5]dy

4y621y4352[y2y]1524368

讨论积分次序的选择

例

4求两个底圆半径都等于的直交圆柱面所围成的立体的体积

解

设这两个圆柱面的方程分别为

x2y2 2及x2z2 2

利用立体关于坐标平面的对称性 只要算出它在第一卦限部分的体积V1 然后再乘以8就行了

第一卦限部分是以D{(x y)| 0yR2x2, 0x}为底 以zR2x2顶的曲顶柱体 于是

V8Rxd8dx220RR2x20R2x2dy8[R2x2y]0R0R2x2dx

D

8(R2x2)dx16R3

0R3

二

利用极坐标计算二重积分

有些二重积分 积分区域D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便 且被积函数用极坐标变量、 表达比较简单

这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分f(x,y)d

Dn按二重积分的定义f(x,y)dlimD0i1f(i,i)i

下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式

以从极点O出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域 小闭区域的面积为

i1(ii)2i1i2i1(2ii)ii i(ii)2iiiii

其中i表示相邻两圆弧的半径的平均值

在i内取点(i , i) 设其直角坐标为( i  i)

则有 ii cosi ii sini

nn于是 lim即

0i1f(i,i)ilim0i1f(i cosi,i sini)i ii

Df(x,y)ds,sin)dd

f(coD若积分区域D可表示为

 1() 2()



则

Df(cos,sin)ddd2()1()f(cos,sin)d

讨论如何确定积分限?

Df(cos,sin)ddd()0f(cos,sin)d

Df(cos,sin)dd220d()0f(cos,sin)d

例5 计算exDy2dxdy 其中D是由中心在原点、半径为a 的圆周所围成的闭区域

解

在极坐标系中 闭区域D可表示为

0a  0 2  于是 xeD2y2dxdyeddD220[ed]d 0a220[12ae]0d 2221a(1e)d(1ea)

02

注 此处积分exD2y2dxdy也常写成x2y2a2xe2y2dxdy

利用x2y2a2ex2y2dxdy(1ea2)计算广义积分 0exdx

2设D1{(x y)|x2y2R2 x0 y0}

D2{(x y)|x2y22R2 x0 y0}

S{(x y)|0xR 0yR}

显然D1SD2 由于ex

xeD122y20 从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式

2y2dxdyexSy2dxdyexD22y2dxdy

因为

xeS2y2dxdyexdxeydy(exdx)2

000R2R2R2又应用上面已得的结果有

xeD12y2dxdy4(1eR)2

xeD22y2dxdy4(1e2R)

2于是上面的不等式可写成(1eR)(exdx)2(1e2R)

2R22404令R 上式两端趋于同一极限

4 从而exdx

2 02

例6 求球体x2y2z24a2被圆柱面x2y22ax所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积

解

由对称性 立体体积为第一卦限部分的四倍

V44a2x2y2dxdy

D其中D为半圆周y2axx2及x轴所围成的闭区域

在极坐标系中D可表示为

02a cos  0 

2于是

V44a22dd42dD02acos04a22d

32a22(1sin3)d32a2(2)

0332§93

三重积分 一、三重积分的概念

定义 设f(x y z)是空间有界闭区域上的有界函数 将任意分成n个小闭区域

v1 v2     vn

其中vi表示第i个小闭区域 也表示它的体积 在每个vi上任取一点(i i i) 作乘积f( i  i  i)vi(i1 2    n)并作和f(i,i,i)vi 如果当各小闭区域的直径

i1n中的最大值趋于零时

这和的极限总存在

则称此极限为函数f(x y z)在闭区域上的三重积分 记作f(x,y,z)dv

即



f(x,y,z)dvlim0i1f(i,i,i)vi

n

三重积分中的有关术语

——积分号

f(x y z)——被积函数

f(x y z)dv

——被积表达式

dv体积元素

x y z——积分变量

——积分区域

在直角坐标系中 如果用平行于坐标面的平面来划分 则vixi yizi  因此也把体积元素记为dv dxdydz 三重积分记作

f(x,y,z)dvf(x,y,z)dxdydz

当函数f(x y z)在闭区域上连续时 极限limf(i,i,i)vi是存在的

0i1n因此f(x y z)在上的三重积分是存在的 以后也总假定f(x y z)在闭区域上是连续的

三重积分的性质 与二重积分类似

比如

[c1f(x,y,z)c2g(x,y,z)]dvc1f(x,y,z)dvc2g(x,y,z)dv

f(x,y,z)dvf(x,y,z)dvf(x,y,z)dv

1212dvV 其中V为区域的体积 二、三重积分的计算

1 利用直角坐标计算三重积分

三重积分的计算 三重积分也可化为三次积分来计算 设空间闭区域可表为

z1(x y)zz2(x y) y1(x)yy2(x) axb

则

f(x,y,z)dv[Dz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]d

dxaby2(x)y1(x)y2(x)y1(x)[z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz

f(x,y,z)dz

dxabdyz2(x,y)z1(x,y)即 f(x,y,z)dvadxy(x)1by2(x)dyz2(x,y)z1(x,y)其中D : y1(x) y y2(x) axb 它是闭区域在xOy面上的投影区域

提示

设空间闭区域可表为

z1(x y)zz2(x y) y1(x)yy2(x) axb

计算f(x,y,z)dv

基本思想

对于平面区域D

y1(x)yy2(x) axb内任意一点(x y) 将f(x y z)只看作z的函数 在区间[z1(x y)

z2(x y)]上对z积分 得到一个二元函数F(x y)

F(x,y)三重积分

z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz

然后计算F(x y)在闭区域D上的二重积分 这就完成了f(x y z)在空间闭区域上的 DF(x,y)d[Dz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]ddxaby2(x)y1(x)[z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy

则 f(x,y,z)dv[Dz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]d

dxaby2(x)y1(x)y2(x)y1(x)[z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz

dxabdyz2(x,y)z1(x,y)即

f(x,y,z)dvdxaby2(x)y1(x)dyz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz

其中D : y1(x) y y2(x) axb 它是闭区域在xOy面上的投影区域

例1 计算三重积分xdxdydz 其中为三个坐标面及平面x2yz1所围成的闭区域

解 作图 区域可表示为:

0z1x2y 0y1(1x) 0x1

2于是

xdxdydz dx0111x20dy1x2y0xdz

xdx01x20(1x2y)dy2

140(x2x1x3)dx1

讨论 其它类型区域呢?

有时 我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分 设空间闭区域{(x y z)|(x y)Dz c1 zc2} 其中Dz是竖坐标为z 的平面截空间闭区域所得到的一个平面闭区域 则有

f(x,y,z)dvdzf(x,y,z)dxdy

c1Dzc

2例2 计算三重积分zdxdydz

222x2y其中是由椭球面22z21所围成的空

abc间闭区域

解 空间区域可表为: 22y2

x221z2 c zc

abc于是

c2cz2dxdydz z2dzdxdyab(1z)z2dz4abc3

2cDzcc1

5练习

1 将三重积分If(x,y,z)dxdydz化为三次积分 其中



(1)是由曲面z1x2y2 z0所围成的闭区域

(2)是双曲抛物面xyz及平面xy10 z0所围成的闭区域

(3)其中是由曲面zx22y2及z2x2所围成的闭区域

2 将三重积分If(x,y,z)dxdydz化为先进行二重积分再进行定积分的形式

其中由曲面z1x2y2 z0所围成的闭区域

2 利用柱面坐标计算三重积分

设M(x y z)为空间内一点 并设点M在xOy面上的投影P 的极坐标为P( ) 则这样的三个数、、z就叫做点M的柱面坐标 这里规定、、z的变化范围为

0< 0 2  

坐标面0   0 zz0的意义

点M 的直角坐标与柱面坐标的关系

xcos ysin zz 

xcosysinzz

柱面坐标系中的体积元素 dvdddz

简单来说 dxdydd  dxdydzdxdydzdd dz

柱面坐标系中的三重积分

f(x,y,z)dxdydzf(cos,sin,z)dddz



例3 利用柱面坐标计算三重积分zdxdydz 其中是由曲面zx2y2与平面z4所围成的闭区域

解 闭区域可表示为

2z4 02 02

于是

zdxdydzzdddz2

42

2ddzdz1d(164)d

00222006 12[8216]2

026

33 利用球面坐标计算三重积分

设M(x y z)为空间内一点 则点M也可用这样三个有次序的数r、、 来确定 其中

r为原点O与点M间的距离 为OM与z轴正向所夹的角 为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段OP的角 这里P为点M在xOy面上的投影 这样的三个数r、、 叫做点M的球面坐标 这里r、、 的变化范围为

0r< 0< 0 2

坐标面rr0 0 0的意义

点M的直角坐标与球面坐标的关系

xrsincos yrsinsin zrcos 

xrsincosyrsinsinzrcos

球面坐标系中的体积元素

dvr2sindrdd 

球面坐标系中的三重积分

f(x,y,z)dvf(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindrdd

例4 求半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积

解 该立体所占区域可表示为

0r2acos 0 02

于是所求立体的体积为

Vdxdydzrsindrdddd222acos000r2sindr

2sind02acos0r2dr

16a3304a34cossind(1cosa)

提示 球面的方程为x2y2(za)2a2 即x2y2z22az 在球面坐标下此球面的方程为r22arcos 即r2acos

§9 4 重积分的应用

元素法的推广

有许多求总量的问题可以用定积分的元素法来处理 这种元素法也可推广到二重积分的应用中 如果所要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(就是说 当闭区域D分成许多小闭区域时 所求量U相应地分成许多部分量 且U等于部分量之和) 并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域d时 相应的部分量可近似地表示为f(x y)d 的形式 其中(x y)在d内 则称f(x y)d 为所求量U的元素 记为dU 以它为被积表达式 在闭区域D上积分

Uf(x,y)d

D这就是所求量的积分表达式

一、曲面的面积

设曲面S由方程 zf(x y)给出 D为曲面S在xOy面上的投影区域 函数f(x y)在D上具有连续偏导数fx(x y)和fy(x y) 现求曲面的面积A 

在区域D内任取一点P(x y) 并在区域D内取一包含点P(x y)的小闭区域d 其面积也记为d 在曲面S上点M(x y f(x y))处做曲面S的切平面T 再做以小区域d的边界曲线为准线、母线平行于z轴的柱面 将含于柱面内的小块切平面的面积作为含于柱面内的小块曲面面积的近似值 记为dA 又设切平面T的法向量与z轴所成的角为  则

d1fx2(x,y)fy2(x,y)d

dAcos这就是曲面S的面积元素

于是曲面S 的面积为

A1fx2(x,y)fy2(x,y)d

D或

A1(z)2(z)2dxdy

Dxy

设dA为曲面S上点M处的面积元素 dA在xOy面上的投影为小闭区域d M在xOy面上的投影为点P(x y) 因为曲面上点M处的法向量为n(fx fy 1) 所以

dA|n|d1fx2(x,y)fy2(x,y)d

提示 dA与xOy面的夹角为(n^ k) dAcos(n^ k)d

nk|n|cos(n^ k)1 cos(n^ k)|n|1

讨论 若曲面方程为xg(y z)或yh(z x) 则曲面的面积如何求？

ADyz1(x2x)()2dydzyzyx

或

A1(Dzxyz)2()2dzdx

其中Dyz是曲面在yOz面上的投影区域

Dzx是曲面在zOx面上的投影区域

例1 求半径为R的球的表面积

解 上半球面方程为zR2x2y2 x2y2R2

因为z对x和对y的偏导数在D x2y2R2上无界 所以上半球面面积不能直接求出 因此先求在区域D1 x2y2a2(aR)上的部分球面面积 然后取极限

x2y2a2RRxy222dxdyR02dardrRr220

2R(RR2a2)

于是上半球面面积为lim2R(RR2a2)2R2

aR整个球面面积为

A2A14R2

提示

zxxRxy222 zyyRxy222 1(z)2(z)2xyRRxy222

解 球面的面积A为上半球面面积的两倍

上半球面的方程为zR2x2y2 而

zxxRxy222 zyyRxy222

所以

A2x2y2R21(z2z2)()xyR2R

2x2y2R2R2x2y2R0dxdy2R0ddR220

4RR22 4R2

例2设有一颗地球同步轨道通讯卫星 距地面的高度为h36000km 运行的角速度与地球自转的角速度相同 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径R6400km)

解 取地心为坐标原点 地心到通讯卫星中心的连线为z轴 建立坐标系

通讯卫星覆盖的曲面是上半球面被半顶角为的圆锥面所截得的部分 的方程为

zR2x2y2 x2y2R2sin2

于是通讯卫星的覆盖面积为

ADxy1(z2z2)()dxdyxyDxyRRxy222dxdy

其中Dxy{(x y)| x2y2R2sin2}是曲面在xOy面上的投影区域

利用极坐标 得

Ad02RsinRR220d2RRsinR220d2R2(1cos)

由于cosR 代入上式得

Rh

A2R2(1R)2R2hRhRh

由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为 Ah36106

42.5%

4R22(Rh)2(366.4)106

由以上结果可知 卫星覆盖了全球三分之一以上的面积 故使用三颗相隔23角度的通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面

二、质心

设有一平面薄片 占有xOy 面上的闭区域D 在点P(x y)处的面密度为(x y) 假定(x y)在D上连续 现在要求该薄片的质心坐标

在闭区域D上任取一点P(x y) 及包含点P(x y)的一直径很小的闭区域d(其面积也记为d) 则平面薄片对x轴和对y轴的力矩(仅考虑大小)元素分别为

dMxy(x y)d dMyx(x y)d

平面薄片对x轴和对y轴的力矩分别为

Mxy(x,y)d Myx(x,y)d

DD

设平面薄片的质心坐标为(x, y)平面薄片的质量为M 则有

xMMy yMMx 

于是

xMMyx(x,y)dD(x,y)dD yMxMy(x,y)dD(x,y)dD

在闭区域D上任取包含点P(x y)小的闭区域d(其面积也记为d) 则

平面薄片对x轴和对y轴的力矩元素分别为

dMxy(x y)d dMyx(x y)d

平面薄片对x轴和对y轴的力矩分别为

Mxy(x,y)d Myx(x,y)d

DD

设平面薄片的质心坐标为(x, y)平面薄片的质量为M 则有

xMMy yMMx 

于是

xMMyx(x,y)dD(x,y)dD yMxMy(x,y)dD(x,y)dD

提示 将P(x y)点处的面积元素d看成是包含点P的直径得小的闭区域 D上任取一点P(x y) 及包含的一直径很小的闭区域d(其面积也记为d) 则平面薄片对x轴和对y轴的力矩(仅考虑大小)元素分别为

讨论 如果平面薄片是均匀的 即面密度是常数 则平面薄片的质心(称为形心)如何求？

求平面图形的形心公式为

xd

xDyd yDdDdD

例3 求位于两圆2sin 和4sin 之间的均匀薄片的质心

解 因为闭区域D对称于y轴 所以质心C(x, y)必位于y轴上 于是x0

因为

ydDD2sinddsind04sin2sin2d7

22d213D

yd所以yDdD777 所求形心是C(0,)

33

3类似地 占有空间闭区域、在点(x y z)处的密度为(x y z)(假宽(x y z)在上连续)的物体的质心坐标是

x1Mx(x,y,z)dv y1My(x,y,z)dv z1Mz(x,y,z)dv



其中M(x,y,z)dv



例4 求均匀半球体的质心

解 取半球体的对称轴为z轴 原点取在球心上 又设球半径为a 则半球体所占空间闭区可表示为

{(x y z)| x2y2z2a2 z0}

显然 质心在z轴上 故xy0

zdvzdv

zdvdv3a8

故质心为(0, 0, 3a)

8提示  0ra 0 02

2

dvd2020drsindrsind020a220da02a3rdr32

zdv02d02da02a1a4123

rcosrsindrsin2ddrdr20024202

三、转动惯量

设有一平面薄片 占有xOy面上的闭区域D 在点P(x y)处的面密度为(x y) 假定(x y)在D上连续 现在要求该薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量

在闭区域D上任取一点P(x y) 及包含点P(x y)的一直径很小的闭区域d(其面积也记为d) 则平面薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量的元素分别为

dIxy2(x y)d  dI yx2(x y)d 

整片平面薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量分别为

Ixy2(x,y)d Iyx2(x,y)d

DD

例5 求半径为a 的均匀半圆薄片(面密度为常量)对于其直径边的转动惯量

解 取坐标系如图 则薄片所占闭区域D可表示为

D{(x y)| x2y2a2 y0} 而所求转动惯量即半圆薄片对于x轴的转动惯量Ix 

Ixy2d2sin2dd

DD

sin d20a0a4d430sin d

2

1a41Ma2

424其中M1a2为半圆薄片的质量

2类似地 占有空间有界闭区域、在点(x y z)处的密度为(x y z)的物体对于x、y、z轴的转动惯量为

Ix(y2z2)(x,y,z)dv



Iy(z2x2)(x,y,z)dv



Iz(x2y2)(x,y,z)dv



例6 求密度为的均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量

解 取球心为坐标原点 z轴与轴l重合 又设球的半径为a 则球体所占空间闭区域

{(x y z)| x2y2z2a2}

所求转动惯量即球体对于z轴的转动惯量Iz 

Iz(x2y2) dv

2222 cosr2sin sin)r2sindrdd

(r2sin2a82

3r4sindrdddsin3 dr4dra5a2M

000155其中M4a3为球体的质量

3提示

x2y2r2sin2cos2r2sin2 sin2r2sin2

四、引力

我们讨论空间一物体对于物体外一点P0(x0 y0 z0)处的单位质量的质点的引力问题

设物体占有空间有界闭区域 它在点(x y z)处的密度为(x y z) 并假定(x y z)在上连续

在物体内任取一点(x y z)及包含该点的一直径很小的闭区域dv(其体积也记为dv) 把这一小块物体的质量dv近似地看作集中在点(x y z)处 这一小块物体对位于P0(x0 y0 z0)处的单位质量的质点的引力近似地为

dF(dFx,dFy,dFz)

(G(x,y,z)(xx0)r3dv,G(x,y,z)(yy0)r3dv,G(x,y,z)(zz0)r3dv)

其中dFx、dFy、dFz为引力元素dF在三个坐标轴上的分量

r(xx0)2(yy0)2(zz0)2 G为引力常数 将dFx、dFy、dFz在上分别积分 即可得Fx、Fy、Fz 从而得F(Fx、Fy、Fz)

例7设半径为R的匀质球占有空间闭区域{(x y z)|x2y2z2R2) 求它对于位于点M0(0 0 a)(a>R)处的单位质量的质点的引力

解 设球的密度为0 由球体的对称性及质量分布的均匀性知Fx=Fy=0, 所求引力沿z轴的分量为

FzG0zadv[x2y2(za)2]3/2

G0(za)dzRRx2y2R2zdxdy[x2y2(za)2]3/22

G0(za)dzdR0R2R2z22d[(za)]23/20

R

2G0(za)(1R1R2aza22az)dz

2G0[2R1(za)dR22aza2]

aRR

2R32G0(2R2R)

3a24R31MG02G23aa



4R3其中M03为球的质量

上述结果表明 匀质球对球外一质点的引力如同球的质量集中于球心时两质点间的引力

第二篇：第十章____重积分(高等数学教案)

高等数学教案

重积分

重积分

【教学目标与要求】

1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。2.掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。

3.掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。

4.会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）。

【教学重点】

1.二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；

2.三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。3.二、三重积分的几何应用及物理应用。

【教学难点】

1.利用极坐标计算二重积分； 2.利用球坐标计算三重积分； 3.物理应用中的引力问题。

【教学课时分配】(10学时)第1 次课

§１

第2 次课

§2

第3 次课

§3 第4 次课

§4

第5次课

习题课

【参考书】

[1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社.[2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社. [3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社

高等数学教案

重积分

§10 1 二重积分的概念与性质

【回顾】定积分

设函数yf(x)在区间[a b]上非负、连续 求直线xa、xb、y0 及曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积

(1)分割：用分点ax0x1x2   xn1xn b把区间[a b]分成n个小区间

[x0 x1] [x1 x2] [x2 x3]     [xn1 xn ] 记xixixi1(i1 2     n)

(2)代替：任取i[xi1 xi] 以[xi1 xi]为底的小曲边梯形的面积可近似为

f(i)xi(i1 2     n)

（3）作和：曲边梯形面积A的近似值为

Af()x iii1nn(4)取极限：记max{x1 x2   xn } 所以曲边梯形面积的精确值为

Alim0f()x

iii1则

baf(x)dxAlimf(i)xi0i1n§10 1 二重积分的概念与性质

一、引例

1 曲顶柱体的体积V 设有一立体 它的底面是xOy面上的闭区域D 其侧面为母线平行于z轴的柱面 其顶是曲面zf(x y)非负连续 称为曲顶柱体

若立体的顶是平行于xoy面的平面。

体积=底面积高

现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积

（i）分割：用任意曲线网把D分成n个小区域 ：

 1  2      n 

分别以这些小闭区域的边界曲线为准线 作母线平行于z轴的柱面 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体 高等数学教案

重积分

（ii）代替：在每个 i中任取一点( i   i) 以f( i   i)为高而底为 i的平顶柱体的体积为

f( i   i)i

(i1 2     n)

（iii）近似和： 整个曲顶柱体体积V

Vf(i,i)i

i1n分割得越细, 则右端的近似值越接近于精确值V, 若分割得“无限细”, 则右端近似值会无限接近于精确值V.（iv）取极限： 记 max{i的直径},1in

其中i的直径是指i中相距最远的两点的距离。则

Vlimf(i,i)i 其中(i,i)i

0i1n2平面薄片的质量

当平面薄板的质量是均匀分布时，质量 = 面密度×面积.若平面薄板的质量不是均匀分布的.这时, 薄板的质量不能用上述公式算, 应如何算该薄板的质量M? 设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 它在点(x y)处的面密度为(x,y) 这里(x,y)非负连续 现在要计算该薄片的质量M

（i）分割：用任意一组曲线网把D分成n个小区域：

 1  2      n 

（ii）代替：把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量

mi( i   i) i 

（iii）近似和： 各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值

M(i,i)i

i1n高等数学教案

重积分

将分割加细 取极限 得到平面薄片的质量（iv）取极限：

记 max{的直径},i1in

则

Mlim(i,i)i

0i1n两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同：

“分割, 代替,近似和,取极限”

(2)所求量的结构式相同

曲顶柱体体积:

Vlimf(i,i)i

0i1n平面薄片的质量:

Mlim(i,i)i

0i1n二、二重积分的定义及可积性

定义： 设f(x y)是有界闭区域D上的有界函数 将闭区域D任意分成n个小闭区域

 1  2      n 

其中 i表示第i个小区域 也表示它的面积 在每个 i上任取一点( i i) 作和

f(i,i)i

i1n如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时 这和的极限总存在 则称此极限为函数f(x y)在闭区域D上的二重积分 记作

f(x,y)d 即

D

limf(i,i)i f(x,y)d0i1Dnf(x y)被积函数 f(x y)d被积表达式 d面积元素 x y积分变量 D积分区域 积分和

直角坐标系中的面积元素

如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D 那么除了包含边界点的一些小闭区域外 其余的小闭区域都是矩形闭区域 设矩形闭区域i的边长为xi和yi 则ixiyi 因此在直角坐标系中 有时也把面积元素d 记作dxdy 而把二重积分记作 高等数学教案

重积分

f(x,y)dxdy

D其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素

二重积分的几何意义 如果f(x y)0 被积函数f(x y)可解释为曲顶柱体的在点(x y)处的竖坐标 所以二重积分的几何意义就是柱体的体积 如果f(x y)是负的 柱体就在xOy 面的下方 二重积分的绝对值仍等于柱体的体积 但二重积分的值是负的

说明：当函数f(x y)在闭区域D上连续时 则f(x y)在D上的二重积分必存在。于是我们总假定函数f(x y)在闭区域D上连续，所以f(x y)在D上的二重积分都是存在的。例1.利用二重积分定义计算：三.二重积分的性质

设D为有界闭区域，以下涉及的积分均存在。性质1 xydxdy，其中D{(x,y)|0x1,0y1}。

D[f(x,y)g(x,y)]df(x,y)dg(x,y)d

DDD性质2 设k为常数，则性质3 kf(x,y)dkf(x,y)d

DD1dd|D|，其中(|D|为D的面积)

DD性质4 设DD1D2，且D1,D2无公共内点，则

f(x,y)df(x,y)df(x,y)d

DD1D2性质5.若在D上 f(x y)g(x y) 则

f(x,y)dg(x,y)d

DD特殊：（1）若在D上f(x,y)0，则

f(x,y)d0

D

（2）|f(x,y)d||f(x,y)|d

DD

这是因为|f(x,y)|f(x,y)|f(x,y)|

性质6 设M、m分别是f(x y)在闭区域D上的最大值和最小值 |D|为D的面积 则

高等数学教案

重积分

m|D|f(x,y)dM|D|

D

性质7(二重积分的中值定理)设函数f(x y)在闭区域D上连续  为D的面积 则在D上至少存在一点(,)D，使

例2.比较下列积分的大小：f(x,y)df(,)

D(xy)d，(xy)d，DD23其中D{(x,y)|(x2)2(y1)22}

小结

1.二重积分的定义：

nf(,)f(x,y)dlimD0iii1i)，(ddxdy2.二重积分的性质（与定积分性质相似）

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意二重积分的定义，性质以及应用，并且要与定积分的定义、性质进行比较，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计

1.比较下列积分值的大小关系：I12xy1|xy|dxdy，I22|x||y|1|xy|dxdy，I31111|xy|dxdy

22(sinxcosy)d2，其中D为0x1,0y1。D2.证明：1讲课提纲、板书设计

作业 P137: 4（1）（3），5（1）（4）

§10 2 二重积分的计算法 高等数学教案

重积分

一、利用直角坐标计算二重积分

X型区域

D 

1(x)y2(x) axb 

Y 型区域 D 

1(x)y2(x) cyd 

混合型区域

设f(x y)0

D{(x y)| 1(x)y2(x) axb}

此时二重积分柱体的体积

对于x0[a b]

曲顶柱体在xx0的截面面积为以区间[1(x0) 2(x0)]为底、以曲线zf(x0 y)为曲边的曲边梯形 所以这截面的面积为

A(x0)2(x0)10f(x,y)d在几何上表示以曲面zf(x y)为顶 以区域D为底的曲顶D(x)1f(x0,y)dy

根据平行截面面积为已知的立体体积的方法 得曲顶柱体体积为

V即

V可记为

aA(x)dxa[(x)b2(x)a1(x)bb2(x)f(x,y)dy]dx

f(x,y)d[Dbf(x,y)dy]dx

f(x,y)dadx(x)D12(x)f(x,y)dy

类似地 如果区域D为Y 型区域

D  1(x)y2(x) cyd 

则有

f(x,y)ddyDcd2(y)1(y)f(x,y)dx

例1 计算xyd 其中D是由直线y

1、x2及yx所围成的闭区域

D

解 画出区域D

方法一

可把D看成是X型区域 1x2 1yx  于是

422y2x1xx1293[]

[x]dx(xx)dxxyd[xydy]dx1112112428212x2D注 积分还可以写成xyddxxydyxdxydy

D11112x2x高等数学教案

重积分

解法2 也可把D看成是Y型区域 1y2 yx2  于是

422y3x22y29xyd1[yxydx]dy1[y2]ydy1(2y2)dy[y8]18 222D

例2 计算yD1x2y2d 其中D是由直线y

1、x1及yx所围成的闭区域

解

画出区域D 可把D看成是X型区域 1x1 xy1 于是

11[(1x2y2)2]1dx11(|x|31)dx y1xyddxy1xydyx1x3131221122D31(x31)dx

302

也可D看成是Y型区域：1y1 1x

y1x2y2dydyD1D1y11x2y2dx

例3 计算

2xyd 其中D是由直线yx2及抛物线yx所围成的闭区域



解 积分区域可以表示为DD1+D2

其中D, xyx D2: 1x4, 2yx 于是 1: 0x1

xyddxD021xxxydydx14xx2xydy

积分区域也可以表示为D 1y2 y2xy2 于是

xyd1dyyDy222x12[y(y2)2y5]dy

2xydx[y]y2dyy122126y443152y2

[y2y]15

24368讨论积分次序的选择

例

4求两个底圆半径都等于的直交圆柱面所围成的立体的体积

解

设这两个圆柱面的方程分别为

x2y2 2及x2z2 2 高等数学教案

重积分

利用立体关于坐标平面的对称性 只要算出它在第一卦限部分的体积V1 然后再乘以8就行了

第一卦限部分是以D{(x y)| 0yR2x2, 0x}为底 以zR2x2顶的曲顶柱体

于是

V8DRxd8dx022RR2x20R2x2dy8[R2x2y]0R0R2x2dx

16R3

22(Rx)dx03 二

利用极坐标计算二重积分

8R

有些二重积分 积分区域D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便 且被积函数用极坐标变量、 表达比较简单

这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分

limf(i,i)i

f(x,y)d 按二重积分的定义f(x,y)d0DnDi

1下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式

以从极点O出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域 小闭区域的面积为

111222(ii)iiiii

i2其中i表示相邻两圆弧的半径的平均值

在i内取点(i , i) 设其直角坐标为( i  i)

则有

i(ii)2ii2i(2ii)ii

ii cosi ii sini

limf(i cosi,i sini)i ii

f(i,i)i0i1i1nn于是 lim0即

f(x,y)df(cos,sin)dd

DD若积分区域D可表示为 1() 2()

 高等数学教案

重积分

则

f(cos,sin)dddD2()1()f(cos,sin)d

讨论如何确定积分限?

f(cos,sin)ddd0D2D0()f(cos,sin)d

f(cos,sin)dddxeD2()0f(cos,sin)d

例5 计算域 y2dxdy 其中D是由中心在原点、半径为a 的圆周所围成的闭区

解

在极坐标系中 闭区域D可表示为

0a  0 2 

于是 exD2y2adxdyedd[ed]d [1e]0d

0002D22a22(1ea)

注 此处积分

122022d(1ea)

dxdy

2exD22y2dxdy也常写成x2y2a2exy2

利用x2y2a2xey2dxdy(1ea)计算广义积分exdx

022

设D1{(x y)|x2y2R2 x0 y0} D2{(x y)|x2y22R2 x0 y0}S{(x y)|0xR 0yR}

显然D1SD2 由于ex

2y20 从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式

2exD12y2dxdyexSy2dxdyexD22y2dxdy

因为

exS2y2dxdyexdxeydy(exdx)2

000R2R2R2又应用上面已得的结果有 高等数学教案

重积分

exD12y2dxdy(1eR)

42exD22y2dxdy(1e2R)

42于是上面的不等式可写成(1eR2)(Rex2dx)2(1e2R2)

404令R 上式两端趋于同一极限

 从而ex2dx

4 02

例6 求球体x2y2z24a2被圆柱面x2y22ax所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积

解

由对称性 立体体积为第一卦限部分的四倍

V4D4a2x2y2dxdy

其中D为半圆周y2axx2及x轴所围成的闭区域

在极坐标系中D可表示为

02a cos  0于是

V4 

22acos2d00D4add4224a22d

32322

a22(1sin3)da2()

03323

小结

1.二重积分化为累次积分的方法；

2.积分计算要注意的事项。

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意二重积分化为累次积分的方法：分直角坐标和极坐标，以及在计算时要注意事项，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计

1.设f(x)C[0,1]，且f(x)dxA，求Idxf(x)f(y)dy。

00x1112.交换积分顺序I22dacos0f(r,)dr，(a0)

讲课提纲、板书设计 高等数学教案

重积分

作业 P154: 1(2),(4);2(1),(3);6(2),(4);12(1),(3);13(3),(4);14(1),(2)；15（1）（2）

§103

三重积分 一、三重积分的概念

定义 设f(x y z)是空间有界闭区域上的有界函数 将任意分成n个小闭区域：

v1 v2     vn

其中vi表示第i个小闭区域 也表示它的体积 在每个vi上任取一点(i i i) 作乘积f(

i  i  i)vi(i1 2    n)并作和

f(i,i,i)vi 如果当各小闭区域的直径中的最大值i1n趋于零时

这和的极限总存在

则称此极限为函数f(x y z)在闭区域上的三重积分 记作f(x,y,z)dv

即

高等数学教案

重积分

limf(i,i,i)vi

f(x,y,z)dv0i1n

三重积分中的有关术语 ——积分号

f(x y z)——被积函数

f(x y z)dv——被积表达式

dv体积元素

x y z——积分变量

——积分区域

在直角坐标系中 如果用平行于坐标面的平面来划分 则vixi yizi  因此也把体积元素记为dv dxdydz 三重积分记作

f(x,y,z)dvf(x,y,z)dxdydz



当函数f(x y z)在闭区域上连续时 极限limf(i,i,i)vi是存在的

0i1n因此f(x y z)在上的三重积分是存在的 以后也总假定f(x y z)在闭区域上是连续的

三重积分的性质 与二重积分类似

比如

[c1f(x,y,z)c2g(x,y,z)]dvc1f(x,y,z)dvc2g(x,y,z)dv



12f(x,y,z)dvf(x,y,z)dvf(x,y,z)dv

12

dvV 其中V为区域的体积 二、三重积分的计算

1 利用直角坐标计算三重积分

三重积分的计算 三重积分也可化为三次积分来计算 设空间闭区域可表为

z1(x y)zz2(x y) y1(x)yy2(x) axb

则

f(x,y,z)dv[z(x,y)D1z2(x,y)f(x,y,z)dz]d

dxbay(x)[z(x,y)11by2(x)z2(x,y)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz

dxay(x)1y2(x)dyz2(x,y)z1(x,y)高等数学教案

重积分

即 f(x,y,z)dvdxaby2(x)y1(x)dyz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz

其中D : y1(x) y y2(x) axb 它是闭区域在xOy面上的投影区域

提示 设空间闭区域可表为

z1(x y)zz2(x y) y1(x)yy2(x) axb

计算f(x,y,z)dv

基本思想

对于平面区域D

y1(x)yy2(x) axb内任意一点(x y) 将f(x y z)只看作z的函数 在区间[z1(x y)

z2(x y)]上对z积分 得到一个二元函数F(x y)

F(x,y)z2(x,y)1z(x,y)f(x,y,z)dz

然后计算F(x y)在闭区域D上的二重积分 这就完成了f(x y z)在空间闭区域上的三重积分

F(x,y)d[DD1z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]ddxaby2(x)y1(x)[z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy

则 f(x,y,z)dv[z(x,y)Dz2(x,y)f(x,y,z)dz]d

z2(x,y)

1dxbay(x)[z(x,y)1by2(x)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz

f(x,y,z)dz

dx即

ay(x)1y2(x)dyz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dvadxy(x)dyz(x,y)11by2(x)z2(x,y)其中D : y1(x) y y2(x) axb 它是闭区域在xOy面上的投影区域

例1 计算三重积分域

解 作图 区域可表示为:

0z1x2y 0y(1x) 0x1 xdxdydz 其中为三个坐标面及平面x2yz1所围成的闭区12高等数学教案

重积分

于是

xdxdydz 0dx11x1x2y2dyxdz 00

0xdx11x2(1x2y)dy0

111

(x2x2x3)dx4048

讨论 其它类型区域呢?

有时 我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分 设空间闭区域{(x y z)|(x y)Dz c1 zc2} 其中Dz是竖坐标为z 的平面截空间闭区域所得到的一个平面闭区域 则有

f(x,y,z)dvcdzf(x,y,z)dxdy

1c2Dz2y2z2x

例2 计算三重积分zdxdydz 其中是由椭球面2221所围成的空间闭

abc2区域

解 空间区域可表为: x2y21z 2 c zc

ab2c2于是

2zzdxdydz zdzdxdyab(12)z2dz4abc3

cc15cD2c2zc

练习：

例3 将三重积分If(x,y,z)dxdydz化为三次积分 其中

(1)是由曲面z1x2y2 z0所围成的闭区域

(2)是双曲抛物面xyz及平面xy10 z0所围成的闭区域

(3)其中是由曲面zx22y2及z2x2所围成的闭区域

例4 将三重积分If(x,y,z)dxdydz化为先进行二重积分再进行定积分的形式

其中由曲面z1x2y2 z0所围成的闭区域

2 利用柱面坐标计算三重积分

设M(x y z)为空间内一点 并设点M在xOy面上的投影P 的极坐标为P( ) 则这样的三个数、、z就叫做点M的柱面坐标 这里规定、、z的变化范围为 高等数学教案

重积分

0< 0 2  

坐标面0   0 zz0的意义

点M 的直角坐标与柱面坐标的关系

xcos

xcos ysin zz  ysin

zz

柱面坐标系中的体积元素 dvdddz

简单来说 dxdydd  dxdydzdxdydzdd dz

柱面坐标系中的三重积分

f(x,y,z)dxdydzf(cos,sin,z)dddz



例5利用柱面坐标计算三重积分围成的闭区域

解 闭区域可表示为

2z4 02 02

于是

zdxdydz 其中是由曲面zxy与平面z4所

2zdxdydzzdddz

1d(164)d ddzdz0020201164

2[826]2026

324222

3 利用球面坐标计算三重积分

设M(x y z)为空间内一点 则点M也可用这样三个有次序的数r、、 来确定 其中 r为原点O与点M间的距离 为OM与z轴正向所夹的角 为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段OP的角 这里P为点M在xOy面上的投影 这样的三个数r、、 叫做点M的球面坐标 这里r、、 的变化范围为

0r< 0< 0 2

坐标面rr0 0 0的意义，点M的直角坐标与球面坐标的关系

xrsincos

xrsincos yrsinsin zrcos  yrsinsin

zrcos高等数学教案

重积分

球面坐标系中的体积元素

dvr2sindrdd 

球面坐标系中的三重积分

f(x,y,z)dvf(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindrdd



例6 求半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积

解 该立体所占区域可表示为

0r2acos 0 02

于是所求立体的体积为

Vdxdydzr2sindrdddd22acos000r2sindr

20sind2acos0r2dr

316a

33034cossind4a(1cosa)

3提示 球面的方程为x2y2(za)2a2 即x2y2z22az 在球面坐标下此球面的方程为r22arcos 即r2acos

小结

1.三重积分的定义和计算； 2.换元积分公式。

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意三重积分的定义和计算以及换元积分公式的应用，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计

1.将If(x,y,z)dv用三次积分表示，其中由六个平面x0,x2,y1,x2y4,zx,z2所围成，f(x,y,z)C()。

2.设由锥面z2I(xyz)dv x2y2和球面x2y2z24所围成，计算讲课提纲、板书设计

作业 P164: 4，5，7，9（1）高等数学教案

重积分

§10 4 重积分的应用

一、曲面的面积

设曲面S由方程 zf(x y)给出 D为曲面S在xOy面上的投影区域 函数f(x y)在D上具有连续偏导数fx(x y)和fy(x y) 现求曲面的面积A 

在区域D内任取一点P(x y) 并在区域D内取一包含点P(x y)的小闭区域d 其面积也记为d 在曲面S上点M(x y f(x y))处做曲面S的切平面T 再做以小区域d的边界曲线为准线、母线平行于z轴的柱面 将含于柱面内的小块切平面的面积作为含于柱面内的小块曲面面积的近似值 记为dA 又设切平面T的法向量与z轴所成的角为  则

dAd1f2(x,y)f2(x,y)d

xycos这就是曲面S的面积元素

于是曲面S 的面积为 AD1fx2(x,y)fy2(x,y)d 高等数学教案

重积分

或

AD1(z)2(z)2dxdy

xy

设dA为曲面S上点M处的面积元素 dA在xOy面上的投影为小闭区域d M在xOy面上的投影为点P(x y) 因为曲面上点M处的法向量为n(fx fy 1) 所以

dA|n|d1fx2(x,y)fy2(x,y)d

提示 dA与xOy面的夹角为(n^ k) dAcos(n^ k)d

nk|n|cos(n^ k)1 cos(n^ k)|n|1

讨论 若曲面方程为xg(y z)或yh(z x) 则曲面的面积如何求？

ADyz1(x)2(x)2dydz

yz1(y2y2)()dzdx

zx或

ADzx其中Dyz是曲面在yOz面上的投影区域

Dzx是曲面在zOx面上的投影区域

例1 求半径为R的球的表面积

提示

yzxzzzR  1()2()2

222222222xyxyRxyRxyRxy

解 球面的面积A为上半球面面积的两倍

上半球面的方程为zR2x2y2 而

yzxz 

222222xyRxyRxy所以

A22xy2R21(z)2(z)2

xy2RdR dxdy2Rd2222200RRxyR0

22xy2R2

4RR22 4R2

例2设有一颗地球同步轨道通讯卫星 距地面的高度为h36000km 运行的角速度与高等数学教案

重积分

地球自转的角速度相同 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径R6400km)

二、质心

设有一平面薄片 占有xOy 面上的闭区域D 在点P(x y)处的面密度为(x y) 假定(x y)在D上连续 现在要求该薄片的质心坐标

在闭区域D上任取一点P(x y) 及包含点P(x y)的一直径很小的闭区域d(其面积也记为d) 则平面薄片对x轴和对y轴的力矩(仅考虑大小)元素分别为

dMxy(x y)d dMyx(x y)d

平面薄片对x轴和对y轴的力矩分别为

Mxy(x,y)d Myx(x,y)d

DD

设平面薄片的质心坐标为(x, y)平面薄片的质量为M 则有

xMMy yMMx 

于是

xMyMx(x,y)dD(x,y)dD yMxMy(x,y)dD(x,y)dD

提示 将P(x y)点处的面积元素d看成是包含点P的直径得小的闭区域 D上任取一点P(x y) 及包含的一直径很小的闭区域d(其面积也记为d) 则平面薄片对x轴和对y轴的力矩(仅考虑大小)元素分别为

讨论 如果平面薄片是均匀的 即面密度是常数 则平面薄片的质心(称为形心)如何求？

求平面图形的形心公式为

xd

xDyd

yDdDdD

例3 求位于两圆2sin 和4sin 之间的均匀薄片的质心

解 因为闭区域D对称于y轴 所以质心C(x, y)必位于y轴上 于是x0 高等数学教案

重积分

因为

2ydsinddsindDD4sin02sin2d7

d22123

Dyd所以yDD77 所求形心是C(0, 7)

3d3

3类似地 占有空间闭区域、在点(x y z)处的密度为(x y z)(假宽(x y z)在上连续)的物体的质心坐标是

x1M1 x(x,y,z)dvyM1 y(x,y,z)dvzMz(x,y,z)dv



其中M(x,y,z)dv



例4 求均匀半球体的质心

提示

 0ra 0 02

22adv22d00drsindr2sinddr2dr2a

00003a2zdv02d0242a1a132drcosrsindrsin2ddrdr2

0002420a2

三、转动惯量

设有一平面薄片 占有xOy面上的闭区域D 在点P(x y)处的面密度为(x y) 假定(x y)在D上连续 现在要求该薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量

在闭区域D上任取一点P(x y) 及包含点P(x y)的一直径很小的闭区域d(其面积也记为d) 则平面薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量的元素分别为

dIxy2(x y)d  dI yx2(x y)d 

整片平面薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量分别为

Ixy2(x,y)d Iyx2(x,y)d

DD高等数学教案

重积分

例5 求半径为a 的均匀半圆薄片(面密度为常量)对于其直径边的转动惯量

解 取坐标系如图 则薄片所占闭区域D可表示为

D{(x y)| x2y2a2 y0} 而所求转动惯量即半圆薄片对于x轴的转动惯量Ix 

Ixy2d2sin2dd

DD



其中M0sin d02a4a2dsin d

4031a41Ma2

4241a2为半圆薄片的质量

2类似地 占有空间有界闭区域、在点(x y z)处的密度为(x y z)的物体对于x、y、z轴的转动惯量为

Ix

Iy

Iz(y2z2)(x,y,z)dv

22(zx)(x,y,z)dv (x2y2)(x,y,z)dv



例6 求密度为的均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量

解 取球心为坐标原点 z轴与轴l重合 又设球的半径为a 则球体所占空间闭区域

{(x y z)| x2y2z2a2}

所求转动惯量即球体对于z轴的转动惯量Iz 

Iz(x2y2) dv



(r2sin2 cos2r2sin2 sin2)r2sindrdd



8a52a2M

4rsindrdddsin drdr0005154323a其中M4a3为球体的质量

3提示

x2y2r2sin2cos2r2sin2 sin2r2sin2

四、引力

我们讨论空间一物体对于物体外一点P0(x0 y0 z0)处的单位质量的质点的引力问题 高等数学教案

重积分

设物体占有空间有界闭区域 它在点(x y z)处的密度为(x y z) 并假定(x y z)在上连续

在物体内任取一点(x y z)及包含该点的一直径很小的闭区域dv(其体积也记为dv) 把这一小块物体的质量dv近似地看作集中在点(x y z)处 这一小块物体对位于P0(x0 y0 z0)处的单位质量的质点的引力近似地为

dF(dFx,dFy,dFz)

(G其中(x,y,z)(xx0)r3dv,G(x,y,z)(yy0)r3dF

dv,G(x,y,z)(zz0)r3dv)

dFx、dFy、dFz为引力元素

在三个坐标轴上的分量

r(xx0)2(yy0)2(zz0)2 G为引力常数 将dFx、dFy、dFz在上分别积分 即可得Fx、Fy、Fz 从而得F(Fx、Fy、Fz)

例7设半径为R的匀质球占有空间闭区域{(x y z)|x2y2z2R2) 求它对于位于点M0(0 0 a)(a>R)处的单位质量的质点的引力

解 设球的密度为0 由球体的对称性及质量分布的均匀性知Fx=Fy=0, 所求引力沿z轴的分量为

FzG0zadv

[x2y2(za)2]3/ G0RRRR(za)dzdxdy 2223/2[xy(za)]x2y2R2z22R2z22

G0(za)dzd0Rd[(za)]23/20

2G011(za)()dz R22azR2aza1R(za)dR22aza2]

aR32R

2G0(2R2R2)

3a4R31GM

G 023aa2

2G0[2R高等数学教案

重积分

其中M4R30为球的质量

3上述结果表明 匀质球对球外一质点的引力如同球的质量集中于球心时两质点间的引力

小结

1.曲面面积的计算；

2.质心的计算；

3.转动惯量的定义和求解。

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意曲面面积的计算，质心的计算，转动惯量的定义和求解，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计 1.设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程2(x2y2)，设长度单位为厘米, 时间单位为小时, 已知体积减少的速率与侧zh(t)h(t)面积成正比(比例系数 0.9), 问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要多少小时?(2001考研)讲课提纲、板书设计 作业 P175: 1，2，4（1），7（1）

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重积分

习题课

一、重积分计算的基本方法

—— 累次积分法

1.选择合适的坐标系

使积分域多为坐标面(线)围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2.选择易计算的积分序

积分域分块要少, 累次积分易算为妙.3.掌握确定积分限的方法

图示法；列不等式法(从内到外: 面、线、点)

二、重积分计算的基本技巧 1.交换积分顺序的方法

2.利用对称性或重心公式简化计算 3.消去被积函数绝对值符号 4.利用重积分换元公式

三、重积分的应用 1.几何方面

面积(平面域或曲面域), 体积 , 形心 2.物理方面

质量, 转动惯量, 质心, 引力

3.其它方面

四、例题分析

1.在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上 , 要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片,使整个薄片的重心恰好落在圆心上 ,问接上去的均匀矩形薄片的另一边长 高等数学教案

重积分

度应为多少? 2.计算积分3.(xy)d，其中D由yD2x2y222x，xy4，xy12所围成。

计算二重积分

DI(xxye)dxdy, 其中

（1）D为圆域 x2y21;（2）D由直线yx,y1,x1围成 P182;6;(1),(3)

第三篇：同济版高等数学教案第五章 定积分

高等数学教案

第五章 定积分

第五章

定积分

教学目的：

1、理解定积分的概念。

2、掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

3、理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。

4、了解广义积分的概念并会计算广义积分。

教学重点：

1、定积分的性质及定积分中值定理

2、定积分的换元积分法与分部积分法。

3、牛顿—莱布尼茨公式。

教学难点：

1、定积分的概念

2、积分中值定理

3、定积分的换元积分法分部积分法。

4、变上限函数的导数。§5 1 定积分概念与性质

一、定积分问题举例

1 曲边梯形的面积

曲边梯形 设函数yf(x)在区间[a b]上非负、连续 由直线xa、xb、y0及曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形 其中曲线弧称为曲边

求曲边梯形的面积的近似值

将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值 具体方法是 在区间[a b]中任意插入若干个分点

ax0 x1 x2    xn1 xn b

把[a b]分成n个小区间

[x0 x1] [x1 x2] [x2 x3]     [xn1 xn ]

它们的长度依次为x1 x1x0  x2 x2x1      xn  xn xn1 

经过每一个分点作平行于y 轴的直线段 把曲边梯形分成n个窄曲边梯形 在每个小区间 [xi1 xi ]上任取一点i  以[xi1 xi ]为底、f(i)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(i1 2     n) 把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值 即

Af(1)x1 f(2)x2   f(n)xnf(i)xi

i1n

求曲边梯形的面积的精确值

显然 分点越多、每个小曲边梯形越窄 所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

形面积A的精确值 因此 要求曲边梯形面积A的精确值 只需无限地增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 记

max{x1 x2   xn } 于是 上述增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 相当于令0 所以曲边梯形的面积为

Alimf(i)xi

0i1n

2 变速直线运动的路程

设物体作直线运动 已知速度vv(t)是时间间隔[T 1 T 2]上t的连续函数 且v(t)0 计算在这段时间内物体所经过的路程S 

求近似路程

我们把时间间隔[T 1 T 2]分成n 个小的时间间隔ti  在每个小的时间间隔ti内 物体运动看成是均速的 其速度近似为物体在时间间隔ti内某点i的速度v(i) 物体在时间间隔ti内 运动的距离近似为Si v(i)ti  把物体在每一小的时间间隔ti内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T 1  T 2]内所经过的路程S 的近似值 具体做法是

在时间间隔[T 1  T 2]内任意插入若干个分点

T 1t 0 t 1 t 2   t n1 t nT 2

把[T 1  T 2]分成n个小段

[t 0 t 1] [t 1 t 2]    [t n1 t n] 

各小段时间的长依次为

t 1t 1t 0 t 2t 2t 1   t n t n t n1

相应地 在各段时间内物体经过的路程依次为

S 1 S 2    S n

在时间间隔[t i1 t i]上任取一个时刻 i(t i1 i t i) 以 i时刻的速度v( i)来代替[t i1 t i]上各个时刻的速度 得到部分路程S i的近似值 即

S i v( i)t i

(i1 2     n)

于是这n段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值 即

Sv(i)ti

i1n

求精确值

记  max{t 1 t 2   t n} 当0时 取上述和式的极限 即得变速直线运动的路程

Slimv(i)ti

0i1n

设函数yf(x)在区间[a b]上非负、连续 求直线xa、xb、y0 及曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积

(1)用分点ax0x1x2   xn1xn b把区间[a b]分成n个小区间

[x0 x1] [x1 x2] [x2 x3]     [xn1 xn ] 记xixixi1(i1 2     n)

(2)任取i[xi1 xi] 以[xi1 xi]为底的小曲边梯形的面积可近似为

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第五章 定积分

f(i)xi(i1 2     n) 所求曲边梯形面积A的近似值为

Af()x iii1nn

(3)记max{x1 x2   xn } 所以曲边梯形面积的精确值为

Alim0f()x iii1

设物体作直线运动 已知速度vv(t)是时间间隔[T 1 T 2]上t的连续函数

且v(t)0 计算在这段时间内物体所经过的路程S 

(1)用分点T1t0t1t2  t n1tnT2把时间间隔[T 1  T 2]分成n个小时间 段 [t0 t1] [t1 t2]    [tn1 tn]  记ti titi1(i1 2     n)

(2)任取i[ti1 ti] 在时间段[ti1 ti]内物体所经过的路程可近似为v(i)ti

(i1 2     n) 所求路程S 的近似值为

Sv()tii1nni

(3)记max{t1 t2   tn} 所求路程的精确值为

Slim0v()t iii

1二、定积分定义

抛开上述问题的具体意义 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括 就抽象出下述定积分的定义

定义

设函数f(x)在[a b]上有界 在[a b]中任意插入若干个分点

a x0 x1 x2    xn1 xnb

把区间[a b]分成n个小区间

[x0 x1] [x1 x2]    [xn1 xn] 

各小段区间的长依次为

x1x1x0 x2x2x1   xn xn xn1

在每个小区间[xi1 xi]上任取一个点 i(xi1  i  xi) 作函数值f( i)与小区间长度xi的乘积

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第五章 定积分

f( i)xi(i1 2   n) 并作出和

Sf(i)xi

i1n记  max{x1 x2   xn} 如果不论对[a b]怎样分法 也不论在小区间[xi1 xi]上点 i 怎样取法 只要当0时 和S 总趋于确定的极限I 这时我们称这个极限I为函数f(x)在区间[a b]上的定积分 记作af(x)dx

即

limf(i)xi af(x)dx0i1bnb其中f(x)叫做被积函数 f(x)dx叫做被积表达式 x叫做积分变量 a 叫做积分下限 b 叫做积分上限 [a b]叫做积分区间

定义

设函数f(x)在[a b]上有界 用分点ax0x1x2   xn1xnb把[a b]分成n个小区间 [x0 x1] [x1 x2]    [xn1 xn]  记xixixi1(i1 2   n)

任 i[xi1 xi](i1 2   n) 作和

Sf()xii1ni

记max{x1 x2   xn} 如果当0时 上述和式的极限存在 且极限值与区间[a b]的分法和 i的取法无关 则称这个极限为函数f(x)在区间[a b]上的定积分 记作即

根据定积分的定义 曲边梯形的面积为Aaf(x)dx

变速直线运动的路程为ST2v(t)dt

1baf(x)dx

baf(x)dxlimf(i)xi

0i1nbT

说明

(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关 而与积分变量的记法无关 即

af(x)dxaf(t)dtaf(u)du

(2)和f(i)xi通常称为f(x)的积分和

i1nbbb

(3)如果函数f(x)在[a b]上的定积分存在 我们就说f(x)在区间[a b]上可积

函数f(x)在[a b]上满足什么条件时 f(x)在[a b]上可积呢？

定理

1设f(x)在区间[a b]上连续 则f(x)在[a b]上可积

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第五章 定积分

定理2 设f(x)在区间[a b]上有界 且只有有限个间断点 则f(x)在[a b]上可积

定积分的几何意义

在区间[a b]上 当f(x)0时 积分af(x)dx在几何上表示由曲线yf(x)、两条直线xa、xb 与x轴所围成的曲边梯形的面积 当f(x)0时 由曲线y f(x)、两条直线xa、xb 与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方 定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值

babf(x)dxlimf(i)xilim[f(i)]xia[f(x)]dx

0i10i1nnb

当f(x)既取得正值又取得负值时 函数f(x)的图形某些部分在x轴的上方 而其它部分在x轴的下方 如果我们对面积赋以正负号 在x轴上方的图形面积赋以正号 在x轴下方的图形面积赋以负号 则在一般情形下 定积分af(x)dx的几何意义为 它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线xa、xb之间的各部分面积的代数和

b用定积分的定义计算定积分

例1.利用定义计算定积分0x2dx

解

把区间[0 1]分成n等份分点为和小区间长度为

xii(i1 2   n1) xi1(i1 2   n)

nn

取ii(i1 2   n)作积分和 n

1f(i)xii1i1nni2xi(i)21

ni1nnn1i2131n(n1)(2n1)1(11)(21)

3ni1n66nn

因为1 当0时 n 所以n

n12xdxlim00i11(11)(21)1f(i)xinlim6nn

3利定积分的几何意义求积分:

例2用定积分的几何意义求0(1x)dx 解: 函数y1x在区间[0 1]上的定积分是以y1x为曲边以区间[0 1]为底的曲边梯形的面积 因为以y1x为曲边以区间[0 1]为底的曲边梯形是一直角三角形 其底边长及高均为1 所以 1天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

0(1x)dx211211

1三、定积分的性质

两点规定

(1)当ab时

(2)当ab时 af(x)dx0

af(x)dxbf(x)dx

bbbab

性质

1函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)即

a[f(x)g(x)]dxaf(x)dxag(x)dx

bb 证明:a[f(x)g(x)]dxlim[f(i)g(i)]xi

0i1nnn

limf(i)xilimg(i)xi

0i1b0i1

af(x)dxag(x)dx

性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即

bakf(x)dxkaf(x)dxbnnbbb

这是因为akf(x)dxlimkf(i)xiklimf(i)xikaf(x)dx

0i10i1性质如果将积分区间分成两部分则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和即

af(x)dxaf(x)dxcbcbf(x)dx

这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性

值得注意的是不论a b c的相对位置如何总有等式

af(x)dxaf(x)dxcf(x)dx af(x)dxaf(x)dxbf(x)dx

天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 cbcbcb成立 例如 当a

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第五章 定积分

于是有

af(x)dxaf(x)dxbf(x)dxaf(x)dxca1dxadxba

af(x)dx0(ab)

af(x)dxag(x)dx(ab)

ag(x)dxaf(x)dxa[g(x)f(x)]dx0

af(x)dxag(x)dx

bbbbbbbbbbbbbcccbf(x)dx

性质

4如果在区间[a b]上f(x)1 则

性质

5如果在区间[ab]上 f(x)0 则

推论

1如果在区间[ab]上 f(x) g(x)则

这是因为g(x)f(x)0 从而

所以

推论2 |af(x)dx|a|f(x)|dx(ab)

这是因为|f(x)|  f(x) |f(x)|所以

a|f(x)|dxaf(x)dxa|f(x)|dx

即 |af(x)dx|a|f(x)|dx|

性质6 设M 及m 分别是函数f(x)在区间[ab]上的最大值及最小值 则

m(ba)af(x)dxM(ba)(ab)

证明

因为 m f(x) M  所以

从而

m(ba)af(x)dxM(ba)

性质7(定积分中值定理)

如果函数f(x)在闭区间[ab]上连续 则在积分区间[ab]上至少存在一个点 使下式成立 bbbbbbb

amdxaf(x)dxaMdxbbb天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

af(x)dxf()(ba) b这个公式叫做积分中值公式

证明

由性质6

m(ba)af(x)dxM(ba) 各项除以ba

得

b

m1af(x)dxM

bab再由连续函数的介值定理 在[ab]上至少存在一点  使

b

f()1af(x)dx

ba于是两端乘以ba得中值公式

af(x)dxf()(ba) b

积分中值公式的几何解释

应注意 不论ab 积分中值公式都成立

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第五章 定积分

§5 2 微积分基本公式

一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系

设物体从某定点开始作直线运动 在t时刻所经过的路程为S(t) 速度为vv(t)S(t)(v(t)0) 则在时间间隔[T1 T2]内物体所经过的路程S可表示为

S(T2)S(T1)及T2v(t)dt

1T即 T2v(t)dtS(T2)S(T1)

1T

上式表明 速度函数v(t)在区间[T1 T2]上的定积分等于v(t)的原函数S(t)在区间[T1 T2]上的增量

这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？

二、积分上限函数及其导数

设函数f(x)在区间[a b]上连续 并且设x为[a b]上的一点我们把函数f(x)在部分区间[a x]上的定积分

af(x)dx

xx称为积分上限的函数 它是区间[a b]上的函数 记为 (x)af(x)dx 或(x)af(t)dt

定理1 如果函数f(x)在区间[a b]上连续 则函数

(x)af(x)dx

在[a b]上具有导数 并且它的导数为

x

(x)daf(t)dtf(x)(ax

dxxx

简要证明

若x(a b) 取x使xx(a b)

(xx)(x)a

af(t)dtxxxxxxf(t)dtaf(t)dt

xf(t)dtaf(t)dt x天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

xxxf(t)dtf()x

应用积分中值定理 有f()x

其中在x 与xx之间 x0时 x  于是

(x)limlimf()limf()f(x)

x0xx0x

若xa  取x>0 则同理可证(x) f(a) 若xb  取x<0 则同理可证(x) f(b)

定理

2如果函数f(x)在区间[a b]上连续 则函数

(x)af(x)dx

就是f(x)在[a b]上的一个原函数

定理的重要意义 一方面肯定了连续函数的原函数是存在的 另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系

三、牛顿莱布尼茨公式

定理

3如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a b]上的一个原函数 则

xaf(x)dxF(b)F(a)

xb此公式称为牛顿莱布尼茨公式 也称为微积分基本公式

这是因为F(x)和(x)af(t)dt都是f(x)的原函数 所以存在常数C 使

F(x)(x)C(C为某一常数)

由F(a)(a)C及(a)0 得CF(a) F(x)(x)F(a) 由F(b)(b)F(a) 得(b)F(b)F(a) 即

af(x)dxF(b)F(a)

xb

证明 已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数 又根据定理2 积分上限函数

(x)af(t)dt

也是f(x)的一个原函数 于是有一常数C 使

F(x)(x)C(axb)

当xa时 有F(a)(a)C 而(a)0 所以CF(a) 当xb 时 F(b)(b)F(a)

所以(b)F(b)F(a) 即

af(x)dxF(b)F(a) b 为了方便起见 可把F(b)F(a)记成[F(x)]ba 于是天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

aF(b)F(a)

af(x)dx[F(x)]bb

进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系

例1.计算0x2dx

解 由于1x3是x2的一个原函数 所以 11213131xdx[1x3]1010 03333

3例2 计算1dx2

1x

解 由于arctan x是12的一个原函数 所以

1x

13 ( )7

dx[arctanx]3arctan3arctan(1)134121x2

1例3.计算21dx

x

解 12ln 1ln 2ln 22xdx[ln|x|]11

例4.计算正弦曲线ysin x在[0 ]上与x轴所围成的平面图形的面积

解 这图形是曲边梯形的一个特例 它的面积

A0sinxdx[cosx]0(1)(1)2

例5.汽车以每小时36km速度行驶 到某处需要减速停车设汽车以等加速度a5m/s2刹车 问从开始刹车到停车 汽车走了多少距离？

解

从开始刹车到停车所需的时间

当t0时 汽车速度

v036km/h361000m/s10m/s

3600刹车后t时刻汽车的速度为

v(t)v0at 105t 

当汽车停止时 速度v(t)0 从

v(t)105t 0 得 t2(s)

于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为

210(m)

s0v(t)dt0(105t)dt[10t51t2]0222天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

即在刹车后 汽车需走过10m才能停住

例6.设f(x)在[0, )内连续且f(x)>0 证明函数F(x)在(0 )内为单调增加函数

xx 证明 d0 tf(t)dtxf(x) d0f(t)dtf(x) 故

dxdx0tf(t)dt

x0f(t)dtxF(x)xf(x)0f(t)dtf(x)0tf(t)dt(0f(t)dt)xx2xxf(x)0(xt)f(t)dt(0f(t)dt)x2x

按假设 当0tx时f(t)>0(xt)f(t) 0  所以

0f(t)dt0 x0(xt)f(t)dt0

cosxetdtx212从而F (x)>0(x>0) 这就证明了F(x)在(0 )内为单调增加函数

例7.求limx0

解 这是一个零比零型未定式 由罗必达法则

limx0cosxetdtx2x212limx01cosxt2edtx2cosxlimsinxe1

x02x2e2提示 设(x)1etdt 则(cosx)1cosxt2edt

dcosxet2dtd(cosx)d(u)dueu2(sinx)sinxecos2x

dx1dxdudx

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第五章 定积分

§5 3 定积分的换元法和分部积分法

一、换元积分法

定理

假设函数f(x)在区间[a b]上连续 函数x(t)满足条件

(1)()a  ()b

(2)(t)在[ ](或[ ])上具有连续导数 且其值域不越出[a b] 则有

af(x)dxf[(t)](t)dt

这个公式叫做定积分的换元公式

证明

由假设知 f(x)在区间[a b]上是连续 因而是可积的 f [(t)](t)在区间[ ](或[ ])上也是连续的 因而是可积的

假设F(x)是f(x)的一个原函数 则

baf(x)dxF(b)F(a)

另一方面 因为{F[(t)]}F [(t)](t) f [(t)](t) 所以F[(t)]是f [(t)](t)的一个原函数 从而

bf[(t)](t)dtF[()]F[()]F(b)F(a)

因此 af(x)dxf[(t)](t)dt

例1 计算0a2x2dx(a>0)

解 ab0aa2x2dx 令xasint 02acostacostdt 

2a2222(a0costdt1cos2t)dt

20天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

221a2

a[t1sin2t]0224提示 a2x2a2a2sin2tacost dxa cos t  当x0时t0 当xa时t 例2 计算02cos5xsinxdx

解 令tcos x 则

20cosxsinxdx02cos5xdcosx

011 1t5dt0t5dt[1t6]01

令cosxt提示 当x0时t1 当x时t0

2或

20cosxsinxdx02cos5xdcosx 521cos61cos601

[1cos6x]066266

例3 计算0sin3xsin5xdx

解 0sin3xsin5xdx0sin2x|cosx|dx

3 2sin2xcosxdxsin2xcosxdx

023

32sin20xdsinx32sin2xdsinx

55222 [sinx]0[sin2x]2(2)4

555525提示 sinxsinxsinx(1sin35323x)sin2x|cosx|

在[0, ]上|cos x|cos x 在[, ]上|cos x|cos x

4例4 计算x2dx

02x

1解 04x2dx 令2x1t21232x1t32 1tdt11(t23)dt

t2312711122

[t33t]1[(9)(3)]232333天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

2t提示 x1 dxtdt 当x0时t1 当x4时t3

2例5 证明 若f(x)在[a a]上连续且为偶函数 则

af(x)dx20aaaf(x)dx

0a

证明 因为af(x)dxaf(x)dx0f(x)dx 而

所以

af(x)dx a0令xt af(t)dt0f(t)dt0f(x)dx

a0aaaf(x)dx0aaf(x)dx0f(x)dx

aa

0[f(x)f(x)]dxa2f(x)dx20f(x)dx

讨论

若f(x)在[a a]上连续且为奇函数 问af(x)dx？

提示

若f(x)为奇函数 则f(x)f(x)0 从而

aaf(x)dx0[f(x)f(x)]dx0

aa

例6 若f(x)在[0 1]上连续 证明

(1)02f(sinx)dx02f(cosx)dx(2)0xf(sinx)dx 20f(sinx)dx

证明(1)令xt 则 02f(sinx)dx20f[sin(t)]dt

2

2f[sin(t)]dt2f(cosx)dx

002(2)令xt 则

00xf(sinx)dx(t)f[sin(t)]dt

t)]dt0(t)f(sint)dt

0(t)f[sin（0f(sint)dt0tf(sint)dt

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第五章 定积分

0f(sinx)dx0xf(sinx)dx

所以

0xf(sinx)dx20 f(sinx)dx

x24xe x0

例7 设函数f(x)1 计算1f(x2)dx 1x01cosx

解 设x2t 则

14f(x2)dx1f(t)dt1201dt2tet2dt

01cost220

[tant]1[1et]0tan11e41

22222提示 设x2t 则dxdt 当x1时t1 当x4时t2

二、分部积分法

设函数u(x)、v(x)在区间[a b]上具有连续导数u(x)、v(x) 由

(uv)uv u v得u vu vuv  式两端在区间[a b]上积分得

baauvdx 或audv[uv]aavdu auvdx[uv]bbbbb这就是定积分的分部积分公式

分部积分过程

baavdu[uv]aauvdx    

auvdxaudv[uv]bbbbb 例1 计算 解 12arcsinxdx 0

12arcsinxdx0112[xarcsinx]012xdarcsinx0

102xdx

261x21 021221d(1x2)

1x212231

[1x]012122 例2 计算0exdx

解 令xt 则

10e1xdx20ettdt

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第五章 定积分

20tdet

2[tet] 0 20etdt

2e2[et] 0 2

例3 设In02sinnxdx 证明

(1)当n为正偶数时 Inn1n331

nn242

2(2)当n为大于1的正奇数时 Inn1n342

nn2

53证明 In2sinnxdx0111102sinn1xdcosx

n1 2x] 0

[cosxsin02cosxdsinn1x



(n1)02cos2xsinn2xdx(n1)02(sinn2xsinnx)dx

(n1)02sinn2xdx(n1)02sinnxdx

(n1)I n 2(n1)I n 

由此得

Inn1In2

n

I2m2m12m32m531I0

2m2m22m442

I2m12m2m22m442I1

2m12m12m353而I002dx I102sinxdx1

2因此

I2m2m12m32m531

2m2m22m4422

I2m12m2m22m4422m12m12m353 例3 设In02sinnxdx(n为正整数) 证明

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第五章 定积分

I2m2m12m32m531 2m2m22m442 I2m12m2m22m442 2m12m12m353 证明 In02sinnxdx02sinn1xdcosx

[cosxsinn1 2x] 0(n1)02cos2xsinn2xdx



(n1)02(sinn2xsinnx)dx

(n1)02sinn2xdx(n1)02sinnxdx

(n1)I n 2(n1)I n 

由此得 Inn1In2 n

I2m2m12m32m531I0 2m2m22m442

I2m12m2m22m442I1 2m12m12m353特别地 I02dx02 I102sinxdx1 因此

I2m2m12m32m531 2m2m22m4422

I2m12m2m22m442 2m12m12m3

53天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

§5 4 反常积分

一、无穷限的反常积分

定义1 设函数f(x)在区间[a )上连续 取b>a  如果极限

blimaf(x)dx

b存在 则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a )上的反常积分 记作af(x)dx 即

a这时也称反常积分af(x)dx收敛f(x)dxlimaf(x)dx

bb

如果上述极限不存在 函数f(x)在无穷区间[a )上的反常积分af(x)dx就没有意义 此时称反常积分af(x)dx发散

类似地 设函数f(x)在区间( b ]上连续 如果极限

alimaf(x)dx(a

bb存在 则称此极限为函数f(x)在无穷区间( b ]上的反常积分 记作f(x)dx 即

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第五章 定积分

f(x)dxalimf(x)dx

a这时也称反常积分f(x)dx收敛如果上述极限不存在 则称反常积分f(x)dx发散

设函数f(x)在区间( )上连续 如果反常积分 bbbbf(x)dx和0f(x)dx

都收敛 则称上述两个反常积分的和为函数f(x)在无穷区间( )上的反常积分 记作

0f(x)dx 即

f(x)dxf(x)dx00a0f(x)dx

b

limaf(x)dxlim0f(x)dx

b这时也称反常积分f(x)dx收敛

如果上式右端有一个反常积分发散 则称反常积分f(x)dx发散

定义1

连续函数f(x)在区间[a )上的反常积分定义为

af(x)dxlimaf(x)dx

bb

在反常积分的定义式中 如果极限存在 则称此反常积分收敛否则称此反常积分发散

类似地 连续函数f(x)在区间( b]上和在区间( )上的反常积分定义为

f(x)dxlimaf(x)dx

abbf(x)dxlimaf(x)dxlim0f(x)dx

ab0b

反常积分的计算 如果F(x)是f(x)的原函数 则

af(x)dxlimaf(x)dxlim[F(x)]ba

bbb

limF(b)F(a)limF(x)F(a)

bx可采用如下简记形式

类似地 af(x)dx[F(x)]alimF(x)F(a)

xF(b)limF(x)

f(x)dx[F(x)]bxb天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

limF(x)limF(x)

f(x)dx[F(x)]xx 例1 计算反常积分12dx

1x

解 

11x2dx[arctanx]

limarctanxlimarctanx

xx

 ( ) 例2 计算反常积分0teptdt(p是常数 且p>0)

解 0teptdt[teptdt]0[1tdept]0

p

[1tept1eptdt]0pp

[1tept12ept]0pp

lim[1tept12ept]1212

tpppp提示 limteptlimtptlim1pt0

ttetpe 例3 讨论反常积分a 解 当p1时

当p<1时

当p>1时 1dx(a>0)的敛散性

xpa1dx1dx[lnx] 

aaxxpa1dx[1x1p] 

a1pxpa1dx[1x1p] a1p

a1pp1xp1p 因此 当p>1时 此反常积分收敛 其值为a 当p1时 此反常积分发散

p

1二、无界函数的反常积分

定义

2设函数f(x)在区间(a b]上连续 而在点a的右邻域内无界 取>0 如果极限

talimf(x)dx tbb存在 则称此极限为函数f(x)在(a b]上的反常积分 仍然记作af(x)dx 即

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第五章 定积分

af(x)dxtlimatbbf(x)dx

这时也称反常积分af(x)dx收敛

如果上述极限不存在 就称反常积分af(x)dx发散

类似地 设函数f(x)在区间[a b)上连续 而在点b 的左邻域内无界 取>0 如果极限

tbbblimf(x)dx abt存在 则称此极限为函数f(x)在[a b)上的反常积分 仍然记作af(x)dx 即

f(x)dx

af(x)dxlimatbbt这时也称反常积分af(x)dx收敛 如果上述极限不存在 就称反常积分af(x)dx发散

设函数f(x)在区间[a b]上除点c(a

都收敛 则定义

cbaf(x)dxaf(x)dxcf(x)dx

否则 就称反常积分af(x)dx发散

瑕点 如果函数f(x)在点a的任一邻域内都无界 那么点a称为函数f(x)的瑕点 也称为无界

定义2

设函数f(x)在区间(a b]上连续 点a为f(x)的瑕点 函数f(x)在(a b]上的反常积分定义为 bbcbaf(x)dxtlimatbbf(x)dx

在反常积分的定义式中 如果极限存在 则称此反常积分收敛否则称此反常积分发散

类似地函数f(x)在[a b)(b为瑕点)上的反常积分定义为

f(x)dx

af(x)dxlimatbbt

函数f(x)在[a c)(c b](c为瑕点)上的反常积分定义为

af(x)dxtlimcabtf(x)dxlimf(x)dx

ttcb反常积分的计算

如果F(x)为f(x)的原函数 则有

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第五章 定积分

af(x)dxtlimatbbf(x)dxlim[F(x)]bt

ta

F(b)limF(t)F(b)limF(x) taxa可采用如下简记形式

aF(b)limF(x)

af(x)dx[F(x)]bxab类似地 有

alimF(x)F(a)

af(x)dx[F(x)]bxbb当a为瑕点时af(x)dx[F(x)]bF(x)

aF(b)limxab当b为瑕点时af(x)dx[F(x)]bF(x)F(a)

alimxbb当c(acb)为瑕点时

F(x)F(a)][F(b)limF(x)]

af(x)dxaf(x)dxcf(x)dx[xlimcxcbcb 例4 计算反常积分 解 因为limxaa01dx

2ax21 所以点a为被积函数的瑕点

a2x 0a1alimarcsinx0 dx[arcsinx] 0a2xaaa2x2

1例5 讨论反常积分112dx的收敛性

x

解 函数12在区间[1 1]上除x0外连续 且lim12

x0xx0 0 由于112dx[1]lim(1)1

1xxx0x01即反常积分112dx发散 所以反常积分112dx发散

xx

例6 讨论反常积分a

解 当q1时

当q1时 bbbdx的敛散性

(xa)qdxbdx[ln(xa)] b

aa(xa)qaxadx[1(xa)1q] b

aa(xa)q1q天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

当q1时 dx[1(xa)1q] b1(ba)1q

aa(x1qa)q1qb 因此 当q<1时 此反常积分收敛 其值为1(ba)1q 当q1时 此反常积分发散

1q

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第五章 定积分

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第五章 定积分

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第四篇：重积分证明题

证明题（共 46 小题）

1、设函数f(x,y)和g(x,y)在有界闭域D上连续，证明

2、设函数f(x,y)和g(x,y)在D上连续，且f(x,y)≤g(x,y),(x,y)D，利用二重积分定义证明：

3、设函数f(x,y)在有界闭域D上连续，且M，m分别是f(x,y)在D上的最大值与最小值，证明：

其中σ是D的面积。

4、设函数f(x,y)在有界闭域D上连续，证明：

5、设函数f(x,y)在有界闭域D上连续，证明在D上必有点(ξ,η)使得

成立，其中σ是D的面积。

6、设函数f(x,y)在有界闭域D上连续，且D可以分为两个闭域D1和D2，证明

7、设D={(x,y)}｜a≤x≤b,－φ(x)≤y≤φ(x)},试证

其中φ(x)在[a,b]上连续，f(x),g(y)均在D上连续，且g(－y)=－g(y).8、设D={(x,y)｜a≤x≤b,－φ(x)≤y≤φ(x)},试证

[a,b]上连续，f(x,y)在D上连续且f(x,－y)=－f(x,y).9、设f(x,y)是连续函数，证明其中a,m为常数，且a>0.10、设f(u)为连续函数，试证

其中φ(x)在11、设f(x,y),g(x,y)在有界闭区域D上连续，且g(x,y)≥0,证明：在D上必有点(ξ,η),使

成立。

12、设f(x,y)为区域D：上的连续函数，试证

13、利用二重积分的估值性质，证明 线－x+y=1,x+y=1及ox轴所围成的区域。

其中D是由直

14、设f(x)在[a,b]上连续，证明 其中n>0.15、证明：

大于1的自然数。

16、设f(x),g(x)在[a,b]上连续，试用二重积分证明不等式：

17、设f(x)在[0,1]上连续，证明

18、设f(x)在[a,b]上连续，证明不等式

19、设p(x)是[a,b]上的非负连续函数，f(x),g(x)是[a,b]上的连续单增函数，证明

20、设f(x)是[0,1]上的连续正值函数，且f(x)单调减少，证明不等式：

其中n为

21、设f(x)是[0,1]上的连续单增函数，求证：

22、设f(u)是连续函数，证明

及x=－1所围成的区域。

23、设f(t)为连续函数，证明

其中D是由y=x3,y=

124、设f(t)是连续函数，证明

其中A为正常数，其中a2+b2≠0.25、设f(t)是连续函数，证明

26、设f(x)在[0,a]上连续，证明

27、设f(x)是[a,b]上的连续正值函数，试证不等式：

其中D：a≤x≤b,a≤y≤b.28、设f(u)为可微函数，且f(0)=0,证明

29、设Ω为空间有界闭区域，f(x,y,z)在Ω上连续，若(ξ,η,ζ)∈Ω使得任意闭区域D，DΩ，都有f(x,y,z)dv=f(ξ,η,ζ)VD,VD为D的体积，试证f(x,y,z)在Ω上是常数。

30、锥面x2+y2－z2=0将闭区域x2+y2+z2≤2az(a>0)分割成两部分，试证其两部分体积的大小之比为3：1.31、设D1与D2分别是第一象限由

以及x2+y2≤a2(a>0)所确定的闭区域，试证：面积关系式

32、设Ω是由曲面(a1x+b1y+c1z)2+(a2x+b2y+c2z)2+(a3x+b3y+c3z)2=1所围的有界闭区域，,f(x,y,z)在Ω上连续，试证：(ξ，η，ζ)∈Ω满足

.33、设Ω为单位球体x2+y2+z2≤1,试证可选择适当的坐标变换，使得

(a2+b2+c2=1)

34、设Ω是上半单位球体x2+y2=z2≤1,z≥0,f(x,y,z)在Ω上连续，试利用球面坐标积分方法证明(ξ，η，ζ)∈Ω使得

222222f(x,y,z)dvf(,,)()().

35、试证：对形状为z=的增速与液面高度成正比。

36、设Ω为一半椭球体x2+y2+试证：

.(a;b>0)的容器，当其液面高度增速为常数时，其容积,z≥0.g(u)为一单调增函数。

37、试证：在平面薄片关于所有平行于oy轴的轴的转动惯量中，对于穿过重心的轴所得的转动惯量最小。

38、设Ω为由

≤1所确定的立体(0＜a≤b≤c)，其密度函数ρ=ρ(z)为关

[(x于z的偶函数。试证：对任意的(x0,y0,z0)∈Ω，关于(x0,y0,z0)的转动惯量满足I(x0,y0,z0)=－x0)2+(y－y0)2+(z－z0)2]ρ(z)dv≤I(0,0,c).39、体密度为ρ(x,y,z)的空间立体Ω关于(x0,y0,z0)的转动惯量定义为：I(x0,y0,z0)=－x0)2+(y－y0)2+(z－z0)2]ρ(x,y,z)dv.试证：I(x0,y0,z0)≥,其中

[(x

是Ω的重心坐标。

40、设Ω为一有界闭区域，f(x,y,z)在Ω上连续。若对任意Ω1,Ω2

Ω,其对应体积为V1，V2，只要V1

。试证：f为正常数。

41、设f(z)在[－1,1]上有连续的导函数，试证：

42、设f(t)为一单调增函数，试证：

43、设f(u)为一单调增函数，试证：，其中

a2+b2+c3=1.44、设f(x,y,z)在有界闭区域D上连续，若对任意闭区域D1，D1



D都有，试证在 D上f(x,y,z)≤0.45、设Ω为区域x+y+z≤1,P0(x0,y0,z0)为Ω外的一点，试证：

22。

46、设f(x,y,z)在有界闭区域Ω上连续，若

f(x,y,z)dv=f(x0,y0,z0)·V,V为Ω的体积，试证：当f(x0,y0,z0)取到f(x,y,z)的最大值或最小值时f(x,y,z)在Ω必是一个常数。

第五篇：重积分总结

多重积分的方法总结

计算根据被积区域和被积函数的形式要选择适当的方法处理，这里主要是看被积区域的形式来选择合适的坐标形式，并给区域一个相应的表达，从而可以转化多重积分为多次的积分形式．具体的一些作法在下面给出．

一．二重积分的计算

重积分的计算主要是化为多次的积分．这里首先要看被积区域的形式, 选择合适的坐标系来进行处理．二重积分主要给出了直角坐标系和极坐标系的计算方法．我们都可以从以下几个方面把握相应的具体处理过程：1.被积区域在几何直观上的表现（直观描述，易于把握）；2.被积分区域的集合表示（用于下一步确定多次积分的积分次序和相应的积分限）；3.化重积分为多次积分．

1.在直角坐标下：(a)X-型区域

几何直观表现：用平行于y轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数yy1(x)和yy2(x)；

被积区域的集合表示：D{(x,y)axb,y1(x)yy2(x)}； 二重积分化为二次积分：

Df(x,y)dxdydxaby2(x)y1(x)f(x,y)dy．

(b)Y-型区域

几何直观表现：用平行于x轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由左右交点位于的曲线确定两个函数xx1(x)和xx2(x)；

被积区域的集合表示：D{(x,y)cyd,x1(x)xx2(x)}； 二重积分化为二次积分：

f(x,y)dxdyDdcdxx2(y)x1(y)f(x,y)dx．

2.在极坐标下：

几何直观表现：从极点出发引射线线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数rr1()和rr2()（具体如圆域，扇形域和环域等）；

被积区域的集合表示：D{(r,)12,r1()rr2()}，注意，如果极点在被积区域的内部，则有特殊形式D{(r,)02,0rr2()}； 直角坐标下的二重积分化为极坐标下的二重积分，并表示成相应的二次积分：

Df(x,y)dxdyf(rcos,rsin)rdrddD2r2()1r1()f(rcos,rsin)rdr．

注：具体处理题目时，首要要能够选择适当的处理方法，并能够实现不同积分次序及直角坐标和极坐标的转化．

3.二重积分的换元法：

zf(x,y)在闭区域D上连续，设有变换

xx(u,v)T,(u,v)D yy(u,v)将D一一映射到D上，又x(u,v),y(u,v)关于u, v有一阶连续的偏导数，且

J(x,y)0,(u,v)D (u,v)则有

f(x,y)dxdyf(x(u,v),y(u,v))Jdudv．

DD

二．三重积分的计算

三重积分具体的处理过程类似于二重积分，也分为三个步骤来进行处理． 1.在直角坐标下：

空间区域几何直观表现：用平行于z轴的直线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个函数zz1(x,y)和zz1(x,y)，并把区域投影到xoy面上从而确定(x,y)的范围，记为Dxy；

被积区域的集合表示：V{(x,y,z)(x,y)Dxy,z1(x,y)zz2(x,y)}, 进一步地, Dxy可以表示成X－型区域或Y－型区域;三重积分化为三次积分：

f(x,y,z)dVdxdyVDxybaz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz

（所谓“二套一”的形式）dyz2(x,y)dxdy2(x)y1(x)z1(x,y)f(x,y,z)dz

（Dxy为X－型）

dycx2(y)x1(y)dxz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz

（Dxy为Y－型）

注：类似于以上的处理方法，把空间区域投影到 yoz面或zox面又可把三重积分转化成不同次序的三次积分．这时区域几何直观表现，区域的集合表示，以及新的三次积分次序如何？可见，三重积分最多可以对应六种积分次序．这里还有所谓一套二的处理方法，区域的直观表现为：平行于xoy面的截面面积容易求得．作为被积函数最好与x，y无关，即可表示为为f(z)．则区域表示为：

V{(x,y,z)czd,(x,y)Dz}, 其中Dz表示垂直于z轴的截面．此时，三重积分化为：

f(x,y,z)dVVdcdzf(z)dxdy

（所谓“一套二”的形式）

Dz

f(z)SDzdz

cd其中SDz表示截面Dz的面积，它是关于z的函数．

2.在柱坐标下：

柱坐标与直角坐标的关系：

xrcosyrsin,(0r,02,z)zz空间区域几何直观表现：用平行于z轴的直线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个，从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个函数zz1(x,y)和zz1(x,y)．空间区域在xoy面上的投影区域易于用参数r和表示范围（具体如圆域，扇形域和环域等），并且zz1(x,y)和zz1(x,y)也易于进一步表示z成关于r,较简单的函数形式，比如x2y2可以看成一个整体（具体如上、下表面为旋转面的情形）；

被积区域的集合表示：

V{(r,)12,r1()rr2(),z1(r,)zz2(r,)}；

直角坐标下的三重积分化为极坐标下的三重积分，并表示成相应的三次积分：

f(x,y,z)dVf(rcos,rsin,z)rdrddzVVd12r2()r1()rdrz2(r,)z1(r,)f(rcos,rsin,z)dz．

3.在球坐标下：

球坐标与直角坐标的关系： xrsincosyrsinsin,(0r,02,0)zcos空间区域几何直观表现：从原点出发引射线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个，从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个球坐标函数rr1(r,)和rr2(r,);（具体如球心在原点或z轴上的球形域）

被积区域的集合表示：

V{(r,,)12,12,r1(,)rr2(,)}；

直角坐标下的三重积分化为极坐标下的三重积分，并表示成相应的三次积分：

Vf(x,y,z)dVf(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindrdd

V=20dd02r2(,)r1(,)f(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindr．如球心在原点半径为a的球形域下：

Vf(x,y,z)dVddf(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindr．

000a4.三重积分的换元法：

uf(x,y,z)在闭区域V上连续，设有变换

xx(u,v,w)T:yy(u,v,w),(u,v,w)V zz(u,v,w)将V一一映射到V上，又x(u,v,w),y(u,v,w)和z(u,v,w)关于u, v和w有一阶连续的偏导数，且

J(x,y,z)0,(u,v)V

(u,v,w)则有

f(x,y,z)dVf(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))Jdudvdw．

VV

三．重积分的几何和物理应用 1.几何应用

a)二重积分求平面区域面积；b)二重积分求曲顶柱体体积；c)三重积分求空间区域的体积；d)二重积分求空间曲面的面积．

求曲面的面积A，对应着曲面方程为直角坐标系下的二元函数形式和参数方程形式分别有以下公式：

i)曲面方程 S:zf(x,y),(x,y)D

A1fx2fy2dxdy

Dxx(u,v)ii)曲面参数方程S:yy(u,v),(u,v)Duv

zz(u,v)iA(xuiyujzuk)(xviyvjzvk)dudvxuDuvDuvjyuyvkzududv zvxv注：这里的公式都对函数有相应的微分条件． 2.物理应用

包括求质量、质心、转动惯量和引力等应用，积分是研究物理问题的重要工具．建立物理量对应的积分公式的一般方法是从基本的物理原理出发，找到所求量对应的微元，也就是对应积分的被积表达式了．

以上对多重积分的计算方法做了个小结，关键要在具体的情况下要找到对应的适宜的处理方法．处理重积分计算时从几何形式出发，则易于直观把握．注意选择适当的坐标系，注意被积区域的表达，还要注意函数关于区域的对称性．这种对称性包括奇对称和偶对称，从而可以简化计算过程．