高等数学第九章重积分教案

第一篇：高等数学第九章重积分教案

第九章 重积分

第一节 二重积分的概念与性质

9.1.1 二重积分的概念

为引出二重积分的概念，我们先来讨论两个实际问题。

设有一平面薄片占有xOy>面上的闭区域D>，它在点（x>，y>）处的面密度为ρ（x>，y>），这里ρ（x>，y>）> 0>且在D>上连续。现在要计算该薄片的质量M>。

>由于面密度ρ（x>，y>）是变量，薄片的质量不能直接用密度公式（M =>ρS>）来计算。但ρ（x>，y>）是连续的，利用积分的思想，把薄片分成许多小块后，只要小块所占的小闭区域D s i>的直径很小，这些小块就可以近似地看作均匀薄片。在D s i>（这小闭区域的面积也记作D s i

>）上任取一点（x i>，h i>），则ρ（x i>，h i>）D s i>（i = 1>，2>，„，n）可看作第i>个小块的质量的近似值。通过求和，再令n个小区域的直径中的最大值（记作λ）趋于零，取和的极限，便自然地得出薄片的质量M>，即 >。

>再设有一立体，它的底是xOy>面上的闭区域D>，它的侧面是以D>的边界曲线为准线而母线平行于z>轴的柱面，它的顶是曲面z = f>（x>，y>），这里f>（x>，y>）≥ 0>且在D>上连续。这种立体叫做曲顶柱体。现在要计算上述曲顶柱体的体积V>。

>由于曲顶柱体的高f>（x>，y>）是变量，它的体积不能直接用体积公式来计算。但仍可采用上面的思想方法，用一组曲线网把D>分成n个小闭区域D s 1，D s 2>，„，D s n>，在每个D s i>上任取一点（x i>，h i>），则f>（x i>，h i>）D s i>（i = 1>，2>，„，n）可看作以f>（x i>，h i>）为高而底为D s i>的平顶柱体的体积>。通过求和，取极限，便得出 >。

上面两个问题所要求的，都归结为同一形式的和的极限。在其他学科中，由许多物理量和几何量也可归结为这一形式的和的极限。因此我们要一般地研究这种和的极限，并抽象出下述二重积分的定义。> 定义 >设f>（x>，y>）是有界闭区域D>上的有界函数。将闭区域D>任意分成n>个小闭区域

>D s 1，D s 2>，„，D s n>，>其中D s 也表示它的面积。在每个D s（x h，i>表示第i>个小闭区域，i>上任取一点i>，i>）作乘积 f>（x i>，h i>）D s i>（i = 1, 2, >„, n,>），并作和。如果当各小闭区域的直径中的最大值l 趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数f>（x>，y>）在闭区域D>上的二重积分，记作，即

>。（*>）

>其中f>（x>，y>）叫做被积函数，f>（x>，y>）ds >叫做被积表达式，ds >叫做面积元素，x>与y>叫做积分变量，D>叫做积分区域，叫做积分和。

>在二重积分的定义中对闭区域D>的划分是任意的，如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D>，那末除了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域。设矩形闭区域D s i>的边长为D xj>和D yk>，则D s = D xj>·D yk>。因此在直角坐标系中，有时也把面积元素ds >记作dxdy>，而把二重积分记作 >

>其中dxdy>叫做直角坐标系中的面积元素。

>这里我们要指出，当f>（x>，y>）在闭区域D>上连续时，（*>）式右端的和的极限必定存在，也就是说，函数f>（x>，y>）在D>上的二重积分必定存在。> 9.1.2 二重积分的性质

二重积分与定积分有类似的性质：

>性质1 >被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面，即 > >（k>为常数）。

>性质2 >函数的和（或差）的二重积分等于各个函数的二重积分的和（或差）。例如 >。

>性质3 >如果闭区域D>被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D>上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和。例如D>分为两个闭区域D1>与 D2>，则 >。

此性质表示二重积分对于积分区域具有可加性。

>性质4 >如果在D>上，f>（x>，y>）= 1>，s 为D>的面积，则 >。

>此性质的几何意义很明显，因为高为1>的平顶柱体的体积在数值上就等于柱体的底面积。>性质5 >如果在D>上，f>（x>，y>）≤ j >（x>，y>），则有不等式 >。

特殊地，由于

>-| f>（x>，y>）| >≤ f>（x>，y>）≤ | f>（x>，y>）|>，> 又有不等式。

>性质6 >设M>，m>分别是f>（x>，y>）在闭区域D>上的最大值和最小值，s 是D>的面积，则有 >。

上述不等式是对二重积分估值的不等式。

>性质7>（二重积分的中值定理）>设函数f>（x>，y>）在闭区域D>上连续，s 是D>的面积，则在D>上至少存在一点（x，h）使得下式成立： >。

第二节 二重积分的计算法（直角坐标，极坐标）

按照二重积分的定义来计算二重积分，对少数特别简单的被积函数和积分区域来说是可行的，但对一般的函数和积分区域来说，这不是一种切实可行的方法。这里介绍一种方法，把二重积分化为两次单积分（即两次定积分）来计算。9.2.1 利用直角坐标计算二重积分

下面用几何的观点来讨论二重积分的计算问题。

在讨论中我们假定f（x，y）≥ 0。并设积分区域D可以用不等式 j 1（x）≤ y ≤ j 2（x），a≤x≤b

来表示，其中函数j 1（x）、j 2（x）在区间 [a，b] 上连续。

我们应用“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法，来计算这个曲顶柱体的体积。为计算截面面积，在区间 [a，b] 上任意取定一点x0，作平行于yOz面的平面x=x0。这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间 [j 1（x0），j 2（x0）] 为底、曲线z = f（x0，y）为曲边的曲边梯形，所以这截面的面积为。

一般的，过区间 [a，b] 上任一点x且平行于yOz面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为，于是，得曲顶柱体的体积为。

这个体积也就是所求二重积分的值，从而有等式

。（1）

上式右端的积分叫做先对y、后对x的二次积分。就是说，先把x看作常数，把f（x，y）只看作y的函数，并对y计算从j 1（x）到j 2（x）的定积分；然后把算得的结果（是x的函数）再对x计算在区间 [a，b] 上的定积分。这个先对y、后对x的二次积分也常记作。

因此，等式（1）也写成，（1’）

在上述讨论中，我们假定f（x，y）≥ 0，但实际上公式（1）的成立并不受此条件限制。类似地，如果积分区域D可以用不等式 ψ1（y）≤ x ≤ ψ2（y），c≤y≤d

来表示，其中函数ψ1（y）、ψ2（y）在区间 [c，d] 上连续，那末就有。

上式右端的积分叫做先对x、后对y的二次积分，这个积分也常记作。

因此，等式（2）也写成，（2’）

这就是把二重积分化为先对x、后对y的二次积分的公式。

我们称图9-2-1所示的积分区域为X-型区域，图9-2-3所示的积分区域为Y-型区域。对不同的区域，可以应用不同的公式。如果积分区域D既不是X-型的，也不是Y-型的，我们可以把D分成几个部分，使每个部分是X-型区域或是Y-型区域。如果积分区域D既是X-型的，又是Y-型的，则由公式（1’）及（2’）就得。

上式表明，这两个不同次序的二次积分相等，因为它们都等于同一个二重积分。

二重积分化为二次积分时，确定积分限是一个关键。而积分限是根据积分区域D的类型来确定的。

例1 计算，其中D是由直线y =

1、x = 2及y = x所围成的闭区域。

解法1 首先画出积分区域D。D是X-型的，D上的点的横坐标的变动范围是区间[1，2]。在区间[1，2]上任意取定一个x值，则D上以这个x值为横坐标的点在一段直线上，这段直线平行于y轴，该线段上点的纵坐标从y = 1变到y = x。利用公式（1）得。

解法2 把积分区域D看成是Y-型的。同学们可作为练习，验证解出的答案是否与解法1的相一致。

对于较复杂的积分区域，在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要选择恰当的二次积分的次序。这时，既要考虑积分区域D的形状，又要考虑被积函数f（x，y）的特性。例2 求量各底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积。解 设这两个圆柱面的方程分别为 x + y = R及x + z = R

利用立体关于坐标平面的对称性，只要算出它在第一卦限部分的体积V1，然后再乘以9就行了。

所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的底为 2222

22，如图9-2-5（b）所示。它的顶是柱面。于是。

利用公式（1）得

从而所求立体体积为。

9.2.2 利用极坐标计算二重积分

有些二重积分，积分区域D的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，且被积函数用极坐标变量r，θ比较简单。这时，我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分按二重积分的定义有

。，下面将推导出这个和的极限在极坐标系中的形式。

假定从极点O出发且穿过闭区域D内部的射线与D的边界曲线相交不多于两点。我们用以极点为中心的一族同心圆：r=常数，以及从极点出发的一族射线：θ=常数，把D分成n个小闭区域。除了包含边界点的一些小闭区域外，小闭区域的面积D s i可计算如下：

其中表示相邻两圆弧的半径的平均值。在这小闭区域内取圆周点的直角坐标设为x i，h i，则由直角坐标与极坐标之间的关系有

。于是

上的一点，该，即。

由于在直角坐标系中也常记作，所以上式又可写成

。（4）

这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式，其中rdrdθ就是极坐标系中的面积元素。公式（4）表明，要把二重积分中的变量从直角坐标变换为极坐标，只要把被积函数中的x、y分别换成rcosθ、rsinθ，并把直角坐标系中的面积元素dxdy换成极坐标系中的面积元素rdrdθ。

极坐标系中的二重积分，同样可以化为二次积分来计算。，二重积分化为二次积分的公式为

。（5）

上式也写成

。（5'）

特别地，如果积分区域D是所示的曲边扇形，那末相当于图9-2-7（a）中φ1（θ）≡0，φ2（θ）=φ（θ）。这时闭区域D可以用不等式 0≤r≤φ（θ），α≤θ≤β 来表示，而公式（5'）成为。

如果积分区域D如图）所示，极点在D的内部，那末相当于图9-2-9中α= 0、β= 2π。这时闭区域D可以用不等式 0≤r≤φ（θ），0≤θ≤2π 来表示，而公式（5'）成为。

由二重积分的性质4，闭区域D的面积s 可以表示为。

在极坐标系中，面积元素ds = rdrdθ，上式成为。

如果闭区域D如图9-2-7（a）所示，这由公式（5'）有。

特别地，如果闭区域D如图9-2-9所示，则φ1（θ）≡0，φ2（θ）=φ（θ）。于是。

例3 计算，其中D是由中心在原点、半径为a的圆周所围成的闭区域。

解 在极坐标系中，闭区域D可表示为 0≤r≤a，0≤θ≤2π。由公式（4）及（5）有

例4 求球体x+y+z≤4a圆柱面x+y=2ax（a>0）所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。解 由对称性，22

222

2，其中D为半圆周式

及x轴所围成的闭区域。在极坐标系中，闭区域D可用不等0≤r≤2acos（θ），0≤θ≤π/2 来表示。于是。

第三节 二重积分的应用实例

在二重积分的应用中，由许多求总量的问题可以用定积分的元素法来处理。如果所要计算的某个量对于闭区域D具有可加性（就是说，当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和），并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域dσ时，相应的部分量可近似地表示为f（x，y）dσ的形式，其中（x，y）在dσ内。这个f（x，y）dσ称为所求量U的元素而记作dU，以它为被积表达式，在闭区域D上积分：，这就是所求量的积分表达式。9.3.1 曲面的面积 设曲面S由方程 z = f（x，y）

给出，D为曲面S在xOy面上的投影区域，函数f（x，y）在D上具有连续偏导数fx（x，y）和fy（x，y）。我们要计算曲面S的面积A。

在闭区域D上任取一直径很小的闭区域dσ（这小闭区域的面积也记作dσ）。在dσ上取一点P（x，y），对应地曲面S上有一点M（x，y，f（x，y）），点M在xOy面上的投影即点P。点M处曲面S的切平面设为T。以小闭区域dσ的边界为准线作母线平行于z轴的柱面，这柱面在曲面S上截下一小片曲面，在切平面T上截下一小片平面。由于dσ的直径很小，切平面T上的那一小片平面的面积dA可以近似代替相应的那一小片面积的面积。设点M处曲面S上的法线（指向朝上）于z轴所成的角为γ，则

。因为，所以。

这就是曲面S的面积元素，以它为被积表达式在闭区域D上积分，得。

上式也可写为这就是计算曲面面积的公式。

设曲面的方程为x=g（x，y）或y=h（z，x），可分别把曲面投影到xOy面上（投影区域记作Dyz）或zOx面上（投影区域记作Dzx），类似地可得，或例1 求半径为a的球的表面积。

解：取上半球面的方程为x+y≤a。222，则它在xOy面上的投影区域D可表示为由，得。因为这函数在闭区域D上无界，我们不能直接应用曲面面积公式。所以先取区域D1：x+y≤b（0

222，利用极坐标，得

于是。

这就是半个球面的面积，因此整个球面的面积为

A = 4πa2。

9.3.2平面薄片的重心

设有一平面薄片，占有xOy面上的闭区域D，在点（x，y）处的面密度ρ（x，y），假定ρ（x，y）在D上连续。现在要找该薄片的重心的坐标。

在闭区域D上任取一直径很小的闭区域dσ（这小闭区域的面积也记作dσ），（x，y）是这小闭区域上的一个点。由于dσ的直径很小，且ρ（x，y）在D上连续，所以薄片中相应于dσ的部分的质量近似等于ρ（x，y）dσ，这部分质量可近似看作集中在点（x，y）上，于是可写出静矩元素dMy及dMx：

dMy = xρ（x，y）dσ，dMx =yρ（x，y）dσ。以这些元素为被积表达式，在闭区域D上积分，便得。

又由第一节知道，薄片的质量为。

所以，薄片的重心的坐标为。

如果薄片是均匀的，即面密度为常量，则上式中可把ρ提到积分记号外面并从分子、分母中约去，这样便得均匀薄片重心的坐标为

（1）

其中为闭区域D的面积。这时薄片的重心完全由闭区域D的形状所决定。我们把均匀平面薄片的重心叫做这平面薄片所占的平面图形的形心。因此，平面图形D的形心，就可用公式（1）计算。

例2 求位于两圆r = 2sinθ和r = 4sinθ之间的均匀薄片的重心

解 因为闭区域D对称于y轴，所以重心再按公式

必位于y轴上，于是。

计算。由于闭区域D位于半径为1与半径为2的两圆之间，所以它的面积等于这两个圆的面积之差，即A = 3π。再利用极坐标计算积分：。

因此，所求重心是C（0，7/3）。

三、平面薄片的转动惯量

设有一薄片，占有xOy面上的闭区域D，在点（x，y）处的面密度ρ（x，y），假定ρ（x，y）在D上连续。现在要求该薄片对于x轴的转动惯量Ix以及对于y轴的转动惯量Iy。应用元素法，在闭区域D上任取一直径很小的闭区域dσ（这小闭区域的面积也记作dσ），（x，y）是这小闭区域上的一个点。由于dσ的直径很小，且ρ（x，y）在D上连续，所以薄片中相应于dσ的部分的质量近似等于ρ（x，y）dσ，这部分质量可近似看作集中在点（x，y）上，于是可写出薄片对于x轴以及对于y轴的转动惯量元素： dIx = yρ（x，y）dσ,dIy = xρ（x，y）dσ。以这些元素为被积表达式，在闭区域D上积分，便得

22。

例3 求半径为a的均匀半圆薄片（面密度为常量ρ）对于其直径边的转动惯量。解：取坐标系如图所示，则薄片所占闭区域D可表示为 x+y≤a，y≥0；

而所求转动惯量即半圆薄片对于x轴的转动惯量Ix。222

其中 为半圆薄片的质量。

第四节 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分

与二重积分的计算类似，三重积分有时也要利用柱面坐标或球面坐标来进行计算。9.4.1 利用柱面坐标计算三重积分

设M（x，y，z）为空间内一点，并设点M在xOy面上的投影P的极坐标为r，θ，则这样的三个数r，θ，z就叫做点M的柱面坐标，这里规定r、θ、z的变化范围为： 0 ≤ r < +∞, 0 ≤θ≤ 2π,-∞ < z < +∞。三组坐标面分别为

r = 常数，即以z轴为轴的圆柱面； θ=常数，即过z轴的半平面； z = 常数，即与xOy面平行的平面。显然，点M的直角坐标与柱面坐标的关系为

（1）

现在要把三重积分中的变量变换为柱面坐标。为此，用三组坐标面r = 常数，θ=常数，z = 常数把Ω分成许多小闭区域，除了含Ω的边界的一些不规则小闭区域外，这种小闭区域都是柱体。考虑由r，θ，z各取得微小增量dr，dθ，dz所成的柱体的体积。柱体的高为dz、底面积在不计高阶无穷小时为r dr dθ（即极坐标系中的面积元素），于是得

dv = r dr dθdz，这就是柱面坐标中的体积元素。再注意到关系式（1），就有

（2）

其中F（r，θ，z）= f（r cosθ，r sinθ，z）。（2）式就是把三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式。至于变量变换为柱面坐标后的三重积分的计算，则可化为三次积分来进行。化为三次积分时，积分限是根据r，θ，z在积分区域Ω中的变化范围来确定的，下面通过例子来说明。例1 利用柱面坐标计算三重积分围成的闭区域。，其中Ω是由曲面z = x+y与平面z = 4所

22解 把闭区域Ω投影到xOy面上，得半径为2的圆形闭区域D：0≤r≤2，0≤θ≤2π。在D22内任取一点（r，θ），过此点作平行于z轴的直线，此直线通过曲面z = x+y穿入Ω内，然后通过平面z = 4穿出Ω外。因此闭区域Ω可用不等式 r2≤z≤4，0≤r≤2，0≤θ≤2π 来表示。于是

9.4.2 利用球面坐标计算三重积分

设M（x，y，z）为空间内一点，则点M也可用这样三个有次序的数r，φ，θ来确定，其中r为原点O与点M间的距离，φ为有向线段看自x轴按逆时针方向转到有向线段

与z轴正向所夹的角，θ为从正z轴来的角，这里P为点M在xOy面上的投影。这样的三个数r，φ，θ叫做点M的球面坐标，这里r，φ，θ的变化范围为 0 ≤ r < +∞, 0 ≤φ≤ π, 0 ≤θ≤ 2π.r = 常数，即以原点为心的球面；

φ= 常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面； θ = 常数，即过z轴的半平面。点M的直角坐标与球面坐标的关系为

（3）

为了把三重积分中的变量从直角坐标变换为球面坐标，用三组坐标面r = 常数，φ=常数，θ= 常数把积分区域Ω分成许多小闭区域。考虑由r，φ，θ各取得微小增量dr，dφ，dθ所成的六面体的体积。不计高阶无穷小，可把这个六面体看作长方体，其经线方向的长为rdφ，纬线方向的宽为r sinφdθ，向径方向的高为dr，于是得 dv = r sinφdrdφdθ，这就是球面坐标系中的体积元素。再注意到关系式（3），就有 2,（4）

其中F（r，φ，θ）= f（r sinφcosθ，r sinφsinθ，r cosφ）。（4）式就是把三重积分的变量从直角坐标变换为球面坐标的公式。

要计算变量变换为球面坐标后的三重积分，可把它化为对r对φ及对θ的三次积分。若积分区域Ω的边界曲面是一个包围原点在内的闭曲面，其球面坐标方程为r = r（φ，θ），则。

当积分区域Ω为球面r = a所围成时，则。

特别地，当F（r，φ，θ）= 1时，由上式即得球的体积，这是我们所熟知的。

例2 求半径为a的球面与半顶角为α的内接锥面所围成的立体的体积。解 设球面通过原点O，球心在z轴上，又内接锥面的顶点在原点O，其轴与z轴重合，则球面方程为r = 2acosφ，锥面方程为φ=α。因为立体所占有的空间闭区域Ω可用不等式 0≤r≤2acosφ, 0≤φ≤α, 0≤θ≤2π 来表示，所以

在三重积分的应用中也可采用元素法。

设物体占有空间闭区域Ω，在点（x，y，z）处的密度为ρ（x，y，z），假定这函数在Ω上连续，求该物体的重心的坐标和转动惯量。与第三节中关于平面薄片的这类问题一样，应用元素法可写出

等，其中为物体的质量。

例3 求均匀半球体的重心。

解 取半球体的对称轴为z轴，原点取在球心上，又设球半径为a，则半球体所占空间闭区域Ω可用不等式 x+y+z≤a，z≥0 来表示。2222显然，重心在z轴上，故。，其中为半球体的体积。

因此，重心为。

第二篇：高等数学积分总结[推荐]

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一元不定积分：解决定积分的计算问题，将积分问题与求导问题联系起来

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Pi,ixiQi,iyi问题引例：变力沿曲线作功Wlim0i1nn

1、定义：如果一阶微分方程Px,ydxQx,ydy0的左端恰好是某一个二元积分定义：Px,ydxlimP,x,Qx,ydylimQi,iyiiiiLL00i1i1函数u的全微分，此时方程的通解为u=C,因此全微分方程的关键就是求u积分的定义可推广到空间的情况，并可简写成Px,ydxQx,ydy

2、求解方法：L对坐标的曲线积分计算方法：本质是将其化为一元定积分用参数方程、将y化为x'全微分方程uu第二型曲线积分①不定积分法：P,uPdxy,PdxyQxy两种曲线积分的关系：②凑微分法PdxQdyPcosQcosds③积分因子法：见笔记PdxQdyRdzPcosQcosRcosds 其中cos，cos，cos是曲线在一点的与有向曲线同向的切向量的方向余弦 问题引例：曲面的侧的定义指明了曲面是有方向的曲面的投影，流体力学中流量问题=vdSn积分定义：limPi,i,iSzyQi,i,iSxzRi,i,iSxyPcosQcosRcosdS0i1对坐标的曲面积分nlimPi,i,iSzyQi,i,iSxzRi,i,iSxyPdydzQdxdzRdxdy第二型曲面积分0i1第一式将定义以第一型曲面积分的形式给出；第二式是我们普遍用的第二型曲面积分两个式子反应的是一个东西，也就阐明了两类曲面积分的联系计算方法：投影、代入、转换应用：流量的计算

QP 格林定理：①曲线正向的定义；②dxdy,L为D的取正向的边界曲线LPdxQdyxyD QP应用格林公式应注意：1曲线L必须封闭；2、在D内每点具有一阶连续偏导；3L为正向曲线 xy

A格林公式曲线积分的路径无关性：概念，积分值只与初始点的坐标有关PdxQdy B 四个等价命题：在一个单连通区域内，函数Px,y、Qx,y在G内有一阶连续偏导 则下面四个命题等价：QP ①=；②PdxQdy0；③PdxQdy与路径无关；④存在函数ux,y,使duPdxQdyLL xy 高斯公式：是闭曲面围成的区域，函数P、Q、R在上具有一阶连续偏导，则PQRPdydzQdzdxRdxdy++dVxyzPQRPcosQcosRcosdS++dV高斯公式通量散度xyz其中是的外侧，cos、cos、cos是点出法向量的方向余弦PQR通量与散度：=AdS,divA++xyz

斯托克斯公式：设是以为边界的有向曲面，的正向与的侧符合右手规则,P,Q,R具有一阶连续偏导  RQQPPRPdxQdyRdzdydzdzdxdxdyL yzzxxy斯托克斯公式环流量与旋度

环流量与旋度：向量场A沿有向闭曲线的曲线积分Ads称为A沿的环流量 RQPRQP旋度：rotA= ikjyzzxxy

积分应用归纳几何应用：

1、求曲边梯形的面积：用一元定积分可做

2、求曲顶柱体的体积：用二重积分可做，用三重积分可做

3、曲面的面积:1dSdS 柱面面积=fx,yds——牟合方盖的表面积Lfy,zds,fx,zdsLL该柱面以L为准线，母线平行于z轴，介于z0与曲面zfx,y之间的部分

4、平面的面积：其实就是曲面面积的特殊情况，用一元定积分可做，用二重积分可做

物理应用：

1、质量平面直线杆一元定积分线状质量线密度长度平面曲线杆对弧长的曲线积分这也就解释了为什么对弧长的积分化为定积分空间曲线杆被积函数为三元函数的对弧长的曲线积分平面面片二重积分面状质量面密度面积空间面片对曲面的面积积分立体快质量体密度体积三重积分解释了为什么对曲面的面积积分化为二重积分=fP;MfPd

2、质心物理重心——质心——几何中心——形心概念解释:物理重心——是在重力场中，物体处于任何方位时所有各组成质点的重力的合力都通过的那一点。规则而密度均匀物体的重心就是它的几何中心。质心——质量中心简称质心，指物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点。与重心不同的是，质心不一定要在有重力场的系统中。值得注意的是，除非重力场是均匀的，否则同一物质系统的质心与重心不通常在同一假想点上。形心——面的形心就是截面图形的几何中心，质心是针对实物体而言的,而形心是针对抽象几何体而言的，对于密度均匀的实物体，质心和形心重合。质心的计算：引入了静力矩的概念xx,ydyx,y薄片:xDx,yd,ydDx,yd平面DDxx,ydsyx,曲线杆:xLydsx,yds,yLx,ydsLL3、转动惯量：定义：IMr2Ixy2x,ydDIyx2x,ydDI0x2y2x,yd D



块：xxdv,yydvdvdv空间面片:xxd,yyddd曲杆:xxds,yydsdsds

第三篇：重积分证明题

证明题（共 46 小题）

1、设函数f(x,y)和g(x,y)在有界闭域D上连续，证明

2、设函数f(x,y)和g(x,y)在D上连续，且f(x,y)≤g(x,y),(x,y)D，利用二重积分定义证明：

3、设函数f(x,y)在有界闭域D上连续，且M，m分别是f(x,y)在D上的最大值与最小值，证明：

其中σ是D的面积。

4、设函数f(x,y)在有界闭域D上连续，证明：

5、设函数f(x,y)在有界闭域D上连续，证明在D上必有点(ξ,η)使得

成立，其中σ是D的面积。

6、设函数f(x,y)在有界闭域D上连续，且D可以分为两个闭域D1和D2，证明

7、设D={(x,y)}｜a≤x≤b,－φ(x)≤y≤φ(x)},试证

其中φ(x)在[a,b]上连续，f(x),g(y)均在D上连续，且g(－y)=－g(y).8、设D={(x,y)｜a≤x≤b,－φ(x)≤y≤φ(x)},试证

[a,b]上连续，f(x,y)在D上连续且f(x,－y)=－f(x,y).9、设f(x,y)是连续函数，证明其中a,m为常数，且a>0.10、设f(u)为连续函数，试证

其中φ(x)在11、设f(x,y),g(x,y)在有界闭区域D上连续，且g(x,y)≥0,证明：在D上必有点(ξ,η),使

成立。

12、设f(x,y)为区域D：上的连续函数，试证

13、利用二重积分的估值性质，证明 线－x+y=1,x+y=1及ox轴所围成的区域。

其中D是由直

14、设f(x)在[a,b]上连续，证明 其中n>0.15、证明：

大于1的自然数。

16、设f(x),g(x)在[a,b]上连续，试用二重积分证明不等式：

17、设f(x)在[0,1]上连续，证明

18、设f(x)在[a,b]上连续，证明不等式

19、设p(x)是[a,b]上的非负连续函数，f(x),g(x)是[a,b]上的连续单增函数，证明

20、设f(x)是[0,1]上的连续正值函数，且f(x)单调减少，证明不等式：

其中n为

21、设f(x)是[0,1]上的连续单增函数，求证：

22、设f(u)是连续函数，证明

及x=－1所围成的区域。

23、设f(t)为连续函数，证明

其中D是由y=x3,y=

124、设f(t)是连续函数，证明

其中A为正常数，其中a2+b2≠0.25、设f(t)是连续函数，证明

26、设f(x)在[0,a]上连续，证明

27、设f(x)是[a,b]上的连续正值函数，试证不等式：

其中D：a≤x≤b,a≤y≤b.28、设f(u)为可微函数，且f(0)=0,证明

29、设Ω为空间有界闭区域，f(x,y,z)在Ω上连续，若(ξ,η,ζ)∈Ω使得任意闭区域D，DΩ，都有f(x,y,z)dv=f(ξ,η,ζ)VD,VD为D的体积，试证f(x,y,z)在Ω上是常数。

30、锥面x2+y2－z2=0将闭区域x2+y2+z2≤2az(a>0)分割成两部分，试证其两部分体积的大小之比为3：1.31、设D1与D2分别是第一象限由

以及x2+y2≤a2(a>0)所确定的闭区域，试证：面积关系式

32、设Ω是由曲面(a1x+b1y+c1z)2+(a2x+b2y+c2z)2+(a3x+b3y+c3z)2=1所围的有界闭区域，,f(x,y,z)在Ω上连续，试证：(ξ，η，ζ)∈Ω满足

.33、设Ω为单位球体x2+y2+z2≤1,试证可选择适当的坐标变换，使得

(a2+b2+c2=1)

34、设Ω是上半单位球体x2+y2=z2≤1,z≥0,f(x,y,z)在Ω上连续，试利用球面坐标积分方法证明(ξ，η，ζ)∈Ω使得

222222f(x,y,z)dvf(,,)()().

35、试证：对形状为z=的增速与液面高度成正比。

36、设Ω为一半椭球体x2+y2+试证：

.(a;b>0)的容器，当其液面高度增速为常数时，其容积,z≥0.g(u)为一单调增函数。

37、试证：在平面薄片关于所有平行于oy轴的轴的转动惯量中，对于穿过重心的轴所得的转动惯量最小。

38、设Ω为由

≤1所确定的立体(0＜a≤b≤c)，其密度函数ρ=ρ(z)为关

[(x于z的偶函数。试证：对任意的(x0,y0,z0)∈Ω，关于(x0,y0,z0)的转动惯量满足I(x0,y0,z0)=－x0)2+(y－y0)2+(z－z0)2]ρ(z)dv≤I(0,0,c).39、体密度为ρ(x,y,z)的空间立体Ω关于(x0,y0,z0)的转动惯量定义为：I(x0,y0,z0)=－x0)2+(y－y0)2+(z－z0)2]ρ(x,y,z)dv.试证：I(x0,y0,z0)≥,其中

[(x

是Ω的重心坐标。

40、设Ω为一有界闭区域，f(x,y,z)在Ω上连续。若对任意Ω1,Ω2

Ω,其对应体积为V1，V2，只要V1

。试证：f为正常数。

41、设f(z)在[－1,1]上有连续的导函数，试证：

42、设f(t)为一单调增函数，试证：

43、设f(u)为一单调增函数，试证：，其中

a2+b2+c3=1.44、设f(x,y,z)在有界闭区域D上连续，若对任意闭区域D1，D1



D都有，试证在 D上f(x,y,z)≤0.45、设Ω为区域x+y+z≤1,P0(x0,y0,z0)为Ω外的一点，试证：

22。

46、设f(x,y,z)在有界闭区域Ω上连续，若

f(x,y,z)dv=f(x0,y0,z0)·V,V为Ω的体积，试证：当f(x0,y0,z0)取到f(x,y,z)的最大值或最小值时f(x,y,z)在Ω必是一个常数。

第四篇：重积分总结

多重积分的方法总结

计算根据被积区域和被积函数的形式要选择适当的方法处理，这里主要是看被积区域的形式来选择合适的坐标形式，并给区域一个相应的表达，从而可以转化多重积分为多次的积分形式．具体的一些作法在下面给出．

一．二重积分的计算

重积分的计算主要是化为多次的积分．这里首先要看被积区域的形式, 选择合适的坐标系来进行处理．二重积分主要给出了直角坐标系和极坐标系的计算方法．我们都可以从以下几个方面把握相应的具体处理过程：1.被积区域在几何直观上的表现（直观描述，易于把握）；2.被积分区域的集合表示（用于下一步确定多次积分的积分次序和相应的积分限）；3.化重积分为多次积分．

1.在直角坐标下：(a)X-型区域

几何直观表现：用平行于y轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数yy1(x)和yy2(x)；

被积区域的集合表示：D{(x,y)axb,y1(x)yy2(x)}； 二重积分化为二次积分：

Df(x,y)dxdydxaby2(x)y1(x)f(x,y)dy．

(b)Y-型区域

几何直观表现：用平行于x轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由左右交点位于的曲线确定两个函数xx1(x)和xx2(x)；

被积区域的集合表示：D{(x,y)cyd,x1(x)xx2(x)}； 二重积分化为二次积分：

f(x,y)dxdyDdcdxx2(y)x1(y)f(x,y)dx．

2.在极坐标下：

几何直观表现：从极点出发引射线线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数rr1()和rr2()（具体如圆域，扇形域和环域等）；

被积区域的集合表示：D{(r,)12,r1()rr2()}，注意，如果极点在被积区域的内部，则有特殊形式D{(r,)02,0rr2()}； 直角坐标下的二重积分化为极坐标下的二重积分，并表示成相应的二次积分：

Df(x,y)dxdyf(rcos,rsin)rdrddD2r2()1r1()f(rcos,rsin)rdr．

注：具体处理题目时，首要要能够选择适当的处理方法，并能够实现不同积分次序及直角坐标和极坐标的转化．

3.二重积分的换元法：

zf(x,y)在闭区域D上连续，设有变换

xx(u,v)T,(u,v)D yy(u,v)将D一一映射到D上，又x(u,v),y(u,v)关于u, v有一阶连续的偏导数，且

J(x,y)0,(u,v)D (u,v)则有

f(x,y)dxdyf(x(u,v),y(u,v))Jdudv．

DD

二．三重积分的计算

三重积分具体的处理过程类似于二重积分，也分为三个步骤来进行处理． 1.在直角坐标下：

空间区域几何直观表现：用平行于z轴的直线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个函数zz1(x,y)和zz1(x,y)，并把区域投影到xoy面上从而确定(x,y)的范围，记为Dxy；

被积区域的集合表示：V{(x,y,z)(x,y)Dxy,z1(x,y)zz2(x,y)}, 进一步地, Dxy可以表示成X－型区域或Y－型区域;三重积分化为三次积分：

f(x,y,z)dVdxdyVDxybaz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz

（所谓“二套一”的形式）dyz2(x,y)dxdy2(x)y1(x)z1(x,y)f(x,y,z)dz

（Dxy为X－型）

dycx2(y)x1(y)dxz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz

（Dxy为Y－型）

注：类似于以上的处理方法，把空间区域投影到 yoz面或zox面又可把三重积分转化成不同次序的三次积分．这时区域几何直观表现，区域的集合表示，以及新的三次积分次序如何？可见，三重积分最多可以对应六种积分次序．这里还有所谓一套二的处理方法，区域的直观表现为：平行于xoy面的截面面积容易求得．作为被积函数最好与x，y无关，即可表示为为f(z)．则区域表示为：

V{(x,y,z)czd,(x,y)Dz}, 其中Dz表示垂直于z轴的截面．此时，三重积分化为：

f(x,y,z)dVVdcdzf(z)dxdy

（所谓“一套二”的形式）

Dz

f(z)SDzdz

cd其中SDz表示截面Dz的面积，它是关于z的函数．

2.在柱坐标下：

柱坐标与直角坐标的关系：

xrcosyrsin,(0r,02,z)zz空间区域几何直观表现：用平行于z轴的直线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个，从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个函数zz1(x,y)和zz1(x,y)．空间区域在xoy面上的投影区域易于用参数r和表示范围（具体如圆域，扇形域和环域等），并且zz1(x,y)和zz1(x,y)也易于进一步表示z成关于r,较简单的函数形式，比如x2y2可以看成一个整体（具体如上、下表面为旋转面的情形）；

被积区域的集合表示：

V{(r,)12,r1()rr2(),z1(r,)zz2(r,)}；

直角坐标下的三重积分化为极坐标下的三重积分，并表示成相应的三次积分：

f(x,y,z)dVf(rcos,rsin,z)rdrddzVVd12r2()r1()rdrz2(r,)z1(r,)f(rcos,rsin,z)dz．

3.在球坐标下：

球坐标与直角坐标的关系： xrsincosyrsinsin,(0r,02,0)zcos空间区域几何直观表现：从原点出发引射线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个，从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个球坐标函数rr1(r,)和rr2(r,);（具体如球心在原点或z轴上的球形域）

被积区域的集合表示：

V{(r,,)12,12,r1(,)rr2(,)}；

直角坐标下的三重积分化为极坐标下的三重积分，并表示成相应的三次积分：

Vf(x,y,z)dVf(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindrdd

V=20dd02r2(,)r1(,)f(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindr．如球心在原点半径为a的球形域下：

Vf(x,y,z)dVddf(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindr．

000a4.三重积分的换元法：

uf(x,y,z)在闭区域V上连续，设有变换

xx(u,v,w)T:yy(u,v,w),(u,v,w)V zz(u,v,w)将V一一映射到V上，又x(u,v,w),y(u,v,w)和z(u,v,w)关于u, v和w有一阶连续的偏导数，且

J(x,y,z)0,(u,v)V

(u,v,w)则有

f(x,y,z)dVf(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))Jdudvdw．

VV

三．重积分的几何和物理应用 1.几何应用

a)二重积分求平面区域面积；b)二重积分求曲顶柱体体积；c)三重积分求空间区域的体积；d)二重积分求空间曲面的面积．

求曲面的面积A，对应着曲面方程为直角坐标系下的二元函数形式和参数方程形式分别有以下公式：

i)曲面方程 S:zf(x,y),(x,y)D

A1fx2fy2dxdy

Dxx(u,v)ii)曲面参数方程S:yy(u,v),(u,v)Duv

zz(u,v)iA(xuiyujzuk)(xviyvjzvk)dudvxuDuvDuvjyuyvkzududv zvxv注：这里的公式都对函数有相应的微分条件． 2.物理应用

包括求质量、质心、转动惯量和引力等应用，积分是研究物理问题的重要工具．建立物理量对应的积分公式的一般方法是从基本的物理原理出发，找到所求量对应的微元，也就是对应积分的被积表达式了．

以上对多重积分的计算方法做了个小结，关键要在具体的情况下要找到对应的适宜的处理方法．处理重积分计算时从几何形式出发，则易于直观把握．注意选择适当的坐标系，注意被积区域的表达，还要注意函数关于区域的对称性．这种对称性包括奇对称和偶对称，从而可以简化计算过程．

第五篇：数学分析 重积分

《数学分析》教案

第二十一章 重积分

教学目的：1.理解并掌握二重积分的有关概念及可积条件，进而会计算二重积分；2.理解三重积分的概念，掌握三重积分的计算方法，并能应用其解决有关 的数学、物理方面的计算问题；

教学重点难点：本章的重点是重积分的计算和格林公式；难点是化重积分为累次积分。

教学时数：22学时

§ 1 二重积分概念

一.矩形域上的二重积分 : 从曲顶柱体的体积引入.用直线网分割.定义 二重积分.例1 用定义计算二重积分

.用直线网

分割该正方形 , 在每个正方形上取其右上顶点为介点.解

.二.可积条件 : D

.大和与小和.Th 1 ，.《数学分析》教案

性质6

.性质7 中值定理.Th 若区域D 的边界是由有限条连续曲线()组成 , 例3 去掉积分

在D上连续 , 则

在D上可积.或

中的绝对值.§ 2 二重积分的计算

二.化二重积分为累次积分:

1.矩形域

上的二重积分:

用“ 体积为幂在势上的积分”推导公式.2.简单域上的二重积分: 简推公式, 一般结果]P219Th9.例1 ，.解法一 P221例3 解法二 为三角形, 三个顶点为 ,.例2 ,.P221例2.例3 求底半径为 的两直交圆柱所围立体的体积.P222例4.《数学分析》教案

解法一(直接计算积分)曲线AB的方程为

.方向为自然方向的反向.因此

.解法二(用Green公式)补上线段BO和OA(O为坐标原点), 成闭路.设所围

区域为D, 注意到 D为反向, 以及, 有

.例2 计算积分 I =, 其中L为任一不包含原点的闭区域D的边界(方向任意)P227例2 解 导数)..（和

在D上有连续的偏,.于是, I =.二.曲线积分与路线无关性:

《数学分析》教案

;.例6 验证式 P231例4

是恰当微分, 并求其原函数.§ 4 二重积分的变量变换:（4时）

1.二重积分的变量变换公式: 设变换 的Jacobi , 则

, 其中 是在该变换的逆变换

下平面上的区域 在

平面上的象.由条件

一般先引出变换

.而 , 这里的逆变换是存在的., 由此求出变换

.例1 ,.P235 例1.註

当被积函数形如 区域为直线型时, 可试用线性变换 , 积分.《数学分析》教案

极坐标变换: ,.广义极坐标变换: ,.例4.P240例3.例5(Viviani问题)求球体 被圆柱面

所割下立体的体积.P240例4.例6 应用二重积分求广义积分

.P241例5.例7 求橢球体

四.积分换序: 例8 连续.对积分的体积.P241例6.换序..例9 连续.对积分

换序..例10 计算积分

..§ 5 三重积分简介

《数学分析》教案

例2 , :.解.法一(内二外一), 其中 为椭圆域 , 即椭圆域, 其面积为.因此

.同理得 ,.因此.法二(内一外二)上下对称，为 的偶函数，1

《数学分析》教案

Th 21.13 P247.1.柱坐标: P248.例4 ，:

.P248例3 2.球坐标: P249.P 250例4.§ 6 重积分的应用

一、曲面的面积

设曲面方程为

.有连续的一阶偏导数.推导曲面面积公式 , 或.例1 P253例1`.3-