高等数学三重积分计算方法总结

第一篇：高等数学三重积分计算方法总结

高等数学三重积分计算方法总结

1、利用直角坐标计算三重积分：（1）投影法（先一后二）：

1）外层(二重积分)：区域Ω在xoy面上的投影区域Dxy 2）内层(定积分)：

从区域Ω的底面上的z值，到区域Ω的顶面上的z值。

（2）截面法（先二后一）：

1)外层(定积分): 区域Ω在z 轴上的投影区间。2)内层(二重积分):Ω垂直于z 轴的截面区域。

2、利用柱坐标计算三重积分 f(x,y,z)dvf(cos,sin,z)dddz3、利用球面坐标计算三重积分

f(x,y,z)dxdydzf(rsincos,rsinsin,rcos)rsindrdd2定限方法:(1)转面定θ(2)转线定φ(3)线段定r

4、利用对称性化简三重积分计算 设积分区域Ω关于xoy平面对称，(1)若被积函数 f(x,y,z)是关于z 的奇函数，则三重积分为零。(2)若被积函数 f(x,y,z)是关于z 的偶函数，则三重积分等于：在xoy平面上方的半个Ω，区域上的三重积分的两倍.使用对称性时应注意：

1）积分区域关于坐标面的对称性； ２）被积函数关于变量的奇偶性。

2例 计算



x(x



y



z)

dxdydz，其中Ω是由曲面z = x2 + y2和x2 + y2 + z2 =2所围成的空间闭区域.解： x(xyz)2 x(x2y2z2)2x2y2xyz2zx2 x(x2y2z2)2xyz

是关于x 的奇函数，且关于 yoz 面对称 故其积分为零。

2x2 y是关于y 的奇函数,且关于 zox 面对称

2x2ydv0,Ix(xyz)2dxdydz

202x2zdxdydz,222coszdddz0 d d 2coszdz222322dcos(2)d013224 245

第二篇：高等数学积分总结[推荐]

问题引例：曲边梯形的面积、变速直线运动的路程n积分定义：bfxdxlimfxiia0i1b计算方法:fxdxFbFaa一元定积分几何意义:连续曲线与x轴所围曲边梯形面积的代数和物理意义：变力沿直线做功应用几何：平面图形的面积直角坐标、极坐标、体积已知平行截面、旋转体体积平面曲线的弧长直角坐标、极坐标、参数方程、旋转曲面的面积应用物理：水压力、质量与引力、边际成本

一元不定积分：解决定积分的计算问题，将积分问题与求导问题联系起来

问题引例：曲顶柱体的体积、平面薄片的质量n积分定义：fx,ydlimf,iii0i1D计算方法:关键问题是定限，在直角坐标下d=dxdy，在极坐标下d=rdrd二重积分几何意义:以D为底，fx,y为曲顶柱体的体积的代数和物理意义：应用几何：求平面图形的面积dD应用物理问题引例：四维空间中曲顶柱体的体积问题n积分定义：fx,y,zdvlimf,,viiii0i1计算方法:直角坐标 dv=dxdydz柱面坐标xrcos,yrsin,zz,dv=rdrddz三重积分球面坐标xrsincos,yrsinsin,zrcos,dv=r2sindrdd定限的方法参考二重积分 几何意义、物理意义应用几何应用物理

问题引例：曲线形构件的质量nn积分定义：fx,ydslimf,s,fx,y,zdslimf,,siiiiiii00i1i1LL计算方法:用路径函数L化简fx,y,化为一元定积分弧长元素ds=dx2dy22ds=1+y'xdx对弧长的曲线积分2ds=1+x'ydy第一型曲线积分22ds=t+'tdt22ds=r+r'd几何意义、物理意义应用几何应用物理n问题引例:曲面不均匀薄片的质量n积分定义：fx,y,zdSlimf,,Siiii0i1对面积的曲面积分计算方法:

1、投影，2、代入，3、转换22第一型曲面积分fx,y,zdSfx,y,zx,y1zxzydxdyDxy应用几何：计算曲面面积应用物理

Pi,ixiQi,iyi问题引例：变力沿曲线作功Wlim0i1nn

1、定义：如果一阶微分方程Px,ydxQx,ydy0的左端恰好是某一个二元积分定义：Px,ydxlimP,x,Qx,ydylimQi,iyiiiiLL00i1i1函数u的全微分，此时方程的通解为u=C,因此全微分方程的关键就是求u积分的定义可推广到空间的情况，并可简写成Px,ydxQx,ydy

2、求解方法：L对坐标的曲线积分计算方法：本质是将其化为一元定积分用参数方程、将y化为x'全微分方程uu第二型曲线积分①不定积分法：P,uPdxy,PdxyQxy两种曲线积分的关系：②凑微分法PdxQdyPcosQcosds③积分因子法：见笔记PdxQdyRdzPcosQcosRcosds 其中cos，cos，cos是曲线在一点的与有向曲线同向的切向量的方向余弦 问题引例：曲面的侧的定义指明了曲面是有方向的曲面的投影，流体力学中流量问题=vdSn积分定义：limPi,i,iSzyQi,i,iSxzRi,i,iSxyPcosQcosRcosdS0i1对坐标的曲面积分nlimPi,i,iSzyQi,i,iSxzRi,i,iSxyPdydzQdxdzRdxdy第二型曲面积分0i1第一式将定义以第一型曲面积分的形式给出；第二式是我们普遍用的第二型曲面积分两个式子反应的是一个东西，也就阐明了两类曲面积分的联系计算方法：投影、代入、转换应用：流量的计算

QP 格林定理：①曲线正向的定义；②dxdy,L为D的取正向的边界曲线LPdxQdyxyD QP应用格林公式应注意：1曲线L必须封闭；2、在D内每点具有一阶连续偏导；3L为正向曲线 xy

A格林公式曲线积分的路径无关性：概念，积分值只与初始点的坐标有关PdxQdy B 四个等价命题：在一个单连通区域内，函数Px,y、Qx,y在G内有一阶连续偏导 则下面四个命题等价：QP ①=；②PdxQdy0；③PdxQdy与路径无关；④存在函数ux,y,使duPdxQdyLL xy 高斯公式：是闭曲面围成的区域，函数P、Q、R在上具有一阶连续偏导，则PQRPdydzQdzdxRdxdy++dVxyzPQRPcosQcosRcosdS++dV高斯公式通量散度xyz其中是的外侧，cos、cos、cos是点出法向量的方向余弦PQR通量与散度：=AdS,divA++xyz

斯托克斯公式：设是以为边界的有向曲面，的正向与的侧符合右手规则,P,Q,R具有一阶连续偏导  RQQPPRPdxQdyRdzdydzdzdxdxdyL yzzxxy斯托克斯公式环流量与旋度

环流量与旋度：向量场A沿有向闭曲线的曲线积分Ads称为A沿的环流量 RQPRQP旋度：rotA= ikjyzzxxy

积分应用归纳几何应用：

1、求曲边梯形的面积：用一元定积分可做

2、求曲顶柱体的体积：用二重积分可做，用三重积分可做

3、曲面的面积:1dSdS 柱面面积=fx,yds——牟合方盖的表面积Lfy,zds,fx,zdsLL该柱面以L为准线，母线平行于z轴，介于z0与曲面zfx,y之间的部分

4、平面的面积：其实就是曲面面积的特殊情况，用一元定积分可做，用二重积分可做

物理应用：

1、质量平面直线杆一元定积分线状质量线密度长度平面曲线杆对弧长的曲线积分这也就解释了为什么对弧长的积分化为定积分空间曲线杆被积函数为三元函数的对弧长的曲线积分平面面片二重积分面状质量面密度面积空间面片对曲面的面积积分立体快质量体密度体积三重积分解释了为什么对曲面的面积积分化为二重积分=fP;MfPd

2、质心物理重心——质心——几何中心——形心概念解释:物理重心——是在重力场中，物体处于任何方位时所有各组成质点的重力的合力都通过的那一点。规则而密度均匀物体的重心就是它的几何中心。质心——质量中心简称质心，指物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点。与重心不同的是，质心不一定要在有重力场的系统中。值得注意的是，除非重力场是均匀的，否则同一物质系统的质心与重心不通常在同一假想点上。形心——面的形心就是截面图形的几何中心，质心是针对实物体而言的,而形心是针对抽象几何体而言的，对于密度均匀的实物体，质心和形心重合。质心的计算：引入了静力矩的概念xx,ydyx,y薄片:xDx,yd,ydDx,yd平面DDxx,ydsyx,曲线杆:xLydsx,yds,yLx,ydsLL3、转动惯量：定义：IMr2Ixy2x,ydDIyx2x,ydDI0x2y2x,yd D



块：xxdv,yydvdvdv空间面片:xxd,yyddd曲杆:xxds,yydsdsds

第三篇：三重积分的计算方法小结与例题

三重积分的计算方法介绍：

三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：

如果先做定积分f(x,y,z)dz，再做二重积分F(x,y)d，就是“投

z1z2D影法”，也即“先一后二”。步骤为：找及在xoy面投影域D。多D上一点（x,y）“穿线”确定z的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分，完成“后二”这一步。f(x,y,z)dv[f(x,y,z)dz]d

Dz1z2如果先做二重积分f(x,y,z)d再做定积分F(z)dz，就是“截面

Dzc2c1法”，也即“先二后一”。步骤为：确定位于平面zc1与zc2之间，即z[c1,c2]，过z作平行于xoy面的平面截，截面Dz。区域Dz的边界曲面都是z的函数。计算区域Dz上的二重积分f(x,y,z)d，完成Dz了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分F(z)dz，完成“后

c1c2一”这一步。f(x,y,z)dv[f(x,y,z)d]dz

c1Dzc2当被积函数f（z）仅为z的函数（与x,y无关），且Dz的面积(z)容易求出时，“截面法”尤为方便。

为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域投影到xoy面，得投影区域D(平面)（1）D是X型或Y型，可选择直角坐标系计算（当的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）

（2）D是圆域（或其部分），且被积函数形如f(x2y2),f()时，可选择柱面坐标系计算（当为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）

（3）是球体或球顶锥体，且被积函数形如f(x2y2z2)时，可选择球面坐标系计算

以上是一般常见的三重积分的计算方法。对向其它坐标面投影或不易作出的情形不赘述。

yx三重积分的计算方法小结：

1.对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域及被积函数f(x,y,z)的情况选取。

一般地，投影法（先一后二）：较直观易掌握；

截面法（先二后一）： Dz是在z处的截面，其边界曲线方

程易写错，故较难一些。

特殊地，对Dz积分时，f(x,y,z)与x,y无关，可直接计算SDz。因而中只要z[a,b], 且f(x,y,z)仅含z时，选取“截面法”更佳。

2.对坐标系的选取，当为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面所围成的形体；被积函数为仅含z或zf(x2y2)时，可考虑用柱面坐标计算。

三重积分的计算方法例题：

补例1：计算三重积分Izdxdydz，其中为平面xyz1与三个坐标面

x0,y0,z0围成的闭区域。

解1“投影法” 1.画出及在xoy面投影域D.2.“穿线”0z1xy

X型

D：

0x10y1x

0x1∴：0y1x

0z1xy

3.计算

11x1xy11xIzdxdydzdxdy0010zdzdx00111x(1xy)2dy[(1x)2y(1x)y2y3]10dx2203111311 (1x)3dx[xx2x3x4]1

06062424

解2“截面法”1.画出。2.z[0,1] 过点z作垂直于z轴的平面截得Dz。

Dz是两直角边为x,y的直角三角形，x1z,y1z 3.计算

111Izdxdydz[zdxdy]dzz[dxdy]dzzSDzdz

0Dz0Dz0

1111z(xy)dzz(1z)(1z)dz(z2z2z3)dz22202400

补例2：计算x2y2dv，其中是x2y2z2和z=1围成的闭区域。解1“投影法”

zx22y21.画出及在xoy面投影域D.由z1消去z，111得x2y21即D：x2y21

2.“穿线”x2y2z1，1x1

X型

D：

221xy1x1x1∴ :1x2y1x2

22xyz13.计算11x111x2x2y2dvdx1dy21xxy22x2y2dzdx11x2x2y2(1x2y2)dy6

注：可用柱坐标计算。

解2“截面法”

1.画出。

2.z[0,1] 过点z作垂直于z轴的平面截得Dz：x2y2z2

02 Dz： 0rz02

用柱坐标计算

:0rz0z1

3.计算1xydv[0Dz2212zxydxdy]dz[drdr]dz2[r3]0dzz3dz3306000022212z11

补例3：化三重积分If(x,y,z)dxdydz为三次积分，其中：

zx22y2及z2x2所围成的闭区域。

解：1.画出及在xoy面上的投影域D.22zx2y2由 消去z，得x2y21 z2x即D： x2y21

2.“穿线” x22y2z2x2

1x1

X型 D： 221xy1x1x1：1x2y1x2

x22y2z2x211x22x23．计算 If(x,y,z)dxdydzdx11x2dyx22y2f(x,y,z)dz

注：当f(x,y,z)为已知的解析式时可用柱坐标计算。

补例4：计算zdv，其中为z6x2y2及zx2y2所围成的闭区域。

解1“投影法”

1.画出及在xoy面投影域D，用柱坐标计算

xrcos

由yrsin

化的边界曲面方程为：z=6-r2，z=r

zzz6r202得r2 ∴D：r2 即2.解

0r2zr“穿线”

02rz6r2

∴:0r2rz6r2226r22

6r23．计算

2zdv[Drzdz]rdrddrdr00r1r2zdz2r[z2]6dr r202222

r[(6r)r]dr(36r13r2r5)dr0092。3解2“截面法”

1.画出。如图：由z6r2及zr围成。

2.z[0,6][0,2][2,6] 12 1由z=r与z=2围成； z[0,2]，Dz：rz

02

1：0rz

0z22由z=2与z=6r2围成； z[2,6]，Dz：r6z

022：0r6z

2z6263.计算 =zdvzdvz[rdrd]dzz[rdrd]dz zdv120Dz12Dz2

262262236zSDz1dzzSDz2dzz[(z)]dzz[(6z)]dzzdz(6zz2)dz020202923注：被积函数z是柱坐标中的第三个变量，不能用第二个坐标r代换。

补例5：计算(x2y2)dv，其中由不等式0ax2y2z2A，z0所确定。

xcossin解：用球坐标计算。由ysinsin得的边界曲面的球坐标方程：aA

zcosP，连结OP=，其与z轴正向的夹角为，OP=。P在xoy面的投影为P，连结OP，其与x轴正向的 夹角为。

∴：aA，0，02

2222A222215A3(xy)dvdd(sin)sind2sin[]ad =500a0225252455(Aa)sin3d(Aa5)1(Aa5)

=553150三重积分的计算方法练习

（x2y2)dv，1.计算其中是旋转面x2y22z与平面z=2,z=8所围成的闭区域。

2.计算（xz)dv，其中是锥面zx2y2与球面z1x2y2所围成的闭区域。

为了检测三重积分计算的掌握情况，请同学们按照例题的格式，独立完成以上的练习，答案后续。

第四篇：考研数学复习：三重积分的计算方法总结(数一)

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考研数学复习：三重积分的计算方法总

结(数一)

三重积分是考研数一单独要求的考点，其中三重积分的计算在计算曲面、曲线积分中有重要应用，而且三重积分、曲线曲面积分每年必考一个大题一个小题，是考试的重点之一。下面凯程教育数学老师帮大家总结一下三重积分的计算方法。

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考研复习数学练习题二

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考研复习数学练习题四

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一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。

对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、郑家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程网站。在凯程官方网站的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。

建校历史：机构成立的历史也是一个参考因素，历史越久，积累的人脉资源更多。例如，凯程教育已经成立10年（2005年），一直以来专注于考研，成功率一直遥遥领先，同学们有兴趣可以联系一下他们在线老师或者电话。

有没有实体学校校区：有些机构比较小，就是一个在写字楼里上课，自习，这种环境是不太好的，一个优秀的机构必须是在教学环境，大学校园这样环境。凯程有自己的学习校区，有吃住学一体化教学环境，独立卫浴、空调、暖气齐全，这也是一个考研机构实力的体现。此外，最好还要看一下他们的营业执照。

第五篇：农行信用卡积分计算方法

积分计算规则

（一）持卡人使用金穗贷记卡在百货公司、餐厅、宾馆、其他零售商店的刷卡消费可累计积分。计算标准为消费满人民币1元可积1分，消费满1美元可积8分，美元和人民币积分可合并计算；积分不可转让，同一账户的主卡及附属卡积分合并计算，同一持卡人名下不同账户的多张卡积分不可合并计算。

（三）下列项目不予计算积分：

2、房地产类、批发类、各种机动车、航空器及其零配件销售、租赁与维修、燃油销售、自动售油机、公共事业、政府服务、纳税、代扣代缴、慈善及社会公益、医疗机构、法律服务、博彩类、学校、儿童保育、农业服务、承包服务、园艺、电器零件与设备、供暖、清洁、非现金金融产品及服务、直销、保险、证券、会计、审计等类的商户消费。