多元函数积分的计算方法与技巧范文

第一篇：多元函数积分的计算方法与技巧范文

.多元函数积分

二重积分的计算方法与应用。

（一）在作二次积分时，首先是把一个自变量看成是一个参数，而不是看成变量，这样第一步是作单变量函数的定积分，然后得到一个包含第二个变量的表达式，再对第二个变量求定积分，这样就得到了二重积分的值。这里对于选择进行积分运算的自变量的顺序是完全任意的，也就是说，假设函数的积分区间，是由曲线

yy1(x)yy2(x)

和，x=a，x=b

所围成的区域，那么f在这个区域上的二重积分为

by(x)b

f(x,y)dxdyadxy2(x)f(x,y)dyy2((xx))dyaf(x,y)dxy11D

（二）另外一种常常更为简单的计算二重积分的方法，是在极坐标下，通过把二重积分转变为二次积分来得到结果。

一般公式就是

r2f(rcos,rsin)rdrf(x,y)ddr()1



()

D

三重积分及其应用与计算。

在这两种坐标里计算多重积分，首先是给出分别在这些坐标系里的体积微元的表达式： 在圆柱坐标系里是dvrdrddz；

在球面坐标系里是dvrsindrdd。

因此可以分别得到在这两个坐标系里的三重积分的计算公式： 在圆柱坐标系里是在

f(x,y,z)dvf(rcos,rsin,z)rdrddz





； 里

是

球



面坐标系

f(x,y,z)dvf(rsincos,rsinsin,rcoa)rsindrdd

第二篇：多元向量值函数积分自测题

1、填空题

1）设L为取正向的圆周x2y29则曲线积分22xy2ydxx4xdy L

18。

x2）设曲线积分fxesinydxfxcosydy与积分路径无关，其中fx一阶L

连续可导，且f00，则fx

3）1x1xee。22y

2zdydzxz2dzdxyx2dxdy0,其中为单位球面

x2y2z21的外侧。

x224）设Aesinyi2xyzjxzyk，则divA1,0,10，rotA1,0,1

1,0,e。

2、计算下列曲线积分

1）

Lx2y2x2xydy，其中L为椭圆221，由点Aa,0经点C0,b到点ab2

Ba,0的弧段。

解：L的参数方程为xacost，t从0到。ybsint



原式

032sin3t222costacost2absintcostbcostdtabsint32ab3 0

42ab

32）x2ydxx2y2dyxyzdz，其中L是xyz11与zxy1 L2222

2的交线，其方向与z轴正方向呈右手系。

xxy2解：L一般方程可化为，其参数方程为y，从0到2



z3z322

原式

2

021cos44sin2cos2dd 02

sin4

sin 2803、计算下列曲面积分

1）z，其中是上半球面的上侧。yzdzdx2dxdy

2

解：化为第一型曲面积分计算

zx,zy



取定侧对应法向量n，1 

nxy，n22

y2z原式

dS 2x2y24 x2y242ydxdy220d2rr3sin2dr 0

22

044sin2d2062cos2d12

zy2

2）xdydzydzdxzdxdy，其中是曲线x0的上侧。

解：此曲面方程为zxy22z1绕z轴旋转所得旋转面z1，化为第一型曲面积分计算

zx2x,zy2y

取定侧对应法向量n2x,2y,1 

n,n

原式2, 22

x2y21xy2dxdy

2

0dr3dr0124、设曲线积分xy2dxyxdy与路径无关，其中x连续可导，且00，求L



解：1,10,0xy2dxyxdy。PQ2xyyxx2xxx2C yx

由00可得C0，即xx

21,10,0xy2dxyxdy1,1

0,0xy2dxyx2dyydy011 2



5、求向量A2xiyjzk通过0x1,0y1,0z1的边界曲面流向外侧的通

量。

解：2xdydzydzdxzdxdy211dv

2



6、求向量场Axyicosxyjcosxzk在点,1,1处的散度。2

解：divAyxsinxyxsinxz

div1 ,1,12

第三篇：多元函数

第二节 多元函数的基本概念

分布图示

★ 领域★平面区域的概念

★ 多元函数的概念★ 例1★ 例

2★ 二元函数的图形

★ 二元函数的极限★ 例3★ 例

4★ 例5★ 例6★ 例7

★ 二元函数的连续性★ 例 8

★ 二元初等函数★ 例 9-10

★ 闭区域上连续函数的性质

★ 内容小结★ 课堂练习

★习题6-2

内容提要：

一、平面区域的概念：内点、外点、边界点、开集、连通集、区域、闭区域

二、多元函数的概念

定义1 设D是平面上的一个非空点集，如果对于D内的任一点(x,y)，按照某种法则f，都有唯一确定的实数z与之对应，则称f是D上的二元函数，它在(x,y)处的函数值记为f(x,y)，即zf(x,y)，其中x，y称为自变量，z称为因变量.点集D称为该函数的定义域，数集{z|zf(x,y),(x,y)D}称为该函数的值域.类似地，可定义三元及三元以上函数.当n2时, n元函数统称为多元函数.二元函数的几何意义三、二元函数的极限

定义2 设函数zf(x,y)在点P0(x0,y0)的某一去心邻域内有定义，如果当点P(x,y)无限趋于点P0(x0,y0)时，函数f(x,y)无限趋于一个常数A，则称A为函数zf(x,y)当(x,y)(x0,y0)时的极限.记为

xx0yy0limf(x,y)A.或f(x,y)A（(x,y)(x0,y0)）

也记作

limf(P)A或f(P)A(PP0)PP0

二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算法则，在此不再详述.为了区别于一元函数的极限，我们称二元函数的极限为二重极限.四、二元函数的连续性

定义3 设二元函数zf(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，如果

xx0yy0limf(x,y)f(x0,y0),则称zf(x,y)在点(x0,y0)处连续.如果函数zf(x,y)在点(x0,y0)处不连续，则称函数zf(x,y)在(x0,y0)处间断.与一元函数类似，二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数.由x和y的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数.一切二元初等函数在其定义区域内是连续的.这里定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.利用这个结论，当要求某个二元初等函数在其定义区域内一点的极限时，只要算出函数在该点的函数值即可.特别地，在有界闭区域D上连续的二元函数也有类似于一元连续函数在闭区间上所满足的定理.下面我们不加证明地列出这些定理.定理1（最大值和最小值定理）在有界闭区域D上的二元连续函数, 在D上至少取得它的最大值和最小值各一次.定理2（有界性定理）在有界闭区域D上的二元连续函数在D上一定有界.定理3（介值定理）在有界闭区域D上的二元连续函数, 若在D上取得两个不同的函数值, 则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次.例题选讲：

多元函数的概念

例1某公司的总成本（以千元计）为

C(x,y,z,w)5x4y2zln(w1)

其中x是员工工资，y是原料的开销，z是广告宣传的开销，w是机器的开销.求2C(2,3,0,10).解 用2替换x，3替换y，0替换z，10替换w，则C(2,3,0，10)52430ln(101)

29.6（千元）。

例2（E02）求二元函数f(x,y)2arcsin(3x2y2)

xy2的定义域.223xy1解 2xy0

2x2y24 2xy

所求定义域为D

{(x,y)|2x2y24,xy2}.例3（E03）已知函数f(xy,xy)解设uxy,vxy,则 x2y2x2y2, 求f(x,y).xuvuv,y, 22

22uvuv2uv22故得f(u,v), 2222uvuvuv22

即有f(x,y)2xy.x2y2

二元函数的极限

例4（E04）求极限 lim(x2y2)sinx0y01.22xy

解令ux2y2,则

lim(x2y2)sinx0

y011=0.limusin22u0uxy

例5 求极限limx0

y0sin(x2y)xy22.22sinx(y)sinx(y)x2ysin(x2y)sinu2uxy1, 22, 其中lim解li22li2limx0x0xyx0u0uxyxyx2yy0y0y0x2y

x2y212xy1xx2x2y22x00, sin(x2y)所以lim220.x0xyy0

例6求极限 limxy.xx2y2

y

解当xy0时，0xyxy11xy0(x,y), 2y2x2xyx2y2x2y2

所以limxy

x0.yx2y2

例7（E05）证明limxy

x0x2y2不存在.y0

证取ykx(k为常数),则

limxy

x0x2y2limxkxk

x02,y0ykxx2k2x21k易见题设极限的值随k的变化而变化,故题设极限不存在.例8 证明limx3y

x06不存在.y0xy2

证取ykx3,limx3y

x0x6y2limx3kx3k

x0x62,其值随k的不同而变化,y0ykx3k2x61k

限不存在.二元函数的连续性

x3y3

例9讨论二元函数f(x,y)x2y2,(x,y)(0,0)在(0,0)处的连续性.0,(x,y)(0,0)

解由f(x,y)表达式的特征，利用极坐标变换： 令xcos,ysin,则

(x,ylim)(0,0)f(x,y)lim0(sin3cos3)0f(0,0), 所以函数在(0,0)点处连续.例10（E06）求limln(yx)y

x0.y1x2



解l

xi0mlny(x)y11.y1xln1(0)02



例11求limexy

x0xy.y1故极

exye01exy2.解因初等函数f(x,y)在(0,1)处连续，故limx0xy01xy

y1

课堂练习

y1.设fxy,x2y2, 求f(x,y).x

2.若点(x,y)沿着无数多条平面曲线趋向于点(x0,y0)时, 函数f(x,y)都趋向于A, 能否断定

(x,y)(x0,y0)limf(x,y)A? xy2,x2y20243.讨论函数f(x,y)xy的连续性.2xy200,

第四篇：多元函数微分学

多元函数的极限与连续

一、平面点集与多元函数

（一）平面点集:平面点集的表示: E{(x,y)|(x,y)满足的条件}.1.常见平面点集:

⑴ 全平面和半平面: {(x,y)|x0}, {(x,y)|x0}, {(x,y)|xa}, {(x,y)|yaxb}等.⑵ 矩形域: [a,b][c,d], {(x,y)|x||y|1}.⑶ 圆域: 开圆, 闭圆, 圆环.圆的个部分.极坐标表示, 特别是 {(r,)|r2acos}和{(r,)|r2asin}.⑷ 角域: {(r,)|}.⑸ 简单域:X型域和Y型域.2.邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.空心邻域和实心邻域, 空心方邻域与集

{(x,y)|0|xx0| , 0|yy0|}的区别.（二）点集的基本概念: 1.内点、外点和界点：集合E的全体内点集表示为intE, 边界表示为E.集合的内点E, 外点E, 界点不定.2.聚点和孤立点: 孤立点必为界点.例1 确定集E{(x,y)|3.开集和闭集: 1(x1)2(y2)24 }的内点、外点集、边界和聚点.intEE时称E为开集,E的聚点集E时称E为闭集.存在非开非闭集.R2和空集为既开又闭集.4.开区域、闭区域、区域：以上常见平面点集均为区域.5.有界集与无界集: 6.点集的直径d(E)：两点的距离(P1 , P2).7.三角不等式：

|x1x2|（或|y1y2|）(x1x2)2(y1y2)2 |x1x2||y1y2|.（三）二元函数: 1.二元函数的定义、记法、图象： 2.定义域： 例4 求定义域：

ⅰ> f(x,y)3.有界函数: 4.n元函数: 9x2y2x2y21;ⅱ> f(x,y)lny.ln(yx21)

二、二元函数的极限

（一）.二元函数的极限: 1.二重极限limf(P)A的定义: 也可记为PP0PD(x,y)(x0,y0)limf(x,y)A或xx0yy0limf(x,y)A

例1 用“”定义验证极限

(x,y)(2,1)lim(x2xyy2)7.[1]P94 E1.xy20.例2 用“”定义验证极限 lim2x0xy2y0x2y2,(x,y)(0,0),xy例3 设f(x,y)x2y

20 ,(x,y)(0,0). 证明(x,y)(0,0)limf(x,y)0.(用极坐标变换)

PP0PETh 1 limf(P)A对D的每一个子集E ,只要点P0是E的聚点,就有limf(P)A.PP0PD推论1 设E1D,P0是E1的聚点.若极限limf(P)不存在, 则极限limf(P)也不存在.PP0PE1PP0PD推论2 设E1,E2D,P0是E1和E2的聚点.若存在极限limf(P)A1,limf(P)A2，PP0PE1PP0PE2但A1A2,则极限limf(P)不存在.PP0PD推论3 极限limf(P)存在对D内任一点列{ Pn },PnP0但PnP0,数列{f(Pn)}PP0PD xy ,(x,y)(0,0),22收敛 例4 设f(x,y)xy 证明极限limf(x,y)不存在.(x,y)(0,0)0 ,(x,y)(0,0).(考虑沿直线ykx的方向极限).例5 设f(x,y)1,0,当0yx2,x时，证明极限limf(x,y)不

(x,y)(0,0)其余部分.存在.二重极限具有与一元函数极限类似的运算性质.例6 求下列极限: ⅰ>(x,y)(0,0)limsinxyx2ylim;ⅱ>;(x,y)(3,0)yx2y2 ⅲ>(x,y)(0,0)limxy11ln(1x2y2);ⅳ> lim.22(x,y)(0,0)xyxyf(x,y)的定义: 3． 极限(x,y)(x0,y0)lim其他类型的非正常极限，(x,y)无穷远点的情况.例7 验证(x,y)(0,0)lim1.222x3yEx

[1]P99—100 1⑴—⑹，4，5.（二）累次极限:

1.累次极限的定义: 定义.例8 设f(x,y)xy, 求在点(0 , 0)的两个累次极限.22xyx2y2例9 设f(x,y)2, 求在点(0 , 0)的两个累次极限.2xy例10 设f(x,y)xsin11ysin, 求在点(0 , 0)的两个累次极限与二重极限.yx 2.二重极限与累次极限的关系:

⑴ 两个累次极限存在时, 可以不相等.(例9)

⑵ 两个累次极限中的一个存在时, 另一个可以不存在.例如函数f(x,y)xsin1y在点(0 , 0)的情况.⑶ 二重极限存在时, 两个累次极限可以不存在.(例10)

⑷ 两个累次极限存在(甚至相等)二重极限存在.(参阅例4和例8).综上, 二重极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系.但有以下确定关系.Th 2 若全面极限(x,y)(x0,y0)limf(x,y)和累次极限limlimf(x,y)(或另一次序)都存在,则

xx0yy0必相等.推论1 二重极限和两个累次极限三者都存在时, 三者相等.注: 推论1给出了累次极限次序可换的一个充分条件.推论2 两个累次极限存在但不相等时, 全面极限不存在.注: 两个累次极限中一个存在,另一个不存在全面极限不存在.参阅⑵的例.三、二元函数的连续性

（一）二元函数的连续概念：

xy22 , xy0 ,22xy例1 设f(x,y)

m , x2y20.1m2证明函数f(x,y)在点(0 , 0)沿方向ymx连续.1 , 0yx2, x ,例1 设f(x,y)

([1]P101)0 , 其他.证明函数f(x,y)在点(0 , 0)不全面连续但在点(0 , 0)f对x和y分别连续.2.函数的增量: 全增量、偏增量.用增量定义连续性.3.函数在区域上的连续性.4.连续函数的性质: 运算性质、局部有界性、局部保号性、复合函数连续性.

第五篇：农行信用卡积分计算方法

积分计算规则

（一）持卡人使用金穗贷记卡在百货公司、餐厅、宾馆、其他零售商店的刷卡消费可累计积分。计算标准为消费满人民币1元可积1分，消费满1美元可积8分，美元和人民币积分可合并计算；积分不可转让，同一账户的主卡及附属卡积分合并计算，同一持卡人名下不同账户的多张卡积分不可合并计算。

（三）下列项目不予计算积分：

2、房地产类、批发类、各种机动车、航空器及其零配件销售、租赁与维修、燃油销售、自动售油机、公共事业、政府服务、纳税、代扣代缴、慈善及社会公益、医疗机构、法律服务、博彩类、学校、儿童保育、农业服务、承包服务、园艺、电器零件与设备、供暖、清洁、非现金金融产品及服务、直销、保险、证券、会计、审计等类的商户消费。