三重积分的计算方法小结与例题（精选五篇）

第一篇：三重积分的计算方法小结与例题

三重积分的计算方法介绍：

三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：

如果先做定积分f(x,y,z)dz，再做二重积分F(x,y)d，就是“投

z1z2D影法”，也即“先一后二”。步骤为：找及在xoy面投影域D。多D上一点（x,y）“穿线”确定z的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分，完成“后二”这一步。f(x,y,z)dv[f(x,y,z)dz]d

Dz1z2如果先做二重积分f(x,y,z)d再做定积分F(z)dz，就是“截面

Dzc2c1法”，也即“先二后一”。步骤为：确定位于平面zc1与zc2之间，即z[c1,c2]，过z作平行于xoy面的平面截，截面Dz。区域Dz的边界曲面都是z的函数。计算区域Dz上的二重积分f(x,y,z)d，完成Dz了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分F(z)dz，完成“后

c1c2一”这一步。f(x,y,z)dv[f(x,y,z)d]dz

c1Dzc2当被积函数f（z）仅为z的函数（与x,y无关），且Dz的面积(z)容易求出时，“截面法”尤为方便。

为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域投影到xoy面，得投影区域D(平面)（1）D是X型或Y型，可选择直角坐标系计算（当的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）

（2）D是圆域（或其部分），且被积函数形如f(x2y2),f()时，可选择柱面坐标系计算（当为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）

（3）是球体或球顶锥体，且被积函数形如f(x2y2z2)时，可选择球面坐标系计算

以上是一般常见的三重积分的计算方法。对向其它坐标面投影或不易作出的情形不赘述。

yx三重积分的计算方法小结：

1.对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域及被积函数f(x,y,z)的情况选取。

一般地，投影法（先一后二）：较直观易掌握；

截面法（先二后一）： Dz是在z处的截面，其边界曲线方

程易写错，故较难一些。

特殊地，对Dz积分时，f(x,y,z)与x,y无关，可直接计算SDz。因而中只要z[a,b], 且f(x,y,z)仅含z时，选取“截面法”更佳。

2.对坐标系的选取，当为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面所围成的形体；被积函数为仅含z或zf(x2y2)时，可考虑用柱面坐标计算。

三重积分的计算方法例题：

补例1：计算三重积分Izdxdydz，其中为平面xyz1与三个坐标面

x0,y0,z0围成的闭区域。

解1“投影法” 1.画出及在xoy面投影域D.2.“穿线”0z1xy

X型

D：

0x10y1x

0x1∴：0y1x

0z1xy

3.计算

11x1xy11xIzdxdydzdxdy0010zdzdx00111x(1xy)2dy[(1x)2y(1x)y2y3]10dx2203111311 (1x)3dx[xx2x3x4]1

06062424

解2“截面法”1.画出。2.z[0,1] 过点z作垂直于z轴的平面截得Dz。

Dz是两直角边为x,y的直角三角形，x1z,y1z 3.计算

111Izdxdydz[zdxdy]dzz[dxdy]dzzSDzdz

0Dz0Dz0

1111z(xy)dzz(1z)(1z)dz(z2z2z3)dz22202400

补例2：计算x2y2dv，其中是x2y2z2和z=1围成的闭区域。解1“投影法”

zx22y21.画出及在xoy面投影域D.由z1消去z，111得x2y21即D：x2y21

2.“穿线”x2y2z1，1x1

X型

D：

221xy1x1x1∴ :1x2y1x2

22xyz13.计算11x111x2x2y2dvdx1dy21xxy22x2y2dzdx11x2x2y2(1x2y2)dy6

注：可用柱坐标计算。

解2“截面法”

1.画出。

2.z[0,1] 过点z作垂直于z轴的平面截得Dz：x2y2z2

02 Dz： 0rz02

用柱坐标计算

:0rz0z1

3.计算1xydv[0Dz2212zxydxdy]dz[drdr]dz2[r3]0dzz3dz3306000022212z11

补例3：化三重积分If(x,y,z)dxdydz为三次积分，其中：

zx22y2及z2x2所围成的闭区域。

解：1.画出及在xoy面上的投影域D.22zx2y2由 消去z，得x2y21 z2x即D： x2y21

2.“穿线” x22y2z2x2

1x1

X型 D： 221xy1x1x1：1x2y1x2

x22y2z2x211x22x23．计算 If(x,y,z)dxdydzdx11x2dyx22y2f(x,y,z)dz

注：当f(x,y,z)为已知的解析式时可用柱坐标计算。

补例4：计算zdv，其中为z6x2y2及zx2y2所围成的闭区域。

解1“投影法”

1.画出及在xoy面投影域D，用柱坐标计算

xrcos

由yrsin

化的边界曲面方程为：z=6-r2，z=r

zzz6r202得r2 ∴D：r2 即2.解

0r2zr“穿线”

02rz6r2

∴:0r2rz6r2226r22

6r23．计算

2zdv[Drzdz]rdrddrdr00r1r2zdz2r[z2]6dr r202222

r[(6r)r]dr(36r13r2r5)dr0092。3解2“截面法”

1.画出。如图：由z6r2及zr围成。

2.z[0,6][0,2][2,6] 12 1由z=r与z=2围成； z[0,2]，Dz：rz

02

1：0rz

0z22由z=2与z=6r2围成； z[2,6]，Dz：r6z

022：0r6z

2z6263.计算 =zdvzdvz[rdrd]dzz[rdrd]dz zdv120Dz12Dz2

262262236zSDz1dzzSDz2dzz[(z)]dzz[(6z)]dzzdz(6zz2)dz020202923注：被积函数z是柱坐标中的第三个变量，不能用第二个坐标r代换。

补例5：计算(x2y2)dv，其中由不等式0ax2y2z2A，z0所确定。

xcossin解：用球坐标计算。由ysinsin得的边界曲面的球坐标方程：aA

zcosP，连结OP=，其与z轴正向的夹角为，OP=。P在xoy面的投影为P，连结OP，其与x轴正向的 夹角为。

∴：aA，0，02

2222A222215A3(xy)dvdd(sin)sind2sin[]ad =500a0225252455(Aa)sin3d(Aa5)1(Aa5)

=553150三重积分的计算方法练习

（x2y2)dv，1.计算其中是旋转面x2y22z与平面z=2,z=8所围成的闭区域。

2.计算（xz)dv，其中是锥面zx2y2与球面z1x2y2所围成的闭区域。

为了检测三重积分计算的掌握情况，请同学们按照例题的格式，独立完成以上的练习，答案后续。

第二篇：高等数学三重积分计算方法总结

高等数学三重积分计算方法总结

1、利用直角坐标计算三重积分：（1）投影法（先一后二）：

1）外层(二重积分)：区域Ω在xoy面上的投影区域Dxy 2）内层(定积分)：

从区域Ω的底面上的z值，到区域Ω的顶面上的z值。

（2）截面法（先二后一）：

1)外层(定积分): 区域Ω在z 轴上的投影区间。2)内层(二重积分):Ω垂直于z 轴的截面区域。

2、利用柱坐标计算三重积分 f(x,y,z)dvf(cos,sin,z)dddz3、利用球面坐标计算三重积分

f(x,y,z)dxdydzf(rsincos,rsinsin,rcos)rsindrdd2定限方法:(1)转面定θ(2)转线定φ(3)线段定r

4、利用对称性化简三重积分计算 设积分区域Ω关于xoy平面对称，(1)若被积函数 f(x,y,z)是关于z 的奇函数，则三重积分为零。(2)若被积函数 f(x,y,z)是关于z 的偶函数，则三重积分等于：在xoy平面上方的半个Ω，区域上的三重积分的两倍.使用对称性时应注意：

1）积分区域关于坐标面的对称性； ２）被积函数关于变量的奇偶性。

2例 计算



x(x



y



z)

dxdydz，其中Ω是由曲面z = x2 + y2和x2 + y2 + z2 =2所围成的空间闭区域.解： x(xyz)2 x(x2y2z2)2x2y2xyz2zx2 x(x2y2z2)2xyz

是关于x 的奇函数，且关于 yoz 面对称 故其积分为零。

2x2 y是关于y 的奇函数,且关于 zox 面对称

2x2ydv0,Ix(xyz)2dxdydz

202x2zdxdydz,222coszdddz0 d d 2coszdz222322dcos(2)d013224 245

第三篇：农行信用卡积分计算方法

积分计算规则

（一）持卡人使用金穗贷记卡在百货公司、餐厅、宾馆、其他零售商店的刷卡消费可累计积分。计算标准为消费满人民币1元可积1分，消费满1美元可积8分，美元和人民币积分可合并计算；积分不可转让，同一账户的主卡及附属卡积分合并计算，同一持卡人名下不同账户的多张卡积分不可合并计算。

（三）下列项目不予计算积分：

2、房地产类、批发类、各种机动车、航空器及其零配件销售、租赁与维修、燃油销售、自动售油机、公共事业、政府服务、纳税、代扣代缴、慈善及社会公益、医疗机构、法律服务、博彩类、学校、儿童保育、农业服务、承包服务、园艺、电器零件与设备、供暖、清洁、非现金金融产品及服务、直销、保险、证券、会计、审计等类的商户消费。

第四篇：考研数学复习：三重积分的计算方法总结(数一)

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考研数学复习：三重积分的计算方法总

结(数一)

三重积分是考研数一单独要求的考点，其中三重积分的计算在计算曲面、曲线积分中有重要应用，而且三重积分、曲线曲面积分每年必考一个大题一个小题，是考试的重点之一。下面凯程教育数学老师帮大家总结一下三重积分的计算方法。

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考研复习数学练习题二

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考研复习数学练习题四

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第五篇：多元函数积分的计算方法与技巧范文

.多元函数积分

二重积分的计算方法与应用。

（一）在作二次积分时，首先是把一个自变量看成是一个参数，而不是看成变量，这样第一步是作单变量函数的定积分，然后得到一个包含第二个变量的表达式，再对第二个变量求定积分，这样就得到了二重积分的值。这里对于选择进行积分运算的自变量的顺序是完全任意的，也就是说，假设函数的积分区间，是由曲线

yy1(x)yy2(x)

和，x=a，x=b

所围成的区域，那么f在这个区域上的二重积分为

by(x)b

f(x,y)dxdyadxy2(x)f(x,y)dyy2((xx))dyaf(x,y)dxy11D

（二）另外一种常常更为简单的计算二重积分的方法，是在极坐标下，通过把二重积分转变为二次积分来得到结果。

一般公式就是

r2f(rcos,rsin)rdrf(x,y)ddr()1



()

D

三重积分及其应用与计算。

在这两种坐标里计算多重积分，首先是给出分别在这些坐标系里的体积微元的表达式： 在圆柱坐标系里是dvrdrddz；

在球面坐标系里是dvrsindrdd。

因此可以分别得到在这两个坐标系里的三重积分的计算公式： 在圆柱坐标系里是在

f(x,y,z)dvf(rcos,rsin,z)rdrddz





； 里

是

球



面坐标系

f(x,y,z)dvf(rsincos,rsinsin,rcoa)rsindrdd