计算方法公式总结

第一篇：计算方法公式总结

计算方法公式总结

绪论

exx，x为准确值，x为近似值。绝对误差绝对误差限

r|e||xx|，ε为正数，称为绝对误差限

xxe表示相对误差 通常用exxrxxe相对误差e*xxr相对误差限|er|r或|e|r 有效数字

一元函数y=f（x）

'e(y)f(x)e(x)绝对误差e(y)f(x)'e(x)xf'(x)e(y)er(x)相对误差ryyf(x)二元函数y=f（x1,x2）绝对误差 f(x1,x2)f(x1,x2)e(y)dx1dx2

x1x2f(x1,x2)x1f(x1,x2)x2e(y)er(x1)er(x2)相对误差rx1yx2y

机器数系

注：1.β≥2，且通常取2、4、6、8 2.n为计算机字长

3.指数p称为阶码（指数），有固定上下限L、U 4.尾数部 s0.a1a2an，定位部p

n112(1)(UL1)5.机器数个数机器数误差限

1np舍入绝对 |xfl(x)|截断绝对|x2fl(x)|np

|xfl(x)||xfl(x)|11n1n舍入相对截断相对

|x||x|2

秦九韶算法

方程求根

f(x)(xx)mg(x)，g(x)0，x*为f（x）=0的m重根。

二分法

迭代法

f(x)0xk1(xk)

k=0、1、2……

**lim{x}x(x){xk}为迭代序列，(x)为迭代函数，kk

局部收敛

注：如果知道近似值，可以用近似值代替根应用定理3判断是否局部收敛

牛顿迭代法

f(x)f(xk)f(xk)(xxk)0

f(xk)xk1xk'(k0,1,2,)f(xk)注：牛顿迭代对单根重根均局部收敛，只要初值足够靠近真值。

'

牛顿迭代法对初值要求很高，要保证初值在较大范围内也收敛，加如下四个条件

注：证明牛顿迭代法大范围收敛性，要构造一个区间[ε,M(ε)],其中f()M()',在这个区间内验证这四个条件。

f()

如果知道根的位置，构造[ε，M（ε）]时应该包括根，即ε+常数

线性方程组求解

有两种方法：消去法和迭代法

高斯消去法 利用线性代数中初等行变换将增广矩阵转化为等价上三角矩阵。

注意：第一行第一列为0，将第一列不为0的某一行与第一行交换位置，继续初等行变换。对角占优矩阵

a11aA21an1na12a22an2a1na2n ann则称A为按行严格对角占优矩阵 |aii||aij|(i1,2,,n)j1jin|ajj||aij|(j1,2,,n)i1ij则称A为按列严格对角占优矩阵

aijaji(i1,jn)xR,x0,(x,Ax)0

则称A是对称正定的。

当A是上面三种情况时，用高斯消去法消元时追赶法是高斯消元法的一种特例

nakk0，不用换行。

列主元高斯消元法

|aik|，即第k次消元把k~n行第k列绝对值当|ask|maxkin最大的行（s行）调到第k行，再进行高斯消元。(k)(k)

迭代序列构造

AxbxBxfx第三个等式为迭代序列，B为迭代矩阵。迭代收敛判别

1.充分条件：迭代矩阵范数小于1，B1

结论：Ax=b有唯一解x*

(k1)Bx(k)f

2.充要条件：迭代矩阵谱半径小于1,(B)1 Jacobi迭代法

ALDU其中L（low）为下三角，U为上三角，D为对角线元素

迭代格式：x(k1)D(LU)x(k)D1b

1

迭代矩阵JD(LU)

1收敛性判据：

|IJ|0|D||LDU|0|LDU|0

求出最大值小于1（J的谱半径小于1）即迭代格式收敛.1Gauss-Seidel迭代法

迭代格式

x(k1)D(Lx1(k1)Ux(k)b)

(k)x(k1)(DL)Ux11(DL)1b

迭代矩阵：G(DL)U

常数矩阵：g(DL)1b



收敛性判据：

|IG|0|(DL)||(DL)U|0|(DL)U|0

求出最大值小于1（G的谱半径小于1）即迭代格式收敛.结论：当A是严格对角占优的，则Jacobi和Gauss-Seidal迭代法均是收敛的

1插值法

用插值多项式p（x）代替被插函数f(x)

nP(x)aaxax插值多项式：，01nn+1个点P(xi)yi(i0n)

插值区间：[a,b]，插值点满足

ax0x1xnb

求插值多项式P（x），即求多项式系数的过程为插值法

带入可知求系数的插值点行列式为范德蒙行列式，不为0，有唯一解。即n+1插值条件对应的不超过n次的插值函数P（x）只有一个。一次线性插值nxx0xx1Py0y1y0l0(x)y1l1(x)1(x)x0x1x1x0(xxi)lk(x)i0(xx)(xkxi)ikki

ni0iki0ikn(xxi)Lagrange插值多项式

Ln(x)yklk(x)k0k0 nnxxi()yki0xxiikkn插值余项

非插值节点上Lagrange插值多项式为被插函数f(x)的近似值

f(n1)()nRn(x)f(x)Ln(x)(xxi)(n1)!i0(a,b)

带导数插值条件的余项估计

注：推导过程用罗尔中值定理构造辅助函数

(t)Rn(t)K(x)Wn1(t)

第二条性质用于可以证明阶数不大于n的f(x)的插值余项为0.差商和Newton插值法

记忆方法：先记分母，最后一个减去第一个，对应的分子第一项是最后一个临近k元素的差商，第二项是第一个临近k个元素的差商。

牛顿插值多项式

通常记作Nn（x）分段样条插值

分段二次样条插值

讨论n为奇偶情况时的三个点 余项估计式

三次样条插值函数

第一类边界条件（端点一阶导数已知）

D0等于第一个式子，dn等于第二个式子

自然边界条件（端点二阶导数已知二阶导数和M0，Mn=0）

曲线拟合

最小二乘原理

函数关于n个点线性无关

23n1,x,x,x,,x注：线性无关的函数为才是最小二乘多项式

注：记住公式即可。

数值积分和数值微分

xk为求积节点，Ak为求积系数。

插值求积公式

梯形公式

Simpson公式

Cotes公式

截断误差

代数精度

当f(x)为不超过m次多项式时上式成立，f（x）为m+1多项式时上式不成立。则称为求积公式有m次代数精度。

梯形公式代数精度为1，Simpson公式代数精度为3，Cotes公式代数精度为5

截断误差 梯形公式

Simpson公式

Cotes公式

Gauss求积公式

求积公式代数精度为2n+1 [-1,1]上的两点Gauss公式（3次代数精度）

111f(x)dxf(3)f(3)1[-1,1]上的三点Gauss公式（5次代数精度）

538531f(x)dx9f(5)9f(0)9f(5)1

记住 xktk，AkAk的关系，tkAk查表即可

复化梯形公式2阶，复化Simpson公式4阶，复化Cote公式6阶

计算机通过不断把区间二分，所得前后两次积分差值满足精度条件即可

1|I2n(f)In(f)|时 给定精度ε，p211|I(f)I2n(f)|p|I2n(f)In(f)|21因而可以取I2n(f)为I(f)的近似值。

梯形

Simpson数值微分

数值微分截断误差

中点公式：

f(x0h)f(x0h)D(h) 2h常微分方程数值解法

Euler方法

欧拉公式（单步显式公式）求出的近似解

局部截断误差

Euler公式的局部截断误差（一阶精度）

后退Euler公式

梯形公式(二阶精度)

改进Euler公式（二阶精度）

截断误差（推导要求掌握，利用梯形和Euler公式的截断误差）

第二篇：计算方法总结

第一章：基本概念

x1x2...xm.xm1xm2...xmn 1.xx1x2...xm.xm1xm2...xmnxmn1x若xx1mn及其以前的非零数字称为准确数字。准确到n位小数，x10n，称x2各位数字都准确的近似数称为有效数，各位准确数字称为有效数字。2.f(x)xl0.x1x2...xt

进制：，字长：t，阶码：l，可表示的总数：2(UL1)(1)t11 3.计算机数字表达式误差来源

实数到浮点数的转换，十进制到二进制的转换，结算结果溢出，大数吃小数。4.数据误差影响的估计：

yy1nnyy(x1,x2,...xn)(x1,x2,...xn)xixi xi，小条件数。

xiyxiy1解接近于零的都是病态问题，避免相近数相减。避免小除数大乘数。

5.算法的稳定性

若一个算法在计算过程中舍入误差能得到控制，或者舍入误差的积累不影响产生可靠的计算结果，称算法数值稳定。

第二章：解线性代数方程组的直接法

1.高斯消去法

步骤：消元过程与回代过程。

顺利进行的条件：系数矩阵A不为零；A是对称正定矩阵，A是严格对角占优矩阵。2.列主元高斯消去法

失真：小主元出现，出现小除数，转化为大系数，引起较大误差。解决：在消去过程的第K步，交换主元。还有行主元法，全主元法。3.三角分解法

杜立特尔分解即LU分解。

用于解方程AXbLUXbLYb；

UXY用于求ALULUUu11u22...unn。

克罗特分解：ALULDD1U(LD)(D1U)，下三角阵和单位上三角阵的乘积。将杜立特尔分解或克罗特分解应用于三对角方程，即为追赶法。

对称正定矩阵的乔列斯基分解，AGG，下三角阵及其转置矩阵的乘积；用于求解

TAXb的平方根法。

改进平方根法：利用矩阵的ALDL分解。4.舍入误差对解的影响

T向量范数定义： 常用的向量范数： 矩阵的范数： 常用的矩阵范数：

矩阵范数与向量范数的相容性： 影响：xxk1kAA(bA1其中cond(A)kAA，k值大，病态问题。)，bA第三章：插值法

1.定义

给定n+1个互不相同的点，xi及在xi处的函数值yi(i=0～n)，构造一个次数不超过n次的多

nx)。项式：Pn(x)a0a1xa1x2...a1xn，使满足Pn(xi)yi。取f(x)P(称Pn(x)为插值多项式，xi为插值节点，f(x)为被插函数。插值问题具有唯一性。

2.Lagrange插值多项式 表达式：

误差估计式：

3.Newton插值多项式 差商： 表达式： 误差表达式： 差商的性质：

1)差商与节点的次序无关； 2)K阶差商对应K阶导数； 3)4)5)

4.埃尔米特（带导数）插值多项式 1)Newton法，给定f及f(k)为数字；

2)Lagrange法，给定f及f(k)为表达式。

5.三次样条插值函数

分段三次插值多项式的定义：S(x)在子区间[xi-1,xi]上是三次多项式，S(xi)=yi，s’’(x)在[a,b]上连续。

三次样条插值函数的导出：

第四章：函数最优逼近法

1.最优平方逼近

对于广义多项式：P(x)c00(x)c11(x)c22(x)...cnn(x)，其中i(x)线性无关。要求：

若f(x)是表格函数，确定P(x)称为最小二乘拟合函数，当i(x)xi，P(x)为最小二乘多项式；若f(x)是连续函数，称P(x)为最优平方逼近函数。

2.函数的内积，范数定义及其性质 内积的定义：

性质：

范数的定义： 范数的性质：

正规方程组或法方程组：

3.正交多项式

正交函数系的定义：

代入正规方程组的系数矩阵，则： 几个正交多项式举例： 1)勒让德多项式

2)拉盖尔多项式

3)埃尔米特多项式

4)切比雪夫多项式

四种正交多项式均可用于高斯型求积公式；P多项式用于最优平方逼近，T多项式用于最优一致逼近。

正交多项式的性质：

1)正交多项式gk(x)线性无关，推论：Pk(x)(kn)与gn(x)正交。2)在区间[a,b]或[min(xi),max(xi)]上，n次正交多项式gn(x)有n个不同的零点。3)设gk(x)是最高次项系数为1的正交多项式，则：

4.最优一致逼近法

(1)切比雪夫多项式的性质 性质1：Tk(x)是[-1,1]上关于(x)11x2(T0,T0),(Tk,Tk)/2；的正交多项式，性质2：Tk1(x)2xTk(x)Tk1(x)； 性质3：Tk(x)是最高次项为2x的奇次项；

k1xk的k次多项式，T2k(x)只含x的偶次项，T2k1(x)只含

2i1,i0,1...k1； 2ki性质5：在[-1,1]上，Tk(x)1，且在k+1个极值点xicos,i0,1...k处Tk(x)依次取

k性质4：Tk(x)有k个不同的零点，xicos得最大值1和-1；

性质6：设Pn(x)是任意一个最高次项系数为1的n次多项式，则：

1x1maxPn(x)max1x111 Tn(x)n1n122(2)最优一致逼近法的定义

设函数f(x)在区间[a,b]连续，若n次多项式Pn(x)c00(x)c11(x)c22(x)...cnn(x)使PnfmaxPn(x)f(x)达到最小，则称Pn(x)为f(x)在[a,b]上的最优一致逼近axb函数。

切比雪夫定理：n次多项式P(x)成为函数y=f(x)在区间[a,b]上最优一致逼近多项式的充要条件是误差R(x)f(x)P(x)区间[a,b]上以正负或负正交替的符号依次取得在EmaxR(x)的点（偏差点）的个数不少于n+2。

axb采用如下方程组进行求解：

(3)近似最优一致逼近多项式 思路：

使用T多项式性质6 若区间是[-1,1]，取xi(i=0～n)为Tn+1的零点，则xicos(值多项式Pn(x)；

若区间是[a,b]，通过转换x方法1：由ticos(2i1),i0～n，以此构造插

2(n1)abbat,t[-1,1]； 222xab2i1代入Pn(t)，可),i0～n，构造Pn(t)，然后将tba2(n1)得Pn(x)。方法2：取xiabbaabba2i1ticos，i=0～n；构造Pn(x)。22222(n1)例：

(4)截断切比雪夫级数法

n(Tk,f)设f(x)在[-1,1]上连续，Sn(x)CkTk(x)，其中Ck；记Sn(x)CkTk(x)；

(Tk,Tk)k0k0n应用切比雪夫定理及性质5，取f(x)Sn(x)(5)缩短幂级数法

方法1： 方法2：

CT(x)。

kkk0第五章：数值微积分

第一节 牛顿柯特斯公式

bI(f)(x)f(x)dxa(x)1bf(x)dxF(b)F(a)

a一．数值算法 1.数值积分算法

对于复杂函数f(x)，考虑用其近似函数P(x)去逼近，用P(x)的积分值近似代替f(x)积分值。

2.插值型数值积分方法

对于拉格朗日插值多项式，广义积分中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，g(x)在[a,b]上部变号，则

a,b，使f(x)g(x)dxf()g(x)dx

aabb3.牛顿柯特斯公式 梯形公式： 辛普森公式：

二．复化求积公式 b1.I(f)f(x)dx，把[a,b]分成若干等长的小区间，在每个小区间用简单低次数值积分公a式，在将其得到的结果相加。2.复化梯形公式

3.复化辛普森公式

三．变步长的积分公式

1.先取一步长h进行计算，再取较小步长h*计算，若两次结果相差很大，则在取更小步长进行计算，依次进行，直到相邻两次计算结果相差很大，则取较小步长的结果为积分近似值。2.变步长复化梯形公式

3.变步长复化辛普森公式

四．龙贝格积分法

第二节 待定系数法

1.代数精度定义

对于近似公式I(f)Q(f)，如果f(x)是任意不超过m次的多项式，I(f)Q(f)成立，而对于某个m+1多项式，I(f)Q(f)，称代数精度为m次。2.判定方法

近似式的代数精度为m次

对f(x)1,x,...,xm，近似式精确成立，I(f)Q(f)，f(x)xm1时不成立，I(f)Q(f)。

梯形公式m=1，辛普森公式m=3。3.Peano定理

第三节 高斯型积分公式

一．定义

节点个数一定，具有最高阶代数精度公式的插值型积分公式称为Guass型求积公式。插值型积分公式定义：

定理：数值积分公式I(f)Q(f)至少有n次代数精度近似式是插值型积分公式。对于牛顿科特斯公式，若采用等距节点，n分别为奇数和偶数时，代数精度分别为n和n+1。

二．最高代数精度

定理：m2n1 So，给定n+1个节点，具有2n+1次代数精度的插值型数值积分公式称为Gauss型求积公式。三．Gauss型积分公式的构造方法 方法1：

代数精度为2n+1，则f(x)1,x,...,xm时成立，可解出Ai和xi。方法2：

定理：代数精度m2n1xi是[a,b]上关于(x)的正交多项式gn1(x)的零点(高斯点)，b其中Ai(x)l(x)dx。ia四．高斯型求积公式的误差

五．常用的高斯型求积公式 1.Gauss-Legendre求积公式 n=0 n=1

1f(x)dxAf(x)Q(f)，x是Pii1nin1(x)的n+1个零点。

i02.Gauss-Laguerre求积公式

xxe0xf(x)dxAif(xi)Q(f)

i0n0f(x)dxe(ef(x))dxexF(x)dx00x(at)ef(x)dxea0f(at)dxeateF(t)dt 03.Gauss-Hermite求积公式

ex2f(x)dxAif(xi)Q(f)

i0n14.Gauss-Chebyshev求积公式

1f(x)1x2dxn1i0f(cosn2i1)2n2第四节 数值微分

f'(x)limh0f(xh)f(x)，h大，不精确，h小，由于小除数引入大误差。

h近似函数法

取等节距节点，xix0ih,i0,1,...n(1)一阶导数，n=1，两个节点x0x1

(2)一阶导数，n=2，三个节点x0x1x2

(3)二阶导数，n=2，三个节点x0x1x2

实用误差估计

例：

第六章 非线性方程的迭代解法

第一节 方程求根法

根的定义：对于非线性方程组f(x)=0，若存在数使f()=0，称是非线性方程组f(x)=0的根。

零点存在定理：若f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，若f(a)f(b)<0，则必然存在[a,b]，使f()=0。

试探法，二分法。一．简单迭代法

初值x0，xk1(xk)，产生迭代序列xk。简单迭代收敛定理（压缩映像原理）

[,]，对于迭代函数(x)，若满足(1)若x[a,b],(x)[a,b]；(2)存在正数0

收敛速度(收敛阶)：若存在实数P和非零常数C，使得limkkxk1xkkC0，称迭代序列是P阶收敛。P=1，线性收敛；P>1，超线性收敛；P=2，平方收敛。定理：设是方程x(x)的根，如果迭代函数(x)满足'()''()...(P1)()0,(P)()0

xk1(xk)产生的迭代序列xk是P阶收敛。

二．牛顿迭代法

xk1xkf(xk)f'(xk)收敛性分析：牛顿迭代法具有局部收敛性，初值x0x，产生迭代序列收敛。收敛定理：设f(x)在[a,b]上二阶导数存在，若

f(a)f(b)0，f(x)在[a,b]上单调，f(x)在[a,b]上凹向不变（即f''(x)在区间上不变号），初值x0满足f(x0)f''(x0)0，则任意初值x0[a,b]，有牛顿迭代法产生的xk收敛于方程的唯一根。

简化牛顿法：xk1xk三．弦割法或割线法 用差商代替导数xk1xkf(xk)f(xk)f(xk)xk1xkxk1xkf'(xk)f'(x0)Cf(xk)

f(xk)f(xk1)xkxk1第二节 线性代数方程组迭代解法

Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法

SOR迭代法（xik1(1)xikxGSk1）opt迭代法的收敛性：

将迭代法用矩阵表示：ADEF，xk1Bxkg Jacobi迭代法： G-S迭代法： SOR迭代法：

0定理：xk1Bxkg，对x产生的迭代序列x211(Bj)2 收敛的充要条件是：

klimBk0或(B)1。

k推论1：若B1，则收敛；

推论2：SOR方法收敛的必要条件是02；

推论3：设A是严格对角占优矩阵，则Jacobi，G-S，01的SOR方法收敛；

推论4：1)设A是对称正定矩阵，则G-S方法收敛；2)设A是对称正定矩阵，若2D-A也对称正定，则Jacobi方法收敛；若2D-A不对称正定，则Jacobi方法不收敛；3)设A是对称正定矩阵，02，则SOR方法收敛。

第三节 非线性方程组的迭代解法

x k1kkkx[f'(x)]1f(x)

第七章 矩阵特征值和特征向量

矩阵A主特征值——模最大的特征值取为主特征值。对n个互不相同的特征值

123...n，对应特征向量123…n；

kk任意向量z0c11c22...cnn zAZ0 limzkc11k1，zk是对应A的1的特征向量，k(zk1)i1(zk)i

规范乘幂法

ykAzk1，yk按模取最大分量maxykmk，zklimzk10，10是1的规范化向量；limmk1。

kkyk。mk加速法（原点位移法）ykApIzk1

第八章 常微分方程数值解法的导出

y'(x)f(x,y(x))y(a)y0一． 数值微分法

欧拉公式：yi1yihf(xi,yi)后退欧拉公式：yi1yihf(xi1,yi1)终点法：yi1yi12hf(xi,yi)

h2局部截断误差：y(xi1)yiy''()

2二． 数值积分法

hyi1yi[f(xi,yi)f(xi1,yi1)]

2预估yi1yihf(xi,yi)，校正yi1yi

三．

四． 泰勒展示法

h[f(xi,yi)f(xi1,yi1)] 2线性多步法

第三篇：计算方法总结

1.何为有根区间

给定一个方程f(x)=0,如果f(x)在[a,b]上连续，又f(a).f(b)<0,则由连续函数的性质知，方程f(x)=0在（a,b）内至少有一个实根。这时我们称区间[a,b]为方程f(x)=0有根区间 2.寻找方程的有根区间的常用方法是什么 1.作图法 2.逐步搜索法

3.作图法寻找有根区间适用于哪种情况

函数f(x)比较简单时适用

4.对于已知方程，如何利用逐步搜索法在区间内寻找有根区间

从X0=a出发，按照事先选择的步长h=(b-a)/N(N为正整数)，逐点计算Xk==a+kh处的函数值f(Xk)与f(Xk+1)的值异号时，那么[Xk,Xk+1]就是方程f(x)=0的一个有根区间 5.逐步搜索法在计算机上实现方便。

6.对于给定的n次代数方程，如何确定根模的上下界

（1）若a=max{|a1|,|a2|,….,|an|},则方程的根的绝对值小于a+1；

（2）若b=(1/|an|)max{1,|a1|,|a2|,….,|an-1|},则方程的根的绝对值大于1/(1+b).7.步长h的选择，对于逐步搜索法有何影响

当步长h越小时，找出的有根区间越小，这时以区间内的某个值作为根的近似值就越精确。但h越小，计算量越大 8.二分法求解方程的根有和优点，有何缺点

优点是算法简单，而且收敛性总能得到保证，缺点是收敛速度慢。

9.艾特金迭代法与二分法相比，计算收敛速度快，节省时间，并且能求出某些发散的迭代过程的根。10.牛顿法的优点是什么，缺点是什么

优点是收敛速度快，节省计算量，误差累积少。

缺点是在计算时它要用到f（x）的导数，当f（x）比较复杂时，计算其导数花费时间多。11.弦截法的优点是什么，它与牛顿法相比，收敛速度与计算速度如何

优点是不必计算f'(x),收敛速度也相当快,但比牛顿法慢。从计算速度来看，弦截法比牛顿法快。

12.弦截法的基本思想是什么（结合图示说明），如何选取弦截法中的不动点

1准备2迭代3控制4迭代准备 13.何为阶收敛，收敛速度与的大小有何关系

收敛速度的大小与收敛阶数有关系，收敛阶数越大，收敛速度越快。14.哪一类问题称为插值问题

由实验或测量得到了某一函数y=f(x)在n+1个点x0,x1,....,xn处的值y0,y1,...yn,需要构造一个简单函数p(x)作为函数y=f(x)的近似表达式

Y=f(x)约等于p(x),使得p(xi)=f(xi)=yi(i=0,1,2,...n),这类问题称为插值问题

15.常用的插值算法有哪几种，各有什么优缺点

一拉格朗日插值 线性插值2二次插值3n次拉格朗日插值多项式（区间大时误差也较大）

二分段插值1分段线性插值2分段二次插值（优点是公式简单，计算量小，有较好的收敛性和稳定性，并且可以避免计算机上作高次乘幂时常遇到的上溢和下溢的困难。）

三差商与牛顿插值公式（不需要增加插值接点，不浪费）

四差分与等距节点差值公式（进一步简化插值公式，计算也方便）五三次样条差值（既能保证曲线连续，又能保证光滑性要求）

16.线性插值的几何意义是什么（结合图形进行说明）

线性插值的几何意义是利用通过两点的直线去近似代替曲线。

17.线性拉格朗日插值的截断误差限与什么量有关, 是什么关系

与x 在[a,b]时，f''(x)绝对值的最大值有关系

|R1|<=[M1|(x-x0)(x-x1)]/2 18.二次拉格朗日插值的截断误差限与什么量有关, 有什么关系

P93与x在[x0,x2]时，f'''(x)对值的最大值有关系，|R2(x)|<=M2(x-x0)(x-x1)(x-x2)/6

19.通过n+1个互异节点且满足插值条件的插值多项式是唯一的

20.线性插值或二次插值优缺点：简单方便，计算量小。缺点是精度较低；

21.当低次插值的精度不够时，应该适当缩小插值区间的长度来提高精度； 22.高次插值优缺点：插值精度高，缺点是数值不稳定；

25.分段插值优缺点：公式简单，计算量小，且有较好的收敛性和稳定性，并可避免计算机上作高次乘幂时常遇到的上溢和下溢的困难.缺点是不能保证曲线在连接点处的光滑性。

26.应用低次插值进行分段插值时，应尽可能地在插值点的邻近选取插值节点。

27.拉格朗日插值多项式与牛顿插值公式相比而言，拉格朗日插值多项式有何缺点，牛顿插值公式有何优点？

用拉格朗日插值多项式计算函数值时，当精度不满足要求而需要增加插值节点时，原来的插值多项式就不能使用了，必须重新构造一个，将造成很大浪费。而牛插可以增加新的节点，原来的计算结果仍可利用。28.何为差商，给定个互异测试点,如何计算各阶差商

函数值与自变量的差商就是差商，一阶差商(或记作f[x0，x1])；

二阶差商29.差商的对称性

差商与插值节点顺序无关

(或记作f[x0，x1，x2])

30.牛顿向前插值公式和牛顿向后插值公式有什么关系，有什么不同点

“牛前插”适用于计算x0附近的函数值，“牛后插”适用于计算函数表末端附近的函数值。31.为何要提出样条插值，它克服了其它插值方法的何种缺点，它具有什么优点

在整个插值区间上做高次插值多项式，曲线光滑，但计算量繁重，误差积累大，稳定性差。分段低次插值可避免这些缺点，但各段连接点处只能保证曲线连续，而不能保证光滑性要求。样条插值其插值曲线不仅连续而且处处光滑。

32.曲线拟合解决了插值中的什么问题。拟合与插值有什么不同点

可以部分抵消原来数据组中所包含的测量误差。P115 33.何为最小二乘曲线拟合法

用(x)拟合数据(xk，yk)(k＝1，2，„，n)，使得误差的平方和

为最小，求(x)的方法，称为最小二乘法。

第四篇：年终奖个人所得税计算方法及其税率表和公式(精)

年终奖个人所得税计算方法及其税率表和公式 我国年终奖个人所得税征收方法的规定：

（一)全年一次性奖金是指行政机关、企事业单位等扣缴义务人根据其全年经济效益和对雇员全年工作业绩的综合考核情况，向雇员发放的一次性奖金。上述一次性奖金也包括年终加薪、实行年薪制和绩效工资办法的单位根据考核情况兑现的年薪和绩效工资。

(二)纳税人取得全年一次性奖金，单独作为一个月工资、薪金所得计算纳税，并按以下计税办法，由扣缴义务人发放时代扣代缴：

1.先将雇员当月内取得的全年一次性奖金，除以12个月，按其商数确定税法规定的适用税率；然后以其商数及适用税率计算出应纳税额后，再乘以12个月，即为全年一次性奖金的应纳税额。除上述计算方法外，也可以按照本规定第十四条规定的计算方法，直接计算应纳税额。

2.如果在发放年终一次性奖金的当月，雇员当月工资、薪金所得低于税法规定的费用扣除标准，应将全年一次性奖金减除“雇员当月工资、薪金所得与费用扣除标准的差额”后的余额，按上述办法确定全年一次性奖金的适用税率。(三)在一个纳税内，对每一个纳税人，该计税办法只允许采用一次。

(四)实行年薪制和绩效工资的单位，个人取得年终兑现的年薪和绩效工资按本条第(二)款、第(三)款的规定执行。

前段时间网上传的【47】号公告年终奖个人所得税新计算方法，经国家税务总局声明澄清【47】号公告系伪造，年终奖个人所得税率与计算方法没有改变。下面就是现年终奖个人所得税税率及计算方法： 年终奖适用税率标准表 适用

应税所得1 应税所得 税率

0 1500 4500 9000 35000 55000 80000 速算扣除数 3% 10% 20% 25% 30% 35% 45% 级数 1 2 3 4 5 6

0-1500 1500-4500 4500-9000 9000-35000 35000-55000 55000-80000 80000-105 555 1005 2755 5505 年终奖个税计算公式：应纳税额＝应纳税所得额×适用税率-速算扣除数。

具体来讲，纳税人2011年9月1日(含)以后实际取得的工资、薪金所得，应适用新税法的减除费用标准和税率表，计算缴纳个人所得税。而纳税人2011年9月1日前实际取得的工资、薪金所得，无论税款是否在2011年9月1日以后由扣缴义务人申报入库，均应适用原税法的减除费用标准和税率表，计算缴纳个人所得税。举例来看，韩先生在某一公司工作，2011年12月3日取得工资收入3400元，当月又一次取得年终奖金24100元，其应缴纳多少个人所得税。韩先生因当月工资不足3500元，可用其取得的奖金收入24100元补足其差额部分100元，剩余24000元除以12个月，得出月均收入2000元，其对应的税率和速算扣除数分别为10%和105元。具体计算公式为：应纳税额＝(24100＋3400－3500)×10%－105＝2295元。

年终奖个税算法：针对工资薪金，当前我国采用超额累进税率，为了方便计算，就转化用适用税率和速算扣除数的简化算法，目前的年终奖个税计算方法是，先将年终奖除以12，以得出的商确定税率和速算扣除数，再依据如下公式计算：应纳税额＝应纳税所得额×适用税率-速算扣除数。年终奖个税算法

以下只考虑年终奖当月工资足够3500元的，不足3500元的，先补足3500元，然后用余额

年终奖 月平奖金 税额

20000 18000 1666.667 1500 1895 540 年终岁尾，年终奖已逐渐成为大家谈论的敏感话题，牵动着每位在岗人员的心旋，就百姓普遍关注的年终奖缴纳个人所得税问题，而今年9月1日起，我国的个税法有了一些调整，个人所得税起征点由原来的2000元调为3500元。同时，经过详细核算，年终奖多发1元，你最终反倒少得很多呢!那么，年终奖个人所得税计算方法你要搞清楚喽!【终奖个人所得税计算方法之两种计税方法】

在国家税务总局下发的通知中，关于纳税人取得的全年一次性奖金，给出了两种计税办法。

一是先将雇员当月内取得的全年一次性奖金，除以12个月，按其商数确定税法规定的适用税率;然后以其商数及适用税率计算出应纳税额后，再乘以12个月，即为全年一次性奖金的应纳税额。

二是按照最新公布的适用全年一次性奖金所得的税率表，直接计算应纳税额。

应纳税额的计算公式为：应纳税额=应纳税所得额×适用税率-速算扣除数。

值得注意的是，如果在发放年终一次性奖金的当月，雇员当月工资、薪金所得低于税法规定的费用扣除标准(3500元/月)，应将全年一次性奖金减除“雇员当月工资、薪金所得与费用扣除标准的差额”后的余额，按上述办法确定全年一次性奖金的适用税率。

在一个纳税内，对每一个纳税人，该计税办法只允许采用一次。【新税法下年终奖个人所得税计算方法新旧方法对比】

韩先生在某一公司工作，2011年12月一次取得年终奖金6.1万元，周先生在同一家公司工作，他取得的年终奖是5.9万元。旧方法：

韩先生：6.1万元÷12个月=5083.33元，适用的税率是20%，速算扣除数375元，则他该付的税是61000元×20%-375元=11825元。其税后年终奖为61000元-11825元=49175元。周先生，5.9万元÷12个月=4916.66元,适用于税率为15%,速算扣除数125，则他该付的税是59000元×15%-125=8725元。其税后年终奖为59000元-8725元=50275元。

显然，年终奖6.1万元的韩先生，实际到手的奖金反而会比5.9万元的周先生少拿了1100元。新方法： 韩先生应纳税额=6.1万元×20%-555元=11645元，其税后年终奖为61000元-11645=49355元。周先生应纳税额=5.9万元×20%-555元=11245元，其税后年终奖为59000元-11245元=47755元。按照新的计税办法，不会再出现奖金发得多、税后所得反而少的情况，年终奖高的韩先生最后拿到的奖金依然比周先生高。

【年终奖个人所得税计算方法之记者采访】

那么，新税法与原税法究竟如何衔接?国家税务总局相关负责人13日接受了记者的采访。

问题一：工资、薪金所得如何衔接? 新税法和实施条例均规定自2011年9月1日起施行。具体到工资、薪金所得项目而言，是指纳税人2011年9月1日(含)以后实际取得的工资、薪金所得，应适用新税法的减除费用标准和税率表，计算缴纳个人所得税。

“具体来讲，纳税人2011年9月1日(含)以后实际取得的工资、薪金所得，应适用新税法的减除费用标准和税率表，计算缴纳个人所得税。而纳税人2011年9月1日前实际取得的工资、薪金所得，无论税款是否在2011年9月1日以后由扣缴义务人申报入库，均应适用原税法的减除费用标准和税率表，计算缴纳个人所得税。”税务总局相关负责人说。

举例来看，韩先生在某一公司工作，2011年12月3日取得工资收入3400元，当月又一次取得年终奖金24100元，其应缴纳多少个人所得税? 这位负责人说，韩先生因当月工资不足3500元，可用其取得的奖金收入24100元补足其差额部分100元，剩余24000元除以12个月，得出月均收入2000元，其对应的税率和速算扣除数分别为10%和105元。具体计算公式为：应纳税额=(24100+3400-3500)×10%-105=2295元。

问题二：个体工商户生产、经营所得如何衔接? 新税法自9月1日起开始实施，鉴于个体工商户、个人独资企业和合伙企业的生产经营所得是按计算，而且是在一个完整的纳税产生的，这就需要分段计算应纳税额，即：9月1日前适用原税法的减除费用标准和税率表;9月1日(含)后适用新税法的减除费用标准和税率表。

这位负责人介绍，年终汇算清缴分段计算应纳税额时，需要分步进行： 第一，按照有关规定，计算全年应纳税所得额;第二，计算前8个月应纳税额：前8个月应纳税额=(全年应纳税所得额×原税法的对应税率-速算扣除数)×8/12;第三，计算后4个月应纳税额：后4个月应纳税额=(全年应纳税所得额×新税法的对应税率-速算扣除数)×4/12;第四，全年应纳税额=前8个月应纳税额+后4个月应纳税额。

“对企事业单位的承包经营、承租经营所得也是比照这个计算方法计算缴纳个人所得税。要注意的是，这个计算方法仅适用于纳税人2011年的生产经营所得，2012年以后则按照税法规定全年适用统一的税率。”这位负责人说。

举例来看，某个人独资企业按照税法和相关规定计算出全年应纳税所得额为45000元(注：按照相关规定，在计算全年应纳税所得额时，投资者本人后四个月的费用扣除标准为每月3500元)，则其全年应纳税额计算如下： 2011年前8个月应纳税额=(45000×30%-4250)×8/12=6166.67元 2011后4个月应纳税额=(45000×20%-3750)×4/12=1750元 全年应纳税额=6166.67+1750=7916.67元 问题三：涉外人员附加减除费用如何调整? 税法规定，对在中国境内无住所而在中国境内取得工资、薪金所得的纳税义务人和在中国境内有住所而在中国境外取得工资、薪金所得的纳税义务人(简称“涉外人员”)，在按税法规定减除费用标准基础上，可以根据其平均收入水平、生活水平以及汇率变化情况确定附加减除费用，附加减除费用适用的范围和标准由国务院规定。

原税法实施条例规定的附加减除费用标准是每月2800元，即涉外人员每月在减除2000元费用的基础上，再减除2800元的费用，减除费用的总额为4800元。

这位负责人说，考虑到现行涉外人员工资、薪金所得总的减除费用标准高于境内中国公民，从税收公平的原则出发，应逐步统一内、外人员工薪所得减除费用标准。

“这次在涉外人员的工资、薪金所得减除费用标准由2000元每月提高到3500元每月的同时，将其附加减除费用标准由2800元每月调整为1300元每月，这样，涉外人员总的减除费用标准保持现行4800元每月不变。”这位负责人说。【以下是微博上传的年终奖个人所得税计算方法】： 【年终奖多发1元，反倒少得1155.1元】 新税法实施后，六大临界点成年终奖“盲区” 合理避税，网友建议“年终奖”改为“年终捐”

又到年关，一年一度的重头戏——年终奖马上就要发放，估计许多市民都伸长了脖子在翘首以盼。不过，年终奖也许并不是大家想的那样，发得越多得到的越多，很有可能你比别人多发了1块钱，却要为此多缴纳百元、千元甚至万元的税。

这绝对不是在跟你开玩笑，因为年终奖在计算应该适用的税率时会出现一个临界点，一旦遭遇了这个临界点，可能就会出现“多发少得”、“得不尝税”的情况。加之，今年是新修订的个人所得税法施行后的首次发放年终奖,税法税率及级次级距都发生了变化，这也使得市民最后真正拿到手的年终奖额度也随之改变。郑州晚报 赵柳影

【微博热议年终奖临界点】

最近，微博上转载量最为火爆的除了关于明年1月的放假通知外，估计就是关于年终奖计税的博文了。“请大家注意年终奖临界点，宁可少千元不要超一元：发18001元比18000元多纳税1154.1元;54001元比54000元多纳4950.2元;发108001元比108000元多纳4950.25元;发420001元比420000元多纳19250.3元;发660001元比660000元多纳30250.35元;发960001元比960000元多纳88000.45元。”12月4日傍晚，中国农业大学经济管理学院副教授葛长银在微博上发表了关于年终奖临界点的博文。

短短几天，转载量就有了4000多次，评论量也有近千条，不少网友在惊讶的同时也纷纷表示对于年终奖的计税方法很模糊，将之戏称为“年终奖的秘密”，并建议公司的领导和财务人员，以及纳税人都应该好好看一看，研究研究。【年终奖个人所得税计算方法是怎么计算个税的?】

年终奖的发放，直接关系着员工的“钱袋子”，不过和广大网友一样，大部分市民对于年终奖的计税都不了解，它究竟是如何计算的?难道真如博文所说，年终奖多出来1块钱，就会比别人多缴纳如此之多的税吗?

“„多发少得‟的情况的确存在，自从个人所得税出台的那一天，就一直伴随着这个问题。”河南中兴税务师事务所总经理陈俊岭说，年终奖是大家通俗的叫法，它专业的名字叫做全年一次性奖金。

据陈俊岭介绍，全年一次性奖金的计算方法是先将员工当月内取得的全年一次性奖金，除以12个月，按其商数确定税法规定的适用税率，然后再用全年一次性奖金乘以税率，之后减去速算扣除数，即为全年一次性奖金的应纳税额。

“如果在发放年终一次性奖金的当月，员工当月工资、薪金所得低于税法规定的费用扣除标准(3500元/月)，应将全年一次性奖金减除„员工当月工资、薪金所得与费用扣除标准的差额‟后的余额，按上述办法确定全年一次性奖金的适用税率。”陈俊岭说。

【计税时对应的税率不同，导致多发1元，反倒少得1155.1元】

既然计算方法清楚了，出现年终奖“多发少得”的根源也就找到了。“其实就是年终奖计税时所对应的税率不同，导致了税额的差距这么大。”陈俊岭说。

据陈俊岭介绍，按照新个税的规定，年终奖的计算中，一共有7个税率，由于不同的税率对应不同的全月应纳税所得额，也就划定出了6个区间，正是由于这6个区间的临界点，才导致了年终奖„多发少得‟的情况。这些临界点分别是：18001元~19283.33元、54001元~60187.50元、108001元~114600元、420001元~447500元、660001元~706538.46元、960001元~1120000元。

随后，参照图表，陈俊岭给记者举了个例子，假如小王和小张的月工资都超过3500元，年末两人的年终奖分别为18000和18001，小王的实得年终奖为：18000÷12=1500元，对应税率及速算扣除数为：3%、0，应纳税额=18000×3%-0=540元，税后所得17460元。

以此类推，小张的实得年终奖为：18001†12≈1500.08，超出了1500元，对应税率及速算扣除数为：10%、105，应纳税额=18001×10%-105=1695.1，税后所得16305.9。这样一比，二者缴纳税额相差1155.1元。【年终奖在万元以内就不存在“多发少得”】

如此看来，年终奖发多少，能保证员工的最佳利益，还真是个“技术活”。不过昨日，记者向认识的同事、朋友，包括QQ群里的网友进行调查，询问了近50位市民，只有两位表示自己的年终奖超过了18000元。

“目前咱郑州大部分市民的年终奖还徘徊在万元以内，这样的话，就不存在„多发少得‟的现象，大家计税的税率都一样。”陈俊岭说，不过，像一些国企、大型私企的中高层领导，以及一些从事销售工作的员工的年终奖很有可能会超过18000元。“一些从事销售类型工作的员工平时的工资可能都不高，他们靠的就是年终丰厚的年终奖，少则几万，多则十几万，几十万。”

“缴税是大家应尽的义务，最好还是按照规定进行缴纳。”陈俊岭说，不过如果出现个别极端的现象，单位财务上的工作人员可以及时与当事人联系，少发一些奖金来保障员工的既得利益。

“我们也得到一些内部消息称针对年终奖的计税，国家税务总局正在商议新政策，可能会对计税方法等进行调整，不过具体是什么情况现在还不知道。”陈俊岭透露。

【合理避税，网友建议“年终奖”改为“年终捐”】

虽然缴税是大家应尽的义务，不过对于大部分市民来说，如果遇到“多发少得”的情况，还是会觉得比较“悲催”，那有没有一些比较好的合理避税的方法呢? 网友“徐晓”在微博称：合理避税最简单的方式就是将年终奖分开发放，不至于都累计到一个月中，税率比较高。不过采取这种方法的前提得保证分开发放扣除的税额总和小于一次性发放的扣税税额。可这样一来，每次发放年终奖之前，大家都得埋头先做些数学题，估计实施起来会有难度。

网友“严壮”的意见似乎更受到大家的欢迎：建议各企业老板将“年终奖”改为“年终捐”，将员工们多出临界点的部分奖金捐给慈善机构，这样既合理避税又为社会做出了贡献。

意见一出，立马得到许多网友的鼓掌撒花，并被大家评为年终奖合理避税之最优解决方案。

【年终奖个人所得税计算方法之新税率表】(全月应缴纳税额)级数 含税级距 税率(%)速算扣除数 1 不超过1500元的 3 0 2 超过1500元至4500元的部分 10 105 3 超过4500元至9000元的部分 20 555 4 超过9000元至35000元的部分 25 1005 5 超过35000元至55000元的部分 30 2755 6 超过55000元至80000元的部分 35 5505 7 超过80000元的部分 45 13505 注：1.本表含税级距指以每月收入额减除费用3500元后的余额或者减除附加减除费用后的余额。

2.含税级距适用于由纳税人负担税款的工资、薪金所得;不含税级距适用于由他人(单位)代付税款的工资、薪金所得。6个区间临界点 导致年终奖“多发少得” 18001元~19283.33元 54001元~60187.50元

108001元~114600元 420001元~447500元 660001元~706538.46元 960001元~1120000元

看来新税法下，年终奖个人所得税计算方法还是很有争议的。通过以上几种年终奖个人所得税计算方法的学习，想必你已经十分清楚了年终奖个人所得税怎么算了吧?这些年终奖个人所得税计算方法虽然有点麻烦，但是关系到切身利益，还是不得不学习啊!如果您想知道更多关于年终奖的内容，请继续关注世界工厂网学堂频道!

第五篇：水环境容量计算方法总结

1、中国地表水水环境容量研究过程中产生的五大类计算方法: 公式法、模型试错法、系统最优化法(线性规划法和随机规划法)、概率稀释模型法和未确知数学法

2、水环境容量软件：WASP、Delft 3D 等大型综合模型软件

3、王华东和夏青［5］将环境容量定义为: 相对于某种环境标准，某环境单元所容许承纳的污染物的最大数量，同时认为环境容量是一个变量，且由基本环境容量(差值容量)和变动环境容量(同化容量)两部分组成，基本环境容量指拟定的环境标准与环境本底值之差，变动环境容量指该环境单元的自净能力。

4、水环境容量=稀释容量+自净容量+迁移容量表

5、公式法

6、模型试错法 在河流的第一个区段的上断面投入大量的污染物，使该处水质达到水质标准的上限，则投入的污染物的量即为这一河段的环境容量;由于河水的流动和降解作用，当污染物流到下一控制断面时，污染物浓度已有所降低，在低于水质标准的某一水平(视降解程度而定)时又可以向水中投入一定的污染物，而不超出水质标准，这部分污染物的量可认为是第二个河段的环境容量;依此类推，最后将各河段容量求和即为总的环境容量

7、环境科学中所采用的系统最优化方法有线性规划、非线性规划、动态规划及随机规划等

8、概率稀释模型法方法的基本思路如下: ① 基于特定的基本假定，建立污染物与水体混合均匀后下游浓度的概率稀释模型;② 利用矩量近似解法求解控制断面在一定控制浓度下的达标率;③利用数值积分求解水体在控制断面不同控制浓度、不同达标率下的水环境容量。9、10、粒子群算法众多变种中的RPSM［21］方法11、12、三角模糊数/盲数理论

13、