计算方法课程总结 心得体会

第一篇：计算方法课程总结 心得体会

计算方法课程总结 心得体会

一、课程简介：本课程是信息与计算科学、数学与应用数学本科专业必修的一门专业基础课．我们需在掌握数学分析、高等代数和常微分方程的基础知识之上，学习本课程．在实际中，数学与科学技术一向有着密切关系并相互影响，科学技术各领域的问题通过建立数学模型与数学产生密切的联系，并以各种形式应用于科学和工程领域．而所建立的这些数学模型，在许多情况下，要获得精确解是十分困难的，甚至是不可能的，这就使得研究各种数学问题的近似解变得非常重要了，“数值计算方法”就是专门研究各种数学问题的近似解的一门课程．通过这门课程的教学，使学生掌握用数值分析方法解决实际问题的算法原理及理论分析，提高我们应用数学知识解决实际问题的能力．

二、本课程主要内容包括：误差分析，插值法与拟合，数值积分，数值微分，线性方程组的直接解法和迭代解法，非线性方程求根，矩阵特征值问题计算、常微分方程初值问题数值解法．

三、本课程重点难点：1、2、3、4、绝对误差限、相对误差限、有效数字

基函数、拉格朗日插值多项式、差商、牛顿插值多项式、截断误差 曲线拟合的最小二乘法（最小二乘法则、法方程组）插值型数值积分（公式、积分系数）

a)N-C求积公式（梯形公式、Simpson公式、Cotes公式-系数、代数精度、截断误差）

b)复合N-C公式（复合梯形公式、复合Simpson公式、收敛阶、截断误差）c)龙贝格算法的计算公式

5、非线性方程求根的迭代法收敛性定理

牛顿切线法、下山法、正割法（迭代公式、收敛阶）

6、高斯消去法、列主元素高斯消去法、LU分解法解线性方程组

Jacobi迭代法、S-R迭代法（迭代公式、迭代矩阵、收敛的充要条件、充分条件）

矩阵的范数、谱半径、条件数、病态方程组

7、欧拉方法（欧拉公式、向后欧拉公式、改进的欧拉公式）

四、实际应用

我们本学期的计算方法这门学科中，主要介绍了两种数值计算方法即：数值逼近与数值代数。前面几章讲的关于插值和拟合是属于数值逼近，而后面几章则介绍了非线性方程、解线性方程组、以及最后一章的常微分方程则属于数值代数的部分。不管是哪一种方法在实际生活中的应用都是很广泛的，下面就以最小二乘拟合方法为例说明其在实际的应用。

曲线拟合就是拟合测量数据曲线。所选择的曲线有时通过数据点，但在其他点上，曲线接近它们而不必通过它们13,41~在大多数情况下，选择曲线使得数据点的平方误差和最小。这种选择就是最小二乘曲线拟合。下面介绍一下最小二乘法拟合的基本原理。设已知 个数据点)(i=0，1，„，一1)，求(m一1)次最小二乘拟合多项式：

其中设拟合多项式为各正交多项式：的线性组合：

则继续往向下推导得：

继续推导最后可得最后可得一般形式的m一1次多项式：

即为最小二乘拟合多项式

其拟合精度由下式来评定：

应用实例：

某建筑物176 d水平位移测量数据如下表所示，在程序编制过程中，为了防止运算溢出，用来代替，其中。

此时，拟合多项式的形式为：

运用最小二乘多项式拟合时，拟合多项式的次数越高，其拟合精度未必越高。以拟合最高次数l9次为例，拟合系数如表2，拟合的精度评定见表3。

根据水平位移的观测数据，实现了累计观测时间与水平位移的曲线拟合，在有限的测量数据条件下，表述了时间与该建筑物水平位移之间的函数关系。曲线拟合的最小二乘法在解决这类问题的数据处理和误差分析中应用非常广泛，提高了数据处理的效率和精确度，最d"-乘曲线拟合实现方法简明、适用，可应用于类似的测量数据处理和实验研究。五：总结

其实一直以来感觉自己都的数学方面还是比较感兴趣的，但是从大二上学期上完概率和线性代数后自己也就很少去碰数学方面的书了，直到这个学期上的这门计算方法让我重新又找回了学习数学的感觉。经过这一个学期的学习，总体感觉还行，基本上都能领悟。个别的知识点可能比较抽象，但是好多的算法我们都经过了上机实践了，所以掌握起来会更透彻一点。学习了这门课，感觉实用性比较大。像拉格朗日和牛顿插值法，最小二乘拟合法等等算法。因为在我们现实生活中我们需要通过已有的数据来发掘事物本身的内在规律，或者模拟出相应的数学模型来解决。所以这就需要我们用到这学期学习的相关知识来完成。这门课程也是连接数学与计算机之间的桥梁，之前学习的数学积分的知识现在也知道怎么

用程序来实现了。还有就是对线性方程组和非线性方程组的求解方法的掌握。插值的应用自己还想说的就是，自己准备和同学一起做关于图像处理的方面的东西，不过我只是个新手。但上次在看有关图像的放大和缩小技术的时候就看到了有关牛顿插值的应用。不过他们学的算法都是在牛顿插值的基础上有所变化的。所以当时我就觉得这门课程作用不一般。学完了这门课也希望自己活学活用。发挥这门课应有的作用。

第二篇：计算方法总结

第一章：基本概念

x1x2...xm.xm1xm2...xmn 1.xx1x2...xm.xm1xm2...xmnxmn1x若xx1mn及其以前的非零数字称为准确数字。准确到n位小数，x10n，称x2各位数字都准确的近似数称为有效数，各位准确数字称为有效数字。2.f(x)xl0.x1x2...xt

进制：，字长：t，阶码：l，可表示的总数：2(UL1)(1)t11 3.计算机数字表达式误差来源

实数到浮点数的转换，十进制到二进制的转换，结算结果溢出，大数吃小数。4.数据误差影响的估计：

yy1nnyy(x1,x2,...xn)(x1,x2,...xn)xixi xi，小条件数。

xiyxiy1解接近于零的都是病态问题，避免相近数相减。避免小除数大乘数。

5.算法的稳定性

若一个算法在计算过程中舍入误差能得到控制，或者舍入误差的积累不影响产生可靠的计算结果，称算法数值稳定。

第二章：解线性代数方程组的直接法

1.高斯消去法

步骤：消元过程与回代过程。

顺利进行的条件：系数矩阵A不为零；A是对称正定矩阵，A是严格对角占优矩阵。2.列主元高斯消去法

失真：小主元出现，出现小除数，转化为大系数，引起较大误差。解决：在消去过程的第K步，交换主元。还有行主元法，全主元法。3.三角分解法

杜立特尔分解即LU分解。

用于解方程AXbLUXbLYb；

UXY用于求ALULUUu11u22...unn。

克罗特分解：ALULDD1U(LD)(D1U)，下三角阵和单位上三角阵的乘积。将杜立特尔分解或克罗特分解应用于三对角方程，即为追赶法。

对称正定矩阵的乔列斯基分解，AGG，下三角阵及其转置矩阵的乘积；用于求解

TAXb的平方根法。

改进平方根法：利用矩阵的ALDL分解。4.舍入误差对解的影响

T向量范数定义： 常用的向量范数： 矩阵的范数： 常用的矩阵范数：

矩阵范数与向量范数的相容性： 影响：xxk1kAA(bA1其中cond(A)kAA，k值大，病态问题。)，bA第三章：插值法

1.定义

给定n+1个互不相同的点，xi及在xi处的函数值yi(i=0～n)，构造一个次数不超过n次的多

nx)。项式：Pn(x)a0a1xa1x2...a1xn，使满足Pn(xi)yi。取f(x)P(称Pn(x)为插值多项式，xi为插值节点，f(x)为被插函数。插值问题具有唯一性。

2.Lagrange插值多项式 表达式：

误差估计式：

3.Newton插值多项式 差商： 表达式： 误差表达式： 差商的性质：

1)差商与节点的次序无关； 2)K阶差商对应K阶导数； 3)4)5)

4.埃尔米特（带导数）插值多项式 1)Newton法，给定f及f(k)为数字；

2)Lagrange法，给定f及f(k)为表达式。

5.三次样条插值函数

分段三次插值多项式的定义：S(x)在子区间[xi-1,xi]上是三次多项式，S(xi)=yi，s’’(x)在[a,b]上连续。

三次样条插值函数的导出：

第四章：函数最优逼近法

1.最优平方逼近

对于广义多项式：P(x)c00(x)c11(x)c22(x)...cnn(x)，其中i(x)线性无关。要求：

若f(x)是表格函数，确定P(x)称为最小二乘拟合函数，当i(x)xi，P(x)为最小二乘多项式；若f(x)是连续函数，称P(x)为最优平方逼近函数。

2.函数的内积，范数定义及其性质 内积的定义：

性质：

范数的定义： 范数的性质：

正规方程组或法方程组：

3.正交多项式

正交函数系的定义：

代入正规方程组的系数矩阵，则： 几个正交多项式举例： 1)勒让德多项式

2)拉盖尔多项式

3)埃尔米特多项式

4)切比雪夫多项式

四种正交多项式均可用于高斯型求积公式；P多项式用于最优平方逼近，T多项式用于最优一致逼近。

正交多项式的性质：

1)正交多项式gk(x)线性无关，推论：Pk(x)(kn)与gn(x)正交。2)在区间[a,b]或[min(xi),max(xi)]上，n次正交多项式gn(x)有n个不同的零点。3)设gk(x)是最高次项系数为1的正交多项式，则：

4.最优一致逼近法

(1)切比雪夫多项式的性质 性质1：Tk(x)是[-1,1]上关于(x)11x2(T0,T0),(Tk,Tk)/2；的正交多项式，性质2：Tk1(x)2xTk(x)Tk1(x)； 性质3：Tk(x)是最高次项为2x的奇次项；

k1xk的k次多项式，T2k(x)只含x的偶次项，T2k1(x)只含

2i1,i0,1...k1； 2ki性质5：在[-1,1]上，Tk(x)1，且在k+1个极值点xicos,i0,1...k处Tk(x)依次取

k性质4：Tk(x)有k个不同的零点，xicos得最大值1和-1；

性质6：设Pn(x)是任意一个最高次项系数为1的n次多项式，则：

1x1maxPn(x)max1x111 Tn(x)n1n122(2)最优一致逼近法的定义

设函数f(x)在区间[a,b]连续，若n次多项式Pn(x)c00(x)c11(x)c22(x)...cnn(x)使PnfmaxPn(x)f(x)达到最小，则称Pn(x)为f(x)在[a,b]上的最优一致逼近axb函数。

切比雪夫定理：n次多项式P(x)成为函数y=f(x)在区间[a,b]上最优一致逼近多项式的充要条件是误差R(x)f(x)P(x)区间[a,b]上以正负或负正交替的符号依次取得在EmaxR(x)的点（偏差点）的个数不少于n+2。

axb采用如下方程组进行求解：

(3)近似最优一致逼近多项式 思路：

使用T多项式性质6 若区间是[-1,1]，取xi(i=0～n)为Tn+1的零点，则xicos(值多项式Pn(x)；

若区间是[a,b]，通过转换x方法1：由ticos(2i1),i0～n，以此构造插

2(n1)abbat,t[-1,1]； 222xab2i1代入Pn(t)，可),i0～n，构造Pn(t)，然后将tba2(n1)得Pn(x)。方法2：取xiabbaabba2i1ticos，i=0～n；构造Pn(x)。22222(n1)例：

(4)截断切比雪夫级数法

n(Tk,f)设f(x)在[-1,1]上连续，Sn(x)CkTk(x)，其中Ck；记Sn(x)CkTk(x)；

(Tk,Tk)k0k0n应用切比雪夫定理及性质5，取f(x)Sn(x)(5)缩短幂级数法

方法1： 方法2：

CT(x)。

kkk0第五章：数值微积分

第一节 牛顿柯特斯公式

bI(f)(x)f(x)dxa(x)1bf(x)dxF(b)F(a)

a一．数值算法 1.数值积分算法

对于复杂函数f(x)，考虑用其近似函数P(x)去逼近，用P(x)的积分值近似代替f(x)积分值。

2.插值型数值积分方法

对于拉格朗日插值多项式，广义积分中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，g(x)在[a,b]上部变号，则

a,b，使f(x)g(x)dxf()g(x)dx

aabb3.牛顿柯特斯公式 梯形公式： 辛普森公式：

二．复化求积公式 b1.I(f)f(x)dx，把[a,b]分成若干等长的小区间，在每个小区间用简单低次数值积分公a式，在将其得到的结果相加。2.复化梯形公式

3.复化辛普森公式

三．变步长的积分公式

1.先取一步长h进行计算，再取较小步长h*计算，若两次结果相差很大，则在取更小步长进行计算，依次进行，直到相邻两次计算结果相差很大，则取较小步长的结果为积分近似值。2.变步长复化梯形公式

3.变步长复化辛普森公式

四．龙贝格积分法

第二节 待定系数法

1.代数精度定义

对于近似公式I(f)Q(f)，如果f(x)是任意不超过m次的多项式，I(f)Q(f)成立，而对于某个m+1多项式，I(f)Q(f)，称代数精度为m次。2.判定方法

近似式的代数精度为m次

对f(x)1,x,...,xm，近似式精确成立，I(f)Q(f)，f(x)xm1时不成立，I(f)Q(f)。

梯形公式m=1，辛普森公式m=3。3.Peano定理

第三节 高斯型积分公式

一．定义

节点个数一定，具有最高阶代数精度公式的插值型积分公式称为Guass型求积公式。插值型积分公式定义：

定理：数值积分公式I(f)Q(f)至少有n次代数精度近似式是插值型积分公式。对于牛顿科特斯公式，若采用等距节点，n分别为奇数和偶数时，代数精度分别为n和n+1。

二．最高代数精度

定理：m2n1 So，给定n+1个节点，具有2n+1次代数精度的插值型数值积分公式称为Gauss型求积公式。三．Gauss型积分公式的构造方法 方法1：

代数精度为2n+1，则f(x)1,x,...,xm时成立，可解出Ai和xi。方法2：

定理：代数精度m2n1xi是[a,b]上关于(x)的正交多项式gn1(x)的零点(高斯点)，b其中Ai(x)l(x)dx。ia四．高斯型求积公式的误差

五．常用的高斯型求积公式 1.Gauss-Legendre求积公式 n=0 n=1

1f(x)dxAf(x)Q(f)，x是Pii1nin1(x)的n+1个零点。

i02.Gauss-Laguerre求积公式

xxe0xf(x)dxAif(xi)Q(f)

i0n0f(x)dxe(ef(x))dxexF(x)dx00x(at)ef(x)dxea0f(at)dxeateF(t)dt 03.Gauss-Hermite求积公式

ex2f(x)dxAif(xi)Q(f)

i0n14.Gauss-Chebyshev求积公式

1f(x)1x2dxn1i0f(cosn2i1)2n2第四节 数值微分

f'(x)limh0f(xh)f(x)，h大，不精确，h小，由于小除数引入大误差。

h近似函数法

取等节距节点，xix0ih,i0,1,...n(1)一阶导数，n=1，两个节点x0x1

(2)一阶导数，n=2，三个节点x0x1x2

(3)二阶导数，n=2，三个节点x0x1x2

实用误差估计

例：

第六章 非线性方程的迭代解法

第一节 方程求根法

根的定义：对于非线性方程组f(x)=0，若存在数使f()=0，称是非线性方程组f(x)=0的根。

零点存在定理：若f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，若f(a)f(b)<0，则必然存在[a,b]，使f()=0。

试探法，二分法。一．简单迭代法

初值x0，xk1(xk)，产生迭代序列xk。简单迭代收敛定理（压缩映像原理）

[,]，对于迭代函数(x)，若满足(1)若x[a,b],(x)[a,b]；(2)存在正数0

收敛速度(收敛阶)：若存在实数P和非零常数C，使得limkkxk1xkkC0，称迭代序列是P阶收敛。P=1，线性收敛；P>1，超线性收敛；P=2，平方收敛。定理：设是方程x(x)的根，如果迭代函数(x)满足'()''()...(P1)()0,(P)()0

xk1(xk)产生的迭代序列xk是P阶收敛。

二．牛顿迭代法

xk1xkf(xk)f'(xk)收敛性分析：牛顿迭代法具有局部收敛性，初值x0x，产生迭代序列收敛。收敛定理：设f(x)在[a,b]上二阶导数存在，若

f(a)f(b)0，f(x)在[a,b]上单调，f(x)在[a,b]上凹向不变（即f''(x)在区间上不变号），初值x0满足f(x0)f''(x0)0，则任意初值x0[a,b]，有牛顿迭代法产生的xk收敛于方程的唯一根。

简化牛顿法：xk1xk三．弦割法或割线法 用差商代替导数xk1xkf(xk)f(xk)f(xk)xk1xkxk1xkf'(xk)f'(x0)Cf(xk)

f(xk)f(xk1)xkxk1第二节 线性代数方程组迭代解法

Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法

SOR迭代法（xik1(1)xikxGSk1）opt迭代法的收敛性：

将迭代法用矩阵表示：ADEF，xk1Bxkg Jacobi迭代法： G-S迭代法： SOR迭代法：

0定理：xk1Bxkg，对x产生的迭代序列x211(Bj)2 收敛的充要条件是：

klimBk0或(B)1。

k推论1：若B1，则收敛；

推论2：SOR方法收敛的必要条件是02；

推论3：设A是严格对角占优矩阵，则Jacobi，G-S，01的SOR方法收敛；

推论4：1)设A是对称正定矩阵，则G-S方法收敛；2)设A是对称正定矩阵，若2D-A也对称正定，则Jacobi方法收敛；若2D-A不对称正定，则Jacobi方法不收敛；3)设A是对称正定矩阵，02，则SOR方法收敛。

第三节 非线性方程组的迭代解法

x k1kkkx[f'(x)]1f(x)

第七章 矩阵特征值和特征向量

矩阵A主特征值——模最大的特征值取为主特征值。对n个互不相同的特征值

123...n，对应特征向量123…n；

kk任意向量z0c11c22...cnn zAZ0 limzkc11k1，zk是对应A的1的特征向量，k(zk1)i1(zk)i

规范乘幂法

ykAzk1，yk按模取最大分量maxykmk，zklimzk10，10是1的规范化向量；limmk1。

kkyk。mk加速法（原点位移法）ykApIzk1

第八章 常微分方程数值解法的导出

y'(x)f(x,y(x))y(a)y0一． 数值微分法

欧拉公式：yi1yihf(xi,yi)后退欧拉公式：yi1yihf(xi1,yi1)终点法：yi1yi12hf(xi,yi)

h2局部截断误差：y(xi1)yiy''()

2二． 数值积分法

hyi1yi[f(xi,yi)f(xi1,yi1)]

2预估yi1yihf(xi,yi)，校正yi1yi

三．

四． 泰勒展示法

h[f(xi,yi)f(xi1,yi1)] 2线性多步法

第三篇：计算方法总结

1.何为有根区间

给定一个方程f(x)=0,如果f(x)在[a,b]上连续，又f(a).f(b)<0,则由连续函数的性质知，方程f(x)=0在（a,b）内至少有一个实根。这时我们称区间[a,b]为方程f(x)=0有根区间 2.寻找方程的有根区间的常用方法是什么 1.作图法 2.逐步搜索法

3.作图法寻找有根区间适用于哪种情况

函数f(x)比较简单时适用

4.对于已知方程，如何利用逐步搜索法在区间内寻找有根区间

从X0=a出发，按照事先选择的步长h=(b-a)/N(N为正整数)，逐点计算Xk==a+kh处的函数值f(Xk)与f(Xk+1)的值异号时，那么[Xk,Xk+1]就是方程f(x)=0的一个有根区间 5.逐步搜索法在计算机上实现方便。

6.对于给定的n次代数方程，如何确定根模的上下界

（1）若a=max{|a1|,|a2|,….,|an|},则方程的根的绝对值小于a+1；

（2）若b=(1/|an|)max{1,|a1|,|a2|,….,|an-1|},则方程的根的绝对值大于1/(1+b).7.步长h的选择，对于逐步搜索法有何影响

当步长h越小时，找出的有根区间越小，这时以区间内的某个值作为根的近似值就越精确。但h越小，计算量越大 8.二分法求解方程的根有和优点，有何缺点

优点是算法简单，而且收敛性总能得到保证，缺点是收敛速度慢。

9.艾特金迭代法与二分法相比，计算收敛速度快，节省时间，并且能求出某些发散的迭代过程的根。10.牛顿法的优点是什么，缺点是什么

优点是收敛速度快，节省计算量，误差累积少。

缺点是在计算时它要用到f（x）的导数，当f（x）比较复杂时，计算其导数花费时间多。11.弦截法的优点是什么，它与牛顿法相比，收敛速度与计算速度如何

优点是不必计算f'(x),收敛速度也相当快,但比牛顿法慢。从计算速度来看，弦截法比牛顿法快。

12.弦截法的基本思想是什么（结合图示说明），如何选取弦截法中的不动点

1准备2迭代3控制4迭代准备 13.何为阶收敛，收敛速度与的大小有何关系

收敛速度的大小与收敛阶数有关系，收敛阶数越大，收敛速度越快。14.哪一类问题称为插值问题

由实验或测量得到了某一函数y=f(x)在n+1个点x0,x1,....,xn处的值y0,y1,...yn,需要构造一个简单函数p(x)作为函数y=f(x)的近似表达式

Y=f(x)约等于p(x),使得p(xi)=f(xi)=yi(i=0,1,2,...n),这类问题称为插值问题

15.常用的插值算法有哪几种，各有什么优缺点

一拉格朗日插值 线性插值2二次插值3n次拉格朗日插值多项式（区间大时误差也较大）

二分段插值1分段线性插值2分段二次插值（优点是公式简单，计算量小，有较好的收敛性和稳定性，并且可以避免计算机上作高次乘幂时常遇到的上溢和下溢的困难。）

三差商与牛顿插值公式（不需要增加插值接点，不浪费）

四差分与等距节点差值公式（进一步简化插值公式，计算也方便）五三次样条差值（既能保证曲线连续，又能保证光滑性要求）

16.线性插值的几何意义是什么（结合图形进行说明）

线性插值的几何意义是利用通过两点的直线去近似代替曲线。

17.线性拉格朗日插值的截断误差限与什么量有关, 是什么关系

与x 在[a,b]时，f''(x)绝对值的最大值有关系

|R1|<=[M1|(x-x0)(x-x1)]/2 18.二次拉格朗日插值的截断误差限与什么量有关, 有什么关系

P93与x在[x0,x2]时，f'''(x)对值的最大值有关系，|R2(x)|<=M2(x-x0)(x-x1)(x-x2)/6

19.通过n+1个互异节点且满足插值条件的插值多项式是唯一的

20.线性插值或二次插值优缺点：简单方便，计算量小。缺点是精度较低；

21.当低次插值的精度不够时，应该适当缩小插值区间的长度来提高精度； 22.高次插值优缺点：插值精度高，缺点是数值不稳定；

25.分段插值优缺点：公式简单，计算量小，且有较好的收敛性和稳定性，并可避免计算机上作高次乘幂时常遇到的上溢和下溢的困难.缺点是不能保证曲线在连接点处的光滑性。

26.应用低次插值进行分段插值时，应尽可能地在插值点的邻近选取插值节点。

27.拉格朗日插值多项式与牛顿插值公式相比而言，拉格朗日插值多项式有何缺点，牛顿插值公式有何优点？

用拉格朗日插值多项式计算函数值时，当精度不满足要求而需要增加插值节点时，原来的插值多项式就不能使用了，必须重新构造一个，将造成很大浪费。而牛插可以增加新的节点，原来的计算结果仍可利用。28.何为差商，给定个互异测试点,如何计算各阶差商

函数值与自变量的差商就是差商，一阶差商(或记作f[x0，x1])；

二阶差商29.差商的对称性

差商与插值节点顺序无关

(或记作f[x0，x1，x2])

30.牛顿向前插值公式和牛顿向后插值公式有什么关系，有什么不同点

“牛前插”适用于计算x0附近的函数值，“牛后插”适用于计算函数表末端附近的函数值。31.为何要提出样条插值，它克服了其它插值方法的何种缺点，它具有什么优点

在整个插值区间上做高次插值多项式，曲线光滑，但计算量繁重，误差积累大，稳定性差。分段低次插值可避免这些缺点，但各段连接点处只能保证曲线连续，而不能保证光滑性要求。样条插值其插值曲线不仅连续而且处处光滑。

32.曲线拟合解决了插值中的什么问题。拟合与插值有什么不同点

可以部分抵消原来数据组中所包含的测量误差。P115 33.何为最小二乘曲线拟合法

用(x)拟合数据(xk，yk)(k＝1，2，„，n)，使得误差的平方和

为最小，求(x)的方法，称为最小二乘法。

第四篇：《数值计算方法》课程教学大纲.

《数值计算方法》课程教学大纲

课程名称：数值计算方法/Mathods of Numerical Calculation 课程代码：0806004066 开课学期：4 学时/学分：56学时/3.5学分（课内教学 40 学时，实验上机 16 学时，课外 0 学时）先修课程：《高等代数》、《数学分析》、《常微分方程》、《C语言程序设计》 适用专业：信息与计算科学

开课院（系）：数学与计算机科学学院

一、课程的性质与任务

数值计算方法是数学与应用数学专业的核心课程之一。它是对一个数学问题通过计算机实现数值运算得到数值解答的方法及其理论的一门学科。本课程的任务是架设数学理论与计算机程序设计之间的桥梁，建立解决数学问题的有效算法，讨论其收敛性和数值稳定性并寻找误差估计式，培养学生数值计算的能力。

二、课程的教学内容、基本要求及学时分配

（一）误差分析

2学时 了解数值计算方法的主要研究内容。2 理解误差的概念和误差的分析方法。熟悉在数值计算中应遵循的一些基本原则。重点：数值计算中应遵循的基本原则。难点：数值算法的稳定性。

（二）非线性方程组的求根

8学时 理解方程求根的逐步搜索法的含义和思路 掌握方程求根的二分法、迭代法、牛顿法及简化牛顿法、非线性方程组求根的牛顿法 3 熟悉各种求根方法的算法步骤，并能编程上机调试和运行或能利用数学软件求非线性方程的近似根。

重点：迭代方法的收敛性、牛顿迭代方法。难点：迭代方法收敛的阶。

（三）线性方程组的解法

10学时 熟练掌握高斯消去法 熟练地实现矩阵的三角分解：Doolittle法、Crout法、Cholesky法、LDR方法。3 掌握线性方程组的直接解法：Doolittle法、Crout法、Cholesky法（平方根法）、改进平方根法、追赶法。

4能熟练地求向量和矩阵的1-范数、2-范数、-范数和条件数。5 理解迭代法的基本思想，掌握迭代收敛的基本定理。掌握解线性方程组的雅可比（Jacobi）迭代法、高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法、逐次超松驰（SOR）迭代法。7能写出线性方程组的各种直接解法和间接解法的算法，并能编程上机运行或能利用数学软件求解线性方程组。

重点：矩阵的三角分解。

难点：线性方程组迭代解法的收敛问题。

（四）插值法

6学时

1.了解插值的一般概念和多项式插值的存在唯一性。

2.熟练掌握Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值、分段低次插值及三次样条插值的求解。

3.熟悉曲线拟合的最小二乘法，能熟练地求矛盾方程组的最小二乘解。

4.能对Lagrange插值、Newton插值、Neville插值、Hermite插值、三次样条插值、线拟合的最小二乘法等编程上机调试和运行或借助数学软件求插值函数和曲线拟合。

重点：Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值。难点：三次样条插值的求解。

（五）最佳逼近多项式的一般理论

5学时 了解最佳逼近的基本问题。掌握C[a,b]空间中最佳逼近的唯一性问题。3 了解切贝绍夫定理与Vallee-Poussin定理。

（六）数值微分与数值积分

5学时 了解数值积分的基本思想，能够熟练地确定具体求积公式的代数精度及确定求积公式的节点和系数。熟练地用Newton-cotes公式，Romberg公式，两点、三点Gauss公式等进行数值积分 重点：确定具体求积公式的代数精度及确定求积公式的节点和系数。难点：用待定系数法确定Gauss型求积公式的节点和系数。

（七）常微分方程的数值解

4学时 理解常微分方程的数值解的含义 掌握常微分方程的欧拉解法、R—K方法、亚当姆斯方法，理解其算法思想。重点：基于数值积分的方法。难点：R—K方法。

三、推荐教材及参考书

推荐教材：

1、张韵华等编著，数值计算方法与算法，科学出版社，2001。

2、冯天祥编著，数值计算方法，四川科技出版社，2003。参考书：

1、冯天祥编著，数值计算方法理论与实践研究，西南交通大学出版社，２００５。

2、李庆扬等著，数值分析，华中理工大学出版社，2000。

3、林成森著，数值计算方法，科学出版社出版，1999。

4、李庆扬等著，现代数值分析，高等教育出版社，1998。

5封建湖等，计算方法典型题分析解集，西北工业大学出版社，1999。

四、结合近几年的教学改革与研究，对教学大纲进行的新调整 增加了最佳逼近多项式的一般理论。

大纲制订者：冯玉明

大纲审定者：陈小春

制订日期：2008-11-15

第五篇：计算方法公式总结

计算方法公式总结

绪论

exx，x为准确值，x为近似值。绝对误差绝对误差限

r|e||xx|，ε为正数，称为绝对误差限

xxe表示相对误差 通常用exxrxxe相对误差e*xxr相对误差限|er|r或|e|r 有效数字

一元函数y=f（x）

'e(y)f(x)e(x)绝对误差e(y)f(x)'e(x)xf'(x)e(y)er(x)相对误差ryyf(x)二元函数y=f（x1,x2）绝对误差 f(x1,x2)f(x1,x2)e(y)dx1dx2

x1x2f(x1,x2)x1f(x1,x2)x2e(y)er(x1)er(x2)相对误差rx1yx2y

机器数系

注：1.β≥2，且通常取2、4、6、8 2.n为计算机字长

3.指数p称为阶码（指数），有固定上下限L、U 4.尾数部 s0.a1a2an，定位部p

n112(1)(UL1)5.机器数个数机器数误差限

1np舍入绝对 |xfl(x)|截断绝对|x2fl(x)|np

|xfl(x)||xfl(x)|11n1n舍入相对截断相对

|x||x|2

秦九韶算法

方程求根

f(x)(xx)mg(x)，g(x)0，x*为f（x）=0的m重根。

二分法

迭代法

f(x)0xk1(xk)

k=0、1、2……

**lim{x}x(x){xk}为迭代序列，(x)为迭代函数，kk

局部收敛

注：如果知道近似值，可以用近似值代替根应用定理3判断是否局部收敛

牛顿迭代法

f(x)f(xk)f(xk)(xxk)0

f(xk)xk1xk'(k0,1,2,)f(xk)注：牛顿迭代对单根重根均局部收敛，只要初值足够靠近真值。

'

牛顿迭代法对初值要求很高，要保证初值在较大范围内也收敛，加如下四个条件

注：证明牛顿迭代法大范围收敛性，要构造一个区间[ε,M(ε)],其中f()M()',在这个区间内验证这四个条件。

f()

如果知道根的位置，构造[ε，M（ε）]时应该包括根，即ε+常数

线性方程组求解

有两种方法：消去法和迭代法

高斯消去法 利用线性代数中初等行变换将增广矩阵转化为等价上三角矩阵。

注意：第一行第一列为0，将第一列不为0的某一行与第一行交换位置，继续初等行变换。对角占优矩阵

a11aA21an1na12a22an2a1na2n ann则称A为按行严格对角占优矩阵 |aii||aij|(i1,2,,n)j1jin|ajj||aij|(j1,2,,n)i1ij则称A为按列严格对角占优矩阵

aijaji(i1,jn)xR,x0,(x,Ax)0

则称A是对称正定的。

当A是上面三种情况时，用高斯消去法消元时追赶法是高斯消元法的一种特例

nakk0，不用换行。

列主元高斯消元法

|aik|，即第k次消元把k~n行第k列绝对值当|ask|maxkin最大的行（s行）调到第k行，再进行高斯消元。(k)(k)

迭代序列构造

AxbxBxfx第三个等式为迭代序列，B为迭代矩阵。迭代收敛判别

1.充分条件：迭代矩阵范数小于1，B1

结论：Ax=b有唯一解x*

(k1)Bx(k)f

2.充要条件：迭代矩阵谱半径小于1,(B)1 Jacobi迭代法

ALDU其中L（low）为下三角，U为上三角，D为对角线元素

迭代格式：x(k1)D(LU)x(k)D1b

1

迭代矩阵JD(LU)

1收敛性判据：

|IJ|0|D||LDU|0|LDU|0

求出最大值小于1（J的谱半径小于1）即迭代格式收敛.1Gauss-Seidel迭代法

迭代格式

x(k1)D(Lx1(k1)Ux(k)b)

(k)x(k1)(DL)Ux11(DL)1b

迭代矩阵：G(DL)U

常数矩阵：g(DL)1b



收敛性判据：

|IG|0|(DL)||(DL)U|0|(DL)U|0

求出最大值小于1（G的谱半径小于1）即迭代格式收敛.结论：当A是严格对角占优的，则Jacobi和Gauss-Seidal迭代法均是收敛的

1插值法

用插值多项式p（x）代替被插函数f(x)

nP(x)aaxax插值多项式：，01nn+1个点P(xi)yi(i0n)

插值区间：[a,b]，插值点满足

ax0x1xnb

求插值多项式P（x），即求多项式系数的过程为插值法

带入可知求系数的插值点行列式为范德蒙行列式，不为0，有唯一解。即n+1插值条件对应的不超过n次的插值函数P（x）只有一个。一次线性插值nxx0xx1Py0y1y0l0(x)y1l1(x)1(x)x0x1x1x0(xxi)lk(x)i0(xx)(xkxi)ikki

ni0iki0ikn(xxi)Lagrange插值多项式

Ln(x)yklk(x)k0k0 nnxxi()yki0xxiikkn插值余项

非插值节点上Lagrange插值多项式为被插函数f(x)的近似值

f(n1)()nRn(x)f(x)Ln(x)(xxi)(n1)!i0(a,b)

带导数插值条件的余项估计

注：推导过程用罗尔中值定理构造辅助函数

(t)Rn(t)K(x)Wn1(t)

第二条性质用于可以证明阶数不大于n的f(x)的插值余项为0.差商和Newton插值法

记忆方法：先记分母，最后一个减去第一个，对应的分子第一项是最后一个临近k元素的差商，第二项是第一个临近k个元素的差商。

牛顿插值多项式

通常记作Nn（x）分段样条插值

分段二次样条插值

讨论n为奇偶情况时的三个点 余项估计式

三次样条插值函数

第一类边界条件（端点一阶导数已知）

D0等于第一个式子，dn等于第二个式子

自然边界条件（端点二阶导数已知二阶导数和M0，Mn=0）

曲线拟合

最小二乘原理

函数关于n个点线性无关

23n1,x,x,x,,x注：线性无关的函数为才是最小二乘多项式

注：记住公式即可。

数值积分和数值微分

xk为求积节点，Ak为求积系数。

插值求积公式

梯形公式

Simpson公式

Cotes公式

截断误差

代数精度

当f(x)为不超过m次多项式时上式成立，f（x）为m+1多项式时上式不成立。则称为求积公式有m次代数精度。

梯形公式代数精度为1，Simpson公式代数精度为3，Cotes公式代数精度为5

截断误差 梯形公式

Simpson公式

Cotes公式

Gauss求积公式

求积公式代数精度为2n+1 [-1,1]上的两点Gauss公式（3次代数精度）

111f(x)dxf(3)f(3)1[-1,1]上的三点Gauss公式（5次代数精度）

538531f(x)dx9f(5)9f(0)9f(5)1

记住 xktk，AkAk的关系，tkAk查表即可

复化梯形公式2阶，复化Simpson公式4阶，复化Cote公式6阶

计算机通过不断把区间二分，所得前后两次积分差值满足精度条件即可

1|I2n(f)In(f)|时 给定精度ε，p211|I(f)I2n(f)|p|I2n(f)In(f)|21因而可以取I2n(f)为I(f)的近似值。

梯形

Simpson数值微分

数值微分截断误差

中点公式：

f(x0h)f(x0h)D(h) 2h常微分方程数值解法

Euler方法

欧拉公式（单步显式公式）求出的近似解

局部截断误差

Euler公式的局部截断误差（一阶精度）

后退Euler公式

梯形公式(二阶精度)

改进Euler公式（二阶精度）

截断误差（推导要求掌握，利用梯形和Euler公式的截断误差）