极限计算方法总结(简洁版)

第一篇：极限计算方法总结(简洁版)

极限计算方法总结（简洁版）

一、极限定义、运算法则和一些结果

1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：lim0，当|q|1时b0(a,b为常数且a0)；lim(3x1)5；limqn；

x2nann不存在，当|q|1时等等

（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。

2．极限运算法则

定理1 已知 limf(x)，limg(x)都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有

（1）lim[f(x)g(x)]AB

（2）limf(x)g(x)AB

（3）limf(x)A,(此时需B0成立)g(x)B

说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。3．两个重要极限（1）limsinx

1x0x1x（2）

(11)xe

lim(1x)e ； limxxx0说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。

12x例如：limsin3x1，lim(12x)x0x03x3e，lim(1)e；等等。

xxx

34．等价无穷小

定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。定理3 当x0时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：

x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln(1x)～ex1。

说明：当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时（g(x)0），仍有上面的等价

关系成立，例如：当x0时，定理4 如果函数

e3x1 ～ 3x ；ln(1x2)～ x2。

f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是xx0时的无穷小，且f(x)～f1(x)，g(x)～ 1 g1(x)，则当limxx0f1(x)f1(x)f(x)存在时，lim也存在且等于f(x)lim，即

xxxx00g(x)g1(x)g1(x)xx0limf1(x)f(x)lim=。

g(x)xx0g1(x)5．洛比达法则

定理5 假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数f(x)和g(x)满足：（1）f(x)和g(x)的极限都是0或都是无穷大；

（2）f(x)和g(x)都可导，且g(x)的导数不为0；

（3）limf(x)存在（或是无穷大）； g(x)f(x)f(x)f(x)f(x)

则极限lim也一定存在，且等于lim，即lim=lim。

g(x)g(x)g(x)g(x)说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“

0”型或“”型；条件0（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。

6．连续性

定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果x0是函数f(x)的定义去间内的一点，则有limxx0f(x)f(x0)。

7．极限存在准则

定理7（准则1）单调有界数列必有极限。

定理8（准则2）已知{xn},{yn},{zn}为三个数列，且满足：（1）ynxnzn,(n1,2,3,)

n

（2）limyna，limzna

nn

则极限limxn一定存在，且极限值也是a，即limxnna。

二、求极限方法举例

1． 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限 例1 limx13x12

x1(3x1)2223x33lim。解：原式=limx1(x1)(3x12)x1(x1)(3x12)4注：本题也可以用洛比达法则。

例2 limn(n2n1)

nn[(n2)(n1)]分子分母同除以解：原式=limnn2n1(1)n3n例3 lim

n2n3n上下同除以3nnlimn31211nn3。2解：原式1()n1lim31。n2n()132． 利用函数的连续性（定理6）求极限 例4 limx2ex21x

12x解：因为x02是函数f(x)xe的一个连续点，所以

原式=2e4e。123． 利用两个重要极限求极限 例5 lim1cosx

x03x2xx2sin22lim21lim解：原式=x0x0x26。3x212()22sin2注：本题也可以用洛比达法则。例6 2xlim(13sinx)

x016sinx3sinxx13sinx6sinxx解：原式=lim(13sinx)x0lim[(13sinx)x0]e6。

例7 lim(nn2n)n1解：原式=lim(1n3)n1n13n3n1lim[(1n3)n1n13]3nn1e3。

4． 利用定理2求极限

2例8 limxsinx01 x解：原式=0（定理2的结果）。

5． 利用等价无穷小代换（定理4）求极限

例9 limx0xln(13x)2

arctan(x)2

2解：x0时，ln1(3x)～3x，arctaxn)(～x， 原式=limx0x3x3。x2exesinx例10 lim

x0xsinxesinx(exsinx1)esinx(xsinx)lim1。解：原式=limx0x0xsinxxsinx注：下面的解法是错误的：

(ex1)(esinx1)xsinxlim1。

原式=limx0x0xsinxxsinx

正如下面例题解法错误一样：

tanxsinxxxlimlim0。33x0x0xx例11 1tan(xsin)x limx0sinx22xsin解：当x0时，2111是无穷小，tan(x2sin)与x2sin等价，xxx1xsin1xlimxsin0。

所以，原式=lim（最后一步用到定理2）

x0x0xx6． 利用洛比达法则求极限

说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。

例12 limx01cosx（例4）

3x2sinx1。（最后一步用到了重要极限）

x06x6解：原式=limcos例13 xlimx12 x14 解：原式=limx12sinx2。12例14 limx0xsinx x31cosxsinx1lim。=（连续用洛比达法则，最后用重要极限）2x0x06x63x解：原式=lim例15 limsinxxcosx 2x0xsinx原式lim解：sinxxcosxcosx(cosxxsinx)limx0x0x2x3x2 xsinx1limx033x2例18 11lim[] x0xln(1x)11lim[]0。解：错误解法：原式=x0xx

正确解法：

原式limln(1x)xln(1x)xlimx0xln(1x)xxx01 1x1lim1xlim。x0x02x2x(1x)2x2sinx

3xcosx12cosx0”型，但用洛比达法则后得到：lim，此极限

x3sinx0应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。例19 limx解：易见：该极限是“不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：

2sinx1x原式=lim（分子、分母同时除以x）=（利用定理1和定理2）

xcosx33x17． 利用极限存在准则求极限 例20 已知x1xn 2,xn12xn,(n1,2,)，求limnn解：易证：数列{xn}单调递增，且有界（0

xn存在，设 limxna。

n对已知的递推公式

xn12xn两边求极限，得：

a2a，解得：a2或a1（不合题意，舍去）。所以 limxn2。

n1n1nnn22n例21 lim(1n21211nn2)

1nn2解： 易见：n12n22nn12

因为 limnnnn21，limnnn11221

1nn2所以由准则2得：lim(n1n12n2)1。

上面对求极限的常用方法进行了比较全面的总结，由此可以看出，求极限方法灵活多样，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会。另外，求极限还有其它一些方法，如用定积分求极限等，由于不常用，这里不作介绍。

第二篇：高数_第1章_极限计算方法总结

极限计算方法总结

一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：

数列极限、函数极限，课本42页的表格必须认真填写并掌握。说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：lim10；lim(3x1)5；limqn0,当q1等。2x2n(n1)n定义证明按着总结的四个步骤来，缺一不可！（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。2．极限运算法则

定理1 已知 limf(x)，limg(x)都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且（1）lim[f(x)g(x)]AB（2）limf(x)g(x)AB

（3）limf(x)A,(此时需B0成立)

说明：极限号下面的极限过程是一致的；同g(x)B时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。3．两个重要极限

sinx(11)xe

1（2）lim(1x)xe ； lim（1）limxxx0x0x说明：（1）不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式。

（2）一定注意两个重要极限成立的条件。

例如：lim1sin3x1，lim(12x)x0x03x12xe，lim(13)e；等等。

xxx34．等价无穷小

定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。定理3 当x0时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：

x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln(1x)～ex1。

说明：当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时（g(x)0），仍有上面的等价 关系成立，例如：当x0时，定理4 如果函数

e3x1 ～ 3x ；ln(1x2)～ x2。

f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是xx0时的无穷小，且f(x)～f1(x)，f1(x)f1(x)f(x)g(x)～g1(x)，则当lim存在时，lim也存在且等于lim。

xx0g(x)xx0g(x)xx0g(x)115．连续性

定理5 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果x0是函数f(x)的定义去间内 的一点，则有limxxf(x)f(x0)。求极限的一个方法。

06．极限存在准则

定理6（准则1）单调有界数列必有极限。

定理7（准则2）已知{xn},{yn},{zn}为三个数列，且满足：

（1）ynxnzn,(n1,2,3,)（2）limyna，limznnan

则极限limxn一定存在，且极限值也是a，即limxannn。

二、求极限方法举例

1． 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限

例1 lim3x12x1x1

解：原式=lim(3x1)222x1(x1)(3x12)lim3x3x1(x1)(3x12)34。注：本题也可以用洛比达法则。例2 limnn(n2n1)

n解：原式=limn[(n2)(n1)]分子分母同除以nn2n1lim3n312112nn例3 lim(1)n3nn2n3n

上下同除以3n(1)n1解：原式lim3n1(2。3)n12． 利用函数的连续性（定理6）求极限 1例4 limx2exx2

1解：因为x是函数f(x)x2ex02的一个连续点，所以

原式=22e24e。

3． 利用两个重要极限求极限 例5 lim1cosxx03x2。

xx2sin22lim21lim解：原式=x0x0x26。3x212()22sin2注：本题也可以用洛比达法则(第三章)例6

2xlim(13sinx)

x016sinx3sinxx13sinx6sinxx解：原式=lim(13sinx)x0lim[(13sinx)x0]e6。

例7 lim(nn2n)n1解：原式=lim(1n3)n1n13n3n1lim[(1n3)n1n13]3nn1e3。

4． 利用定理2求极限

2例8 limxsinx01 x解：原式=0（定理2的结果）。

5． 利用等价无穷小代换（定理4）求极限

例9 limx0xln(13x)2

arctan(x)22x0

解：x0时，ln(13x)～3x，arctan(x)～x， 原式=limx3x3。2xexesinx例10 lim

x0xsinxesinx(exsinx1)esinx(xsinx)lim1。解：原式=limx0x0xsinxxsinx注：下面的解法是错误的：

(ex1)(esinx1)xsinxlim1。

原式=limx0x0xsinxxsinx

正如下面例题解法错误一样：

tanxsinxxxlimlim0。

33x0x0xx 3

例11

1tan(x2sin)x limx0sinx2xsin解：当x0时，111是无穷小，tan(x2sin)与x2sin等价，xxxx2sin

所以，原式=limx01xlimxsin10。

（最后一步用到定理2）

x0xx5． 利用极限存在准则求极限

例20 已知x1xn 2,xn12xn,(n1,2,)，求limnn解：易证：数列{xn}单调递增，且有界（0

xn存在，limxna。对已知的递推公式 xn12xnn两边求极限，得：

a2a，解得：a2或a1（不合题意，舍去）

所以 limxn2。

n例21 lim(n1n1n21n21211nn2)

1nn2解： 易见：nn2n12n22nn12

因为 limnnnn21，limnnn11221

1nn2所以由准则2得：lim(n1n12n2)1。

上面对求第一章极限的常用方法进行了比较全面的总结，由此可以看出，求极限方法灵活多样，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会。另外，求极限还有其它一些方法，如用洛必达、定积分求极限等，后面再作介绍。

第三篇：二重极限的计算方法(学年论文)

二重极限的计算方法小结

内 容 摘 要

本文在二元函数定义基础上通过求对数，变量代换等方式总结了解决二重极限问题的几种方法，并给出相关例题及解题步骤。及二重极限不存在的几种证明方法。

关键词：二重极限 变量代换等 不存在的证明

目 录

序言„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„

1一、利用特殊路径猜得极限值再加以验证………„„„„„„1(一)利用特殊路径猜得极限值再加以确定„„„„„„„„ 1(二)由累次极限猜想极限值再加以验证„„„„„„„„„„2(三)采用对数法求极限„„„„„„„„„„„„„„„„„2(四)利用一元函数中重要的极限的推广求两个重要极限„„„3(五)等价无穷小代换„„„„„„„„„„„„„„„„„„3(六)利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量„„„„„„4(七)多元函数收敛判别方法„„„„„„„„„„„„„„„4(八)变量代换将二重极限化为一元函数中的已知极限„„„„5(九)极坐标代换法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6(十)用多元函数收敛判别的方法„„„„„„„„„„„„„7

二、证明二重极限不存在的几种方法………………………………… 7 总结„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10 参考文献„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„11 I

序言

二元函数的极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。对一元函数而言，自变量的变化只有左右两种方式，而二元函数可以有无数种沿曲线趋于某店的方式，这是两者最大的区别。虽然二元函数的极限较为复杂，但若能在理解好概念，掌握解题方法和技巧就不难解决。

对于二元函数的二重极限，重点是极限的存在性及其求解方法。二重极限实质上是包含任意方向的逼近过程，是一个较为复杂的极限，只要有两个方向的极限不相等，就能确定二重极限不存在，但要确定二重极限存在则需要判定沿任意方向的极限都存在且相等。由于二重极限较为复杂，判定极限的存在及其求解，往往因题而异，依据变量(x,y)的不同变化趋势和函数f(x,y)的不同类型，探索得出一些计算方法，采用恰当的求解方法后，对复杂的二重极限计算，就能简便，快捷地获得结果，本文将对二重极限的几种计算方法做一下小结。一、二重极限的计算方法小结

(一)利用特殊路径猜得极限值再加以验证

利用二元函数极限定义求极限：根据定义解题时只需找出来。

x3y例1 讨论f(x,y)2，在点的极限。

xy2[1]解 令ymx

x0ymxlimx3ymx4m2limlimx0

x2y2x0ymx(1m2)x01m2x3y应为此路径为特殊路径，故不能说明lim0.可以猜测值为0。

x0y0x2y2下面再利用定义法证明：0，取2

当0(x0)2(y0)2 有x2x2y22

x3yx3y12x3y12由于2 即有0xx 2222xy22xyxyx3y故lim0.x0y0x2y2注意（1）的任意性

（2）一般随而变化

（3）若函数以A为极限，则对函数在的某去心邻域内有范围（A+，A-）。

(二)由累次极限猜想极限值再加以验证

先求出一个累次极限，该类此极限是否为二重极限在用定义验证 例2[2] 设f(x,y)(xy)sin221(x2y20)。求limf(x,y)22x0y0xy解 limlimf(x,y)0可以猜测有极限值为0.事实上对任意的(x,y)(0,0)

x0y0有f(x,y)0(xy)sin2212222xyxy，22xy0 取，当x，y，(x,y)(0,0)时，2就有(x2y2)sin10，即有limf(x,y)0 22x0y0xy(三)采用对数法求极限

利用初等变形，特别是指数形式常常可以先求起对数的极限。或极限是等未定型，往往通过取对数的办法求得结果。

例3 求 解

1sinxyx0y0lim(1xy)(1xy)

1sinxy1xyxysinxyx0y0lim1sinxyx0y0limeln(1xy)x0y0limeln(1xy)

1xy 因为

xyxyln(1xy)lne1 1而且limx0y0sinxy1x0y0lim 所以

1sinxyx0y0lim(1xy)e

(四)利用一元函数中重要极限的推广求两个重要极限

1 lim1lim(1x)xe xx0xsinx

1limx0x类似于一元函数，我们可以充分利用所熟知的结论。通过构造变形我们能够化不熟悉为熟悉，进而利用已有的结论而求之

例4[3]x1 求（1）lim(1x)x0y01x(xy)（2）limsinxy

x0yax解（1）因为

lim(1x)e，limx01x11

x0y2xy2 所以

1x(xy)1xyx0y2lim(1x)lim(1x)x0y21xe（2）由于

又因为

sinxysinxyy,y0, xxysinxysintlin1(xyt,x0)

x0yat0txylim 所以

sinxysintlinlinya

x0yat0yxtalim(五)等价无穷小代换

利用一元函数中已有的结论对式子进行必要的代换以达到简化的目的，进而求出所要求的极限

33例5 求limsin(xy)

x0y0xy33 解 因为x0,y0,故有xy0

所以sin(x3y3)等价于x3y3

3333故原式为limsin(xy)limxylim(x2xyy2)0

x0y0x0y0x0y0xyxy注 无穷小替代求极限时要理解替换过程的本质，不可随意替换。利用等价无穷小替代求极限其实质就是在极限运算中同时乘一个或是除一个等价无穷小，也就是我们通常所说的“乘除时可以替换，加减时不可随意替换”

(六)利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量

充分利用无穷小的性质，与一元函数类似，在求极限过程中，以零为极限的量称为无穷小量，有关无穷小量的运算性质也可以推广到多元函数中。

例6[4]2x3y2 求 lim

x3,y2x32y22 解 因为

2x3y2limx3,y2x32y22limx3y2x3

x3,y2x32y22而

x3y2x32y22又 limx3,y21为有界变量 2x30 故有 原式=0(七)多元函数收敛判别方法

当一个二重极限不易直接求出时，可以考虑通过放缩法使二元函数夹在两个已知极限的函数之间，且两端的极限值相等，则原函数的极限值存在且等于它们的公共值。

例7[5] 求 limxx0y0y2

xy2解 因为

x0而

y2x2y2x2y2xy

xyxyxyxy2x0y0limxy0，故

x0y0limxy2

xy2

(八)变量代换将二重极限化为一元函数中的已知极限

有时为了将所求的极限化简，转化为已知的极限，可以根据极限式子的特点，适当引入新变量，以替换原有的变量，使原来较复杂的极限过程转化为更简化的极限过程。

1、讨论当x0,y0，二元函数f(x,y)的极限，利用变量代换把二重极限化为一元函数中已知的极限转化，相应有t0从而求得结果。

ln(1x2y2)例8 求 lim 22x0,y0xy解 令x2y2, 则当x0,y0时 0，22ln(1xy)ln(1)于是limlim1 22x0,y00xy2、讨论当x,yaa0常数时，二元函数f(x,y)的极限，作变量代换，相应有t，利用已知一元函数的极限公式。

例9 求 lim1xyaxy解 因为

x2xy1其中a0

11xyx2xy11xyxxy(xy)y

当 x,ya时，令xy=t,相应有t 则

1lim1xyaxy

所以

xy1lim1e ttt1lim1xyaxyx2xyxyalimex1xyln(1)(xy)yxye1a

3、讨论x,y时二元函数f(x,y)的极限

例10 求 解 因为 x,ylim(x2y2)e(xy)

(xy)e22(xy)(x2y2)(xy)2xy2(xy)(xy)(xy)eee当 x,y时，令x+y=t,相应有t

(xy)2t2则 limlimt0

x,ye(xy)tex,ylim2xyxy2limlim0 xyxyx,yx,yeeee所以

x,ylim(x2y2)e(xy)0

(九)极坐标代换法

讨论当x,y0,0时，二元函数f(x,y)的极限，必要时可以用极坐标变换

xrcos,yrsin，即将求f(x,y)当极限问题变换为f(rcos,rsin)求r0的极

限问题。但必须要求在r0的过程中与的取值无关。注意这里不仅对任何固定的在r0时的极限与无关，而且要求在r0过程中可以随r的改变而取不同的值的情况下仍然无关，才能说明lim[6]x0,y0f(x,y)存在。

x2y2例11 求lim

(x,y)(0,0)x2y2解 令

xrcos，当(x,y)(0,0)时，有r0 yrsin令

x2y2r4cos2sin2r2cos2sin2 222xxr22因为 cossin1

所以

x2y2222limlimrcossin0(x,y)(0,0)x2y2r0

(十)用多元函数收敛判别的方法

通过缩放法使二元函数夹在两个已知极限的函数之间，再利用两边夹定理来推出结果。

x2y2例12 求 lim

x0y0xy 解 因为

x2y2xy0xy xyxy2而 limx0y0xy0

22xy 所以 lim0

x0y0xy

二、证明二重极限不存在

若二元函数f(p)在区域D有定义，p0(x0,y0)是D的聚点。当动点p(x,y)沿着两条不同的曲线（或点列）诬陷趋近于点p0(x0,y0)，二元函数f(p)，有不同的“极限”，则二元函数f(p)在点p0(x0,y0)不存在极限。依此可以有下面几种方法来证明f(p)在区域D上当pp0时极限不存在。

例1[7] 证明x0y0limln(xey)x2y2不存在

y22证明 函数的定义域为D(x,y)xe,xy0，当点p(x,y)沿着y

轴趋于点(0,0)时，有x=0，而

x0y0limln(xey)x2y2limy0y不存在，y所以

x0y0limln(xey)xy22

当P沿着D中某一连续曲线趋近于点p0(x0,y0)时，二元函数f(p)的极限不存在，则(x,y(x0,y0)limf(x,y)不存在

例2 证明x0y0limx4y4不存在

xy证明 函数的定义域为D(x,y)xy0，当点p(x,y)沿着x轴趋于点（0，x4y40）时，lim=0，当点p(x,y)沿着yx(x31)趋于点（0，0）时x0y0xyx4y4x4x4(x31)limlim2 4x0x0xyx所以

x0y0limx4y4不存在

xy当P沿着D中两条不同的连续曲线趋近于p0(x0,y0)时，二元函数f(p)的极限都存在，但不相等，则(x,y(x0,y0)limf(x,y)不存在。

x2y2不存在 33xy例3 证明

x0y0lim证明 设xrcos,yrsin函数的定义域为

D(r,)r0,cossin0,0,2



x0y0limx2y2x3y3xlim(r,)D0rcos2sin2 cos3sin3rcos2sin2当0时，sin0得lim0 33x0cossin(r,)D当(331)时cos3sin30,cos2sin2443令cossinr有

x0cos3sin3rlimrcos2sin210

cos3sin34所以

x0y0limx2y2 不存在

x3y3对于一些难以找到的路线，可以利用极坐标来证明 例4[8] 证明 limx0y0x2y2不存在 22x2yx2y2x3证明 limlimf(x,y)limlim2lim2limx0

x0y0x0y0xx0xx02y2x2y2y211 limlimf(x,y)limlim2limlimx0y0x0y0x2y2y02y2y022

即得

x0y0limx2y2x2y2 limlim2222x0y0x2yx2yx0y0因为两个累次极限不想等，所以

limx2y2 不存在 22x2y总结

函数极限是数学分析中非常重要的内容，也是比较难理解和掌握的部分，特别是二元函数的极限，但二元函数在多元函数微积分学中有着举足轻重的作用，探讨其存在性与求法是进一步学习多元函数微积分有关概念和方法的基础。文中列出了利用特殊路径猜得极限值再加以确定、由累次极限猜想极限值再加以验证、采用对数法求极限、利用一元函数中重要的极限的推广求两个重要极限、等价无穷小代换、利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量、多元函数收敛判别方法、变量代换将二重极限化为一元函数中的已知极限、极坐标代换法、用多元函数收敛判别的方法等始终二重极限的计算方法及四种二重极限不存在的证明方法。在实际解决二重极限问题时要根据题型不同选择最优的解题方式，不但能提高正确率也可以节省时间和工作量，达到事半功倍的效果。

参考文献

［1］孙涛.数学分析经典习题解析[M].北京:高等教育出版社,2004.［2］张贵文,汪明凡.关于多元函数的极限[J].数学学习,1983.［3］华东师范大学数学系.数学分析.下册(第三版)[M].北京:高等教育出版社，2001.［4］同济大学应用数学系.高等数学(下册)(五版)[M].北京:高等教育出版社，2002.［5］阎家灏.正项级数敛散性的一种审敛[J].兰州工业高等专科学校学报,2004.［6］阎家灏.用极坐标变换确定二重极限的技巧及实例[J].兰州工业高等专科学校学 报,2006.［7］刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义(第三版)[M].北京:高等教育出版社，1992.［8］张雅平.二重极限的几种求法[J].雁北师范学院学报（自然科学版），2005，（2）..10

第四篇：极限计算方法及例题

极限计算方法总结

《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。

一、极限定义、运算法则和一些结果

1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的b0(a,b为常数且a0)；极限严格定义证明，例如：lim

n当an0，|q|1时nlim(3x1)5；limq；等等 nx2不存在，当|q|1时（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需

再用极限严格定义证明。

2．极限运算法则

定理1 已知 limf(x)，limg(x)都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有（1）lim[f(x)g(x)]AB

（2）limf(x)g(x)AB

f(x)

g(x)AB（3）lim,(此时需B0成立)

说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。

3．两个重要极限

（1）limsinx

xx01

11xxlim(1)elim(1x)e（2）；xxx0

说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。1

例如：limsin3x

3xx01，lim(12x)x02xe，lim(1x3)3e；等等。xx

4．等价无穷小

定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。

定理3 当x0时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：1

x～sin

x～tanx～arcsinx～arctanx～ln(1x)～ex1。

说明：当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时（g(x)0），仍有上面的等价

关系成立，例如：当x0时，e

3x

1 ～ 3x ；ln(1x2)～ x。

定理4 如果函数f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是xx0时的无穷小，且f(x)～f1(x)，g(x)～g1(x)，则当lim

f1(x)g1(x)f1(x)g1(x)

xx0

存在时，lim

f(x)g(x)

也存在且等于

xx0

f(x)lim

f1(x)g1(x)

xx0，即lim

f(x)g(x)

xx0

=lim

xx0。

5．洛比达法则

定理5 假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数f(x)和g(x)满足：

（1）f(x)和g(x)的极限都是0或都是无穷大；

（2）f(x)和g(x)都可导，且g(x)的导数不为0；

（3）lim

f(x)g(x)

存在（或是无穷大）；

则极限lim

f(x)g(x)

也一定存在，且等于lim

f(x)g(x)，即lim

f(x)g(x)

=lim

f(x)g(x)。

说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不

满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“

00

”型或“



”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕

后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注

意条件。

6．连续性

定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果x0是函数f(x)的定义去间

内的一点，则有limf(x)f(x0)。

xx0

7．极限存在准则

定理7（准则1）单调有界数列必有极限。

定理8（准则2）已知{xn},{yn},{zn}为三个数列，且满足：

（1）ynxnzn,(n1,2,3,)

（2）limyna，limzna

n

n

则极限limxn

n一定存在，且极限值也是a，即limxn

na。

二、求极限方法举例

1． 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限

例1lim

3x12x1

x

1)2



2解：原式=lim

(3x1lim

3x3



3x1

(x1)(3x12)

x1

(x1)(3x12)。

注：本题也可以用洛比达法则。例2lim

n(n2

n1)n

n[(n2)(n1)]分子分母同除以

n

解：原式=limn

n2

n1

lim

3

3n

1

212

n



n

例3 lim

(1)n3n

n

2n

3

n

(1上下同除以3

n)n

1解：原式



lim3

1n(2。3)n

12． 利用函数的连续性（定理6）求极限

例4 limx2

ex

x2

解：因为x2

x

02是函数f(x)xe的一个连续点，所以原式=22

e24e。3． 利用两个重要极限求极限

例5 lim

1cosxx0

3x

2sin

x2sin

x

解：原式=lim221

x0

3x

lim

x012(x6。

22)。

注：本题也可以用洛比达法则。

例6 lim(13sinx)x

x0

16sinx

6sinx

解：原式=lim(13sinx)

3sinx

x

lim[(13sinx)3sinx]

x0

x0

例7 lim（n2n

n

n1)

3n13n

n1

3n解：原式=lim(1

3

n1



33

]n1

e

3

n

n1)lim[(1n

n1)

4． 利用定理2求极限

例8 limx2

sin

1x0

x

解：原式=0（定理2的结果）。5． 利用等价无穷小代换（定理4）求极限例9 lim

xln(13x)x0

arctan（x2)

解：x0时，ln(13x)～3x，arctan(x2)～x2， 原式=lim

x3xx

3。

x0

x例10 lim

ee

sinx

x0

xsinx

sinx

(exsinx

1)

sinx

解：原式=lim

e

xsinx)

x0

xsinx

lim

e(x0

xsinx

1。

注：下面的解法是错误的： xsinx

原式=lim

(e1)(e

1)

lim

xsinx1x0

xsinx

x0

xsinx。

正如下面例题解法错误一样：lim

tanxsinx

x

lim

xx0x0

x0

x。

tan(x2

sin

1例11 lim

x)

x0

sinx

e

6。

解：当x0时，x2sin

1x

是无穷小，tan(xsin

1x)与xsin

1x

等价，xsin

所以，原式=lim

x0

xlimxsin10

。（最后一步用到定理2）

x0xx

6． 利用洛比达法则求极限

说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。例12 lim

1cosx3x

x0

（例4）

解：原式=lim

sinx6x

x0



。（最后一步用到了重要极限）

cos

例13 lim

x1

x

x1



sin

1x



。2

解：原式=lim

x1

例14 lim

xsinxx

x0

解：原式=lim

1cosx3x

x0

=lim

sinx6x

x0



。（连续用洛比达法则，最后用重要极限）

例15 lim解：

sinxxcosx

xsinx

x0

原式lim

lim

sinxxcosx

xxxsinx3x

x0

lim

cosx(cosxxsinx)

3x

x0

x0



3例18 lim[

x0

1x



1ln(1x)

]

1x

1x

解：错误解法：原式=lim[

x0



]0。

正确解法：

原式lim

ln(1x)xxln(1x)11x2x

1

x0

lim

x0

ln(1x)x

xx

lim

x0

lim

x2x(1x)

x0



12。

应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。例19 lim

x2sinx3xcosx

x

解：易见：该极限是“

00

”型，但用洛比达法则后得到：lim

12cosx3sinx

x，此极限

不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：

1

原式=lim

x

2sinx

x

（分子、分母同时除以x）cosxx

3

=

（利用定理1和定理2）

7． 利用极限存在准则求极限

例20 已知x1

2,xn1

2xn,(n1,2,)，求limxn

n

解：易证：数列{xn}单调递增，且有界（0<设

xn<2），由准则1极限limxn存在，n

limxna。对已知的递推公式 xn1

n

2xn两边求极限，得：

a所以

2a，解得：a2或a1（不合题意，舍去）

limxn2。n

1n1nnn

n

例21 lim(

1n2



1nn)

1nn

解： 易见：

n1



1n2



nn1

因为 limn

nnn

1，lim

nn1



n

1

1nn

所以由准则2得：lim（n

n1

n2

)1。

第五篇：个人所得税的计算方法(最简洁)

个人所得税的计算方法（最简洁）

我国个人所得税的特点是以个人为纳税主体，按分类所得设置税率，实行自行申报和 代扣代缴两种征税方法。随着社会各阶层个人收入的提高，个人所得税的税源增长显著，在沿海开放地区，个人所得税在地方税收中已占据相当大的比重。

一、工资、薪金所得应纳所得税额的计算工资、薪金所得应缴纳的个人所得税可以由纳税人直接缴纳，也可以由扣缴义务人扣 缴。从2011年9月1日起，它以纳税人每月取得的工资、薪金收入扣除费用3500元(或 4800元)后的余额为应税所得，根据七级超额累进税率，计算其应纳所得税额。例：某外商投资企业的中方财务经理2014年3月取得月薪收入5000元，取 得2013一次性奖金30000元。该经理3月份应缴纳的个人所得税计算如下：(1)3月份工资收入应纳个人所得税为：(5000-3500)x3% =45(元）(2)3月份取得的2013年终奖应纳个人所得税为：3_0 + 12 = 2500(元）先确定适用税率为10%，速算扣除数为105。30000 x 10%-105 = 2895(元）(3)3月份应缴个人所得税合计：45 +2895 =2940(元）

二、劳务报酬所得应纳所得税的计算劳务报酬所得个人所得税应纳税额的计算公式为：(1)每次收入不足4000元的：应纳税额=应纳税所得额x适用税率=(每次收入额-800)x 20%(2)每次收入在4000元以上的：应纳税额=应纳税所得额x适用税率==每次收入额x(120%)x适用税率-速算扣除数 值得注意的是，对劳务报酬所得一次收入畸高，即个人一次取得的应纳税所得额超过 20000?50000元部分，依税法规定计算应纳税额后再按照应纳税额加征五成，超过50000元的部分，加征十成。例：2013年8月歌星刘某应邀参加C公司庆典活动的演出。按照协议刘某 演出四场，每场出场费为15000元。刘某演出收入应纳个人所得税为：应税所得额=1500(^4父（1-20%)=48000(元）应纳税额=48000 x30%-2000 = 12400(元）

三、在中国境内无住所的个人未满一月工资薪金所得应纳税额的计算应纳税额=(当月工资薪金应纳税所得额*适用税率—速算扣除数）*（当月实际在中国天数/当月天数）如果外籍个人取得的是日工资薪金，应以日工资薪金乘以当月天数换算成月工资薪金 后，按上述公式计算应纳税额。例：—外籍个人担任我国境内一家外商投资企业财务总监，每月工资由该企 业支付15000元，由外方公司支付6000美元(折合人民币40000元），该个人20131月 至6月在我国境内工作，其余时间在境外履行职务。根据税法规定，其2013在我国的 纳税义务确定为：(1)由于其系企业的高层管理人员，因此，根据税法规定，该人员于2013年1月1日起 至6月30日止在华任职期间，由该企业支付的15000元工资薪金所得，应按月依照税法规 定的期限申报缴纳个人所得税。(2)由于其2013来华工作时间未超过183天，根据税收协定的规定，其由外方公 司支付的工资、薪金所得，在我国可免于申报纳税（如果该个人属于与我国未签订税收协定 国家的居民，则其由境外公司按每月6000美元标准支付的工资薪金，凡属于在我国境内 180天工作期间取得的部分，应与我国境内企业每月支付的15000元工资合并计算缴纳个 人所得税）。2013该人员应纳个人所得税为：(1)若该人员属于与我国签订税收协定国家的居民，则月薪应纳税所得额=15000-4800 = 10200(元）任职期间应纳税额=(10200x25%-1005)xl2 =18540(元）(2)若该人员属于与我国未签订税收协定国家的居民境内工作期间月薪应纳税所得额=(15000 +40000)-4800 =50200(元）境内工作期间应纳税额=(50200 x30%-2755)x6 +(50200 x30%-2755)x [1-40000 +(15000 +40000)] x6 =93965.45(元）

四、境外所得的已纳税款的扣除根据《个人所得税法》规定，纳税义务人从中国境外取得的所得，准予其在应纳税额中 扣除已在境外缴纳的个人所得税税款。但扣除额不得超过该纳税义务人境外所得依照我 国税法规定计算的应纳税额。

例:王某2013年1月至12月从中国境内取得工资、薪金收入66000元，从A 国取得特许权使用费收入8000元，已按A国税法规定缴纳了个人所得税1400元，则王某 2013年应申报缴纳个人所得税额为：(1)月工薪收入=66000 + 12 = 5500(元）(2)月应纳税额=(5500-3500)xlO%-105 =95(元(3)A国收入按我国税法规定计算的应纳税额(抵扣限额）= 8000x(l-20%)x20% =1280(元）该纳税人在A国实际缴纳的税款超出了抵扣限额，只能在抵扣限额内抵扣1280元。剩余部分可在以后5个纳税的A国扣除限额的余额中补扣。(4)应纳所得税额合计=95 x 12 = 1140(元）

五、个人独资企业和合伙企业投资者个人所得税的计算自2000年1月1日起，个人独资企业和合伙企业（以下简称企业）每一纳税的收 入总额减除成本、费用以及损失后的余额，作为投资者个人的生产经营所得，比照《个人所 得税法》的“个体工商户的生产、经营所得”应税项目，适用5%?35%的五级超额累进税率，计算征收个人所得税。个人独资企业的投资者以全部生产经营所得为纳税所得额;合伙企业的投资者按照合 伙企业的全部生产经营所得和合伙协议约定的分配比例确定应纳税所得额，合伙协议没有 约定分配比例的，以全部生产经营所得和合伙人数量平均计算每个投资者的应纳税所 得额。凡实行查账征税办法的，生产经营所得比照《个体工商户个人所得税计税办法》（国家 税务总局令第35号）的规定确定。(1)个体工商户实际支付给从业人员的、合理的工资薪金支出，准予扣除。个体工商户 业主的费用扣除标准，自2011年9月1日起，为4200元/年(3500元/月）。个体工商户业 主的工资薪金支出不得税前扣除。(2)个体工商户按照国务院有关主管部门或者省级人民政府规定的范围和标准为其业 主和从业人员缴纳的基本养老保险费、基本医疗保险费、失业保险费、生育保险费、工伤保 险费和住房公积金，准予扣除。个体工商户为从业人员缴纳的补充养老保险费、补充医疗保险费，分别在不超过从业 人员工资总额5%标准内的部分据实扣除;超过部分，不得扣除。个体工商户业主本人缴纳的补充养老保险费、补充医疗保险费，以当地（地级市）上年 度社会平均工资的3倍为计算基数，分别在不超过该计算基数5%标准内的部分据实扣除； 超过部分，不得扣除。(3)除个体工商户依照国家有关规定为特殊工种从业人员支付的人身安全保险费和财政部、国家税务总局规定可以扣除的其他商业保险费外，个体工商户业主本人或者为从业 人员支付的商业保险费，不得扣除。(4)个体工商户在生产经营活动中发生的合理的不需要资本化的借款费用，准予扣除。个体工商户为购置、建造固定资产、无形资产和经过12个月以上的建造才能达到预定可销售状态的存货发生借款的，在有关资产购置、建造期间发生的合理的借款费用，应当作 为资本性支出计入有关资产的成本，并依照本办法的规定扣除。(5)个体工商户在生产经营活动中发生的下列利息支出，准予扣除：向金融企业借款的 利息支出；向非金融企业和个人借款的利息支出，不超过按照金融企业同期同类贷款利率 计算的数额的部分。(6)个体工商户在货币交易中，以及纳税终了时将人民币以外的货币性资产、负债 按照期末即期人民币汇率中间价折算为人民币时产生的汇兑损失，除已经计入有关资产成本部分外，准予扣除。(7)个体工商户向当地工会组织拨缴的工会经费、实际发生的职工福利费支出、职工教 育经费支出分别在工资薪金总额的2%、14%、2.5%的标准内据实扣除。工资薪金总额是指允许在当期税前扣除的工资薪金支出数额。职工教育经费的实际发生数额超出规定比例当期不能扣除的数额，准予在以后纳税年 度结转扣除。个体工商户业主本人向当地工会组织缴纳的工会经费、实际发生的职工福利费支出、职工教育经费支出，以当地(地级市）上社会平均工资的3倍为计算基数，在本条第一 款规定比例内据实扣除。(8)个体工商户发生的与生产经营活动有关的业务招待费，按照实际发生额的60%扣 除，但最高不得超过当年销售（营业）收入的5%。业主自申请营业执照之日起至开始生产经营之日止所发生的业务招待费，按照实际发 生额的60%计入个体工商户的开办费。(9)个体工商户每一纳税发生的与其生产经营活动直接相关的广告费和业务宣传 费不超过当年销售（营业）收入15%的部分，可以据实扣除;超过部分，准予在以后纳税 结转扣除。(10)个体工商户代其从业人员或者他人负担的税款，不得税前扣除。(11)个体工商户按照规定缴纳的摊位费、行政性收费、协会会费等，按实际发生数额 扣除。(12)个体工商户根据生产经营活动的需要租入固定资产支付的租赁费，按照以下方法 扣除:以经营租赁方式租入固定资产发生的租赁费支出，按照租赁期限均匀扣除；以融资租 赁方式租入固定资产发生的租赁费支出，按照规定构成融资租入固定资产价值的部分应当 提取折旧费用，分期扣除。(13)个体工商户参加财产保险，按照规定缴纳的保险费，准予扣除。(14)个体工商户发生的合理的劳动保护支出，准予扣除。(15)个体工商户自申请营业执照之日起至开始生产经营之日止所发生符合本办法规 定的费用，除为取得固定资产、无形资产的支出，以及应计入资产价值的汇兑损益、利息支 出外，作为开办费，个体工商户可以选择在开始生产经营的当年一次性扣除，也可自生产经 营月份起在不短于3年期限内摊销扣除，但一经选定，不得改变。开始生产经营之日为个体工商户取得第一笔销售（营业）收人的日期。(16)个体工商户通过公益性社会团体或者县级以上人民政府及其部门，用于《中华人 民共和国公益事业捐赠法》规定的公益事业的捐赠，捐赠额不超过其应纳税所得额30%的 部分可以据实扣除。财政部、国家税务总局规定可以全额在税前扣除的捐赠支出项目，按有关规定执行。个体工商户直接对受益人的捐赠不得扣除。公益性社会团体的认定，按照财政部、国家税务总局、民政部有关规定执行。(17)个体工商户研究开发新产品、新技术、新工艺所发生的开发费用，以及研究开发新 产品、新技术而购置单台价值在10万元以下的测试仪器和试验性装置的购置费准予直接扣 除;单台价值在10万元以上（含10万元）的测试仪器和试验性装置，按固定资产管理，不得在当期直接扣除。有下列情形之一的，则采取核定征收方式征收个人所得税：(1)企业依照国家有关规定应当设置但未设置账簿的；(2)企业虽设置账簿，但账目混乱或者成本资料、收入凭证、费用凭证残缺不全，难以查 账的；(3)纳税人发生纳税义务，未按照规定期限办理纳税申报，经税务机关责令限期申报，逾期仍不申报的。实行核定应税所得率征收方式的，应纳所得税额的计算公式如下：应纳所得税额=应纳税所得额x适用税率 应纳税所得额=收入总额x应税所得率 或 =成本费用支出额+(1-应税所得率）x应税所得率。87.75%关心财税动态的年轻人，都在看「解税宝」。各大App商店搜索「解税宝」，新生代最新财税消息交流平台。