计算方法总结[本站推荐]

第一篇：计算方法总结[本站推荐]

第一章：基本概念

x1x2...xm.xm1xm2...xmn 1.xx1x2...xm.xm1xm2...xmnxmn1x若xx1mn及其以前的非零数字称为准确数字。准确到n位小数，x10n，称x2各位数字都准确的近似数称为有效数，各位准确数字称为有效数字。2.f(x)xl0.x1x2...xt

进制：，字长：t，阶码：l，可表示的总数：2(UL1)(1)t11 3.计算机数字表达式误差来源

实数到浮点数的转换，十进制到二进制的转换，结算结果溢出，大数吃小数。4.数据误差影响的估计：

yy1nnyy(x1,x2,...xn)(x1,x2,...xn)xixi xi，小条件数。

xiyxiy1解接近于零的都是病态问题，避免相近数相减。避免小除数大乘数。

5.算法的稳定性

若一个算法在计算过程中舍入误差能得到控制，或者舍入误差的积累不影响产生可靠的计算结果，称算法数值稳定。

第二章：解线性代数方程组的直接法

1.高斯消去法

步骤：消元过程与回代过程。

顺利进行的条件：系数矩阵A不为零；A是对称正定矩阵，A是严格对角占优矩阵。2.列主元高斯消去法

失真：小主元出现，出现小除数，转化为大系数，引起较大误差。解决：在消去过程的第K步，交换主元。还有行主元法，全主元法。3.三角分解法

杜立特尔分解即LU分解。

用于解方程AXbLUXbLYb；

UXY用于求ALULUUu11u22...unn。

克罗特分解：ALULDD1U(LD)(D1U)，下三角阵和单位上三角阵的乘积。将杜立特尔分解或克罗特分解应用于三对角方程，即为追赶法。

对称正定矩阵的乔列斯基分解，AGG，下三角阵及其转置矩阵的乘积；用于求解

TAXb的平方根法。

改进平方根法：利用矩阵的ALDL分解。4.舍入误差对解的影响

T向量范数定义： 常用的向量范数： 矩阵的范数： 常用的矩阵范数：

矩阵范数与向量范数的相容性： 影响：xxk1kAA(bA1其中cond(A)kAA，k值大，病态问题。)，bA第三章：插值法

1.定义

给定n+1个互不相同的点，xi及在xi处的函数值yi(i=0～n)，构造一个次数不超过n次的多

nx)。项式：Pn(x)a0a1xa1x2...a1xn，使满足Pn(xi)yi。取f(x)P(称Pn(x)为插值多项式，xi为插值节点，f(x)为被插函数。插值问题具有唯一性。

2.Lagrange插值多项式 表达式：

误差估计式：

3.Newton插值多项式 差商： 表达式： 误差表达式： 差商的性质：

1)差商与节点的次序无关； 2)K阶差商对应K阶导数； 3)4)5)

4.埃尔米特（带导数）插值多项式 1)Newton法，给定f及f(k)为数字；

2)Lagrange法，给定f及f(k)为表达式。

5.三次样条插值函数

分段三次插值多项式的定义：S(x)在子区间[xi-1,xi]上是三次多项式，S(xi)=yi，s’’(x)在[a,b]上连续。

三次样条插值函数的导出：

第四章：函数最优逼近法

1.最优平方逼近

对于广义多项式：P(x)c00(x)c11(x)c22(x)...cnn(x)，其中i(x)线性无关。要求：

若f(x)是表格函数，确定P(x)称为最小二乘拟合函数，当i(x)xi，P(x)为最小二乘多项式；若f(x)是连续函数，称P(x)为最优平方逼近函数。

2.函数的内积，范数定义及其性质 内积的定义：

性质：

范数的定义： 范数的性质：

正规方程组或法方程组：

3.正交多项式

正交函数系的定义：

代入正规方程组的系数矩阵，则： 几个正交多项式举例： 1)勒让德多项式

2)拉盖尔多项式

3)埃尔米特多项式

4)切比雪夫多项式

四种正交多项式均可用于高斯型求积公式；P多项式用于最优平方逼近，T多项式用于最优一致逼近。

正交多项式的性质：

1)正交多项式gk(x)线性无关，推论：Pk(x)(kn)与gn(x)正交。2)在区间[a,b]或[min(xi),max(xi)]上，n次正交多项式gn(x)有n个不同的零点。3)设gk(x)是最高次项系数为1的正交多项式，则：

4.最优一致逼近法

(1)切比雪夫多项式的性质 性质1：Tk(x)是[-1,1]上关于(x)11x2(T0,T0),(Tk,Tk)/2；的正交多项式，性质2：Tk1(x)2xTk(x)Tk1(x)； 性质3：Tk(x)是最高次项为2x的奇次项；

k1xk的k次多项式，T2k(x)只含x的偶次项，T2k1(x)只含

2i1,i0,1...k1； 2ki性质5：在[-1,1]上，Tk(x)1，且在k+1个极值点xicos,i0,1...k处Tk(x)依次取

k性质4：Tk(x)有k个不同的零点，xicos得最大值1和-1；

性质6：设Pn(x)是任意一个最高次项系数为1的n次多项式，则：

1x1maxPn(x)max1x111 Tn(x)n1n122(2)最优一致逼近法的定义

设函数f(x)在区间[a,b]连续，若n次多项式Pn(x)c00(x)c11(x)c22(x)...cnn(x)使PnfmaxPn(x)f(x)达到最小，则称Pn(x)为f(x)在[a,b]上的最优一致逼近axb函数。

切比雪夫定理：n次多项式P(x)成为函数y=f(x)在区间[a,b]上最优一致逼近多项式的充要条件是误差R(x)f(x)P(x)区间[a,b]上以正负或负正交替的符号依次取得在EmaxR(x)的点（偏差点）的个数不少于n+2。

axb采用如下方程组进行求解：

(3)近似最优一致逼近多项式 思路：

使用T多项式性质6 若区间是[-1,1]，取xi(i=0～n)为Tn+1的零点，则xicos(值多项式Pn(x)；

若区间是[a,b]，通过转换x方法1：由ticos(2i1),i0～n，以此构造插

2(n1)abbat,t[-1,1]； 222xab2i1代入Pn(t)，可),i0～n，构造Pn(t)，然后将tba2(n1)得Pn(x)。方法2：取xiabbaabba2i1ticos，i=0～n；构造Pn(x)。22222(n1)例：

(4)截断切比雪夫级数法

n(Tk,f)设f(x)在[-1,1]上连续，Sn(x)CkTk(x)，其中Ck；记Sn(x)CkTk(x)；

(Tk,Tk)k0k0n应用切比雪夫定理及性质5，取f(x)Sn(x)(5)缩短幂级数法

方法1： 方法2：

CT(x)。

kkk0第五章：数值微积分

第一节 牛顿柯特斯公式

bI(f)(x)f(x)dxa(x)1bf(x)dxF(b)F(a)

a一．数值算法 1.数值积分算法

对于复杂函数f(x)，考虑用其近似函数P(x)去逼近，用P(x)的积分值近似代替f(x)积分值。

2.插值型数值积分方法

对于拉格朗日插值多项式，广义积分中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，g(x)在[a,b]上部变号，则

a,b，使f(x)g(x)dxf()g(x)dx

aabb3.牛顿柯特斯公式 梯形公式： 辛普森公式：

二．复化求积公式 b1.I(f)f(x)dx，把[a,b]分成若干等长的小区间，在每个小区间用简单低次数值积分公a式，在将其得到的结果相加。2.复化梯形公式

3.复化辛普森公式

三．变步长的积分公式

1.先取一步长h进行计算，再取较小步长h*计算，若两次结果相差很大，则在取更小步长进行计算，依次进行，直到相邻两次计算结果相差很大，则取较小步长的结果为积分近似值。2.变步长复化梯形公式

3.变步长复化辛普森公式

四．龙贝格积分法

第二节 待定系数法

1.代数精度定义

对于近似公式I(f)Q(f)，如果f(x)是任意不超过m次的多项式，I(f)Q(f)成立，而对于某个m+1多项式，I(f)Q(f)，称代数精度为m次。2.判定方法

近似式的代数精度为m次

对f(x)1,x,...,xm，近似式精确成立，I(f)Q(f)，f(x)xm1时不成立，I(f)Q(f)。

梯形公式m=1，辛普森公式m=3。3.Peano定理

第三节 高斯型积分公式

一．定义

节点个数一定，具有最高阶代数精度公式的插值型积分公式称为Guass型求积公式。插值型积分公式定义：

定理：数值积分公式I(f)Q(f)至少有n次代数精度近似式是插值型积分公式。对于牛顿科特斯公式，若采用等距节点，n分别为奇数和偶数时，代数精度分别为n和n+1。

二．最高代数精度

定理：m2n1 So，给定n+1个节点，具有2n+1次代数精度的插值型数值积分公式称为Gauss型求积公式。三．Gauss型积分公式的构造方法 方法1：

代数精度为2n+1，则f(x)1,x,...,xm时成立，可解出Ai和xi。方法2：

定理：代数精度m2n1xi是[a,b]上关于(x)的正交多项式gn1(x)的零点(高斯点)，b其中Ai(x)l(x)dx。ia四．高斯型求积公式的误差

五．常用的高斯型求积公式 1.Gauss-Legendre求积公式 n=0 n=1

1f(x)dxAf(x)Q(f)，x是Pii1nin1(x)的n+1个零点。

i02.Gauss-Laguerre求积公式

xxe0xf(x)dxAif(xi)Q(f)

i0n0f(x)dxe(ef(x))dxexF(x)dx00x(at)ef(x)dxea0f(at)dxeateF(t)dt 03.Gauss-Hermite求积公式

ex2f(x)dxAif(xi)Q(f)

i0n14.Gauss-Chebyshev求积公式

1f(x)1x2dxn1i0f(cosn2i1)2n2第四节 数值微分

f'(x)limh0f(xh)f(x)，h大，不精确，h小，由于小除数引入大误差。

h近似函数法

取等节距节点，xix0ih,i0,1,...n(1)一阶导数，n=1，两个节点x0x1

(2)一阶导数，n=2，三个节点x0x1x2

(3)二阶导数，n=2，三个节点x0x1x2

实用误差估计

例：

第六章 非线性方程的迭代解法

第一节 方程求根法

根的定义：对于非线性方程组f(x)=0，若存在数使f()=0，称是非线性方程组f(x)=0的根。

零点存在定理：若f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，若f(a)f(b)<0，则必然存在[a,b]，使f()=0。

试探法，二分法。一．简单迭代法

初值x0，xk1(xk)，产生迭代序列xk。简单迭代收敛定理（压缩映像原理）

[,]，对于迭代函数(x)，若满足(1)若x[a,b],(x)[a,b]；(2)存在正数0

收敛速度(收敛阶)：若存在实数P和非零常数C，使得limkkxk1xkkC0，称迭代序列是P阶收敛。P=1，线性收敛；P>1，超线性收敛；P=2，平方收敛。定理：设是方程x(x)的根，如果迭代函数(x)满足'()''()...(P1)()0,(P)()0

xk1(xk)产生的迭代序列xk是P阶收敛。

二．牛顿迭代法

xk1xkf(xk)f'(xk)收敛性分析：牛顿迭代法具有局部收敛性，初值x0x，产生迭代序列收敛。收敛定理：设f(x)在[a,b]上二阶导数存在，若

f(a)f(b)0，f(x)在[a,b]上单调，f(x)在[a,b]上凹向不变（即f''(x)在区间上不变号），初值x0满足f(x0)f''(x0)0，则任意初值x0[a,b]，有牛顿迭代法产生的xk收敛于方程的唯一根。

简化牛顿法：xk1xk三．弦割法或割线法 用差商代替导数xk1xkf(xk)f(xk)f(xk)xk1xkxk1xkf'(xk)f'(x0)Cf(xk)

f(xk)f(xk1)xkxk1第二节 线性代数方程组迭代解法

Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法

SOR迭代法（xik1(1)xikxGSk1）opt迭代法的收敛性：

将迭代法用矩阵表示：ADEF，xk1Bxkg Jacobi迭代法： G-S迭代法： SOR迭代法：

0定理：xk1Bxkg，对x产生的迭代序列x211(Bj)2 收敛的充要条件是：

klimBk0或(B)1。

k推论1：若B1，则收敛；

推论2：SOR方法收敛的必要条件是02；

推论3：设A是严格对角占优矩阵，则Jacobi，G-S，01的SOR方法收敛；

推论4：1)设A是对称正定矩阵，则G-S方法收敛；2)设A是对称正定矩阵，若2D-A也对称正定，则Jacobi方法收敛；若2D-A不对称正定，则Jacobi方法不收敛；3)设A是对称正定矩阵，02，则SOR方法收敛。

第三节 非线性方程组的迭代解法

x k1kkkx[f'(x)]1f(x)

第七章 矩阵特征值和特征向量

矩阵A主特征值——模最大的特征值取为主特征值。对n个互不相同的特征值

123...n，对应特征向量123…n；

kk任意向量z0c11c22...cnn zAZ0 limzkc11k1，zk是对应A的1的特征向量，k(zk1)i1(zk)i

规范乘幂法

ykAzk1，yk按模取最大分量maxykmk，zklimzk10，10是1的规范化向量；limmk1。

kkyk。mk加速法（原点位移法）ykApIzk1

第八章 常微分方程数值解法的导出

y'(x)f(x,y(x))y(a)y0一． 数值微分法

欧拉公式：yi1yihf(xi,yi)后退欧拉公式：yi1yihf(xi1,yi1)终点法：yi1yi12hf(xi,yi)

h2局部截断误差：y(xi1)yiy''()

2二． 数值积分法

hyi1yi[f(xi,yi)f(xi1,yi1)]

2预估yi1yihf(xi,yi)，校正yi1yi

三．

四． 泰勒展示法

h[f(xi,yi)f(xi1,yi1)] 2线性多步法

第二篇：计算方法总结

1.何为有根区间

给定一个方程f(x)=0,如果f(x)在[a,b]上连续，又f(a).f(b)<0,则由连续函数的性质知，方程f(x)=0在（a,b）内至少有一个实根。这时我们称区间[a,b]为方程f(x)=0有根区间 2.寻找方程的有根区间的常用方法是什么 1.作图法 2.逐步搜索法

3.作图法寻找有根区间适用于哪种情况

函数f(x)比较简单时适用

4.对于已知方程，如何利用逐步搜索法在区间内寻找有根区间

从X0=a出发，按照事先选择的步长h=(b-a)/N(N为正整数)，逐点计算Xk==a+kh处的函数值f(Xk)与f(Xk+1)的值异号时，那么[Xk,Xk+1]就是方程f(x)=0的一个有根区间 5.逐步搜索法在计算机上实现方便。

6.对于给定的n次代数方程，如何确定根模的上下界

（1）若a=max{|a1|,|a2|,….,|an|},则方程的根的绝对值小于a+1；

（2）若b=(1/|an|)max{1,|a1|,|a2|,….,|an-1|},则方程的根的绝对值大于1/(1+b).7.步长h的选择，对于逐步搜索法有何影响

当步长h越小时，找出的有根区间越小，这时以区间内的某个值作为根的近似值就越精确。但h越小，计算量越大 8.二分法求解方程的根有和优点，有何缺点

优点是算法简单，而且收敛性总能得到保证，缺点是收敛速度慢。

9.艾特金迭代法与二分法相比，计算收敛速度快，节省时间，并且能求出某些发散的迭代过程的根。10.牛顿法的优点是什么，缺点是什么

优点是收敛速度快，节省计算量，误差累积少。

缺点是在计算时它要用到f（x）的导数，当f（x）比较复杂时，计算其导数花费时间多。11.弦截法的优点是什么，它与牛顿法相比，收敛速度与计算速度如何

优点是不必计算f'(x),收敛速度也相当快,但比牛顿法慢。从计算速度来看，弦截法比牛顿法快。

12.弦截法的基本思想是什么（结合图示说明），如何选取弦截法中的不动点

1准备2迭代3控制4迭代准备 13.何为阶收敛，收敛速度与的大小有何关系

收敛速度的大小与收敛阶数有关系，收敛阶数越大，收敛速度越快。14.哪一类问题称为插值问题

由实验或测量得到了某一函数y=f(x)在n+1个点x0,x1,....,xn处的值y0,y1,...yn,需要构造一个简单函数p(x)作为函数y=f(x)的近似表达式

Y=f(x)约等于p(x),使得p(xi)=f(xi)=yi(i=0,1,2,...n),这类问题称为插值问题

15.常用的插值算法有哪几种，各有什么优缺点

一拉格朗日插值 线性插值2二次插值3n次拉格朗日插值多项式（区间大时误差也较大）

二分段插值1分段线性插值2分段二次插值（优点是公式简单，计算量小，有较好的收敛性和稳定性，并且可以避免计算机上作高次乘幂时常遇到的上溢和下溢的困难。）

三差商与牛顿插值公式（不需要增加插值接点，不浪费）

四差分与等距节点差值公式（进一步简化插值公式，计算也方便）五三次样条差值（既能保证曲线连续，又能保证光滑性要求）

16.线性插值的几何意义是什么（结合图形进行说明）

线性插值的几何意义是利用通过两点的直线去近似代替曲线。

17.线性拉格朗日插值的截断误差限与什么量有关, 是什么关系

与x 在[a,b]时，f''(x)绝对值的最大值有关系

|R1|<=[M1|(x-x0)(x-x1)]/2 18.二次拉格朗日插值的截断误差限与什么量有关, 有什么关系

P93与x在[x0,x2]时，f'''(x)对值的最大值有关系，|R2(x)|<=M2(x-x0)(x-x1)(x-x2)/6

19.通过n+1个互异节点且满足插值条件的插值多项式是唯一的

20.线性插值或二次插值优缺点：简单方便，计算量小。缺点是精度较低；

21.当低次插值的精度不够时，应该适当缩小插值区间的长度来提高精度； 22.高次插值优缺点：插值精度高，缺点是数值不稳定；

25.分段插值优缺点：公式简单，计算量小，且有较好的收敛性和稳定性，并可避免计算机上作高次乘幂时常遇到的上溢和下溢的困难.缺点是不能保证曲线在连接点处的光滑性。

26.应用低次插值进行分段插值时，应尽可能地在插值点的邻近选取插值节点。

27.拉格朗日插值多项式与牛顿插值公式相比而言，拉格朗日插值多项式有何缺点，牛顿插值公式有何优点？

用拉格朗日插值多项式计算函数值时，当精度不满足要求而需要增加插值节点时，原来的插值多项式就不能使用了，必须重新构造一个，将造成很大浪费。而牛插可以增加新的节点，原来的计算结果仍可利用。28.何为差商，给定个互异测试点,如何计算各阶差商

函数值与自变量的差商就是差商，一阶差商(或记作f[x0，x1])；

二阶差商29.差商的对称性

差商与插值节点顺序无关

(或记作f[x0，x1，x2])

30.牛顿向前插值公式和牛顿向后插值公式有什么关系，有什么不同点

“牛前插”适用于计算x0附近的函数值，“牛后插”适用于计算函数表末端附近的函数值。31.为何要提出样条插值，它克服了其它插值方法的何种缺点，它具有什么优点

在整个插值区间上做高次插值多项式，曲线光滑，但计算量繁重，误差积累大，稳定性差。分段低次插值可避免这些缺点，但各段连接点处只能保证曲线连续，而不能保证光滑性要求。样条插值其插值曲线不仅连续而且处处光滑。

32.曲线拟合解决了插值中的什么问题。拟合与插值有什么不同点

可以部分抵消原来数据组中所包含的测量误差。P115 33.何为最小二乘曲线拟合法

用(x)拟合数据(xk，yk)(k＝1，2，„，n)，使得误差的平方和

为最小，求(x)的方法，称为最小二乘法。

第三篇：计算方法公式总结

计算方法公式总结

绪论

exx，x为准确值，x为近似值。绝对误差绝对误差限

r|e||xx|，ε为正数，称为绝对误差限

xxe表示相对误差 通常用exxrxxe相对误差e*xxr相对误差限|er|r或|e|r 有效数字

一元函数y=f（x）

'e(y)f(x)e(x)绝对误差e(y)f(x)'e(x)xf'(x)e(y)er(x)相对误差ryyf(x)二元函数y=f（x1,x2）绝对误差 f(x1,x2)f(x1,x2)e(y)dx1dx2

x1x2f(x1,x2)x1f(x1,x2)x2e(y)er(x1)er(x2)相对误差rx1yx2y

机器数系

注：1.β≥2，且通常取2、4、6、8 2.n为计算机字长

3.指数p称为阶码（指数），有固定上下限L、U 4.尾数部 s0.a1a2an，定位部p

n112(1)(UL1)5.机器数个数机器数误差限

1np舍入绝对 |xfl(x)|截断绝对|x2fl(x)|np

|xfl(x)||xfl(x)|11n1n舍入相对截断相对

|x||x|2

秦九韶算法

方程求根

f(x)(xx)mg(x)，g(x)0，x*为f（x）=0的m重根。

二分法

迭代法

f(x)0xk1(xk)

k=0、1、2……

**lim{x}x(x){xk}为迭代序列，(x)为迭代函数，kk

局部收敛

注：如果知道近似值，可以用近似值代替根应用定理3判断是否局部收敛

牛顿迭代法

f(x)f(xk)f(xk)(xxk)0

f(xk)xk1xk'(k0,1,2,)f(xk)注：牛顿迭代对单根重根均局部收敛，只要初值足够靠近真值。

'

牛顿迭代法对初值要求很高，要保证初值在较大范围内也收敛，加如下四个条件

注：证明牛顿迭代法大范围收敛性，要构造一个区间[ε,M(ε)],其中f()M()',在这个区间内验证这四个条件。

f()

如果知道根的位置，构造[ε，M（ε）]时应该包括根，即ε+常数

线性方程组求解

有两种方法：消去法和迭代法

高斯消去法 利用线性代数中初等行变换将增广矩阵转化为等价上三角矩阵。

注意：第一行第一列为0，将第一列不为0的某一行与第一行交换位置，继续初等行变换。对角占优矩阵

a11aA21an1na12a22an2a1na2n ann则称A为按行严格对角占优矩阵 |aii||aij|(i1,2,,n)j1jin|ajj||aij|(j1,2,,n)i1ij则称A为按列严格对角占优矩阵

aijaji(i1,jn)xR,x0,(x,Ax)0

则称A是对称正定的。

当A是上面三种情况时，用高斯消去法消元时追赶法是高斯消元法的一种特例

nakk0，不用换行。

列主元高斯消元法

|aik|，即第k次消元把k~n行第k列绝对值当|ask|maxkin最大的行（s行）调到第k行，再进行高斯消元。(k)(k)

迭代序列构造

AxbxBxfx第三个等式为迭代序列，B为迭代矩阵。迭代收敛判别

1.充分条件：迭代矩阵范数小于1，B1

结论：Ax=b有唯一解x*

(k1)Bx(k)f

2.充要条件：迭代矩阵谱半径小于1,(B)1 Jacobi迭代法

ALDU其中L（low）为下三角，U为上三角，D为对角线元素

迭代格式：x(k1)D(LU)x(k)D1b

1

迭代矩阵JD(LU)

1收敛性判据：

|IJ|0|D||LDU|0|LDU|0

求出最大值小于1（J的谱半径小于1）即迭代格式收敛.1Gauss-Seidel迭代法

迭代格式

x(k1)D(Lx1(k1)Ux(k)b)

(k)x(k1)(DL)Ux11(DL)1b

迭代矩阵：G(DL)U

常数矩阵：g(DL)1b



收敛性判据：

|IG|0|(DL)||(DL)U|0|(DL)U|0

求出最大值小于1（G的谱半径小于1）即迭代格式收敛.结论：当A是严格对角占优的，则Jacobi和Gauss-Seidal迭代法均是收敛的

1插值法

用插值多项式p（x）代替被插函数f(x)

nP(x)aaxax插值多项式：，01nn+1个点P(xi)yi(i0n)

插值区间：[a,b]，插值点满足

ax0x1xnb

求插值多项式P（x），即求多项式系数的过程为插值法

带入可知求系数的插值点行列式为范德蒙行列式，不为0，有唯一解。即n+1插值条件对应的不超过n次的插值函数P（x）只有一个。一次线性插值nxx0xx1Py0y1y0l0(x)y1l1(x)1(x)x0x1x1x0(xxi)lk(x)i0(xx)(xkxi)ikki

ni0iki0ikn(xxi)Lagrange插值多项式

Ln(x)yklk(x)k0k0 nnxxi()yki0xxiikkn插值余项

非插值节点上Lagrange插值多项式为被插函数f(x)的近似值

f(n1)()nRn(x)f(x)Ln(x)(xxi)(n1)!i0(a,b)

带导数插值条件的余项估计

注：推导过程用罗尔中值定理构造辅助函数

(t)Rn(t)K(x)Wn1(t)

第二条性质用于可以证明阶数不大于n的f(x)的插值余项为0.差商和Newton插值法

记忆方法：先记分母，最后一个减去第一个，对应的分子第一项是最后一个临近k元素的差商，第二项是第一个临近k个元素的差商。

牛顿插值多项式

通常记作Nn（x）分段样条插值

分段二次样条插值

讨论n为奇偶情况时的三个点 余项估计式

三次样条插值函数

第一类边界条件（端点一阶导数已知）

D0等于第一个式子，dn等于第二个式子

自然边界条件（端点二阶导数已知二阶导数和M0，Mn=0）

曲线拟合

最小二乘原理

函数关于n个点线性无关

23n1,x,x,x,,x注：线性无关的函数为才是最小二乘多项式

注：记住公式即可。

数值积分和数值微分

xk为求积节点，Ak为求积系数。

插值求积公式

梯形公式

Simpson公式

Cotes公式

截断误差

代数精度

当f(x)为不超过m次多项式时上式成立，f（x）为m+1多项式时上式不成立。则称为求积公式有m次代数精度。

梯形公式代数精度为1，Simpson公式代数精度为3，Cotes公式代数精度为5

截断误差 梯形公式

Simpson公式

Cotes公式

Gauss求积公式

求积公式代数精度为2n+1 [-1,1]上的两点Gauss公式（3次代数精度）

111f(x)dxf(3)f(3)1[-1,1]上的三点Gauss公式（5次代数精度）

538531f(x)dx9f(5)9f(0)9f(5)1

记住 xktk，AkAk的关系，tkAk查表即可

复化梯形公式2阶，复化Simpson公式4阶，复化Cote公式6阶

计算机通过不断把区间二分，所得前后两次积分差值满足精度条件即可

1|I2n(f)In(f)|时 给定精度ε，p211|I(f)I2n(f)|p|I2n(f)In(f)|21因而可以取I2n(f)为I(f)的近似值。

梯形

Simpson数值微分

数值微分截断误差

中点公式：

f(x0h)f(x0h)D(h) 2h常微分方程数值解法

Euler方法

欧拉公式（单步显式公式）求出的近似解

局部截断误差

Euler公式的局部截断误差（一阶精度）

后退Euler公式

梯形公式(二阶精度)

改进Euler公式（二阶精度）

截断误差（推导要求掌握，利用梯形和Euler公式的截断误差）

第四篇：水环境容量计算方法总结

1、中国地表水水环境容量研究过程中产生的五大类计算方法: 公式法、模型试错法、系统最优化法(线性规划法和随机规划法)、概率稀释模型法和未确知数学法

2、水环境容量软件：WASP、Delft 3D 等大型综合模型软件

3、王华东和夏青［5］将环境容量定义为: 相对于某种环境标准，某环境单元所容许承纳的污染物的最大数量，同时认为环境容量是一个变量，且由基本环境容量(差值容量)和变动环境容量(同化容量)两部分组成，基本环境容量指拟定的环境标准与环境本底值之差，变动环境容量指该环境单元的自净能力。

4、水环境容量=稀释容量+自净容量+迁移容量表

5、公式法

6、模型试错法 在河流的第一个区段的上断面投入大量的污染物，使该处水质达到水质标准的上限，则投入的污染物的量即为这一河段的环境容量;由于河水的流动和降解作用，当污染物流到下一控制断面时，污染物浓度已有所降低，在低于水质标准的某一水平(视降解程度而定)时又可以向水中投入一定的污染物，而不超出水质标准，这部分污染物的量可认为是第二个河段的环境容量;依此类推，最后将各河段容量求和即为总的环境容量

7、环境科学中所采用的系统最优化方法有线性规划、非线性规划、动态规划及随机规划等

8、概率稀释模型法方法的基本思路如下: ① 基于特定的基本假定，建立污染物与水体混合均匀后下游浓度的概率稀释模型;② 利用矩量近似解法求解控制断面在一定控制浓度下的达标率;③利用数值积分求解水体在控制断面不同控制浓度、不同达标率下的水环境容量。9、10、粒子群算法众多变种中的RPSM［21］方法11、12、三角模糊数/盲数理论

13、

第五篇：钢筋工程量计算方法总结

钢筋工程量计算方法总结

以下是我对钢筋计算的一些小总结，对应图型可以参照相应图集，不正之处请各位高手指出。钢筋算量基本方法小结

一、梁

（1）框架梁

一、首跨钢筋的计算

1、上部贯通筋

上部贯通筋（上通长筋1）长度＝通跨净跨长＋首尾端支座锚固值

2、端支座负筋

端支座负筋长度：第一排为Ln/3＋端支座锚固值；

第二排为Ln/4＋端支座锚固值

3、下部钢筋

下部钢筋长度＝净跨长＋左右支座锚固值

以上三类钢筋中均涉及到支座锚固问题，那么总结一下以上三类钢筋的支座锚固判断问题： 支座宽≥Lae且≥0.5Hc＋5d，为直锚，取Max{Lae，0.5Hc＋5d }。

钢筋的端支座锚固值＝支座宽≤Lae或≤0.5Hc＋5d，为弯锚，取Max{Lae，支座宽度-保护层+15d }。

钢筋的中间支座锚固值＝Max{Lae，0.5Hc＋5d }

4、腰筋

构造钢筋：构造钢筋长度＝净跨长＋2×15d 抗扭钢筋：算法同贯通钢筋

5、拉筋

拉筋长度＝（梁宽－2×保护层）＋2×11.9d（抗震弯钩值）＋2d 拉筋根数：如果我们没有在平法输入中给定拉筋的布筋间距，那么拉筋的根数＝（箍筋根数/2）×（构造筋根数/2）；如果给定了拉筋的布筋间距，那么拉筋的根数＝布筋长度/布筋间距。

6、箍筋

箍筋长度＝（梁宽－2×保护层＋梁高-2×保护层）*2＋2×11.9d＋8d 箍筋根数＝（加密区长度/加密区间距+1）×2＋（非加密区长度/非加密区间距－1）+1 注意：因为构件扣减保护层时，都是扣至纵筋的外皮，那么，我们可以发现，拉筋和箍筋在每个保护层处均被多扣掉了直径值；并且我们在预算中计算钢筋长度时，都是按照外皮计算的，所以软件自动会将多扣掉的长度在补充回来，由此，拉筋计算时增加了2d，箍筋计算时增加了8d。

7、吊筋

吊筋长度＝2*锚固（20d）+2*斜段长度+次梁宽度+2*50，其中框梁高度>800mm 夹角=60°

≤800mm 夹角=45°

二、中间跨钢筋的计算

1、中间支座负筋

中间支座负筋：第一排为：Ln/3＋中间支座值＋Ln/3； 第二排为：Ln/4＋中间支座值＋Ln/4 注意：当中间跨两端的支座负筋延伸长度之和≥该跨的净跨长时，其钢筋长度： 第一排为：该跨净跨长＋（Ln/3＋前中间支座值）＋（Ln/3＋后中间支座值）； 第二排为：该跨净跨长＋（Ln/4＋前中间支座值）＋（Ln/4＋后中间支座值）。其他钢筋计算同首跨钢筋计算。LN为支座两边跨较大值。

二、其他梁

一、非框架梁

在03G101-1中，对于非框架梁的配筋简单的解释，与框架梁钢筋处理的不同之处在于：

1、普通梁箍筋设置时不再区分加密区与非加密区的问题；

2、下部纵筋锚入支座只需12d；

3、上部纵筋锚入支座，不再考虑0.5Hc＋5d的判断值。未尽解释请参考03G101-1说明。

二、框支梁

1、框支梁的支座负筋的延伸长度为Ln/3；

2、下部纵筋端支座锚固值处理同框架梁；

3、上部纵筋中第一排主筋端支座锚固长度＝支座宽度－保护层＋梁高－保护层＋Lae，第二排主筋锚固长度≥Lae；

4、梁中部筋伸至梁端部水平直锚，再横向弯折15d；

5、箍筋的加密范围为≥0.2Ln1≥1.5hb；

7、侧面构造钢筋与抗扭钢筋处理与框架梁一致。

二、剪力墙

在钢筋工程量计算中剪力墙是最难计算的构件，具体体现在：

1、剪力墙包括墙身、墙梁、墙柱、洞口，必须要整考虑它们的关系；

2、剪力墙在平面上有直角、丁字角、十字角、斜交角等各种转角形式；

3、剪力墙在立面上有各种洞口；

4、墙身钢筋可能有单排、双排、多排，且可能每排钢筋不同；

5、墙柱有各种箍筋组合；

6、连梁要区分顶层与中间层，依据洞口的位置不同还有不同的计算方法。（1）剪力墙墙身

一、剪力墙墙身水平钢筋

1、墙端为暗柱时

A、外侧钢筋连续通过 外侧钢筋长度＝墙长-保护层 内侧钢筋＝墙长-保护层+弯折

B、外侧钢筋不连续通过 外侧钢筋长度＝墙长-保护层+0.65Lae 内侧钢筋长度＝墙长-保护层+弯折

水平钢筋根数＝层高/间距+1（暗梁、连梁墙身水平筋照设）

2、墙端为端柱时

A、外侧钢筋连续通过 外侧钢筋长度＝墙长-保护层

内侧钢筋＝墙净长＋锚固长度（弯锚、直锚）B、外侧钢筋不连续通过 外侧钢筋长度＝墙长-保护层+0.65Lae 内侧钢筋长度＝墙净长＋锚固长度（弯锚、直锚）水平钢筋根数＝层高/间距+1（暗梁、连梁墙身水平筋照设）

注意：如果剪力墙存在多排垂直筋和水平钢筋时，其中间水平钢筋在拐角处的锚固措施同该墙的内侧水平筋的锚固构造。

3、剪力墙墙身有洞口时

当剪力墙墙身有洞口时，墙身水平筋在洞口左右两边截断，分别向下弯折15d。

二、剪力墙墙身竖向钢筋

1、首层墙身纵筋长度＝基础插筋＋首层层高＋伸入上层的搭接长度

2、中间层墙身纵筋长度＝本层层高＋伸入上层的搭接长度

3、顶层墙身纵筋长度＝层净高＋顶层锚固长度

墙身竖向钢筋根数＝墙净长/间距+1（墙身竖向钢筋从暗柱、端柱边50mm开始布置）

4、剪力墙墙身有洞口时，墙身竖向筋在洞口上下两边截断，分别横向弯折15d。

三、墙身拉筋

1、长度＝墙厚-保护层+弯钩（弯钩长度＝11.9+2*D）

2、根数＝墙净面积/拉筋的布置面积

注：墙净面积是指要扣除暗（端）柱、暗（连）梁，即墙面积-门洞总面积-暗柱剖面积-暗梁面积；拉筋的面筋面积是指其横向间距×竖向间距。例：(8000*3840)/(600*600)

（二）剪力墙墙柱

一、纵筋

1、首层墙柱纵筋长度＝基础插筋＋首层层高＋伸入上层的搭接长度

2、中间层墙柱纵筋长度＝本层层高＋伸入上层的搭接长度

3、顶层墙柱纵筋长度＝层净高＋顶层锚固长度

注意：如果是端柱，顶层锚固要区分边、中、角柱，要区分外侧钢筋和内侧钢筋。因为端柱可以看作是框架柱，所以其锚固也同框架柱相同。

二、箍筋：依据设计图纸自由组合计算。

（三）剪力墙墙梁

一、连梁

1、受力主筋

顶层连梁主筋长度＝洞口宽度＋左右两边锚固值LaE 中间层连梁纵筋长度＝洞口宽度＋左右两边锚固值LaE

2、箍筋

顶层连梁，纵筋长度范围内均布置箍筋 即N=((LaE-100)/150+1)*2+（洞口宽-50*2）/间距+1（顶层）

中间层连梁，洞口范围内布置箍筋，洞口两边再各加一根 即N=（洞口宽-50*2）/间距+1（中间层）

二、暗梁

1、主筋长度＝暗梁净长＋锚固

三、柱

（一）、基础层

一、柱主筋

基础插筋＝基础底板厚度-保护层+伸入上层的钢筋长度＋Max{10D,200mm}

二、基础内箍筋

基础内箍筋的作用仅起一个稳固作用，也可以说是防止钢筋在浇注时受到挠动。一般是按2根进行计算（软件中是按三根）。

（二）、中间层

一、柱纵筋

1、KZ中间层的纵向钢筋＝层高-当前层伸出地面的高度+上一层伸出楼地面的高度

二、柱箍筋

1、KZ中间层的箍筋根数＝N个加密区/加密区间距+N+非加密区/非加密区间距－1 03G101-1中，关于柱箍筋的加密区的规定如下

1）首层柱箍筋的加密区有三个，分别为：下部的箍筋加密区长度取Hn/3；上部取Max{500，柱长边尺寸，Hn/6}；梁节点范围内加密；如果该柱采用绑扎搭接，那么搭接范围内同时需要加密。2）首层以上柱箍筋分别为：上、下部的箍筋加密区长度均取Max{500，柱长边尺寸，Hn/6}；梁节点范围内加密；如果该柱采用绑扎搭接，那么搭接范围内同时需要加密。

（三）、顶层

顶层KZ因其所处位置不同，分为角柱、边柱和中柱，也因此各种柱纵筋的顶层锚固各不相同。（参看03G101－1第37、38页）

一、角柱

角柱顶层纵筋长度：

一、内筋

a、内侧钢筋锚固长度为 ：

弯锚（≦Lae）：梁高－保护层＋12d 直锚（≧Lae）：梁高－保护层

二、外筋

b、外侧钢筋锚固长度为 外侧钢筋锚固长度＝Max{1.5Lae，梁高－保护层＋柱宽－保护层} 寺寺地地地地地地地地地地柱顶部第一层：≧梁高－保护层＋柱宽－保护层＋8d（保证65%伸入梁内）柱顶部第二层：≧梁高－保护层＋柱宽－保护层

注意：在GGJ V8.1中，内侧钢筋锚固长度为 弯锚（≦Lae）：梁高－保护层＋12d直锚（≧Lae）：梁高－保护层外侧钢筋锚固长度＝Max{1.5Lae，梁高－保护层＋柱宽－保护层}

二、边柱

边柱顶层纵筋长度＝层净高Hn＋顶层钢筋锚固值，那么边柱顶层钢筋锚固值是如何考虑的呢？ 边柱顶层纵筋的锚固分为内侧钢筋锚固和外侧钢筋锚固：

a、内侧钢筋锚固长度为 弯锚（≦Lae）：梁高－保护层＋12d直锚（≧Lae）：梁高－保护层 b、外侧钢筋锚固长度为：≧1.5Lae 注意：在GGJ V8.1中，内侧钢筋锚固长度为 弯锚（≦Lae）：梁高－保护层＋12d 直锚（≧Lae）：梁高－保护层 外侧钢筋锚固长度＝Max{1.5Lae，梁高－保护层＋柱宽－保护层}

三、中柱

中柱顶层纵筋长度＝层净高Hn＋顶层钢筋锚固值，那么中柱顶层钢筋锚固值是如何考虑的呢？ 中柱顶层纵筋的锚固长度为 弯锚（≦Lae）：梁高－保护层＋12d 直锚（≧Lae）：梁高－保护层

注意：在GGJ V8.1中，处理同上。

四、板

在实际工程中，我们知道板分为预制板和现浇板，这里主要分析现浇板的布筋情况。

板筋主要有：受力筋(单向或双向，单层或双层)、支座负筋、分布筋、附加钢筋(角部附加放射筋、洞口附加钢筋)、撑脚钢筋(双层钢筋时支撑上下层)。

一、受力筋

软件中，受力筋的长度是依据轴网计算的。

受力筋长度=轴线尺寸+左锚固+右锚固+两端弯钩（如果是Ⅰ级筋）。根数＝（轴线长度-扣减值）/布筋间距＋1

二、负筋及分布筋

负筋长度=负筋长度+左弯折+右弯折

负筋根数＝（布筋范围-扣减值）/布筋间距＋1 分布筋长度=负筋布置范围长度-负筋扣减值

负筋分布筋根数=负筋输入界面中负筋的长度/分布筋间距+1

三、附加钢筋(角部附加放射筋、洞口附加钢筋)、支撑钢筋(双层钢筋时支撑上下层)根据实际情况直接计算钢筋的长度、根数即可，在软件中可以利用直接输入法输入计算。第五章 常见问题

为什么钢筋计算中，135o弯钩我们在软件中计算为11.9d？

我们软件中箍筋计算时取的11.9D实际上是弯钩加上量度差值的结果，我们知道弯钩平直段长度是10D，那么量度差值应该是1.9D，下面我们推导一下1.9D这个量度差值的来历：

按照外皮计算的结果是1000+300；如果按照中心线计算那么是：1000-D/2-d+135/360*3.14*（D/2+d/2）*2+300,这里D取的是规范规定的最小半径2.5d，此时用后面的式子减前面的式子的结果是：1.87d≈1.9d。不同厚度的墙体 砖的用量和砂浆用量是不同的。

砂浆净用量（m3/m3）=1-单块砖体积（m3/块）*砖净用量 砂浆实际用量（砂浆消耗量）=砂浆净用量*（1+损耗率）

以常见240厚的标准砖墙来讲： 1m3砖墙 砖的净用量=529.1 砂浆的损耗率按1%取定

你自己计算下 砂浆的用量是不是0.225立方

补充：用量与砂浆标号无关