常用力学公式总结

第一篇：常用力学公式总结

1、胡克定律： F = Kx(x为伸长量或压缩量,K为倔强系

数，只与弹簧的原长、粗细和材料有关)

2、重力： G = mg(g随高度、纬度而变化)

力矩：M=FL(L为力臂，是转动轴到力的作用线的垂直距离）

5、摩擦力的公式：

(1)滑动摩擦力： f=μN

说明 ： a、N为接触面间的弹力，可以大于G；也可以等于G;也可以小于G 为滑动摩擦系数，只与接触面材料和粗糙程度有关，与接触面b、积大小、接触面相对运动快慢以及正压力N无关.(2)静摩擦力： 由物体的平衡条件或牛顿第二定律求解,与正压力无关.fm(fm为最大静摩擦力，与正压力有关) f静大小范围： O 说明：

a、摩擦力可以与运动方向相同，也可以与运动方向相反，还可以与

运动方向成一 定 夹角。

b、摩擦力可以作正功，也可以作负功，还可以不作功。

c、摩擦力的方向与物体间相对运动的方向或相对运动趋势的方向相反。

d、静止的物体可以受滑动摩擦力的作用，运动的物体可以受静摩擦力的作用。

Vg(注意单位）

6、浮力： F=

7、万有引力： F=GmM/r²

(1)． 适用条件(2)．G为万有引力恒量

(3)．在天体上的应用：（M一天体质量 R一天体半径 g一天体表面重力

加速度）

a、万有引力=向心力

G

b、在地球表面附近，重力=万有引力

mg=GmM/r² c、第一宇宙速度

mg = m V=

8、库仑力：F=K(适用条件)

9、电场力：F=qE(F 与电场强度的方向可以相同，也可以相反)

10、磁场力：（1）洛仑兹力：磁场对运动电荷的作用力。

V)方向一左手定公式：f=BqV(B（2）安培力 ： 磁场对电流的作用力。

I）方向一左手定则公式：F= BIL（B

Fy = m ayFx = m ax 

11、牛顿第二定律： F合 = ma 或者

理解：（1）矢量性（2）瞬时性（3）独立性（4）同一性

12、匀变速直线运动：

基本规律： Vt = V0 + a t S = vo t + a t2 几个重要推论：

(1)Vt2 － V02 = 2as（匀加速直线运动：a为正值 匀减速直线运动：a为正值）

(2)A B段中间时刻的即时速度: Vt/ 2 = = A S a t B

(3)AB段位移中点的即时速度: Vs/2 =

匀速：Vt/2 =Vs/2;匀加速或匀减速直线运动：Vt/2

(4)初速为零的匀加速直线运动,在1s、2s、3s¬……ns内的位移之比为12：22:32

……n2；在第1s 内、第 2s内、第3s内……第ns内的位移之比为1：3：5……(2n-1);在第1米内、第2米内、第3米内……第n米内的时间之比为1： ：

……（(5)初速无论是否为零,匀变速直线运动的质点,在连续相邻的相等的时间间隔内的位

s = aT2(a一匀变速直线运动的加速度 T一每个时间间隔的时间)移之差为一常数：

13、竖直上抛运动： 上升过程是匀减速直线运动，下落过程是匀加速直线运动。全过程

g的匀减速直线运动。是初速度为VO、加速度为

（1）上升最大高度： H =(2)上升的时间： t=

(3)上升、下落经过同一位置时的加速度相同，而速度等值反向(4)上升、下落经过同一段位移的时间相等。

（5）从抛出到落回原位置的时间：t =

（6）适用全过程的公式： S = Vo t 一 g t2 Vt = Vo一g t Vt2 一Vo2 = 一2 gS（S、Vt的正、负号的理解）

14、匀速圆周运动公式

=R=2 f R= 角速度：线速度: V=

向心加速度：a = 2 f2 R

向心力： F= ma = m 2 R= m m4 n2 R

注意：（1）匀速圆周运动的物体的向心力就是物体所受的合外力，总是指向圆心。

（2）卫星绕地球、行星绕太阳作匀速圆周运动的向心力由万有引力提供。

（3）氢原子核外电子绕原子核作匀速圆周运动的向心力由原子核对核外电子的库仑力提供。直线运动公式：匀速直线运动和初速度为零的匀加速直线运动的合运动

水平分运动： 水平位移： x= vo t 水平分速度：vx = vo

 Vo =Vyctg = Vy = Votg竖直分运动： 竖直位移： y = g t2 竖直分速度：vy= g t tg

y Vo Vy = VsinV = Vo = Vcos

vo七个物理量中，如果 x)在Vo、Vy、V、X、y、t、已知其中任意两个，可根据以上公式求出其它五个物理量。vy v 16 动量和冲量： 动量： P = mV 冲量：I = F t 动量定理： 物体所受合外力的冲量等于它的动量的变化。

公式： F合t = mv’ 一mv(解题时受力分析和正方向的规定是关键)动量守恒定律：相互作用的物体系统，如果不受外力，或它们所受的外力之和为零，它们的总动量保持不变。（研究对象：相互作用的两个物体或多个物体）

p2=Op1 +p2 或p1 =一公式：m1v1 + m2v2 = m1 v1‘+ m2v2’或

适用条件：

（1）系统不受外力作用。（2）系统受外力作用，但合外力为零。

（3）系统受外力作用，合外力也不为零，但合外力远小于物体间的相互作用力。

（4）系统在某一个方向的合外力为零，在这个方向的动量守恒。(适用于恒力的功的计算）18 功 ： W = Fs cos（1）理解正功、零功、负功

（2）功是能量转化的量度

重力的功------量度------重力势能的变化

电场力的功-----量度------电势能的变化

分子力的功-----量度------分子势能的变化

合外力的功------量度-------动能的变化动能和势能： 动能： Ek =

重力势能：Ep = mgh(与零势能面的选择有关)动能定理：外力对物体所做的总功等于物体动能的变化（增量）。

Ek = Ek2 一Ek1 = 21 机械能守恒定律：机械能 = 动能+重力势能+弹性势能公式： W合=

条件：系统只有内部的重力或弹力做功.Ek增Ep减 = 公式： mgh1 + 或者功率： P =(在t时间内力对物体做功的平均功率）

P = FV(F为牵引力，不是合外力；V为即时速度时，P为即时功

率；V为平均速度时，P为平均功率； P一定时，F与V成正比）简谐振动： 回复力： F = 一KX 加速度：a = 一

单摆周期公式： T= 2(与摆球质量、振幅无关）

弹簧振子周期公式：T= 2(与振子质量有关、与振幅无关）

24、波长、波速、频率的关系： V=γf =(适用于一切波)

第二篇：高三物理力学公式

高中物理与实际生活联系紧密，力学是高中物理探索的重中之重，然而高中物理又有许多常用的力学公式，下面给大家分享一些关于高三物理力学公式大全，希望对大家有所帮助。

高三物理力学公式大全

1.牛顿第一运动定律(惯性定律)：物体具有惯性，总保持匀速直线运动状态或静止状态,直到有外力迫使它改变这种状态为止

2.牛顿第二运动定律：F合=ma或a=F合/ma{由合外力决定,与合外力方向一致}

3.牛顿第三运动定律：F=-F′{负号表示方向相反,F、F′各自作用在对方，平衡力与作用力反作用力区别，实际应用：反冲运动}

4.共点力的平衡：F合=0，推广 {正交分解法、三力汇交原理｝

5.超重：FN>G，失重：FN

6.牛顿运动定律的适用条件：适用于解决低速运动问题，适用于宏观物体，不适用于处理高速问题，不适用于微观粒子。

注:平衡状态是指物体处于静止或匀速直线状态,或者是匀速转动。

7.同一直线上力的合成同向:F=F1+F2，反向：F=F1-F2(F1>F2)

8.互成角度力的合成：

F=(F12+F22+2F1F2cosα)1/2(余弦定理)F1⊥F2时:F=(F12+F22)1/2

9.合力大小范围：|F1-F2|≤F≤|F1+F2|

10.力的正交分解：Fx=Fcosβ，Fy=Fsinβ(β为合力与x轴之间的夹角tgβ=Fy/Fx)

注：(1)力(矢量)的合成与分解遵循平行四边形定则;

(2)合力与分力的关系是等效替代关系,可用合力替代分力的共同作用,反之也成立;

(3)除公式法外，也可用作图法求解,此时要选择标度,严格作图;

(4)F1与F2的值一定时,F1与F2的夹角(α角)越大，合力越小;

(5)同一直线上力的合成，可沿直线取正方向，用正负号表示力的方向，化简为代数运算。

11.重力：G=mg(方向竖直向下，g=9.8m/s2≈10m/s2，作用点在重心，适用于地球表面附近)

12.胡克定律：F=kx {方向沿恢复形变方向，k：劲度系数(N/m)，x：形变量(m)｝

13.滑动摩擦力：F=μFN {与物体相对运动方向相反，μ：摩擦因数，FN：正压力(N)｝

14.静摩擦力：0≤f静≤fm(与物体相对运动趋势方向相反，fm为最大静摩擦力)

15.万有引力：F=Gm1m2/r2(G=6.67×10-11N m2/kg2,方向在它们的连线上)

16.静电力：F=kQ1Q2/r2(k=9.0×109N m2/C2,方向在它们的连线上)

17.电场力：F=Eq(E：场强N/C，q：电量C，正电荷受的电场力与场强方向相同)

18.安培力：F=BILsinθ(θ为B与L的夹角，当L⊥B时:F=BIL，B//L时:F=0)

19.洛仑兹力：f=qVBsinθ(θ为B与V的夹角，当V⊥B时：f=qVB，V//B时:f=0)

注:(1)劲度系数k由弹簧自身决定;

(2)摩擦因数μ与压力大小及接触面积大小无关，由接触面材料特性与表面状况等决定;

(3)fm略大于μFN，一般视为fm≈μFN;

(4)其它相关内容：静摩擦力(大小、方向)〔见第一册P8〕;

(5)物理量符号及单位B：磁感强度(T)，L：有效长度(m)，I:电流强度(A)，V：带电粒子速度(m/s),q:带电粒子(带电体)电量(C);

(6)安培力与洛仑兹力方向均用左手定则判定。

10.开普勒第三定律：T2/R3=K(=4π2/GM){R:轨道半径，T:周期，K:常量(与行星质量无关，取决于中心天体的质量)｝

21.万有引力定律：F=Gm1m2/r2(G=6.67×10-11N m2/kg2，方向在它们的连线上)

22.天体上的重力和重力加速度：GMm/R2=mg;g=GM/R2 {R:天体半径(m)，M：天体质量(kg)｝

23.卫星绕行速度、角速度、周期：V=(GM/r)1/2;ω=(GM/r3)1/2;T=2π(r3/GM)1/2{M：中心天体质量｝

24.第一(二、三)宇宙速度：V1=(g地r地)1/2=(GM/r地)1/2=7.9km/s;V2=11.2km/s;V3=16.7km/s

25.地球同步卫星：GMm/(r地+h)2=m4π2(r地+h)/T2{h≈36000km，h:距地球表面的高度，r地:地球的半径｝

注:(1)天体运动所需的向心力由万有引力提供,F向=F万;

(2)应用万有引力定律可估算天体的质量密度等;

(3)地球同步卫星只能运行于赤道上空，运行周期和地球自转周期相同;

(4)卫星轨道半径变小时,势能变小、动能变大、速度变大、周期变小(一同三反);

(5)地球卫星的最大环绕速度和最小发射速度均为7.9km/s。

如何提高物理成绩

1.首先是高中最常见的，又最百变的传送带问题。最为一名过来人，这类题目无非就是考能否保持静止，停在哪个位置，位移多少，路程多少?或者有时会跟追击问题联系起来，两个运动相反的物体，能否在传送带上相遇?对于这类问题，最重要的就是分析运动过程。不要被大批大批的文字题目吓到了。不要心急，慢慢来，不要弄错了摩擦系数，摩擦力。

2.再就是匀加速运动或是自由落体运动的相关问题。首先不要被题目坑了，尤其是大题，没说重力加速度是10就不要自己为是，有时候还会告诉你是9.8，所以要注意小细节，否则一分没有。这类题目一般都有几个不同的加速度。所以还是要分析过程。最好能列个草表，把每个阶段的运动性质，加速度，初速度，末速度列出来，这样方便分析。

3.对于学习选修3-5的同学而言，还有一个选修的大题，一般是动量动能守恒，一般的题目背景就是射子弹，撞击，扔货物等等。记住基本的动量守恒公式是非常重要的。以及动量动能守恒式的联立的两个解的公式(老师应该都会补充的)。记住动量守恒、动能守恒的分别适用条件。不过一般出的题目都是动能守恒的，至于动量守不守恒就要靠自己判断的。

4.再次就是圆周运动，这类知识点选择题，实验题，计算题都会考到，我个人认为这类题比较简单，因为只有那么几个公式。背下了就好了。

5.对于天体运动的问题，考点还是比较多变的。有许多条条框框，比如，什么时候可以用万有引力定律，什么时候不考虑万有引力之类的。常考点就是卫星发射，变轨，人造卫星等问题。这些就需要记住三个宇宙速度以及适用条件。开普勒第三定律也是很重要的。

什么方法可以提高物理成绩

1.虽然很老土，但预习真的很重要，对于我来说，预习最大的作用不是提前学习将要学习的知识，而是给自己带来自信。学习物理自信是不可或缺的，当预习过后，上课的时候我们就能更轻易地理解知识，当看到其他同学一头雾水而自己却明白的时候，自信也就会油然而生。自信可以提高做题速度，不会纠结于一两个小问题。总的来说，我认为自信十分重要。

2.关于上课听课方面，我认为物理课不必全堂课都认认真真去听，听重点就可以了，既然已经预习了，上新课可以说是和复习没什么不同，但是重点难点还是听一遍要好，恰当休息大脑，对学习更有好处，我也是这样做的，物理成绩也一直名列前茅。所以我不相信老师家长那些古板的理论。但是不同的人有不同的学习方法，这点只是建议，大家可以自己寻找适合自己的上课方式。

3.接着说一下做题方面，物理题目应该要多做，也就是题海战术吧，但是还是要恰当分配时间的，高中作业往往都做不完。作业实在太多的话，应该选择放弃选择题，完成计算题更好。但是对于一部分选择题不好但计算题还行的同学，还是建议多做选择为妙。

4.理解公式和概念，物理是理科科目，死记硬背是不行的，理解才是硬道理。要学会联系生活，举一反三，把知识点相互联系起来可以提高解题的效率。

第三篇：物理力学总结

1、力的定义

定义：力是物体对物体的作用

说明：定义中的“作用”是推、拉、提、吊、压等具体动作的抽象概括

2、力的概念

发生力时，一定有两个（或两个以上）的物体存在，也就是说，没有物体就不会有力的作用（力的物质性）

当一个物体受到力的作用时，一定有另一个物体对它施加了力，受力的物体叫受力物体，施力的物体叫施力物体。所以没有施力物体或没有受力物体的力是不存在的。（力的相互性）相互接触的物体间不一定发生力的作用，没有接触的物体之间也不一定没有力“接触与否”不能成为判断是否发生力的依据。物体间力的作用是相互的。

施力物体和受力物体的作用是相互的，这一对力总是同时产生，同时消失。

施力物体、受力物体是相对的，当研究对象改变时，施力物体和受力物体也就改变了

3、力的作用效果——由此可判定是否有力存在（1）可使物体的运动状态发生改变。

注：运动状态的改变包括运动快慢改变或运动的方向改变。（2）可使物体的形状与大小发生改变。（形变）

4、力的单位

国际单位制中，力的单位是牛顿，简称牛，用符号N来表示。1N大小相当于拿起2个鸡蛋的力。

5、力的测量

工具：测力计，实验室中常用的测力计是弹簧秤 弹簧秤的原理：弹簧受到的拉力越大，弹簧伸长就越长

6、弹簧秤的正确使用

观察弹簧秤的量程、分度值和指针是否指在零刻线上 读数时，视线、指针和刻度线应在同一水平面 被测力的方向应与弹簧伸长的方向一致

7、力的三要素

力的大小、方向、作用点叫力的三要素，都能影响力的作用效果

8、力的图示：用一根带箭头的线段把力的三要素表示出来

9、力的图示的作图方法

（1）画出受力物体：一般可以用一个正方形或长方形代表，球形可用圆圈表示。（2）确定作用点：作用点画在受力物体上，且画在受力物体和施力物体的接触面的中点，如受力物体和施力物体不接触或同一物体上受二个以上的力，作用点画在受力物体的几何中心。

（3）确定标度：如用1厘米线段长代表多少牛顿。

（4）画线段：从力的作用点起，按所定标度沿力的方向画一条直线，用来表示力的大小（5）标出力的方向：在线段的末尾画上箭头（含在线段内），表示力的方向（6）将所图示的力的符号和数值标在箭头的附近

10、力的示意图

某些情况下，只需要定性地描述物体的受力情况，不需要精确地表示出力的大小，则可以画力的示意图。

11、重力的概念

定义：地面附近物体由于地球吸引而受到的力叫重力（符号：G）

理解：①重力的施力物体是地球，它的受力物体是地面附近的一切物体。②重力的大小与物体的质量有关。

12、重力的三要素 大小：G = mg 方向：总是竖直向下（垂直水平面向下）

作用点：重力的作用点在物体的重心上。其中形状规则，质量分布均匀物体的重心在它的几何中心

13、摩擦的种类

滑动摩擦、滚动摩擦、静摩擦 滚动摩擦力远小于滑动摩擦力

14、滑动摩擦力的影响因素

①与物体间的压力有关 ②与接触面的粗糙程度有关

与物体的运行速度、接触面的大小等无关

15、增大有益摩擦，减小有害摩擦的方法

增大有益摩擦：①增加物体间的压力 ②增大接触面的粗糙程度

减小有害摩擦：①减小物体间的压力 ②减小接触面的粗糙程度

16、合力的概念

合力：如果一个力产生的效果跟两个力共同作用产生的效果相同，这个力就叫做那两个力的合力

理解：①合力的概念是建立在“等效”的基础上，也就是合力“取代了分力，因此合力不是作用在物体上的另外一个力，它只不过是替了原来作用的两个力，不要误认为物体同时还受到合力的作用。②两个力合成的条件是这两个力须同时作用在一个物体上，否则求合力无意义。

17、力的合成

已知几个力的大小和方向，求合力的大小和方向叫做力的合成

（1）当两个力方向相同是时，其合力的大小等于这两个力之和；方向与两力的方向相同 数学表述：F合 =F1 + F2（2）当两下力方向相反时，其合力的大小等于这两个力之差，方向为较大力的方向 数学表述：F合 = F1-F2（其中：F1 > F2）

九、力与运动

1、平衡力

平衡力：物体在两个力的作用下能保持静止或匀速直线运动状态，则称这两个力是一对平衡力，或叫作二力平衡

平衡力的条件（或特点）：同体、等值、反向、共线

其中是否作用于同一物体是两个力是一对平衡力还是一对相互作用力的关键

2、牛顿第一定律

内容：一切物体在没有受到外力作用时，总保持静止或匀速直线运动状态 ①静止的物体在不受外力作用时总保持静止状态

②运动的物体在不受外力作用时总保持匀速直线运动状态（2）牛顿第一定律是理想定律（3）物体不受力，一定处于静止或匀速直线运动状态，但处于静止或匀速直线运动状态的物体不一定不受力

3、惯性

惯性：物体保持原有的运动状态不变的性质叫做惯性

①惯性是物体的固有属性，一切物体在任何情况下都具有惯性

② 惯性的大小只与物体的质量有关，而与物体是否运动、运动的快慢、是否受外力等都没有关系

③惯性不是“力”，叙述时，不要说成“物体在惯性的作用下”或“受到惯性的作用”等说法

十、压强

1、压力

压力：垂直作用在物体表面上的力叫做压力，压力的方向与被压物体的表面垂直

注：压力与重力①重力可以产生压力，但压力并不都是由重力产生的②压力方向总是与被压物体的表面垂直，而重力的方向始终是竖直向下③压力的施力物体可以是各种物体，而重力的施力物体肯定是地球

2、压强

（1）用来描述压力作用效果的物理量（2）定义：物体单位面积上受到的压力

（3）公式：p＝F/S 该式对固体、气体、液体压强都适用 ①S指的是物体的受力面积。

②对于放在水平面上的柱形物体，当其不受外力时，可以依据密度和高度来比较不同物体对支持面产生压强的大小。P＝ρgh（4）单位：帕斯卡（Pa）（5）增大压强与减小压强的方法 压强的改变方法原理

利用公式：p＝F/S 该式对固体、气体、液体压强都适用

增大压强与减小压强的方法

增大压强的方法：

若受力面积S不变,压力F变大,压强P也变大.若压力F不变,受力面积S变小,压强P也变大.减小压强的方法：

若受力面积S不变,压力F变小,压强P也变小.若压力F不变,受力面积S变大,压强P也变小.3、液体压强

（1）液体内部压强的特点：①液体内部向各个方向都有压强②压强随深度的增加而增大③同一液体的同一深度向各个方向的压强相等（2）液体压强的产生原因：液体受到重力（3）计算公式：p＝ρgh

该式只适用与液体内部的压强计算式中ρ是指液体的密度，h是指研究点到自由液面的竖直高度

（4）测量工具：压强计

（5）应用：连通器（船闸、牲畜自动喂水器等）

连通器原理：静止在连通器内的同种液体，各个与大气直接相接触的液面总是相平的

4、气体压强

（1）大气压强产生的原因：大气受到重力

（2）验证大气压存在的实验―――马德堡半球实验、覆杯实验、吞蛋实验等（3）大气压的测定――――托里拆利实验 1atm＝1.013×105Pa＝76cmHg＝10.34mH2O ①判断管内是否混有空气的方法：将玻管倾斜看水银能否充满全管

②玻璃管内水银柱的高度与外界的大气压强有关，与管的粗细、插入水银中的深度、是否倾斜都没有关系

（4）大气压的影响因素①与高度有关②与气候有关 大气压的测量工具：气压计（水银气压计与无液气压计）

（5）气体压强与体积的关系：在温度不变的条件下，一定质量的气体，体积减小，压强增大

（6）液体压强与流速的关系：流体在流速大的地方压强较小，在流速小的地方压强较大

十一、浮力

1、浮力产生的原因：物体受到液体或气体对其向上与向下的压力差产生的

2、阿基米德原理

① 内容：浸在液体或气体中的物体要受到液体或气体对它竖直向上的浮力，浮力的大小等于物体排开液体或气体的重

② 公式:F浮＝G排＝m排g＝ρ液gV排

(1)浮力的大小只与物体所排开液体的体积及液体的密度有关，而与物体所在的深度无关。(2)如果物体只有一部分浸在液体中，它所受的浮力的大小也等于被物体排开的液体的重量。(3)阿基米德定律不仅适用于液体，也适用于气体。物体在气体中所受到的浮力大小，等于被物体排开的气体的重量。

当液体密度不变时，物体排开液体的体积越大，浮力越大。当物体排开的液体体积不变时，液体密度越大，浮力越大。当液体密度和排开液体体积的乘积越大，浮力越大。反之，就越小．

浮力的大小只与物体所排开液体的体积及液体的密度有关，与物体的密度无关，与物体的体积无关，（物体漂浮时一半在水面上，一半在水下．只有浸没时，物体排开液体的体积才等于物体的体积）与物体所在的深度无关。

3、物体的浮沉条件

上浮：F浮>G 悬浮：F浮＝G 下沉：F浮

①ρ物<ρ液，上浮 ②ρ物＝ρ液，悬浮 ③ρ物>ρ液，下沉

4、物体浮沉条件的应用

潜水艇是通过改变自身的重来实现浮沉的；热气球是通过改变自身的体积来实现浮沉的；密度计的工作原理是物体的漂浮条件，其刻度特点是上小下大，上疏下密。

5、有关浮力问题的解题思路

浮力问题是力学的重点和难点。解决浮力问题时，要按照下列步骤进行：(1)确定研究对象。一般情况下选择浸在液体中的物体为研究对象。

(2)分析物体受到的外力。主要是重力G（mg或ρ物gV物）、浮力F浮（ρ液gV排）、拉力、支持力、压力等。

(3)判定物体的运动状态。明确物体上浮、下沉、悬浮、漂浮等。

(4)写出各力的关系方程和由题目给出的辅助方程。如体积间的关系，质量密度之间的关系等。

(5)将上述方程联立求解。通常情况下，浮力问题用方程组解较为简便。（6）对所得结果进行分析讨论。

第四篇：弹性力学总结

弹性力学关于应力变分法问题

一、起源及发展

1687年，Newton在《自然哲学的数学原理》中提出第一个变分问题——定轴转动阻力最小的旋转曲面形状问题； 1696年，Bernoulli提出了著名的最速降线问题；到18世纪，经过Euler，Lagrange等人的努力，逐渐形成变分法。古典变分法的基本内容是确定泛函的极值和极值点，它为许多数学、物理、科技、工程问题提供了强有力地数学工具。现代理论证明，微分方程（组）中的变分法是把微分方程（组）化归为其对应泛函的临界点（即化为变分问题），以证明其解的存在性及解的个数。讨论对应泛函临界点的存在性及其个数的基本方法是Morse理论与极小极大理论（Minimax Theory）。变分法有着深刻的物理背景，某种意义上，自然界一切物质运动均可以用某种形式的数理方程表示，一般数理方程又与一定的泛函相对应，所以一切物质运动规律都遵从“变分原理”。

由于弹性力学变分解法，实质上就是数学中的变分法应用于解弹性力学问题，虽然在讨论的近似解法中使用变分计算均甚简单（类似微分），但“变分”的概念却极为重要，它关系到我们队一系列力学变分原理中“虚”的概念的建立与理解。以下，就应力变分法进行讨论。

二、定义及应用

（1）、应力变分方程

设有任一弹性体，在外力的作用下处于平衡。命ij为实际存在的应变分量，它们满足平衡微分方程和应力边界条件，也满足相容方程，其相应的位移还满足位移边界条件。现在，假想体力和应变边界条件上给定的面力不变而应力分量发生了微小的改变ij，即所谓虚应力或应力的变分，使应力分量成为ijij

假定他们只满足平衡微分方程和应力边界条件。

既然两组应力分量都满足同样体力和面力作用下的平衡微分方程和应力边界条件，应力分量的变化必然满足无体力时的平衡微分方程。即

xxyzx0,xyz

（a）yyzxy0,yzxzzxyz0。zxy在位移给定的边界上，应力分量的变分必然伴随着面力分量的变分fx、fy、f。z

根据应力边界条件的要求，应力分量的变分在边界上必须满足

lxmxynzxmynlf,yzxyy

（b）

nzlm。fzxyzzxf,则应变余能的变分应为

VCvcdxdydz(vcxxvcyz)dxdydz。

vvcvx，cy，cz

xzyvcvvyz，czx，cxy

zxyzxy将上式代入，得

VC(xx再将几何方程代入，得

yzyz)dxdydz。

wv()yzyzuVC[xx]dxdydz。

根据分部积分和奥—高公式，对上式右边进行处理：

uxdxdydzluxdSu(x)dxdydz, xx最后可得

Vc[u(lxmxynzx)]dS[u(xxyzx)xyz]dxdydz。

再将（a）、（b）代入，即得

Vc=(ufyfwz)f。d

S

xv这就是所谓应力变分方程，有的文献把它叫做卡斯蒂利亚诺变分方程。最小余能原理：

Vc(ufxvfywfz)dS0。

上式也可以改写为：

[Vc(ufxvfywfz)dS]0。

（2）、应力变分法

由推到出的应力变分方程，使其满足平衡方程和应力边界条件，但其中包含若干待定系数，然后根据应力变分方程解决这些系数，应力分量一般可设为：

ijij0Amijmm

（c）

其中Am是互不依赖的m个系数，ij0 是满足平衡微分方程和应力边界条件的设定函数，ijm是满足“没有体力和面力作用时的平衡微分方程和应力边界条件”的设定函数。这样，不论系数A m如何取值，ij0总能满足平衡微分方程和应力边界条件。

注意：应力的变分只是由系数Am的变分来实现。

如果在弹性体的每一部分边界上，不是面力被给定，便是位移等于零，则应力变分方程 得vc0，即： Vc0

（d）Am

应变余能Vc是Am的二次函数，因而方程（d）将是Am的一次方程。这样的方程共有m个，恰好可以用来求解系数，Am从而由表达式（c）求得应力分

量。

如果在某一部分边界上，位移是给定的，但并不等于零，则在这一部分边界上须直接应用变分方程（11-18），即

Vc(ufxvfywfz)dS。在这里，u、v、w是已知的，积分只包括该部分边界，面力的变分与应力的变分两者之间的关系即：

fxlxmxynzx,fymynyzlxy,fznzlxzmyz。

带入方程的右边积分后，将得出如下的结果：

(ufxvfywfz)dSBmAm。m

其中Bm是常数，另一方面，我们有：

U*Vc=Am。mAm 因而得：

VcBm。(m1,2,)Am

这将仍然是Am的一次方程而且总共有m个，仍然可以用来求解系数Am，从而由表达式（c）求得应力。

（3）、应力函数方法

由于应力分量的数量有点多，确定起来较为困难，通常用应力函数方法。在平面应力问题中，如果体力分量为常数，则存在应力函数。将应力函数设为：

0Ammm,其中Am为互不依赖的m个系数。这样就只需使0给出的应力分量满足实

际的应力边界条件，并使m给出的应力分量满足无面力时的应力边界条件。

在平面应力问题中，有zyzzx0，而且x、y、xy不随坐标z而变。在z方向取一个单位厚度，则用应力分量表示的应变余能表达式为

Vc1[x2y22xy2(1)xy2]dxdy。

2E1+2[(1)(x2y2)2xy2xy]dxdy。

2E对于平面应变问题，Vc如果所考虑的弹性体是单连体，体力为常量，应力分量x、y、xy应当与可以取=0，于是平面应力情况下的表达式和平面应力情况下的表达无关，式都简化为

Vc1(x2y22xy2)dxdy。2E即得用应力函数表示应变余能的表达式

122222Vc[(2fxx)(2fyy)2()]dxdy。2Eyxxy在应力边界问题中，因为面力不能有变分，Vc0。应为应力分量以及应变余能的变分是通过系数Am的变分来实现的，所以上式归结为

Vc0 Am将将应力函数表达式代入，即得

2222[(2fxx)()(fyy)()yAmy2x2Amx2

222()]dxdy0,xyAmxy(m1,2,)

可以用来决定系数Am，从而确定应力函数，再由应力函数求得应力分量。

由于是近似解，应力分量不能精确满足相容条件，由应力分量求得的应变分量也不能精确满足变形协调条件，不能根据几何方程求得位移分量。

应力函数法的要点是要找到满足全部边界条件的应力函数，二这种函数一般任然难以找到，尤其在边界不规整的情况下。所以应力方法的应用在这一点上受到极大的限制。

（4）、典型例题：

例1：设有宽度为2a，高度为b的矩形薄板，左右两边和下边被固定约束，上边的位移被给定为u0应力分量。

解：取坐标系底部为x轴，对称轴为y轴，则该问题是一个轴对称问题——及约束情况，几何形状以及所受的外来因素都对称于某个坐标轴。本题中，对称轴显然是y轴。这样，位移u,v关于y轴对称。

首先考察位移u：

薄板左右两边：(u)xa0（说明u中含有(x2a2)项或(a2x2)项）

薄板下边：(u)y00（说明u中含有（y-0)项）

薄板上边：(u)yb0（说明u中含有（y-b)项或(b-y)项）

所以u所以表达成：uA1(a2x2)y(by)（这里m=1,即取一个系数A1）

由此可得u,v的表达式为：

x2v(12)，不计体力。试求薄版的位移分量和

ax2xyyuA1(12)(1)aaaa  22xyxyyv(12)B1(12)(1)ababb(u)xz0可以满足位移边界条件：

(v)xa0(v)y00(v)ybx2(12)a

(u)y00(u)yb0由于u是x的奇函数，v是x的偶函数，对称条件满足。

xx3yy2此外，由（i）得：u1(3)(2)aabbx2yy2v1(12)(2)

abb即UEab(A1B12vA1B1)

2(1v2)由UUfu1ds,fv1ds

xyA1B1UUq1ab,q2ab A1B1Eab(2A12vB1)q1ab22(1v)Eab(2B12vA1)q2ab22(1v)q1vq2qvq1,B12EEq1vq2q2vq1 ux,vyEEA1例2：已知悬臂梁，抗弯刚度为EI，求最大挠度值。

解：设w(a2x2a3x3)满足固定端的边界条件。

LxFwx00,w'x00

2在不考虑剪切效应时，直杆弯曲的应变能为，1lM2(x)1d2wudxEIdx 202EI2dx下面用最小势能原理来确定参数，u1M(x)EIdx(2a26a3)dx002EI2vFwxLF(a2L2a3L3)ll2EIl23EtUV(2a6a)dxF(aLaL)23230222

由最小势能原理

Et0Et1l24(2a6a)dxFL0230a22EIEt1l312(2a6a)dxFL0230a22EI

三、总结与思考

所谓弹性力学的变分解法就是基于力学能量原理求解弹性力学的变分方法，这种方法从其本质而言，是要把原来在给定的边界条件下求解的微分方程组的问题变为泛函求极值的问题，而在求问题的近似解时，泛函的极值问题又可变成函数的极值问题，因而最终把问题归结为求解线性代数方程组。

变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄力克雷原理。

应力变分法在力学领域内同样拥有很高的地位，这正说明了力学在学术界的重要地位，通过应力变分法地学习，许多难题将更容易得到解答，所以，在以后的学习生活中，我们将不会停止对力学的探究和学习，相信力学对我们的影响将是巨大的。

参考文献：【1】弹性力学 第四版 徐芝纶 高等教育出版社

【2】弹性力学复习解题指导致 王俊民 同济大学

【3】弹性力学理论概要与典型题解 王光钦 西南交通大学出版社

【4】弹性力学内容精要与典型题解 刘章军 水利水电出版社

第五篇：弹塑性力学总结(精华)

（一）弹塑性力学绪论：

1、定义：是固体力学的一个重要分支学科，是研究可变形固体受到外荷载或温度变化等因素的影响而发生的应力、应变和位移及其分布规律的一门科学，是研究固体在受载过程中产生的弹性变形和塑性变形阶段这两个紧密相连的变形阶段力学响应的一门科学。

2、研究对象：也是固体，是不受几何尺寸与形态限制的能适应各种工程技术问题需求的物体。

3、分析问题的基本思路：受力分析及静力平衡条件(力的分析)；变形分析及几何相容条件

(几何分析)；力与变形间的本构关系(物理分析)。

4、研究问题的基本方法：以受力物体内某一点（单元体）为研究对象→单元体的受力—应力理论；单元体的变形——变形几何理论；单元体受力与变形间的关系——本构理论；（特点：

1、涉及数学理论较复杂，并以其理论与解法的严密性和普遍适用性为特点；弹塑性力学的工程解答一般认为是精确的；可对初等力学理论解答的精确度和可靠进行度量。）

5、基本假设：物理假设:（连续性假设：假定物质充满了物体所占有的全部空间，不留下任何空隙；均匀性与各向同性的假设：假定物体内部各处，以及每一点处各个方向上的物理性质相同。力学模型的简化假设：（A）完全弹性假设 ；（B）弹塑性假设）。几何假设——小变形条件（假定物体在受力以后，体内的位移和变形是微小的，即体内各点位移都远远小于物体的原始尺寸，而且应变(包括线应变与角应变)均远远小于1。在弹塑性体产生变形后建立平衡方程时，可以不考虑因变形而引起的力作用线方向的改变；在研究问题的过程中可以略去相关的二次及二次以上的高阶微量；从而使得平衡条件与几何变形条件线性化。）

6、解题方法（1）静力平衡条件分析；（2）几何变形协调条件分析；（3）物理条件分析。从而获得三类基本方程，联立求解，再满足具体问题的边界条件，即可使静不定问题得到解决

7、应力的概念: 受力物体内某点某截面上内力的分布集度=limFnAAOdFndAn=limFnAAOdFndAnt。正应力，剪应力，必须指明两点：是哪

xx一点的应力；是该点哪个微截面的应力。

7、应力的表示及符号规则：xx、xy、x：第一个字母表明该应力作用截面的外法线方向同哪一个坐标轴相平行，第二个字母表明该应力的指向同哪个坐标轴相平行。

8、三维空间应力圆：