《高等数学.同济五版》讲稿WORD版-第09章 重积分

第一篇：《高等数学.同济五版》讲稿WORD版-第09章 重积分

高等数学教案

§9 重积分

第九章

重积分

教学目的：

1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。2.掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。

3.掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。

8、会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）。教学重点：

1、二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；

2、三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。

3、二、三重积分的几何应用及物理应用。教学难点：

1、利用极坐标计算二重积分；

2、利用球坐标计算三重积分；

3、物理应用中的引力问题。

§9 1 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念

1 曲顶柱体的体积

设有一立体 它的底是xOy面上的闭区域D 它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面 它的顶是曲面zf(x y) 这里f(x y)0且在D上连续 这种立体叫做曲顶柱体 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积

首先 用一组曲线网把D分成n个小区域

 1  2      n 

分别以这些小闭区域的边界曲线为准线 作母线平行于z轴的柱面 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体 在每个 i中任取一点( i   i) 以f( i   i)为 高而底为 i的平顶柱体的体积为

f( i   i)i(i1 2     n)

这个平顶柱体体积之和

n

Vf(i,i)i

i1高等数学课程建设组 高等数学教案

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可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值 为求得曲顶柱体体积的精确值 将分割加密 只需取极限 即

n

Vlimf(i,i)i

0i1其中是个小区域的直径中的最大值

2平面薄片的质量

设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 它在点(x y)处的面密度为(x y) 这里(x y)0且在D上连续 现在要计算该薄片的质量M

用一组曲线网把D分成n个小区域

 1  2      n 

把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量

( i   i) i 

各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值

n

M(i,i)i

i

1将分割加细 取极限 得到平面薄片的质量

n

Mlim(i,i)i

0i1其中是个小区域的直径中的最大值

定义 设f(x y)是有界闭区域D上的有界函数 将闭区域D任意分成n个小闭区域

 1  2      n 

其中 i表示第i个小区域 也表示它的面积 在每个 i上任取一点( i i) 作和

n

f(i,i)i

i1如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时 这和的极限总存在 则称此极限为函数f(x y)在闭区域D上的二重积分 记作f(x,y)d 即

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Df(x,y)dlim0i1f(i,i)i nf(x y)被积函数 f(x y)d被积表达式 d面积元素 x y积分变量 D积分区域 积分和

直角坐标系中的面积元素

如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D 那么除了包含边界点的一些小闭区域外 其余的小闭区域都是矩形闭区域 设矩形闭区域i的边长为xi和yi 则ixiyi 因此在直角坐标系中 有时也把面积元素d 记作dxdy 而把二重积分记作

Df(x,y)dxdy

其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素

二重积分的存在性 当f(x y)在闭区域D上连续时 积分和的极限是存在的

也就是说函数f(x y)在D上的二重积分必定存在 我们总假定函数f(x y)在闭区域D上连续 所以f(x y)在D上的二重积分都是存在的

二重积分的几何意义 如果f(x y)0 被积函数f(x y)可解释为曲顶柱体的在点(x y)处的竖坐标 所以二重积分的几何意义就是柱体的体积 如果f(x y)是负的 柱体就在xOy 面的下方 二重积分的绝对值仍等于柱体的体积 但二重积分的值是负的

二

二重积分的性质

性质1 设c1、c2为常数 则

[c1f(x,y)c2g(x,y)]dDc1f(x,y)dc2g(x,y)d

DD

性质2如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域 则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和 例如D分为两个闭区域D1与D2 则

Df(x,y)df(x,y)df(x,y)d

D1D

2性质3 1ddDD(为D的面积)

性质4 如果在D上 f(x y)g(x y) 则有不等式

Df(x,y)dg(x,y)d

D

特殊地有

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|f(x,y)d||f(x,y)|d

DD

性质5 设M、m分别是f(x y)在闭区域D上的最大值和最小值 为D的面积 则有

mf(x,y)dM

D

性质6(二重积分的中值定理)设函数f(x y)在闭区域D上连续  为D的面积 则在D上至少存在一点( )使得

§9 2 二重积分的计算法

一、利用直角坐标计算二重积分

X型区域

D 

1(x)y2(x) axb 

Y 型区域

D 

1(x)y2(x) cyd 

混合型区域

设f(x y)0

D{(x y)| 1(x)y2(x) axb}

此时二重积分f(x,y)d在几何上表示以曲面zf(x y)为顶 以区域D为底的曲顶DDf(x,y)df(,)

柱体的体积

对于x0[a b]

曲顶柱体在xx0的截面面积为以区间[1(x0) 2(x0)]为底、以曲线zf(x0 y)为曲边的曲边梯形 所以这截面的面积为

A(x0)2(x0)1(x0)f(x0,y)dy

根据平行截面面积为已知的立体体积的方法 得曲顶柱体体积为

VA(x)dx[aabbb2(x)1(x)2(x)f(x,y)dy]dx

f(x,y)dy]dx 即

Vf(x,y)d[Da1(x)可记为

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Df(x,y)ddxab2(x)1(x)f(x,y)dy

类似地 如果区域D为Y 型区域

D  1(x)y2(x) cyd 

则有

Df(x,y)ddycd2(y)1(y)f(x,y)dx

例1 计算xyd 其中D是由直线y

1、x2及yx所围成的闭区域

D

解 画出区域D

方法一

可把D看成是X型区域 1x2 1yx  于是

xydD21[xydy]dx12x21y2x1x4x229123]1

[x]1dx(xx)dx[12224282x注 积分还可以写成xyddxxydyxdxydy

D1111x

解法2 也可把D看成是Y型区域 1y2 yx2  于是

xydD21[xydx]dyy2212y3y429x222]1

[y]ydy(2y)dy[y1882

2例2 计算y1x2y2d 其中D是由直线y

1、x1及yx所围成的闭区域

D

解

画出区域D 可把D看成是X型区域 1x1 xy1 于是

D11112221y1xyddxy1xydy[(1xy)]xdx(|x|31)dx

1x3131222211321

(x1)dx

2也可D看成是Y型区域：1y1 1x

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Dy1x2y2dydy111y1x2y2dx

例3 计算xyd 其中D是由直线yx2及抛物线y2x所围成的闭区域

D

解 积分区域可以表示为DD1+D2

其中D1: 0x1, xy

x D2: 1x4, 2yx 于是

Dxyddx01xxxydydx12

4xx2xydy

积分区域也可以表示为D 1y2 yxy2 于是

xyd1dyyD2y221x2y2xydx[y]y2dy12221[y(y2)22y5]dy

4y621y4352

[y2y]15

24368讨论积分次序的选择

例

4求两个底圆半径都等于的直交圆柱面所围成的立体的体积

解

设这两个圆柱面的方程分别为

x2y2 2及x2z2 2

利用立体关于坐标平面的对称性 只要算出它在第一卦限部分的体积V1 然后再乘以8就行了

第一卦限部分是以D{(x y)| 0yR2x2, 0x}为底 以zR2x2顶的曲顶柱体

于是

V8DRxd8dx0R22RR2x20R2x2dy8[R2x2y]0R0R2x2dx

8(R2x2)dx0163R

3二

利用极坐标计算二重积分

有些二重积分 积分区域D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便 且被积函数用极坐标变量、 表达比较简单

这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分

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Df(x,y)d

n按二重积分的定义f(x,y)dlimD0f(i,i)i

i

1下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式

以从极点O出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域 小闭区域的面积为

i1(ii)2i1i2i1(2ii)ii i(ii)2iiiii

其中i表示相邻两圆弧的半径的平均值

在i内取点(i , i) 设其直角坐标为( i  i)

则有 ii cosi ii sini

nn于是 lim即

0i1f(i,i)ilim0i1f(i cosi,i sini)i ii

Df(x,y)d,sin)ddf(cosD

若积分区域D可表示为

 1() 2()



则

Df(cos,sin)ddd2()1()f(cos,sin)d

讨论如何确定积分限?

Df(cos,sin)ddd2()0f(cos,sin)d

Df(cos,sin)dd20d()0f(cos,sin)d

例5 计算exDy2dxdy 其中D是由中心在原点、半径为a 的圆周所围成的闭区

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域

解

在极坐标系中 闭区域D可表示为

0a  0 2 

于是 xeD2y2dxdyeddD220[ed]d 0a220[12ae]0d 

注 此处积分exD22221(1ea)d(1ea)

02xe2y2dxdy也常写成y2dxdy

x2y2a2

利用x2y2a2xe2y2dxdy(1ea)计算广义积分22

2 0exdx

2设D1{(x y)|xyR x0 y0}

D2{(x y)|x2y22R2 x0 y0}

S{(x y)|0xR 0yR}

显然D1SD2 由于ex

xeD1222y20 从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式

2y2dxdyexSy2dxdyexD22y2dxdy

因为

xeS2y2dxdyexdxeydy(exdx)2

000R2R2R2又应用上面已得的结果有

xeD12y2dxdy4(1eR)

2xeD22y2dxdy4(1e2R)

2于是上面的不等式可写成4(1eR)(exdx)202R24(1e2R)

2令R 上式两端趋于同一极限

4 从而 0exdx22

例6 求球体x2y2z24a2被圆柱面x2y22ax所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积

解

由对称性 立体体积为第一卦限部分的四倍

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V4D4a2x2y2dxdy

其中D为半圆周y2axx2及x轴所围成的闭区域

在极坐标系中D可表示为

02a cos  0 

22acos于是

V44add42dD02204a22d

32223222

a(1sin3)da()

03323

§93

三重积分 一、三重积分的概念

定义 设f(x y z)是空间有界闭区域上的有界函数 将任意分成n个小闭区域

v1 v2     vn

其中vi表示第i个小闭区域 也表示它的体积 在每个vi上任取一点(i i i) 作乘积f(

i  i  i)vi(i1 2    n)并作和f(i,i,i)vi 如果当各小闭区域的直径中的最大值i1n趋于零时

这和的极限总存在

则称此极限为函数f(x y z)在闭区域上的三重积分 记作f(x,y,z)dv

即

n

f(x,y,z)dvlim0i1f(i,i,i)vi

——积分号

f(x y z)——被积函数

f(x y z)dv——被

三重积分中的有关术语 积表达式

dv体积元素

x y z——积分变量

——积分区域

在直角坐标系中 如果用平行于坐标面的平面来划分 则vixi yizi  因此也把体积元素记为dv dxdydz 三重积分记作

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f(x,y,z)dvf(x,y,z)dxdydz

n

当函数f(x y z)在闭区域上连续时 极限limf(i,i,i)vi是存在的

0i1因此f(x y z)在上的三重积分是存在的 以后也总假定f(x y z)在闭区域上是连续的

三重积分的性质 与二重积分类似

比如

[c1f(x,y,z)c2g(x,y,z)]dvc1f(x,y,z)dvc2g(x,y,z)dv



f(x,y,z)dvf(x,y,z)dvf(x,y,z)dv

121 dvV 其中V为区域的体积 二、三重积分的计算

1 利用直角坐标计算三重积分

三重积分的计算 三重积分也可化为三次积分来计算 设空间闭区域可表为

z1(x y)zz2(x y) y1(x)yy2(x) axb

则

f(x,y,z)dv[Dz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]d

dxaby2(x)y1(x)y2(x)y1(x)[z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz

f(x,y,z)dz

dxabdyz2(x,y)z1(x,y)即 f(x,y,z)dvdxaby2(x)y1(x)dyz2(x,y)z1(x,y)其中D : y1(x) y y2(x) axb 它是闭区域在xOy面上的投影区域

提示

设空间闭区域可表为

z1(x y)zz2(x y) y1(x)yy2(x) axb

计算f(x,y,z)dv

基本思想

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对于平面区域D

y1(x)yy2(x) axb内任意一点(x y) 将f(x y z)只看作z的函数 在区间[z1(x y)

z2(x y)]上对z积分 得到一个二元函数F(x y)

F(x,y)z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz

然后计算F(x y)在闭区域D上的二重积分 这就完成了f(x y z)在空间闭区域上的三重积分

DF(x,y)d[Dz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]ddxaby2(x)y1(x)[z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy

则 f(x,y,z)dv[Dz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]d

dxaby2(x)y1(x)y2(x)y1(x)b[z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz

dxabdyz2(x,y)z1(x,y)即

f(x,y,z)dvadxy(x)1y2(x)dyz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz

其中D : y1(x) y y2(x) axb 它是闭区域在xOy面上的投影区域

例1 计算三重积分xdxdydz 其中为三个坐标面及平面x2yz1所围成的闭区域

解 作图 区域可表示为:

0z1x2y 0y11(1x) 0x1

2于是

xdxdydz dx101x20dy1x2y0xdz

xdx01x20(1x2y)dy 40(x2x1x3)dx1

讨论 其它类型区域呢?

有时 我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分 设空间闭区域{(x y z)|(x y)Dz c1 zc2} 其中Dz是竖坐标为z 的平面截空间闭区域

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所得到的一个平面闭区域 则有

f(x,y,z)dvdzf(x,y,z)dxdy

c1Dz2x2yz2zdxdydz 其中是由椭球面2221所围成的空间闭

abc2c

2例2 计算三重积分区域

解 空间区域可表为: 2x2yz2

2212 c zc

abc于是

2czdxdydz z2dzdxdyab(1z)z2dz4abc3

22ccDzcc1

5练习

1 将三重积分If(x,y,z)dxdydz化为三次积分 其中



(1)是由曲面z1x2y2 z0所围成的闭区域

(2)是双曲抛物面xyz及平面xy10 z0所围成的闭区域

(3)其中是由曲面zx22y2及z2x2所围成的闭区域

2 将三重积分If(x,y,z)dxdydz化为先进行二重积分再进行定积分的形式 其中由曲面z1x2y2 z0所围成的闭区域

2 利用柱面坐标计算三重积分

设M(x y z)为空间内一点 并设点M在xOy面上的投影P 的极坐标为P( ) 则这样的三个数、、z就叫做点M的柱面坐标 这里规定、、z的变化范围为

0< 0 2  

坐标面0   0 zz0的意义

点M 的直角坐标与柱面坐标的关系

xcos

xcos ysin zz  ysin

zz

柱面坐标系中的体积元素 dvdddz

简单来说 dxdydd  dxdydzdxdydzdd dz

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柱面坐标系中的三重积分

f(x,y,z)dxdydzf(cos,sin,z)dddz

例3 利用柱面坐标计算三重积分zdxdydz 其中是由曲面zx2y2与平面z4所围成的闭区域

解 闭区域可表示为

2z4 02 02

于是

zdxdydzzdddz

24212d(164)d 020



20dd0zdz211642[826]2

026

33 利用球面坐标计算三重积分

设M(x y z)为空间内一点 则点M也可用这样三个有次序的数r、、 来确定 其中

r为原点O与点M间的距离 为OM与z轴正向所夹的角 为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段OP的角 这里P为点M在xOy面上的投影 这样的三个数r、、 叫做点M的球面坐标 这里r、、 的变化范围为

0r< 0< 0 2

坐标面rr0 0 0的意义

点M的直角坐标与球面坐标的关系

xrsincos

xrsincos yrsinsin zrcos  yrsinsin

zrcos

球面坐标系中的体积元素

dvr2sindrdd 

球面坐标系中的三重积分

f(x,y,z)dvf(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindrdd



例4 求半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积

解 该立体所占区域可表示为

0r2acos 0 02

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§9 重积分

于是所求立体的体积为

Vdxdydzr2sindrdd20dd02acos0r2sindr

2sind02acos0r2dr

16a 3204a34cossind(1cosa)

332

222

2提示 球面的方程为xy(za)a 即xyz2az 在球面坐标下此球面的方程为r2arcos 即r2acos

§9 4 重积分的应用

元素法的推广

有许多求总量的问题可以用定积分的元素法来处理 这种元素法也可推广到二重积分的应用中 如果所要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(就是说 当闭区域D分成许多小闭区域时 所求量U相应地分成许多部分量 且U等于部分量之和) 并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域d时 相应的部分量可近似地表示为f(x y)d 的形式 其中(x y)在d内 则称f(x y)d 为所求量U的元素 记为dU 以它为被积表达式 在闭区域D上积分

Uf(x,y)d

D这就是所求量的积分表达式

一、曲面的面积

设曲面S由方程 zf(x y)给出 D为曲面S在xOy面上的投影区域 函数f(x y)在D上具有连续偏导数fx(x y)和fy(x y) 现求曲面的面积A 

在区域D内任取一点P(x y) 并在区域D内取一包含点P(x y)的小闭区域d 其面积也记为d 在曲面S上点M(x y f(x y))处做曲面S的切平面T 再做以小区域d的边界曲线为准线、母线平行于z轴的柱面 将含于柱面内的小块切平面的面积作为含于柱面内的小块曲面面积的近似值 记为dA 又设切平面T的法向量与z轴所成的角为  则

dAd1fx2(x,y)fy2(x,y)d

cos这就是曲面S的面积元素

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§9 重积分

于是曲面S 的面积为

A1fx2(x,y)fy2(x,y)d

D或

A1(z)2(z)2dxdy

xyD

设dA为曲面S上点M处的面积元素 dA在xOy面上的投影为小闭区域d M在xOy面上的投影为点P(x y) 因为曲面上点M处的法向量为n(fx fy 1) 所以

dA|n|d1fx2(x,y)fy2(x,y)d

提示 dA与xOy面的夹角为(n^ k) dAcos(n^ k)d

nk|n|cos(n^ k)1 cos(n^ k)|n|

讨论 若曲面方程为xg(y z)或yh(z x) 则曲面的面积如何求？

A1Dyz1(x2x)()2dydz

yzyx或

ADzx1(yz)2()2dzdx

其中Dyz是曲面在yOz面上的投影区域

Dzx是曲面在zOx面上的投影区域

例1 求半径为R的球的表面积

解 上半球面方程为zR2x2y2 xyR

因为z对x和对y的偏导数在D xyR上无界 所以上半球面面积不能直接求出 因此先求在区域D1 x2y2a2(aR)上的部分球面面积 然后取极限

222

2x2y2a2RRxy222dxdyR02dardrRr220

2R(RR2a2)

于是上半球面面积为lim2R(RR2a2)2R2

aR整个球面面积为

A2A14R

提示

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§9 重积分

zxxRxy222 zyyRxy222

1(z2z)()2xyRRxy222

解 球面的面积A为上半球面面积的两倍

上半球面的方程为zR2x2y2 而

zxxRxy222

zyyRxy222

所以

A2x2y2R21(z2z2)()xyR2R

2x2y2R2Rxy2R0222dxdy2R0ddR220

4RR 4R2

例2设有一颗地球同步轨道通讯卫星 距地面的高度为h36000km 运行的角速度与地球自转的角速度相同 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径R6400km)

解 取地心为坐标原点 地心到通讯卫星中心的连线为z轴 建立坐标系

通讯卫星覆盖的曲面是上半球面被半顶角为的圆锥面所截得的部分 的方程为

zR2x2y2 x2y2R2sin2

于是通讯卫星的覆盖面积为

A2Dxy1(z2z2)()dxdyxyDxyRRxy222dxdy

其中Dxy{(x y)| x2y2R2sin2}是曲面在xOy面上的投影区域

利用极坐标 得

A由于cos20dRsinRR220d2RRsinR220d2R2(1cos)

R 代入上式得 Rh

A2R2(1Rh)2R2RhRh高等数学课程建设组 高等数学教案

§9 重积分

由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为 Ah36106

42.5%

4R22(Rh)2(366.4)106

由以上结果可知 卫星覆盖了全球三分之一以上的面积 故使用三颗相隔2角度的3通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面

二、质心

设有一平面薄片 占有xOy 面上的闭区域D 在点P(x y)处的面密度为(x y) 假定(x y)在D上连续 现在要求该薄片的质心坐标

在闭区域D上任取一点P(x y) 及包含点P(x y)的一直径很小的闭区域d(其面积也记为d) 则平面薄片对x轴和对y轴的力矩(仅考虑大小)元素分别为

dMxy(x y)d dMyx(x y)d

平面薄片对x轴和对y轴的力矩分别为

Mxy(x,y)d Myx(x,y)d

DD

设平面薄片的质心坐标为(x, y)平面薄片的质量为M 则有

xMMy yMMx 

于是

MM

xyx(x,y)dD(x,y)dD yMxMy(x,y)dD(x,y)dD

在闭区域D上任取包含点P(x y)小的闭区域d(其面积也记为d) 则

平面薄片对x轴和对y轴的力矩元素分别为

dMxy(x y)d dMyx(x y)d

平面薄片对x轴和对y轴的力矩分别为

Mxy(x,y)d Myx(x,y)d

DD

设平面薄片的质心坐标为(x, y)平面薄片的质量为M 则有

xMMy yMMx 

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§9 重积分

于是

MM

xyx(x,y)dD(x,y)dD yMxMy(x,y)dD(x,y)dD

提示 将P(x y)点处的面积元素d看成是包含点P的直径得小的闭区域 D上任取一点P(x y) 及包含的一直径很小的闭区域d(其面积也记为d) 则平面薄片对x轴和对y轴的力矩(仅考虑大小)元素分别为

讨论 如果平面薄片是均匀的 即面密度是常数 则平面薄片的质心(称为形心)如何求？

求平面图形的形心公式为

xd

xDyd yDdDdD

例3 求位于两圆2sin 和4sin 之间的均匀薄片的质心

解 因为闭区域D对称于y轴 所以质心C(x, y)必位于y轴上 于是x0

因为

ydDDd2sinddsin024sin2sin2d7

d2D123

yd所以yDdD777 所求形心是C(0,)

33

3类似地 占有空间闭区域、在点(x y z)处的密度为(x y z)(假宽(x y z)在上连续)的物体的质心坐标是

x1Mx(x,y,z)dv y1My(x,y,z)dv z1Mz(x,y,z)dv



其中M(x,y,z)dv



例4 求均匀半球体的质心

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§9 重积分

解 取半球体的对称轴为z轴 原点取在球心上 又设球半径为a 则半球体所占空间闭区可表示为

{(x y z)| x2y2z2a2 z0}

显然 质心在z轴上 故xy0

zdvzdv

zdvdv3a

8故质心为(0, 0, 3a)

8提示  0ra 0 02

22

dv2d00dr2sindr2sind00a20dr2dr0a2a3

3zdv02d02da02a1a41223

rcosrsindrsin2ddrdr2002420

三、转动惯量

设有一平面薄片 占有xOy面上的闭区域D 在点P(x y)处的面密度为(x y) 假定(x y)在D上连续 现在要求该薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量

在闭区域D上任取一点P(x y) 及包含点P(x y)的一直径很小的闭区域d(其面积也记为d) 则平面薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量的元素分别为

dIxy2(x y)d  dI yx2(x y)d 

整片平面薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量分别为

Ixy2(x,y)d Iyx2(x,y)d

DD

例5 求半径为a 的均匀半圆薄片(面密度为常量)对于其直径边的转动惯量

解 取坐标系如图 则薄片所占闭区域D可表示为

D{(x y)| xya y0} 而所求转动惯量即半圆薄片对于x轴的转动惯量Ix  22

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§9 重积分

Ixy2d2sin2dd

DD

sin2 d3d00aa440sin d

2

1a41Ma2

424其中M1a2为半圆薄片的质量

2类似地 占有空间有界闭区域、在点(x y z)处的密度为(x y z)的物体对于x、y、z轴的转动惯量为

Ix(y2z2)(x,y,z)dv



Iy(z2x2)(x,y,z)dv



Iz(x2y2)(x,y,z)dv



例6 求密度为的均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量

解 取球心为坐标原点 z轴与轴l重合 又设球的半径为a 则球体所占空间闭区域

{(x y z)| x2y2z2a2}

所求转动惯量即球体对于z轴的转动惯量Iz 

Iz(x2y2) dv



2(r2sin2 cosr2sin2 sin2)r2sindrdd



r4sin3drdd20dsin3 dr4dr00a82a5a2M

155其中Ma3为球体的质量

提示

x2y2r2sin2cos2r2sin2 sin2r2sin2

四、引力

我们讨论空间一物体对于物体外一点P0(x0 y0 z0)处的单位质量的质点的引力问题

设物体占有空间有界闭区域 它在点(x y z)处的密度为(x y z) 并假定(x y z)在上连续

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§9 重积分

在物体内任取一点(x y z)及包含该点的一直径很小的闭区域dv(其体积也记为dv) 把这一小块物体的质量dv近似地看作集中在点(x y z)处 这一小块物体对位于P0(x0 y0 z0)处的单位质量的质点的引力近似地为

dF(dFx,dFy,dFz)

(G其中r(x,y,z)(xx0)r3dv,G(x,y,z)(yy0)r3dv,G(x,y,z)(zz0)r3dv)

dFx、dFy、dFz为引力元素

dF在三个坐标轴上的分量

dFy、dFz在上分别积分 即可(xx0)2(yy0)2(zz0)2 G为引力常数 将dFx、得Fx、Fy、Fz 从而得F(Fx、Fy、Fz)

例7设半径为R的匀质球占有空间闭区域{(x y z)|x2y2z2R2) 求它对于位于点M0(0 0 a)(a>R)处的单位质量的质点的引力

解 设球的密度为0 由球体的对称性及质量分布的均匀性知Fx=Fy=0, 所求引力沿z轴的分量为

FzG0zadv

2223/2[xy(za)]

G0RR(za)dzx2y2R2zdxdy[x2y2(za)2]3/22

G0(za)dzRR20dR2z2d[2(za)2]3/20

2G0(za)(RR1azR1R2aza22)dz

2G0[2R1aR(za)dR22aza2]

2R3

2G0(2R2R2)

3a4R31M02G2

G3aa4R30为球的质量

其中M3高等数学课程建设组 高等数学教案

§9 重积分

上述结果表明 匀质球对球外一质点的引力如同球的质量集中于球心时两质点间的引力

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第二篇：高等数学第九章重积分教案

第九章 重积分

第一节 二重积分的概念与性质

9.1.1 二重积分的概念

为引出二重积分的概念，我们先来讨论两个实际问题。

设有一平面薄片占有xOy>面上的闭区域D>，它在点（x>，y>）处的面密度为ρ（x>，y>），这里ρ（x>，y>）> 0>且在D>上连续。现在要计算该薄片的质量M>。

>由于面密度ρ（x>，y>）是变量，薄片的质量不能直接用密度公式（M =>ρS>）来计算。但ρ（x>，y>）是连续的，利用积分的思想，把薄片分成许多小块后，只要小块所占的小闭区域D s i>的直径很小，这些小块就可以近似地看作均匀薄片。在D s i>（这小闭区域的面积也记作D s i

>）上任取一点（x i>，h i>），则ρ（x i>，h i>）D s i>（i = 1>，2>，„，n）可看作第i>个小块的质量的近似值。通过求和，再令n个小区域的直径中的最大值（记作λ）趋于零，取和的极限，便自然地得出薄片的质量M>，即 >。

>再设有一立体，它的底是xOy>面上的闭区域D>，它的侧面是以D>的边界曲线为准线而母线平行于z>轴的柱面，它的顶是曲面z = f>（x>，y>），这里f>（x>，y>）≥ 0>且在D>上连续。这种立体叫做曲顶柱体。现在要计算上述曲顶柱体的体积V>。

>由于曲顶柱体的高f>（x>，y>）是变量，它的体积不能直接用体积公式来计算。但仍可采用上面的思想方法，用一组曲线网把D>分成n个小闭区域D s 1，D s 2>，„，D s n>，在每个D s i>上任取一点（x i>，h i>），则f>（x i>，h i>）D s i>（i = 1>，2>，„，n）可看作以f>（x i>，h i>）为高而底为D s i>的平顶柱体的体积>。通过求和，取极限，便得出 >。

上面两个问题所要求的，都归结为同一形式的和的极限。在其他学科中，由许多物理量和几何量也可归结为这一形式的和的极限。因此我们要一般地研究这种和的极限，并抽象出下述二重积分的定义。> 定义 >设f>（x>，y>）是有界闭区域D>上的有界函数。将闭区域D>任意分成n>个小闭区域

>D s 1，D s 2>，„，D s n>，>其中D s 也表示它的面积。在每个D s（x h，i>表示第i>个小闭区域，i>上任取一点i>，i>）作乘积 f>（x i>，h i>）D s i>（i = 1, 2, >„, n,>），并作和。如果当各小闭区域的直径中的最大值l 趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数f>（x>，y>）在闭区域D>上的二重积分，记作，即

>。（*>）

>其中f>（x>，y>）叫做被积函数，f>（x>，y>）ds >叫做被积表达式，ds >叫做面积元素，x>与y>叫做积分变量，D>叫做积分区域，叫做积分和。

>在二重积分的定义中对闭区域D>的划分是任意的，如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D>，那末除了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域。设矩形闭区域D s i>的边长为D xj>和D yk>，则D s = D xj>·D yk>。因此在直角坐标系中，有时也把面积元素ds >记作dxdy>，而把二重积分记作 >

>其中dxdy>叫做直角坐标系中的面积元素。

>这里我们要指出，当f>（x>，y>）在闭区域D>上连续时，（*>）式右端的和的极限必定存在，也就是说，函数f>（x>，y>）在D>上的二重积分必定存在。> 9.1.2 二重积分的性质

二重积分与定积分有类似的性质：

>性质1 >被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面，即 > >（k>为常数）。

>性质2 >函数的和（或差）的二重积分等于各个函数的二重积分的和（或差）。例如 >。

>性质3 >如果闭区域D>被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D>上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和。例如D>分为两个闭区域D1>与 D2>，则 >。

此性质表示二重积分对于积分区域具有可加性。

>性质4 >如果在D>上，f>（x>，y>）= 1>，s 为D>的面积，则 >。

>此性质的几何意义很明显，因为高为1>的平顶柱体的体积在数值上就等于柱体的底面积。>性质5 >如果在D>上，f>（x>，y>）≤ j >（x>，y>），则有不等式 >。

特殊地，由于

>-| f>（x>，y>）| >≤ f>（x>，y>）≤ | f>（x>，y>）|>，> 又有不等式。

>性质6 >设M>，m>分别是f>（x>，y>）在闭区域D>上的最大值和最小值，s 是D>的面积，则有 >。

上述不等式是对二重积分估值的不等式。

>性质7>（二重积分的中值定理）>设函数f>（x>，y>）在闭区域D>上连续，s 是D>的面积，则在D>上至少存在一点（x，h）使得下式成立： >。

第二节 二重积分的计算法（直角坐标，极坐标）

按照二重积分的定义来计算二重积分，对少数特别简单的被积函数和积分区域来说是可行的，但对一般的函数和积分区域来说，这不是一种切实可行的方法。这里介绍一种方法，把二重积分化为两次单积分（即两次定积分）来计算。9.2.1 利用直角坐标计算二重积分

下面用几何的观点来讨论二重积分的计算问题。

在讨论中我们假定f（x，y）≥ 0。并设积分区域D可以用不等式 j 1（x）≤ y ≤ j 2（x），a≤x≤b

来表示，其中函数j 1（x）、j 2（x）在区间 [a，b] 上连续。

我们应用“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法，来计算这个曲顶柱体的体积。为计算截面面积，在区间 [a，b] 上任意取定一点x0，作平行于yOz面的平面x=x0。这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间 [j 1（x0），j 2（x0）] 为底、曲线z = f（x0，y）为曲边的曲边梯形，所以这截面的面积为。

一般的，过区间 [a，b] 上任一点x且平行于yOz面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为，于是，得曲顶柱体的体积为。

这个体积也就是所求二重积分的值，从而有等式

。（1）

上式右端的积分叫做先对y、后对x的二次积分。就是说，先把x看作常数，把f（x，y）只看作y的函数，并对y计算从j 1（x）到j 2（x）的定积分；然后把算得的结果（是x的函数）再对x计算在区间 [a，b] 上的定积分。这个先对y、后对x的二次积分也常记作。

因此，等式（1）也写成，（1’）

在上述讨论中，我们假定f（x，y）≥ 0，但实际上公式（1）的成立并不受此条件限制。类似地，如果积分区域D可以用不等式 ψ1（y）≤ x ≤ ψ2（y），c≤y≤d

来表示，其中函数ψ1（y）、ψ2（y）在区间 [c，d] 上连续，那末就有。

上式右端的积分叫做先对x、后对y的二次积分，这个积分也常记作。

因此，等式（2）也写成，（2’）

这就是把二重积分化为先对x、后对y的二次积分的公式。

我们称图9-2-1所示的积分区域为X-型区域，图9-2-3所示的积分区域为Y-型区域。对不同的区域，可以应用不同的公式。如果积分区域D既不是X-型的，也不是Y-型的，我们可以把D分成几个部分，使每个部分是X-型区域或是Y-型区域。如果积分区域D既是X-型的，又是Y-型的，则由公式（1’）及（2’）就得。

上式表明，这两个不同次序的二次积分相等，因为它们都等于同一个二重积分。

二重积分化为二次积分时，确定积分限是一个关键。而积分限是根据积分区域D的类型来确定的。

例1 计算，其中D是由直线y =

1、x = 2及y = x所围成的闭区域。

解法1 首先画出积分区域D。D是X-型的，D上的点的横坐标的变动范围是区间[1，2]。在区间[1，2]上任意取定一个x值，则D上以这个x值为横坐标的点在一段直线上，这段直线平行于y轴，该线段上点的纵坐标从y = 1变到y = x。利用公式（1）得。

解法2 把积分区域D看成是Y-型的。同学们可作为练习，验证解出的答案是否与解法1的相一致。

对于较复杂的积分区域，在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要选择恰当的二次积分的次序。这时，既要考虑积分区域D的形状，又要考虑被积函数f（x，y）的特性。例2 求量各底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积。解 设这两个圆柱面的方程分别为 x + y = R及x + z = R

利用立体关于坐标平面的对称性，只要算出它在第一卦限部分的体积V1，然后再乘以9就行了。

所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的底为 2222

22，如图9-2-5（b）所示。它的顶是柱面。于是。

利用公式（1）得

从而所求立体体积为。

9.2.2 利用极坐标计算二重积分

有些二重积分，积分区域D的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，且被积函数用极坐标变量r，θ比较简单。这时，我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分按二重积分的定义有

。，下面将推导出这个和的极限在极坐标系中的形式。

假定从极点O出发且穿过闭区域D内部的射线与D的边界曲线相交不多于两点。我们用以极点为中心的一族同心圆：r=常数，以及从极点出发的一族射线：θ=常数，把D分成n个小闭区域。除了包含边界点的一些小闭区域外，小闭区域的面积D s i可计算如下：

其中表示相邻两圆弧的半径的平均值。在这小闭区域内取圆周点的直角坐标设为x i，h i，则由直角坐标与极坐标之间的关系有

。于是

上的一点，该，即。

由于在直角坐标系中也常记作，所以上式又可写成

。（4）

这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式，其中rdrdθ就是极坐标系中的面积元素。公式（4）表明，要把二重积分中的变量从直角坐标变换为极坐标，只要把被积函数中的x、y分别换成rcosθ、rsinθ，并把直角坐标系中的面积元素dxdy换成极坐标系中的面积元素rdrdθ。

极坐标系中的二重积分，同样可以化为二次积分来计算。，二重积分化为二次积分的公式为

。（5）

上式也写成

。（5'）

特别地，如果积分区域D是所示的曲边扇形，那末相当于图9-2-7（a）中φ1（θ）≡0，φ2（θ）=φ（θ）。这时闭区域D可以用不等式 0≤r≤φ（θ），α≤θ≤β 来表示，而公式（5'）成为。

如果积分区域D如图）所示，极点在D的内部，那末相当于图9-2-9中α= 0、β= 2π。这时闭区域D可以用不等式 0≤r≤φ（θ），0≤θ≤2π 来表示，而公式（5'）成为。

由二重积分的性质4，闭区域D的面积s 可以表示为。

在极坐标系中，面积元素ds = rdrdθ，上式成为。

如果闭区域D如图9-2-7（a）所示，这由公式（5'）有。

特别地，如果闭区域D如图9-2-9所示，则φ1（θ）≡0，φ2（θ）=φ（θ）。于是。

例3 计算，其中D是由中心在原点、半径为a的圆周所围成的闭区域。

解 在极坐标系中，闭区域D可表示为 0≤r≤a，0≤θ≤2π。由公式（4）及（5）有

例4 求球体x+y+z≤4a圆柱面x+y=2ax（a>0）所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。解 由对称性，22

222

2，其中D为半圆周式

及x轴所围成的闭区域。在极坐标系中，闭区域D可用不等0≤r≤2acos（θ），0≤θ≤π/2 来表示。于是。

第三节 二重积分的应用实例

在二重积分的应用中，由许多求总量的问题可以用定积分的元素法来处理。如果所要计算的某个量对于闭区域D具有可加性（就是说，当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和），并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域dσ时，相应的部分量可近似地表示为f（x，y）dσ的形式，其中（x，y）在dσ内。这个f（x，y）dσ称为所求量U的元素而记作dU，以它为被积表达式，在闭区域D上积分：，这就是所求量的积分表达式。9.3.1 曲面的面积 设曲面S由方程 z = f（x，y）

给出，D为曲面S在xOy面上的投影区域，函数f（x，y）在D上具有连续偏导数fx（x，y）和fy（x，y）。我们要计算曲面S的面积A。

在闭区域D上任取一直径很小的闭区域dσ（这小闭区域的面积也记作dσ）。在dσ上取一点P（x，y），对应地曲面S上有一点M（x，y，f（x，y）），点M在xOy面上的投影即点P。点M处曲面S的切平面设为T。以小闭区域dσ的边界为准线作母线平行于z轴的柱面，这柱面在曲面S上截下一小片曲面，在切平面T上截下一小片平面。由于dσ的直径很小，切平面T上的那一小片平面的面积dA可以近似代替相应的那一小片面积的面积。设点M处曲面S上的法线（指向朝上）于z轴所成的角为γ，则

。因为，所以。

这就是曲面S的面积元素，以它为被积表达式在闭区域D上积分，得。

上式也可写为这就是计算曲面面积的公式。

设曲面的方程为x=g（x，y）或y=h（z，x），可分别把曲面投影到xOy面上（投影区域记作Dyz）或zOx面上（投影区域记作Dzx），类似地可得，或例1 求半径为a的球的表面积。

解：取上半球面的方程为x+y≤a。222，则它在xOy面上的投影区域D可表示为由，得。因为这函数在闭区域D上无界，我们不能直接应用曲面面积公式。所以先取区域D1：x+y≤b（0

222，利用极坐标，得

于是。

这就是半个球面的面积，因此整个球面的面积为

A = 4πa2。

9.3.2平面薄片的重心

设有一平面薄片，占有xOy面上的闭区域D，在点（x，y）处的面密度ρ（x，y），假定ρ（x，y）在D上连续。现在要找该薄片的重心的坐标。

在闭区域D上任取一直径很小的闭区域dσ（这小闭区域的面积也记作dσ），（x，y）是这小闭区域上的一个点。由于dσ的直径很小，且ρ（x，y）在D上连续，所以薄片中相应于dσ的部分的质量近似等于ρ（x，y）dσ，这部分质量可近似看作集中在点（x，y）上，于是可写出静矩元素dMy及dMx：

dMy = xρ（x，y）dσ，dMx =yρ（x，y）dσ。以这些元素为被积表达式，在闭区域D上积分，便得。

又由第一节知道，薄片的质量为。

所以，薄片的重心的坐标为。

如果薄片是均匀的，即面密度为常量，则上式中可把ρ提到积分记号外面并从分子、分母中约去，这样便得均匀薄片重心的坐标为

（1）

其中为闭区域D的面积。这时薄片的重心完全由闭区域D的形状所决定。我们把均匀平面薄片的重心叫做这平面薄片所占的平面图形的形心。因此，平面图形D的形心，就可用公式（1）计算。

例2 求位于两圆r = 2sinθ和r = 4sinθ之间的均匀薄片的重心

解 因为闭区域D对称于y轴，所以重心再按公式

必位于y轴上，于是。

计算。由于闭区域D位于半径为1与半径为2的两圆之间，所以它的面积等于这两个圆的面积之差，即A = 3π。再利用极坐标计算积分：。

因此，所求重心是C（0，7/3）。

三、平面薄片的转动惯量

设有一薄片，占有xOy面上的闭区域D，在点（x，y）处的面密度ρ（x，y），假定ρ（x，y）在D上连续。现在要求该薄片对于x轴的转动惯量Ix以及对于y轴的转动惯量Iy。应用元素法，在闭区域D上任取一直径很小的闭区域dσ（这小闭区域的面积也记作dσ），（x，y）是这小闭区域上的一个点。由于dσ的直径很小，且ρ（x，y）在D上连续，所以薄片中相应于dσ的部分的质量近似等于ρ（x，y）dσ，这部分质量可近似看作集中在点（x，y）上，于是可写出薄片对于x轴以及对于y轴的转动惯量元素： dIx = yρ（x，y）dσ,dIy = xρ（x，y）dσ。以这些元素为被积表达式，在闭区域D上积分，便得

22。

例3 求半径为a的均匀半圆薄片（面密度为常量ρ）对于其直径边的转动惯量。解：取坐标系如图所示，则薄片所占闭区域D可表示为 x+y≤a，y≥0；

而所求转动惯量即半圆薄片对于x轴的转动惯量Ix。222

其中 为半圆薄片的质量。

第四节 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分

与二重积分的计算类似，三重积分有时也要利用柱面坐标或球面坐标来进行计算。9.4.1 利用柱面坐标计算三重积分

设M（x，y，z）为空间内一点，并设点M在xOy面上的投影P的极坐标为r，θ，则这样的三个数r，θ，z就叫做点M的柱面坐标，这里规定r、θ、z的变化范围为： 0 ≤ r < +∞, 0 ≤θ≤ 2π,-∞ < z < +∞。三组坐标面分别为

r = 常数，即以z轴为轴的圆柱面； θ=常数，即过z轴的半平面； z = 常数，即与xOy面平行的平面。显然，点M的直角坐标与柱面坐标的关系为

（1）

现在要把三重积分中的变量变换为柱面坐标。为此，用三组坐标面r = 常数，θ=常数，z = 常数把Ω分成许多小闭区域，除了含Ω的边界的一些不规则小闭区域外，这种小闭区域都是柱体。考虑由r，θ，z各取得微小增量dr，dθ，dz所成的柱体的体积。柱体的高为dz、底面积在不计高阶无穷小时为r dr dθ（即极坐标系中的面积元素），于是得

dv = r dr dθdz，这就是柱面坐标中的体积元素。再注意到关系式（1），就有

（2）

其中F（r，θ，z）= f（r cosθ，r sinθ，z）。（2）式就是把三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式。至于变量变换为柱面坐标后的三重积分的计算，则可化为三次积分来进行。化为三次积分时，积分限是根据r，θ，z在积分区域Ω中的变化范围来确定的，下面通过例子来说明。例1 利用柱面坐标计算三重积分围成的闭区域。，其中Ω是由曲面z = x+y与平面z = 4所

22解 把闭区域Ω投影到xOy面上，得半径为2的圆形闭区域D：0≤r≤2，0≤θ≤2π。在D22内任取一点（r，θ），过此点作平行于z轴的直线，此直线通过曲面z = x+y穿入Ω内，然后通过平面z = 4穿出Ω外。因此闭区域Ω可用不等式 r2≤z≤4，0≤r≤2，0≤θ≤2π 来表示。于是

9.4.2 利用球面坐标计算三重积分

设M（x，y，z）为空间内一点，则点M也可用这样三个有次序的数r，φ，θ来确定，其中r为原点O与点M间的距离，φ为有向线段看自x轴按逆时针方向转到有向线段

与z轴正向所夹的角，θ为从正z轴来的角，这里P为点M在xOy面上的投影。这样的三个数r，φ，θ叫做点M的球面坐标，这里r，φ，θ的变化范围为 0 ≤ r < +∞, 0 ≤φ≤ π, 0 ≤θ≤ 2π.r = 常数，即以原点为心的球面；

φ= 常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面； θ = 常数，即过z轴的半平面。点M的直角坐标与球面坐标的关系为

（3）

为了把三重积分中的变量从直角坐标变换为球面坐标，用三组坐标面r = 常数，φ=常数，θ= 常数把积分区域Ω分成许多小闭区域。考虑由r，φ，θ各取得微小增量dr，dφ，dθ所成的六面体的体积。不计高阶无穷小，可把这个六面体看作长方体，其经线方向的长为rdφ，纬线方向的宽为r sinφdθ，向径方向的高为dr，于是得 dv = r sinφdrdφdθ，这就是球面坐标系中的体积元素。再注意到关系式（3），就有 2,（4）

其中F（r，φ，θ）= f（r sinφcosθ，r sinφsinθ，r cosφ）。（4）式就是把三重积分的变量从直角坐标变换为球面坐标的公式。

要计算变量变换为球面坐标后的三重积分，可把它化为对r对φ及对θ的三次积分。若积分区域Ω的边界曲面是一个包围原点在内的闭曲面，其球面坐标方程为r = r（φ，θ），则。

当积分区域Ω为球面r = a所围成时，则。

特别地，当F（r，φ，θ）= 1时，由上式即得球的体积，这是我们所熟知的。

例2 求半径为a的球面与半顶角为α的内接锥面所围成的立体的体积。解 设球面通过原点O，球心在z轴上，又内接锥面的顶点在原点O，其轴与z轴重合，则球面方程为r = 2acosφ，锥面方程为φ=α。因为立体所占有的空间闭区域Ω可用不等式 0≤r≤2acosφ, 0≤φ≤α, 0≤θ≤2π 来表示，所以

在三重积分的应用中也可采用元素法。

设物体占有空间闭区域Ω，在点（x，y，z）处的密度为ρ（x，y，z），假定这函数在Ω上连续，求该物体的重心的坐标和转动惯量。与第三节中关于平面薄片的这类问题一样，应用元素法可写出

等，其中为物体的质量。

例3 求均匀半球体的重心。

解 取半球体的对称轴为z轴，原点取在球心上，又设球半径为a，则半球体所占空间闭区域Ω可用不等式 x+y+z≤a，z≥0 来表示。2222显然，重心在z轴上，故。，其中为半球体的体积。

因此，重心为。

第三篇：《高等数学.同济五版》讲稿WORD版-第08章 多元函数微分学及其应用

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§8

多元函数微分法及其应用

第八章 多元函数微分法及其应用

教学目的：

1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。

2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。

3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。

4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。

5、掌握多元复合函数偏导数的求法。

6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。

7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。

8、了解二元函数的二阶泰勒公式。

9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。教学重点：

1、二元函数的极限与连续性；

2、函数的偏导数和全微分；

3、方向导数与梯度的概念及其计算；

4、多元复合函数偏导数；

5、隐函数的偏导数

6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；

7、多元函数极值和条件极值的求法。教学难点：

1、二元函数的极限与连续性的概念；

2、全微分形式的不变性；

3、复合函数偏导数的求法；

4、二元函数的二阶泰勒公式；

5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；

6、拉格郎日乘数法；

7、多元函数的最大值和最小值。

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§8

多元函数微分法及其应用

§8 1 多元函数的基本概念

一、平面点集n维空间

1．平面点集

由平面解析几何知道 当在平面上引入了一个直角坐标系后平面上的点P与有序二元实数组(x y)之间就建立了一一对应 于是 我们常把有序实数组(x y)与平面上的点P视作是等同的 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面

二元的序实数组(x y)的全体 即R2RR{(x y)|x yR}就表示坐标平面

坐标平面上具有某种性质P的点的集合 称为平面点集 记作

E{(x y)|(x y)具有性质P}

例如平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是

C{(x y)| x2y2r2}

如果我们以点P表示(x y) 以|OP|表示点P到原点O的距离 那么集合C可表成 C{P| |OP|r}

邻域

设P0(x0 y0)是xOy平面上的一个点 是某一正数 与点P0(x0 y0)距离小于的点P(x y)的全体 称为点P0的邻域 记为U(P0  即

U(P0,){P| |PP0|}或U(P0,){(x, y)|(xx0)2(yy0)2 }

邻域的几何意义 U(P0 )表示xOy平面上以点P0(x0 y0)为中心、 >0为半径的圆的内部的点P(x y)的全体 

点P0的去心邻域 记作U(P0, ) 即



U(P0, ){P| 0|P0P|}

注 如果不需要强调邻域的半径 则用U(P0)表示点P0的某个邻域 点P0的去心邻域记作U(P0)

点与点集之间的关系

任意一点PR2与任意一个点集ER2之间必有以下三种关系中的一种

(1)内点 如果存在点P的某一邻域U(P) 使得U(P)E 则称P为E的内点

(2)外点 如果存在点P的某个邻域U(P) 使得U(P)E 则称P为E的外点

(3)边界点 如果点P的任一邻域内既有属于E的点 也有不属于E的点 则称P点为E的边点

E的边界点的全体 称为E的边界 记作E

E的内点必属于E E的外点必定不属于E 而E的边界点可能属于E 也可能不属于E 

聚点

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§8

多元函数微分法及其应用

如果对于任意给定的0 点P的去心邻域U(P,)内总有E中的点 则称P是E的聚点

由聚点的定义可知 点集E的聚点P本身 可以属于E 也可能不属于E 

例如 设平面点集

E{(x y)|1x2y22}

2222满足1xy2的一切点(x y)都是E的内点 满足xy1的一切点(x y)都是E的边界点 它们22都不属于E 满足xy2的一切点(x y)也是E的边界点 它们都属于E 点集E以及它的界边E上的一切点都是E的聚点

开集 如果点集E 的点都是内点 则称E为开集

闭集 如果点集的余集E c为开集 则称E为闭集

开集的例子 E{(x y)|1

闭集的例子 E{(x y)|1x2y22}

集合{(x y)|1x2y22}既非开集 也非闭集

连通性 如果点集E内任何两点 都可用折线连结起来 且该折线上的点都属于E 则称E为连通集

区域(或开区域) 连通的开集称为区域或开区域 例如E{(x y)|1x2y22}

闭区域 开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域 例如E  {(x y)|1x2y22}

有界集 对于平面点集E 如果存在某一正数r 使得

EU(O r)

其中O是坐标原点 则称E为有界点集

无界集 一个集合如果不是有界集 就称这集合为无界集

例如 集合{(x y)|1x2y22}是有界闭区域 集合{(x y)| xy1}是无界开区域

集合{(x y)| xy1}是无界闭区域

2 n维空间

设n为取定的一个自然数 我们用Rn表示n元有序数组(x1 x2     xn)的全体所构成的集合 即

RnRRR{(x1 x2     xn)| xiR i1 2  n}

Rn中的元素(x1 x2     xn)有时也用单个字母x来表示 即x(x1 x2     xn) 当所有的xi(i1 2  n)都为零时 称这样的元素为R中的零元 记为0或O  在解析几何中 通过直角坐标 R2(或R3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应 因而Rn中的元素x(x1 x2     xn)也称为Rn中的一个点或一个n维向量 xi称为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量 特别地 Rn中的零元0称为Rn中的坐标原点或n维零向量

为了在集合Rn中的元素之间建立联系 在Rn中定义线性运算如下

设x(x1 x2     xn) y(y1 y2     yn)为Rn中任意两个元素 R 规定

xy(x1 y1 x2 y2     xn yn) x(x1 x2     xn)

这样定义了线性运算的集合Rn称为n维空间

n

R中点x(x1 x2     xn)和点 y(y1 y2     yn)间的距离 记作(x y) 规定

(x,y)(x1y1)2(x2y2)2    (xnyn)2

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n

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§8

多元函数微分法及其应用

显然 n1 2 3时 上术规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一至

Rn中元素x(x1 x2     xn)与零元0之间的距离(x 0)记作||x||(在R1、R2、R3中 通常将||x||记作|x|) 即

||x||22

x12x2    xn采用这一记号 结合向量的线性运算 便得

||xy||(x1y1)2(x2y2)2    (xnyn)2(x,y)

在n维空间Rn中定义了距离以后 就可以定义Rn中变元的极限

设x(x1 x2     xn) a(a1 a2     an)R

如果

||xa||0

则称变元x在Rn中趋于固定元a 记作xa 

显然

xa  x1a1 x2a2     xnan 

在Rn中线性运算和距离的引入 使得前面讨论过的有关平面点集的一系列概念 可以方便地引入到n(n3)维空间中来 例如

设a(a1 a2     an)R 是某一正数 则n维空间内的点集

U(a ){x| x R (x a)} 就定义为Rn中点a的邻域 以邻域为基础 可以定义点集的内点、外点、边界点和聚点 以及开集、闭集、区域等一系列概念

二 多元函数概念

例１ 圆柱体的体积V 和它的底半径r、高h之间具有关系

V r2h这里 当r、h在集合{(r  h)| r>0 h>0}内取定一对值(r  h)时 V对应的值就随之确定

例2 一定量的理想气体的压强p、体积V和绝对温度T之间具有关系

pRTVnn

n其中R为常数 这里 当V、T在集合{(V T)| V>0 T>0}内取定一对值(V T)时 p的对应值就随之确定

例3 设R 是电阻R1、R2并联后的总电阻 由电学知道 它们之间具有关系

RR1R2R1R2

这里 当R1、R2在集合{(R1 R2)| R1>0 R2>0}内取定一对值(R1  R2)时 R的对应值就随之确定 

定义1 设D是R2的一个非空子集 称映射f  DR为定义在D上的二元函数 通常记为

zf(x y)(x y)D(或zf(P) PD)

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§8

多元函数微分法及其应用

其中点集D称为该函数的定义域 x y称为自变量 z称为因变量

上述定义中 与自变量x、y的一对值(x y)相对应的因变量z的值 也称为f在点(x y)处的函数值 记作f(x y) 即zf(x y)

值域 f(D){z| zf(x y)(x y)D}

函数的其它符号 zz(x y) zg(x y)等

类似地可定义三元函数uf(x y z)(x y z)D以及三元以上的函数

一般地 把定义1中的平面点集D换成n维空间R内的点集D 映射f  DR就称为定义在D上的n元函数 通常记为

uf(x1 x2     xn)(x1 x2     xn)D

或简记为

uf(x) x(x1 x2     xn)D

也可记为

uf(P) P(x1 x2     xn)D 

关于函数定义域的约定 在一般地讨论用算式表达的多元函数uf(x)时 就以使这个算式有意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域 因而 对这类函数 它的定义域不再特别标出 例如

函数zln(xy)的定义域为{(x y)|xy>0}(无界开区域)

函数zarcsin(xy)的定义域为{(x y)|xy1}(有界闭区域)

二元函数的图形 点集{(x y z)|zf(x y)(x y)D}称为二元函数zf(x y)的图形 二元函数的图形是一张曲面

例如 zaxbyc是一张平面 而函数z=x2+y2的图形是旋转抛物面

三 多元函数的极限

与一元函数的极限概念类似 如果在P(x y)P0(x0 y0)的过程中 对应的函数值f(x y)无限接近于一个确定的常数A 则称A是函数f(x y)当(x y)(x0 y0)时的极限

定义2

设二元函数f(P)f(x y)的定义域为D P0(x0 y0)是D的聚点 如果存在常数A 对于任意给定

n2222的正数总存在正数 使得当P(x,y)DU(P0,)时 都有

|f(P)A||f(x y)A|

成立 则称常数A为函数f(x y)当(x y)(x0 y0)时的极限 记为

也记作

limf(P)A或f(P)A(PP0)

PP0(x,y)(x0,y0)limf(x,y)A 或f(x y)A((x y)(x0 y0))

上述定义的极限也称为二重极限

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§8

多元函数微分法及其应用

例4.设f(x,y)(x2y2)sin

证

因为

1 求证limf(x,y)0

(x,y)(0,0)x2y211220| |xy||sin| x2y2

2222xyxy

|f(x,y)0||(x2y2)sin可见 >0 取 则当

0(x0)2(y0)2

即P(x,y)DU(O,)时 总有

|f(x y)0|

因此lim(x,y)(0,0)f(x,y)0

必须注意 

(1)二重极限存在 是指P以任何方式趋于P0时 函数都无限接近于A

(2)如果当P以两种不同方式趋于P0时 函数趋于不同的值 则函数的极限不存在

讨论

xy22 xy02 函数f(x,y)xy2在点(0 0)有无极限？ 220 xy0

提示 当点P(x y)沿x轴趋于点(0 0)时

lim(x,y)(0,0)f(x,y)limf(x, 0)lim00

x0x0当点P(x y)沿y轴趋于点(0 0)时

lim(x,y)(0,0)f(x,y)limf(0, y)lim00

y0y0当点P(x y)沿直线ykx有

lim(x,y)(0,0)y  kxkx2klim x2y2x0x2k2x21k2xy因此 函数f(x y)在(0 0)处无极限

极限概念的推广 多元函数的极限

多元函数的极限运算法则

与一元函数的情况类似

例5 求 lim(x,y)(0,2)sin(xy)x

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§8

多元函数微分法及其应用

解

sin(xy)sin(xy)sin(xy)limylimlimy122

xxy(x,y)(0,2)(x,y)(0,2)xy(x,y)(0,2)(x,y)(0,2)lim

四 多元函数的连续性

定义3 设二元函数f(P)f(x y)的定义域为D P0(x0 y0)为D的聚点 且P0D  如果

lim(x,y)(x0,y0)f(x,y)f(x0,y0)

则称函数f(x y)在点P0(x0 y0)连续

如果函数f(x y)在D的每一点都连续 那么就称函数f(x y)在D上连续 或者称f(x y)是D上的连续函数

二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数f(P)上去

例6设f(x,y)sin x 证明f(x y)是R2上的连续函数

证 设P0(x0 y0) R2 0 由于sin x在x0处连续 故0 当|xx0|时 有

|sin xsin x0|

以上述作P0的邻域U(P0 ) 则当P(x y)U(P0 )时 显然

|f(x y)f(x0 y0)||sin xsin x0|

2即f(x y)sin x在点P0(x0 y0)连续 由P0的任意性知 sin x作为x y的二元函数在R上连续

证 对于任意的P0(x0 y0)R2 因为

lim(x,y)(x0,y0)f(x,y)lim(x,y)(x0,y0)sinxsinx0f(x0,y0)

所以函数f(x,y)sin x在点P0(x0 y0)连续 由P0的任意性知 sin x作为x y的二元函数在R2上连续

类似的讨论可知 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时 它们在各自的定义域内都是连续的

定义4设函数f(x y)的定义域为D P0(x0 y0)是D的聚点 如果函数f(x y)在点P0(x0 y0)不连续 则称P0(x0 y0)为函数f(x y)的间断点

例如

xy22 xy02 函数f(x,y)xy2

220 xy0其定义域DR2 O(0 0)是D的聚点 f(x y)当(x y)(0 0)时的极限不存在 所以点O(0 0)是该函数的一个间断点

又如 函数zsin1 其定义域为D{(x y)|x2y21} 圆周C{(x y)|x2y21}上的点2xy12都是D的聚点 而f(x y)在C上没有定义 当然f(x y)在C上各点都不连续 所以圆周C上各点都是该函数的间断点

注 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点

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§8

多元函数微分法及其应用

可以证明 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数 连续函数的商在分母不为零处仍连续 多元连续函数的复合函数也是连续函数

多元初等函数 与一元初等函数类似 多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数 这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的

例如xx2y21y2 sin(xy) ex2y2z2都是多元初等函数

一切多元初等函数在其定义区域内是连续的 所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域

由多元连续函数的连续性 如果要求多元连续函数f(P)在点P0处的极限 而该点又在此函数的定义区域内 则

lim 例7 求pp0f(P)f(P0)

lim(x,y)(1,2)xy xy 解

函数f(x,y)xyxy是初等函数 它的定义域为

D{(x y)|x0 y0}

P0(1 2)为D的内点 故存在P0的某一邻域U(P0)D 而任何邻域都是区域 所以U(P0)是f(x y)的一个定义区域 因此

lim(x,y)(1,2)f(x,y)f(1,2)3

2一般地 求limf(P)时 如果f(P)是初等函数 且P0是f(P)的定义域的内点 则f(P)在点P0PP0处连续 于是

limf(P)f(P0)

PP0 例8 求lim(x,y)(0, 0)xy11xy

(xy11)(xy11)xy(xy11)解 lim(x,y)(0, 0)xy11xylim(x,y)(0, 0)lim(x,y)(0, 0)1xy111

多元连续函数的性质

性质1(有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数 必定在D上有界 且能取得它的最大值和最小值

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§8

多元函数微分法及其应用

性质1就是说 若f(P)在有界闭区域D上连续 则必定存在常数M0 使得对一切PD 有|f(P)|M 且存在P1、P 2D 使得

f(P1)max{f(P)|PD}

f(P2)min{f(P)|PD}

性质2(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值

§8 2

偏导数

一、偏导数的定义及其计算法

对于二元函数zf(x y) 如果只有自变量x 变化 而自变量y固定 这时它就是x的一元函数 这函数对x的导数 就称为二元函数zf(x y)对于x的偏导数

定义

设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某一邻域内有定义 当y固定在y0而x在x0处有增量x时 相应地函数有增量

f(x0x y0)f(x0 y0)

如果极限

limx0f(x0x,y0)f(x0,y0)x

存在 则称此极限为函数zf(x y)在点(x0 y0)处对x的偏导数 记作

zxxx0yy0

fxxx0yy0 zxxx0yy0 或fx(x0,y0)

例如

fx(x0,y0)limf(x0x,y0)f(x0,y0)x

x0类似地 函数zf(x y)在点(x0 y0)处对y 的偏导数定义为

limy0f(x0,y0y)f(x0,y0)y

记作 zyxx0yy0 fyxx0yy0 zyxx0yy0 或fy(x0 y0)

偏导函数

如果函数zf(x y)在区域D内每一点(x y)处对x的偏导数都存在 那么这个偏导数就是x、y的函数 它就称为函数zf(x y)对自变量x的偏导函数 记作

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§8

多元函数微分法及其应用

偏导函数的定义式 fx(x,y)limfz  zx 或fx(x,y) xxf(xx,y)f(x,y)x0x

类似地 可定义函数zf(x y)对y的偏导函数 记为

fz  zy  或fy(x,y)

yyf(x,yy)f(x,y)

y偏导函数的定义式 fy(x,y)lim

求导数 fxy0时 只要把y暂时看作常量而对x求导数 求

fy时 只要把x暂时看作常量而对y求

讨论 下列求偏导数的方法是否正确？

fx(x0,y0)fx(x,y)xx0 fy(x0,y0)fy(x,y)xx0 yy0yy0

fx(x0,y0)[ddf(x0,y)]yy

 fy(x0,y0)[f(x,y0)]0xx0dydx

偏导数的概念还可推广到二元以上的函数例如三元函数uf(x y z)在点(x y z)处对x的偏导数定义为

fx(x,y,z)limx0f(xx,y,z)f(x,y,z)

x其中(x y z)是函数uf(x y z)的定义域的内点 它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题

例1 求zx3xyy在点(1 2)处的偏导数

解 zzz3x2y 2x3y yxxx121328 y22

2zyx1y231227

例2 求zx2sin 2y的偏导数

解 zz2x2cos2y

2xsin2y yxxz1z2z

yxlnxy 例3 设zxy(x0,x1) 求证

证 zyxxy1 zxylnxy 高等数学课程建设组 高等数学教案

§8

多元函数微分法及其应用

xz1zxyxyxlnxyyy11xylnxxyxy2z

lnx 例4 求rx2y2z2的偏导数

解 rxxxyz222xr yryxyz222yr

例5 已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数) 求证 pVT1

VTppRTRT 2 VVVRTVR

V

pTp 证 因为p

TpVTV



pRR所以pVTRTRVRT21

VTppRpVV

例5 说明的问题 偏导数的记号是一个整体记号 不能看作分子分母之商

二元函数zf(x y)在点(x0 y0)的偏导数的几何意义 

fx(x0 y0)[f(x y0)]x是截线zf(x y0)在点M0处切线Tx对x轴的斜率

fy(x0 y0)[f(x0 y)]y是截线zf(x0 y)在点M0处切线Ty对y轴的斜率

偏导数与连续性 对于多元函数来说 即使各偏导数在某点都存在 也不能保证函数在该点连续 例如

xy x 2 y2022

f(x,y)xy

 2  y200 x在点(0 0)有 fx(0 0)0 fy(0 0)0 但函数在点(0 0)并不连续

提示

f(x, 0)0 f(0, y)0

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§8

多元函数微分法及其应用

d[f(0, y)]0

fx(0, 0)d[f(x, 0)]0 fy(0, 0)dxdy

当点P(x y)沿x轴趋于点(0 0)时 有

lim(x,y)(0,0)f(x,y)limf(x, 0)lim00

x0x0

当点P(x y)沿直线ykx趋于点(0 0)时 有

lim(x,y)(0,0)ykxxyx2y2limx0kx2k 2222xkx1k因此 lim(x,y)(0,0)f(x,y)不存在 故函数f(x y)在(0 0)处不连续

类似地 可定义函数zf(x y)对y的偏导函数 记为

fz  zy  或fy(x,y)

yyf(x,yy)f(x,y)

y偏导函数的定义式 fy(x,y)lim

二

高阶偏导数 y0

设函数zf(x y)在区域D内具有偏导数

zzfy(x,y)

fx(x,y) yx那么在D内fx(x y)、fy(x y)都是x y 的函数 如果这两个函数的偏导数也存在 则称它们是函数zf(x y)的二偏导数 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数

如果函数zf(x y)在区域D内的偏导数fx(x y)、fy(x y)也具有偏导数

则它们的偏导数称为函数zf(x y)的二阶偏导数 按照对变量求导次序的 不同有下列四个二阶偏导数

z2zz2z()fxy(x,y)

()2fxx(x,y)

yxxyxxxz2zz2z()fyx(x,y)

()2fyy(x,y)

xyyxyyy

z2zz2z()fxy(x,y)()fyx(x,y)称为混合偏导数 其中yxxyxyyx

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§8

多元函数微分法及其应用

z2zz2zz2zz2z ()()()2()2

yxxyxyyxyyxxxy 同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数  二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数

2z2z2z3z

例6 设zxy3xyxy1 求2、3、和

yxxyxx323z2x3y9xy2x

解 z3x2y23y3y

xy2z3z 6xy 6y2

32xx2z2z226xy9y1 6x2y9y21 

xyyx

2z2z由例6观察到的问题

yxxy2z2z

定理 如果函数zf(x y)的两个二阶混合偏导数及在区域D内连续 那么在该区

yxxy域内这两个二阶混合偏导数必相等

类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数

例7 验证函数zln2z2zxy满足方程220

xy22 证 因为zlnx2y21ln(x2y2) 所以 2

yzzx2 

xxy2yx2y222y2x22z(xy)x2x



2x2(x2y2)2(xy2)2 高等数学课程建设组 高等数学教案

§8

多元函数微分法及其应用

22x2y22z(xy)y2y



2y2(x2y2)2(xy2)2x2y2y2x22z2z因此 22220

2222xy(xy)(xy)2u2u2u 例8．证明函数u1满足方程2220

rxyz其中rx2y2z2

证 u12r12xx3

xrxrrr

2u13xr13x25

2343xxrrrr22u13z22u13y同理

35

35

z2rry2rr22u2u2u13x213y13z2因此222(35)(35)(35)

xyzrrrrrr22233(xyz)33r2

3350

rr5rr提示

ux()x2xr32r3x3r(r)r3x3r2xx

r6r6 §8 3全微分及其应用

一、全微分的定义

根据一元函数微分学中增量与微分的关系有

偏增量与偏微分

f(xx y)f(x y)fx(x y)x

f(xx y)f(x y)为函数对x的偏增量 f x(x y)x为函数对x的偏微分

f(x yy)f(x y)fy(x y)y

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§8

多元函数微分法及其应用

f(x yy)f(x y)为函数)对y的偏增量 f y(x y)y为函数对y的偏微分

全增量

z f(xx yy)f(x y)

计算全增量比较复杂

我们希望用x、y的线性函数来近似代替之

定义

如果函数zf(x y)在点(x y)的全增量

z f(xx yy)f(x y)可表示为

zAxByo()((x)2(y)2)

其中A、B不依赖于x、y 而仅与x、y 有关 则称函数zf(x y)在点(x y)可微分 而称AxBy为函数zf(x y)在点(x y)的全微分 记作dz 即

dzAxBy

如果函数在区域D内各点处都可微分 那么称这函数在D内可微分

可微与连续 可微必连续 但偏导数存在不一定连续

这是因为 如果zf(x y)在点(x y)可微则

z f(xx yy)f(x y)AxByo()于是 limz0

0从而 lim(x,y)(0,0)f(xx,yy)lim[f(x,y)z]f(x,y)

0因此函数zf(x y)在点(x y)处连续

可微条件

定理1(必要条件)

如果函数zf(x y)在点(x y)可微分 则函数在该点的偏导数y)在点(x y)的全微分为

dzzzxy

xyzz、必定存在 且函数zf(x yx

证 设函数zf(x y)在点P(x y)可微分 于是 对于点P的某个邻域内的任意一点P (xx yy) 有zAxByo() 特别当y0时有

f(xx y)f(x y)Axo(|x|)

上式两边各除以x 再令x0而取极限 就得

lim从而偏导数 x0f(xx,y)f(x,y)A

xzzzzB 所以 A同理可证偏导数存在 且存在 且

yyxx高等数学课程建设组 高等数学教案

§8

多元函数微分法及其应用

dzzzxy

xy

简要证明设函数zf(x y)在点(x y)可微分 于是有zAxByo() 特别当y0时有

f(xx y)f(x y)Axo(|x|)

上式两边各除以x 再令x0而取极限 就得

limx0f(xx,y)f(x,y)o(|x|)lim[A]A

xxx0从而zzzzzzB 所以dzxy

存在 且存在 且A同理yyxyxxzz、存在是可微分的必要条件 但不是充分条件yx 偏导数

例如xy x2y20 函数f(x,y)x2y2在点(00)处虽然有f x(0 0)0及f y(0 0)0但函数在0 x2y20(00)不可微分即z[fx(0 0)xfy(0 0)y]不是较高阶的无穷小 这是因为当(x y)沿直线yx趋于(0 0)时

定理2(充分条件)

如果函数zf(x y)的偏导数

zz、在点(x y)连续 则函数在该点可微分

yxz[fx(0, 0)xfy(0, 0)y]xy(x)2(y)2xx10 222(x)(x)

定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数

按着习惯x、y分别记作dx、dy 并分别称为自变量的微分则函数zf(x y)的全微分可写作

dzzzdxdy

xy

二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理

叠加原理也适用于二元以上的函数 例如函数uf(x y z)的全微分为

duuuudxdydz

xyz

例1 计算函数zx2y y2的全微分

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§8

多元函数微分法及其应用

解 因为zzx22y

2xy yx所以dz2xydx(x22y)dy 

例2 计算函数zexy在点(2 1)处的全微分

解 因为zzxexy

yexy yx

zxx2y12e2

2zyx2y12e2

所以

dzedx2edy 

例3 计算函数uxsinyeyz的全微分解 因为yu1uucoszeyz yeyz

1

y22zxy1所以

dudx(coszeyz)dyyeyzdz

2*

二、全微分在近似计算中的应用

当二元函数zf(x y)在点P(x y)的两个偏导数f x(x y) f y(x y)连续 并且|x| |y|都较小时 有近似等式

z dz f x(x y)xf y(x y)y 

即

f(xx yy) f(x y)f x(x y)xf y(x y)y 

我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算

例4 有一圆柱体 受压后发生形变 它的半径由20cm增大到20 05cm 高度由100cu减少到99cm 求此圆柱体体积变化的近似值

解

设圆柱体的半径、高和体积依次为r、h和V 则有

V r 2h 

已知r20 h100 r0 05 h1 根据近似公式 有

VdVVrrVhh2rhrr2h

2201000 0520(1)200(cm)

即此圆柱体在受压后体积约减少了200 cm3

例5 计算(1 04)202的近似值

解

设函数f(x y)x y  显然 要计算的值就是函数在x104 y202时的函数值f(104 202)

取x1 y2 x004 y002 由于

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23高等数学教案

§8

多元函数微分法及其应用

f(xx yy) f(x y)f x(x y)xf y(x y)y

xyxxxln x y 

所以

(104)20212212100412ln1002108

例6 利用单摆摆动测定重力加速度g的公式是

g42l 2T y

yy现测得单摆摆长l与振动周期T分别为l=100±0.1cm、T=2±0.004s.问由于测定l与T的误差而引起g的绝对误差和相对误差各为多少？

解 如果把测量l与T所产生的误差当作|Δl|与|ΔT|, 则利用上述计算公式所产生的误差就是42l二元函数g2的全增量的绝对值|Δg|.由于|Δl||ΔT|都很小因此我们可以用dg来近似地代替TΔg这样就得到g的误差为

|g||dg||

|glgllgTgTT|

|l||T

42(12lT) lT2T3其中l与T为l与T的绝对误差 把l=100 T=2, l=0.1, δT=0.004代入上式 得g的绝对误差约为

g42(0.121000.004)2320.524.93(cm/s2).0.520.500

2g410022g从上面的例子可以看到对于一般的二元函数z=f(x, y), 如果自变量x、y 的绝对误差分别为x、y, 即

|Δx |x，|Δy |y，则z的误差

|z||dz||

| zzxy|

xyzz||x||||y| xy高等数学课程建设组 高等数学教案

§8

多元函数微分法及其应用

|从而得到z的绝对误差约为 zz|x||y xy

z|z的相对误差约为 zz|x||y xyzzyy

zxx|z|zz

§8 4 多元复合函数的求导法则

设zf(u v) 而u(t) v(t) 如何求dz？

dt

设zf(u v) 而u(x y) v(x y) 如何求

zz和？ yx

1 复合函数的中间变量均为一元函数的情形

定理1 如果函数u(t)及v(t)都在点t可导 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数zf[(t) (t)]在点t可导 且有

dzzduzdv

dtudtvdt

简要证明1 因为zf(u v)具有连续的偏导数 所以它是可微的 即有

dzzzdudv uv又因为u(t)及v(t)都可导 因而可微 即有

du代入上式得

dz从而

zduzdvzduzdvdtdt()dt

udtvdtudtvdtdudvdt dvdt

dtdtdzzduzdv

dtudtvdt

简要证明2 当t取得增量t时 u、v及z相应地也取得增量u、v及z  由zf(u v)、u(t)及v(t)的可微性 有

z zzzduzdvuvo()[to(t)][to(t)]o()uvudtvdt高等数学课程建设组 高等数学教案

§8

多元函数微分法及其应用

（zduzdvzz)t()o(t)o()

udtvdtuvzzduzdvzzo(t)o()

()tudtvdtuvtt令t0 上式两边取极限 即得

dzzduzdv

dtudtvdtlimt0注limt0o()to()(u)2(v)2t0(du2dv)()20

dtdt推广 设zf(u v w) u(t) v(t) w(t) 则zf[(t) (t) (t)]对t 的导数为

dzzduzdvzdw

dtudtvdtwdt上述dz称为全导数

dt

2 复合函数的中间变量均为多元函数的情形

定理2 如果函数u(x y) v(x y)都在点(x y)具有对x及y的偏导数 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数zf [(x y) (x y)]在点(x y)的两个偏导数存在 且有

zzuzvzzuzv  xuxvxyuyvyzzuzvzwzzuzvzw 

yuyvywyxuxvxwx

推广 设zf(u v w) u(x y) v(x y) w(x y) 则

讨论

(1)设zf(u v) u(x y) v(y) 则

提示

zz？ ？

yxzzuzdvzzu 

yuyvdyxux

(2)设zf(u x y) 且u(x y) 则

zz？

？

yx

提示 zfufzfuf 

yuyyxuxx这里ffzz与是不同的 是把复合函数zf[(x y) x y]中的y看作不变而对x的偏导数 xxxx 高等数学课程建设组 高等数学教案

§8

多元函数微分法及其应用

是把f(u x y)中的u及y看作不变而 对x的偏导数

fz与也朋类似的区别

yy

3．复合函数的中间变量既有一元函数 又有多元函数的情形

定理3 如果函数u(x y)在点(x y)具有对x及对y的偏导数 函数v(y)在点y可导 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数zf[(x y) (y)]在点(x y)的两个偏导数存在 且有

zzuzdv

zzu 

xuxyuyvdy

例1 设zeusin v uxy vxy 求z和

xz

y

解 zzuzv

xuxx yvx

eusin vyeucos v1

e[y sin(xy)cos(xy)]

zzuzv yuyvyuu

esin vxecos v1

exy[x sin(xy)cos(xy)]

例2 设uf(x,y,z)ex

解 uffz xxzx22y2z2 而zx2siny 求

uu和

yx

2xexy2z22zex2y2z22xsiny

2x(12x2sin2y)exuffz yyzy222y2x4siny

2yexy2z22zex2y2z2x2cosy

2(yx4sinycosy)ex22y2x4siny

dz

dt

例3 设zuvsin t  而uet vcos t 求全导数 高等数学课程建设组 高等数学教案

§8

多元函数微分法及其应用

解 dzzduzdvz

dtudtvdtt

vetu(sin t)cos t

etcos te tsin tcos t

e(cos tsin t)cos t 

2ww

例4 设wf(xyz xyz) f具有二阶连续偏导数 求及

xzxt

解 令uxyz vxyz  则wf(u v)

引入记号 f1

f(u,v)u f12f(u,v)uvf22等

 同理有f2f11wfufvf1yzf2

xuxvxff2w

(f1yzf2)1yf2yz2

xzzzzxyf12yf2yzf21xy2zf22

f11y(xz)f12yf2xy2zf22

f1

1注 f1f1uf1vffuf2vxyf12 22xyf22 f11f21zuzvzzuzvz

例5 设uf(x y)的所有二阶偏导数连续 把下列表达式转换成极坐标系中的形式

u2u22u2u(1)()()

(2)22

xyxy解 由直角坐标与极坐标间的关系式得

uf(x y)f(cosθ sinθ)F( θ)

其中xcosθ ysinθ 应用复合函数求导法则 得

uuuuuysinuxuycos

xxx2uucosuuuuyuxsin yyy2x2y2 arctanyx

两式平方后相加 得

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§8

多元函数微分法及其应用

(u)2(u)2(u)212(u)2

xy再求二阶偏导数 得

2uuu

()()x2xxxx

uusin(cos)cos uusinsin(cos) 



2u2usincos2usin2 2cos2222u2sincosusin2

 2同理可得

2u2u2usincos2ucos22 sin22222y2u2sincosucos

 2两式相加 得

2u2u2u112u 22222xy1u2u

2[()]

2

全微分形式不变性

设zf(u v)具有连续偏导数 则有全微分

dzzzdudv

uv如果zf(u v)具有连续偏导数 而u(x y) v(x y)也具有连续偏导数 则

dz zzdxdy

xy高等数学课程建设组 高等数学教案

§8

多元函数微分法及其应用

（zuzvzuzv)dx()dy

uxvxuyvyzuuzvv(dxdy)(dxdy)

uxyvxy

zduzdv

uv由此可见 无论z 是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数 它的全微分形式是一样的 这个性质叫做全微分形式不变性

例6 设ze usin v ux y vxy 利用全微分形式不变性求全微分

解 dzzduzdv e usin vdu e ucos v dv uv

 e usin v(y dxx dy) e ucos v(dxdy)

(ye usin v e ucos v)dx(xe usin v e ucos v)dy

e xy [y sin(xy)cos(xy)]dx e xy [x sin(xy)cos(xy)]dy 

§8隐函数的求导法则 一、一个方程的情形

隐函数存在定理1

设函数F(x y)在点P(x0 y0)的某一邻域内具有连续偏导数 F(x0 y0)0 Fy(x0 y0)0 则方程F(x y)0在点(x0 y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数yf(x) 它满足条件y0f(x0) 并有

dydxFxFy



求导公式证明 将yf(x)代入F(x y)0 得恒等式

F(x f(x))0

等式两边对x求导得

FFdy0

xydx由于F y连续 且Fy(x0 y0)0 所以存在(x0 y0)的一个邻域 在这个邻域同Fy 0 于是得

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§8

多元函数微分法及其应用

dydxFxFy

例1 验证方程x2y210在点(0 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x) 并求这函数的一阶与二阶导数在x0的值

解 设F(x y)xy1 则Fx2x Fy2y F(0 1)0 Fy(0 1)20 因此由定理1可知 方程x2y210在点(0 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x)

dydxFxFy22dyx ydx0

x0

d2ydx2d2ydx2yxyy2yx(y2x)yy2x2y31

3y

1

x0

隐函数存在定理还可以推广到多元函数 一个二元方程F(x y)0可以确定一个一元隐函数 一个三元方程F(x y z)0可以确定一个二元隐函数

隐函数存在定理2

设函数F(x y z)在点P(x0 y0 z0)的某一邻域内具有连续的偏导数 且F(x0 y0 z0)0 Fz(x0 y0 z0)0  则方程F(x y z)0在点(x0 y0 z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数zf(x y) 它满足条件z0f(x0 y0) 并有

FyFxzz 

yFzxFz

公式的证明 将zf(x y)代入F(x y z)0 得F(x y f(x y))0

将上式两端分别对x和y求导 得

FxFzzz0 0 FyFzyx因为F z连续且F z(x0 y0 z0)0 所以存在点(x0 y0 z0)的一个邻域 使F z0 于是得 FyFxzz

 

yFzxFz

例2.设x2y2z24z0 求 2z

2x高等数学课程建设组 高等数学教案

§8

多元函数微分法及其应用

解

设F(x y z) xyz4z 则Fx2x Fy2z4

Fz2xx

xxFz2z42z22 2z2x(2x)xzx(2x)x()22x2z(2x)x

(2z)2(2z)2(2z)

3二、方程组的情形

在一定条件下 由个方程组F(x y u v)0 G(x y u v)0可以确定一对二元函数uu(x y) vv(x y) 例如方程xuyv0和yuxv1可以确定两个二元函数uyx2y2 vx

x2y2 事实上

xuyv0 vyxxuyuxu1u 

yyx2y2vyxx

2yxy2x2y

2如何根据原方程组求u v的偏导数？

隐函数存在定理隐函数存在定理3

设F(x y u v)、G(x y u v)在点P(x0 y0 u0 v0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数 又F(x0 y0 u0 v0)0 G(x0 y0 u0 v0)0 且偏导数所组成的函数行列式

F(F,G)u

JG(u,v)uFv Gv在点P(x0 y0 u0 v0)不等于零 则方程组F(x y u v)0 G(x y u v)0在点P(x0 y0 u0 v0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数uu(x y) vv(x y) 它们满足条件u0u(x0 y0) v0v(x0 y0) 并有

u1(F,G)

xJ(x,v)FuFvGuGvFxFvGxGv

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§8

多元函数微分法及其应用

v1(F,G)

xJ(u,x)FuFvGuGvFyFvGyGvFuFxGuGx

u1(F,G)

yJ(y,v)FuFvGuGvFuFyGuGy

v1(F,G)

yJ(u,y)FuFvGuGv

隐函数的偏导数: 设方程组F(x y u v)0 G(x y u v)0确定一对具有连续偏导数的 二元函数uu(x y) vv(x y) 则

FFuFv0,uvxuvxx 偏导数 由方程组确定 uvxxGv0.GxGuxxFFuFv0,uvyyyuv 偏导数 由方程组确定

uvyyGv0.GyGuyy 例3 设xuyv0 yuxv1 求

vuuv  和

yyxx 解 两个方程两边分别对x 求偏导 得关于

uv和的方程组 xxuxuyv0xx uvvx0yxx当x2y2 0时 解之得xuyvvyuxvu 

2xx2y2xxy2 高等数学课程建设组 高等数学教案

§8

多元函数微分法及其应用

两个方程两边分别对x 求偏导 得关于

uv和的方程组 yyxuvyv0yy uvx0uyyy当x2y2 0时 解之得uyxvyux2y2xuyv v

22yxy

另解 将两个方程的两边微分得

udxxduvdyydv0xduydvvdyudx 即

udyyduvdxxdv0yduxdvudyvdx解之得 duxuyvx2y2dxxvyux2y2dy

dvyuxvxy22dxxuyvxy22dy

xuyvuxvyu于是

u2 

222xxyyxy

xuyvvyuxvv  222xxy2yxy

例 设函数xx(u v) yy(u v)在点(u v)的某一领域内连续且有连续偏导数 又

(1)证明方程组

xx(u,v)

yy(u,v)(x,y)(u,v)0

在点(x y u v)的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数uu(x y) vv(x y)

(2)求反函数uu(x y) vv(x y)对x y的偏导数

解(1)将方程组改写成下面的形式

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多元函数微分法及其应用

F(x,y,u,v)xx(u,v)0

G(x,y,u,v)yy(u,v)0则按假设

J(F,G)(u,v)(x,y)(u,v)0.由隐函数存在定理3 即得所要证的结论

(2)将方程组(7)所确定的反函数uu(x y)vv(x y)代入(7) 即得

xx[u(x,y),v(x,y)]

yy[u(x,y),v(x,y)]将上述恒等式两边分别对x求偏导数得

1xuxv

uxvx

yuyv0uxvx由于J0 故可解得

同理 可得

§8 6多元函数微分学的几何应用

一

空间曲线的切线与法平面

设空间曲线的参数方程为

x(t) y(t) z(t)这里假定(t) (t) (t)都在[ ]上可导

在曲线上取对应于tt0的一点M0(x0 y0 z0)及对应于tt0t的邻近一点M(x0+x y0+y z0+z) 作曲线的割线MM0 其方程为

xx0xyy0yzz0zu1xv1x 

yJvyJuu1yv1y 

xJuxJv 当点M沿着趋于点M0时割线MM0的极限位置就是曲线在点M0处的切线 考虑

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§8

多元函数微分法及其应用

xx0yy0zz0 xyzttt当MM0 即t0时 得曲线在点M0处的切线方程为

xx0yy0zz0 (t0)(t0)(t0)

曲线的切向量 切线的方向向量称为曲线的切向量 向量

T((t0) (t0) (t0))就是曲线在点M0处的一个切向量

法平面 通过点M0而与切线垂直的平面称为曲线在点M0 处的法平面 其法平面方程为

(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0

例1 求曲线xt yt2 zt3在点(1 1 1)处的切线及法平面方程

解

因为xt1 yt2t zt3t2 而点(1 1 1)所对应的参数t1 所以

T (1 2 3)

于是 切线方程为

法平面方程为

(x1)2(y1)3(z1)0 即x2y3z6

讨论

1 若曲线的方程为

y(x) z(x)

问其切线和法平面方程是什么形式

提示 曲线方程可看作参数方程 xx y(x) z(x) 切向量为T(1 (x) (x))

2 若曲线的方程为

F(x y z)0 G(x y z)0

问其切线和法平面方程又是什么形式

提示 两方程确定了两个隐函数

y(x) z(x) 曲线的参数方程为

xx y(x) z(x) x1y1z1

123 高等数学课程建设组 高等数学教案

§8

多元函数微分法及其应用

dydzFxFyFz0dydxdx由方程组可解得和dz

dydxdxdzGxGyGz0dxdx切向量为T(1, dydz,) dxdx22

2例2 求曲线xyz6 xyz0在点(1 2 1)处的切线及法平面方程 

解 为求切向量 将所给方程的两边对x求导数 得

dydz2x2y2z0dxdx

dydz10dxdx解方程组得dydxzxdzxy  yzdxyzdydx0 dz1 dx在点(1 2 1)处

从而T (1 0 1)

所求切线方程为

法平面方程为

(x1)0(y2)(z1)0 即xz0

解 为求切向量 将所给方程的两边对x求导数 得

dydz2x2y2z0dxdx

dydz10dxdxx1y2z1

101方程组在点(1 2 1)处化为

dydz21dxdx



dydz1dxdx解方程组得dydx0 dz1 dx从而T (1 0 1)

所求切线方程为

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§8

多元函数微分法及其应用

法平面方程为 x1y2z1

10(x1)0(y2)(z1)0 即xz0

二 曲面的切平面与法线

设曲面的方程为

F(x y z)0

M0(x0 y0 z0)是曲面上的一点

并设函数F(x y z)的偏导数在该点连续且不同时为零 在曲面上 通过点M0任意引一条曲线 假定曲线的参数方程式为

x(t) y(t) z(t)

tt0对应于点M0(x0 y0 z0) 且(t0) (t0) (t0)不全为零 曲线在点的切向量为

T ((t0) (t0) (t0))

考虑曲面方程F(x y z)0两端在tt0的全导数

Fx(x0 y0 z0)(t0)Fy(x0 y0 z0)(t0)Fz(x0 y0 z0)(t0)0

引入向量

n(Fx(x0 y0 z0) Fy(x0 y0 z0) Fz(x0 y0 z0))

易见T与n是垂直的 因为曲线是曲面上通过点M0的任意一条曲线 它们在点M0的切线都与同一向量n垂直 所以曲面上通过点M0的一切曲线在点M0的切线都在同一个平面上 这个平面称为曲面在点M0的切平面 这切平面的方程式是

Fx(x0 y0 z0)(xx0)Fy(x0 y0 z0)(yy0)Fz(x0 y0 z0)(zz0)0

曲面的法线 通过点M0(x0 y0 z0)而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线 法线方程为

xx0Fx(x0, y0, z0)yy0Fy(x0, y0, z0)zz0Fz(x0, y0, z0)

曲面的法向量 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量 向量

n(Fx(x0 y0 z0) Fy(x0 y0 z0) Fz(x0 y0 z0))就是曲面在点M0处的一个法向量

例3 求球面xyz14在点(1 2 3)处的切平面及法线方程式

解

F(x y z) xyz14

Fx2x Fy2y  Fz2z 

Fx(1 2 3)2 Fy(1 2 3)4 Fz(1 2 3)6

高等数学课程建设组 222222高等数学教案

§8

多元函数微分法及其应用

法向量为n(2 4 6) 或n(1 2 3)

所求切平面方程为

2(x1)4(y2)6(z3)0 即x2y3z140

法线方程为x1y2z3

12

3讨论 若曲面方程为zf(x y) 问曲面的切平面及法线方程式是什么形式

提示

此时F(x y z)f(x y)z 

n(fx(x0 y0) fy(x0 y0) 1)

例4 求旋转抛物面zx2y21在点(2 1 4)处的切平面及法线方程

解

f(x y)xy1

n(fx fy 1)(2x 2y 1)

n|(2 1 4)(4 2 1)

所以在点(2 1 4)处的切平面方程为

4(x2)2(y1)(z4)0 即4x2yz60

法线方程为

§8 7 方向导数与梯度

一、方向导数

现在我们来讨论函数zf(x y)在一点P沿某一方向的变化率问题

设l是xOy平面上以P0(x0 y0)为始点的一条射线 el(cos  cos )是与l同方向的单位向量 射线l的参数方程为

xx0t cos  yy0t cos (t0)

设函数zf(x y)在点P0(x0 y0)的某一邻域U(P0)内有定义 P(x0t cos  y0t cos )为l上另一点 且PU(P0) 如果函数增量f(x0t cos  y0t cos )f(x0 y0)与P到P0的距离|PP0|t的比值

f(x0tcos, y0tcos)f(x0,y0)tx2y1z4

4212

2当P沿着l趋于P0(即tt0)时的极限存在

则称此极限为函数f(x y)在点P0沿方向l的方向导数 记作fl(x0,y0) 即

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§8

多元函数微分法及其应用

fllim(x0,y0)t0f(x0tcos, y0tcos)f(x0,y0)t

从方向导数的定义可知 方向导数率

方向导数的计算

fl(x0,y0)就是函数f(x y)在点P0(x0 y0)处沿方向l的变化

定理

如果函数zf(x y)在点P0(x0 y0)可微分 那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数都存在 且有

flfx(x0,y0)cosfy(x0,y0)cos

(x0,y0)其中cos  cos 是方向l 的方向余弦

简要证明 设xt cos  yt cos  则

f(x0tcos y0tcos)f(x0 y0)f x(x0 y0)tcosf y(x0 y0)tcoso(t)

所以

limf(x0tcos, y0tcos)f(x0,y0)tt0fx(x0,y0)cosfy(x0,y0)sin

这就证明了方向导数的存在 且其值为

flfx(x0,y0)cosfy(x0,y0)cos(x0,y0)提示 f(x0x,y0y)f(x0,y0)fx(x0,y0)xfy(x0,y0)yo((x)2(y)2)

xt cos  yt cos (x)2(y)2t

讨论 函数zf(x y)在点P 沿x轴正向和负向

沿y轴正向和负向的方向导数如何? 提示

沿x轴正向时 cos cos0

沿x轴负向时 cos1 cos0

flfx

ff lx

例1 求函数zxe2y在点P(1 0)沿从点P(1 0)到点Q(2 1)的方向的方向导数



解 这里方向l即向量PQ(1, 1)的方向 与l同向的单位向量为

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§8

多元函数微分法及其应用

el(12, 12)

因为函数可微分 且所以所求方向导数为

zl112zx(1,0)e2y(1,0)1

zy(1,0)2xe2y(1,0)2(1,0)2(12)2 2

对于三元函数f(x y z)来说 它在空间一点P0(x0 y0 z0)沿el(cos  cos  cos )的方向导数为

fllim(x0,y0,z0)f(x0tcos, y0tcos,z0tcos)f(x0,y0,z0)tt0

如果函数f(x y z)在点(x0 y0 z0)可微分 则函数在该点沿着方向el(cos  cos  cos 的方向导数为

fl(x0,y0,z0)fx(x0 y0 z0)cosfy(x0 y0 z0)cosfz(x0 y0 z0)cos

例2求f(x y z)xyyzzx在点(1 1 2)沿方向l的方向导数 其中l的方向角分别为60 45 60

解 与l同向的单位向量为

el(cos60 cos 45 cos60(, 因为函数可微分且

fx(1 1 2)(yz)|(1 1 2)3

fy(1 1 2)(xz)|(1 1 2)3

fz(1 1 2)(yx)|(1 1 2)2 所以

二 梯度

设函数zf(x y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数 则对于每一点P0(x0 y0)D 都可确定一个向量

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1221,)22fl1211332(532)

2222(1,1,2)高等数学教案

§8

多元函数微分法及其应用

fx(x0 y0)ify(x0 y0)j

这向量称为函数f(x y)在点P0(x0 y0)的梯度 记作grad f(x0 y0) 即

grad f(x0 y0) fx(x0 y0)ify(x0 y0)j

梯度与方向导数 

如果函数f(x y)在点P0(x0 y0)可微分 el(cos  cos )是与方向l同方向的单位向量 则

flfx(x0,y0)cosfy(x0,y0)cos

(x0,y0)

 grad f(x0 y0)el

| grad f(x0 y0)|cos(grad f(x0 y0)el)

这一关系式表明了函数在一点的梯度与函数在这点的方向导数间的关系 特别 当向量el与grad f(x0 y0)的夹角0 即沿梯度方向时 方向导数

fl^

取得最大值 这个最大值就是梯度

(x0,y0)的模|grad f(x0 y0)| 这就是说 函数在一点的梯度是个向量 它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向 它的模就等于方向导数的最大值

讨论 fl的最大值



结论 函数在某点的梯度是这样一个向量 它的方向与取得最大方向导数的方向一致 而它的模为方向导数的最大值

我们知道 一般说来二元函数zf(x y)在几何上表示一个曲面 这曲面被平面zc(c是常数)所截得的曲线L的方程为

zf(x,y)

zc这条曲线L在xOy面上的投影是一条平面曲线L* 它在xOy平面上的方程为

f(x y)c

对于曲线L*上的一切点 已给函数的函数值都是c 所以我们称平面曲线L*为函数zf(x y)的等值线

若f x f y不同时为零 则等值线f(x y)c上任一点P0(x0 y0)处的一个单位法向量为

n1fx2(x0,y0)fy2(x0,y0)(fx(x0,y0),fy(x0,y0))

这表明梯度grad f(x0 y0)的方向与等值线上这点的一个法线方向相同 而沿这个方向的方向导数

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§8

多元函数微分法及其应用

f就等于|grad f(x0 y0)| 于是 n

gradf(x0,y0)fn

n

这一关系式表明了函数在一点的梯度与过这点的等值线、方向导数间的关系 这说是说 函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同 它的指向为从数值较低的等值线指向数值较高的等值线 梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数

梯度概念可以推广到三元函数的情形 设函数f(x y z)在空间区域G内具有一阶连续偏导数 则对于每一点P0(x0 y0 z0)G 都可定出一个向量

fx(x0 y0 z0)ify(x0 y0 z0)jfz(x0 y0 z0)k

这向量称为函数f(x y z)在点P0(x0 y0 z0)的梯度 记为grad f(x0 y0 z0) 即

grad f(x0 y0 z0)fx(x0 y0 z0)ify(x0 y0 z0)jfz(x0 y0 z0)k

结论 三元函数的梯度也是这样一个向量 它的方向与取得最大方向导数的方向一致 而它的模为方向导数的最大值

如果引进曲面

f(x y z)c

为函数的等量面的概念 则可得函数f(x y z)在点P0(x0 y0 z0)的梯度的方向与过点P0的等量面 f(x y z)c在这点的法线的一个方向相同 且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面 而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数

例3 求grad 1

xy22 解 这里f(x,y)1

xy2

2因为 ff2y2x 

2xy(xy2)2(x2y2)22y2x1ij

222222x2y2(xy)(xy)所以

grad

例4 设f(x y z)x2y2z2 求grad f(1 1 2)

解 grad f(fx fy fz)(2x 2y 2z)

于是

grad f(1 1 2)(2 2 4)

数量场与向量场 如果对于空间区域G内的任一点M 都有一个确定的数量f(M) 则称在这空间区域G内确定了一个数量场(例如温度场、密度场等) 一个数量场可用一个数量函数f(M)来

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§8

多元函数微分法及其应用

确定 如果与点M相对应的是一个向量F(M) 则称在这空间区域G内确定了一个向量场(例如力场、速度场等) 一个向量场可用一个向量函数F(M)来确定 而

F(M)P(M)iQ(M)jR(M)k

其中P(M) Q(M) R(M)是点M的数量函数

利用场的概念 我们可以说向量函数grad f(M)确定了一个向量场——梯度场 它是由数量场f(M)产生的 通常称函数f(M)为这个向量场的势 而这个向量场又称为势场 必须注意 任意一个向量场不一定是势场 因为它不一定是某个数量函数的梯度场

例5 试求数量场m所产生的梯度场 其中常数m>0

rrx2y2z2为原点O与点M(x y z)间的距离

rmx 解 (m)m 23xrrxrmymmmz()3 同理

()3 yrrzrrymmxz从而

grad2(ijk)

rrrrryxz记erijk 它是与OM同方向的单位向量 则rrr

gradmrmer r

2上式右端在力学上可解释为 位于原点O 而质量为m 质点对位于点M而质量为l的质点的引力 这引力的大小与两质点的质量的乘积成正比、而与它们的距平方成反比 这引力的方向由点M指向原点 因此数量场

§8 多元函数的极值及其求法

一、多元函数的极值及最大值、最小值

定义

设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某个邻域内有定义 如果对于该邻域内任何异于(x0 y0)的点(x y) 都有

f(x y)f(x0 y0))

高等数学课程建设组 mmm的势场即梯度场grad称为引力场 而函数称为引力势 rrr高等数学教案

§8

多元函数微分法及其应用

则称函数在点(x0 y0)有极大值(或极小值)f(x0 y0)

极大值、极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点

例1 函数z3x24y2在点(0 0)处有极小值



当(x y)(0 0)时 z0 而当(x y)(0 0)时 z0 因此z0是函数的极小值

例2 函数zx2y2在点(0 0)处有极大值



当(x y)(0 0)时 z0 而当(x y)(0 0)时 z0 因此z0是函数的极大值

例3 函数zxy在点(0 0)处既不取得极大值也不取得极小值



因为在点(0 0)处的函数值为零 而在点(0 0)的任一邻域内 总有使函数值为正的点 也有使函数值为负的点

以上关于二元函数的极值概念 可推广到n元函数

设n元函数uf(P)在点P0的某一邻域内有定义 如果对于该邻域内任何异于P0的点P 都有

f(P)f(P 0))

则称函数f(P)在点P0有极大值(或极小值)f(P0)

定理1(必要条件)设函数zf(x y)在点(x0 y0)具有偏导数 且在点(x0 y0)处有极值 则有

fx(x0 y0)0 fy(x0 y0)0

证明 不妨设zf(x y)在点(x0 y0)处有极大值 依极大值的定义 对于点(x0 y0)的某邻域内异于(x0 y0)的点(x y) 都有不等式

f(x y)

特殊地 在该邻域内取yy0而xx0的点 也应有不等式

f(x y0)

这表明一元函数f(x y0)在xx0处取得极大值 因而必有

fx(x0 y0)0

类似地可证

fy(x0 y0)0

从几何上看 这时如果曲面zf(x y)在点(x0 y0 z0)处有切平面 则切平面

zz0fx(x0 y0)(xx0) fy(x0 y0)(yy0)成为平行于xOy坐标面的平面zz0

类似地可推得 如果三元函数uf(x y z)在点(x0 y0 z0)具有偏导数 则它在点(x0 y0 z0)具有极值的必要条件为

fx(x0 y0 z0)0 fy(x0 y0 z0)0 fz(x0 y0 z0)0

仿照一元函数 凡是能使fx(x y)0 fy(x y)0同时成立的点(x0 y0)称为函数zf(x y)的驻点

从定理1可知 具有偏导数的函数的极值点必定是驻点 但函数的驻点不一定是极值点



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§8

多元函数微分法及其应用

例如 函数zxy在点(0 0)处的两个偏导数都是零 函数在(0 0)既不取得极大值也不取得极小值



定理2(充分条件)

设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数 又fx(x0 y0)0 fy(x0 y0)0 令

fxx(x0 y0)A fxy(x0 y0)B fyy(x0 y0)C

则f(x y)在(x0 y0)处是否取得极值的条件如下

(1)ACB2>0时具有极值 且当A<0时有极大值 当A>0时有极小值

(2)ACB2<0时没有极值

(3)ACB0时可能有极值 也可能没有极值



在函数f(x y)的驻点处如果 fxx fyyfxy2>0 则函数具有极值 且当fxx<0时有极大值 当fxx>0时有极小值

极值的求法

第一步 解方程组

fx(x y)0 fy(x y)0

求得一切实数解 即可得一切驻点

第二步 对于每一个驻点(x0 y0) 求出二阶偏导数的值A、B和C

第三步 定出ACB的符号 按定理2的结论判定f(x0 y0)是否是极值、是极大值 还是极小值

例4 求函数f(x y)x3y33x23y29x 的极值

fx(x,y)3x26x90 解 解方程组

2f(x,y)3y6y0y22求得x1 3 y0 2 于是得驻点为(1 0)、(1 2)、(3 0)、(3 2)

再求出二阶偏导数

fxx(x y)6x6 fxy(x y)0 fyy(x y)6y6

在点(1 0)处 ACB2126>0 又A>0 所以函数在(1 0)处有极小值f(1 0)5

在点(1 2)处 ACB212(6)<0 所以f(1 2)不是极值

在点(3 0)处 ACB126<0 所以f(3 0)不是极值

在点(3 2)处 ACB212(6)>0 又A<0 所以函数的(3 2)处有极大值f(3 2)31

应注意的问题

不是驻点也可能是极值点

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§8

多元函数微分法及其应用

例如  函数zx2y2在点(0 0)处有极大值 但(0 0)不是函数的驻点 因此 在考虑函数的极值问题时 除了考虑函数的驻点外 如果有偏导数不存在的点 那么对这些点也应当考虑

最大值和最小值问题 如果f(x y)在有界闭区域D上连续 则f(x y)在D上必定能取得最大值和最小值 这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在D的内部 也可能在D的边界上 我们假定 函数在D上连续、在D内可微分且只有有限个驻点 这时如果函数在D的内部取得最大值(最小值) 那么这个最大值(最小值)也是函数的极大值(极小值) 因此 求最大值和最小值的一般方法是 将函数f(x y)在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较 其中最大的就是最大值 最小的就是最小值 在通常遇到的实际问题中 如果根据问题的性质 知道函数f(x y)的最大值(最小值)一定在D的内部取得 而函数在D内只有一个驻点 那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数f(x y)在D上的最大值(最小值)

例5 某厂要用铁板做成一个体积为8m3的有盖长方体水箱 问当长、宽、高各取多少时 才能使用料最省

解 设水箱的长为xm 宽为ym 则其高应为A2(xyy8m 此水箱所用材料的面积为 xy8888x)2(xy)(x0, y0)

xyxyxy令Ax2(y88 A2(x)0 得x2 y2)0y22yx

根据题意可知 水箱所用材料面积的最小值一定存在 并在开区域D{(x y)|x>0 y>0}内取得 因为函数A在D内只有一个驻点 所以 此驻点一定是A的最小值点 即当水箱的长为2m、宽为2m、高为 因此A在D内的唯一驻点(2 2)处取得最小值 即长为2m、宽为2m、高为

从这个例子还可看出

在体积一定的长方体中 以立方体的表面积为最小

例6 有一宽为24cm的长方形铁板 把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽 问怎样折法才能使断面的面积最大？

解 设折起来的边长为xcm 倾角为 那末梯形断面的下底长为242x 上底长为242xcos 高为xsin 所以断面面积

高等数学课程建设组 82m时 水箱所用的材料最省

2282m时 所用材料最省 22高等数学教案

§8

多元函数微分法及其应用

A1(242x2xcos242x)xsin

2即A24xsin2x2sinx2sin cos(0

可见断面面积A是x和的二元函数 这就是目标函数 面求使这函数取得最大值的点(x )

令Ax24sin4xsin2xsin cos0

A24xcos2x2 cosx2(cos2sin2)0

由于sin 0 x0 上述方程组可化为

122xxcos0

222xcosx(cossin)024cos解这方程组 得60 x8cm

根据题意可知断面面积的最大值一定存在 并且在D{(x y)|0

二、条件极值

拉格朗日乘数法

对自变量有附加条件的极值称为条件极值

例如 求表面积为a而体积为最大的长方体的体积问题 设长方体的三棱的长为x y z 则体积Vxyz 又因假定表面积为a2 所以自变量x y z还必须满足附加条件2(xyyzxz)a



这个问题就是求函数Vxyz在条件2(xyyzxz)a2下的最大值问题 这是一个条件极值问题

对于有些实际问题 可以把条件极值问题化为无条件极值问题



例如上述问题  由条件2(xyyz

Vxz)a22

2 解得za22xy2(xy) 于是得

xya22xy()

2(xy)只需求V的无条件极值问题

在很多情形下 将条件极值化为无条件极值并不容易 需要另一种求条件极值的专用方法 这就是拉格朗日乘数法

现在我们来寻求函数zf(x y)在条件(x y)0下取得极值的必要条件

如果函数zf(x y)在(x0 y0)取得所求的极值 那么有

(x0 y0)0

假定在(x0 y0)的某一邻域内f(x y)与(x y)均有连续的一阶偏导数 而y(x0 y0)0

由隐函数存在定理 由方程(x y)0确定一个连续且具有连续导数的函数y(x) 将其代入目标函数zf(x y)

高等数学课程建设组 高等数学教案

§8

多元函数微分法及其应用

得一元函数

zf [x (x)]

于是xx0是一元函数zf [x (x)]的极值点 由取得极值的必要条件 有

dzdxxx0fx(x0,y0)fy(x0,y0)dydxxx00

即

fx(x0,y0)fy(x0,y0)x(x0,y0)0

y(x0,y0)从而函数zf(x y)在条件(x y)0下在(x0 y0)取得极值的必要条件是

fx(x0,y0)fy(x0,y0)x(x0,y0)0与(x0 y0)0同时成立

y(x0,y0)

设fy(x0,y0)y(x0,y0) 上述必要条件变为

fx(x0,y0)x(x0,y0)0

fy(x0,y0)y(x0,y0)0

(x,y)000

拉格朗日乘数法 要找函数zf(x y)在条件(x y)0下的可能极值点 可以先构成辅助函数

F(x y)f(x y)(x y)

其中为某一常数

然后解方程组

Fx(x,y)fx(x,y)x(x,y)0

Fy(x,y)fy(x,y)y(x,y)0

(x,y)0由这方程组解出x y及 则其中(x y)就是所要求的可能的极值点

这种方法可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形

至于如何确定所求的点是否是极值点 在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定

例7 求表面积为a而体积为最大的长方体的体积

解 设长方体的三棱的长为x y z 则问题就是在条件

2(xyyzxz)a2

下求函数Vxyz的最大值

构成辅助函数

F(x y z)xyz(2xy 2yz 2xz a2)

解方程组

高等数学课程建设组 2高等数学教案

§8

多元函数微分法及其应用

Fx(x,y,z)yz2(yz)0Fy(x,y,z)xz2(xz)0

Fz(x,y,z)xy2(yx)022xy2yz2xza得xyz6a

6这是唯一可能的极值点

因为由问题本身可知最大值一定存在 所以最大值就在这个可能的值点处取得 此时V

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63a

36高等数学教案

§8

多元函数微分法及其应用

高等数学课程建设组 高等数学教案

§8

多元函数微分法及其应用

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第四篇：同济第六版《高等数学》教案WORD版-第12章 微分方程

高等数学教案

§12 微分方程

第十二章

微分方程

教学目的：

1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。

3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。4． 会用降阶法解下列微分方程：y(n)f(x)，yf(x,y)和yf(y,y)5． 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。

6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。

8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。教学重点：

1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法

(n)

2、可降阶的高阶微分方程yf(x)，yf(x,y)和yf(y,y)

3、二阶常系数齐次线性微分方程；

4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；

教学难点：

1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程；

2、线性微分方程解的性质及解的结构定理；

3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。

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§12 微分方程

4、欧拉方程

§12 1 微分方程的基本概念

函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究 因此如何寻找出所需要的函数关系 在实践中具有重要意义 在许多问题中 往往不能直接找出所需要的函数关系 但是根据问题所提供的情况 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式 这样的关系就是所谓微分方程 微分方程建立以后 对它进行研究 找出未知函数来 这就是解微分方程

例1 一曲线通过点(1 2) 且在该曲线上任一点M(x y)处的切线的斜率为2x 求这曲线的方程

解 设所求曲线的方程为yy(x) 根据导数的几何意义 可知未知函数yy(x)应满足关系式(称为微分方程)

dy2x

(1)

dx此外 未知函数yy(x)还应满足下列条件

x1时 y2 简记为y|x12

(2)把(1)式两端积分 得(称为微分方程的通解)

y2xdx 即yx2C

(3)其中C是任意常数

把条件“x1时 y2”代入(3)式 得

212C

由此定出C1 把C1代入(3)式 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y|x12的解)

yx21

例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶 当制动时列车获得加速度04m/s2 问开始制动后多少时间列车才能停住 以及列车在这段时间里行驶了多少路程?

解 设列车在开始制动后t秒时行驶了s米 根据题意 反映制动阶段列车运动规律的函数ss(t)应满足关系式

d2s0.4

(4)dt2内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 高等数学教案

§12 微分方程

此外 未知函数ss(t)还应满足下列条件

t0时 s0 vds20 简记为s|=0 s|=20

(5)

t0t0dt

把(4)式两端积分一次 得

vds0.4tC

(6)1dt再积分一次 得

s02t2 C1t C2

(7)这里C1 C2都是任意常数

把条件v|t020代入(6)得

20C1

把条件s|t00代入(7)得0C2

把C1 C2的值代入(6)及(7)式得

v04t 20

(8)

s02t220t

(9)在(8)式中令v0 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间

t2050(s)

0.4再把t50代入(9) 得到列车在制动阶段行驶的路程

s025022050500(m)

解 设列车在开始制动后t秒时行驶了s米

s04 并且s|t0=0 s|t0=20

把等式s04两端积分一次 得

s04tC1 即v04tC1(C1是任意常数)

再积分一次 得

s02t2 C1t C2(C1 C2都C1是任意常数)

由v|t020得20C1 于是v04t 20

由s|t00得0C2 于是s02t220t

令v0 得t50(s) 于是列车在制动阶段行驶的路程

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§12 微分方程

s025022050500(m)

几个概念

微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程 叫微分方程

常微分方程 未知函数是一元函数的微分方程 叫常微分方程

偏微分方程 未知函数是多元函数的微分方程 叫偏微分方程

微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数 叫微分方程的阶

x3 yx2 y4xy3x2 

y(4)4y10y12y5ysin2x

y(n)10

一般n阶微分方程

F(x y y

    y(n))0

y(n)f(x y y

    y(n1))

微分方程的解 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解 确切地说 设函数y(x)在区间I上有n阶连续导数 如果在区间I上

F[x (x) (x)    (n)(x)]0

那么函数y(x)就叫做微分方程F(x y y    y(n))0在区间I上的解

通解 如果微分方程的解中含有任意常数 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同 这样的解叫做微分方程的通解

初始条件 用于确定通解中任意常数的条件 称为初始条件 如

xx0 时 yy0  y y0 

一般写成



yxx0y0 yxx0y0

特解 确定了通解中的任意常数以后 就得到微分方程的特解 即不含任意常数的解

初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题

如求微分方程yf(x

y)满足初始条件yxx0y0的解的问题 记为

yf(x,y)

 yxx0y0内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 高等数学教案

§12 微分方程

积分曲线 微分方程的解的图形是一条曲线 叫做微分方程的积分曲线

例3 验证 函数

xC1cos ktC2 sin kt 是微分方程

d2xk2x0

dt2的解

解 求所给函数的导数

dxkCsinktkCcoskt 12dtd2xk2Ccosktk2Csinktk2(CcosktCsinkt)



1212dt2d2x将2及x的表达式代入所给方程 得 dt

k2(C1cos ktC2sin kt) k2(C1cos ktC2sin kt)0

d2xk2x0

这表明函数xC1cosktC2sinkt 满足方程2 因此所给函数是所给方程的解

dtd2xk2x0

例4 已知函数xC1cosktC2sinkt(k0)是微分方程2的通解 求满足初始条件

dt

x| t0 A x| t0 0 的特解

解

由条件x| t0 A及xC1 cos ktC2 sin kt 得

C1A

再由条件x| t0 0 及x(t)kC1sin ktkC2cos kt 得

C20

把C1、C2的值代入xC1cos ktC2sin kt中 得

xAcos kt

§12 2 可分离变量的微分方程

观察与分析

1 求微分方程y2x的通解 为此把方程两边积分 得

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§12 微分方程

yx2C

一般地 方程yf(x)的通解为yf(x)dxC(此处积分后不再加任意常数)

2 求微分方程y2xy2 的通解

因为y是未知的 所以积分2xy2dx无法进行 方程两边直

接积分不能求出通解

为求通解可将方程变为

1dy2xdx 两边积分 得

y21x2C1  或y2yxC可以验证函数y1是原方程的通解

x2C

一般地 如果一阶微分方程y(x, y)能写成 g(y)dyf(x)dx

形式 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程

G(y)F(x)C

由方程G(y)F(x)C所确定的隐函数就是原方程的通解

对称形式的一阶微分方程

一阶微分方程有时也写成如下对称形式

P(x y)dxQ(x y)dy0 在这种方程中 变量x与y 是对称的

若把x看作自变量、y看作未知函数 则当Q(x,y)0时 有

dyP(x,y)

dxQ(x,y)dxQ(x,y)

dyP(x,y)若把y看作自变量、x看作未知函数 则当P(x,y)0时 有

可分离变量的微分方程

如果一个一阶微分方程能写成

g(y)dyf(x)dx(或写成y(x)(y))的形式 就是说 能把微分方程写成一端只含y的函数和dy 另一端只含x的函数和dx 那么原内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 高等数学教案

§12 微分方程

方程就称为可分离变量的微分方程

讨论 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？(1)y2xy

是 y1dy2xdx (2)3x25xy0

是 dy(3x25x)dx(3)(x2y2)dxxydy=0

不是

(4)y1xy2xy2 是 y(1x)(1y2)(5)y10xy

是 10ydy10xdx(6)yxy

不是

yx

可分离变量的微分方程的解法

第一步

分离变量 将方程写成g(y)dy f(x)dx的形式

第二步

两端积分g(y)dyf(x)dx 设积分后得G(y)F(x)C

第三步

求出由G(y)F(x)C所确定的隐函数y(x)或x(y)G(y)F(x)C  y(x)或x(y)都是方程的通解 其中G(y)F(x)C称为隐式(通)解

例1 求微分方程dy2xy的通解

dx

解

此方程为可分离变量方程 分离变量后得

1dy2xdx

y1两边积分得

ydy2xdx

2即

ln|y|x2C1

从而

yexC1eC1ex 2因为eC1仍是任意常数 把它记作C 便得所给方程的通解

yCex

解

此方程为可分离变量方程 分离变量后得

21dy2xdx

y内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 高等数学教案

§12 微分方程

两边积分得

1dy2xdx

y即

ln|y|x2lnC 从而

yCex

例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比 已知t0时铀的含量为M0 求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规律

解 铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数2dM

dt

由于铀的衰变速度与其含量成正比 故得微分方程

dMM

dtdM0

dt其中(>0)是常数 前的曲面号表示当t增加时M单调减少 即由题意 初始条件为

M|t0M0

将方程分离变量得

dMdt

MdM()dt

M两边积分 得即

lnMtlnC 也即MCet

由初始条件 得M0Ce0C

所以铀含量M(t)随时间t变化的规律MM0et 

例3 设降落伞从跳伞塔下落后 所受空气阻力与速度成正比 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零 求降落伞下落速度与时间的函数关系

解

设降落伞下落速度为v(t) 降落伞所受外力为Fmgkv(k为比例系数) 根据牛顿第二运动定律Fma 得函数v(t)应满足的方程为

mdvmgkv

dt内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 高等数学教案

§12 微分方程

初始条件为

v|t00

方程分离变量 得

dvdt

mgkvm两边积分 得mgkvm

tC

m1dvdt

ln(mgkv)1kkC1ktmgCem(Ce即

v)

kkmg将初始条件v|t00代入通解得C

kktmg(1em)

于是降落伞下落速度与时间的函数关系为vkdy1xy2xy2的通解

例4 求微分方程dx

解 方程可化为

dy(1x)(1y2)

dx分离变量得

1dy(1x)dx

1y21dy(1x)dx 即1x2xC

arctany1y22两边积分得

于是原方程的通解为ytan(x2xC)

例4 有高为1m的半球形容器 水从它的底部小孔流出 小孔横截面面积为1cm2 开始时容器内盛满了水 求水从小孔流出过程中容器里水面高度h随时间t变化的规律

解 由水力学知道 水从孔口流出的流量Q可用下列公式计算

Q12dV0.62S2gh

dt内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 其中0 62为流量系数 S为孔口横截面面积 g为重力加速度 现在孔口横截面面积S1cm2 故 高等数学教案

§12 微分方程

dV0.622gh 或dV0.622ghdt

dt

另一方面 设在微小时间间隔[t tdt]内 水面高度由h降至hdh(dh0) 则又可得到

dVr2dh

其中r是时刻t的水面半径 右端置负号是由于dh0而dV0的缘故 又因

r1002(100h)2200hh2

所以

dV(200hh2)dh

通过比较得到

0.622ghdt(200hh2)dh

这就是未知函数hh(t)应满足的微分方程

此外 开始时容器内的水是满的 所以未知函数hh(t)还应满足下列初始条件

h|t0100

将方程0.622ghdt(200hh2)dh分离变量后得

dt两端积分 得

t0.622g132(200hh2)dh

0.622g13(200h2h2)dh

即

t(400h22h2)C

50.622g3其中C是任意常数

由初始条件得

t(400100221002)C

50.622gC3535(400000200000)14105

350.622g0.622g15内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 高等数学教案

§12 微分方程

因此

t0.622g(7105353210h3h2)

上式表达了水从小孔流出的过程中容器内水面高度h与时间t之间的函数关系

§12 3 齐次方程

齐次方程

如果一阶微分方程dyf(x,y)中的函数f(x, y)可写成 dxyy的函数 即f(x,y)() 则称这方程为齐次方程

xx

下列方程哪些是齐次方程？

dyyy2x2dyyy

(1)xyyyx0是齐次方程()21

dxxdxxx22dy1y

2(2)1xy1y不是齐次方程

dx1x222dyx2y2dyxy

(3)(xy)dxxydy0是齐次方程 dxxydxyx22

(4)(2xy4)dx(xy1)dy0不是齐次方程

(5)(2xshdy2xy4

dxxy1yyy3ych)dx3xchdy0是齐次方程

xxxyy2xsh3ychdyxxdy2thyy 

ydxdx3xx3xchx

齐次方程的解法

在齐次方程

ydyy()中 令u 即yux 有 dxxx内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 高等数学教案

§12 微分方程

ux分离变量 得

du(u)

dxdudx (u)uxdudx(u)ux 两端积分 得

求出积分后 再用y代替u 便得所给齐次方程的通解

xdydyxy

dxdx

例

1解方程y2x2

解

原方程可写成

y2()dyyx



dxxyx2y1x2因此原方程是齐次方程 令

yux 于是原方程变为

2duu

ux

dxu1yu 则 xdyuxdu

dxdx即

xduu

dxu1分离变量 得

(1)du1udx

x两边积分 得uln|u|Cln|x|

或写成ln|xu|uC

以y代上式中的u 便得所给方程的通解 x

ln|y|yC

x内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 高等数学教案

§12 微分方程

例2 有旋转曲面形状的凹镜 假设由旋转轴上一点O发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行 求这旋转曲面的方程

解 设此凹镜是由xOy面上曲线L yy(x)(y>0)绕x轴旋转而成 光源在原点 在L上任取一点M(x, y) 作L的切线交x轴于A 点O发出的光线经点M反射后是一条平行于x轴射线 由光学及几何原理可以证明OAOM

因为

OAAPOPPMcotOP而

OMx2y2

于是得微分方程

yx

yyxx2y2 y整理得dxx(x)21 这是齐次方程

dyyydxx(x)21

dyyy

问题归结为解齐次方程

令即

yxvdvvv21 即xyv 得vy

dyydvv21 dy分离变量 得dvdy

v21yyy, (v)2v21, CC两边积分 得 ln(vv21)lnylnC, vv21y22yv1

C2C以yvx代入上式 得y22C(xC)

2这是以x轴为轴、焦点在原点的抛物线 它绕x轴旋转所得旋转曲面的方程为

y2z22C(xC) 2这就是所求的旋转曲面方程

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§12 微分方程

例3 设河边点O的正对岸为点A 河宽OAh 两岸为平行直线 水流速度为a 有一鸭子从点A游向点O 设鸭子的游速为b(b>a) 且鸭子游动方向始终朝着点 O 求鸭子游过的迹线的方程

例3 设一条河的两岸为平行直线 水流速度为a 有一鸭子从岸边点A游向正对岸点O 设鸭子的游速为b(b>a) 且鸭子游动方向始终朝着点O 已知OAh 求鸭子游过的迹线的方程

解 取O为坐标原点 河岸朝顺水方向为x轴 y 轴指向对岸 设在时刻t鸭子位于点P(x, y) 则鸭子运动速度

v(vx, vy)(dx, dy) 故有dxvx

dyvydtdtx, y) v(abx, by)

x2y2x2y2x2y2x2y2另一方面 vab(a, 0)b(因此dxvxa(x)21x 即dxa(x)21x

dybyydyvybyydxa(x)21x

dybyy

问题归结为解齐次方程

令

yxu 即xyu 得 yduau21 dyb分离变量 得duady

u21by两边积分 得 arshu(lnylnC) bax1[(Cy)1b(Cy)1b]

将u代入上式并整理 得xy2C以x|yh0代入上式 得Caa1 故鸭子游过的轨迹方程为

haay1by1bh()] 0yh

x[()2hh内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 高等数学教案

§12 微分方程

将ux代入arshu(lnylnC)后的整理过程

yabarshxb(lnylnC)yaxshln(Cy)ax1[(Cy)a(Cy)a] yy2bby1b1b1aaax[(Cy)(Cy)]x[(Cy)(Cy)a]

2C2bbb

§12.4 线性微分方程

一、线性方程

线性方程

方程dyP(x)yQ(x)叫做一阶线性微分方程 dxdydyP(x)y0叫做对应于非齐次线性方程P(x)yQ(x)的齐次线性方程

dxdxdydyy1y0是齐次线性方程 dxdxx2如果Q(x)0  则方程称为齐次线性方程 否则方程称为非齐次线性方程

方程

下列方程各是什么类型方程？

(1)(x2)

(2)3x25x5y0y3x25x  是非齐次线性方程

(3)yy cos xesin x  是非齐次线性方程

(4)dy10xy 不是线性方程 dx23dy3(y1)2dydxxx00或

(5)(y1) 不是线性方程

dxdydx(y1)2x

3齐次线性方程的解法

齐次线性方程

dyP(x)y0是变量可分离方程 分离变量后得 dxdyP(x)dx

y内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 高等数学教案

§12 微分方程

两边积分 得

ln|y|P(x)dxC1

P(x)dx(CeC1)

或

yCe这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）

例

1求方程(x2)dyy的通解

dx

解

这是齐次线性方程 分离变量得

dydx

yx2两边积分得

ln|y|ln|x2|lnC

方程的通解为

yC(x2)

非齐次线性方程的解法

将齐次线性方程通解中的常数换成x的未知函数u(x) 把

P(x)dx

yu(x)e

设想成非齐次线性方程的通解 代入非齐次线性方程求得

P(x)dxP(x)dxP(x)dxu(x)eP(x)P(x)u(x)eQ(x)

u(x)e化简得

u(x)Q(x)eP(x)dx

u(x)Q(x)eP(x)dxdxC

于是非齐次线性方程的通解为

P(x)dxP(x)dx[Q(x)edxC]

yeP(x)dxP(x)dxP(x)dx或

yCeeQ(x)edx 非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和

内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 高等数学教案

§12 微分方程

5dy2y(x1)2的通解

例2 求方程dxx1

解

这是一个非齐次线性方程

先求对应的齐次线性方程分离变量得

dy2y0的通解

dxx1dy2dx

yx1两边积分得

ln y2ln(x1)ln C

齐次线性方程的通解为

yC(x1)2

用常数变易法 把C换成u 即令yu(x1)2 代入所给非齐次线性方程 得

52u(x1)2(x1)2

u(x1)2u(x1)x1 1u(x1)2

两边积分 得 u(x1)2C

3再把上式代入yu(x1)2中 即得所求方程的通解为 32

y(x1)[(x1)2C]

3232 Q(x)(x1)2

解 这里P(x)x12)dx2ln(x1) 因为

P(x)dx(x1P(x)dxe2ln(x1)(x1)2

e5P(x)dxdx(x1)2(x1)2dx(x1)2dx2(x1)2

Q(x)e3513所以通解为

yeP(x)dxP(x)dx[Q(x)edxC](x1)2[2(x1)2C]

33内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 高等数学教案

§12 微分方程

例3 有一个电路如图所示 其中电源电动势为EEmsint(Em、都是常数) 电阻R和电感L都是常量 求电流i(t)

解

由电学知道 当电流变化时 L上有感应电动势L

EL即

di 由回路电压定律得出

dtdiiR0

dtdiRiE

dtLLdiRiEmsin t

dtLL

把EEmsin t代入上式 得

初始条件为

i|t00

diRiEmsin t为非齐次线性方程 其中

dtLLER t

P(t) Q(t)msinLL

方程由通解公式 得

i(t)eP(t)dt[Q(t)eP(t)dtdtC]RdteL(RdtEmLsin teLdtC)

RttEmRLe(sinteLdtC)

LRtEm(Rsin t Lcos t)CeL

222RL其中C为任意常数

将初始条件i|t00代入通解 得C因此 所求函数i(t)为

t LEmREmLe(Rsin t Lcos t)

i(t)2R2L2R22L2 LEm

R22L

2二、伯努利方程

伯努利方程 方程

dyP(x)yQ(x)yn(n0 1)dx内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 高等数学教案

§12 微分方程

叫做伯努利方程

下列方程是什么类型方程？

(1)

(2)dy1y1(12x)y4 是伯努利方程 dx33dydyyxy5 yxy5 是伯努利方程 dxdxxy

1(3)y yyxy1 是伯努利方程 yxx

(4)dy2xy4x 是线性方程 不是伯努利方程 dxdyP(x)y1nQ(x)dx

伯努利方程的解法 以yn除方程的两边 得

yn令z y1n  得线性方程

dz(1n)P(x)z(1n)Q(x)

dxdyya(lnx)y2的通解

例4 求方程dxx

解 以y2除方程的两端 得

y2dy11yalnx

dxxd(y1)11yalnx

即

dxx令zy1 则上述方程成为

dz1zalnx

dxxa2这是一个线性方程 它的通解为

zx[C(lnx)2]

以y1代z  得所求方程的通解为

yx[C(lnx)2]1

经过变量代换 某些方程可以化为变量可分离的方程 或化为已知其求解方法的方程 a2内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 高等数学教案

§12 微分方程

例5 解方程dy1

dxxy

解

若把所给方程变形为

dxxy

dy即为一阶线性方程 则按一阶线性方程的解法可求得通解 但这里用变量代换来解所给方程

令xyu 则原方程化为

du11 即duu1

dxudxuududx

u1分离变量 得

两端积分得

uln|u1|xln|C|

以uxy代入上式 得

yln|xy1|ln|C| 或xCeyy1

§12 5 全微分方程

全微分方程 一个一阶微分方程写成 P(x, y)dxQ(x, y)dy0

形式后 如果它的左端恰好是某一个函数uu(x, y)的全微分

du(x, y)P(x, y)dxQ(x, y)dy

那么方程P(x, y)dxQ(x, y)dy0就叫做全微分方程 这里

uP(x,y) uQ(x,y)

yx而方程可写为

du(x, y)0

全微分方程的判定 若P(x, y)、Q(x, y)在单连通域G内具有一阶连续偏导数 且

PQ

yx内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 则方程P(x, y)dxQ(x, y)dy0是全微分方程 高等数学教案

§12 微分方程

全微分方程的通解

若方程P(x, y)dxQ(x, y)dy0是全微分方程 且

du(x, y)P(x, y)dxQ(x, y)dy 则

u(x, y)C

即

xx0P(x,y)dxQ(x0,y)dxC((x0,y0)G)

y0y是方程P(x, y)dxQ(x, y)dy0的通解

例1 求解(5x43xy2y3)dx(3x2y3xy2y2)dy0

解 这里

P6xy3y2Q

yxxy所以这是全微分方程 取(x0, y0)(0, 0) 有

u(x,y)0(5x43xy2y3)dxy2dy

0

x5x2y2xy3y3

于是 方程的通解为

x5x2y2xy3y3C

积分因子 若方程P(x, y)dxQ(x, y)dy0不是全微分方程 但存在一函数

(x, y)((x, y)0) 使方程

(x, y)P(x, y)dx(x, y)Q(x, y)dy0 是全微分方程 则函数(x, y)叫做方程P(x, y)dxQ(x, y)dy0的积分因子

例2 通过观察求方程的积分因子并求其通解:

(1)ydxxdy0

(2)(1xy)ydx(1xy)xdy0

解(1)方程ydxxdy0不是全微分方程

因为

d()32133213xyydxxdy

y2内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 高等数学教案

§12 微分方程

所以1是方程ydxxdy0的积分因子 于是

y2ydxxdyxC是全微分方程 所给方程的通解为

0yy

2(2)方程(1xy)ydx(1xy)xdy0不是全微分方程

将方程的各项重新合并 得

(ydxxdy)xy(ydxxdy)0

再把它改写成 d(xy)x2y2(这时容易看出dxdy)0

xy1为积分因子 乘以该积分因子后 方程就变为(xy)2

d(xy)dxdy0

2xy(xy)积分得通解

1xx

ln||lnC 即Cexy

xyyy

我们也可用积分因子的方法来解一阶线性方程yP(x)yQ(x)

可以验证(x)e两边乘以(x)e

ye即

ye亦即

[yeP(x)dx1是一阶线性方程yP(x)yQ(x)的一个积分因子 在一阶线性方程的P(x)dx得

P(x)dxP(x)dxyP(x)ey[eQ(x)eP(x)dx

P(x)dxP(x)dxP(x)dx]Q(x)e

P(x)dxP(x)dx]Q(x)e

两边积分 便得通解

yeP(x)dxQ(x)eP(x)dxdxC

内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 高等数学教案

§12 微分方程

P(x)dxP(x)dx或

ye[Q(x)edxC] 

例3用积分因子求dy2xy4x的通解

dx

解 方程的积分因子为

(x)e22xdxex 2方程两边乘以ex得

yex2xexy4xex 即(exy)4xex

于是

exy4xexdx2exC 22222222因此原方程的通解为y4xexdx2Cex 22

§12 6 可降阶的高阶微分方程

一、y(n)f(x)型的微分方程

解法 积分n 次

y(n1)f(x)dxC1 

y(n2)[f(x)dxC1]dxC2 

  

例1 求微分方程ye2xcos x 的通解

解 对所给方程接连积分三次 得

ye2xsinxC1

ye2xcosxC1xC2

ye2xsinxC1x2C2xC3

这就是所给方程的通解

内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 12141812高等数学教案

§12 微分方程

或

ye2xsinx2C1

ye2xcosx2C1xC2

ye2xsinxC1x2C2xC3

这就是所给方程的通解

例2 质量为m的质点受力F的作用沿Ox轴作直线运动 设力F仅是时间t的函数FF(t) 在开始时刻t0时F(0)F0 随着时间t的增大 此力F均匀地减小 直到tT时 F(T)0 如果开始时质点位于原点 且初速度为零 求这质点的运动规律

解 设xx(t)表示在时刻t时质点的位置 根据牛顿第二定律 质点运动的微分方程为

2dx

m2F(t)

dt121418由题设 力F(t)随t增大而均匀地减小 且t0时 F(0)F0 所以F(t)F0kt 又当tT时 F(T)0 从而

F(t)F0(1)

于是质点运动的微分方程又写为 tTd2xF0(1t)

2mTdtdx|0 其初始条件为x|t00

dtt0

把微分方程两边积分 得

dxF0(tt2)C

1

dtm2T再积分一次 得

xF012t3(t)C1tC2

m26T由初始条件x|t00 得C1C20 dx|0

dtt0于是所求质点的运动规律为

F012t x(t) 0tT

m26T

解 设xx(t)表示在时刻t时质点的位置

根据牛顿第二定律 质点运动的微分方程为

内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 高等数学教案

§12 微分方程

mxF(t)

由题设 F(t)是线性函数 且过点(0 F0)和(T 0)

故

F(t)t1 即F(t)F0(1t) F0TTF0(1t)

mT于是质点运动的微分方程又写为

x其初始条件为x|t00 x|t00

把微分方程两边积分 得

x2F0(tt)C1 m2T再积分一次 得

F012t3

x(t)C2

m26T由初始条件x|t00 x|t00

得C1C20

于是所求质点的运动规律为

x

二、y f(x y)型的微分方程

解法 设yp则方程化为

pf(x p)

设pf(x p)的通解为p(xC1) 则

F012t3(t) 0tT m26Tdy(x,C1)

dx原方程的通解为

y(x,C1)dxC2

例3 求微分方程

(1x2)y2xy 满足初始条件

y|x01 y|x03 的特解

解 所给方程是yf(x y)型的 设yp 代入方程并分离变量后 有 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 高等数学教案

§12 微分方程

dp2xdx

p1x2两边积分 得

ln|p|ln(1x2)C

即

pyC1(1x2)(C1eC)

由条件y|x03 得C13

所以

y3(1x2)

两边再积分 得 yx33xC2

又由条件y|x01 得C21

于是所求的特解为

yx33x1

例4 设有一均匀、柔软的绳索 两端固定 绳索仅受重力的作用而下垂 试问该绳索在平衡状态时是怎样的曲线?

三、yf(y y)型的微分方程

解法 设yp有

y原方程化为 dpdpdydpp

dxdydxdydpf(y,p)

dydpf(y,p)的通解为yp(y C1) 则原方程的通解为 设方程pdy

p

dy(y,C1)xC2

dp

dy

例5 求微分yyy20的通解

解 设yp 则yp代入方程 得

ypdp2p0

dy

在y0、p0时 约去p并分离变量 得

dpdy

py两边积分得

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§12 微分方程

ln|p|ln|y|lnc

即

pCy或yCy(Cc)

再分离变量并两边积分 便得原方程的通解为

ln|y|Cxlnc1

或

yC1eCx(C1c1)

例5 求微分yyy20的通解

解 设yp 则原方程化为

ypdp2p0

dy当y0、p0时 有

dp1p0

dyy1ydy于是

peC1y

即

yC1y0

从而原方程的通解为

yC2e

例6 一个离地面很高的物体受地球引力的作用由静止开始落向地面 求它落 到地面时的速度和所需的时间（不计空气阻力）

§12 7 高阶线性微分方程 一、二阶线性微分方程举例

例1 设有一个弹簧 上端固定 下端挂一个质量为m 的物体 取x 轴铅直向下 并取物体的平衡位置为坐标原点

给物体一个初始速度v00后 物体在平衡位置附近作上下振动 在振动过程中 物体的位置x是t的函数 xx(t)

设弹簧的弹性系数为c 则恢复力fcx

又设物体在运动过程中受到的阻力的大小与速度成正比 比例系数为 则

RC1dxC2eC1x

dx

dt

由牛顿第二定律得

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§12 微分方程

md2xcxdx

2dtdt

移项 并记2nc k2

mmd2x2ndxk2x0则上式化为



dtdt2这就是在有阻尼的情况下 物体自由振动的微分方程

如果振动物体还受到铅直扰力

FHsin pt 的作用 则有

d2x2ndxk2xhsinpt



dtdt2H其中h 这就是强迫振动的微分方程

m

例2 设有一个由电阻R、自感L、电容C和电源E串联组成的电路 其中R、L、及C为常数 电源电动势是时间t的函数 EEmsint 这里Em及也是常数

设电路中的电流为i(t) 电容器极板上的电量为q(t) 两极板间的电压为uc 自感电动势为EL  由电学知道

iqdqdi uc ELL

CdtdtdiqRi0

dtC根据回路电压定律 得

ELd2ucducRCucEmsint

即

LCdtdt2或写成

d2ucducEm22usint

0cdtLCdt2R 1 这就是串联电路的振荡方程 其中02LLC

如果电容器经充电后撤去外电源(E0) 则上述成为

d2ucduc22uc0

0dtdt2内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 高等数学教案

§12 微分方程

二阶线性微分方程 二阶线性微分方程的一般形式为

yP(x)yQ(x)yf(x)

若方程右端f(x)0时 方程称为齐次的 否则称为非齐次的

二、线性微分方程的解的结构

先讨论二阶齐次线性方程

d2ydyQ(x)y0

yP(x)yQ(x)y0 即2P(x)dxdx

定理1 如果函数y1(x)与y2(x)是方程

yP(x)yQ(x)y0的两个解 那么

yC1y1(x)C2y2(x)也是方程的解 其中C1、C2是任意常数

齐次线性方程的这个性质表明它的解符合叠加原理

证明 [C1y1C2y2]C1 y1C2 y2

[C1y1C2y2]C1 y1C2 y2

因为y1与y2是方程yP(x)yQ(x)y0 所以有

y1P(x)y1Q(x)y10及y2P(x)y2Q(x)y20

从而

[C1y1C2y2]P(x)[ C1y1C2y2]Q(x)[ C1y1C2y2]

C1[y1P(x)y1Q(x)y1]C2[y2P(x)y2Q(x)y2]000

这就证明了yC1y1(x)C2y2(x)也是方程yP(x)yQ(x)y0的解

函数的线性相关与线性无关

设y1(x) y2(x)     yn(x)为定义在区间I上的n个函数 如果存在n个不全为零的常数k1 k2     kn 使得当xI 时有恒等式

k1y1(x)k2y2(x)

    knyn(x)0 成立 那么称这n个函数在区间I上线性相关 否则称为线性无关

判别两个函数线性相关性的方法

对于两个函数 它们线性相关与否 只要看它们的比是否为常数 如果比为常数 那么它们就线性相关 否则就线性无关

例如 1 cos2x  sin2x 在整个数轴上是线性相关的 函数1 x x2在任何区间(a, b)内是线性无内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 高等数学教案

§12 微分方程

关的

定理2 如果如果函数y1(x)与y2(x)是方程

yP(x)yQ(x)y0 的两个线性无关的解 那么

yC1y1(x)C2y2(x)(C1、C2是任意常数)是方程的通解

例3 验证y1cos x与y2sin x是方程yy0的线性无关解 并写出其通解

解 因为

y1y1cos xcos x0

y2y2sin xsin x0

所以y1cos x与y2sin x都是方程的解

因为对于任意两个常数k1、k2 要使

k1cos xk2sin x0

只有k1k20 所以cos x与sin x在(, )内是线性无关的

因此y1cos x与y2sin x是方程yy0的线性无关解

方程的通解为yC1cos xC2sin x

例4 验证y1x与y2ex是方程(x1)yxyy0的线性无关解 并写出其通解

解 因为

(x1)y1xy1y10xx0

(x1)y2xy2y2(x1)exxexex0

所以y1x与y2ex都是方程的解

因为比值e x/x 不恒为常数 所以y1x与y2ex在(, )内是线性无关的

因此y1x 与y2ex是方程(x1)yxyy0的线性无关解

方程的通解为yC1xC2e x

推论 如果y1(x) y2(x)    yn(x)是方程

y(n)a1(x)y(n1)    an1(x)y an(x)y0 的n个线性无关的解 那么 此方程的通解为

yC1y1(x)C2y2(x)     Cnyn(x)

其中C1 C2    Cn为任意常数

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§12 微分方程

二阶非齐次线性方程解的结构

我们把方程

yP(x)yQ(x)y0 叫做与非齐次方程

yP(x)yQ(x)yf(x)对应的齐次方程

定理3 设y*(x)是二阶非齐次线性方程

yP(x)yQ(x)yf(x)的一个特解 Y(x)是对应的齐次方程的通解 那么

yY(x)y*(x)是二阶非齐次线性微分方程的通解

证明提示 [Y(x)y*(x)]P(x)[ Y(x)y*(x)]Q(x)[ Y(x)y*(x)]

 [Y P(x)Y Q(x)Y ][ y* P(x)y* Q(x)y*]

0 f(x) f(x)

例如 YC1cos xC2sin x 是齐次方程yy0的通解 y*x22是yyx2 的一个特解 因此

yC1cos xC2sin xx22 是方程yyx2的通解

定理4 设非齐次线性微分方程 yP(x)yQ(x)yf(x)的右端f(x)几个函数之和 如

yP(x)yQ(x)yf1(x) f2(x)

而y1*(x)与y2*(x)分别是方程

yP(x)yQ(x)yf1(x)与yP(x)yQ(x)yf2(x)的特解 那么y1*(x)y2*(x)就是原方程的特解

证明提示

[y1y2*]P(x)[ y1*y2*]Q(x)[ y1*y2*]

[ y1*P(x)y1*Q(x)y1*][ y2*P(x)y2*Q(x)y2*]

f1(x)f2(x)

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§12 微分方程

§12 9 二阶常系数齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程 方程

ypyqy0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p、q均为常数

如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么yC1y1C2y2就是它的通解

我们看看

能否适当选取r 使yerx

满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将yerx代入方程

ypyqy0 得

(r 2prq)erx 0

由此可见 只要r满足代数方程r2prq0 函数yerx就是微分方程的解

特征方程 方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程 特征方程的两个根r1、r2可用公式

pp24q

r 1,22求出

特征方程的根与通解的关系

(1)特征方程有两个不相等的实根r1、r2时 函数y1er1x、y2er2x是方程的两个线性无关的解

这是因为

函数y1er1x、y2er2xy1er1x(r1r2)xe是方程的解 又不是常数

y2er2x因此方程的通解为

yC1er1xC2er2x

(2)特征方程有两个相等的实根r1r2时 函数y1er1x、y2xer1x是二阶常系数齐次线性微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 高等数学教案

§12 微分方程

方程的两个线性无关的解

这是因为 y1er1x是方程的解 又

r1xr1x2r1x

(xer1x)p(xer1x)q(xer1x)(2r1xr1xr1)ep(1)eqxe r1x

2er1x(2r1p)xe(r1pr1q)0

y2xer1x所以y2xe也是方程的解 且x不是常数

y1er1xr1x

因此方程的通解为

yC1er1xC2xer1x

(3)特征方程有一对共轭复根r1, 2i时 函数ye(i)x、ye(i)x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解 函数yexcosx、yexsinx是微分方程的两个线性无关的实数形式的解

函数y1e(i)x和y2e(i)x都是方程的解 而由欧拉公式 得

y1e(i)xex(cosxisinx)

y2e(i)xex(cosxisinx)

1y1y22excosx excosx(y1y2)

21y1y22iexsinx exsinx(y1y2)

2i故excosx、y2exsinx也是方程解

可以验证 y1excosx、y2exsinx是方程的线性无关解

因此方程的通解为

yex(C1cosxC2sinx)

求二阶常系数齐次线性微分方程ypyqy0的通解的步骤为

第一步

写出微分方程的特征方程

r2prq0 第二步

求出特征方程的两个根r1、r2

第三步

根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的通解

例1 求微分方程y2y3y0的通解

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§12 微分方程

解 所给微分方程的特征方程为

r22r30 即(r1)(r3)0

其根r11 r23是两个不相等的实根 因此所求通解为

yC1exC2e3x

例2 求方程y2yy0满足初始条件y|x0

4、y| x02的特解

解 所给方程的特征方程为

r22r10 即(r1)20

其根r1r21是两个相等的实根 因此所给微分方程的通解为

y(C1C2x)ex

将条件y|x04代入通解 得C14 从而

y(4C2x)ex

将上式对x求导 得

y(C24C2x)ex

再把条件y|x02代入上式 得C22 于是所求特解为

x(42x)ex

例 3 求微分方程y2y5y 0的通解

解 所给方程的特征方程为

r22r50

特征方程的根为r112i r212i 是一对共轭复根

因此所求通解为

yex(C1cos2xC2sin2x)

n 阶常系数齐次线性微分方程 方程

y(n)p1y(n1)p2 y(n2)     pn1ypny0

称为n 阶常系数齐次线性微分方程 其中 p1

p2      pn1 pn都是常数

二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式 可推广到n 阶常系数齐次线性微分方程上去

引入微分算子D 及微分算子的n次多项式

L(D)=Dn p1Dn1p2 Dn2      pn1Dpn 则n阶常系数齐次线性微分方程可记作

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§12 微分方程

(Dn p1Dn1p2 Dn2      pn1Dpn)y0或L(D)y0 注 D叫做微分算子D0yy Dyy D2yy D3yy   Dnyy(n)

分析 令yerx 则

L(D)yL(D)erx(rn p1rn1p2 rn2      pn1rpn)erxL(r)erx

因此如果r是多项式L(r)的根 则yerx是微分方程L(D)y0的解

n 阶常系数齐次线性微分方程的特征方程

L(r)rn p1rn1p2 rn2      pn1rpn0 称为微分方程L(D)y0的特征方程

特征方程的根与通解中项的对应

单实根r 对应于一项 Cerx 

一对单复根r1 2 i 对应于两项 ex(C1cosxC2sinx)

k重实根r对应于k项 erx(C1C2x    Ck xk1)

一对k 重复根r1 2 i 对应于2k项

ex[(C1C2x    Ck xk1)cosx(D1D2x    Dk xk1)sinx]

例4 求方程y(4)2y5y0 的通解

解

这里的特征方程为

r42r35r20 即r2(r22r5)0

它的根是r1r20和r3 412i

因此所给微分方程的通解为

yC1C2xex(C3cos2xC4sin2x)

例5 求方程y(4) 4y0的通解 其中0

解

这里的特征方程为

r4 40

它的根为r1,22(1i) r3,42(1i)

因此所给微分方程的通解为

ye

内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 2x(C1cos2xC2sin2x)e 2x(C3cos2xC4sin2x) 高等数学教案

§12 微分方程

§12 10 二阶常系数非齐次线性微分方程

二阶常系数非齐次线性微分方程 方程

ypyqyf(x)称为二阶常系数非齐次线性微分方程 其中p、q是常数

二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程 的通解yY(x)与非齐次方程本身的一个特解yy*(x)之和

yY(x) y*(x)

当f(x)为两种特殊形式时 方程的特解的求法

一、f(x)Pm(x)ex 型

当f(x)Pm(x)ex时 可以猜想 方程的特解也应具有这种形式 因此 设特解形式为y*Q(x)ex 将其代入方程 得等式

Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)

(1)如果不是特征方程r2prq0 的根 则2pq0 要使上式成立 Q(x)应设为m 次多项式

Qm(x)b0xmb1xm1    bm1xbm 

通过比较等式两边同次项系数 可确定b0 b1     bm 并得所求特解

y*Qm(x)ex

(2)如果是特征方程 r2prq0 的单根 则2pq0 但2p0 要使等式

Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)

成立 Q(x)应设为m1 次多项式

Q(x)xQm(x)

Qm(x)b0xm b1xm1   

bm1xbm 

通过比较等式两边同次项系数 可确定b0 b1   

 bm 并得所求特解

y*xQm(x)ex

(3)如果是特征方程 r2prq0的二重根 则2pq0 2p0 要使等式

Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)

成立 Q(x)应设为m2次多项式

Q(x)x2Qm(x)

Qm(x)b0xmb1xm1    bm1xbm 

内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 高等数学教案

§12 微分方程

通过比较等式两边同次项系数 可确定b0 b1     bm  并得所求特解

y*x2Qm(x)ex

综上所述 我们有如下结论 如果f(x)Pm(x)ex 则二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqy f(x)有形如

y*xk Qm(x)ex 的特解 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式 而k 按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2

例1 求微分方程y2y3y3x1的一个特解

解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程 且函数f(x)是Pm(x)ex型(其中Pm(x)3x1 0)

与所给方程对应的齐次方程为

y2y3y0

它的特征方程为

r22r30

由于这里0不是特征方程的根 所以应设特解为

y*b0xb1

把它代入所给方程 得

3b0x2b03b13x1

比较两端x同次幂的系数 得

3b03 3b03 2b03b11 2b3b101由此求得b01 b1 于是求得所给方程的一个特解为

y*x

例2 求微分方程y5y6yxe2x的通解

解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程 且f(x)是Pm(x)ex型(其中Pm(x)x 2)

与所给方程对应的齐次方程为

y5y6y0

它的特征方程为

内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 1313高等数学教案

§12 微分方程

r25r 60

特征方程有两个实根r12 r23 于是所给方程对应的齐次方程的通解为

YC1e2xC2e3x 

由于2是特征方程的单根 所以应设方程的特解为

y*x(b0xb1)e2x

把它代入所给方程 得

2b0x2b0b1x

比较两端x同次幂的系数 得

2b01 2b01 2b0b10 2bb001由此求得b01 b1 于是求得所给方程的一个特解为 1 y*x(x1)e2x

从而所给方程的通解为

yC1e2xC2e3x(x22x)e2x

提示

y*x(b0xb1)e2x(b0x2b1x)e2x

[(b0x2b1x)e2x][(2b0xb1)(b0x2b1x)2]e2x

[(b0x2b1x)e2x][2b02(2b0xb1)2(b0x2b1x)22]e2x

y*5y*6y*[(b0x2b1x)e2x]5[(b0x2b1x)e2x]6[(b0x2b1x)e2x] [2b02(2b0xb1)2(b0x2b1x)22]e2x5[(2b0xb1)(b0x2b1x)2]e2x6(b0x2b1x)e2x [2b04(2b0xb1)5(2b0xb1)]e2x[2b0x2b0b1]e2x

方程ypyqyex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]的特解形式

应用欧拉公式可得

ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx] 1212内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 高等数学教案

§12 微分方程

ex[Pl(x)ei xei xP(x)ei xei x] n22i

[Pe(i)x[Pe(i)x

l(x)iPn(x)]l(x)iPn(x)]

P(x)e(i)xP(x)e(i)x

其中P(x)(PlPni) P(x)(PlPni) 而mmax{l n}

设方程ypyqyP(x)e(i)x的特解为y1*xkQm(x)e(i)x

则y1*xkQm(x)e(i)必是方程ypyqyP(x)e(i)的特解

其中k按i不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1

于是方程ypyqyex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]的特解为

y*xkQm(x)e(i)xxkQm(x)e(i)x

xkex[Qm(x)(cosxisinx)Qm(x)(cosxisinx)

xk ex[R(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx]

综上所述 我们有如下结论

如果f(x)ex [Pl(x)cosxPn(x)sinx] 则二阶常系数非齐次线性微分方程

ypyqyf(x)的特解可设为

y*xk ex[R(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx]

其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式 mmax{l n} 而k 按i(或i)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1

例3 求微分方程yyxcos2x的一个特解

解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程

且f(x)属于ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]型(其中0 2 Pl(x)x Pn(x)0）

与所给方程对应的齐次方程为

yy0

它的特征方程为

r210

内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 12121212高等数学教案

§12 微分方程

由于这里i2i 不是特征方程的根 所以应设特解为

y*(axb)cos2x(cxd)sin2x

把它代入所给方程 得

(3ax3b4c)cos2x(3cx3d4a)sin2xxcos2x

比较两端同类项的系数 得 a b0 c0 d于是求得一个特解为 y*xcos2xsin2x

提示

y*(axb)cos2x(cxd)sin2x

y*acos2x2(axb)sin2xcsin2x2(cxd)cos2x

(2cxa2d)cos2x(2ax2bc)sin2x

y*2ccos2x2(2cxa2d)sin2x2asin2x2(2ax2bc)cos2x

(4ax4b4c)cos2x(4cx4a4d)sin2x

y* y*(3ax3b4c)cos2x(3cx4a3d)sin2x 134

913493a13b4c014由 得a b0 c0 d 3c0394a3d0

§12 12 微分方程的幂级数解法

当微分方程的解不能用初等函数或其积分表达时 我们就要寻求其它解法 常用的有幂级数解法和数值解法 本节我们简单地介绍微分方程的幂级数解法

求一阶微分方程的多项式

f(x y)a00a10(xx0)a01(yy0)    aim(xx0)l(yy0)m

这时我们可以设所求特解可展开为xx0的幂级数

内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 dyf(x,y)满足初始条件y|xx0y0的特解 其中函数f(x y)是(xx0)、(yy0)dx高等数学教案

§12 微分方程

yy0a1(xx0)a2(xx0)2    an(xx0)n    

其中a1 a2     an     是待定的系数 把所设特解代入微分方程中 便得一恒等式 比较这恒等式两端xx0的同次幂的系数 就可定出常数a1 a2     从而得到所求的特解

例1 求方程dyxy2满足y|x00的特解

dx

解 这时x00 y00 故设

ya1xa2x2a3x3a4x4    

把y及y的幂级数展开式代入原方程 得

a12a2x3a3x24a4x35a5x4   

x(a1xa2x2a3x3a4x4   )2

xa12x22a1a2x3(a222a1a3)x4    

由此 比较恒等式两端x的同次幂的系数 得

a10 a2 a30 a40 a5121    

20于是所求解的幂级数展开式的开始几项为

yx2121x5    

定理 如果方程

yP(x)yQ(x)y0 中的系数P(x)与Q(x)可在R

yanxn

n0的解

例2 求微分方程yxy 0的满足初始条件y|x00 y|x01的特解

解 这里P(x)0 Q(x)x在整个数轴上满足定理的条件 因此所求的解可在整个数轴上展开成x的幂级数

ya0a1xa2x2a3x3a4x4    anxn

n0由条件y|x00 得a00 由ya12a2x3a3x24a4x3   及y|x01 得a11 于是

yxa2x2a3x3a4x4    xanxn

n2内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 高等数学教案

§12 微分方程

y12a2x3a3x4a4x    1nanxn1

n223

y2a232a3x43a4x2    n(n1)anxn2 

n2

yxa2xa3xa4x   xanxn 234

n2

y12a2x3a3x4a4x   1nanxn1 23

n2

y2a2x32a3x43a4x    n(n1)anxn2  2

n2

把y及y代入方程yxy 0 得

2a232a3x43a4x2    n(n1)anxn2  

x(xa2x2a3x3a4x4  anxn  )0

即

2a232a3x(43a41)x2(54a5a 2)x3

(65a6a3)x4    [(n2)(n1)an2an1]xn    0

于是有

a20, a30, a4一般地 an21, a0, a0,    

6435an1(n3 4   )

(n2)(n1)由递推公式可得

aa411, a80, a90, a107,    

76764310910976431一般地 a3m1(m1 2   )

(3m1)(3m)   7643

a7所求的特解为

yx 1x41x71x10    

4376431097643内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室

第五篇：高等数学积分总结[推荐]

问题引例：曲边梯形的面积、变速直线运动的路程n积分定义：bfxdxlimfxiia0i1b计算方法:fxdxFbFaa一元定积分几何意义:连续曲线与x轴所围曲边梯形面积的代数和物理意义：变力沿直线做功应用几何：平面图形的面积直角坐标、极坐标、体积已知平行截面、旋转体体积平面曲线的弧长直角坐标、极坐标、参数方程、旋转曲面的面积应用物理：水压力、质量与引力、边际成本

一元不定积分：解决定积分的计算问题，将积分问题与求导问题联系起来

问题引例：曲顶柱体的体积、平面薄片的质量n积分定义：fx,ydlimf,iii0i1D计算方法:关键问题是定限，在直角坐标下d=dxdy，在极坐标下d=rdrd二重积分几何意义:以D为底，fx,y为曲顶柱体的体积的代数和物理意义：应用几何：求平面图形的面积dD应用物理问题引例：四维空间中曲顶柱体的体积问题n积分定义：fx,y,zdvlimf,,viiii0i1计算方法:直角坐标 dv=dxdydz柱面坐标xrcos,yrsin,zz,dv=rdrddz三重积分球面坐标xrsincos,yrsinsin,zrcos,dv=r2sindrdd定限的方法参考二重积分 几何意义、物理意义应用几何应用物理

问题引例：曲线形构件的质量nn积分定义：fx,ydslimf,s,fx,y,zdslimf,,siiiiiii00i1i1LL计算方法:用路径函数L化简fx,y,化为一元定积分弧长元素ds=dx2dy22ds=1+y'xdx对弧长的曲线积分2ds=1+x'ydy第一型曲线积分22ds=t+'tdt22ds=r+r'd几何意义、物理意义应用几何应用物理n问题引例:曲面不均匀薄片的质量n积分定义：fx,y,zdSlimf,,Siiii0i1对面积的曲面积分计算方法:

1、投影，2、代入，3、转换22第一型曲面积分fx,y,zdSfx,y,zx,y1zxzydxdyDxy应用几何：计算曲面面积应用物理

Pi,ixiQi,iyi问题引例：变力沿曲线作功Wlim0i1nn

1、定义：如果一阶微分方程Px,ydxQx,ydy0的左端恰好是某一个二元积分定义：Px,ydxlimP,x,Qx,ydylimQi,iyiiiiLL00i1i1函数u的全微分，此时方程的通解为u=C,因此全微分方程的关键就是求u积分的定义可推广到空间的情况，并可简写成Px,ydxQx,ydy

2、求解方法：L对坐标的曲线积分计算方法：本质是将其化为一元定积分用参数方程、将y化为x'全微分方程uu第二型曲线积分①不定积分法：P,uPdxy,PdxyQxy两种曲线积分的关系：②凑微分法PdxQdyPcosQcosds③积分因子法：见笔记PdxQdyRdzPcosQcosRcosds 其中cos，cos，cos是曲线在一点的与有向曲线同向的切向量的方向余弦 问题引例：曲面的侧的定义指明了曲面是有方向的曲面的投影，流体力学中流量问题=vdSn积分定义：limPi,i,iSzyQi,i,iSxzRi,i,iSxyPcosQcosRcosdS0i1对坐标的曲面积分nlimPi,i,iSzyQi,i,iSxzRi,i,iSxyPdydzQdxdzRdxdy第二型曲面积分0i1第一式将定义以第一型曲面积分的形式给出；第二式是我们普遍用的第二型曲面积分两个式子反应的是一个东西，也就阐明了两类曲面积分的联系计算方法：投影、代入、转换应用：流量的计算

QP 格林定理：①曲线正向的定义；②dxdy,L为D的取正向的边界曲线LPdxQdyxyD QP应用格林公式应注意：1曲线L必须封闭；2、在D内每点具有一阶连续偏导；3L为正向曲线 xy

A格林公式曲线积分的路径无关性：概念，积分值只与初始点的坐标有关PdxQdy B 四个等价命题：在一个单连通区域内，函数Px,y、Qx,y在G内有一阶连续偏导 则下面四个命题等价：QP ①=；②PdxQdy0；③PdxQdy与路径无关；④存在函数ux,y,使duPdxQdyLL xy 高斯公式：是闭曲面围成的区域，函数P、Q、R在上具有一阶连续偏导，则PQRPdydzQdzdxRdxdy++dVxyzPQRPcosQcosRcosdS++dV高斯公式通量散度xyz其中是的外侧，cos、cos、cos是点出法向量的方向余弦PQR通量与散度：=AdS,divA++xyz

斯托克斯公式：设是以为边界的有向曲面，的正向与的侧符合右手规则,P,Q,R具有一阶连续偏导  RQQPPRPdxQdyRdzdydzdzdxdxdyL yzzxxy斯托克斯公式环流量与旋度

环流量与旋度：向量场A沿有向闭曲线的曲线积分Ads称为A沿的环流量 RQPRQP旋度：rotA= ikjyzzxxy

积分应用归纳几何应用：

1、求曲边梯形的面积：用一元定积分可做

2、求曲顶柱体的体积：用二重积分可做，用三重积分可做

3、曲面的面积:1dSdS 柱面面积=fx,yds——牟合方盖的表面积Lfy,zds,fx,zdsLL该柱面以L为准线，母线平行于z轴，介于z0与曲面zfx,y之间的部分

4、平面的面积：其实就是曲面面积的特殊情况，用一元定积分可做，用二重积分可做

物理应用：

1、质量平面直线杆一元定积分线状质量线密度长度平面曲线杆对弧长的曲线积分这也就解释了为什么对弧长的积分化为定积分空间曲线杆被积函数为三元函数的对弧长的曲线积分平面面片二重积分面状质量面密度面积空间面片对曲面的面积积分立体快质量体密度体积三重积分解释了为什么对曲面的面积积分化为二重积分=fP;MfPd

2、质心物理重心——质心——几何中心——形心概念解释:物理重心——是在重力场中，物体处于任何方位时所有各组成质点的重力的合力都通过的那一点。规则而密度均匀物体的重心就是它的几何中心。质心——质量中心简称质心，指物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点。与重心不同的是，质心不一定要在有重力场的系统中。值得注意的是，除非重力场是均匀的，否则同一物质系统的质心与重心不通常在同一假想点上。形心——面的形心就是截面图形的几何中心，质心是针对实物体而言的,而形心是针对抽象几何体而言的，对于密度均匀的实物体，质心和形心重合。质心的计算：引入了静力矩的概念xx,ydyx,y薄片:xDx,yd,ydDx,yd平面DDxx,ydsyx,曲线杆:xLydsx,yds,yLx,ydsLL3、转动惯量：定义：IMr2Ixy2x,ydDIyx2x,ydDI0x2y2x,yd D



块：xxdv,yydvdvdv空间面片:xxd,yyddd曲杆:xxds,yydsdsds