数学分析 重积分

第一篇：数学分析 重积分

《数学分析》教案

第二十一章 重积分

教学目的：1.理解并掌握二重积分的有关概念及可积条件，进而会计算二重积分；2.理解三重积分的概念，掌握三重积分的计算方法，并能应用其解决有关 的数学、物理方面的计算问题；

教学重点难点：本章的重点是重积分的计算和格林公式；难点是化重积分为累次积分。

教学时数：22学时

§ 1 二重积分概念

一.矩形域上的二重积分 : 从曲顶柱体的体积引入.用直线网分割.定义 二重积分.例1 用定义计算二重积分

.用直线网

分割该正方形 , 在每个正方形上取其右上顶点为介点.解

.二.可积条件 : D

.大和与小和.Th 1 ，.《数学分析》教案

性质6

.性质7 中值定理.Th 若区域D 的边界是由有限条连续曲线()组成 , 例3 去掉积分

在D上连续 , 则

在D上可积.或

中的绝对值.§ 2 二重积分的计算

二.化二重积分为累次积分:

1.矩形域

上的二重积分:

用“ 体积为幂在势上的积分”推导公式.2.简单域上的二重积分: 简推公式, 一般结果]P219Th9.例1 ，.解法一 P221例3 解法二 为三角形, 三个顶点为 ,.例2 ,.P221例2.例3 求底半径为 的两直交圆柱所围立体的体积.P222例4.《数学分析》教案

解法一(直接计算积分)曲线AB的方程为

.方向为自然方向的反向.因此

.解法二(用Green公式)补上线段BO和OA(O为坐标原点), 成闭路.设所围

区域为D, 注意到 D为反向, 以及, 有

.例2 计算积分 I =, 其中L为任一不包含原点的闭区域D的边界(方向任意)P227例2 解 导数)..（和

在D上有连续的偏,.于是, I =.二.曲线积分与路线无关性:

《数学分析》教案

;.例6 验证式 P231例4

是恰当微分, 并求其原函数.§ 4 二重积分的变量变换:（4时）

1.二重积分的变量变换公式: 设变换 的Jacobi , 则

, 其中 是在该变换的逆变换

下平面上的区域 在

平面上的象.由条件

一般先引出变换

.而 , 这里的逆变换是存在的., 由此求出变换

.例1 ,.P235 例1.註

当被积函数形如 区域为直线型时, 可试用线性变换 , 积分.《数学分析》教案

极坐标变换: ,.广义极坐标变换: ,.例4.P240例3.例5(Viviani问题)求球体 被圆柱面

所割下立体的体积.P240例4.例6 应用二重积分求广义积分

.P241例5.例7 求橢球体

四.积分换序: 例8 连续.对积分的体积.P241例6.换序..例9 连续.对积分

换序..例10 计算积分

..§ 5 三重积分简介

《数学分析》教案

例2 , :.解.法一(内二外一), 其中 为椭圆域 , 即椭圆域, 其面积为.因此

.同理得 ,.因此.法二(内一外二)上下对称，为 的偶函数，1

《数学分析》教案

Th 21.13 P247.1.柱坐标: P248.例4 ，:

.P248例3 2.球坐标: P249.P 250例4.§ 6 重积分的应用

一、曲面的面积

设曲面方程为

.有连续的一阶偏导数.推导曲面面积公式 , 或.例1 P253例1`.3-

第二篇：数学分析 曲面积分

《数学分析》教案

第二十二章 曲面积分

教学目的：1.理解第一、二型曲面积分的有关概念，并掌握其计算方法，同时明确它们的联系；2.掌握高斯公式与斯托克斯公式；3.理解有关场的概念，掌握梯度场、散度场、旋度场、管理场与有势场的性质及应用。

教学重点难点：本章的重点是曲面积分的概念、计算；难点是第二型曲面积分。教学时数：18学时

§ 1 第一型曲面积分

一.第一型面积分的定义:

1.几何体的质量: 已知密度函数 , 分析平面区域、空间几何体的质量定义及计算 2.曲面的质量:

3.第一型面积分的定义: 定义及记法., 面积分

.4.第一型面积分的性质:

二.第一型面积分的计算:

1.第一型曲面积分的计算: Th22.2 设有光滑曲面 续函数,则

.为 上的连.例4 计算积分, 其中 是球面

被平面

所截的顶部.P281

《数学分析》教案

D

上的连续函数, 以 的上侧为正侧(即), 则有

.证 P 类似地, 对光滑曲面

D., 在其前侧上的积分

对光滑曲面 D , 在其右侧上的积分

.计算积分 ，时, 通常分开来计算三个积分

,.为此, 分别把曲面 投影到YZ平面, ZX平面和XY平面上化为二重积分进行计算.投影域的侧由曲面 的定向决定.例1 计算积分,其中 是球面

在

部分取外侧.P287 例2 计算积分，为球面

取外侧.《数学分析》教案

对积分则有

:

;, 分别用

和

记上半球面和下半球面的外侧，:

.因此, =

+ =

.综上, =

§ 3 Gauss公式和Stokes 公式

.一.Gauss公式:

Th22.6 设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面 围成.若函数

在V

上连续, 且有连续的一阶偏导数 , 则

, 其中 取外侧.称上述公式为Gauss公式或Остроградский―Gauss公式.《数学分析》教案

解

.由Gauss公式.例2 计算积分，其中 是边

.P291 长为的正方体V的表面取外侧.V : 解 应用Gauss公式 , 有

.例1 计算积分

在平面，为锥面

下方的部分，取外法线方向.解 设 为圆

取上侧 , 则

构成由其所围锥体 V的表面外侧 , 由Gauss公式 , 有 =

而

锥体V的体积

;

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二.Stokes公式:

空间双侧曲面的正侧与其边界闭合曲线L正向的匹配关系: 右手螺旋法则, 即当人站在曲面的正侧上, 沿边界曲线L行走时, 若曲面在左侧, 则把人的前进方向定为L的正向.1.Stokes定理:

Th22.7 设光滑曲面 的边界L是按段光滑的连续曲线.若函数、导数 , 则

和

在(连同L)上连续 ,且有一阶连续的偏

.其中 的侧与L的方向按右手法则确定.称该公式为Stokes公式.证 先证式.具体证明参阅P292.Stokes公式也记为.例5 计算积分 , 其中 L为平面

与各坐标平面的交线, 方向为: 从平面的上方往下看为逆时针方向.P294

第三篇：重积分证明题

证明题（共 46 小题）

1、设函数f(x,y)和g(x,y)在有界闭域D上连续，证明

2、设函数f(x,y)和g(x,y)在D上连续，且f(x,y)≤g(x,y),(x,y)D，利用二重积分定义证明：

3、设函数f(x,y)在有界闭域D上连续，且M，m分别是f(x,y)在D上的最大值与最小值，证明：

其中σ是D的面积。

4、设函数f(x,y)在有界闭域D上连续，证明：

5、设函数f(x,y)在有界闭域D上连续，证明在D上必有点(ξ,η)使得

成立，其中σ是D的面积。

6、设函数f(x,y)在有界闭域D上连续，且D可以分为两个闭域D1和D2，证明

7、设D={(x,y)}｜a≤x≤b,－φ(x)≤y≤φ(x)},试证

其中φ(x)在[a,b]上连续，f(x),g(y)均在D上连续，且g(－y)=－g(y).8、设D={(x,y)｜a≤x≤b,－φ(x)≤y≤φ(x)},试证

[a,b]上连续，f(x,y)在D上连续且f(x,－y)=－f(x,y).9、设f(x,y)是连续函数，证明其中a,m为常数，且a>0.10、设f(u)为连续函数，试证

其中φ(x)在11、设f(x,y),g(x,y)在有界闭区域D上连续，且g(x,y)≥0,证明：在D上必有点(ξ,η),使

成立。

12、设f(x,y)为区域D：上的连续函数，试证

13、利用二重积分的估值性质，证明 线－x+y=1,x+y=1及ox轴所围成的区域。

其中D是由直

14、设f(x)在[a,b]上连续，证明 其中n>0.15、证明：

大于1的自然数。

16、设f(x),g(x)在[a,b]上连续，试用二重积分证明不等式：

17、设f(x)在[0,1]上连续，证明

18、设f(x)在[a,b]上连续，证明不等式

19、设p(x)是[a,b]上的非负连续函数，f(x),g(x)是[a,b]上的连续单增函数，证明

20、设f(x)是[0,1]上的连续正值函数，且f(x)单调减少，证明不等式：

其中n为

21、设f(x)是[0,1]上的连续单增函数，求证：

22、设f(u)是连续函数，证明

及x=－1所围成的区域。

23、设f(t)为连续函数，证明

其中D是由y=x3,y=

124、设f(t)是连续函数，证明

其中A为正常数，其中a2+b2≠0.25、设f(t)是连续函数，证明

26、设f(x)在[0,a]上连续，证明

27、设f(x)是[a,b]上的连续正值函数，试证不等式：

其中D：a≤x≤b,a≤y≤b.28、设f(u)为可微函数，且f(0)=0,证明

29、设Ω为空间有界闭区域，f(x,y,z)在Ω上连续，若(ξ,η,ζ)∈Ω使得任意闭区域D，DΩ，都有f(x,y,z)dv=f(ξ,η,ζ)VD,VD为D的体积，试证f(x,y,z)在Ω上是常数。

30、锥面x2+y2－z2=0将闭区域x2+y2+z2≤2az(a>0)分割成两部分，试证其两部分体积的大小之比为3：1.31、设D1与D2分别是第一象限由

以及x2+y2≤a2(a>0)所确定的闭区域，试证：面积关系式

32、设Ω是由曲面(a1x+b1y+c1z)2+(a2x+b2y+c2z)2+(a3x+b3y+c3z)2=1所围的有界闭区域，,f(x,y,z)在Ω上连续，试证：(ξ，η，ζ)∈Ω满足

.33、设Ω为单位球体x2+y2+z2≤1,试证可选择适当的坐标变换，使得

(a2+b2+c2=1)

34、设Ω是上半单位球体x2+y2=z2≤1,z≥0,f(x,y,z)在Ω上连续，试利用球面坐标积分方法证明(ξ，η，ζ)∈Ω使得

222222f(x,y,z)dvf(,,)()().

35、试证：对形状为z=的增速与液面高度成正比。

36、设Ω为一半椭球体x2+y2+试证：

.(a;b>0)的容器，当其液面高度增速为常数时，其容积,z≥0.g(u)为一单调增函数。

37、试证：在平面薄片关于所有平行于oy轴的轴的转动惯量中，对于穿过重心的轴所得的转动惯量最小。

38、设Ω为由

≤1所确定的立体(0＜a≤b≤c)，其密度函数ρ=ρ(z)为关

[(x于z的偶函数。试证：对任意的(x0,y0,z0)∈Ω，关于(x0,y0,z0)的转动惯量满足I(x0,y0,z0)=－x0)2+(y－y0)2+(z－z0)2]ρ(z)dv≤I(0,0,c).39、体密度为ρ(x,y,z)的空间立体Ω关于(x0,y0,z0)的转动惯量定义为：I(x0,y0,z0)=－x0)2+(y－y0)2+(z－z0)2]ρ(x,y,z)dv.试证：I(x0,y0,z0)≥,其中

[(x

是Ω的重心坐标。

40、设Ω为一有界闭区域，f(x,y,z)在Ω上连续。若对任意Ω1,Ω2

Ω,其对应体积为V1，V2，只要V1

。试证：f为正常数。

41、设f(z)在[－1,1]上有连续的导函数，试证：

42、设f(t)为一单调增函数，试证：

43、设f(u)为一单调增函数，试证：，其中

a2+b2+c3=1.44、设f(x,y,z)在有界闭区域D上连续，若对任意闭区域D1，D1



D都有，试证在 D上f(x,y,z)≤0.45、设Ω为区域x+y+z≤1,P0(x0,y0,z0)为Ω外的一点，试证：

22。

46、设f(x,y,z)在有界闭区域Ω上连续，若

f(x,y,z)dv=f(x0,y0,z0)·V,V为Ω的体积，试证：当f(x0,y0,z0)取到f(x,y,z)的最大值或最小值时f(x,y,z)在Ω必是一个常数。

第四篇：重积分总结

多重积分的方法总结

计算根据被积区域和被积函数的形式要选择适当的方法处理，这里主要是看被积区域的形式来选择合适的坐标形式，并给区域一个相应的表达，从而可以转化多重积分为多次的积分形式．具体的一些作法在下面给出．

一．二重积分的计算

重积分的计算主要是化为多次的积分．这里首先要看被积区域的形式, 选择合适的坐标系来进行处理．二重积分主要给出了直角坐标系和极坐标系的计算方法．我们都可以从以下几个方面把握相应的具体处理过程：1.被积区域在几何直观上的表现（直观描述，易于把握）；2.被积分区域的集合表示（用于下一步确定多次积分的积分次序和相应的积分限）；3.化重积分为多次积分．

1.在直角坐标下：(a)X-型区域

几何直观表现：用平行于y轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数yy1(x)和yy2(x)；

被积区域的集合表示：D{(x,y)axb,y1(x)yy2(x)}； 二重积分化为二次积分：

Df(x,y)dxdydxaby2(x)y1(x)f(x,y)dy．

(b)Y-型区域

几何直观表现：用平行于x轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由左右交点位于的曲线确定两个函数xx1(x)和xx2(x)；

被积区域的集合表示：D{(x,y)cyd,x1(x)xx2(x)}； 二重积分化为二次积分：

f(x,y)dxdyDdcdxx2(y)x1(y)f(x,y)dx．

2.在极坐标下：

几何直观表现：从极点出发引射线线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数rr1()和rr2()（具体如圆域，扇形域和环域等）；

被积区域的集合表示：D{(r,)12,r1()rr2()}，注意，如果极点在被积区域的内部，则有特殊形式D{(r,)02,0rr2()}； 直角坐标下的二重积分化为极坐标下的二重积分，并表示成相应的二次积分：

Df(x,y)dxdyf(rcos,rsin)rdrddD2r2()1r1()f(rcos,rsin)rdr．

注：具体处理题目时，首要要能够选择适当的处理方法，并能够实现不同积分次序及直角坐标和极坐标的转化．

3.二重积分的换元法：

zf(x,y)在闭区域D上连续，设有变换

xx(u,v)T,(u,v)D yy(u,v)将D一一映射到D上，又x(u,v),y(u,v)关于u, v有一阶连续的偏导数，且

J(x,y)0,(u,v)D (u,v)则有

f(x,y)dxdyf(x(u,v),y(u,v))Jdudv．

DD

二．三重积分的计算

三重积分具体的处理过程类似于二重积分，也分为三个步骤来进行处理． 1.在直角坐标下：

空间区域几何直观表现：用平行于z轴的直线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个函数zz1(x,y)和zz1(x,y)，并把区域投影到xoy面上从而确定(x,y)的范围，记为Dxy；

被积区域的集合表示：V{(x,y,z)(x,y)Dxy,z1(x,y)zz2(x,y)}, 进一步地, Dxy可以表示成X－型区域或Y－型区域;三重积分化为三次积分：

f(x,y,z)dVdxdyVDxybaz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz

（所谓“二套一”的形式）dyz2(x,y)dxdy2(x)y1(x)z1(x,y)f(x,y,z)dz

（Dxy为X－型）

dycx2(y)x1(y)dxz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz

（Dxy为Y－型）

注：类似于以上的处理方法，把空间区域投影到 yoz面或zox面又可把三重积分转化成不同次序的三次积分．这时区域几何直观表现，区域的集合表示，以及新的三次积分次序如何？可见，三重积分最多可以对应六种积分次序．这里还有所谓一套二的处理方法，区域的直观表现为：平行于xoy面的截面面积容易求得．作为被积函数最好与x，y无关，即可表示为为f(z)．则区域表示为：

V{(x,y,z)czd,(x,y)Dz}, 其中Dz表示垂直于z轴的截面．此时，三重积分化为：

f(x,y,z)dVVdcdzf(z)dxdy

（所谓“一套二”的形式）

Dz

f(z)SDzdz

cd其中SDz表示截面Dz的面积，它是关于z的函数．

2.在柱坐标下：

柱坐标与直角坐标的关系：

xrcosyrsin,(0r,02,z)zz空间区域几何直观表现：用平行于z轴的直线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个，从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个函数zz1(x,y)和zz1(x,y)．空间区域在xoy面上的投影区域易于用参数r和表示范围（具体如圆域，扇形域和环域等），并且zz1(x,y)和zz1(x,y)也易于进一步表示z成关于r,较简单的函数形式，比如x2y2可以看成一个整体（具体如上、下表面为旋转面的情形）；

被积区域的集合表示：

V{(r,)12,r1()rr2(),z1(r,)zz2(r,)}；

直角坐标下的三重积分化为极坐标下的三重积分，并表示成相应的三次积分：

f(x,y,z)dVf(rcos,rsin,z)rdrddzVVd12r2()r1()rdrz2(r,)z1(r,)f(rcos,rsin,z)dz．

3.在球坐标下：

球坐标与直角坐标的关系： xrsincosyrsinsin,(0r,02,0)zcos空间区域几何直观表现：从原点出发引射线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个，从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个球坐标函数rr1(r,)和rr2(r,);（具体如球心在原点或z轴上的球形域）

被积区域的集合表示：

V{(r,,)12,12,r1(,)rr2(,)}；

直角坐标下的三重积分化为极坐标下的三重积分，并表示成相应的三次积分：

Vf(x,y,z)dVf(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindrdd

V=20dd02r2(,)r1(,)f(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindr．如球心在原点半径为a的球形域下：

Vf(x,y,z)dVddf(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindr．

000a4.三重积分的换元法：

uf(x,y,z)在闭区域V上连续，设有变换

xx(u,v,w)T:yy(u,v,w),(u,v,w)V zz(u,v,w)将V一一映射到V上，又x(u,v,w),y(u,v,w)和z(u,v,w)关于u, v和w有一阶连续的偏导数，且

J(x,y,z)0,(u,v)V

(u,v,w)则有

f(x,y,z)dVf(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))Jdudvdw．

VV

三．重积分的几何和物理应用 1.几何应用

a)二重积分求平面区域面积；b)二重积分求曲顶柱体体积；c)三重积分求空间区域的体积；d)二重积分求空间曲面的面积．

求曲面的面积A，对应着曲面方程为直角坐标系下的二元函数形式和参数方程形式分别有以下公式：

i)曲面方程 S:zf(x,y),(x,y)D

A1fx2fy2dxdy

Dxx(u,v)ii)曲面参数方程S:yy(u,v),(u,v)Duv

zz(u,v)iA(xuiyujzuk)(xviyvjzvk)dudvxuDuvDuvjyuyvkzududv zvxv注：这里的公式都对函数有相应的微分条件． 2.物理应用

包括求质量、质心、转动惯量和引力等应用，积分是研究物理问题的重要工具．建立物理量对应的积分公式的一般方法是从基本的物理原理出发，找到所求量对应的微元，也就是对应积分的被积表达式了．

以上对多重积分的计算方法做了个小结，关键要在具体的情况下要找到对应的适宜的处理方法．处理重积分计算时从几何形式出发，则易于直观把握．注意选择适当的坐标系，注意被积区域的表达，还要注意函数关于区域的对称性．这种对称性包括奇对称和偶对称，从而可以简化计算过程．

第五篇：第十五章 含参变量的积分(数学分析)课件

第十五章

含参变量的积分

教学目的与要求 掌握含参变量的常义积分的定义及分析性质； 能应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题.3 理解含参变量的反常积分的一致收敛的定义； 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质； 5 能利用参变量的反常积分的分析性质求函数的导数、积分等； 6 掌握Beta函数和Gamma函数的定义及其相互关系； 7 掌握Beta函数和Gamma函数的性质。

教学重点 应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题； 2 求含参变量的常义积分的极限、导数、积分； 3 含参变量的反常积分的一致收敛的定义； 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质； 5 利用参变量的反常积分的分析性质求函数的导数、积分等 6 Beta函数和Gamma函数的性质。

教学难点 应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题； 2 含参变量的反常积分的一致收敛的定义； 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质；

§1 含参变量的常义积分

教学目的 掌握含参变量的常义积分的定义及分析性质； 能应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题.教学过程 含参变量的常义积分的定义（P373）含参变量的常义积分的分析性质 2.1 连续性定理P374

Theore1 m若函数f(x,y)在矩形域D[ a , b ]  [ c , d ]上连续 , 则函数I(x)f(x,y)dy在[ a , b ]上连续.cdTheorem2 若函数f(x,y)在矩形域D[ a , b ]  [ c , d ]上连续, 函数y1(x)和y2(x)在[ a , b ]上连续 , 则函数G(x)

例 1 求下列极限(1)limy2(x)y1(x)f(x,y)dy在[ a , b ]上连续.y011xydx(2)lim2211x1(1)nnn0dx

2.2 积分次序交换定理P375 例2 见教材P375.2.3 积分号下求导定理P375—376

Theore 3 m若函数f(x,y)及其偏导数fx都在矩形域D[ a , b ]  [ c , d ]上连续, 则函数I(x)dcf(x,y)dy在[ a , b ]上可导 , 且

dddf(x,y)dyfx(x,y)dy.ccdx

(即积分和求导次序可换).Theorem4设函数f(x,y)及其偏导数fx都在矩形域D[ a , b ]  [ c , d ]上连续, 函数y1(x)和y2(x)定义在[ a , b ], 值域在[ c , d ]上, 且可微 , 则含参积分

G(x)y2(x)y1(x)f(x,y)dy在[ a , b ]上可微 , 且

G(x)1y2(x)y1(x)(x)fx,y1(x)y1(x).fx(x,y)dyfx,y2(x)y2x

2例2

求下列函数的导数(1)F(y)(lnx02y)dx(y0)(2)F(y)ex12xy2dx

例3 计算积分 Iln(1x)01x2dx.例 4 设函数f(x)在点x0的某邻域内连续.验证当|x|充分小时 , 函数

x (x)(xt)n1f(t)dt (n1)!0(n)的n1阶导数存在 , 且 2.4(P376定理15.1.4)例4 求F(y)(x)f(x).sinyxayxdx的导数 by例5 研究函数 F(y)yf(x)其中f(x)是[0,1]上连续且为正的函数。 0x2y2dx 的连续性，1解

令g(x,y)yf(x)，则g(x,y)在[0,1][c,d]连续，其中0[c,d]。从而F(y)在22xyy0连续。当y0时，F(0)0

当y0时，记 mminf(x)0，则

x[0,1]F(y) 1yf(x)y1dxmdx marctan 0x2y2 0x2y2y 1若limF(y)存在，则

limF(y)limmarctany0y0y01y2m0F(0)

故F(y)在y0不连续。

或用定积分中值定理，当y0时，[0,1]，使

F(y) 1yf(x)ydxf() 0x2y2 0x2y2dx 11xf()arctany若limF(y)存在，则

y001f()arctan

y

limF(y)limf()arctany0y01y2m0

故F(y)在y0不连续。

问题1 上面最后一个式子能否写为

limf()arctany01f()0。y2事实上，是依赖于y的，极限的存在性还难以确定。例6 设f(x)在[a,b]连续，求证 x

y(x)f(t)sink(xt)dt

（其中 a,c[a,b]）

k c满足微分方程

ykyf(x)。证

令g(x,t)f(t)sink(xt)，则 2gx(x,t)kf(t)cosk(xt)，gxx(x,t)k2f(t)sink(xt)

它们都在[a,b][a,b]上连续，则

y(x) x cf(t)cosk(xt)dt

y(x)k x x cf(t)sink(xt)dtf(x)

xyk2yk cf(t)sink(xt)dtf(x)k cf(t)sink(xt)dtf(x)例7

设f(x)为连续函数，hh

F(x)[f(x)d]d

00求F(x)。

解

令xu，则

hhhxhF(x)[f(x)d]dd000xf(u)du

hhF(x)[f(xh)df(x)d]

00在第一项中令xhu，在第二项中令xu，则

x2hxhF(x)[xhf(u)duf(u)du]

xF(x)[f(x2h)2f(xh)f(x)]

问题2 是否有

 F(x)[f(x)d]d[f(x)d]d

x0x000例8

利用积分号下求导法求积分

/2hhhhI(a)解

令 f(x,a)0arctan(atanx)dx，|a|1

tanxarctan(atanx)

tanxx0x0,2时，f无定义，但limf(x,a)a，limf(x,a)0，故补充定义

x2

f(0,a)a，f(2,a)0

则f在[0,2][b,b]连续（0b1），从而I(a)在(1,1)连续。1, x(0,), |a|11a2tan2x2fa(x,a)

0, x0，|a|12显然fa(x,0)在x故有

/22点不连续，但fa(x,a)分别在[0,2](1,0)和[0,2](0,1)连续，/2

I(a)令tanxt 0fa(x,a)dx01dx，a(1,0)或a(0,1)221atanx11I(a)dt2222(1t)(1at)1a01 1a21a2t2a2t2a2dt 222(1t)(1at)01a2[]dt，222(1at)2(1|a|)0(1t)a(1,0)或a(0,1)

积分之

I(a)2ln(1a)C1，a(0,1)

I(a)2ln1(a)C2，a(1,0)

因为I(a)在(1,1)连续，故

I(0)limI(a)0limI(a)

a0a0得C1C20，从而得

I(a)2sgnaln(1|a|)，|a|1

作业：P378----379 2、3、5、6、8（2）（3）、11

§2 含参变量的反常积分

教学目的 理解含参变量的反常积分的一致收敛的定义； 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质； 3 能利用参变量的反常积分的分析性质求函数的导数、积分等；

教学过程 含参变量的反常积分的一致收敛

含参变量的反常积分有两种: 无穷区间上的含参变量的反常积分和无界函数的含参变量的反常积分.定义P379---381 无穷积分af(x,y)dx在区间[c,d]: 一致收敛: 0,A00,AA0,y[c,d]有

Af(x,y)dx;

A0非一致收敛: 00,A0,A0A,y0[c,d]有2 一致收敛性的判别法 2.1(Cauchy收敛原理)P381 2.2(Weierstrass判别法)P382 例1 证明:无穷积分

f(x,y)dx0.1cosxydx在R一致收敛.x2y22.3(Abel判别法和Dirichlet判别法)P382----385 2.4(Dini定理)P385 3 一致收敛积分的分析性质 3.1 连续性定理

3.2 积分次序交换定理 3.3 积分号下求导定理

例 2 利用积分号下求导求积分

In(a)dx，（n为正整数，a0）2n1(xa)0解

因为

11，aa00

(x2a)n1(x2a0)n17 dx而 2收敛，故 In(a)n1(xa)00dx 在aa00一致收敛。2n1(xa)0因为

dx1xarctan |20aa2a0xad故

dadx2xa0dx13/2 ()a22(xa)220d2da2dxdx135/22 ()()a2232220xa0(xa)由数学归纳法易证

dndandxdxn(1)n!22n1xa(xa)00(2n1)！(1)an22n2n12

dx(2n1)！a于是

In(a)2n12(2n)！(xa)02n12

例3 证明（1）e1yx2sinydx关于y[0,)一致收敛；

（2）e1yx2sinydy关于x[0,)不一致收敛。

证

（1）用分段处理的方法。A1，y0，令yxt 得

2|eAyx2sinydx||sinyyeyAt2dt||sinyy|etdt

0siny2|y|

因为 limy0sinyy0，则 0，0，当0y时，有 |eyxsinydx|A2siny2|y|

（1）

又

|eyx2siny|ex，y

22而 e1x2dx收敛，由M判别法，eyxsinydx在y[,)一致收敛，即0，1A01，AA0，有

|eyxsinydx|，y

（2）

A2上式对y0显然成立，结合（1）（2）式，有

yx

2|eAsinydx|，y[0,)

即e1yx2sinydx关于y[0,)一致收敛。

（2）因为x0时，sinydy发散，因此e11)yx2sinydy关于x[0,)不可能一致收敛。

例4 计算积分

a2x2e0(x2a2x2dx。

a(x)2x解 e0(x2)dxe0a(x)22axdxe2ae0dx

令 x2at xtedte0a(x)2xa(12)dxxe0a(x)2xdxe0a(x)2xda x

在第二项积分中令  ay，得 x9 e0a(x)2xadx(ya)2ye0dy

故

e(x2a2x2)dxe2aea(x)2xdxe2a

0

作业：P392—393 202、4（1）（2）、5、8、10、12、15 §3 Euler积分

教学目的 掌握Beta函数和Gamma函数的定义及其相互关系； 2 掌握Beta函数和Gamma函数的性质。

教学过程 Beta函数(第一类Euler积分)

1.1 定义

确定定义域 1.2 Beta函数的性质 P394 2 Gamma函数(第二类Euler积分)2.1 定义

(确定定义域)2.2 Gamma函数的性质 P395 3 Beta函数和Gamma函数的关系 P397 例1 求0xp1dx(p0,q0)； pq(1x)例2 证明：

11()241m1mxn（2）xedx()(n0,m1)

0nn（1）exdx4

作业： P404—405

1（1）（3）（7）（8）、3、7、9、10