高等数学第六版(同济版)第九章复习资料[模版]

第一篇：高等数学第六版(同济版)第九章复习资料[模版]

第九章 多元函数微分法及其应用 引入：在上册书中，我们学习了一元函数微积分学，所讨论的对象都只有一个自变量的函数，而在实际应用中，研究的问题往往要涉及多方面的因素，反映在数量上就是一个变量要依赖几个自变量，即数学上的多元函数，从这节课开始，我们进入多元函数微积分学的学习阶段.先来学习多元函数微分学 由于从一元函数到二元函数，单与多的差异已能充分体现，我们由二元函数入手来研究多元函数微分学，然后把相关概念及性质推广到三元、四元直至元函数上去 第一节 多元函数的基本概念

一、平面点集的相关概念 1.平面点集：具有性质P} 例如：，其中点表示点 2.邻域：(1).邻域：(2).去心邻域： 3.坐标面上的点与平面点集的关系：(1).内点：若，使，则称为的内点.(2).外点：若，使，则称为的外点(3).边界点：若，且，则称为的边界点 边界：的边界点的全体称为它的边界，记作.(4).聚点：若，则称为的聚点 导集：的聚点的全体称为它的导集 注：1°.若为的聚点，则可以属于，也可以不属于 2°.内点一定是聚点；外点一定不是聚点；边界点也不总是聚点，如孤立的边界点.例如：；.4.一些常用的平面点集：(1).开集：若点集的点都是其内点，则称为开集(2).闭集：若点集的边界，则称为闭集.(开集加边界(3).连通集：若中任何两点都可用属于的折线连接，则称为连通集.(4).开区域：连通的开集称为开区域，也称为区域.(5).闭区域：开区域加上其边界称为闭区域 例如：为区域.为闭区域.(6).有界集：若，使，则称为有界集.(7).无界集：若，使，则称为无界集

二、维空间：对取定的自然数，称元数组的全体为维空间，记为.注：前述的邻域、区域等相关概念可推广到维空间.三、多元函数的概念 1.，或，其中 因 映 自 变 变 量 射 量 定义域：D 值 域： 注：可推广：元函数：，.例: 1.，2.，2.几何表示：函数对应空间直角坐标系中的一张曲面:.四、二元函数的极限 1.定义：设函数的定义域为，点若，，为，满足，则称为当，称之为的二重极限 例1.设证明：，要使不等式，求证 成立，只须取，于是，，总有，即 例2.不存在，其中 证明：当沿直线趋于时，总有，随着的不同而趋于不同的值，故极限不存在 例3.求极限 五、二元函数的连续性 1.二元函数的连续性:设函数的定义域为D，点为D的聚点，且，则称在点连续 2.二元函数的间断点: 设函数的定义域为D，点为D的聚点，若在点不连续，则称为的间断点.注：间断点可能是函数有定义的孤立点或无定义的点.3.性质：设D为有界闭区域(1).有界性：，有(2).最值性：，使得，有(3).介值性：，使得.4.二元连续函数的运算性质(1).和、差、积仍连续；(2).商(分母不为零)连续；(3).复合函数连续.5.二元初等函数及其连续性(1).二元初等函数：由二元多项式和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所构成的、并用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数.(2)..例4.，则 解：令 例5...(分子有理化)第二节 偏导数 引入：在一元函数微分学中，我们研究了一元函数的变化率—导数，并利用导数研究了函数的性态.对于多元函数，我们也要讨论它的变化率，但由于多元函数的自变量不止一个，所以多元函数的变化率要比一元函数的变化率复杂得多.我们还是以二元函数为例来研究多元函数的变化率，先把二元函数中某一自变量暂时固定，再讨论二元函数关于另一个自变量的变化率，这就是数学上的偏导数.一、偏导数的相关概念 1.偏导数：设函数在点的某邻域内有定义，把暂时固定在，而 处有增量时，相应地有增量.若极 存在，则称此极限值为函数在点处对的 ； 或 注: 1°..2°..2.偏导函数：若函数在区域D内每一点处对或偏导数存在，则该偏导数称为偏导函数, 或；或.注：可推广：三元函数在点处对的偏导数定义为 例1.求在处的偏导数.，.例2.求的偏导数.，.例3.求的偏导数.，..3.偏导数的几何意义(1).偏导数是曲线在点处的切线关于轴的斜率(2).偏导数是曲线在点处的切线关于轴的斜率.4.函数偏导数存在与函数连续的关系：函数偏导数存在与函数连续之间无必然的蕴含关系.(1).函数在点处偏导数存在，但它在点却未必连续 例如：函

数在点的两个偏导数都存在，即，.不存在，故在点不连续(2).函数在点连续，但它在点处却未必存在偏导数 例如：函数在点连续，但它在点对及的偏导数都不存在，这是因为：，即在点对及的偏导数都不存在.二、高阶导数 1.二阶偏导数：若函数对及的偏导数及对及的偏导数也存在，则称它们是函数的二阶偏导数 记作：； ；(二阶纯偏导数)；.(二阶混合偏导数)(二阶纯偏导数 注：1°.一般地，二元函数的阶偏导数的偏导数称为它的阶偏导数 2°.二阶以及二阶以上的偏导数统称为高阶导数.3°.二元函数的阶偏导数至多有个.例4.设，求它的二阶偏导数.；； ；； ；.总结：从这一例题，我们看到：，即两个二阶混合偏导数相等，与求导顺序无 关.那是不是每个二元函数都有这样的相等的二阶混合偏导数呢？我们说不是的，例如：，在点，有，事实

上，；

而，，于是，，即 那么满足什么条件得二元函数的两个二阶混合偏导数与求导顺序无关呢？有下面的定理： 2.二阶混合偏导数的性质 定理：若函数的两个二阶混合偏导数与在区域内连续，则它们在D内必相等，即 注：1°.可推广：高阶混合偏导数在连续的条件下与求导顺序无关.2°.一般地，若二元函数的高阶混合偏导数都连续，则的阶偏导数只有个

第三节 全微分

一、全微分的相关概念 1.偏增量：称为函数对的偏增量 称为函数对的偏增量 2.偏微分：称与为对及的偏微分.注：，但在实际应用中，往往要知道函数的全面的变化情况，即当自变量有微小增量、时，相应的函数增量与自变量的增量、之间的依赖关系，这涉及到函数的全增量.3.全增量：称为函数在点、的全增量 一般来讲，计算全增量是比较困难的，我们总希望像一元函数那样，利用、的线性函数来近似代替函数的全增量，为此，引入了全微分 4.全微分：若函数在点的某领域内有定义，且在的全增 不依赖于、，可表示为，其中 而仅与、有关，则称在点可微分，而称 为在点的全微分，记作，即 若在区域D内每一点都可微分，则称在D内可微分.注： 我们知道，当一元函数在点的微分存在时，那么，当二元函数在点的全微分存在时，、又为何值呢？下面讨论二元函数可微分与连续、可微分与偏导数存在的关系，从中得到、的值.二、二元函数可微分与偏导数存在、可微分与连续的关系 1．函数可微分的必要条件 定理1.若函数在点可微分，则它在点的两个偏导数 必定存在，且在点的全微分 证明：由于在点可微分，则有，其，当时，有，从而，即，同理可得，于是 特殊地，令，有，从而有，同理令，有，从而有.于是有，也称之为二元函数微分学的叠加原理 注：定理说明：函数可微分，一定可偏导，且全微分可用偏导数表示.但反之未必，即偏导数存在，函数未必可微分 例如：在点处两个偏导数都存在，但在点却不可微分 事实上，假设在点可微分，则，当时.而，有

不存在，更谈不上等于0，从而假设 不成立，即在点不可微分.2.函数可微分的必要条件 定理2若函数在点可微分，则它在点连续 证明：由于在点可微分，有，其中，于是有，.又的全增量为，从而，这说 在点连续 注：函数连续，未必可微分 例如：函数在点连续，但由于偏导数不存在，从而不可微分.3.函数可微分的充分条件 定理3若函数的偏导数与在点都连续，则 可微分 注：反之未必 例如：在点可微分，但

在点都不连续(1).先说明在点可微分.设，因为，令，由于，其中，于是，由全微分的定义知在 微分(2).再说明偏导数及在点不连续.易知 , 从而在点 不连续 同理可知 在点也不连续.例1.计算函数的全微分.解：.例2.计算函数在点处的全微分.，有，所以 例3.计算解： 的全微分..第四节 多元复合函数的求导法则 一、一元函数与多元函数复合的情形 定理1.若函数及在点都可导，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点.(全导数公式)复合而成的函数注：可推广：，，在点.二、多元函数与多元函数复合的情形 定理2.若函数及在点具有对及的偏导数，函数 对应点具有连续偏导数，则复合函数在点的两个偏导数都存 ；.注：可推广：由，，复合而成的函 在点两个偏导数都存在，且 ；.三、其它情形 1.函数在点对及的偏导数都存在，函数及在点可导 在点具有连续偏导数，则复合函数在点 存在，且 ；.2.函数在点具有对及的偏导数，在点具有连续偏导数，则复合函数在点的两个偏导数都存在，且 ；.例1.设，而，求 及.；.例2.设，而 及.；.例3.设，而，求求导数.四、全微分形式不变性:若函数.若函数及也具有连续偏导数，则复合函数的全微 有称此性质为全微分形式不变性.，.与，其中，.例4.解：由于，而，于是，即，比较两端、dy，.第五节 隐函数的求导公式

一、隐函数：称对应关系不明显，而是隐含在方程(方程组)中的函数(函数组)为由方程(方程组)确定的隐函数(隐函数组 注：并不是每一个方程都能确定一个隐函数，例如：.二、隐函数存在定理 1.由一个方程确定的隐函数 定理1.若函数在点的某一邻域内具有连续偏导数，且，则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个连续可导的函 数，满足.注：若的二阶偏导数也连续，则有

定理2.若函数在点的某一邻域内具有连续偏导数，且，则方程在点

且具有连续偏导数的函数，满足 例1.设，求及，.解：令，则，..例2.设，求 解：设，则，.，从而 2.由方程组确定的隐函数组 定理3.若函数与在点的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又，且函数行列式 在点不等于零，则方程组在点 确定唯一一组连续且具有连续偏导数的函数组，且，；，例3.设，、、、和.解：设方程组，两端对求导得： 或，在 的条件下，有，同理可得，.；

第六节 多元函数微分学的几何应用 一、一元向量值函数及其导数 1.一元向量值函数的定义：，(数集)，.注：1°.在R3中，2°.向量值函数称为曲线的向量方程 2.一元向量值函数的极限：设向量值函数在点的某一去心邻域内有定义，若存在常向量，，：满足，总有，则称为当 时的极限，记作 注：存在、、都存在.3.一元向量值函数的连续性：设向量值函数在点的某一邻域内有定义，则称向量值函数在点连续 注：在点连续、、点连续 4.一元向量值函数的导数(导向量)：设向量值函数在点 存在，则称此极限值为在点的导数或导向量，记作.注：1°.在点可导、、点都可导 2°.是向量值函数 曲线在点处的一个切向量,其指向与的增长方向一致 例1.设，求 解：.例2.设空间曲线的向量方程为，求曲线在点相应的点处的单位切向量

解：由于，有，进而，于 为指向与的增长方向一致的单位切向量 为指向与的增长方向相反的单位切向量

二、空间曲线的切线与法平面 1.参数式情形：设空间曲线的参数方程为，假设、以及 在上可导，且三个导数不同时为零(1).切线：曲线上的一点处的切线方程为：应点 推导：由于曲线的参数方程为，记向量值函数，参数对 函数导数的几何意义知：向量即为曲线在其上的 处的一个切向量，从而曲线在其上的点处的切线方程为：.(2).法平面：通过曲线上的点而与曲线在点处的切线垂直的平面方程称为曲线在点处的法平面，方程为.其中法向量为 2.特殊式情形：设空间曲线的方程为，且、在点 的方程可改写为，为参数，从而曲线在点 程分别为：(1)..(2).法平面方程： 3.一般式(隐函数)情形：设曲线的方程为，为曲线 又设、，这时方程组在点 某一邻域内确定了一组隐函数，从而曲线的参数方程为，于是切向量为(1)...(2).法平面方程： 例3.求曲线在点处的切线与法平面方程

解：在方程组两端对求导，得，整理得，于是，，故切向量为 ；，或，从而所求切线方程为：.法平面方程为或

三、曲面的切平面与法线 1.定义(1).切平面：若曲面上通过点的一切曲线在点 面为曲面在点的切平面(2).法线：通过点且与切平面垂直的直线称为曲面在点的法线.2.切平面与法线方程(1).一般式情形：设曲面的方程为，点 的偏导数在点连续 切平面方程：；.推导：在曲面上过点任意引一条曲线，设其参数方程为，且函数 以及在都可导，有方程，对应点 两端对求导，在处，有.记.又为曲线在 处的切向量，由上式可知，即曲面上通过点的任意一条曲线的切向量都垂直于同一个向量，从而这些切线都在同一平面上，即曲面 的且平面存在，该切平面以向量为一法线向量(2).特殊式(显函数)情形：曲面：，且函数的偏导数在点连续 切平面方程： 法线方程：.推导：记，有，，故有法向量 例4.求球面在点处的且平面及法线方程 解：设，有，，故所求切平面的法向量为，于是所求切平面方程为：，即，法线方程为：，即 例5.求旋转抛物面在点处的切平面即法线方程 解：设，有，于是所求切平面的法向量为 从而所求切平面方程为，即，法线方程为.第七节 方向导数与梯度 引入:由函数在点的偏导数的几何意义可知：偏导数、只是函数过点沿平行坐标轴法线的变化率.但在实际应用中，往往要求我们知道函数在点沿任意确定的方向的变化率，以及沿什么方向函数的变化率最大，这就涉及到函数的方向导数和梯度.一、方向导数 1.定义：设函数在点的某个邻域内有定义，为过点)上另一点，且.若极限的射线(存在，则称此极限为函数在点沿 方向

注：若函数在点，则 的偏导数存在，且

若函数在点，则 的偏导数存在，且 2.方向导数的存在性 定理：若函数在点可微分，则函数在点沿任意方向的方向，其中、的方向余弦 注：1°.可推广：若函数在点可微分，则在点 的方向导数为 2°.方向导数存在，函数未必可微分 例如：在点沿方向的方向导数都存在，但 点不可微分 事实上：由于，从而 沿方向的方向导数都存在 但在点的两个偏导数都不存在，从而不可微分.例1.求函数在点处从点到方向的方向导数 解：由题可知方向就是向量的方向，有 又，.例2.求在点沿方向的方向导数，其中 解：由题可知与方向同向的单位向量为，又故所求方向导数为

二、梯度，，1.梯度的定义：设函数在平面区域D内具有一阶连续偏导数，对每一个，称向量为函数在点，或，即.注：可推广：.2.梯度与方向导数的关系(1).沿梯度方向，方向导数达到最大值；(2).梯度的模为方向导数的最大值

推导：设，若函数在点则在点可微分，沿方向的

1.当 这说明函数在一点的梯度是这样一个向量，它的方向是在这点的方向导数取得最大值的方向，它的模等于方向导数的最大值 2.当时，有与的方向相反，函数减小最快，在这个方向上的方向导数达到最小值，3.当 时，有与的方向正交，函数的变化率为零，即 例3.求 解：令，有，于是 例4.设，求(1).在处增加最快的方向以及沿这个方向的方向导数；(2).在处减少最快的方向以及沿这个方向的方向导数；(3).在处变化率为零的方向 解：(1).在点处沿的方向增加最快，由于，故所求方向可取为(2).在点处沿的方向减少最快，故所求方向可取(3).在点处沿垂直于的方向变化率为零，故所求方向为 或.第八节 多元函数的极值及其求法 引入：在一元函数微分学中，我们讨论了一元函数的极值和最值问题，但在许多实际问题中，往往会遇到多元函数的极值和最值问题，我们以二元函数为例来讨论多元函数的极值与最值问题 一、二元函数的极值与最值 1.极值：二元函数的定义域为，为的内点，若存在，且，都有(则称在点称为函数的极大值点(极小值点).有极大值(极小值).点统称极大值、极小值为极值；使函数取得极值的点称为函数的极值点 2.最值：设函数的定义域为D，若存在，都(则称为在D上的最大值(最小值).注：1°.极值是一个局部概念，最值是一个整体概念.2°.极值与最值的关系：极值可以是最值，但最值未必是极值.例1.函数在点取得极小值，也是最小值.例2.函数在点取得极大值，也是最大值.例3.函数在点既不取得极大值，也不取得极小值 由此可见，并不是每一个函数在其定义域上都有极值点，那么什么样的点可能是函数的 点的必要条件和充分条件，从中得到这些问题的答案.二、极值点的条件 定理1.若函数在点具有偏导数，且在点，注：1.称使成立的点为的驻点或稳定点 2°.可偏导函数的极值点一定是其驻点，但反之未必 例如：函数，在点是其驻点，但在点却不取得极值 那么什么样的驻点才能是极值点呢？下面的极值点的充分条件回答这一问题，并给出求极值的方法 定理2.设函数在点的某一邻域内连续且具有一阶以及二阶连续偏导数，又，令，，则在处是否取得极值的条件如下：(1).时具有极值，且当时有极大值，当时有极小值.(2).时没有极值(3).时是否取得极值不定，需另行讨论.3.求极值的步骤 第一步：求偏导数，解方程组，得的所有驻点 第二步：对每一驻点，求二阶偏导数的值、、第三步：考察的符号，判断是否为极值，若是极值，判断出是极大值还是极小值 例4.求函数的极值 解：解方程组，得驻点，，.又，(1).在点处，且，故在(2).在点处，故不是极值.(3).在点处，故不是极值(4).在点处，且，故在 值 例5.求函数的极值

解：由方程组得两个驻点，.又；；；(1).在点处，，，故在点取极小值(2).在点处，，有，而在的某个邻域内既有大于0的值，也有小于0，而.故在取不到极值 注：可偏导函数的极值点一定是其驻点，但函数的极值点也可以在其不可偏导点处取得，例如：在取得极大值，但不是的驻点.三、函数最值的求法 在一元函数微分学中，我们利用函数极值求函数的最值，这一方法仍然适用于多元函数.设函数在有界闭区域D上连续，在D内可微且有有限多个驻点，则在D上具有最大值和最小值，将在D内的所有驻点的函数值与D边界上的最大值和最小值相比较，其中最大的就是函数在上的最大值，最小值就是函数在上的最小值.在D的边界上的最值往往很困难，如果考虑问题的实际意义，的最值一定在 内部取得，且函数在D内具有一个驻点，则必在该驻点处取得最值 例5.某厂要用铁板做成一个体积为的有盖长方体水箱，问长、宽、取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ 解：设水箱的长为，宽为，水箱所用材料面积为，令，解得函数的唯一驻点 由问题的实际意义，水箱所用材料面积的最小值一定存在，且在区 内部取得，而函数在内只有一个驻点，则函数 取得最小值，即水箱长为，宽为，高为时，水箱用料最省.四、条件极值 拉格朗日乘数法 前面讨论的函数的极值问题，除了把函数的自变量限制在函数的定义域内没有其他条件，但在实际问题中，有时会遇到对函数的自变量还有附加条件的极值问题.例如：求表面积为而体积为最大的长方体的体积问题 我们可以设长方体的三个棱长分别为，则问题转化为求在限制下，函数的最大值，即条件极值 1.条件极值：称函数在满足附加条下件的所有极值点的极值为条件极值.普通极值：称函数在没有附加条件下的极值为无条件极值或普通极值.2.求条件极值的方法(1).化条件极值为普通极值(2).拉格朗日乘数法：求函数在附加条件下的极值.①.作辅助函数 ②.辅助函数两端对及求偏导数，并令，与附加条件联立得.③.解出，其中就是函数在附加条件 由问题的实际意义判定 说明：若在取得极值，则有，方程确定，有 在处对.又有.代入上式有.，有，也有 注：1°.可推广：求函数在附加条件下的极值，辅助函数设为： 2°.也称函数或为目标函数.例6.求表面积为而体积为最大的长方体的体积 解：设长方体的三棱长分别为，其体积为，而面积为.所求问题就是在附加条件下求目标函数的最大值 设辅助函数为，令，与附加条件联立，有，解得.由问题的实际意义，.

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第八章 空间解析几何与向量代数 §8.1向量及其线性运算

一、向量的相关概念 1.向量的定义：称既有大小又有方向的量为向量(或矢量).2.向量的数学表示法：用一条有方向的线段表示,记为 或.3.向量的模：称向量的大小为向量的模，记为.4.自由向量：称与起点无关的向量为自由向量.(如位移)5.单位向量：称模为1的向量为单位向量,记作.6.零向量：称模为0的向量为零向量，记作 7.两向量相等：若向量与同模同方向，则称的与相等，记作.(即两个向量平移后重合 8.两向量的夹角：，9.两向量平行：若非零向量与所成的角或，则称的与平行，记作.规定: 零向量与任何向量平行 10.两向量垂直：若非零向量与所成的角，则称的与垂直，记作 注: 零向量可认为与任何向量平行或垂直 11.向量共线：平行的向量可移动到同一条直线上，也称之为向量共线 12.向量共面：将个向量的起点放到同一点时，若个终点与公共起点在一个平面上，则称这个向量共面.二、向量的线性运算 1．向量的加减法(1).向量的加法 ①．运算法则：设有向量与，求与的和.I.三角形法则： II.平行四边形法则：.②.运算规律： 1°.交换律： 2°.结合律： 注:，再以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点作一向量，这个向量即为所求向量的和，即.(2).向量的减法 ①．负向量：称与向量同模反向的向量为它的负向量，记作 ②.两向量的差：称向量与向量的负向量的和为与的差向量，记作.注：特别地，当时，.③．运算法则：设有向量与，求与的差.I.平行四边形法则：.II.三角形法则：.(3).运算定理：.2．向量与数的乘法(1).定义：称向量与实数的乘积为向量的数乘.注：1°.规定是一个向量 2°.3°.若，则与同向；若，则与反向；若，则.(2).运算规律： ①． 结合律：.②． 分配律：.(3).性质 ①．向量的同向单位向量：，.②．向量平行的充要条件(定理)：若向量，则向量平行于 唯一的实数，使 ③．数轴上的点的坐标为的充要条件为：，其中向量为数轴的单位向量，实数 称为有向线段的值.例1.如图，用、表示、、以及，进而.又，故，进而

三、空间直角坐标系 解：由于，故

1.空间直角坐标系：坐标系或坐标系 2.坐标面：面；面；面.3.卦限：；； ；； ；； ； 4.空间点的坐标：(向径).(1).向量的坐标分解式：.(2).向量的分向量：.(3).向量的坐标：.(4).点的坐标： 注：1°.面上点的坐标：； 2°.轴上点的坐标：； 面上点的坐标：； 轴上点的坐标：； 面上点的坐标：.z轴上点的坐标：

四、利用坐标作向量的线性运算：设，.1.向量线性运算的坐标表示：(1).加减法：.(2).数乘：(3).两向量平行： 注：1°.若，则 2.若，则 例2.已知，求线性方程组的解向量 解：方程①乘2减去方程②乘3得：，方程①乘3减去方程②乘5得： 例3.已知两点、在直线AB上求一点M，使.及实数，解：因为，因此有，整理得，代入坐标得，从而得到点M的坐标 注：线段AB中点坐标公式

五、向量的模、方向角、投影 1.向量的模与两点间距离公式：(1).向量的模：，.(2).两点间距离公式：点与之间的距离： 推导：因为，所以 例4.求证以三点、、为顶点的三角形是一个等腰三角形.解：由两点间距离公式，有 ； ；，由于，故为等腰三角形.例5.在z轴上求与两点、等距离的点.解：由题可设所求点为，有，即，整理得，故所求点为.例6.已知两点、，求与同向的单位向量 解：因为，所以，于是 2.方向角与方向余弦(1).向量的方向角：称非零向量与三条坐标轴的夹角为向量的方向角(2).向量的方向余弦：方向角的余弦 , , 注：1°.； 2°..例7.已知两点、，计算向量的模、方向余弦和方向角.解：由于，从而有 于是，，由此可得 例8．设点A位于第I卦限，向径与x轴、y轴的夹角依次为的坐标、，且，求点A，解：由于，并且，有 由题可知，故，于是，故点A的坐 标为.3.向量在轴上的投影(1).向量在轴上的投影：设向量与u轴正向的夹角为，称数为向量在u轴上的投影，记作或 注：向量在三个坐标轴上的投影即为对应的坐标，即，(2).投影的性质： ①．.②． 例9.设立方体的一条对角线为OM，一条棱为OA，且|OA|= a，求在 解：记，有，于是.§8.2数量积、向量积

一、两向量的数量积 1．常力沿直线所作的功： 2.两向量的数量积(1).定义：称向量与的模及其夹角余弦的乘积为与的数量积，内积或点积，记作 注：1°.2°..3°..(2).运算规律 ①．交换律：.(由定义可知)②．分配律： ③．结合律：； 3.两向量数量积的坐标表示式：若，则 4.两非零向量夹角余弦的坐标公式： 例1.试用向量证明三角形的余弦定理：.解：在中，记，，，有，从而，即

例2.已知三点、和，求 解：由题可得，于是，故 例3.设液体流过平面S上面积为A的一个区域，液体在这区域上各点处的流速均为(常向量)v.设为垂直于S的单位向量，计算单位时间内经过这区域流向所指一侧的液体的质量m(液体的密度为 解：单位时间内经过该区域的液体的体积为，所求质量为.二、两向量的向量积 1.力对支点的力矩： 模：； 方向：与及的方向成右手规则.2.两向量的向量积(1).定义：设有向量与，夹角为，称为与的向量积(叉积、外积)，其中，方向与和的方向符合右手规则，记作.注：1°.2°.3°.的几何意义：以与为邻边的平行四边形的面积.(2).运算规律 ①．反交换律：.②．分配律：.③．结合律：(3).两向量的向量积的坐标表示式：设，则.例4..证明：在三角形中，记，，由于，即，整理得.例5.设，计算 解：.例6.已知三角形ABC的顶点分别是、和，求三角形ABC的面积 解：由于，有，于是.例7.设刚体一角速度绕轴旋转，计算刚体上一点M的线速度.解：在轴l上引进一个角速度向量，使，其方向与旋转方向 符合右手法则，在l上任取一点O，作向径，它与的夹角为，则点M离开转轴的距离，由物理学中线速度和角速度的关系可知，且、、符合右手规则，于是.§8.3曲面及其方程

一、曲面方程的相关概念 1.曲面方程：若曲面S上任一点的坐标都满足方程，且不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(*)，则称方程(*)为曲面S的方程，而称曲面S为称方程(*)的图形.2.关于曲面的两个基本问题(1).已知一曲面作为空间点的几何轨迹，建立该曲面的方程.(2).已知关于点的坐标、、之间的一个方程，研究该方程所表示曲面的形状 例1.建立球心在点、半径为R的球面方程 解：设为所求球面上任一点，有，即，整理得 例2.设有点和，求线段AB的垂直平分面的方程.解：设为所求平面上任一点，由题意，有，即，整理得 例3.方程表示怎样的曲面？ 解：原方程变形为，表示以为球心，以5为半径的球面.二、旋转曲面 1.定义：称由一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一周所成的曲面为旋转曲面，称旋转曲线为旋转曲面的母线，定直线为旋转曲面的轴.2.旋转曲面的方程： 曲线C：绕z轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：.(绕y轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：.)(巧记：绕谁谁不动，缺谁补上谁 推导：在曲线C上任取一点，有，且点到z轴的距离.当曲线C绕z轴旋转时，点绕z轴旋转到点，其中，点到z轴的距离，由于，有，即，代入曲线方程有 注：1°.曲线C：绕x轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：； 绕y轴旋转一周所成的旋转曲面方程为： 2°.曲线C：绕z轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：； 绕x轴旋转一周所成的旋转曲面方程为： 3.常见旋转曲面及其方程(1).圆锥面及其方程 ①．圆锥面：称由直线L绕与其相交的直线旋转一周所成的曲面为圆锥面，称两直线的交点为圆锥面的顶点，称两直线的夹角为圆锥面的半顶角 ②．圆锥面的方程：以坐标原点o为顶点，以为半顶角，以z轴为旋转轴的圆锥面的方程为：，其中 推导：在坐标面上，过原点且与z轴夹角为的直线方程为，于是，直线L绕z轴旋转而成的圆锥面的方程为，整理得 注：1°.以坐标原点O为顶点，以为半顶角，以x，其中 2°.以坐标原点O为顶点，以为半顶角，以y，其中(2).旋转双曲面及其方程 ①．旋转双曲面：称由双曲线绕其对称轴旋转一周所成的曲面为旋转双曲面，分为单叶和双 叶双曲面 ②．旋转双曲面的方程：(双曲线：.旋转单叶双曲面的方程：(绕z轴旋转.旋转双叶双曲面的方程：(绕x轴旋转)

三、柱面 1.柱面的定义： 称由直线L沿定曲线C平行于定直线l移动所成的轨迹为柱面，称定曲线C为柱面的准线，动直线L为柱面的母线.2.几种常见柱面及其方程(缺谁母线平行谁(1).圆柱面：.(准线为坐标面上的圆：，母线平行z轴.(准线为坐标面上的圆：，母线平行x轴.(准线为坐标面上的圆：，母线平行y轴(2).过坐标轴的平面：，过z轴，准线为坐标面上的直线，过x轴，准线为坐标面上的直线.，过y轴，准线为坐标面上的直线 四、二次曲面 1.椭球面：.2.椭圆锥面： 3.单叶双曲面：.4.双叶双曲面： 5.椭圆抛物面：.6.双曲抛物面： 7.椭圆柱面：.8.双曲柱面： 9.抛物柱面： §8.4空间曲线及其方程

一、空间曲线：称空间两曲面的交线为空间曲线，记为C.二、空间曲线的方程 1.一般式(面交式)方程： 例如：表示圆柱面与平面的交线.表示上半球面又如：与圆柱面的交 线 2.参数方程：，其中点随着参数t的变化遍历曲线C 例1.称由点在圆柱面上以角速度绕z轴旋转，又同时以线速度v沿平行z轴的正向上升所成的图形为螺旋线，求其参数方程 解：取时间t为参数，对应点，对应点，作M在xoy面上的投影，有，且，于是，又，于是，螺旋线的参数方程为，令，则螺旋线的参数方程为

三、空间曲线在坐标面上的投影 1．投影柱面：称以空间曲线C为准线，母线平行于z轴的柱面为曲线C关于坐标面的投影柱面 2.空间曲线的投影：称空间曲线C关于坐标面的投影柱面与坐标面的交线为空间曲线C在坐标面上的投影曲线，也称为投影 3.空间曲线的投影方程：空间曲线C：在坐标面上的投影方程，其中为方程组消去z所得的投影柱面方程.注：1.空间曲线曲线C：在坐标面上的投影方程为 2°.空间曲线曲线C：在坐标面上的投影方程为 例2.求曲线在坐标面上的投影方程.解：现求曲线C在关于坐标面上的投影方程，将方程组消去z得 投影柱面方程：，于是所求投影方程为 例3.求由上半球面和锥面 所围成的立体在坐标面上的投影 解：先求曲线关于坐标面的投影方程，消去z 在坐标面上的投影方程为，从而所求投，故曲线 影为圆域： §8.5平间及其方程

一、平面的点法式方程 1.平面的法向量：称垂直于一平面的非零向量为该平面的法线向量 2.平面的点法式方程：过点，以向量为一法向量的平面 推导：在平面上任取一点，有向量，由于，有，即有(1)，即平面上的点的坐标都满足方程(1).反之，若点不在平面上，则向量不垂直法向量，从而，即不在平面上的点的坐标都不满足方程(1).于是得到平面的点法式方程.例1.求过点且以为法向量的平面的方程 解：由平面的点法式方程得，整理得.例2.求过三点、和的平面的方程 解：先求所求平面的一个法向量，由题可得向量，可取，于是所求平面的方程为，整理得.二、平面的一般方程 1.平面的一般方程：(*)推导：若点满足方程(*)，则有，(**)两方程相减得，(*** 方程(***)为过点，以向量为一法向量的平面的点法式方程.由于方程(*)与(***)同解，可知任何一个三元一次方程(*)为平面的一般方程，其一法线向量为 2.几种特殊平面的一般方程：(缺谁平行谁(1).过原点的平面方程：，法向量为.(2).平行x轴的平面方程：，法向量为(3).垂直于x轴(平行坐标面)的平面方程：，法向量为.例3．求通过x轴和点的平面的方程 解：由题意，可设所求平面的方程为：，(*)又点在该平面上，有，得，代入方程(*)得.例4.设一平面与x、y、z轴的交点依次为、，求该平面的方程 解：设所求平面的方程为，(*)将PQR三点坐标代入得，，代入方程(*)，从而有所求平面方程为，称之为平面的截距式方程

三、两平面的夹角及点到平面的距离 得 1.两平面的夹角：称两平面的法线向量的夹角(锐角)为两平面的夹角 2.两平面夹角的余弦：设平面1的法线向量为，平面，两平面的夹角

为，则注：1°..2°.3.点到平面的距离：平面外一点到平面的距离为 推导：在平面上任取一点，过点作平面的一法向量，有，由于，，由于 于是，又点在平面 上，故有，从而 例5.求两平面和的夹角.解：由两平面夹角余弦公式，故所求夹角为 例6.一平面通过两点和且垂直于平面，求它的方程.解：设所求平面的一个法线向量为，由题可知向量在平面上，已知平面的一个法线向量为，由题意有，有；，有； 由以上两方程可得，故所求平面的法线向量为，于是所求平面的方程为，整理得 另解：由题可知所求平面上一向量，又已知平面的一个法线向量为，易知不平行于，故可取所求平面的一个法线向量为，于是所求平面方程为：，整理得 第六节 空间直线及其方程

一、空间直线：称空间两平面

1、的交线为空间直线.二、空间直线的方程 1.一般(面交式)方程： 2.对称式(点向式)方程(1).直线的方向向量：称平行于已知直线的非零向量为该直线的方向向量(2).直线的点向式方程：过点以向量为方向向量的直线L.推导：在直线L上任取一点，有向量，由于，故有，(*)即直线L上点的坐标都满足方程(*)反之，若点不在直线L上，则由于不平行，所以这两向量的对应坐标就不成比例，因此方程(*)就是直线L的方程，称为直线的对称式或点向式方程.注：1°.mnp不同时为零 2°.若，则直线L的方程为，即平面上的直线 3°.若，则直线L的方程为，即平面与 交线，过点且平行z轴 3.参数方程： 注：一般式对称式参数式 例1.用对称式方程以及参数方程表示直线

解：先找出该直线上一点：不妨取，代入原方程组得，解得，即为该直线上一点 再找该直线的方向向量：由题可知交成该直线的两平面的法线向量分别为，故可取.，得到所给直线的参数方程：令.三、两直线的夹角 1.两直线的夹角：称两直线的方向向量的夹角(锐角)为两直线的夹角 2.两直线夹角的余弦：直线的方向向量为，直线的方向向量 ,两直线的夹角为，则注：1°.2°.例2.求直线.和的夹角.解：由题可知直线的方向向量为，直线的方向向量为，设 的夹角为，则由两直线夹角余弦公式得故

四、直线与平面的夹角 , 1.直线与平面的夹角：称直线与不垂直该直线的平面上的投影 直线的夹角为直线与平面的夹角..2.直线与平面夹角的正弦：若直线的方向向量为，平面 为.与的夹角为，则.注：1°.2°..例3.求过点且与平面垂直的直线的方程 解：由题意，可取为所求直线的一个方向向量，故所求直线的方程为.五、平面束及其方程 1.平面束：称通过定直线的所有平面的全体为平面束 2.平面束的方程：设有直线，其中与不成比例 则通过直线的平面束的方程为：.注：该平面束不包含平面 例4.求直线在平面上的投影直线的方程 解：过直线的平面束的方程为，即，其中为待定常数.由题可知，该平面与已知平面垂直，故，即，解得.由此可得所给直线关于所给平面 的投影平面的方程为，整理得,故所求投影直线的方程为.六、点到直线的距离：直线 外一点到直线的距离为： 为直线上的一点 推导：在直线上任取一点，有向量，设点到直线的距离为，由于，故例5.求点 的距离.解：由题可知，所给直线的方向向量为，点，由平面外一点到直线的距离公式得：.七、杂例： 例6.求与两平面和的交线平行且过点的直线的方程.解法一(点向式 由题可知两已知平面的法向量分别为和，故可取 线的一个方向向量，即，于是所求直线方程为.解法二(一般式 过点且与平面平行的平面方程为，过点平行的平面方程为 以所求直线方程为 例7.与平面的交点.解：易知所给直线的参数方程为，，解得，代入直线的参数方程得所求交点的坐标 例8.求过点 垂直相交的直线方程.

第三篇：《高等数学Ⅱ》(经管类)复习资料

广东海洋大学寸金学院 2010—2011 学年第 二 学期

《高等数学Ⅱ》复习资料

第五章定积分及其应用

1、理解定积分的定义和性质，会利用积分中值定理求平均值。

2、熟练掌握和应用牛顿—莱布尼兹公式计算定积分，包括绝对值函数的积分计算。例如上册P225例7，例8等。

3、熟练掌握和应用微积分基本公式计算极限和导数。例如：上册P223例

3、例4等

4、熟练掌握和应用定积分的换元法和分部积分法。例如：上册P230 例

1、例4，以及P232例

10、例11等；掌握一些积分技巧，例如：奇偶函数在对称区间上的积分计算。

5、会利用定积分计算直角坐标系下平面图形的面积。例如：上册P242例1，例2等.第六章多元函数的微积分定积分及其应用

1、理解二元函数极限和连续的概念，会求简单的二元函数的极限。例如：下册P13习题4(1)(2)等。

2、理解偏导数和全微分的定义，以及二元函数连续、可微和偏导数之间的关系。会求简单的多元函数的偏导数和全微分。例如：下册P15例2，P24习题6-4第1(2)，2题等.3、熟练掌握多元复合函数和隐函数的偏导数与全微分的计算。例如：下册P27 例

1、例2，P30 例8，例9等。

4、掌握多元函数极值和条件极值的计算方法。例如：下册PP35例6以及P43习题6-6 第5，7题等

5、熟练掌握直角坐标系和极坐标系下二重积分的计算，包括利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算。例如：下册P51例

1、例2，P54例

6、例7，P55例9 以及P59例1等。

第八章微分方程

1、理解微分方程的一些基本概念。

2、熟练掌握可分离变量的微分方程的求解方法，会利用常数变易法求解一阶线性微分方程。例如：下册P112例

1、例2，P119例

1、P120例2等。

题型：

一、单项选择题每小题2分，共20分

二、填空题每小题3分，共15分

三、计算题6个小题，共45分

四、应用题2个小题，共20分

第四篇：高等数学第六版上册(同济)复习重点

高数重点

1、洛必达法则求未定式极限

2、隐函数的求导公式（隐函数存在的三个定理）

3、多元函数的极值及其求法（多元函数极值和最值的概念，二元函数极值存在的必要条件

和充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值）

4、多元复合函数的求导法则（多元复合函数求导，全微分形式的不变性）

5、全微分（全微分的定义，课微分的必要条件和充分条件）

6、偏导数（概念，二阶偏导数求解）

7、二重积分的计算法（利用直角坐标、极坐标求二重积分）

8、微分方程的基本概念（微分方程及其阶，解，通解，初始条件，特解）

9、齐次方程

10、牛顿——莱布尼茨公式

一、1、夹逼定理

2、连续（定义证明函数连续，判断间断点类型）

二、1、导数（证明函数是否可导）连续不一定可导，可导不一定连续

2、求导法则

3、求导公式，微分公式

三、1、微分中值定理！

2、洛必达法则

3、泰勒公式，拉格朗日中值定理

4、曲线凹凸性，极值

5、曲率公式 曲率半径

四、积分不定积分

1、两类换元法

2、分部积分法（注意加C）

3、定积分定义、反常积分

五、定积分的应用

极坐标求做功求面积求体积求弧长

第五篇：高等数学(同济第六版)课后习题答案1.3

习题1

31 根据函数极限的定义证明

(1)lim(3x1)8x3

分析 因为

|(3x1)8||3x9|3|x3|

所以要使|(3x1)8|  只须|x3|13

证明 因为0 1 当0|x3|时 有 3

|(3x1)8| 

所以lim(3x1)8x3

(2)lim(5x2)12x

2分析 因为

|(5x2)12||5x10|5|x2|

所以要使|(5x2)12|  只须|x2|1

5证明 因为 0  当0|x2|时 有|(5x2)12| 

所以lim(5x2)12x215

2(3)limx44x2x2

分析 因为

22x4x4x4|x2||x(2)|(4)x2x2

2x4(4) 只须|x(2)|所以要使x2

证明 因为 0  当0|x(2)|时 有

2x4(4)x2

2x44所以limx2x2

314x2(4)lim12x1x分析 因为

314x2|12x2|2|x(1|2x12

314x所以要使2 只须|x(1)|12x122

证明 因为 0 1 当0|x(1|时 有 22

314x22x

1314x2所以lim

x2x12

2 根据函数极限的定义证明

31(1)lim1xx2x2

分析 因为

311x3x311x2x322x32|x|3

31x1 只须1 即|x|1所以要使2x22|x|3证明 因为 0 X1 当|x|X时 有 31x1322x

31所以lim1xx2x32

(2)limsinx0x分析 因为

x|1x0|sinsinxxx

所以要使sinx0 只须1 即x1

2xx

证明 因为0 X1 当xX时 有 2

x0sin

x

所以limsinx0xx

3 当x2时yx24 问等于多少 使当|x2|<时 |y4|<0001？解 由于当x2时 |x2|0 故可设|x2|1 即1x3

要使

|x24||x2||x2|5|x2|0001只要|x2|0.0010.00025

取00002 则当0|x2|时 就有|x24|0 001

2x4 当x时 y211 问X等于多少 使当|x|X时 |y1|001? x3

2x解 要使211240.01 只要|x|43 故X0.01x3x3

5 证明函数f(x)|x|当x0时极限为零

证明 因为

|f(x)0|||x|0||x||x0|

所以要使|f(x)0| 只须|x|

因为对0  使当0|x0| 时有

|f(x)0|||x|0|

所以lim|x|0x0

|x|6 求f(x)x, (x)当x0时的左﹑右极限 并说明它们在x0时的极xx

限是否存在

证明 因为

limf(x)limxlim11x0x0xx0

limf(x)limxlim11x0x0xx0

limf(x)limf(x)x0x0

所以极限limf(x)存在x0

因为

|x|limx1x0x0xx0x

|x|x1lim(x)lilix0x0xx0xlim(x)lim

(x)lim(x)limx0x0

所以极限lim(x)不存在x0

7 证明 若x及x时 函数f(x)的极限都存在且都等于A 则xlimf(x)A

xx证明 因为limf(x)A limf(x)A 所以>0

X10 使当xX1时 有|f(x)A| 

X20 使当xX2时 有|f(x)A| 

取Xmax{X1 X2} 则当|x|X时 有|f(x)A|  即limf(x)Ax

8 根据极限的定义证明 函数f(x)当xx0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等

证明 先证明必要性 设f(x)A(xx0) 则>0 0 使当0<|xx0|< 时 有

|f(x)A|< 

因此当x0

|f(x)A|< 

这说明f(x)当xx0时左右极限都存在并且都等于A 

再证明充分性 设f(x00)f(x00)A 则>0

1>0 使当x01

2>0 使当x0

取min{1 2} 则当0<|xx0|< 时 有x01

即f(x)A(xx0)

9 试给出x时函数极限的局部有界性的定理 并加以证明

解 x时函数极限的局部有界性的定理 如果f(x)当x时的极限存在 则存在X0及M0 使当|x|X时 |f(x)|M

证明 设f(x)A(x) 则对于 1 X0 当|x|X时 有|f(x)A| 1 所以|f(x)||f(x)AA||f(x)A||A|1|A|

这就是说存在X0及M0 使当|x|X时 |f(x)|M 其中M1|A|