1-3高等数学同济大学第六版本

第一篇：1-3高等数学同济大学第六版本

习题1

31 根据函数极限的定义证明

(1)lim(3x1)8

x3

(2)lim(5x2)12

x

25 证明函数f(x)|x|当x0时极限为零

证明 因为

|f(x)0|||x|0||x||x0|

所以要使|f(x)0| 只须|x|

因为对0  使当0|x0| 时有

|f(x)0|||x|0|

所以lim|x|0x0

所以极限limf(x)存在x0

所以极限lim(x)不存在x0

7 证明 若x及x时 函数f(x)的极限都存在且都等于A 则xlimf(x)A

证明 因为limf(x)A limf(x)A 所以>0xx

X10 使当xX1时 有|f(x)A| 

X20 使当xX2时 有|f(x)A| 

取Xmax{X1 X2} 则当|x|X时 有|f(x)A|  即limf(x)Ax

8 根据极限的定义证明 函数f(x)当xx0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等

证明 先证明必要性 设f(x)A(xx0) 则>0 0 使当0<|xx0|< 时 有 |f(x)A|< 

因此当x0

|f(x)A|< 

这说明f(x)当xx0时左右极限都存在并且都等于A 

再证明充分性 设f(x00)f(x00)A 则>0

1>0 使当x01

2>0 使当x0

取min{1 2} 则当0<|xx0|< 时 有x01

| f(x)A|< 

即f(x)A(xx0)

9 试给出x时函数极限的局部有界性的定理 并加以证明

解 x时函数极限的局部有界性的定理 如果f(x)当x时的极限存在 则存在X0及M0 使当|x|X时 |f(x)|M

证明 设f(x)A(x) 则对于 1 X0 当|x|X时 有|f(x)A| 1 所以|f(x)||f(x)AA||f(x)A||A|1|A|

这就是说存在X0及M0 使当|x|X时 |f(x)|M 其中M1|A|

第二篇：高等数学(同济大学教材第五版)复习提纲

高等数学（同济大学教材第五版）复习提

纲

第一章 函数与极限 ：正确理解、熟练掌握本章内容，求各类函数的极限，尤其是未定式与幂指函数求极限 第二章 导数与微分 ：正确理解、熟练掌握本章内容，各类函数的求导与微分的基本计算

第三章 微分中值定理与导数的应用 ：熟练掌握本章的实际应用，研究函数的性态，证明相关不等式

第四章 不定积分：正确理解概念，会多种积分方法，尤其要用凑微分以及一些需用一定技巧的函数类型

第五章 定积分 ：正确理解概念，会多种积分方法，有变限函数参与的各种运算 第六章 定积分的应用：掌握定积分的实际应用

第七章 空间解析几何和向量代数 ：熟练掌握本章的实际应用

高等数学（1）期末复习要求

第一章 函数、极限与连续

函数概念

理解函数概念，了解分段函数，熟练掌握函数的定义域和函数值的求法。2．函数的性质

知道函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，掌握判断函数奇偶性的方法。

3．初等函数

了解复合函数、初等函数的概念；掌握六类基本初等函数的主要性质和图形。

4．建立函数关系

会列简单应用问题的函数关系式。5．极限：数列极限、函数极限 知道数列极限、函数极限的概念。6．极限四则运算

掌握用极限的四则运算法则求极限.7．无穷小量与无穷大量

了解无穷小量的概念、无穷小量与无穷大量之间的关系，无穷小量的性质。8．两个重要极限

了解两个重要极限，会用两个重要极

限求函数极限。9．函数的连续性

了解函数连续性的定义、函数间断点的概念；

会求函数的连续区间和间断点，并判别函数间断点的类型；

知道初等函数的连续性，知道闭区间上的连续函数的几个性质

（最大值、最小值定理和介值定理）。

第二章 导数与微分

1．导数概念：导数定义、导数几何意义、函数连续与可导的关系、高阶导数。

理解导数概念；

了解导数的几何意义，会求曲线的切线和法线方程；知道可导与连续的关系，会求高阶导数概念。2．导数运算

熟记导数基本公式，熟练掌握导数的四则运算法则、复合函数的求导的链式法则。

掌握隐函数的求一阶导及二阶导。会求参数表示的函数的一阶导及二阶导

会用对数求导法：解决幂指函数的求导及连乘连除的显函数的求导。

3．微分

理解微分概念(微分用 dy＝y'dx 定义)。

熟记微分的基本公式，熟练掌握微分的四则运算法则。

知道一阶微分形式的不变性。

第三章 导数的应用

1.中值定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理 的叙述。

了解罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件和结论，会用拉格朗日定理证明简单的不等式。

 2.洛必塔法则：求“0”、“”型未定0式极限。

 掌握用洛比塔法则求“0”、“”型不0

定式极限。3.函数的单调性与极值：函数的单调性判别法，函数极值及其求法。

了解驻点、极值点、极值等概念。了解可导函数极值存在的必要条件。知道极值点与驻点的区别与联系。

掌握用一阶导数求函数单调区间、极值与极值点（包括判别）的方法。

掌握判定极值点的第一充分条件和第二充分条件 4．曲线的凹凸

了解曲线的凹凸、拐点等概念。

会用二阶导数求曲线凹凸区间（包括判别），会求曲线的拐点。

会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线。

5.最大值、最小值问题

掌握求解一些简单的实际问题中最大值和最小值的方法，以几何问题为主。

第四章 不定积分

1．不定积分概念

理解原函数与不定积分概念，了解不定积分的性质、不定积分与导数(微分)的关系。

2．不定积分求法

熟记积分基本公式，熟练掌握第一换元积分法和分部积分法。

掌握第二换元积分法（ax,xa类型）。

会求较简单的有理分式函数（分母为二次多项式）的积分。

第五章 定积分及其求法

1.定积分概念

了解定积分定义、几何意义、定积分的性质。

2． 原函数存在定理

了解原函数存在定理，知道变限函数的定义，会求变限函数的导数。3．定积分的计算

熟练掌握牛顿—莱布尼兹公式，并熟练地用它计算定积分。

掌握定积分的换元积分法和分部积

2222

分法。

4．广义积分。

了解广义积分收敛性概念，会计算简单的广义积分。5.定积分的应用

会用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积(直角坐标系和极坐标)，绕坐标轴旋转生成的旋转体体积与平行截面面积已知的立体体积，平面曲线的弧长（参数方程与极坐标方程）

第三篇：高等数学(同济大学教材第五版)复习提纲

高等数学（同济大学教材第五版）复习

提纲

第一章 函数与极限 ：正确理解、熟练掌握本章内容，求各类函数的极限，尤其是未定式与幂指函数求极限

第二章 导数与微分 ：正确理解、熟练掌握本章内容，各类函数的求导与微分的基本计算

第三章 微分中值定理与导数的应用 ：熟练掌握本章的实际应用，研究函数的性态，证明相关不等式

第四章 不定积分：正确理解概念，会多种积分方法，尤其要用凑微分以及一些需用一定技巧的函数类型

第五章 定积分 ：正确理解概念，会多种积分方法，有变限函数参与的各种运算

第六章 定积分的应用：掌握定积分的实际应用

第七章 空间解析几何和向量代数 ：熟练掌握本章的实际应用

·1·

高等数学（1）期末复习要求

第一章函数、极限与连续

函数概念

理解函数概念，了解分段函数，熟练掌握函数的定义域和函数值的求法。

2．函数的性质

知道函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，掌握判断函数奇偶性的方法。

3．初等函数

了解复合函数、初等函数的概念；掌握六类基本初等函数的主要性质和图形。

4．建立函数关系

会列简单应用问题的函数关系式。

5．极限：数列极限、函数极限知道数列极限、函数极限的概念。

6．极限四则运算

掌握用极限的四则运算法则求极限.7．无穷小量与无穷大量

了解无穷小量的概念、无穷小量与无穷大量之间的关系，无穷小量的性质。

8．两个重要极限

了解两个重要极限，会用两个重要极限求函数极限。

9．函数的连续性

了解函数连续性的定义、函数间断点的概念；

会求函数的连续区间和间断点，并判别函数间断点的类型；

知道初等函数的连续性，知道闭区间上的连续函数的几个性质

（最大值、最小值定理和介值定理）。

第二章导数与微分

1．导数概念：导数定义、导数几何意义、函数连续与可导的关系、高阶导数。

理解导数概念；

了解导数的几何意义，会求曲线的切线和法线方程；知道可导与连续的关系，会求高阶导数概念。

2．导数运算

熟记导数基本公式，熟练掌握导数的四则运算法则、复合函数的求导的链式法则。

掌握隐函数的求一阶导及二阶导。会求参数表示的函数的一阶导及二阶导

会用对数求导法：解决幂指函数的求导及连乘连除的显函数的求导。

3．微分

理解微分概念(微分用 dy＝y'dx 定义)。

熟记微分的基本公式，熟练掌握微分的四则运算法则。

知道一阶微分形式的不变性。

第三章 导数的应用

1.中值定理：罗尔定理、拉格朗日

中值定理、柯西中值定理的叙述。

了解罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件和结论，会用拉格朗日定理证

明简单的不等式。

2.洛必塔法则：求“0”、“”型未0

定式极限。

掌握用洛比塔法则求“0”、“”型0

不定式极限。

3.函数的单调性与极值：函数的单调性判别法，函数极值及其求法。了解驻点、极值点、极值等概念。了解可导函数极值存在的必要条件。知道极值点与驻点的区别与联系。掌握用一阶导数求函数单调区间、极值与极值点（包括判别）的方法。掌握判定极值点的第一充分条件和第二充分条件

4．曲线的凹凸

了解曲线的凹凸、拐点等概念。会用二阶导数求曲线凹凸区间（包

括判别），会求曲线的拐点。

会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线。

5.最大值、最小值问题

掌握求解一些简单的实际问题中最大值和最小值的方法，以几何问题为主。

第四章不定积分

1．不定积分概念

理解原函数与不定积分概念，了解不定积分的性质、不定积分与导数(微分)的关系。

2．不定积分求法

熟记积分基本公式，熟练掌握第一换元积分法和分部积分法。掌握第二换元积分法（ax,xa类型）。

会求较简单的有理分式函数（分母为二次多项式）的积分。222

2第五章定积分及其求法

1.定积分概念

了解定积分定义、几何意义、定积分的性质。

2． 原函数存在定理

了解原函数存在定理，知道变限函数的定义，会求变限函数的导数。

3．定积分的计算

熟练掌握牛顿—莱布尼兹公式，并熟练地用它计算定积分。

掌握定积分的换元积分法和分部积分法。

4．广义积分。

了解广义积分收敛性概念，会计算简单的广义积分。

5.定积分的应用

会用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积(直角坐标系和极坐标)，绕坐标轴旋转生成的旋转体体积与平行截面面积已知的立体体积，平面曲线的弧长（参数方程与极坐标方程）

第四篇：同济大学第六版高等数学课后答案1-2

习题12

1 观察一般项xn如下的数列{xn}的变化趋势 写出它们的极限

(1)xn1n2

10解 当n时 xn10 limn2n2n

(2)xn(1)n1 n

解 当n时 xn(1)n10 lim(1)n10 nnn

(3)xn21 n2

1)2解 当n时 xn212 lim(2nn2n2

(4)xnn1n1

解 当n时 xnn1120 limn11 nn1n1n1

(5)xnn(1)n

解 当n时 xnn(1)n没有极限

cos 问limx? 求出N 使当nN时 x与2 设数列{xn}的一般项xnnnnn

其极限之差的绝对值小于正数  当 0001时 求出数N解 limxn0 n

||co1  0 要使|x0|  只要1 也就是n1 取|xn0| nnnnN[1则nN 有|xn0| 

当 0001时 N[1]1000 

3 根据数列极限的定义证明

(1)lim10 nn2

1 只须n21 即n1分析 要使|10|nn110证明 因为0 N[] 当nN时 有|1 所以0|limnn2n2(2)lim3n13 n2n12

分析 要使|3n13|11 只须1 即n12n122(2n1)4n44n

证明 因为0 N[1] 当nN时 有|3n13| 所以lim3n13n2n122n12422(3)lima1nn

2222222anananaa分析 要使|1| 只须n22nnn(nan)n

22a2]naN[证明 因为0  当nN时 有|1| 所以n

22alim1nn

(4)lim0.999    91 nn个

1  即1分析 要使|099    91|1 只须n1lg10n110n1

证明 因为0 N[1lg1] 当nN时 有|099    91|  所以

n

n个

nlim0.999    914 limuna 证明lim|un||a| 并举例说明 如果数列{|xn|}有极限 但数列n

{xn}未必有极限

证明 因为limuna 所以0 NN 当nN时 有|una| 从而 n

||un||a|||una| 

这就证明了lim|un||a|n

数列{|xn|}有极限 但数列{xn}未必有极限 例如lim|(1)n|1 但lim(1)n不nn存在

5 设数列{xn}有界 又limyn0 证明 limxnyn0nn

证明 因为数列{xn}有界 所以存在M 使nZ 有|xn|M又limyn0 所以0 NN 当nN时 有|yn| 从而当nN时 有 nM

|xnyn0||xnyn|M|yn|MM

所以limxnyn0 n

6 对于数列{xn} 若x2k1a(k) x2k a(k )证明 xna(n)

证明 因为x2k1a(k) x2k a(k ) 所以0K1 当2k12K11时 有| x2k1a| K2 当2k2K2时 有|x2ka| 取Nmax{2K11 2K2} 只要nN 就有|xna| 因此xna(n)

第五篇：《高等数学》第六版 上册(同济大学出版社) 课件PPT

x

1x1f(0)1.解：limf(x)limsinlimx0x0x5x05

551所以a 5

x33x23x2313(x1)(x1)2.解：因lim 取k=2 limlimx1x1k(x1)k1(x1)kkx1(x1)k13(x1)(x1)3lim23 x12(x1)

211113.解：y'f'(lnx)，y''f''(lnx)2f'(lnx)22[f''(lnx)f'(lnx)] xxxx

1y'0 4.解：两边对x求导：1y'21ysin

1y21y'(1)1y'1y'1 2221y1yy

2yy'21所以：y''43(21)yyy

5.由lim(ax1)0及题设，可推出limln[1x0x0f(x)f(x)]0lim0, x0sinxsinx

f(x)

limf(x)1limf(x)A 所以：原式limxx0elna1x0xxlnalnax0x2

f(x)所以lim2Alna x0x

ax2lnx126.解：由已知条件可知应满足：1，解得：xe 2axx1所以a 2e

exb17.解因lim存在，并且lim(xa)(x1)0，所以必有lim(exb)0，x1x1x1(xa)(x1)

所以b=e。

exee(ex11)x1原式=lim limelimx1(xa)(x1)x1(xa)(x1)x1(xa)(x1)1若a1eelim x1xa1a

所以：be,a

1－1－

成都理工大学2012—2013学年

第一学期《高等数学》中期考试试卷答案

一、填空题（每小题4分，共60分）

1.f(x)

1sinxx0若使f(x)在(,)上连续，则：a=

1x

5ax0。

2.当x1时，x33x2是x1的阶无穷小。

3.设函数f(u)二阶可导，且yf(lnx)，则y''=1

x

2[f''(lnx)f'(lnx)]。

4.设方程xyarctayn确定了y是x函数yf(x)，则d2y

dx

2= 21

y3(y

21)。ln(1

f(x)

5.设lim)

x0

A(a0,a1，A为常数)，则limf(x)ax1

x0x2=Alna。

6.若抛物线yax2与曲线ylnx相切，则a=12e。

7.曲线y(x1)的拐点坐标是(15,。

8.曲线y1

x

ln(1ex)的渐近线有y0,x0,yx。

9.设f(x)的导数在xa处连续，又lim

f'(x)

xaxa

1，则xa是f(x)的－1－

11n

)

nnn2

exesinx

11.极限lim。

x0xsinx

x3ax2x

4l，则常数a=4，l=10。12.设lim

x1x1

xln(1t2)d2y1t2

13.求参数方程所确定的函数y的二阶导数：2=。

4tdxytarctant

10.极限lim(1

b

14.抛物线yax2bxc，当x=时，曲率最大。



1112x0x02xsincosxsin

15.设f(x)，则f'(x)= 。xxx

0x00

二、解答题（每题8分，共40分）

x

16.设F(x)limt2[f(x)f(x)]sin，其中f(x)二阶可导，试求F'(x)。

ttt

xf(x)f(x)sin

x 解：F(x)lim

tx

ttxf(x)fx()sn

xlili

ttx

tt

xf(x)

(x)xf(x)F(x)f

exb

17.设f(x)，x1是可去间断点，确定a,b的取值。

(xa)(x1)exb

解因lim存在，并且lim(xa)(x1)0，所以必有lim(exb)0，x1x1x1(xa)(x1)

所以b=e。原式

－2－

exee(ex11)x1

=lim limelimx1(xa)(x1)x1(xa)(x1)x1(xa)(x1)

1若a1e

elim x1xa1a

所以：be,a1

1

18.证明：当x0时，arctanx。

x21

证明：令F(x)arctanx，则

x2

F(x)0，因此F(x)单调递减。故

1x2x2

1

F(x)F()limF(x)0，即arctanx0

xx21

亦即arctanx

x2

19.设f(x)在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f(0)1，f(1)0，f()

则在（0，1）内至少存在一点，使得：f'()。



证： 设Fxxfx，则Fx在0,1上连续，在0,1内可导且F0F10

由罗尔定理：至少存在一点0,1，使得F0，即：

fFxfxxx

ff



f

0，亦即：

f



20.已知在[0,a]上，|f''(x)|M，且f(x)在(0,a)内取到最大值，试证：|f'(0)||f'(a)|Ma。

证：因f(x)在(0,a)内取得最大值，不妨设为c，又f(c)存在，由费马定理：f(c)0对f(x)在[0,c]，[c,a]上分别使用拉格朗日中值定理： f(c)f(0)f(1)c(01c)f(a)f(c)f(2)(ac)(c2a)于是：

f(0)f(1)CMC

 f(0)f(a)MCM(ac)Ma

f(a)f(2)(ac)M(ac)

－3－