第6章 多元函数微分学2-10导学(6.1.3 偏导数 6.1.4 高阶偏导数)

第一篇：第6章 多元函数微分学2-10导学(6.1.3 偏导数 6.1.4 高阶偏导数)

第6章 多元函数微分学

6.1 多元函数微分的基本概念

6.1.3 偏导数6.1.4 高阶偏导数(导学)

一、一元函数导数相关知识

1． 某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖x元，外地牌子的每瓶卖y元，则每天可卖出705x4y瓶本地牌子的果汁，806x7y瓶外地牌子的果汁,问：(1)店主每天的收益为多少？（2）收益对不同价格x，y的变化率为多少？

二、多元函数有关问题

1．偏导数符号“”怎么读？

2．多元函数的偏导数几何意义

3．怎样求偏导数?

4．fx(x,y)与正fx(x0,y0)两者是怎样的关系?

三、举例与练习

1．求ux2y2xy的偏导数。z

2． 求函数zx23xy2y2在点(2,1)处的两个偏导数

3． 设zxy(x0)，求证xz1z2z yxlnxy

u2zu)()2()21 xyz4． 设ux2y2z2，求证（xy22,xy0，求f(0,0)和f(0,0)5．函数f(x,y)xyxy22xy00,6．求函数zx3y3x2y3的二阶偏导数.四、思考题

1.二元函数f(x,y))在点(x0,y0)处的偏导数fx(x0,y0)与一元函数(x)f(x,y0)在点x0处的导数(x0)是否相同?

2.如果函数zf(x,y)在(x0,y0)点偏导数存在，试问zf(x,y)在(x0,y0)点一定连续吗?

第二篇：多元函数微分学

多元函数的极限与连续

一、平面点集与多元函数

（一）平面点集:平面点集的表示: E{(x,y)|(x,y)满足的条件}.1.常见平面点集:

⑴ 全平面和半平面: {(x,y)|x0}, {(x,y)|x0}, {(x,y)|xa}, {(x,y)|yaxb}等.⑵ 矩形域: [a,b][c,d], {(x,y)|x||y|1}.⑶ 圆域: 开圆, 闭圆, 圆环.圆的个部分.极坐标表示, 特别是 {(r,)|r2acos}和{(r,)|r2asin}.⑷ 角域: {(r,)|}.⑸ 简单域:X型域和Y型域.2.邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.空心邻域和实心邻域, 空心方邻域与集

{(x,y)|0|xx0| , 0|yy0|}的区别.（二）点集的基本概念: 1.内点、外点和界点：集合E的全体内点集表示为intE, 边界表示为E.集合的内点E, 外点E, 界点不定.2.聚点和孤立点: 孤立点必为界点.例1 确定集E{(x,y)|3.开集和闭集: 1(x1)2(y2)24 }的内点、外点集、边界和聚点.intEE时称E为开集,E的聚点集E时称E为闭集.存在非开非闭集.R2和空集为既开又闭集.4.开区域、闭区域、区域：以上常见平面点集均为区域.5.有界集与无界集: 6.点集的直径d(E)：两点的距离(P1 , P2).7.三角不等式：

|x1x2|（或|y1y2|）(x1x2)2(y1y2)2 |x1x2||y1y2|.（三）二元函数: 1.二元函数的定义、记法、图象： 2.定义域： 例4 求定义域：

ⅰ> f(x,y)3.有界函数: 4.n元函数: 9x2y2x2y21;ⅱ> f(x,y)lny.ln(yx21)

二、二元函数的极限

（一）.二元函数的极限: 1.二重极限limf(P)A的定义: 也可记为PP0PD(x,y)(x0,y0)limf(x,y)A或xx0yy0limf(x,y)A

例1 用“”定义验证极限

(x,y)(2,1)lim(x2xyy2)7.[1]P94 E1.xy20.例2 用“”定义验证极限 lim2x0xy2y0x2y2,(x,y)(0,0),xy例3 设f(x,y)x2y

20 ,(x,y)(0,0). 证明(x,y)(0,0)limf(x,y)0.(用极坐标变换)

PP0PETh 1 limf(P)A对D的每一个子集E ,只要点P0是E的聚点,就有limf(P)A.PP0PD推论1 设E1D,P0是E1的聚点.若极限limf(P)不存在, 则极限limf(P)也不存在.PP0PE1PP0PD推论2 设E1,E2D,P0是E1和E2的聚点.若存在极限limf(P)A1,limf(P)A2，PP0PE1PP0PE2但A1A2,则极限limf(P)不存在.PP0PD推论3 极限limf(P)存在对D内任一点列{ Pn },PnP0但PnP0,数列{f(Pn)}PP0PD xy ,(x,y)(0,0),22收敛 例4 设f(x,y)xy 证明极限limf(x,y)不存在.(x,y)(0,0)0 ,(x,y)(0,0).(考虑沿直线ykx的方向极限).例5 设f(x,y)1,0,当0yx2,x时，证明极限limf(x,y)不

(x,y)(0,0)其余部分.存在.二重极限具有与一元函数极限类似的运算性质.例6 求下列极限: ⅰ>(x,y)(0,0)limsinxyx2ylim;ⅱ>;(x,y)(3,0)yx2y2 ⅲ>(x,y)(0,0)limxy11ln(1x2y2);ⅳ> lim.22(x,y)(0,0)xyxyf(x,y)的定义: 3． 极限(x,y)(x0,y0)lim其他类型的非正常极限，(x,y)无穷远点的情况.例7 验证(x,y)(0,0)lim1.222x3yEx

[1]P99—100 1⑴—⑹，4，5.（二）累次极限:

1.累次极限的定义: 定义.例8 设f(x,y)xy, 求在点(0 , 0)的两个累次极限.22xyx2y2例9 设f(x,y)2, 求在点(0 , 0)的两个累次极限.2xy例10 设f(x,y)xsin11ysin, 求在点(0 , 0)的两个累次极限与二重极限.yx 2.二重极限与累次极限的关系:

⑴ 两个累次极限存在时, 可以不相等.(例9)

⑵ 两个累次极限中的一个存在时, 另一个可以不存在.例如函数f(x,y)xsin1y在点(0 , 0)的情况.⑶ 二重极限存在时, 两个累次极限可以不存在.(例10)

⑷ 两个累次极限存在(甚至相等)二重极限存在.(参阅例4和例8).综上, 二重极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系.但有以下确定关系.Th 2 若全面极限(x,y)(x0,y0)limf(x,y)和累次极限limlimf(x,y)(或另一次序)都存在,则

xx0yy0必相等.推论1 二重极限和两个累次极限三者都存在时, 三者相等.注: 推论1给出了累次极限次序可换的一个充分条件.推论2 两个累次极限存在但不相等时, 全面极限不存在.注: 两个累次极限中一个存在,另一个不存在全面极限不存在.参阅⑵的例.三、二元函数的连续性

（一）二元函数的连续概念：

xy22 , xy0 ,22xy例1 设f(x,y)

m , x2y20.1m2证明函数f(x,y)在点(0 , 0)沿方向ymx连续.1 , 0yx2, x ,例1 设f(x,y)

([1]P101)0 , 其他.证明函数f(x,y)在点(0 , 0)不全面连续但在点(0 , 0)f对x和y分别连续.2.函数的增量: 全增量、偏增量.用增量定义连续性.3.函数在区域上的连续性.4.连续函数的性质: 运算性质、局部有界性、局部保号性、复合函数连续性.

第三篇：多元函数微分学复习

第六章 多元函数微分学及其应用

6.1 多元函数的基本概念 一、二元函数的极限

定义 f(P)= f(x，y)的定义域为D, oP0(x0,y0)是D的聚点.对常数A，对于任意给定的正数，总存在正数，使得当点P(x，y)∈D U(P0,)，即

0|P0P|

(xx0)(yy0)22

时，都有

|f(P)–A|=|f(x，y)–A|<



成立，那么就称常数A为函数f(x，y)当(x，y)→(x0，(x,y)(x0,y0)y0)时的极限，记作

y0)), lim f(x,y)A或f(x，y)→A((x，y)→(x0,也记作

PP0limf(P)A

或

f(P)→A(P→P0)为了区别于一元函数的极限，上述二元函数的极限也称做二重极限.二、二元函数的连续性

(x,y)(x0,y0)limf(x,y)f

(x0,y0)，(x,y)(0,0)limz0

如果函数f(x , y)在D的每一点都连续，那么就称函数f(x , y)在D上连续，或者称f(x , y)是D上的连续函数.如果函数f(x , y)在点P0(x0,y0)不连续，则称P0(x0,y0)为函数f(x , y)的间断点.多元连续函数的和、差、积仍为连续函数；连续函数的商在分母不为零处仍连续；多元连续函数的复合函数也是连续函数。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.多元初等函数的极限值就是函数在该点的函数值，即

pp0limf(P)f(P0).有界性与最大值最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值.介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数必取复介于最大值和最小值之间的任何值。

三、例题 例1 设f(x,y)xyg(xy)，已知f(x,0)xf(x,0)xg(x)x222，求

f(x,y)的表达式。

2解 由题设，有g(x)xx2，于是

。f(x,y)xy[(xy)(xy)]，即 f(x,y)(xy)2y例2 证明极限limxyxy623不存在。

x0y0 证 当(x,y)沿三次抛物线ykx

3趋于(0,0)时，有

limxyxyxyxy。

623623x0y0limxkx62336x0y0xkxlimk1k2

x0y0其值随k去不同值而取不同值。故极限lim不存在。

x0y0 例3 求极限limxy11xy2222x0y0 解

原式limxy2222x0y0xy1xy11zx2212limxx0y022y22xy0

6.2 偏导数与高阶导数 6.2.1 偏导数

一、概念

说明对x求导视zf(x,y)，ylimf(xx,y)f(x,y)x

x0为常数，几何意义也说明了这个问题

二元函数z=f(x , y)在点M0(偏导数数

x0,y0)的偏导数有下述几何意义.0fx(x0,y0)，就是曲面zf(x,y)与平面yy0的交线在点M0处的切线M0Tx对x轴的斜率.同样，偏导fy(x0,y0)的几何意义是曲面zf(x,y)与平面x=x0的交线在点M 2 基于如上理由，求

处的切线M0Ty对y轴的斜率.zx(x0,y0)时，（因此可能简化函数）再对xy0可先代入，求导

例 f(x,y)xarctany(xarctany(xarctany))，求fx(1,0)。

n重 解 f(x,0)x，fx(x,0)1，fx(1,0)1

二、可微，偏导数存在，连续的关系

偏导数存在可微连续

三、高阶偏导数

设函数z=f(x , y)在区域D内具有偏导数，偏导数连续可微，fxy和

fyx都连续，则

fxy=

fyx;

zx2fx(x,y),zyfy(x,y)，则这两个函数的偏导数称为函数z=f(x , y)的二阶

2偏导数。按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数：

zzzzf(x,y),fxy(x,y),xx2xxxyxxyzxyzf(x,y),yxyyx2zyzfyy(x,y).2y2

四、偏导数，微分运算公式 1．z 2．dz f(x,y)，uu(x,y)，vv(x,y)

zxfuuxfvvx

zyfuuyfvvy

fudufvdvfu(udxuydy)fv(vdxvydy)xx(fuufvv)dx(fuuyfvvy)dyxx

d(uv)dudvd(uv)udvvduzx2

uvduudvd2vv

3．F(x,y,z)0 确定zz(x,y)，FxFz；

zy2FyFz6.2.2 求偏导数算例 例1（1）zarctanxy1xy，求

zx，zy，zx22，zxy。

解 zx1xy11xy11y221(1xy)(xy)(y)(1xy)11x2

由对称性 zy2，zx2222x(1x)，求

22；

2zxy220；（2）ulnxyz2ux22uy2uz2。

解ux122x222xyzxxyz22，2 ux由对称性 222xyzx2x(xyz)22222222222xyz2222222222(xyz)22

uy222xyz222，uz1222(xyz)uy22xyz2(xyz)2

故 ux2uz22xyz222。

（3）xy22f(x,y)xy0x022xy0，求

fx(0,0)，fy(0,0)

xy022 解 fx(0,0)limx0x0x220，同理fy(0,0)0；

ux，例2 uyf(xy,xy)，求

uxy2。

解 ux22yf12xf2y2xyf1yf2

uxy

(2y)f12x2yf2y2f21(2y)f22x 2xf12xyf1122x2yf122yf22y3f21xy2f22 2xf14xyf11

例3

zyzf(xy,)g，求

xyxxy2

解

yyf1yf22g2xxx2z

11y1xf12f1yf11ffxf2222221xyxxxxy1yy12f23f222gf12ff1xyf11xxxxxy)，求du。例4 uf(xy,xy,x解（1）z1xx2gg

yx2g1x

y3 duuxdxuydy

u1yuf1f2(1)f3f1f2f32；xxxy

故

y1duf1f22f3dxf1f2f3dy xxxdyydxd(xy)f2d(xy)f3解（2）duf12x

f1(dxdy)f2(dxdy)f3[f1f2yx2xdyydxx1x2

f3]dx[f1f2f3]dy

例5 设zz(x,y)由方程F(xzy,yzx)0，确定，F有连续一阶偏导数，求

zx，zy。

解（1）方程两边对x求导

zzxz0 F11xF2x2yxzyzF12F2xyF1F2zxx11xxF1yF2F1F2yx；

方程两边对y求导

zyz1zyFF11220 yxyzxzFFFxyF2122zyy 11yxF1yF2F1F2yxzy)F2d(yzx2；

解（2）方程两边取微分 F1d(x)0)F2(dyzy2F1(dxydzzdyyzx2xdzzdxx2)0

(F1

F2)dx(1yF11xF1F2)dy dzF2xyF1yzF2； 则 zxF11yF1zx12F2F2xyF1yzxxF1yF2F2；

zxxxF1yF2dydxx 例6 设yf(x,t)，tt(x,y)由F(x,y,t)0确定F,f可微，求。

解（1）对方程取微分

(1)dyfxdxftdtFxdxFydyFtdt0(2)dyfxdxft0

由（1）解得dt代入（2）得 FxdxFydyFt

则 FxFtfx/ftFxftFtfxdydxdxFtFfFytFyft解（2）

dy，即

dxFxftFtfxFyftF

yf(x,t(x,y))

dyttdyfxftdxxydx

dydxfxft1ftt 而xtyxtxFxFt；

tyux22FyFt，则

dydxFxftFtfxFyftF2

y， 例7 证明：当y时，方程x22xyuxy2y2uy20可化成标准形式

u220，其中uu(x,y)二阶偏导数连续。

证明：将u看成由u(,)，而yx，y复合成x,y的函数，uu((x,y),(y))

则 ux2ux2uuu1uuyu2；

xyyyx22yu1u22；

2xyxxx

ux222uyuy2223xxu21u

u22221u1uu1u1

222yxxx2则 xux222xyuxy2y2u22y2u220u220

小结

① 显函数（复合）二阶混合偏导数

② 隐函数求偏导，会用微分法，用复合法习题 1．zf(u)，u由方程u(u)

xyp(t)dt确定的x,y的函数，f,可微，P,连续，(u)1，求P(y)zxP(x)zy

（答案：0）（蔡 P146）

22．zz(x,y)由zexyz确定，求

zxy；

23．F(xy,yz)1确定了隐函数zz(x,y)，Fyy(x),zz(x)是由方程zxf(xy)和

具有连续二阶偏导数求

zyx

4．设5．t6．zF(x,y,z)0确定，f,F有连续偏导数，求

dzdx。

0，f可微且满足

kf(tx,ty,tz)tf(x,y,z)，证明 xfxyfyzfzkf。

。f(x,y)于(1,1)点可微，且f(1,1)1，fx(1,1)23x1。，fy(1,1)3。(x)f(x,f(x,x))求ddx[(x)]ux2y7．设变换vxay8．设可把方程6zx22zxy2zyx220化简为

zuvzx22202，求常数a的值。（a＝3）。

f(u)u有连续二阶导数，而uzf(esiny)满足

zy2ez2x，求

f(u)。（f(u)c1ec2e）

6.2 偏导数应用

偏导数应用注意四个方面：空间曲面曲线切平面、法线、切线、法平面；方向导数；梯度、散度、旋度；极值与条件极值。

6.3.1 内容小结

1． 空间曲线切线与法平面

xx(t)1）yy(t)

zz(t)切向量v(xt,yt,zt)

切线方程：

xx0xtyy0ytzz0zt

(x法平面方程：xtx0)yt(yy0)zt(zz0)0

xxyy(x)yy(x)2）zz(x)zz(x)切线方程：

v(1,y,z)类似的

xx01yy0yzz0z

法平面方程：xx0y(yy0)z(zz0)0

Fzz0F(x,z,y)0xxFxFyy3）v(1,y,z)xxG(x,y,z)0GxGyyxGzzx02． 空间曲面切平面与法线

1）F(x,y,z)0,n(Fx,Fy,Fz)|P0切平面：Fx|p0法线：

(xx0)Fy|p0(yy0)Fz|p0(zz0)0xx0Fx|p0yy0Fy|p0zz0Fz|p0

2）zf(x,y)Ff(x,y)zn(fx,fy,1)

切平面：类似地

fx(xx0)fy(yy0)(zz0)0

法线：xx0fxyy0fyzz01

xx(u,v)3）*yy(u,v)

zz(u,v)（参数方程形式）

切线 ,yu,zu),v2(xv,yv,zv)v1(xuixvjyuyvnv1v2xu(y,z)(z,x)(x,y)zu(u,v),(u,v),(u,v)zvk

3． 方向导数

uu(x,y,z)uluxcosuycosuzcosgradul（梯度在l方向投影）

4． 梯度、散度、旋度

，

xyzuuugraduu，xyz

divAAPxQyRz

rotAAixPjyQkzR

6.3.2 例题

例1 求曲线xt,yt,zt223上与平面x2yz4平行的切线方程。

解 切向量2(1,2t,3t)，n(1,2,1)由n，则n0，即，14t3t0t11,t2当t1时 (1,2,3),x11,y11,z11，切线方程为13x11y12z13

当t时 2(1,21111,),x2,y1,z1333927，x切线方程为13y11923z13127

22xy10例2 求空间曲线22xz10在点(3,1,1)处的切线方程和法平面方程。

解 22xy1022xz10确定了

yy(x),zz(x)，对x求导2x2yy02x2zz0x3y13，yzz13

xyxz

于

1法平面方程为x33(y1)3(z1)0，即x3y3z30 例3 求曲面x2M(3,1,1)点：y3,z3,v(1,3,3)切线方程为 yzx的切平面。使之与平面xy22z22垂直，同时也与xyz2垂直。

解 切平面法向量n(2x1,2y,2z)，n1(1,1,12)，n2(1,1,1)，依题意

n1n0

既有2x 12yz0

（1）

（2）n2n0 2x12y12z0

联立（1）（2）和原方程 22x42得解y4z022x42，y4z0

 n012222，0，n02,,0 2222切平面22(x242)22(y24)0

即

xyxy121222

得

22222x(y)0 2424x2y3z222即

例4 求u解 令

在(1,1,1)点沿x2yz3的外法线方向的方向导数。

22222F(x,y,z)xyz3，Fx2x,Fy2y,Fz2z于P(1,1,1)点n(2,2,2)，n(13,13,13)

unuxcosuycosuzcos111122x4y6z|43(1,1,1)3333

例5 设f(x,y)在fL3|p0fx1111p0点可微，L1，,L222227。，fL11,fL20

试确定L3使52fycos11，fL2fxcos2fycos20，则 解 fL1cos1 fxfx12fy121fx12y,f12

1f10y22 设L3(cos3,cos3)

从而fL3fxcos375fxcos375235 即

1245cos3 此时cos12cos345或cos752

cos3sin3，解得cos3或cos33335

34即L3,55例6 或L3243, 552 ulnxyz2，求div2(gradu)。

解 div(gradu)(u)u12ln(xyz)222ux22uy222uz22。

u，2ux22xxyz222222，2222ux22xyzx2x(xyz)xyz222(xyz)

由对称性 uy22xyz222222(xyz)2，uz22xyz222222(xyz)2

从而 div(gradu)1xyz222

例7 设a, b, c为常数，F证明(u,v)有连续一阶偏导数。

证 xayb,)0上任一点切平面都通过某定点。zczc11xayb，FyF2，FFFxF1Fz1222zczc(zc)(zc)F（则切平面方程为 F1取1zc(Xx)F21zc(Yy)1(zc)2F(xa)F2(yb)(zy)0

xa,Yb,Zc，则对任一的(x,y,z)点上式均满足，即过任一点的切平面都过(a,b,c)点。

。(xaz,ybz)0上任一点切平面都通过某定直线平行（F具有连续偏导数）

例8 设a,b为常数，证明曲面F证

FxF1，FyF2，FzaF1bF2，即n(F1,F2,aF1bF2)，取l(a,b,1)，则nl0，nl，曲面平行l，取直线

xx0ayy0bzz01，则曲面上任一点的切平面都与上述直线平行。例9 求二元函数u5方向导数最大？这个最大的方向导数值是多少？u沿那个方向减少得最快，沿哪个方向u的值不变？

解 xxyy22在点M(1,1)沿方向n1(2,1)的方向导数，并指出u在该点沿哪个方向的gradu|(1,1)(2xy,2yx)|(1,1)(3,3)，uM在点M(1,1)沿n方向的方向导数为

un132(gradu)n|M(3,3),555，方向导数取得最大值的方向为梯度方向，其最大值为为求使u变化的变化率为零的方向，令l

gradu|M32，u沿负梯度方向减少最快。

(cos,sin)，则，ululM(gradu|M)l3cos3sin32sin44或令0，得4，故在点(1,1)处沿4和4函数u得值不变化。

例10 一条鲨鱼在发现血腥味时，总是沿血腥味最浓的方向追寻。在海上进行试验表明，如果血源在海平面上，建立坐标系味：坐标原点在血源处，xOy2坐标面为海平面，Oz轴铅直向下，则点(x,224y,z)处血源的浓度C（每百万份水中所含血的份数）的近似值Ce(xy2z)/10。

（1）求鲨鱼从点1,1,1（单位为海里）出发向血源前进的路线2的方程；

（2）若鲨鱼以40海里/小时的速度前进，鲨鱼从1,1,1点出发需要用多少时间才能到达血源处？ 2解（1）鲨鱼追踪最强的血腥味，所以每一瞬时它都将按血液浓度变化最快，即C的梯度方向前进。由梯度的计算公式，得

2224CCC4(xy2z)/10gradC，10e(2x.2y,4z)xyz设曲线的方程为xx(t)，yy(t)，zz(t)，则的切线向量(dx,dy,dz)必与gradC平行，从而有 dx2xdy2ydz4z

解初始值问题

dydx2y2xy|1x1dzdx2x4zz|1x12

得

yx

解初始值问题

得

z12x2，所以所求曲线的方程为

xx，yx，z 12（2）曲线的长度 x2(0x1)s101yzdxxxln(31)2210x2xdx22x2ln(x2x1)

03212ln2（海里）

31)1。ln2（小时）

2因此到达血源处所用的时间为T6.4 多元函数的极值

13ln(402

一、无条件极值 限于二元函数zf(x,y)

1． z0x求驻点z0y驻点P

2． 于驻点P处计算Azx22，Bzxy2，Czy22。B2AC0是极值点，A0可取得极小值，A0可取极大值。

3． 条件极值：minuf(x,y,z)S.t.(x,y,z)0，令

Lf(x,y,z)(x,y,z)求无条件极值。

例1 求内接于椭球面，且棱平行对称轴的体积最大的长方体。

解 设椭球面方程为 xa22yb22zc221，长方体于第一卦限上的点的坐标为(x,y,z)，则

V8xyz，s.t.xa 22yb22zc221，令

2xa222x2yz L8xyz1a2b2c28yzLxL8xzy8xyLz及0(1)0(2)0(3)2yb2zc22xa22yb22zc221

由（1）（2）（3）得xa22b3yb22zc22tc3，代入（3）得t13，从而 xa3，y2，z22，此时V8abc33839abc。

例2 求由方程2x2yz8xzz80所确定的二元函数zf(x,y)的极值。解

方程两边对x,y求偏导数得：

4x2zzx8z8xzxzx0

„（1）

4y2zzy8xzyzy0

„（2）

4x8z016和原方程联立得驻点(2,0)，(,0)0，得x74y0y方程（1）对x,y再求偏导，方程（2）对y求偏导 令z0，z。

zzzzzz42888x0 2z222xxxxxx2zzyx2z22222„（3）

zxy282zy8x2zxy22zxy20

„（4）

zzzz

422z8x0

222yyyy将驻点(2,0)代入（此时z1）

„（5）

42A16AA0

AC415415

2B16BB0

B0

242C16CC0

BAC0，z1是极小值（因A>0）

将驻点8（4）（5）（此时z,0代入（3）

7716），同上过程有

A 415，B0，C415，2BAC0，A0，z87是极大值。

习题： 1 设uF(x,y,z)在条件(x,y,z)0和(x,y,z)0限制下，在P0(x0,y0,z0)处取得极值mFx1Lx20xx

。证明F(x,y,z)m，(x,y,z)0，(x,y,z)0在P0点法线共面。

正：L F(x,y,z)m12LFy120yyy

Fz1Lz20 zzFxxyzx0yzxyz5r2222由于(1,1,2)0，从而原方程有非零解，及系数矩阵为0FyFz，即三法向量共面。

2． 设f(x,y,z)lnxlny3lnz。点

3(x,y,z)在第一卦限球面

3上，①求f(x,y,z)的最大值。②证明 对任意正数a,b,c成立abc

abc275。

习题课

ye例1 设f(xy,lnx)1，求f(x,y)yxxeln(x)解 令xyu，lnxv。

yef(u,v)f(xy,lnx)1yxxeln(x)

xxxyxueveu2vexyxlnx(xy)ee2lnxxylnx

所以

f(x,y)xeyex2y.例2 讨论limxyxy是否存在.x0y0 解

当点 P(x,y)沿直线ykx趋向（0，0）时，limxyxy2ykxx0limxkxxkxx0limkx1kx00

(k1)，当点P(x,y)沿直线yxxlim2xyxy趋向（0，0）时，yxxx0lim2x(xx)x(xx)22lim(x1)1yxxx0x01，所以limxyxy不存在.x0y0 例3 22(xy)sinzf(x,y)0在（0，0）处是否连续？

1xy22(xy0)，22(xy0),22（1）（2）（3）（4）fx(0,0),fy(0,0)是否存在？

偏导数fx(x,y),fy(x,y)在（0，0）处是否连续？

f(x,y)在（0，0）处是否可微？

f(x,y)在（0，0）处是否连续，只要看limf(x,y)＝f(0,0)是否成立.因为

x0y0解

（1）函数 limf(x,y)lim(xy)sinx0y0221xy22

x0y0

limsin0210f(0,0).所以

f(x,y)在（0，0）处连续.（2）如同一元函数一样，分段函数在分界点处的偏导数应按定义来求.因为

(x)sinx021(x)x1(x)220 limf(x,0)f(0,0)xlimx0limxsinx00,所以

(3)fx(0,0)0，类似地可求得fy(0,0)0.当(x,y)(0,0)时

fx(x,y)2xsin

1xy1xy2222(xy)cosxxy22221xy221222xx2y23

2xsincos1xy2.因为 limfx(x,y)lim2xsinx0x0y0y01xy22xxy22cos不存在.22xy1所以 fx(x,y)在（0，0）处不连续。同理fy(x,y)在（0，0）处也不连续

（4）由于由fx(x,y),fy(x,y)在（0，0）处不连续，所以只能按定义判别f(x,y)在（0，0）处是否可微.fx(0,0)0，fy(0,0)0，故

x0y0limz[fx(0,0)xfy(0,0)y](x)(y)222

[(x)(y)]sinlimx0y02221(x)(y)220(x)(y)(x)(y)sin122 lim1(x)(y)22

x0y0limsinx0y00由全微分定义知f(x,y)在（0，0）处可微，且df(0,0)0.f(x,y,z)，zg(x,y)，yh(x,t)，t 例4 设u(x)，求

dudx.解

对于复合函数求导来说，最主要的是搞清变量之间的关系.哪些是自变量，哪些是中间变量，可借助于“树图”来分析.图9－1 由上图可见，u最终是x的函数，y，z，t都是中间变量.所以

dudxfxfxfhhdfgghhdyxtdxzxyxtdxfhyxfhdytdxfgzxfghzyx.fghdzytdx 从最后结论可以看出:若对x求导数(或求偏导数),有几条线通到”树梢”上的x,结果中就应有几项,而每一项又都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简言之,按线相乘,分线相加 例5 z12xfxy1f2，f 可导，求zx.解 zx1f2x.y

例6 已知yetyx，而t是由方程ytx1确定的x，y的函数，求

ty222dydx.解

将两个方程对x求导数，得

ye(tyyt)12yy2tt2x0

解方程可得

2dydxtxye2ty2tyt(yt)e.例7 求曲面x2y3z21平行于平面x4y6z0的切平面方程.解

曲面在点(x,y,z)的法向量为 n ＝(Fx,Fy,Fz)(2x,4y,6z)，2x14y42已知平面的法向量为n1＝(1，4，6),因为切平面与已知平面平行，所以n//n1,从而有

6z6（1）

又因为点在曲面上，应满足曲面方程

x2y3z212

（2）

由（1）、（2）解得切点为(1,2,2)及(1,2,2), 所求切平面方程为：

或(x1)4(y2)6(z2)0(x1)4(y2)6(z2)012,1,1)。

这里特别要指出的是不要将n//n1不经意的写成n=n1,从而得出切点为(例8 在椭球面2x222的错误结论.2222yz1上求一点，使函数f(x,y,z)xyzel在该点沿l＝(1,–1,0)方向的方向导数最大.11,,0，22所以 fl fx12fy12fz20

2(xy)2(xy)在条件2x由题意，要考查函数

2yz1下的最大值，为此构造拉格朗日函数

222F(x,y,z)2(xy)(2x2yz1)，14

Fx24x0,Fy24y0, Fz2z0,2222x2yz1.解得可能取极值的点为 11,,0 22 及

11，0.222，因为所要求的最大值一定存在，比较

fl11,,022fl11，02222知12,1,02为所求的点.例9 求函数zxy222在圆(x22)(y22)9上的最大值与最小值.0,zy0，解得点(0,0).显然z(0,0)=0为最小值.解

先求函数z再求z2xy2在圆内的可能极值点.为此令zxxy在圆上的最大、最小值.为此做拉格朗日函数

22F(x,y)xy[(x2)(y22)9]，2Fx2x2(x2)0,Fy2y2(y2)0,22(x2)(y2)9.，代入（3）解得

(1)(2)(3)由（1）、（2）可知xy xy522，和

xy22，5252z,2225221.z,222)(y25252,22为z25，最小值为z0.比较z(0,0)、z

22、z三值可知：在(x,222)92上，最大值

第四篇：多元函数的微分学内容小结（本站推荐）

第二章 多元函数的微分学内容小结

多元函数微分学是一元函数微分学的推广和发展，两者的处理方法有很多相似之处．由于

自变量个数的增加，多元函数的微分学又产生了很多新内容，如偏导数、全微分、方向导数、条

件极值等．本章以二元函数为主讲述有关内容．

一、多元函数的定义、极限、连续及其性质

二、偏导数与全微分

3．全微分 三、二元函数的极值

四、多元微分学的几何应用

五、方向导数与梯度

第五篇：2016考研：多元函数微分学大纲解析解读

2016考研:多元函数微分学大纲解析(1多元函数微分学考察方式

针对 2015年对多元函数微分学的考察方式,结合 2016大纲,同学们在 2016年考研备考中 应该注意下面问题

1.结合大纲:深刻理解概念

深刻理解概念就是要说清楚多元函数微分学与一元函数微分学的区别以及大家需要注意的 地方。那么,在多元函数微分学的知识体系中,最重要的就是对基本概念的理解。也就是要 理解多元函数的极限,连续,可导与可微。重点是可导的概念。我以二元函数为例。二元函 数有两个变量, 那么可导就是说的偏导数。至于可微的思想可以直接平移一元的。虽然有些 变化,但是基本的形式是一样的。最后,三者关系。这是相当重要的一个点。具体来说,可 微可以推出可导和连续, 而反之不成立。希望大家不仅要记住结论, 还要知道为什么是这样 的关系。大家通过自己推一推就可以准确的把握这三个概念了。在大家深刻理解了这些概念 后,后面的内容就偏向计算了。

2.深挖大纲:培养计算能力

这章考查的重点还是计算。计算实质上就是多元函数微分学的应用。它主要包括偏导数的计 算;方向导数与梯度;二元函数极值(无条件与条件。其实考查计算对大家来说是最容易 的考法。因为大家只要懂方法就够了,不用理解方法怎么来的。具体来说,计算偏导数,特 别是高阶偏导数, 大家只要掌握了链式法则就够了。同时掌握下高阶导数与求导次序无关的 条件。至于计算方向导数与梯度,大家就需要知道它的含义, 然后记住两个公式就行了。最 后是二元函数的极值。它分为无条件极值和有条件极值。先说无条件极值。大家可以把它跟 一元函数极值做个类比。这样会学的轻松些。至于条件极值, 大家只要会了拉格朗日乘数法 就行了。所以, 这章对大家的计算能力要求很高。大家一定要沉下心仔细体会方法,然后多 做练习就够了。

总之, 通过 2016年考研数学大纲的解析, 希望大家在备考 2016年的时候经过这两个步骤能 够学习好多元函数微分学,为以后的高等数学的复习打好基础!(2 2016考研大纲解析之单调性

针对 2015年对单调性应用的考查方式,结合 2016年考纲,同学们考研备考中应该注意下 面问题

一.注意考纲要求

2016年的考纲在单调性应用方面没有太大变化。考试对数学一,数学二,数学三的要求 大致相同。考试都要求用导数来判断函数的单调性问题。但是通过对历年考题分析, 我发现 单调性应用的真正隐含难点在于利用单调性解决不等式的证明和方程根个数问题。希望引起 同学们的注意。

二.注意考纲的题型分析

通过对往年真题的分析, 我发现有关单调性的应用是每年必考的一个考点。题型往往具有灵 活性,选择,填空,大题都有出现。

三.深挖考纲的复习方法

首先, 这部分内容容易引起一些同学的轻视。因为一提到单调性, 同学们都觉得很简单。其 实不然。我前面提到了, 虽然考纲没说, 但是单调性真正的难点是不等式的证明和方程根个 数判断。然后, 怎么复习不等式证明和方程根个数问题呢?我认为同学们应该知道单调性是 基本方法。接着要知道不等式证明要会构造辅助函数, 方程根问题应该和零点问题联系起来。最后,同学们要通过多做题来熟练知识点。

总之,同学们根据 2016年数学考试大纲的分析来挖掘出单调性应用的真正重难点,即不等 式的证明和方程根个数问题。同学们还要明确解题的基本思路,多做练习, 多总结。祝大家 马到成功。

(3 2016年大纲解析之多元积分

在 2015年的考研数学一中, 大题 19题考查了空间第二型曲线积分问题, 并且用参数方程的 方法可能更加简单一点。本来第二型曲线积分一般转化为第二型曲面积分来解决。针对 2016年考纲,同学们在 2016年考研备考中应该注意下面问题

一.注意考纲的要求

2016年的考纲对多元积分的要求没有太大变化。多元积分部分只对数学一有要求。而这部 分对数学一要求也相当高。考纲要求理解和掌握三重积分, 曲线, 曲面积分的各种计算方法。大家重点还是要关注格林公式, 高斯公式, 积分与路径无关。但是三重积分的计算方法也一 定要熟练。同时,物理应用(质量,质心,形心也要清楚原理。

二.注意考纲的题型分析

结合考纲, 我们发现有关多元函数积分计算是每年的必考题。题型一般都是以大题为主。是 学生失分的重要领域。希望引起学生注意。

三.考纲要求的复习方法

首先, 同学们还要清楚多元函数积分学所包含的内容以及三重积分, 曲线, 曲面积分所表示 的物理意义。然后,同学们应该透过历年真题来把握出题的重点。总体来说,格林公式,高 斯公式, 积分与路径无关是考查的重点。因为格林公式与二重积分联系, 高斯公式与三重积 分联系,它们考查的都是复合的知识点;而积分与路径无关往往与微分方程联系。最后,同 学们也要注意一些冷的考法。即单纯考三重积分或者考查斯托克斯公式。单独考的时候, 题 目一般比较难,所以希望同学们可以找相应的题目练习下。

总之, 通过 2016年考研大纲的解析, 希望大家在备考 2016年的时候经过这三个步骤能够学习好多元函数积分学,为以后的高等数学的复习打好基础!(4 2016年大纲解析之微分方程复习

在 2015年的考研数学中,数学三 12题考查的是二阶常系数微分方程, 18题考查的是变量 可分离微分方程。数学二中, 12题考查的是二阶常系数微分方程, 20题考查的是一阶线性 微分方程。所以通过对 2015年的分析,我们发现微分方程一般不会单独出题,这个知识点 只会融入到其他知识点的考核中。

结合考纲,同学们在 2016年考研备考中应该注意下面问题 1.微分方程的学习技巧

大家在学习这章的时候, 首先把导数中的基本求导公式以及常见函数的导数记牢。然后把不 定积分中的基本积分公式和积分方法要掌握。最后, 回到微分方程中, 大家要注意这章那些 该学以及学到什么程度。同时大家要清楚自己考的是数几。数一, 数二, 数三对这部分的要 求以及考的程度是不一样的。所以请大家还是要回归到考试大纲,认真看下考纲的要求。

2.明晰微分方程的知识体系

首先, 大家要清楚基础阶段和强化阶段要复习的内容。在基础阶段, 大家只需要知道微 分方程的定义, 性质,了解微分方程的分类以及掌握每种微分方程的解法。在强化阶段,大 家就需要综合应用了。比如微分方程与级数的结合, 微分方程在物理和几何方面的应用。然 后,大家要自己总结知识体系。考研中, 微分方程不会都考, 只会考查考纲中列出的几种类 型。大家也只用掌握这几种类型就够了。总之,不管是一阶微分方程还是二阶微分方程,从 本质上说大家只要掌握微分方程的类型是什么以及怎么求就够了。

3.习题总结

在大家知道了知识体系以及怎么学习后,现在就是多做习题。这一章其实对理论要求 很少,重点在计算。所以大家的重点就是用习题来熟练要考的微分方程类型。每一类做 10道题目,然后总结下做题体会, 这样该类方程的解法也就清楚了, 所以根本就不用记, 熟练 后自然就记住了。

总之, 通过 2016年考研大纲的解析, 希望大家在备考 2016年的时候经过这两个个步骤 能够学习好微分方程,为以后的高等数学的复习打好基础!(5 2016年数学大纲解析之导数

2015年的考研数学中,数学三选择题第二题考查的是拐点,填空题十二题考查的是极值, 十一题考查的是全微分,十七题考查的是经济学应用。所以说导数是 2015年数学三考查的 重点。

针对 2015年对导数的考查方式,结合 2016年考纲,同学们备考中应该注意下面问题

1.考纲要求:狠抓基础概念

我强调狠抓基础概念是出于两个方面的考虑。第一:导数这章内容相对比较简单。比如求导 公式, 大家在高中就接触过。第二:考研中考得最多的就是对导数概念的理解以及对导数应 用中极值概念的理解。从这些概念本身来看,相对来说比较简单,但是考法却是比较深入。假如很多同学仅仅是知其然而不知其所以然, 那么做题是很容易出错的。所以, 我希望同学 们要加深对本章概念的理解,千万不要一知半解就开始盲目的做题。

2.考纲点出:明晰考查的重点

在大家对概念有了比较深入的了解之后。接着, 就需要了解考试重点了。本章相对比较简单, 而且重难点分明。具体来说,分为三个模块。第一个模块:可导与可微。其中导数定义是重 点。导数的定义几乎是每年必考, 而且考察的往往都是变形的形式, 但实质上都是在考察你 对极限理解。第二个模块:导数计算。复合函数求导是重点, 并在此基础上掌握幂指函数求 导, 隐函数求导及参数方程求导。高阶导数部分, 大家要掌握常见函数高阶导数的一些公式。第三个模块:导数的应用。其中极值本身的概念也是一个很大的考点, 包括极值的必要的条 件以及极值的第一和第二充分条件。每年考研都会有一些相关的选择题。同理, 题目考察拐 点的时候, 同时也考察了凹凸性,导函数的单调性等概念。因此, 拐点的概念是考察的一个 方向，同时拐点的必要条件及第一和第二充分条件也是重要考点。请大家注意:只要学好极 值,拐点自然也就学好了。因为拐点的相关知识点可以在某种程度上看做是极值点的平移。总之, 通过 2016年数学考纲的解析, 希望大家在备考 2016年的时候能够经过这两个步 骤学好导数,为以后的高等数学的复习打好基础。祝大家马到成功!凯程教育:凯程考研成立于 2005年,国内首家全日制集训机构考研,一直从事高端全日制 辅导,由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱 教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成, 为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。