2011考研数学常见疑难知识点精析之《高等数学》三、一元函数积分学（精选5篇）

第一篇：2011考研数学常见疑难知识点精析之《高等数学》三、一元函数积分学

2011考研数学常见疑难知识点精析之

《高等数学》

三、一元函数积分学

万学海文

1．关于不定积分的一些知识

1）、求导数与求不定积分是互逆的．已知一个函数其导数是唯一的，但是其逆运算——求不定积分的结果不是唯一的． dF(x)dxf(x)，而，f(x)dxF(x)C，由于C的不同，导致一个函数的不定积分有很多函数，这些函数之间相差一个常数．

2）、一个函数的不定积分和原函数是两个不同的概念．

如果F'(x)f(x)或dF(x)f(x)dx，那么函数F(x)就是f(x)的在某个区间上的一个原函数；函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为该函数在某个区间上的不定积分，所以一个函数f(x)的原函数为其不定积分中的一个函数，而其不定积分则是一族函数，它们之间相差一个常数，即，f(x)dxF(x)C

3）、如果函数f(x)在区间上连续，则该函数在该区间上存在原函数；

如果函数f(x)在区间上有第一类间断点，则该函数在该区间上不存在原函数．

1,x0例如，设fx0,x0，则在任意一个包含x0在其内部的区间上，一定不存1,x0在原函数．

这是因为，当x0时xfx，因此当x0时，fx的一切原函数为xC，而在x0处xC不可导，因此在任意一个包含x0在其内部的区间上，xC不可以认为是fx的原函数，所以在这种区间上fx不存在原函数．

4）、奇偶性问题

当函数f(x)为奇函数时，则其全体原函数均为偶函数；

当函数f(x)为偶函数时，则其只有唯一一个原函数为奇函数． 5)、周期函数的原函数不一定是周期函数．如果函数f(x)是以T为周期函数，那么其全体原函数也是以T为周期的充要条件是f(t)dt0．

0T6）、如果分段函数存在原函数，则其原函数一定是连续的． 2．分段函数不定积分

对于分段函数，在对其进行不定积分的时候，要注意在分别求不定积分的时候，最后的常数要统一，从而保证原函数的连续性．

例3.1：设f(x)sin2x,x0ln(2x1),x0，求f(x)的原函数F(x)

12解：（1）当x0时，sin2xdx（2）当x0时，cos2xC1

ln(2x1)dx 1212ln(2x1)d(2x1)12[(2x1)ln(2x1)2(2x1)(2x1)dx]C2

[(2x1)ln(2x1)2x]C2，这时要对两个常数C1,C2进行统一．

C1F(0)112CCCC，（3）x0，所以，取，CC122122limF(x)C2F(0)x0limF(x)1则：

F(x)1212cos2xC(x0)[(2x1)ln(2x1)2x]C12

(x0)3．利用换元法求解不定积分，最后的结果一定要变为原来的积分变量．

例3.2：求dx2x21

x122解：作积分变量变换，令xtanu,则dxsecudu, 原式secudu(2tanu1)tanu1222 (2tansecudu22u1)secu (2tan2sindu2u1)cosu(du2sinucosu221)cosu2sincosudu22ucosucosu2

cosudu2ucosu2sincosudu2u1sindsinu2u1arctan(sinu)C

做到这里并没有完成求解原函数的任务，因为原积分变量为x，这里的最后结果不含x，而是含u，所以不能就此结束，而是要再重新换为原来的积分变量．

sinuarctan(sinu)Ctanu1tanu2arctan(x1x2tanuxx1x2)C

所以，最后的结果应为arctan()C，而并非是arctan(sinu)C．同时这里还要再次强调一下，最后的结果中常数C一定不能忘记． 4．下列两个命题是否正确？

1）如果 f(x)在 a,b上有原函数，那么 f(x)在 a,b上可积； 2）如果 f(x)在 a,b上可积，那么 f(x)在 a,b上一定有原函数.答：两个命题都不正确.先讨论命题1），在 a,b上有原函数的函数 f(x)未必是可积的，12xsin,x02x例如函数F(x)，在 1,1内处处可导，且

0,x01212xsincos,x022xxx，因此f(x)在 1,1上的原函数是F(x).F'(x)f(x)0,x0但 f(x)在 1,1上无界，所以 f(x)在 1,1上不可积.再讨论命题2），在 a,b上可积的函数不一定有原函数.例如符号函数sgnx在 1,1上可积，但x0是它的第一类间断点，我们知道在某区间I上具有第一类间断点的函数在该区间上原函数不存在，所以 sgnx在 1,1上的原函数不存在.5．在什么条件下，牛顿--莱布尼兹公式成立？ 答：如果函数 f(x)在 a,b上连续，则牛顿—莱布尼兹公式成立，此公式也称为微积分基本定理.它把函数 f(x)在区间 a,b上的定积分的计算转化为求 f(x)的原函数在区间 a,b上的增量，使定积分的计算十分方便.当条件不成立时，就不能用此公式.当然，牛顿--莱布尼兹公式成立的条件还可以适当放宽，例如有下面结论：

定理 设 f(x)在 a,b上可积，且原函数 F(x)存在，则

baf(x)dxF(b)F(a)

6．对连续函数而言，奇函数的原函数是偶函数吗？偶函数的原函数是奇函数吗？

答：奇函数的原函数是偶函数，但偶函数的原函数不全是奇函数.7．应用换元法计算定积分应注意哪些问题？

答： 在应用定积分的换元法时，首先要注意选取代换的函数 x(t)必须在[,]上具有连续导数，且有 ()a, 例如，计算积分令x1t1111不满足这些条件的代换将会导致错误的结果.()b，11x1112dx，可得到1x2dx11111t21t2dt1111t2dt

从而，原式为0，结果显然不正确.产生错误的原因在于 x1t在 1,1上不连续.其次，应注意在换元的同时要注意换积分限，即原积分对积分变量x的上、下限要换成新的积分变量t的上、下限.若换元法采用的凑微分法，而没有引进新的积分变量，则不需要换积分限.8．复合函数的变限积分函数，求导时应注意的问题．

设F(x)G(x)b(x)af(t)dt, 则，F'(x)f((x))'(x)，(x)g(t)dt，则，G'(x)g((x))'(x)，这里一定要注意符号问题．

若 H(x)H'(x)(x)(x)xh(t)dt，则此时对该函数求导，要注意积分变量和求导时的变量．

(x)(x)xh(t)dt'x(x)(x)h(t)dt'(x)(x)h(t)dtx(x)(x)h(t)dt'

(x)(x)h(t)dtx[h((x))'(x)h((x))'(x)]

在求导的过程中，是对t求导，所以可以把x看作常数．

第二篇：2018考研数学考点解析：一元函数积分学_毙考题

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2018考研数学考点解析：一元函数积分学

2018数学考试大纲已经出来了，记的去年是8月底出的，今年比去年晚了半个月的时间。下面我们就考研数学中的一元函数积分学这一块来简单聊下。

这一部分内容与去年比较整体要求没有什么出入。以下吴方方老师主要是根据2017年对定积分这一块的考查，并结合今天出来的2018年考试大纲来给2018的同学们来聊聊，接下来这三个月，我们在2018年的考研备考中所要注意的问题。

首先，我们结合刚刚出来的2018年考试大纲来明确这一部分的知识体系。大纲中要求我们，理解原函数的概念，理解不定积分的概念，掌握不定积分的的基本公式，掌握不定积分的积分方法，主要是换元法和分部积分法。关于一元积分学这章节还包括：定积分的定义，性质；微积分基本定理；反常积分以及定积分的应用这几个部分。这几个部分各有各的侧重点。而其中有关定积分的定义是要求我们掌握的重点，我们要充分理解微积分基本定理还要掌握定积分在几何和物理上面的应用。

至于反常积分这一块，会计算简单的反常积分，了解反常积分的概念并会判别收敛性，像2016年数学一第一道选择题就是考查反常积分的收敛性问题。去年就是由于很多同学对反常积分的敛散性的判别不熟，从而导致了选择题做的不顺，时间久耽误了，以至于影响到了后面的大题的解析。

关于定积分的定义及性质。这里要求同学们一定要理解分割、近似以及求和还有取极限这几个步骤。与此同时还要求同学们知道其几何意义及定义中我们所要注意的地方。早在2016年数学

二、数学三出了道填空题，是利用定积分定义来做的，而2017年考研数学

一、数学三又出了道10分的计算题，因此希望这一部分能引起同学们的一定的重视。对于n项和求极限的问题，我们知道主要是利用夹逼定理和定积分定义两种常用方法。因此，对于这一部分的内容与数列极限结合是我们要重视的。

关于定积分中的区间可加性、积分中值定理、比较定理这几个是同学要掌握的，而对于微积分基本定理这一块的知识点是非常重要的。关于切线与法线；以及单调性；极值；凹凸性的应用与变上限积分函数是可以相关联的。关于变上限积分函数，我们要掌握变上限积分求导，这一块知识与极限结合，就是我们常见的一种极限形式，即含有变上限积分的极限计算题。像2017年考研中的第一道极限的计算题就是有关变上限积分的极限计算问题。求导，吴方方老师希望同学们能够会证明，以前考研真题中也出现过此类问题。所以，应当值得我们重视。

下面我们来聊聊反常积分这一块内容，这块内容在2016年考研数学一的第一道选择题出现了，当年很多同学无从下手。由于对这一块知识的生疏，以至于这一道选择题就花了二十多分钟才解决，这个是不应该的。其实在某种意义上，当年2016年考的那题敛散性的选择

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题，是有些超纲的，而2017年考研对于这块的知识出了道填空题，是关于反常积分的计算题。这一块的内容大纲解析要求我们了解反常积分的基本定义，会计算反常积分。没有其他内容，所以收敛这一块应该是不会太为难我们，而关于反常积分的计算，同学们就当作定积分来求就可以了。

最后，就是有关定积分的应用部分了。关于定积分的定义这一块，吴方方老师希望童鞋们要掌握住，其主要就是利用微元法在几何上应用，对于数一和数二的同学还要求掌握物理上面的应用。数学三的同学要掌握用定积分求面积及旋转的体积。各种旋转体的体积是要求我们必须掌握的，在真题中确实出现过定积分几何应用于微分方程结合出题的，而对于数学一和数学二除了平面图形的面积和旋转体的体积外，还要求掌握用定积分求曲线弧长、旋转曲面的侧面积。

对于一元函数积分学这一块内容是我们同学们要重视的重要部分，一元函数的积分计算的二重积分以及三重积分等的基础，希望同学们好好努力，都有个好成绩。加油！

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第三篇：考研政治常见疑难知识点之政治经济学

(一)绝对剩余价值和相对剩余价值

我们先来看绝对剩余价值生产的含义。绝对剩余价值生产是指在雇佣工人的必要劳动时间不变的条件下，由于工作日的绝对延长从而绝对延长剩余劳动时间而生产的剩余价值。

接着，我们要对相对剩余价值生产有所了解。相对剩余价值是指在工作日长度不变的条件下，通过缩短必要劳动时间从而相对延长剩余劳动时间所生产的剩余价值。

然后我们要理顺绝对剩余价值生产和相对剩余价值生产的关系：

首先，二者之间的联系：第一，两者在本质上是一致的;第二，绝对剩余价值生产是资本主义剥削的一般基础，也是相对剩余价值生产的起点。

其次，二者之间的区别：物质技术基础以及在资本主义发展的各个历史阶段上所起的作用不同。

(二)超额剩余价值

超额剩余价值是个别资本家由于提高劳动企业提高劳动生产率，使其产品的个别价值低于社会价值而得到更多的剩余价值。其来源也是雇佣工人的剩余劳动。它是商品的个别价值低于社会价值的差额。

追求超额剩余价值，是个别企业改进生产技术、提高劳动生产率的直接动机，而各个企业追求超额剩余价值的竞争，使劳动生产率普遍提高，单位商品价值量降低，劳动力价值也降低，必要劳动时间缩短，剩余劳动时间相对延长，使所有企业都普遍获得了相对剩余价值。所以，相对剩余价值生产是在各个资本家追求超额剩余价值的过程中实现的。

那么这里就出现了一个与上述知识点相关的难点——资本主义工资是劳动力的价值或价格。对此我们应该怎样理解呢?劳动力在一定条件下可以成为商品，而劳动在任何条件下都不能成为商品。工人在市场上出卖的不是劳动而是劳动力。因此，资本主义工资是劳动力的价值或价格。

(三)资本积聚和资本集中的关系

资本有机构成提高的前提是单个资本的增大。而单个资本的增大则主要通过资本积聚和资本集中两条途径来实现。

①资本积聚：单个资本家通过剩余价值的资本化，不断增大自己的资本实力，从而引起生产资料和劳动力的积聚。它是资本积累的直接结果。

②资本集中：把原来分散的中小资本合并成为少数的大资本。资本集中是借助于竞争和信用这两个强大的杠杆来实现的，亦即它既可以采取大资本吞并中小资本的形式，也可以采取组织 股份公司的形式。

③)资本积聚和资本集中的关系。资本积累和资本集中既有区别又有联系。二者的区别在于：第一，资本积聚会使社会资本总额增大，而资本集中则不会增大社会资本 的总额，它只是改变社会资本总额在资本家之间的分配。第二，资本积聚的增长受到社会财富(包括追加的生产资料和消费资料)的绝对增长数额的限制，所以它的增长比较缓慢;而资本集中则不存在这种限制，因而可以在较短时间内集中大量的资本。

二者的联系在于它们相互制约，相互促进。资本积聚使个别资本总额增大，竞争实力增强，因而会加速资本的集中;另一方面，资本集中使个别资本总额和积累规模迅速增大;反过来，又会加快资本的积聚。两者共同促使资本积累不断增大，资本有机构成迅速提高。

第四篇：2018考研数学三高等数学常考知识点分享

2018考研数学三复习之高等数学常考知识点

来源：智阅网

高等数学是考研数学三中很重要的学科，也是考研数学三中常考的内容。所以，就让我们一起来了解一下高等数学的常考知识点吧！

1.函数、极限与连续：主要考查极限的计算或已知极限确定原式中的常数;讨论函数连续性和判断间断点类型;无穷小阶的比较;讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。

2.一元函数微分学：主要考查导数与微分的定义;各种函数导数与微分的计算;利用洛比达法则求不定式极限;函数极值;方程的的个数;证明函数不等式;与中值定理相关的证明;最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用;用导数研究函数性态和描绘函数图形;求曲线渐近线。

3.一元函数积分学：主要考查不定积分、定积分及广义积分的计算;变上限积分的求导、极限等;积分中值定理和积分性质的证明;定积分的应用，如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等。

4.多元函数微分学：主要考查偏导数存在、可微、连续的判断;多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数;多元函数极值或条件极值在与经济上的应用;二元连续函数在有界平面区域上的最大值和最小值。此外，数学一还要求会计算方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。

我们还可以通过汤家凤老师的2018《考研数学绝对考场最后八套题》（数学三），掌握高等数学等的常考题型和解题方法。想买考研数学三相关内容的朋友，可以去天猫商城北京世纪文都图书专营店、智阅网上看看，最近有“双十一”购书优惠活动，买得越多，折扣越多，非常划算。

第五篇：2012考研数学重要知识点解析之高等数学(一)

在考研数学复习开始之前，万学海文数学考研辅导专家们提醒2012年的考生们要对考研数学的基本命题趋势和试题难度有比较深刻的认识，根据自己对考研数学的定位，要做到有的放矢的复习，才能达到事半功倍的效果。

复习备考的主要策略：紧扣考纲，扎实基础，注重联系，加强训练。

本文万学海文辅导老师们主要阐述如何在复习当中紧扣考纲。考研数学作为标准化考试，其命题范围有明确的规定，2012年考生基础阶段复习主要就是依据考试大纲，详细了解考试的基本要求，类别和难度特点，准确定位。我们以数一中第一章为例：

一、函数、极限、连续

考试内容

函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立

数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限与右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限:

函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质

考试要求

1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系.6.掌握极限的性质及四则运算法则.7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限.9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型.10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质.考试内容中给考生列出了第一章的考试知识点，所以考生在复习过程中首先要弄懂这些知识点。考试要求中标明了对各个知识点的掌握所应该能够达到的程度，一般分为了解、理解、会、掌握，几个层次。

了解：指对该知识点的含义要很清楚，一般在数学中指的是概念、公式、性质、定理及推论等知识内容。比如：了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性等。

但是并不是说了解的内容就只是了解这些性质，知道这些知识点就行了，有人错误的认为了解的知识一般不会考，这种认识是错误的，只要是在考试大纲中出现的考试内容都有可能考到，甚至对要求了解的知识点考的也比较深入。

理解：指要对知识点懂且认识的很清楚。在考研数学当中主要指对概念、定理、推理的知识点及知识点之间的关系。在这里万学海文辅导老师提醒2012年得考生要注意了解和理解的区别，了解偏重于知道，理解在了解的基础上增加了懂得和能够体会其深层次的意思;理解也就是从表到里深层递进的含义。在考研数学大纲中要求理解的知识点考查的较多，比如：理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系等几乎每年必考.会(求、计算、建立、应用、判断等)：其含义为理解、懂得，并根据所学知识能够计算表达式结果、列出方程、画出图形、建立数学模型等。在考研数学大纲中对知识点要求会求、会计算、会建立方程表达式、会描绘等，主要指计算方法、知识点的灵活运用测试的要求;万学海文数学辅导老师提醒大家学习时不仅要记住、理解定理还要会推导，才达到会求解的程度。

掌握：了解、熟知并加以运用。在考研数学大纲中所有知识点的要求中掌握的层次是最高的，要求掌握的知识点往往是考试的重点、热点和难点，比如：掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法等都是每年真题中涉及的内容;万学海文建议2012年得考生在学习时对于大纲要求掌握的知识点不仅要掌握知识点本身还要学习它的推理、证明以及解题时经常用到的结论，同时还要注意与该知识点相关联的知识点及它们之间的关系。

在了解了考研数学大纲内容及要求之后我们就可以有的放矢的进行复习了。古人云：“凡事预则立，不预则废”，这为我们下面能够扎实复习打开了一个美丽的开端。