考研数学之高等数学讲义第七章(考点知识点+概念定理总结)

第一篇：考研数学之高等数学讲义第七章(考点知识点+概念定理总结)

第七章

多元函数积分学

§7.1 二重积分

(甲)内容要点

一、在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序序问题

模型I：设有界闭区域

D(x,y)axb,1(x)y2(x) 其中1(x),2(x)在[a,b]上连续，f(x,y)在D上连续，则

b2(x)f(x,y)df(x,y)dxdydxf(x,y)dyDDa1(x)

模型II：设有界闭区域

D(x,y)cyd,1(y)x2(y)

其中1(y),2(y)在[c,d]上连续，f(x,y)在D上连续

d2(y)

则 f(x,y)df(x,y)dxdydyDDcf(x,y)dx

1(y)关于二重积分的计算主要根据模型I或模型II，把二重积分化为累次积分从而进行计算，对于比较复杂的区域D如果既不符合模型I中关于D的要求，又不符合模型II中关于D的要求，那么就需要把D分解成一些小区域，使得每一个小区域能够符合模型I或模型II中关于区域的要求，利用二重积分性质，把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和，而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算。

在直角坐标系中两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段，具体做法是先把给定的累次积分反过来化为二重积分，求出它的积分区域D，然后根据D再把二重积分化为另外一种顺序的累次积分。

二、在极坐标系中化二重积分为累次积分

在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即先固定对进行积分，然后再对进行积分，由于区域D的不同类型，也有几种常用的模型。

模型I 设有界闭区域

D(,),1()2() 107

其中1(),2()在[,]上连续，f(x,y)f(cos,sin)在D上连续。

2()则 f(x,y)df(cos,sin)dddDD1(f(cos,sin)d)模型II 设有界闭区域D(,),0()其中()在[,]上连续，f(x,y)f(cos,sin)在D上连续。

()则 f(x,y)df(cos,sin)dddf(cos,sin)d

DD0

§7.2 三重积分（数学一）

(甲)内容要点 一、三重积分的计算方法

1、直角坐标系中三重积分化为累次积分

（1）设是空间的有界闭区域

(x,y,z)z1(x,y)zz2(x,y),(x,y)D 其中D是xy平面上的有界闭区域，z1(x,y),z2(x,y)在D上连续函数f(x,y,z)在上连续，则

z2(x,y)

f(x,y,z)dvdxdyDf(x,y,z)dz

z1(x,y)（2）设(x,y,z)z,(x,y)D(z)其中D(z)为竖坐标为z的平面上的有界闭区域，则



f(x,y,z)dvdzf(x,y,z)dxdy

D(z)

2、柱坐标系中三重积分的计算 f(x,y,z)dxdydzf(rcos,rsin,z)rdrddz

相当于把(x,y)化为极坐标（r,）而z保持不变

3、球坐标系中三重积分的计算

xsincosysinsinzcos00 02

f(x,y,z)dxdydzf(sincos,sinsin,cos)2sinddd

§7.3 曲线积分（数学一）

(甲)内容要点

一、第一类 曲线积分（对弧长的曲线积分）参数计算公式

我们只讨论空间情形（平面情形类似）设空间曲线L的参数方程 xx(t),yy(t),zz(t),(t)

则 Lf(x,y,z)dsfx(t),y(t),z(t)x(t)y(t)z(t)dt

222（假设f(x,y,z)和x(t),yt,z(t)皆连续）这样把曲线积分化为定积分来进行计算

二、第二类 曲线积分（对坐标的曲线积分）

参数计算公式

我们只讨论空间情形（平面情形类似）

设空间有向曲线L 的参数方程xx(t),yy(t),zz(t),起点A对应参数为

,始点B对应参数为(注意:现在和的大小不一定)如果P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)皆连续,又x(t),y(t),z(t)也都连续,则LABP(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz

Px(t),y(t),z(t)x(t)Qx(t),y(t),z(t)y(t)Rx(t),y(t),z(t)z(t)dt这样把曲线积分化为定积分来计算。值得注意：如果曲线积分的定向相反，则第二类曲线积分的值差一个负号，而第一类曲线积分的值与定向无关，故曲线不考虑定向。

三、两类曲线积分之间的关系

AB为空间一条逐段光滑有定向的曲线，P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)空间情形：设L=在L上连续，则

ABP(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dzABP(x,y,z)cosQ(x,y,z)cosR(x,y,z)cosds其中cos,cos,cos为曲线弧上AB上点(x,y,z)处沿定向A到B方向的切线的方向余弦.四、格林公式

关于平面区域上的二重积分和它的边界曲线上的曲线之间的关系有一个十分重要的定理，它的结论就是格林公式。定理

1、（单连通区域情形）

设xy平面上有界闭区域D由一条逐段光滑闭曲线L所围的单连通区域，当沿L正定向移动时区域D在L的左边，函数P(x,y),Q(x,y)在D上有连续的一阶偏导数，则有

(DQP)dxdyLPdxQdy xy

五、平面上曲线积分与路径无关的几个等价条件

设P(x,y)，Q(x,y)在单连通区域D内有一阶连续偏导数，则下面几个条件彼此等价 1．任意曲线L=AB 在D内

P(x，y)dxQ(x,y)dx与路径无关

L2．D内任意逐段光滑闭曲线C，都有

Cp(x,y)dxQ(x,y)dy0

3．px,ydxQx,ydydux,y成立 4．D内处处有 QP xy110

§7.4

曲面积分

（数学一）

（甲）内容要点

一、第一类曲面积分（对面积的曲面积分）基本计算公式

设曲面S的方程 zzx,y,x,yD

fx,y,z在2zx,y在D上有连续偏导数，2S上连续，则fx,y,zdsSDzzfx,y,zx,y1dxdy xy这样把第一类曲面积分化为二重积分进行计算

二、第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）基本计算公式

如果曲面S的方程 zzx,y,x,yDxy

Zx,y在Dxy上连续，Rx,y,z在S上连续，则

x,y,zx,ydxdy Rx,y,zdxdyRSDxy若曲面S指定一侧的法向量与Z轴正向成锐角取正号，成钝角取负号，这样把这部分曲面积分化为xy平面上的二重积分，其它两部分类似地处理。

三、两类曲面积分之间的关系

pdydzQdzdxRdxdypcosQcosRcosdS

SS其中cos,cos,cos为曲面S在点x,y,z处根据定向指定一侧的法向量的三个方向余弦

令FP,Q,R,n0cos,cos,cos PdydzQdzdxRdxdyFnds0SS

四、高斯公式

定理 设是由分块光滑曲面

S围成的单连通有界闭区域，Px,y,z,Qx,y,z,Rx,y,z在上有连续的一阶偏导数，则

PQRdvPdydzQdzdxRdxdy xyzS(外侧)PcosQcosRcosdS

S其中cos,cos,cos为S在点x,y,z处的法向量的方向余弦

五、斯托克斯公式

定理：设L是逐段光滑有向闭曲线，S是以L为边界的分块光滑有向曲面，L的正向与S的侧（取法向量的指向）符合右手法则，函数Px,y,z,Qx,y,z,Rx,y,z在包含S的一个空间区域内有连续的一阶偏导数，则有

dydzdzdxdxdyLPdxQdyRdzSxPyQ zRRQQPPRdydzdzdxdxdy yzzxxyS也可用第一类曲面积分

coscosyQcosdS zRLPdxQdyRdzSxP

六、梯度、散度和旋度

1、梯度 设uux,y,z,则graduuuu， xyz称为u的梯度，令则 graduu

，是算子 xyz

2、散度 设FPx,y,z,Qx,y,z,Rx,y,z

PQRF 则 divFxyz称为F的散度

112

f(cos,sin)dddf(cos,sin)dD

0高斯公式可写成divFdvFn0dS

S（外侧）

其中n0cos,cos,cos为外侧单位法向量

3、旋度

设FPx,y,z,Qx,y,z,Rx,y,zijkrotFF xyzPQR＝RQPRQyzizxjxPyk 称为F的旋度。

斯托克斯公式可写成

LFdrrotFn0dS

S其中drdx,dy,dz,n0cos,cos,cos

f(x,y)dD

第二篇：高等数学考研大总结之五 微分中值定理

第五章微分中值定理

一，罗尔（Rolle）中值定理费马（Fermat）引理：设fx在点x0取得极值，且f/x0存在则f/x0=0。解析：几何意义：曲线在极值点处的切线是平行于x轴的。

2罗尔（Rolle）中值定理：函数fx在闭区间a,b上连续，在开区间a,b内可导（每一点都具有导数）并且在闭区间a,b的端点函数值相等，即：fafb，那么在开区间a,b内至少有一点使得f/0。

解析：⑴该定理是奠定一系列中值定理的基础。

⑵此定理反映了由区间端点函数值的情况来表现区间内导函数值的变化情况，给出了点的具体位置和计算方法（与Lagrange中值定理的区别）。

⑶几何意义：若连接曲线两端点的弦是水平的，则曲线上至少有一点的切线是水平的。⑷两个推论：①推论1：如果函数fx在区间a,b内的导数恒等于零，那么函数fx在区间a,b内是一个常数。②推论2：如果函数fx在区间a,b内处处有

。f/xg/x，则在此区间内fxgxC（常数）

二，拉格朗日（Lagrange）中值定理

设函数fx在闭区间a,b上连续且在开区间a,b内可导（每一点都具有导数）那么在开区间a,b内至少有一点ab使等式fbfaf

该定理的其它几种表示形式：⑴f//ba成立。fbfa ba

AB解析：反映其几何意义：如果连接曲线yfx的弧上除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，那么这弧上至少有一点，使曲线在处的切线平行于弦AB。

⑵令aba,01则fbfaf/ababa,01。解析：由于的特定取值范围，所以在证明不等式时较常用，若令ax0,bx0h那么有：fx0hfx0f/x0hh,01。

⑶有限增量公式：如果用x表示ba则函数增量yfbfa，这时该定理变成yf/x。

解析：⑴从理论上与微分的区别：该公式准确的表明了函数增量与自变量增量（不要求其趋第1页

于零或比较小而仅要求其为有限增量）的关系，而微分只能近似的表示这一关系，并且要求

x比较小，而且当x0时dy表示y的误差才趋于零。但在实际应用中仍常用微分去

近似表示函数值的改变量。⑵类比与上式，则还可表示为yf三，柯西(Cauchy)中值定理

设两个函数fx和gx在闭区间a,b上连续且在开区间a,b内可导（每一点都具有导数）且g/x在a,b内每一点均不为零，则在a,b内至少存在一点使得

/

xxx,01。

fbfaf/,ab成立。gbgag/解析：⑴要求分子与分母中的是同一个值。⑵

类

比

于

Lagrange

定

理，此

定

理

可

表

示

为

fx0hfx0f/x0h

,01。

gx0hgx0g/x0h四，Rolle,Lagrange,Cauchy中值定理间的关系

xxfafb

CauchygLagrangeRolle

五，泰勒(Taylor)中值定理定义：若fx在a,b上有直到n阶连续的导数，在开区间a,b上n1阶导数存在，则

对

于

任

意的x,x0a,b

有：

fxfx0

f

/

x0

1！

xx0

f

//

x0

2！

xx0

fnx0xx0nRnx其中

n！

fn1称为余项（与误差估计有关）。其中当x0xx0n1（介于x与x0之间）Rnx

n1！

取零时的泰勒(Taylor)公式称为麦克劳林（Maclaurin）公式。

解析：使复杂函数成为简单函数的有效方法。2 各种形式的泰勒(Taylor)公式

⑴带有皮亚诺（Peano）余项的泰勒

(Taylor)公式：

f/x0f//x0fnx02nn

Taylor:fxfxxxxxxxxx,xx000000

1！2！n！///n

Maclaurin:fxf0f0xf0x2f0xnxn,x01！2！n！





⑵带有Lagrange余项的泰勒(Taylor)公式：

f/x0f//x0fnx0fn12nn1

Taylor:fxfxxxxxxxxx00000

n11！2！n！

///nn1

xxn1,01Maclaurin:fxf0f0xf0x2f0xnf

n11！2！n！

⑶

带

有

Cauchy

余

项的泰

勒

(Taylor)

公

式

：

nfkx0

xx0kfxn1

xnm,xxm!fk！k0Taylor:0m

gkx0n!gn1k

xx0gx 

k！k0

nxx0xnn1fkx0k

xx0fCauchy:令gxx,m0则fxk！n！k0

⑷带有积分余项的泰勒(Taylor)公式：

n

fkx01xn1kn

Taylor:fxxxftxtdt0x0

k！n！k0

kn1n1f0kxnn1Maclaurin:fxxfxt1tdt0k！n！k0常见函数的麦克劳林（Maclaurin）展式

⑴带有皮亚诺（Peano）余项的麦克劳林（Maclaurin）展式：

n

x3x5x2n1x2k1n1k12n

sinxx1x1x2n

2n12k13！5！！k1



2n2kn

x2x4nxkx2n

cosx11x1x2n

2n2k2！4！！k0



kn

xx2xnk1xn

e1x1xn

1！2！n！k！k0x





nkn

x2x3n1xk1xn

ln1xx1x1xn

23nkk1



1x



n

1212n1nnkk

1xxxx1Cxxn2！n！k1

⑵带有Langrange余项的麦克劳林（Maclaurin）展式：

sinx1

k1n

n

k1

x2k1ncosx

1x2n1,012k12n1！

x2kn1cosx

cosx11x2n2,01

2k2n2！k0

k

xkex

exn1,01

！k0k！n1x

n

ln1x1`

k1

n

k1

xkxn1n

1,x1,01n1kn11x

1x



kk

1Cx

k1

n

1n1xn1xn1,x1,01

n1！Taylor公式的应用

⑴求极限。⑵近似计算，误差估计。⑶与幂级数的关系。⑷不等式证明。六，罗比塔（L”Hospital）法则解决问题的情况：

00

。

解析：不是以上两种型的转化为以上型。例如：

“0”型，“”型，“00”型，“0”型，“1”型。需注意的问题：⑴只有未定式才能应用罗比塔（L”Hospital）法则，不是未定式，则不能用罗比塔（L”Hospital）法则，且分子与分母分别求导。

⑵只有

法则。

00

未定式才能直接应用罗比塔（L”Hospital）

00



未定

⑶求其他类型未定式的值时，就首先将其转化为

式，然后才能应用罗比塔（L”Hospital）法则。

⑷可以对未定式反复应用罗比塔（L”Hospital）法则，直到求出确定的极限值为止。⑸用对数方法求极限时还要将结果还原为指数形式。

⑹有些未定式若用罗比塔（L”Hospital）法则求不出它的值时，就改用其它方法计算。

第三篇：2012考研数学重要知识点解析之高等数学(一)

在考研数学复习开始之前，万学海文数学考研辅导专家们提醒2012年的考生们要对考研数学的基本命题趋势和试题难度有比较深刻的认识，根据自己对考研数学的定位，要做到有的放矢的复习，才能达到事半功倍的效果。

复习备考的主要策略：紧扣考纲，扎实基础，注重联系，加强训练。

本文万学海文辅导老师们主要阐述如何在复习当中紧扣考纲。考研数学作为标准化考试，其命题范围有明确的规定，2012年考生基础阶段复习主要就是依据考试大纲，详细了解考试的基本要求，类别和难度特点，准确定位。我们以数一中第一章为例：

一、函数、极限、连续

考试内容

函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立

数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限与右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限:

函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质

考试要求

1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系.6.掌握极限的性质及四则运算法则.7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限.9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型.10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质.考试内容中给考生列出了第一章的考试知识点，所以考生在复习过程中首先要弄懂这些知识点。考试要求中标明了对各个知识点的掌握所应该能够达到的程度，一般分为了解、理解、会、掌握，几个层次。

了解：指对该知识点的含义要很清楚，一般在数学中指的是概念、公式、性质、定理及推论等知识内容。比如：了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性等。

但是并不是说了解的内容就只是了解这些性质，知道这些知识点就行了，有人错误的认为了解的知识一般不会考，这种认识是错误的，只要是在考试大纲中出现的考试内容都有可能考到，甚至对要求了解的知识点考的也比较深入。

理解：指要对知识点懂且认识的很清楚。在考研数学当中主要指对概念、定理、推理的知识点及知识点之间的关系。在这里万学海文辅导老师提醒2012年得考生要注意了解和理解的区别，了解偏重于知道，理解在了解的基础上增加了懂得和能够体会其深层次的意思;理解也就是从表到里深层递进的含义。在考研数学大纲中要求理解的知识点考查的较多，比如：理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系等几乎每年必考.会(求、计算、建立、应用、判断等)：其含义为理解、懂得，并根据所学知识能够计算表达式结果、列出方程、画出图形、建立数学模型等。在考研数学大纲中对知识点要求会求、会计算、会建立方程表达式、会描绘等，主要指计算方法、知识点的灵活运用测试的要求;万学海文数学辅导老师提醒大家学习时不仅要记住、理解定理还要会推导，才达到会求解的程度。

掌握：了解、熟知并加以运用。在考研数学大纲中所有知识点的要求中掌握的层次是最高的，要求掌握的知识点往往是考试的重点、热点和难点，比如：掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法等都是每年真题中涉及的内容;万学海文建议2012年得考生在学习时对于大纲要求掌握的知识点不仅要掌握知识点本身还要学习它的推理、证明以及解题时经常用到的结论，同时还要注意与该知识点相关联的知识点及它们之间的关系。

在了解了考研数学大纲内容及要求之后我们就可以有的放矢的进行复习了。古人云：“凡事预则立，不预则废”，这为我们下面能够扎实复习打开了一个美丽的开端。

第四篇：高等数学考研知识点总结5

@第五讲 中值定理的证明技巧

一、考试要求

1、理解闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，有界性定理，介值定理），并会应用这些性质。

2、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理，了解并会用柯西中值定理。掌握这四个定理的简单应用（经济）。

3、了解定积分中值定理。

二、内容提要

1、介值定理（根的存在性定理）

（1）介值定理

在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M 与最小值m之间的任何值.（2）零点定理

设f(x)在[a、b]连续，且f(a)f(b)＜0，则至少存在一点,c(a、b)，使得f(c)=0

2、罗尔定理

若函数f(x)满足：

（1）f(x)在a,b上连续（2）f(x)在(a,b)内可导（3）f(a)f(b)

则一定存在(a,b)使得f'()0

3、拉格朗日中值定理

若函数f(x)满足：

（1）f(x)在a,b上连续（2）f(x)在(a,b)内可导

则一定存在(a,b)，使得f(b)f(a)f'()(ba)

4、柯西中值定理

若函数f(x),g(x)满足:（1）在a,b上连续（2）在(a,b)内可导（3）g'(x)0

f(b)f(a)f'()g'()则至少有一点(a,b)使得g(b)g(a)

5、泰勒公式

x如果函数f(x)在含有0的某个开区间(a,b)内具有直到n1阶导数 则当x在(a,b)内时 f(x)可以表示为xx的一个n次多项式与一个余项Rn(x)之和，即

0f(x)f(x0)f(x0)(xx0)1f(x0)(xx0)2    1f(n)(x0)(xx0)nRn(x)2!n!

f(n1)()Rn(x)(xx0)n1x(n1)!其中(介于0与x之间)

在需要用到泰勒公式时，必须要搞清楚三点：

1．展开的基点； 2．展开的阶数；

3．余项的形式．

其中余项的形式，一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公式，在证明不等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式．

而基点和阶数，要根据具体的问题来确定．

6、积分中值定理

若f(x)在[a、b]上连续，则至少存在一点c∈[a、b]，使得

baf(x)dx=f(c)(b-a)

三、典型题型与例题

题型一、与连续函数相关的问题（证明存在使f()0或方程f(x)=0有根）方法：大多用介值定理 f(x)满足：在[a,b]上连续；f(a)f(b)<0.思路：1）直接法

2）间接法或辅助函数法

例

1、设f(x)在[a,b]上连续，ax1x2xnb,ci0(i1,2,,n)，证明存在[a,b]，使得

f()c1f(x1)c2f(x2)cnf(xn)

c1c2cn例

2、设ba0,f(x)在[a,b]上连续、单调递增，且f(x)0，证明存在(a,b)

使得

a2f(b)b2f(a)22f()

*例

3、设f(x)在[a,b]上连续且f(x)0，证明存在(a,b)使得

af(x)dxf(x)dxb1bf(x)dx。2a

.例

4、设f(x),g(x)在[a,b]上连续，证明存在(a,b)使得

例

5、设f(x)在[0,1]上连续，且f(x)<1.证明：2xf(t)dt1在(0,1)内有且仅

0xg()f(x)dxf()g(x)dx

ab有一个实根。例

6、设实数a1,a2,,an满足关系式a1ana2(1)n10，证明方程 32n1

a1coxsa2co3sxancos2(n1)x0，在(0,)内至少有一实根。

2例

7、（0234，6分）

设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，且g(x)>0,利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点[a,b]使得

题型

二、验证满足某中值定理

3x2,x12例

8、验证函数f(x)，在[0，2]上满足拉格朗日中值定理，并求

1,x1x满足定理的

baf(x)g(x)dxf()g(x)dx

ab题型

三、证明存在, 使f(n)()0(n=1,2,…)

方法：

1、用费马定理

2、用罗尔定理（或多次用罗尔定理）

3、用泰勒公式

思路：可考虑函数f(n1)(x)

例

9、设f(x)在[a,b]上可导且f(a)f(b)0，证明至少存在一个

(a,b)使得f()0

例

10、设f(x)在[0,3]上连续，在（0,3）内可导，且f(0)f(1)f(2)3,f(3)1，证明存在一个(0,3)使得f()0

*例

11、设f(x)在[0,2]上连续，在（0，2）内具有二阶导数且

1f(x)lim0,21f(x)dxf(2)，证明存在(0,2)使得f()0 12xcosx2 题型

四、证明存在, 使G(,f(),f())0

方法：1）用罗尔定理（原函数法，常微分方程法），2）直接用拉格朗日中值定理和柯西中值定理（要求a,b分离）

思路：1）换为x

2）恒等变形，便于积分 3）积分或解微分方程

4）分离常数：F(x,f(x))C F(x,f(x))即为辅助函数(1)用罗尔定理 1)原函数法:

步骤：将换为x;

恒等变形，便于积分；

求原函数，取c=0； 移项，得F(x).例

12、设f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且g(x)0(x(a,b))，求证

f(a)f()f()存在(a,b)使得

g()g(b)g()

例

13、（0134）设f(x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且

f(1)kxe1xf(x)dx,k1

证明：在(0,1)内至少存在一点, 使 f()(11)f().1k0例

14、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)>0,f(a)f(在[a,b]上连续，试证对(a,b),使得f()g()f()..ab)0, g(x)2*例

15、设f(x)在[0，1]上连续，在（0，1）内一阶可导，且f(x)dx0,xf(x)dx0.0011试证：(0,1),使得 f()(11)f()..2)常微分方程法:

适用: ,f()(,f())

步骤：x,f(x)(x,f(x))

解方程 G(x,f(x))c

令 F(x)G(x,f(x))

例

16、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)，证明存在(a,b)使得f()f()*例

17、设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1, 证明：对任意实数,必存在（0，1), 使得f()[f()]

1(2)直接用拉格朗日或柯西中值定理

例18、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求证存在(a,b)，使得

bf(b)af(a)f()f()

ba

例

19、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求证存在(a,b)，使得

bn1baf(a)anf(b)n1[nf()f()],n1

例20、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导(0ab)，求证存在(a,b)，b使得 f(b)f(a)lnf()

a例

21、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导(0ab)，求证存在(a,b)，f(b)f(a)f()使得

(a2abb2)2ba3

题型

5、含有f()(或更高阶导数)的介值问题

方法：1）原函数法（对f(x)仍用微分中值定理:罗尔定理，拉格朗日，柯 西中值定理）；

2）泰勒公式

例

22、设f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=f(1), 试证至少存在一个(0,1), 使

2f()f()

1

例

23、（012，8分）设f(x)在[a,a](a0)上具有二阶连续导数，f(0)=0(1)写出f(x)的带拉氏余项的一阶麦克劳林公式。(2)证明在[a,a]上至少存在一个使得

af()3f(x)dx

a3a例

24、设f(x)在[－1, 1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0, f(1)=1, f(0)=0, 证明: 在(-1,1)内存在一点，使得f()3..例

25、（103）设函数f(x)在闭区间[0, 3]上连续, 在开区间(0, 3)内二阶可导, 且 f(0)=20f(x)dx= f(2)+ f(3).(I)证明存在  (0, 2), 使得f()= f(0);(II)证明存在  (0, 3), 使得 f()=0..题型

6、双介值问题F(,,)0

方法：1）同时两次用拉格朗日中值定理或柯西中值定理 2）用一次后再用一次中值定理

例

26、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，0ab，求证存在,(a,b)使f()得f()(ab)

2

例

27、（051，12分）已知函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)0,f(1)1

证明：（1）存在(0,1)，使得f()1

（2）存在两个不同的点,(0,1)使得f()f()1 题型

7、综合题

*例

29、（011，7分）

设函数f(x)在（-1,1）内具有二阶连续导数，且f(x)0，试证（1）对于(-1,1)内的任意x0,存在唯一的(x)(0,1)使得

f

f(x)f(0)x((x成立)x

1（2）lim(x)

x0

2例29、试证明若f(x)在[a,b]上存在二阶导数，且f(a)f(b)0，则存在4(a,b)使得f()f(b)f(a)2(ba)*例30、设e

aeaeblnalnb0 1

b1e13

第五篇：2018考研数学三高等数学考点知多少

2018考研数学三高等数学考点知多少

来源：智阅网

高等数学是考研数学三中很重要的学科，所以，就让大家一起来了解一下高等数学的常考知识点吧！

1.函数、极限与连续：主要考查极限的计算或已知极限确定原式中的常数;讨论函数连续性和判断间断点类型;无穷小阶的比较;讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。

2.一元函数微分学：主要考查导数与微分的定义;各种函数导数与微分的计算;利用洛比达法则求不定式极限;函数极值;方程的的个数;证明函数不等式;与中值定理相关的证明;最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用;用导数研究函数性态和描绘函数图形;求曲线渐近线。

3.一元函数积分学：主要考查不定积分、定积分及广义积分的计算;变上限积分的求导、极限等;积分中值定理和积分性质的证明;定积分的应用，如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等。

4.多元函数微分学：主要考查偏导数存在、可微、连续的判断;多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数;多元函数极值或条件极值在与经济上的应用;二元连续函数在有界平面区域上的最大值和最小值。此外，数学一还要求会计算方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。

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