第二章导数与微分总结

第一篇：第二章导数与微分总结

第二章 导数与微分总结

一、导数与微分概念

1．导数的定义

设函数yfx在点x0的某领域内有定义，自变量x在x0处有增量x，相应地函数增量yfx0xfx0。如果极限

limfx0xfx0y limx0xx0x，存在，则称此极限值为函数fx在x0处的导数（也称微商），记作fx0，或yxx0dfxdy，等，并称函数yfx在点x0处可导。如果上面的极限不存在，xxxxdxdx00则称函数yfx在点x0处不可导。

导数定义的另一等价形式，令xx0x，xxx0，则fx0limxx0fxfx0

xx0fxfx0fx0xfx0lim x0xx0xfxfx0fx0xfx0lim x0xx0x

我们也引进单侧导数概念。

右导数：fx0limxx0

左导数：fx0limxx0

则有

fx在点x0处可导fx在点x0处左、右导数皆存在且相等。

2．导数的几何意义与物理意义

如果函数yfx在点x0处导数fx0存在，则在几何上fx0表示曲线yfx在点x0,fx0处的切线的斜率。

切线方程：yfx0fx0xx0

法线方程：yfx01xx0fx00 fx0

设物体作直线运动时路程S与时间t的函数关系为Sft，如果ft0存在，则ft0表示物体在时刻t0时的瞬时速度。

3．函数的可导性与连续性之间的关系

如果函数yfx在点x0处可导，则fx在点x0处一定连续，反之不然，即函数yfx在点x0处连续，却不一定在点x0处可导。例如，yfxx，在x00处连续，却不可导。

4．微分的定义

设函数yfx在点x0处有增量x时，如果函数的增量yfx0xfx0有下面的表达式

yAx0xox

x0

其中Ax0为x为无关，ox是x0时比x高阶的无穷小，则称fx在x0处可微，并把y中的主要线性部分Ax0x称为fx在x0处的微分，记以dy或

xx0dfxxx0。

我们定义自变量的微分dx就是x。

5．微分的几何意义

yfx0xfx0是曲线yfx在点x0处相应于自变量增量x的纵坐标fx0的增量，微分dy增量（见图）。xx0是曲线yfx在点M0x0,fx0处切线的纵坐标相应的6．可微与可导的关系

fx在x0处可微fx在x0处可导。

且dyxx0Ax0xfx0dx

一般地，yfx则dyfxdx

所以导数fxdy也称为微商，就是微分之商的含义。dx

7．高阶导数的概念

如果函数yfx的导数yfx在点x0处仍是可导的，则把yfx在点x0处

d2y的导数称为yfx在点x0处的二阶导数，记以y，或fx0，或等，xx0dx2xx0也称fx在点x0处二阶可导。

如果yfx的n1阶导数的导数存在，称为yfx的n阶导数，记以yn，dnyyx，n等，这时也称yfx是n阶可导。

dxn

二、导数与微分计算

1．导数与微分表（略）

2．导数与微分的运算法则

（1）四则运算求导和微分公式

[f1f2]f1f2f1f2

[f1f2f3]f1f2f3f1f2f3f1f2f3 '''''''f'f'gfg'

() 2gg

（2）反函数求导公式

设yf(x)的反函数为xg(y)，则g(y)

（3）复合函数求导和微分公式

设yf(u),ug(x)，则

（4）隐函数求导法则

每一次对x求导，把y看作中间变量，然后解出y

例：exy''11 ''f(x)f[g(y)]dydyduf'[g(x)]g'(x)dxdudxsin(3x2y)5x6y7，确定yy(x)，求y'

解：两边每一项对x求导，把y看作中间变量

exy(1y')[cos(3x2y)](32y')56y'0

'

然后把y解出来

（5）对数求导法

取对数后，用隐函数求导法则

y

lny

求导得

(x1)(x2)

(x3)(x4)1[ln(x1)ln(x2)ln(x3)ln(x4)] 2y'11111()y2x1x2x3x4

解出y'

yxxx0

xlnx

ye 解出y'

lnyxlnx

y'lnx1解出y' y

（6）用参数表示函数的求导公式

dydydt'(t)设x(t),y(t),则dxdx'(t)dt

('(t)0)

第二篇：导数与微分(教案)

重庆工商大学融智学院

《微积分》教案

（上册）

章节名称： 第三章导数与微分 主讲教师： 联系方式：

岳斯玮 ***

《微积分》（上册）教案

第三章 导数与微分

本章教学目标与要求

理解导数的概念，会利用导数定义求导数。了解导数的物理意义（速度），几何意义（切线的斜率）和经济意义（边际），掌握基本初等函数的导数公式，导数的四则运算法则，复合函数求导法则。掌握反函数和隐函数求导法，对数求导法。理解可导性与连续性的关系。了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。理解微分的概念，导数与微分之间的关系，以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。了解导数在经济中的应用

本章教学重点与难点

1．导数概念及其求导法则； 2．隐函数的导数； 3．复合函数求导；

4．微分的概念，可微和可导的关系，微分的计算

§3.1 导数的概念

教学目的与要求

1.理解函数导数的概念及其几何意义.2.掌握基本初等函数的导数，会求平面曲线的切线和法线.3.了解导数与导函数的区别和联系.4.理解左右导数的概念、可导与连续的关系.教学重点与难点

1.函数导数的概念、基本初等函数的导数

2.函数导数的概念、利用定义求函数在某一点的导数

教学过程

一、引例

导数的思想最初是由法国数学家费马(Fermat)为研究极值问题而引入的，但与导数概念直接相联系的是以下两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线．这是由英国数学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼茨(Leibniz)分别在研究力学和几何学过程中建立起来的．

下面我们以这两个问题为背景引入导数的概念．

《微积分》（上册）教案

1．瞬时速度

思考：已知一质点的运动规律为ss(t)，t0为某一确定时刻，求质点在t0时刻的速度。在中学里我们学过平均速度

s，平均速度只能使我们对物体在一段时间内的运动大致t情况有个了解，这不但对于火箭发射控制不够，就是对于比火箭速度慢的多的火车、汽车运行情况也是不够的，火车上坡、下坡、转弯、穿隧道时速度都有一定的要求，至于火箭升空那就不仅要掌握火箭的速度，而且要掌握火箭飞行速度的变化规律.不过瞬时速度的概念并不神秘，它可以通过平均速度的概念来把握.根据牛顿第一运动定理，物体运动具有惯性，不管它的速度变化多么快，在一段充分短的时间内，它的速度变化总是不大的，可以近似看成匀速运动.通常把这种近似代替称为“以匀代不匀”.设质点运动的路程是时间的函数 s(t)，则质点在 t0到 t0t 这段时间内的平均速度为

vs(t0t)s(t0)

t可以看出它是质点在时刻t0速度的一个近似值，t越小，平均速度 v 与 t0时刻的瞬时速度越接近.故当t0时，平均速度v就发生了一个质的飞跃，平均速度转化为物体在t0时刻的瞬时速度，即物体在 t0时刻的瞬时速度为

vlimvlimt0_s(t0t)s(t0)（1）

t0t思考：按照这种思想和方法如何计算自由落体的瞬时速度？ 因为自由落体运动的运动方程为：

s12gt，2按照上面的公式，可知自由落体运动在t0时刻的瞬时速度为

112g(t0t)2gt0s(tt)s(t0)12v(t0)lim0lim2lim(gt0gt)gt0。t0t0t00tt2这正是我们高中物理上自由落体运动的速度公式.2．切线的斜率

思考：圆的的切线的定义是什么？这个定义适用于一般的切线吗？

引导学生得出答案：与圆只有一个交点的直线叫做圆的切线，但这个定义只适用于圆周曲线，并不适用于一般的曲线.因此，曲线的某一点的切线应重新定义.（1）切线的概念

《微积分》（上册）教案

曲线C上一点M的切线的是指：在M外另取C上的一点N，作割线MN，当点N沿曲线C趋向点M时，如果割线MN绕点M转动而趋向极限位置MT，直线MT就叫做曲线C在点M处的切线。简单说：切线是割线的极限位置。这里的极限位置的含义是：只要弦长MN趋于0，NMT也趋向于0.（如图所示）

（2）求切线的斜率

设曲线C为函数yf(x)的图形，M(x0,y0)C，则y0f(x0)，点N(x0x,y0y)为曲线C上一动点，割线MN的斜率为：

yf(x0x)f(x0)xx根据切线的定义可知，当点N沿曲线C趋于M时，即x0，割线的斜率趋向于切线的tan斜率。也就是说，如果x0时，上式的极限存在，则此极限便为切线的斜率记为k，即

ktanlimf(x0x)f(x0)y

（2）limx0xx0x3.边际成本

设某产品的成本C是产量x的函数CC(x)，试确定产量为x0个单位时的边际成本。用前两例类似的方法处理得：

CC(x0x)C(x0)表示由产量x0变到x0x时的平均成本，如果极限 xxCC(x0x)C(x0)

（3）

limx0xx存在，则此极限就表示产量为x0个单位时成本的变化率或边际成本。

思考：上述三个问题的结果有没有共同点？

上述两问题中，第一个是物理学的问题，第二个是几何学问题，第三个是经济学问题，分属不同的学科，但问题都归结到求形如

lim

x0f(x0x)f(x0）

（4）

x68

《微积分》（上册）教案 的极限问题.事实上，在学习物理学时会发现，在计算诸如物质比热、电流强度、线密度等问题中，尽管其背景各不相同，但最终都归化为讨论形如（4）的极限问题.为了统一解决这些问题，引进“导数”的概念.二、导数的定义

1．导数的概念

定义

设函数yf(x)在点x0的某邻域内有定义，当自变量x在点x0处取得增量x（点x0x仍在该邻域内）时，函数相应地取得增量yf(x0x)f(x0)，如果极限

f(x0x)f(x0)y limx0xx0xlim存在，则这个极限叫做函数f(x)在点x0处的导数，记为

y'xx0,f(x0),dydxxx0或df(x)dxxx0

当函数f(x)在点x0处的导数存在时，就说函数f(x)在点x0处可导，否则就说f(x)在点x0处不可导.特别地，当x0时，点x0处的导数为无穷大.关于导数有几点说明：

（1）导数除了定义中的形式外，也可以取不同的形式，常见的有

y，为了方便起见，有时就说yf(x)在xf(x0)limh0f(x0h)f(x0)

hf(x)f(x0)

xx0f(x0)lim（2）

xx0yf(x0x)f(x0)反映是自变量 x 从x0改变到x0x时，函数f(x)的xxy'平均变化速度，称为函数f(x)的平均变化率；而导数f(x0)lim反映的是函数f(x)x0x在点x0处的变化速度，称为函数f(x)在点x0处的变化率。

2．导函数的概念

《微积分》（上册）教案

上面讲的是函数在某一点处可导，如果函数yf(x)在开区间I的每一点都可导，就称函数yf(x)在开区间I上可导，这时，xI，都对应f(x)的一个确定的导数值，就构成一个新的函数，这个函数叫做yf(x)的导函数，记作：

y',f'(x),即，导函数的定义式为：

dydf(x)。或dxdxf(xx)f(x)f(xh)f(x)或f(x)lim.x0h0xh在这两个式子中，x可以取区间I的任意数，然而在极限过程中，x是常量，x或h才ylim是变量；并且导数f(x0)恰是导函数f(x)在点x0处的函数值.''3.单侧导数的概念

我们知道在极限有左、右极限之分，而导数实质是一个“比值”的极限。因此，根据左右极限的定义，不难得出函数左右导数的概念。

定义

极限limx0f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)和lim分别叫做函数x0xxf(x)在点x0处的左导数和右导数，记为f(x0)和f(x0).如同左、右极限与极限之间的关系，显然：

函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是左导数f(x0)和右导数f(x0)都存在并且相等.还应说明：如果f(x)在开区间(a,b)上可导，且f(a)和f(b)都存在，就说f(x)在闭区间[a,b]上可导.三、按定义求导数举例

1．根据定义求函数的导数的步骤

根据导数的定义可以总结出求函数某一点的步骤为： ① 求增量：yf(xx)f(x)

yf(xx)f(x)xxy③ 求极限：ylim

x0x2．运用举例 ② 算比值： 70

《微积分》（上册）教案

例

1求yC的导数（C为常数）.解 求增量yCC0

y0 xy取极限

lim0

x0x作比值

所以

(C)0

即常量的导数等于零.例

2求函数yx(xN)的导数.解 y(xx)xnxnnn1n'xn(n1)n2x(x)2(x)n，2!yn(n1)n2nxn1xx(x)n1，x2!yy'limnxn1，x0x即

(xn)'nxn1

注意：以后会证明当指数为任意实数时，公式仍成立，即

(x)x1.'例如：(x)(R)

12x1'，(x)1x2

例3 求f(x)sinx的导数.解

(sinx)lim'f(xh)f(x)sin(xh)sinxlim

h0h0hhhsinh2cosx limcos(x)h0h22即

(sinx)'cosx.用类似方法，可求得

(cosx)'sinx.71

《微积分》（上册）教案

例4 求ylogax(a0,a1)的导数.hloga(1)loga(xh)logaxx 解 y'limlimh0h0hhhloga(1)x11hxlimlog(1)h limah0hxxh0xx1logae x所以

(logax)'特别地，当ae时，有

1logae x(lnx)'例5 教材例3.4 x

四、导数的几何意义

由前面对切线问题的讨论及导数的定义可知：函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)在几何上表示曲线yf(x)在点M（x0,f(x0)）处的切线的斜率。因此，曲线yf(x)在点M（x0,f(x0)）处的切线方程为

'yy0f(x0)(xx0).思考：曲线某一点处切线和法线有什么关系？能否根据点M处切线的斜率求点M处的法线方程？

根据法线的定义：过点M（x0,f(x0)）且垂直于曲线yf(x)在该点处的切线的直线叫做曲线yf(x)在点M（x0,f(x0)）处的法线.如果f(x0)0，根据解析几何的知识可知，切线与法线的斜率互为倒数，则可得点M处法线方程为：

yy0例6 求双曲线y程.1(xx0).f(x0)11在点(,2)处的切线的斜率，并写出该点处的切线方程和法线方

2x 72

《微积分》（上册）教案

解

根据导数的几何意义知，所求的切线的斜率为：

ky'所以切线的方程为

121()'x121x2124

1y24(x)，2即 4xy40.法线的方程为

11y2(x)，42即

2x8y150.五、可导与连续的关系

定理 函数在某点处可导，则一定在该点连续.证明：因为如果函数yf(x)在点x处可导，即

yf(x0)x0x，lim从而有

yf(x0)x，其中，0(x0)，于是

yf(x0)xx，因而，当x0时，有y0。这说明函数f(x)在点x处连续。

思考：定理的逆命题成立吗？

例7 讨论函数f(x)x在x0处是否可导。解

因f(0)limf(0x)f(0)xlim1，h0h0xxf(0x)f(0)xf(0)limlim1，h0h0xx即f(x)在点x0处的左导数、右导数都存在但不相等，从而f(x)x在x0处不可导。

《微积分》（上册）教案

注意：通过例7可知，函数f(x)x在原点（0,0）处虽然连续，但该点却不可导，所以函数在某点处可导，则一定连续，反之不一定成立.课堂小结

1.导数的表达式：limf(x0x)f(x0)y limx0xx0x2.基本初等函数的导数：

(C)'0(x)nxn'n1(sinx)'cosx(cosx)'sinx

(logax)'11logae(lnx)'(ax)'axlna(ex)'ex xx3.可导与连续的关系：函数在某点处可导，则一定在该点连续，反之不一定成立。4.导数的几何意义：函数某一点处的导数值，在几何表示为曲线在此点的切线的斜率。

《微积分》（上册）教案

§3.2 求导法则与导数的基本公式

教学目标与要求

1.掌握并能运用函数的和、差、积、商的求导法则 2.理解反函数的导数并能应用；

3.理解复合函数的导数并会求复合函数的导数； 4.掌握隐函数的求导方法； 5.掌握并能运用对数求导法；

6.熟记求导法则以及基本初等函数的导数公式。

教学重点与难度

1.会用函数的和、差、积、商的求导法则求导； 2.会求反函数的导数； 3.会求复合函数的导数

4.会求隐函数的导数以及能运用对数求导法。

教学过程

前面，我们根据导数的定义，求出了一些简单函数的导数。但是，如果对每一个函数都用定义去求它的导数,有时候将是一件非常复杂或困难的事情。因此，本节介绍求导数的几个基本法则和基本初等函数的导数公式。鉴于初等函数的定义，有了这些法则和公式，就能比较方便地求出常见的函数——初等函数的导数。

一、函数的和、差、积、商求导法则

1.函数的和、差求导法则

定理1 函数u(x)与v(x)在点x处可导，则函数yu(x)v(x)在点x处也可导，且

y'[u(x)v(x)]'u'(x)v'(x)。

同理可证：[u(x)v(x)]u(x)v(x)即证。

''' 75

《微积分》（上册）教案

注意：这个法则可以推广到有限个函数的代数和，即

''[u1(x)u2(x)un(x)]'u1'(x)u2(x)un(x)，即有限个函数代数和的导数等于导数的代数和。

例1 教材例3.9

2.函数积的求导公式

定理2 函数u(x)与v(x)在点x处可导，则函数yu(x)v(x)在点x也可导，且

y'[u(x)v(x)]'u'(x)v(x)u(x)v'(x)。

注意：1）特别地，当uc（c为常数）时，y'[cv(x)]'cv'(x)，即常数因子可以从导数的符号中提出来。而且将其与和、差的求导法则结合，可得：

y'[au(x)bv(x)]'au'(x)bv'(x)。

2）函数积的求导法则，也可以推广到有限个函数乘积的情形，即

''(u1u2un)'u1'u2unu1u2unu1u2un。

例2 求下列函数的导数。

1）y3x2x5x4sinx；

2）y3x4lnx5cosx。解 1）323

《微积分》（上册）教案

2）y'4x45sinx x3例3 求下列函数的导数（教材例3.10）。

sinx；

2）yx1）yx4xlnxcosx

解

1）3y'(x34xsinx)'(x3)'4[(x)'sinxx(sinx)'] 2sinx3x4(sinxxcosx)3x4xcosx2xx2122）

y'(x3lnxcosx)'(x3)'lnxcosxx3(lnx)'cosxx3lnx(cosx)'13x2lnxcosxx3cosxx3lnxsinxxx2(3lnxcosxcosxxlnxsinx)

3.函数商的求导法则

定理3 函数u(x)与v(x)在点x处可导，且v(x)0，则函数y导，且

u(x)在点x处也可v(x)u(x)'u'(x)v(x)u(x)v'(x)y[]。

v(x)v2(x)'

《微积分》（上册）教案

注意：特别地，当uc（c为常数）时，c'cv'(x)y[]2(v(x)0)。

v(x)v(x)'

思考：请各位同学总结一下三角函数的导数公式。

《微积分》（上册）教案

总结：根据上一节中求出的正弦和余弦的导数公式，可得三角函数的导数为：

二、反函数的导数

想一想：在基本初等函数中，还有那么函数没有求导法则？

在基本初等函数中，我们还有反三角函数和指数函数的导数求法没有讨论，如何求呢？易知，反三角函数和指数函数分别是三角函数和对数函数的反函数。能否通过三角函数和对数函数的导数来求反三角函数和指数函数呢？这是可以的，这就是我们下面将要介绍的反函数的导数：

定理4 设函数yf(x)在某一区间是单调连续，在区间任一点x处可导，且f(x)0，则它的反函数xf1(y)在相应区间内也处处可导，且

[f1(x)]'或 f'(x)[f(x)]'1

[f1(x)]'1证 因为函数yf(x)在某一区间内是单调连续函数，可知其反函数xf应区间内也是单调连续函数。

当yf(x)的反函数xf的单调性知xf11(y)在相

1(y)的自变量y取得改变量y(y0)时，由xf(y)(yy)f1(y)0，于是

x1 yyx

《微积分》（上册）教案

又因为xf1(y)连续，所以当y0时，x0。由条件知f(x)0，所以

[f1(y)]'lim故

x111 lim'y0yx0yyf(x)limx0xx11'或。[f(x)]f'(x)[f1(x)]'[f1(x)]'即证。

例6 求下列反三角函数的导数。

1）yarcsinx；

2）yarccosx；

3）yarctanx；

4）yarccotx。

例7 求函数ya(a0,a1)的导数。

解 由于ya(x(,))为对数函数xlogay(y(0,))的反函数，根据反函数的导数法则得 xxy'(ax)'所以，指数函数的导数公式为

1xylnaalna '(logay)(ax)'axlna

特别地，当ae时，有

(ex)'ex

三、复合函数的求导法则

《微积分》（上册）教案

综上，我们对基本初等函数的导数都进行讨论，根据基本初等函数的求导公式，以及求导法则，就可以求一些较复杂的初等函数了。但是，在初等函数的构成过程中，除了四则运算外，还有复合函数形式，例如：ysin2x。

思考：如果ysin2x，是否有(sin2x)cos2x？

因此，要完全解决初等函数的求导法则还必须研究复合函数的求导法则。

定理 设函数u(x)在点x处有导数ux(x)，函数yf(u)在对应点u处有导数yuf(u)，则复合函数yf[(x)]在点x处也有导数，且 '''''(f[(x)])'f'(u)'(x)

简记为dydydu'''yuux。或yxdxdudx（证明略）

注意：（1）复合函数的求导法则表明：复合函数对自变量的的导数等于复合函数对中间变量求导乘以中间变量对自变量求导。这种从外向内逐层的求导的方法，形象称为链式法则。

（2）复合函数的求导法则可以推广到有限个中间变量的情形。例如，设yf(u)，ug(v),v(x)，则

dydydudv''''yuuvvx 或yxdxdudvdx（3）在熟练掌握复合函数的求导法则后，求导时不必写出具体的复合步骤。只需记住哪些变量是自变量，哪些变量是中间变量，然后由外向内逐层依次求导。

例8

教材例3.15 例9

教材例3.16 例10 求幂函数yx的导数。

u

例11 教材例3.17（抽象函数求导）例12 求下列函数的导数。

1）yf()；

2）ye1xf(x)。

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四、隐函数的导数及对数求导法

1.隐函数的导数

（1）隐函数的概念

函数yf(x)表示两个变量y与x之间的对应关系，这种对应关系可以用各种不同的方式表达。例如ysinx,ylnx1等，用这种方式表达的函数称为y是x得显函数。而有些函数自变量x与因变量y之间的对应规律是由一个包含x，y的方程F(x,y)0来确定的，例如xy1,y5yx0等，用这种方式表达的函数称为y为x的隐函数。

（2）隐函数的求导方法

1）可以化为显函数的隐函数：先化为显函数，再用前面所学的方法求导。

2）不易或不能化为显函数的隐函数：将方程两边同时对自变量x求导，对与只含x的项，按通常的方法求导，对于含有y以及y的函数的项求导时，则分别作为x的函数和x的复合函数求导。这样求导后，就得到一个含有x，y，y的等式，从等式中解出y，即得隐函数的导数。

（3）隐函数求导举例

例13（教材例3.18）由方程exye0确定y是x得函数，求y的导数。解

将方程中的y看成x的函数yf(x)，利用复合函数的求导法则，将方程两边同时对x求导得

y2235''eyy'yxy'00，解出y'yy(xe0)。yxe

例1

4教材例3.19

2.对数求导法

（1）方法

对于某些类型的函数，可以采用先取对数，变成隐函数，利用隐函数的求导方法：对x求导,解出y的方法求导。即所谓的对数求导法。

'《微积分》（上册）教案

（2）适用范围：

对数求导法对幂指函数y[f(x)]g(x)与多个函数乘积的形式特别方便。它可以使积、商导数的运算化为和、差的导数运算。

例1

5求函数yx(x0)的导数。

x

例16 教材例3.22

课堂小结

想一想：求导法则、基本初等函数的公式、反函数求导法则、复合函数的求导法则？

通过本节以及上一节学习，到目前为止。我们已经学习了全部初等函数的求导公式和函数的求导法则，以及反函数、复合函数、隐函数的求导法则。从而解决了初等函数的求导问题。这些公式和法则是基础，所以，必须要牢记和熟记。归纳如下：

1.求导法则

（1）[uv]uv

（2）(uv)uvuv ''''''u'u'vuv'(v0)（3）(cu)cu（c为常数）

（4）()vv2''c'cv'（5）()2（c为常数）

vv（6）[f'1(y)]'''1(f'(x)0)'f(x)ux，其中yf(u),u(x)（7）yxyu 83

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2.基本初等函数的导数公式

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§3.3 高阶导数

教学目标与要求

1.高阶导数的定义以及求法； 2.熟记一些常见函数的高阶导数公式。

教学重点与难点

高阶导数的求法

教学过程

一、回顾一阶导数的相关概念

1．导数的定义 2．到函数的概念

二、高阶导数

1.高阶导数的定义

思考：什么是变速直线运动物体的加速度？

前面讲过，若质点的运动方程ss(t)，则物体的运动速度为v(t)s(t)，或v(t)ds，dt而加速度a(t)是速度v(t)对时间t的变化率，即a(t)是速度v(t)对时间t的导数：a(t)dvdtdds由上可见，加速度是s(t)的()或v(t)(s(t))，dtdt导函数的导数，这样就产生了高阶导数，一般地，先给出下列定义：

定义 若函数yf(x)的导函数f(x)在x点可导，就称f(x)在点x的导数为函数

d2yddyyf(x)在点x处的二阶导数，记为y,f(x)或2()，即

dxdxdx''''f'(xx)f'(x)yf(x)lim，x0x''''此时，也称函数yf(x)在点x处二阶可导。

关于高阶导数有以下几点说明：

1）若yf(x)在区间I上的每一点都二次可导，则称f(x)在区间I上二次可导，并称f(x),xI为f(x)在I上的二阶导函数，简称二阶导数；

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2）仿上定义，由二阶导数f(x)可定义三阶导数f(x)，即

f''(xx)f''(x)。yf(x)limx0x''''''由三阶导数f(x)可定义四阶导数f导数f(n)(4)(x)，一般地，可由n1阶导数f(n1)(x)定义n阶(x)；

3）二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数，高阶导数与高阶导函数分别记为：f(n)(x0)，y(n)dny(x0)，ndxxx0dnf或dxnxx0与f(n)(x),y(n)dnydnf(x),n或n；

dxdxd2s

4）开始所述的加速度就是s对t的二阶导数，依上记法，可记或s(t)； 2dt

5）未必任何函数所有高阶都存在；

6）由定义不难知道，对yf(x)，其导数（也称为一阶导数）的导数为二阶导数，二阶导数的导数为三阶导数，三阶导数的导数为四阶导数，一般地，n1阶导数的导数为n阶导数，否则，因此，求高阶导数是一个逐次向上求导的过程，无须其它新方法，只用前面的求导方法就可以了。

2.求高阶导数举例

例

1yaxbxc，求y,y,y解

y2axb例2 教材例3.23

例3 ye，求各阶导数。解

ye，ye，ye，y

即(e)

例

4ysinx，求各阶导数。解 ysinx,x(n)xxx(4)x2(4)。

y2ay0,y(4)0。

ex，显然易见，对任何n，有y(n)ex，ex。

ycosxsinx(2)

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ysinxsinx()sinx(2

ycosxsinx(2)

2)sinx()sinx(3)

22

y(4)sinxsinx(2)sinx(4

„„

一般地，有y(n)sin(xn2)

)，即(sinx)(n)sinx(n)。

22

同样可求得(coxs)(n)cosx(n

2)。

例

5yln1(x)，求各阶导数。解

yln1(x)，y1121y，y，1x(1x)2(1x)y(4)123，„„ 4(1x)(n)

一般地，有

y(1)n1(n1)!n(1x)(n)

即

(ln(1x))(1)n1(n1)!。

(1x)n例6

yx，为任意常数，求各阶导数。解

yx，yx

y一般地，y(4)1,y(1)x2，y(1)(2)x3，(1)(2)(3)x4，(1)(2)(n1)xn (1)(2)(n1)xn。(n)即

(x)(n)当k为正整数时，nk时，(x)

nk时，(x)

nk时，(x)kkk(n)k(k1)(k2)(kn1)xkn；

(k)k!(n!)； 0。(n)87

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注意：上述例子中，所得的结论是一些常见函数的高阶导数公式，因此。请各位同学牢记，以后直接作为公式应用。为了便于同学们掌握，特归纳如下：

课堂小结

1.二节导数的定义是什么？ 2.常见函数的高阶导数公式。

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§3.4 函数的微分

教学目标与要求

1.理解函数微分的定义以及可微与可导的关系； 2.知道微分的几何意义；

3.掌握微分的基本公式和运算法则。

教学重点与难点

1． 微分的定义的理解；

2． 微分的基本公式和运算法则的运用。

教学过程

一、微分的定义

1.微分的定义

思考：在学习微分之前，请同学们想一想，导数有何实际意义？

根据导数的知识，知道导数表示函数相对于自变量的变化快慢的程度。在实际生活中，还会经常遇到与导数密切相关的一种问题，即在运动或变化过程中，当自变量有一个微小的改变量时，要计算相应的函数改变量。但是，通常，计算函数的改变量是比较困难的，因此，希望能找到函数改变量的一个便于计算的近似表达式，这样就引入了微分学中的另一个重要概念——微分。

那么，微分的定义是什么呢？首先，我们通过一个简单的例子来体会一下微分的思想。引例：一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由x0变到x0x(x0)，如图所示，问此薄片的面积改变了多少？

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设正方形的边长为x，面积为S，则有Sx。因此，当薄片受温度变化的影响时面积改变量可以看成是当自变量x由由x0变到x0x(x0)时，函数Sx相应的改变量

22x0x(x)2。S。即S(x0x)2x022从上式可以看出，S由两部分构成： 1）第一部分2x0x是x的线性函数；

2）第二部分(x)，当x0时，是比x高阶的无穷小。

于是，当x很小时，面积S的增量S可以近似地用其线性主部2x0x来代替。即2S2x0x。

数学上，这样的例子有很多，思考：是否所有函数的y都可以分成两部分：一部分是x的线性部分，其余部分是x的高阶无穷小？

并不是所有函数的y都具有上述特点，数学上，将具有上述特性的函数的x的线性部分称为函数的微分。因此，微分的定义如下;定义

设函数yf(x)在某区间内由定义，x及xx在这区间内，如果函数的增量yf(xx)f(x)可以表示为

yAxo(x)，其中A是不依赖x的常数，而o(x)是x的高阶无穷小量。则称函数yf(x)在点x处可微，并称Ax为函数yf(x)在点x处的微分，记为dy或df(x)，即

dyAx或df(x)Ax。

《微积分》（上册）教案

如果改变量y不能表示为yAxo(x)的形式，则称函数yf(x)在点x处不可微或微分不存在。

根据微分定义，易知：

2．微分与导数的关系

注意：

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综上可知，求微分的问题可归结为求导数的问题，因此求导数与求微分的方法称为微分法。

二、微分的几何意义

设函数yf(x)的图形如图所示，过曲线yf(x)上一点M(x,y)处作切线

tanf(x)MT，设MT的倾角为，则

当自变量x有增量x时，切线MT的纵坐标相应地有增量

QPtanxf(x)xdy

因此，微分dy点M(x,f(x)x几何上表示当自变量x有增量x时，曲线yf(x)在对应y)处的切线MT的纵坐标的增量.由dy近似代替y就是用点M处的纵坐标的增量QP近似代替曲线yf(x)的纵坐标的增量QN。由图可知，函数的微分dy与函数的增量y相差的量在图中以PN表示，当x0时，变动的PN是x的高阶无穷小量.因此，在点M的邻近，可以用切线段来近似代替曲线段。简称“以直代曲”。

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三、微分的基本公式与运算法则

由微分的定义dyf(x)dx可以看出，要计算函数的微分，只要计算函数的导数，再乘以自变量的微分。因此，利用函数求导的基本公式和运算法则，可得出求函数微分的基本公式和运算法则.为使用方便，列出如下.'1.微分公式

（1）dC0

（C为任意常数）

（2）d(x（3）d(a)x1dx

（为任意实数）)xlnadx

（0且1）特殊

d(ex)exdx x（4）d(loga（5）

x)11dx（0且1）特殊

d(lnx)dx xlnaxd(sinx)cosxdx

d(cosx)sinxdx

22d(tanx)secxdx

d(cotx)cscxdx

d(secx)secxtanxdx

d(cscx)cscxcotxdx

（6）d(arcsinx)11x2dx(1x1)dx(1x1)d(arccosx)11x211dx d(arctanx)dx

d(arccotx)1x21x2

2．微分的运算法则

d(uv)dudv

d(Cu)Cdu

（C为任意常数）d(uv)udvvdu

uvduudvd 2vv

（证明略）

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3．复合函数的微分法则

设函数yf(u),u(x)分别关于u和x可导，则由复合函数的求导法则可知

'''yxyuuxf'(u)'(x)

于是，根据微分的定义有

'dyyxdxf'(u)'(x)dx

并且du(x)dx。所以，dyf(u)du或dyyudu。

注意：由此可见不管自变量u是自变量还是中间变量，微分的形式dyf(u)du总保持不变，我们称此性质为微分形式的不变性。

''''4．微分的运算举例

例3 教材例3.27

例4 教材例3.28

《微积分》（上册）教案

《微积分》（上册）教案

课堂小结

1.微分的概念； 2.微分的几何意义； 3.微分的基本公式 4.微分的运算法则。

《微积分》（上册）教案

§3.5 导数与微分的简单应用

教学目标与要求

1.掌握导数在经济学中的应用：边际分析与弹性分析 2.了解微分的应用：近似计算与误差分析

教学重点与难点

理解并能运用边际分析与弹性分析

教学过程

一、导数在经济学中的应用

边际与弹性是经济学中的两个重要概念。从实质上讲，它们都是变量的某种增量比的极限。由于增量比值的极限总与导数有关，而许多经济函数又均可视为一个连续、可导的函数，因此可利用导数的概念来研究经济变量的边际和弹性。在经济学中，常把用导数研究经济变量边际和弹性的方法，称为边际分析与弹性分析。下面我们就具体来介绍边际分析与弹性分析.（一）边际与边际分析

1．函数的变化率与边际函数

在经济学中，常常用到平均变化率与边际这两个概念。设函数yf(x)可导，在数量关系上，1）平均变化率指的是函数值的改变量与自变量的改变量的比值，如果用函数形式来表示的话，就是yf(x0x)f(x0)，它表示在(x0,x0x)内f(x)的平均变化速度。xxy'2）而边际则是自变量的改变量x趋于零时的极限，即f(x)，可以说，导数应用

x'在经济学上就是边际，f(x)在点xx0的导数f(x0)称为f(x)在点xx0的边际函数值，f'(x0)表示f(x)在点xx0处的变化速度。

值得注意是：

对于经济函数f(x)，经济变量x在x0有一个改变量x，则经济变量y的值也有一个相应的改变量为

yf(x0x)f(x0)f'(x0)x

特别是，当x1时，则yf(x0)。这就说明当x在x0改变“一个单位”时，y相应地近似改变f(x0)个单位。在实际应用中，经济学家常常略去“近似”而直接说y改变f(x0)

'''《微积分》（上册）教案

个单位，这就是边际函数值的含义。

2．边际成本

设某产品生产q个单位时的总成本为C = C(q)，当产量达到q 个单位时，任给产量一个增量q，相应的总成本将增加CC(qq)C(q)，于是再生产q个单位时的平均成本为(总成本在产量从q变到q+q时的平均变化率)：

CCC(qq)C(q)qq如果总成本为C = C(q)在q可导，那么，C(q)limC(qq)C(q)

q0q称为产量为q个单位时的边际成本，一般记为： CM(q)C(q)。

边际成本的经济意义是：当产量达到q 个单位时，再增加一个单位的产量，即。q1时，总成本将增加C(q)个单位（近似值）例1 设一企业生产某产品的日产量为800台，日产量为q个单位时的总成本函数为：

C(q)0.1q22q5000

求（1）产量为600台时的总成本；

（2）产量为600台时的平均总成本；

（3）产量由600台增加到700台时总成本的平均变化率；

（4）产量为600台时的边际成本，并解释其经济意义。

解（1）C(600)0.16002600500042200；

（2）C(600)

（3）

2C(600)211 6003CC(700)C(600)132 q100

（4）CM(600)0.26002122

这说明，当产量达到600台时，再增加一台的产量，总成本大约增加122。3．边际收益

设某商品销售量为q个单位时的总收入函数为R = R(q)，当销量达到q 个单位时，再给销量一个增量q，其相应的总收入将增加RR(qq)R(q)，于是再多销售q个单位时的平均收益为：

《微积分》（上册）教案

RRR(qq)R(q)qq如果总收入函数R = R(q)在q可导，那么，R(q)limR(qq)R(q)

q0q称为销售量为q个单位时的边际收入，一般记为：RM(q)R(q)

边际收入的经济意义是：销售量达到q个单位的时候，再增加一个单位的销量，即q1时，相应的总收入增加R(q)个单位。

例3设某种电器的需求价格函数为：q1204p。其中，p为销售价格，q为需求量。求销售量为60件时的边际收益，销售量达到70件时，边际收益如何？并作出相应的经济解释。（单位：元）

1q)

41'于是，销售量为60件时的总收入为：R(q)30p（元）；

41所以，销售量为60件时的边际收益为：RM(60)R(60)30600。

2解 由已知总收入函数为： Rpqq(30这说明，当销售量达到60件时，再增加一件的销量，不增加总收入。

销售量为70件时的边际收益为：RM(70)R(70)301705。

2这说明，当销售量达到70件时，再增加一件的销量，总收入会减少5元。

4．边际利润

设某商品销售量为q个单位时的总利润函数为L = L(q)，当销量达到q 个单位时，再给销量一个增量q，其相应的总利润将增加LL(qq)L(q)，于是再多销售q个单位时的平均利润为：

L如果总利润函数在q可导，那么，L(qq)L(q)

qL(q)limL(qq)L(q)

q0q称为销售量为q个单位时的边际利润，一般记为：LM(q)L(q)

边际利润的经济意义是：销售量达到q个单位的时候，再增加一个单位的销量，即q1 99

《微积分》（上册）教案

时，相应的总利润增加L(q)个单位。

由于总利润、总收入和总成本有如下关系：

L(q)R(q)C(q)

因此，边际利润又可表示成：L(q)R(q)C(q)

例3 设生产q件某产品的总成本函数为：

C(q)150034q0.3q2

如果该产品销售单价为：p = 280元／件，求

（1）该产品的总利润函数L(q)；

（2）该产品的边际利润函数LM(q)以及销量为q420个单位时的边际利润，并对此结论作出经济意义的解释。（3）销售量为何值时利润最大？

解（1）由已知可得总收入函数：R(q)pq280q，因此总利润函数为：

L(q)R(q)C(q)280q150034q0.3q2

1500246q0.3q

（2）该产品的边际利润函数为：LM(q)L(q)2460.6q；

2LM(420)2460.6420 6

这说明，销售量达到420件时，多销售一件该产品，总利润会减少6元。

（3）令L(q)0，解得q410（件），又L(410) 0.60，所以当销售量q410件时，获利最大。

（二）弹性与弹性分析

1．弹性函数

在引入概念之前，我们先看一个例子：

有甲、乙两种商品，它们的销售单价分别为p1 = 12元，p2 = 1200元，如果甲、乙两种商品的销售单价都上涨10元，从价格的绝对改变量来说，它们是完全一致的。但是，甲商品的上涨是人们不可接受的，而对乙商品来说，人们会显得很平静。

就其原因，就是相对改变量的问题。相比之下，甲商品的上涨幅度为83.33％，而乙商品的涨幅只有0.0083％，乙商品的涨幅人们自然不以为然。

在这一部分，我们将给出函数的相对变化率的概念，并进一步讨论它在经济分析中的应用。

《微积分》（上册）教案

定义 设f(x)在x0处可导，那么函数的相对改变量

yf(x0x)f(x0)与自变y0f(x0)yxy量的相对改变量的比值：0称为函数y = f(x)从x0到x0x之间弧弹性，令

xx0x0yyx0，0xx0的极限称为y = f(x)在x0的点弹性，一般就称为弹性。并记为

EyExxx0。即EyExxx0limxyx0f(x0)0。

x0xf(x)f(x0)0y = f(x)在任一点x的弹性记为：

EyExf(x)x，并称其为弹性函数。f(x)EyyEyx一般来说，因此函数的弹性反映了自变量相对改变量对相应函数yExxEx值的相对改变量影响的灵敏程度。即

EyExxx0表示当自变量在点xx0处变化1%时，函数f(x)近似地变化EyExxx0%，在实际应用问题中解释弹性的具体意义时，略去“近似”二字。

例

4教材例3.32

2．需求弹性和供给弹性（1）需求弹性

定义

1设某种商品的需求量为Q，销售价格为p，若需求函数为Qf(p)在p0处可导，称QQ0为该商品在p0到p0p两点间的需求弹性，记为

pp0(p0,p0p)_QQ0Qp0

pp0pQ0 101

《微积分》（上册）教案

而极限limQQ0p0Qp0称为该商品在p0处的需求弹性，limf'(p0)p0ppp0pQf(p0)00QQ0p0。f'(p0)p0ppf(p)00'记为pp0lim一般地，若需求函数Qf(p)可导，任意一点的需求弹性为：f(p)需求弹性函数，记为

p，称其为f(p)f'(p)p f(p)注意：一般情况下，Qf(p)是减函数，价格高了，需求量反而会降低，为此0。

另外，Qp，其经济解释为：在销售价格为p的基础上，价格上涨1％，相应的需Qp求量将下降％。

例

5教材例3.33

（2）供给弹性

定义

2设某种商品的供给量为Q，供给价格为p，若供给函数为Q(p)在p0处可导，称QQ0为该商品在p0到p0p两点间的供给弹性，记为

pp0(p0,p0p)_QQ0Qp0

pp0pQ0而极限limQQ0p0Qp0lim'(p0)称为该商品在p0处的供给弹性，p0ppp0pQf(p0)00QQ0p0'(p0)。

p0ppf(p)00'记为pp0lim一般地，若供给函数Q(p)可导，任意一点的供给弹性为：(p)供给弹性函数，记为

p，称其为f(p)'(p)

p f(p)《微积分》（上册）教案

注意：一般情况下，供给函数Qf(p)是增函数，价格高了，供给量会增加，为此0。

另外，Qp，其经济解释为：在供给价格为p的基础上，价格上涨1％，相应的供Qp给量将增加％。

（3）用需求弹性分析总收益的变化

在商品经济中，经营者关心的是提价（p0）或降价（p0）对总收益的影响。而根据我们需求弹性的概念，可以分析出价格变动是如何影响销售收益的。具体分析为： 根据前面的知识可知：总收益R是商品价格p与销售量Q的乘积，即R=Qp。又因为需求弹性为Q(p)'pdQp。所以pdQQdp。QdpQ根据函数的微分知，当价格p变化很小的时候，收益的改变量

R(Qp)d(Qp)QdppdQQdpQdp(1)Qdp

即R(1)Qdp(1)Qp。

由此，我们给出三类商品的经济分析：（1）富有弹性商品

若||1，则称该商品为富有弹性商品。

对于富有弹性商品，适当降价会增加总收入。如果价格下降10％，总收入将相对增加10(||1)％。

富有弹性商品也称为价格的敏感商品，价格的微小变化，会造成需求量较大幅度的变化。（2）单位弹性商品

若1，则称该商品为具有单位弹性的商品。

单位弹性的商品，对价格作微小的调整，并不影响总收入。（3）缺乏弹性商品

若||1，则称该商品为缺乏弹性商品。

对于缺乏弹性商品，适当涨价会增加总收入。如果价格上涨10％，总收入将相对增加10(1||)％。

例6

教材例3.34 例7 设某商品的需求价格函数为：q1.5e并进一步做出相应的经济解释。

 p5，求销售价格p9时的需求价格弹性，103

《微积分》（上册）教案

解 Eqpp9 0.3e p5p1.5e p5p9 1.8，由于Eqp|p91.81，这是一种富有弹性的商品，价格的变化对需求量有较大的影响，在p9的基础上，价格上涨10％，需求量将下降18％，总收入下降8％，当然价格下降10％，需求量将上升18％，总收入上升8％。通过以上分析，价格p9时应当作出适当降价的决策。

二、微分的应用

设函数yf(x)在点x0处可微。则根据微分的定义有近似公式：

yf(x0x)f(x0)f'(x0)x

（1）

或

f(x0x)f(x0)f'(x0)x

（2）

并且，近似公式（1）通常用来计算函数的改变量y的近似值，常用于误差估计；近似公式（2）常用于计算函数yf(x)在点x0附近的近似值f(x0x)。下面我们就分别来介绍两个近似公式的应用。

1．近似计算

在近似计算某点处的近似值时，对近似公式（2）常作如下的变换：令x0=0，xx，得到如下更简单的近似公式：当x很小时，有

f(x)f(0)f'(0)x

例8 教材例3.35 例9 教材例3.36 例10 教材例3.37 例11 教材例3.38

2．误差估计

（1）绝对误差与相对误差

设函数yf(x)可微，若自变量经过测量而得到的近似值为x，它与自变量实际值得误差估计为x，那么由x确定的函数值的近似值y与实际值的误差可相应地估计为

yf(xx)f(x)，104

《微积分》（上册）教案

则称x与y分别为自变量x与函数y的绝对误差，称数y的相对误差

关于绝对误差和相对误差有几点说明：

yx与分别为自变量x与函

yx1）绝对误差不足以说明近似程度的好坏，只有相对误差才能较准确地说明近似地精确度。

2）实际中，由于很难得知x的精确值，所以实际计算中总是估计自变量的最大绝对误差为x，即x<x（通常x是已知的）。当x很小，即x<x时，ydy，所以

ydyf'(x)xf'(x)x。

因此，在用x的实际测量值算出的近似值f(x)来代替准取值f(xx)时，可用f(x)x'f'(x)x作为最大相对误差。因此，若记函数作为近似值yf(x)的最大绝对误差；用

f(x)yf(x)的绝对误差和相对误差分别别为：y与

y，则有 yf'(x)x。yf(x)x，yf(x)'y（2）应用举例 例12 教材例3.39

课堂小结

1.导数在经济学中的应用

（1）边际与边际分析：边际成本、边际收益、边际利润

（2）弹性与弹性分析：需求弹性、供给弹性 2.微分的应用

（1）近似计算

（2）误差估计

第三篇：高等数学考研大总结之四导数与微分

第四章

导数与微分 第一讲

导数 一，导数的定义：

1函数在某一点x0处的导数：设yfx 在某个Ux0,内有定义,如果极限limfx0xfx0fx0xfx0(其中称为函数fx在(x0,x0+x)上的平均xxx0变化率(或差商)称此极限值为函数fx在x0处的变化率)存在则称函数fx在x0点可导.并称该极限值为fx在x0点的导数记为f/x0,若记xxx0,yfxfx0则fxfx0ylim/xx0=fx0=x

xx0x0lim解析：⑴导数的实质是两个无穷小的比。即：函数相对于自变量变化快慢的程度,其绝对值越大,则函数在该点附近变化的速度越快。

⑵导数就是平均变化率(或差商)的极限,常用记法: f/x0,y/xx0,dydxxx0。

⑶函数fx在某一点x0处的导数是研究函数fx在点x0处函数的性质。

⑷导数定义给出了求函数fx在点x0处的导数的具体方法,即：①对于点x0处的自变量增量x,求出函数的增量（差分）y=fx0xfx0②求函数增量y与自变量增

yylim量x之比③求极限x若存在,则极限值就是函数fx在点x0处的导数,若极限不xx0存在,则称函数fx在x0处不可导。

⑸在求极限的过程中, x0是常数, x是变量, 求出的极限值一般依赖于x0

⑹导数是由极限定义的但两者仍有不同，我们称当极限值为时通常叫做极限不存在，而导数则不同，因其具有实在的几何意义，故当在某点处左，右导数存在且为同一个广义实数值时我们称函数在某点可导。实质是给导数的定义做了一个推广。

⑺注意: 若函数fx在点x0处无定义,则函数在x0点处必无导数,但若函数在点x0处有定义,则函数在点x0处未必可导。单侧导数：设函数fx在某个x0,x0（或x0,x0）有定义，并且极限

第1页 limfx0xfx0fx0xfxlim（或）存在，则称其极限值为fx在x0点xxx0x0/的左（右）导数，记为：f统称为单侧导数。

。左导数和右导数x00或f/x0（或f/x00,f/x0）函数在某一点处有导数的充要条件：左导数和右导数存在且相等。函数在某一区间上的导数：⑴在a,b内可导：如果函数fx在开区间a,b内每一点都可导，则说fx在a,b内可导（描述性）。⑵在a,b内可导：如果函数fx在a,b内可导且f/a,f/b存在则说函数fx在a,b上可导。导函数：如果函数fx在区间I上可导，则对于任意一个xI都对应着唯一一个（极

x，这样就构成了一个新的函数，称为函数yfx的导dydfx//函数。记为：fx或或或y，由此可知函数fx某一点x处的导数实质是在限的唯一性）确定的导数值f/dxdx0点x0处的导函数值。解析：（1）区别f//而fx0x0与fx0/：f/x0表示函数fx在点x0处的导函数值，表示对函数值fx0这个常数求导，其结果为零。

（2）与在某一区间可导的关系：在某一区间可导就是在该区间上存在导函数。可导与连续的关系：可导必连续，但连续不一定可导。二，导数的几何意义： 当y=fx表示一条曲线时,则f/x表示曲线在x,y点的切线的斜率，f/x的正和负分

/别表示曲线在该点是上升还是下降.fx的大小则表示曲线在该点的邻域内起伏的程度，f/f/x越小说明曲线在该点的邻域内近似水平,反之

x越大说明曲线在该点的邻域内越陡,起伏明显。

解析：⑴用曲线上某点和增量点连线的割线的斜率的极限来表达曲线在某点的斜率。

⑵过曲线y=fx上的点(x0,y0)的方程:①切线方程y-y0=f②法线方程: y-y0=/x0(x-x0).1xx0(f/fx0/x0≠0)

⑶如果点P(A,B)在曲线y=fx外,那么过P点与曲线相切的切线有两条。

第2页 ⑷若f/x0=说明函数fx的曲线在点x0处的切线与

x轴垂直。若f/x0=0则说明fx的曲线在点x0处的切线与x轴平行。

三，导数的四则运算

如果函数uux及vvx都在点x具有导数,那么其和差积商(除分母为零的点外)都在点x具有导数。

⑴uxvxu/xv/x /⑵uxvxu/xvxuxv/x

kuxku/x //kkv/xuxuxvxuxvx⑶vx0

2vx0 2vxvxvxvx////解析：和差积可推广为有限项即：⑴u1xu2xunx/u1/xu2/xun/x

⑵u1xu2xunx/ux u1xu2xunxkukxk1n//四，几类函数的求导法则

1反函数的求导法则：如果函数xfy在区间Iy内单调且fy=f1y0则它的反函数

1f/x在区间Ixxxfy,yIy内也可导，且f1x/y或

dy1即：dxdxdyｙ是ｘ的函数反函数的导数等于直接函数导数的倒数。

解析：⑴f/y0且xfy在点y处连续。

/⑵反函数求导法则的几何意义：由于fx是函数fx的曲线上点x处的切线与x轴正向夹角的正切。而反函数xfy与y=fx在同一坐标系中有相同的曲线，只不过反函数xfy的自变量是y所以导数f/y就是y=fx曲线上x的对应点y处

/的同一条切线与y轴正向夹角的正切，因此：fy1f/x即：tan1（，tan之和为）22 复合函数的求导法则（链式求导）：如果ugx在点x可导，而y=fu在点ugx

第3页 可导，则复合函数yfgx在点x可导，且其导数为：dydydudyf/ug/x或。dxdudxdx解析：⑴复合函数整体在某点是否可导与ugx和gx在某点是否可导无关。

⑵逐层分解为简单函数在求导，不重，不漏。隐函数求导法则：对方程Fx,y0所确定的隐函数求导，要把方程Fx,y0的两边分别对x求导即可。在求导过程中应注意y是x的函数，所以在对y或y的函数求导时应理解为复合函数的求导。参数方程求导法则：由参数方程xtt所确定的ｙ与ｘ的函数的导数为：

yt/tfx/。t/dydf/x//t/t/t//t//yx2解析：注意理解y。3/dtdttdxdxdtdt/5 对数求导法则：是求幂指数yfxx型导数的有效方法即：对函数yfxx的两边同时取对数，然后根据对数的性质将作为指数的函数x化为与lnfx相乘的一个因子，再利用上述方法求导。两个结论：⑴可微分的周期函数其导数仍为具有相同周期的周期函数。

⑵可微分的偶函数的导函数为奇函数，而可微分的奇函数的导函数为偶函数。这个事实说明：凡对称于y轴的图形其对称点的切线也关于y轴对称。凡关于原点对称的图形，其对称点的切线互相平行。五，常见函数的一阶导数 ⑴c0（ｃ为常数）⑵xa⑹lnx///axa1⑶ax/lnaax⑷ex/xex⑸loga/1 xlna11///2⑺sinxcosx⑻cosxsinx⑼tanxsecx xcos2x1///2⑽cotxcscx⑾⑿secxsecxtanxcscxcscxcotx

sin2x⒀arcsinx//11x2⒁arccosx/11x2⒂arctanx/1 21x⒃arccotx/211///2thxsechx⒄⒅⒆ shxchxchxshx1x2ch2x1/arcshx（21）sh2x⒇cthxcschx1x12（22）archx/1x12

第4页（23）arcthx/1

1x2六，高阶导数 设f/并且f/x也在I上可导，则称fx在I上二阶可导，x是函数fx在I上的导数，//并称fx的导函数是fx在I上二阶导数，记为：f//x或f2x，一般地，设fn1xn2是fx在区间I上的n1阶导函数并且fn1x也在I上可导则称fx在I上ｎ阶可导，并称fn1x的导函数是fx在区间I上的ｎ阶导函数记为：fndnyx当函数由yfx给出时fx的ｎ阶导数也可表示为：y,n,fnx。若在dxnnx0点的ｎ阶导数常记为：fdnydnfxx0,yxx0,nxx0,xxx0。dxdxn解析：⑴规定函数fx的零阶导数为函数fx的本身。

⑵该定义的给出具有数学归纳法的性质，因此在求某一函数的高阶导数时常用数学归纳法。

⑶fx的ｎ阶导数是由fx的n1阶再一阶导而求得，所以其具有逐阶刻画的性质。

⑷高阶导数的常用求法：莱布尼茨(Leibniz)公式：uvnknkk(u,va,b上的ｎ阶连续函数）其展开式为：Cnuvk0n1n1/2n2//unvCnuvCnuvuvn。

七，常见函数的高阶导数 ⑴C⑶axnn0（Ｃ为常数）⑵xanxkxnaa1a2an1xnnkxan

nxlnaa⑷aklnaax⑸ekxknnkxe⑹exe

⑺loga1nn1n1!lnaxn⑻lnxn1n1n1!⑼sinxnsinxn

xn2⑽

nsinkxnknsinkx2设

⑾

ncosxncosx2 ⑿

ncoskxnkncoskx2⒀

yekxgx且

y/aekxgxb则有

第5页 ynanekxgxnb⒁设

yekxgx且

y/kekxgxbc则有ynknekxgxnbnc（⒀，⒁用同一函数的思想求ｂ，ｃ）⒂eeaxsinbxcnnab2n22eaxsinbxcneaxcosbxcn（其

中axcosbxcab2n22sinbab22,cosaab22）

第二讲 微分 一，微分的定义

设fx在点x0的某个邻域Ux0,中有定义如果存在常数

A使fx0xfx0Axx,x则称函数fx在x0点可微，并称Ax为fx在点x0处的微分，记为：dyxx0,dfxxx0,dfx0其中称Ax为函数增量y的线性主部。

解析：⑴给出了求函数值的改变量的近似计算方法（极限的无穷小判别法），简单地反映了函数增量与自变量增量的关系即：线性关系。这是一种局部线性逼近的思想。

⑵令函数yx则dydx这表明自变量的微分dx就是它的增量x。

⑶导数与微分的关系：函数fx在点ｘ处可微的充要条件是函数在该点可导，并且有dyf/，所以导数称为微商。xdx（一种常见求微分的方法）

/ ⑷ 函数fx的微分是关于x的线性函数，Ax（其中Af导数与x无关。

二，导数与微分几何意义的比较 三，微分的四则运算法则

设uux,vvx均可微分则有：⑴duvdudv

x）且函数fx的⑵duvudvvdu

dkukdu（ｋ为常数）⑶duvvduudv 2vkdvkd2（ｋ为常数）

vv四，复合函数一阶微分形式的不变性

设函数yfu，ugx均可导，则复合函数yfgx的导数为yf//gxg/x

第6页 故其微分为：dyf上式为：dyf//gxg/xdx注意f/gxf/u，g/xdxdgxdu因此udu，无论ｕ是自变量还是中间变量都保持形式的不变性。

解析：第一类积分换元法（凑微分）的理论基础。五，微分的近似计算及误差估计 微分的近似计算：若函数yfx在点x0处可微，则当xxx0很小时，可用微分dy近似代替增量

y即：fxfx0f/x0xx0fxfx0f/x0xx0。

解析：⑴用微分进行近似计算的实质就是在微小局部将给定的函数线性化，将复杂函数简单化，从几何意义角度看就是用曲线yfx在点x0,fx0处的切线来近似代替该曲线（达到化曲为直的目的）。另一种理解就是寻求其等价无穷小量。

⑵用函数微分dyf/①dx不一定是无穷小量但应比较xdx近似计算y时要注意：小。②dx应是一个不依赖于ｘ的增量。

⑶一般利用微分解决四个方面的问题：①计算函数增量y的近似值即：ydyf/xdx②计算函数的近似值即：fxxfxf/xdx③求方程的近似

/解即：faxfafax④按照误差的精度要求进行近似计算。微分在误差估计中的实际应用：设某量的测量值为ａ，精确值为A如果Aa则正数称为测量的绝对误差。

称为测量的相对误差，而在实际应用中相对误差多用来计

aA算。

解析：分清精确值与测量值。六，高阶微分

由于对自变量x来说dx=x与x无关，因此可微函数yfx的微分dyf/xdx仍是x的函数这样若dy还可微，则把它的微分ddydf/xdxf//xdx2叫做函数yfx的二阶微分，并将ddy记作：d2y，把dx2记作：dx2，于是二阶微分为d2yf//xdx2由此可以更一般地若yfx的n1阶微分dn1yfn1xdxn1仍可微，则把它的微分：dyfnn这时称函数yfxxdxn叫做yfx的ｎ阶微分，ｎ阶可微，二阶与二阶以上的微分称为高阶微分。

第7页 解析：⑴其描述过程具有数学归纳法的性质，所以求解高阶微分的一般方法为数学归纳法。

⑵高阶微分没有微分形式不变性。第三讲 导数的应用

一，函数的单调性：设函数yfx在a,b上连续，在a,b内可导⑴如果在a,b内f/x0那么函数yfx在a,b上单调增加⑵如果在a,b内f/x0那么函数yfx在a,b上单调减少。

解析：⑴区间a,b具有任意性，无论开闭还是有穷，无穷均可。

⑵若在a,b内f/x0则严格单增，若在a,b内f/x0则严格单减。

⑶在该定理中我们研究的是导函数值域的性质，并不是某一点导函数值的性质，而是区间上任意点导函数值的性质。

⑷此定理为充要条件，所以结合定义域可求出某函数的单调增（减）区间，与此同时一定要针对函数的单调区间去谈函数的单调性。

⑸几何意义：由函数yfx的导数f/x的正负来判断曲线的升降，进而判断其单调性。

⑹该定理具有逐层描述的特性，即：二阶导函数的正负决定一阶导函数的增减性，可推广到ｎ阶。二，函数的极值

1函数极值的定义：设函数yfx在点x0的某邻域内有定义，如果对于其去心邻域内的任一ｘ有fxfx0（fxfx0）则称fx0是函数yfx的一个极大值（或极小值）函数的极大值与极小值统称为函数的极值。使函数取得极值的点称为极值点。解析：⑴在研究函数在点x0处的极值时，一般要求函数是连续函数即：应考察函数在点x0及其附近是否有定义。

⑵极值是一个局部性定义，它只与一点及其附近的函数值有关，而与整个定义域或定义域内某个区间上的一切函数值无关，因此对于同一个函数来说在一点的极大值也可能小于另一点的极小值。在一个区间内可能取得多个极值。（极值与最值的区别）

⑶极值点处函数曲线的切线平行于ｘ轴，即：导数为0，但导数为0的点（或称稳定点，临界点，驻点）不一定是极值点。换句话说，费马(Fermat)引理只是可导函数极值的必要条件。

⑷函数极值与方程根的个数有一定的关系。常用两种极值的判别法（两个充分条件）：⑴第一判别法：设函数fx在x0连续在U0x0,上可导①若当xx0,x0时f/x0，当xx0,x0时f/x0则fx在x0取得极大值②若当xx0,x0时f/x0，当xx0,x0时

第8页 f/x0则fx在x0取得极小值。

解析：⑴反映了单调性与极值的关系。

⑵按此法求极值的步骤：①确定函数fx的定义域。②求函数fx的导数f③令f//x。x0求出函数fx的所有驻点和不可导点。④检查f/x在各驻点附近左右的值的符号，如果左正右负则fx在这个驻点取得极大值，如果左负右正则fx在这个驻点取得极小值，如果左右同号，那么函数fx在这个驻点不取得极值。⑤求出函数在所有极值点的函数值就得到函数fx的各极值。

⑵第二判别法：设函数fx在x0处具有二阶导数且f/x00,f//x00那么①当f//x00时函数fx在x0处取得极大值②当f//x00时函数fx在x0处取得极小值。

解析：⑴其与函数的凸凹性是统一的。

⑵有时多用第一，二判别法综合起来使用。

⑶按此法求极值的步骤：①确定函数fx的定义域且函数fx在定义域内有二阶导数②求函数fx的一阶导数和二阶导数③令f/x0求出函数fx的所有驻点和不可导点④计算各驻点（有不可导点时用列表法）的二阶导数值，若二阶导数值为正则函数在该．．点取得极小值，若二阶导数值为负则函数在该点取得极大值。若二阶导数值为0则此法失效。⑤求出函数在所有极值点的函数值就得到函数fx的各极值。

⑶定理推广：若函数fx在Ux0,上至少存在n2阶导数且f/x0f//x0fn1x00而fnx00则⑴ｎ为奇数则函数fx在x0不取得极值。⑵ｎ为偶数fnx00则函数fx在x0取得极大值；ｎ为偶数fnx00则fx在x0取得极小值。

解析：上述等式可用高阶泰勒(Taylor)公式证明。三，函数的最值

1函数的最值与极值的区别与联系：⑴从研究范围看函数的极值是局部性的，它只与某一点及其附近的函数值有关，因此对于整个区间来说可能存在多个极值而函数的最值则不然，它与闭区间a,b上的任意一点的函数值有关是对整个区间来说的，因此是唯一的。⑵最值与极值没有必然的联系即：如果在区间a,b内部取得函数的最值，它不一定是极值。同理取

第9页 得函数的极值，它不一定是最值。并且最大值不一定比极小值大。⑶求函数在某点的极值时仅把该点的函数值与该点附近的左右函数值相比较，而求函数在闭区间a,b上的最值时，需要与开区间a,b内的所有函数值比较并且还要与端点处的函数值比较。2 求闭区间a,b上函数最值的步骤：⑴求函数fx的导数f/x。⑵令f/x0求出函数fx在开区间a,b内的所有驻点和不可导点。⑶求出开区间a,b内的所有可能的极值（包括驻点和不可导点处的值）和区间端点的函数值fa,fb。⑷比较上述所有函数值，选出最大者为函数fx在a,b上的最大值，最小者为函数fx在a,b上的最小值。3 最值在实际问题（最优化问题）中的应用：⑴分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题转化为数学问题，即：列出函数关系式yfx。⑵确定ｘ和ｙ的变化范围，并求出ｘ变化范围内的各驻点及不可导点。⑶求出ｘ变化范围的端点函数值。⑷比较函数各驻点及不可导点处的函数值和端点函数值，根据实际意义确定函数的最值。⑸在实际问题中由f/x0常常仅解到一个驻点，若能判断函数的最值，在ｘ的变化区间内部得到驻点处的函数值就是所求的最值。四，函数的凸凹性与拐点 函数的凸凹性：设函数fx在区间上有定义，如果对任意的x1,x2I且x1x2及任意实数0,1总有fx11x2fx11fx2则称函数fx是I上的下凸函数，简称凸函数。若总有fx11x2fx11fx2则称函数fx是I上的下凹函数，简称凹函数。若不等式是严格不等式则称函数fx在I上是严格凸函数或凹函数。

解析：⑴凸凹性是相对方向性定义，随所选方向的不同而不同。

⑵实际上，在研究凸凹性时就是在相同的横坐标下，曲线上相异两点连线的纵坐标与相应曲线纵坐标的比较。为了研究的方便常取1，这时其定义为：设函数fx在区间2上有定义，如果对任意的x1,x2I且x1x2，若有fx1x2fx1fx2为该区22间上的下凸函数；若有fx1x2fx1fx2为该区间上的下凹函数。22 ⑶琴生(Jensen)不等式：设函数fx是区间上的下凸函数，则对于任意的第10页

xx2xnx1,x2,x3xnI有不等式f1n函数

fx1fx2fxn成立，反之若n函

数，那

么

有

不

等

式fx是区间上的下凹xx2xnfx1fx2fxn对于上述两式当且仅当x1x2xnf1nn时取等号。

解析：此不等式是一些重要不等式的基础例如：①三角形不等式：2xi2yi2xiyii1i1i1rn12n12n12（riN*）②幂平均不等式：1nr1nr1n1nakakr1；akak1r③调和，几何，算术平均值不nk1nk1nk1nk11nn等式：aaaRiiin1ni1i1i1ainn④柯西(Cauchy)不等式：n22xyxyiiiixi,yi0 i1i1⑵凸，凹函数的几何解释：严格下凸函数的图象在任意一点处切线的上方，严格下凹函数的图象在任意一点处切线的下方。函数凸凹性的判断：设函数yfx在a,b上连续，在a,b内具有一阶和二阶导数，那么⑴若在a,b内f//n2x0则fx在a,b上的图形是严格下凸的。⑵若在a,b内f//x0则fx在a,b上的图形是严格下凹的。

解析：由于二阶导数可以用来刻画一阶导数的性质，故得到两点结论：⑴fx在a,b上连续在a,b内可导，若有对于任意的x0a,b使得有：fxfx0f/x0xx0ax0b成立则称fx为a,b上的下凸函数，若有对于任意的x0a,b使得有：fxfx0f/x0xx0ax0b成立则称fx为a,b上的下凹函数。⑵反映了过曲线上任意一点切线斜率的变化趋势。拐点：使连续曲线yfx在经过点x0,fx0时其凸凹性发生改变的点x0,fx0称为曲线的拐点。

第11页 解析：⑴拐点的性质：若函数fx在Ux0,上存在二阶导数且点x0,fx0是函数yfx的拐点那么f//x00。

⑵求函数拐点的步骤：①求f//x②令f//x0解出这个方程在区间Ｉ内的实根并求出在区间Ｉ内二阶导数不存在的点③判断符号：对②中所求的的每一个实根或二阶不可导的点，根据f//x进行左右邻近两侧的符号判断若两侧异号则是拐点，同号则不是拐点。

五，函数凸凹性（拐点）与单调性（极值）的比较 对于连续函数我们通常用一阶导数确定单调性，而用二阶导数来确定凸凹性。根据一阶导数在某点邻近两侧单调性的不同从而确定其点为极值点，而根据二阶导数在某点邻近两侧凸凹性的不同从而确定其点为拐点。但二者统一于二阶导数，当二阶导数大于0时函数是下凸函数取得极小值；当二阶导数小于0时函数是下凹函数取得极大值。（如果存在极值的话）六，曲线的渐近线 定义：设曲线fx上的动点P沿曲线无限的远离原点时，点P与某一直线L之间的距离趋于0，则称直线L是曲线fx的渐近线。（体现了数学的辩证法思想）分类：⑴垂（铅）直渐近线：若

limfxxx0（或当xx0）则xx0是曲线,xx0fx的垂（铅）直渐近线。

解析：确定x0点是关键，一般采用罗比塔(L’Hospital)法则或求其反函数且当x解出ｙ，ｙ即为x0。

⑵水平渐近线：若

limfxb则yb就是曲线fx的水平渐近线。

xfx ⑶斜渐近线：设曲线fx有斜渐近线ykxb那么ｋ=x，ｂ

xlim=limfxkx x解析：判断一个函数的渐近线时一般采取水平，垂直，斜渐近线的顺序依次验证。七，函数图象的描绘 ⑴确定函数的定义域。

⑵讨论函数的奇偶性，周期性。

⑶确定函数的某些特殊点（如与坐标轴的交点）。⑷确定函数的单调区间，极值点，凸凹区间及拐点。

⑸求出渐近线（也可能不存在）列表综合上述各情况描绘函数图象。

第12页 八，弧微分与曲率 弧微分：在L上取定一点A，作为度量弧长的基点，并规定x增大的方向为L的正向，L设Mx,y为上任意一点，并规定有向弧段AM的长为Ｓ，则Ｓ是Ｍ的横坐标x的函数，即：SSx而且Sx是x的单增函数，我们称弧长函数Sx的微分ds为弧微分，下面是三种形式弧微分计算公式：⑴普通方程：ds1ydx⑵参数方程：

/2ds/t/tdt⑶极坐标方程：dsr2r/d。

222解析：实际与积分的求弧长是统一的。

2 曲率：⑴平均曲率：若记曲线弧AM的弧长为s切线转角为则称k为曲线弧

s的平均曲率。

s0AMAM ⑵曲率：当（即：）时如果的平均曲率k的极限

slimlimdk存在，则称此极限的绝对值为曲线在点Ｍ处的曲率，记为：=。ssdss0s0解析：⑴曲率反映了曲线的弯曲程度，曲率是平均曲率的精确化，其描述曲线上每一点的弯曲程度（与导数定义的比较）

⑵曲率的计算：①普通方程：ky//1y3/22②参数方程：k/t//t//t/t/2t/2t32。曲率圆与曲率半径：设曲线yfx在点Ｍ的曲率为kk0 过Ｍ点作曲线的切线，1，以C为圆心，以为半径作圆，则k称此圆为曲线在点Ｍ处的曲率圆，C称为曲率圆的中心，称为曲率半径。并在曲线凹向一侧的法线上取一点C使MC解析：⑴在点Ｍ处，曲线与曲率圆具有关系：有共同的函数值，有共同的曲率，有共同的一，二阶导数，有共同的切线，即曲率圆与曲线在Ｍ点相切（转化的思想）。

⑵曲率半径与曲率互为倒数，所以曲率半径R1yy//32/2。

⑶曲率中心的计算：设其中心坐标为o,曲线的对应点为Mx,y，则

第13页 2y/1y/xy// /21yyy// ⑷曲率圆方程由xyR2确定。

22曲线的渐屈线与渐伸线：当点x,fx沿曲线C移动时，相应的曲率中心O的轨迹曲线G称为曲线C的渐屈线，而曲线C称为曲线G的渐伸线。所以渐屈线的参数方程为2y/1y/xy////////其中yfx，yfx，yfx，ｘ为参数，直角坐标系21y/yy//o与xoy重合（有时须坐标平移）。

九，方程近似解的计算

在上一章中，我们介绍了二分法（根本思想）求方程近似解，下面结合本章我们再介绍两种求解方法： 弦位法：⑴定义：过曲线上A，B两点作弦，则弦AB必与X轴有交点x1，我们就可把x1作为x0的一个近似值，为了达到规定的精度，我们还可以在a,x1内作弦AB1，用弦AB1与X轴的交点x2作为x0的第二个近似值。显然x2较x1更接近x0，如此依次作下去，我们就可以达到符合任意精度的x0的近似值，这种方法称为弦位法。其思想核心是用直线段弦与X轴的交点横坐标逼近的方法近似表示曲线与X轴交点的横坐标x0。

⑵具体操作过程：在曲线上截取较短区间a,b，使a,b存在实根x0，这时连接两端点Aa,fa,Bb,fb成弦AB，再求出AB与X轴的交点x1（且x1abafa）并根据具体的情况（单调性，凸凹性）选择a,x1或x1,b之fbfa间选取一点Cc,fc再连AC或BC，如此依次作下去，直到达到规定的精度。2 切线法：⑴定义：过曲线fx上与f//x同号的那个端点作切线，则这切线与ｘ轴的交

/点的横坐标x1就可作为x0的一个近似值，为了达到预定的精度，还可以在x1,b内，过A

第14页 点再作切线，并把这切线与ｘ轴的交点的横坐标x2作为x0的第二个近似值。显然x2较x1更接近x0，如此做下去，就可以得到符合任何精度的x0的近似值，这种方法称为切线法。其思想核心是用切线与ｘ轴交点的横坐标近似表示曲线与ｘ轴交点的横坐标x0。应该注意的是，用切线法求近似值时必须在纵坐标与f//x同号的那个端点作切线，如果把切线与f//x异号的那个端点，就不能保证切线与ｘ轴交点的横坐标x1比较接近于x0。另外，在实际计算中，常将弦位法与切线法综合应用，以求较快地得到符合规定精度的方程的近似解。⑵具体操作过程：我们只在纵坐标与f//x同号的端点作切线，不妨设fa与f//x同号于是，区间a,b的左端点对应点a,fa作切线，并求其切线与ｘ轴的交点x1（x1=afa），并在x1,b内取一点x2，再作切线，如此做下去直至达到规定的精度。

f/a3 弦位法与切线法的比较：应用切线法求得同样精度的近似值要比弦位法快一些。

第15页

第四篇：大学课件-高等数学课件导数、微分及其应用

第二讲

导数、微分及其应用

一、导数、偏导数和微分的定义

对于一元函数

对于多元函数

对于函数微分

注：注意左、右导数的定义和记号。

二、导数、偏导数和微分的计算：

1）能熟练运用求导公式、运算法则计算导数、偏导数和微分；

2）隐函数、参数方程的导数

3）高阶导数：特别要注意莱布尼茨公式的运用。

例1：求函数在处的阶导数。

解：，所以有

（1）

利用莱布尼茨公式对（1）两边求阶导数得

当时，由此可得

例2：求的阶导数。

解：

设

其中，则有

注：计算时注意一阶微分不变性的应用。

4）方向导数与梯度

三、导数、偏导数及微分的应用

1）达布定理：设在上可导，若则对介于的一切值，必有，使得。

证明：在上可导，则在上一定有最大值和最小值。

1、如果异号，无妨设，由于，由极

限的保号性，当充分接近时有；当充分接近时有，这就说明不可能是在上的最大值，所以一定存在，使得是在上的最大值，由费马

定理可得。

2、对于一般的的情形，设是介于的值，考虑函

数，则有异号，由前

面的证明可得，存在有，即。

2）罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理

其中，这里在与之间的某个值。

3）一元函数的单调性及极值、最值

4）一元函数的凹凸性：

在区间上凹：和，若，则；

在区间上凸：和，若，则；

性质：1、如果在区间上是凹的，则和，若，一定有；

2、如果在区间上是凸的，则和，若，一定有

证明：因为

其中，所以用数学归纳法可证明以上结论。

例3：证明：若，则有

证明：考虑函数，因为

所以时，是凹函数。因此对于由性质有

5）多元函数几何应用

6）多元函数的极值：拉格朗日乘数法。

例4：设在上连续，在上可导。又在上连续，证明：至少存在一点使得。

证明：因为在上连续，所以在上存在原函数，即有。

考虑函数，则有，由罗尔中值定理可得至少存在一点使得

因此至少存在一点使得。

例5：设函数在上连续，在上可导，（1）如果，证明：至少存在一点，使得。

（2）如果，且对一切有，证明：至少存在一点，使得。

证明：（1）如果函数在上是常数，则对于任意的都有。下面设不是常数，此种情形下存在使得，无妨设，取，因为，所以存在，当时有

因此我们有，由此我们可得在上的最大值不在端点取得，由最大值和最小值定理和费马定理至少存在一点使得

(2)因为，由夹逼准则得

考虑函数，则有在上连续，在上可导，并且，由（1）的结论可得至少存在一点，使得。

例6：设函数在区间上可微，是个正数，且，证明：存在使得

证明：利用介值定理，存在使得，无妨我们设，对函数分别在以为端点区间上运用拉格朗日中值定理可得，至少存在在之间使得

因此我们有

例7：设在上可导，证明：。

证明：1）设在内的最大值为，则有

这就得到在上有，特别是；

2）设在上有，设设在内的最大值为，则有

这就得到在上有，由数学归纳法可得在上有。同理可得在上有。

例8：设在上有二阶导数，证明：存在，使得

证明：设，将在点处展成三阶泰勒公式

当时，（1）

当时，(2)

得

因为在可导，且在之间，由达布定理可得，存在使得，此时即有

例9：设在上二阶可导，证明：对于，存在使得

证明：构造函数，则有，利用罗尔中值定理，存在有，再利用一次罗尔中值定，存在使得，又因为

由此可得

即有

例10：设函数在连续，在内可微，且。证明：（1）存在使得；

（2）存在使得。

证明：（1）考虑函数，因为，由零点定理，存在使得；

（2）考虑函数，因为，由罗尔中值定理，存在使得，即有。

例11：设在上无穷次可微，并且满足：存在，使得，；且，求证：在上。

四、练习题

1）求函数的阶导数。

2）设在上有阶导数，且，证明：存在，使得。

3）设在上有二阶导数，且存在使得证明：存在，使得。

4）设在区间上三次可微，证明：存在，使得

5）设函数在上是导数连续的有界函数，证明：

五、

第五篇：大学 高等数学 竞赛训练 导数、微分及其应用

导数、微分及其应用训练

一、（15分）证明：多项式无实零点。

证明：用反证法证明，设存在实根，则此根一定是负实根（因为当时，）。假设，则有。因为

由此可得，但是，这是一个矛盾。所以多项式无实零点。

二、（20分）设函数在上具有连续导数，在内二阶可导，证明：存在，使得

证明：设。对函数在区间上运用拉格朗日中值定理可得，存在使得

再对函数在区间运用拉格朗日中值定理，存在使得

由此可得

三、（20分）设是二阶可微函数，满足，且对任意的有

证明：当时。

证明：因为，设，则有

因此当时，当时。

四、（15分）设函数是可微函数，如果，证明：仅为的函数。

证明：考虑球面坐标，其中，则有，因为

所以仅为的函数。

五、（15分）设在点处可导，且。

证明：因为在点处可导，所以

又因为，所以，由此可得

六、(15分)设函数具有三阶连续导数，并且对任意的，都为正值，并且。

证明：任取数，构造函数

因为，并且只有，所以

任取正数，则有

利用拉格拉日中值定理，存在使得，所以有

又因为，所以

当时有，由的任意性可得对任给的有。

七、