D123一元微分总结

第一篇：D123一元微分总结

一元微分总结

一 导数与微分 导数

定义1 设函数yf(x)在点xx0的一个邻域有定义, 如果lim存在, 则称其为yf(x)在点xx0的导数.记作yf(x0).等价写法: limf(x)f(x0)xx0f(x0x)f(x0)x0x

xx0

方法 导数是一种特殊形式的极限.因此, 极限的各种结果适用.在一点可导与在一个区间内可导.导函数.方法 导函数是一个函数.因此, 可以研究它的各种性质.2 单侧导数

左导数与右导数.定理1 函数在一点可导的充分必要条件是: 它得左, 右导数存在且相等.3 可导与连续

定理2 如果函数在一点可导, 则它在该点连续.4 高阶导数

导函数的导数称为函数的二阶导数.5 微分

定义2 设函数yf(x)在点xx0的一个邻域有定义, 如果存在与x无关的数A, 使得limf(x0x)f(x0)Axx0x0, 则称yf(x)在点xx0可微, 而称Ax为函数在该点的微分.定理3

函数yf(x)在点xx0可微的充分必要条件是: 它在该点可导.且有Af(x0)

一阶微分形式不变性.二 计算导数与微分 工具

12xsin,x01.导数定义: 求证：函数f(x)在点x0处可导，但导函数在该点不连x0,x0续.ex,x12.单侧导数: 求a,b, 使得函数y在点x1处可导.axb,x133.四则运算: 设yx4cosxsin, 求f(x)和f().4.高阶导数: 求证: 函数y设y2，求yx(n)2xx2满足yy10.设yxsinx, 求y32(n)..1 5.反函数: 设yarctanx, 求y.设yxsinlnx, 求6.复合函数: 设ylncose, 求

xdxdy

dydx与

dydx22.dydxx07.隐函数: 求由方程y52yx3x70所确定的函数y的导数xy12siny0所确定的函数y的二阶导数

.求由方程

dy22dx8.参数方程: 计算由参数方程xa(tsint),ya(1cost)所确定的函数yy(x)的.二阶导数.设函数yy(x)的极坐标方程为ra, 求

2dydx.9.微分: 设yln(1ex), 求dy.设函数yy(x)由方程eyxye0确定, 求dy.2 技巧

1.化积商为和差: 设y1xxx2, 求y.(x1)(x2)(x3)(x4)2.对数求导法: 求yxsinx(x0)的导数.求y 的导数.三 中值定理 罗尔定理

证明中值等式(导函数的根).2 拉格朗日中值定理

1.证明中值等式.2.证明不等式.3.证明恒等式(用推论).方法 拉格朗日中值定理在函数及其导函数之间建立联系.从导函数出发, 可以研究函数.反之, 从函数出发也可以研究导函数.3 柯西中值定理

证明中值等式: 4 洛必达法则

1.商: limesinxx(1x)tan11cosx3xx0x.2.差：limx0122limxxln1..2xxx11cosxsinx3.幂指函数：limx0x.2 4.数列极限: limnn112n.limncose2n.nn4 5.抽象函数：设函数f(x)在点xa二次可导, 且f(a)0, 计算极限 11lim.xaf(x)f(a)(xa)f(a)已知lim6f(x)f(x)sin6x, 求.lim0232x0x0xxx5 泰勒公式

近似计算.四 函数的性质 单调性判定

1.单调函数: 判定函数yx3的单调性.2.函数的单调区间: 确定函数y32x23x的单调区间.3.证明题: 设函数f(x)在区间[0,)上连续, 在(0,)内可导.且f(0)0,f(x)单调增加, 则函数F(x)f(x)x在区间(0,)内单调增加.2 凸凹性判定

1.凸函数: 判定函数ylnx的凸凹性.2.函数的凸区间: 确定函数yx36x1的凸凹区间.3.证明题: 设函数f(x)0二次可导, 且有f(x)f(x)[f(x)]2, 求证: 函数F(x)lnf(x)是下凸函数.3 拐点

1.二阶导数条件: 求曲线y3x的拐点.4 极值

1.必要条件: 费马定理, 驻点.2.一阶导数充分条件: 求函数y1(x2)值.422/3的极值.求函数y(x1)1的极

233.二阶导数充分条件: 求函数yx2x4的极值.4.证明题: 设函数yf(x)满足limf(x)1cosxx02, 则点x0是f(x)的极小值点.5 最值

1.闭区间候选点: 驻点, 不可导点, 端点.求函数y2x3x12x14在区间[3,4]上的最值.322.开区间用一阶导数充分条件: 求函数yxe的最小值.x 3 五 几何应用 切线与法线

1.显函数: 求函数yxlnx在点(e,e)处的法线方程.2.隐函数: 求椭圆

3)处的切线方程.2ab3.参数方程: 已知椭圆的参数方程xacost,ybsint,0t2, 求椭圆在点

2x2y221上点(2,3t4处的切线方程.44.极坐标: 求曲线re在点处的切线的直角坐标方程.(变成参数方程.)

x25.在曲线上求点, 使得该点处的切线满足所给条件: 在椭圆

4y291上求点, 使得该点处的切线与直线2x3y1平行.求曲线yx3/2通过点(5,11)的切线方程.6.证明题: 曲线xya上任意一点处的切线在两坐标轴上的截距之和等于常数.2 曲率

1.显函数: 求抛物线yax2bxc上曲率的最大值.六 等式与不等式 证明恒等式

1.拉格朗日中值定理的推论: 求证: 当1x1时, 有arcsinxarccosx

2.2 证明中值等式

1.罗尔定理: 设函数f(x)在[a,b]上连续, 在(a,b)内可导, 且f(a)f(b)0, 求证: 存在(a,b), 使得f()f()0.(令F(x)ef(x).)2.拉格朗日中值定理: 设函数f(x)0在区间[a,b]上可导, 求证: 存在(a,b), 使得f(b)f().ln(ba)f(a)f()3.柯西中值定理: 设函数f(x)在区间[a,b]上连续, 在(a,b)内可导, 其中0ab, 则存在(a,b), 使得f(b)f(a)f()ln

bax.3 证明不等式

1.拉格朗日中值定理: 求证: 当x0时, 有2.单调性: 求证: 当x1时, 2x3x3.最值: 求证: 当x1时, 有ex1xln(1x)x.1x.11x.4

xy4.凸凹性: 求证: 当xy时, ee

xy2e2.七 方程的根 存在性(下限)1.零点定理(函数): 求证: 方程x2x1在区间(0,1)内至少有一个根.2.罗尔定理(导函数): 设a12a22n在区间(0,1)内至少有一个根.设yf(x)在[0,1]上连续, 在(0,1)内有二阶导数, 且f(1)0, 令F(x)xf(x), 求证: 存在(0,1), 使得F()0.(先证存在an0, 求证: 方程a1a2xanxn10(0,1), 使得F()0.)2 唯一性(上限)1.单调性: 求证: 方程x3x10在区间(0,1)内恰有一个根.设函数yf(x)可导, 且满足f(x)f(x)0, 求证: 方程f(x)0至多有一个实根.3 讨论个数

1.作图: 研究方程lnxkx的根的个数.八近似计算 函数值

微分: f(x0x)f(x0)f(x0)x

第二篇：第二章导数与微分总结

第二章 导数与微分总结

一、导数与微分概念

1．导数的定义

设函数yfx在点x0的某领域内有定义，自变量x在x0处有增量x，相应地函数增量yfx0xfx0。如果极限

limfx0xfx0y limx0xx0x，存在，则称此极限值为函数fx在x0处的导数（也称微商），记作fx0，或yxx0dfxdy，等，并称函数yfx在点x0处可导。如果上面的极限不存在，xxxxdxdx00则称函数yfx在点x0处不可导。

导数定义的另一等价形式，令xx0x，xxx0，则fx0limxx0fxfx0

xx0fxfx0fx0xfx0lim x0xx0xfxfx0fx0xfx0lim x0xx0x

我们也引进单侧导数概念。

右导数：fx0limxx0

左导数：fx0limxx0

则有

fx在点x0处可导fx在点x0处左、右导数皆存在且相等。

2．导数的几何意义与物理意义

如果函数yfx在点x0处导数fx0存在，则在几何上fx0表示曲线yfx在点x0,fx0处的切线的斜率。

切线方程：yfx0fx0xx0

法线方程：yfx01xx0fx00 fx0

设物体作直线运动时路程S与时间t的函数关系为Sft，如果ft0存在，则ft0表示物体在时刻t0时的瞬时速度。

3．函数的可导性与连续性之间的关系

如果函数yfx在点x0处可导，则fx在点x0处一定连续，反之不然，即函数yfx在点x0处连续，却不一定在点x0处可导。例如，yfxx，在x00处连续，却不可导。

4．微分的定义

设函数yfx在点x0处有增量x时，如果函数的增量yfx0xfx0有下面的表达式

yAx0xox

x0

其中Ax0为x为无关，ox是x0时比x高阶的无穷小，则称fx在x0处可微，并把y中的主要线性部分Ax0x称为fx在x0处的微分，记以dy或

xx0dfxxx0。

我们定义自变量的微分dx就是x。

5．微分的几何意义

yfx0xfx0是曲线yfx在点x0处相应于自变量增量x的纵坐标fx0的增量，微分dy增量（见图）。xx0是曲线yfx在点M0x0,fx0处切线的纵坐标相应的6．可微与可导的关系

fx在x0处可微fx在x0处可导。

且dyxx0Ax0xfx0dx

一般地，yfx则dyfxdx

所以导数fxdy也称为微商，就是微分之商的含义。dx

7．高阶导数的概念

如果函数yfx的导数yfx在点x0处仍是可导的，则把yfx在点x0处

d2y的导数称为yfx在点x0处的二阶导数，记以y，或fx0，或等，xx0dx2xx0也称fx在点x0处二阶可导。

如果yfx的n1阶导数的导数存在，称为yfx的n阶导数，记以yn，dnyyx，n等，这时也称yfx是n阶可导。

dxn

二、导数与微分计算

1．导数与微分表（略）

2．导数与微分的运算法则

（1）四则运算求导和微分公式

[f1f2]f1f2f1f2

[f1f2f3]f1f2f3f1f2f3f1f2f3 '''''''f'f'gfg'

() 2gg

（2）反函数求导公式

设yf(x)的反函数为xg(y)，则g(y)

（3）复合函数求导和微分公式

设yf(u),ug(x)，则

（4）隐函数求导法则

每一次对x求导，把y看作中间变量，然后解出y

例：exy''11 ''f(x)f[g(y)]dydyduf'[g(x)]g'(x)dxdudxsin(3x2y)5x6y7，确定yy(x)，求y'

解：两边每一项对x求导，把y看作中间变量

exy(1y')[cos(3x2y)](32y')56y'0

'

然后把y解出来

（5）对数求导法

取对数后，用隐函数求导法则

y

lny

求导得

(x1)(x2)

(x3)(x4)1[ln(x1)ln(x2)ln(x3)ln(x4)] 2y'11111()y2x1x2x3x4

解出y'

yxxx0

xlnx

ye 解出y'

lnyxlnx

y'lnx1解出y' y

（6）用参数表示函数的求导公式

dydydt'(t)设x(t),y(t),则dxdx'(t)dt

('(t)0)

第三篇：微分几何期中考试

2009—2010年微分几何期中考试试题

一、判断题（10分）

1.在光滑曲线的正常点处，切线存在而且唯一。()

2.空间曲线的曲率与挠率完全确定了空间曲线的形状。()

3.保角变换一定是等距变换。()

4.挠率是空间曲线的副法向量对于弧长的旋转速度。（）

5.空间曲线穿过密切平面和从切平面,不穿过法平面。()

二、计算与证明题：

1．已知圆柱螺线的参数方程

(C):r={acost,asint,bt},t R

（1）求曲线C上任一点M的基本向量a,b,g。

（2）求曲线C上任一点M及A(a,0,0)点的切线和法平面及密切平面的一般方程。

（3）求曲线C的主法线曲面的参数方程和一般方程。

2．已知空间曲线(Viniani曲线)：

222ìïx+y+z=1(C):ïí22ïïîx+y=x

求曲线C在(0,0,1)点的曲率。

3．

第四篇：第四版微分几何期末复习总结

1.求I弧长和交角.(1)Idu2sinh2udv2,求u=v的弧长.解：u=vIdu2sinh2udu2=（1+sinh2u）du2=cosh2udu2,设曲线u=v上两点A(u1),B(u2)u10,则在P0邻近K>0,从而对于围绕P0点的充分小的曲边四边形有Kd0得出矛盾，GK0,即曲面为可展曲面.(2)若曲面s的高斯曲率处处小于零，闭测地线....证:若存在所述闭测地线C,它所围成的曲面部分为G,由高斯-波涅公式得KdGkGgds(i)2.i1k因为K0,则Kd0,又后两项均为0，得出矛盾，所以不存在所述闭测地线.G6.证明曲线x13t3t2,y22t5t2,z1t2为平面曲线，并求出所在平面方程.证：因为r,r1，r2，r3=0=0平面曲线；令t=0r=1，2，1r1=3，-20,因为平面曲线平面方程即密切平面R-r,r1，r2=0，所以方程为2x+3y+19z-27=0k0直线.7.证明如果曲线:r=r(s)为一般螺线,,为的切线向量和主法向量，R为的曲率半径,证明:r(s)R-ds也是一般螺线.证：将r*=R-ds两边对s求微商，(ds/ds)=R,所以*=;因为是一般螺线，所以存在向量P:P=c=常数***P=P=c=常数.即得证也是一般螺线.k/t常数一般螺线8.求切平面:(1)圆柱面r=Rcos,Rsin,z.解:求r,rz(Rr,r,rz)0即XcosYsinR=0;(2)证明曲面r=u,v,a3/(uv)体积为常数.证:求ru,rv(Rr,ru,rv)0即a3/(u2v)Xa3/(u2v)YZ3a3/(uv)=0V=(1/3)(1/2)3u3v(3a/uv)=(9/2)ac9.三线三面：法平面（R-r0）r010；密切R-r0，r01，r02=0;从切R-r0，r01r02,r01=0；33 10.证明对于正螺面rucosv,usinv,bv，-u,-v, 处处有EN2FMGL0.证：由于rucosv,usinv,bv;rucosv,sinv,0;rvusinv,ucosv,b;ruu0,0,0;ruvsinv,cosv,0;rvvucosv,usinv,0;22所以E1,F0,Gub.n1/u2b2bsinv,bcosv,u.L0,Mb,N0.故EN2FMGL0.11.求出抛物面z1/2(ax2by2)在（0,0）点,方向（dx，dy）的法曲率。解：因为rx,y,1/2(ax2by2),所以pax,qby.ra,s0,tb.在（0,0）点有p0=0，q00,r0a,s00,t0b,E1,F0,G1,La,M0,Nb.Idx2dy2,IIadx2bdy2,故在（0,0）点沿方向（dx：dy）的法曲率为：k（II/I[adx2bdy2]/[dx2dy2][a(ndx：dy）

1212切线R-r0=r1(0);主法线R-r0=（r01r0r0）;副法线R-r0=(r0r0).dx2dx)b]/[()21]dydy

第五篇：有关微分与积分章节知识点的总结

有关微分与积分章节知识点的总结

姜维谦PB0820706

3一元函数的积分

一．求不定积分

1.积分基本公式

2.换元积分法

凑微分法∫f(u(x))u’(x)dx=∫f(u(x))du(x)=F(u(x))+C

第二换元法∫f(x)dx=∫f(u(t))u’(t)dt=F(u-1(x))+C

注意：x=u(t)应单调（可以反解）—不单调时应分类讨论(e:g开方去绝对值时)

3.分部积分法

∫u(x)dv(x)=u(x)v(x)-∫v(x)du(x)

适用于解异名函数“反对幂三指”（与dx结合性递增）

应用：解二元方程，递推式

e.g:①In=∫(lnx)n(次方)dx,n>=

1②In=∫dx/(x2+a2)^n(次方)，n>=1

4.模式函数：有理函数类

⑴整形分式—部分分式法（通解）

∫P(x)/Q(x)dx——分离常数得既约真分式与多项式——Q(x)因式分解化为部分分式和 ——待定系数后比较系数（还可以结合赋值，求导数，取极限等）

——化为Ik=∫dx/(x-a)^k(次方)类与Jk=∫(Bx+C)/(x2+bx+c)^k(次方)dx类积分 ⑵三角有理式

㈠万能代换（通解）

㈡特殊代换R(cosx,sinx)=-R(cosx,-sinx)

R(cosx,sinx)=-R(-cosx,sinx)

R(cosx,sinx)=R(-cosx,-sinx)

⑶可有理化的无理式

㈠三角换元

㈡代数换元∫R(x,(ax+b)/(cx+d)^1/m(次方))

∫R(x,(ax2+bx+c)^1/2(次方))——Euler代换消除平方项

注：三角有理式，可有理化的无理式均可以通过代换转化为标准有理函数形式后积分，但通解过程均较繁琐。故而在求解有理函数类积分时应适当考虑凑配，变形等技巧并 利用上述1.2.3.常用方法简化运算详见书P103

一．求定积分

1.N-L公式（形式直接易求）∫

在[a,b]上连续，x在[a,b]上)(积分形式的微积分基本定理)

~微分形式：F(x)=是f(t)的一个原函数 2.Riemann积分

步骤：分割——求和近似——取极限

~求极限（T

(注意x对应的上下限)

3.换元法

’(t)dt

注：①只需注意上下限的变化（不同积分变元）

②变量代换思路：被积函数，积分上下限，无穷积分与常义积分的转化

③观察利用被积函数在积分区间上的对称关系

&

e.g:Im=次方)dx=次方)dx

5.∞)

Cauchy

主值V.P.lim∫

V.P.lim∫∫

广义积分也可以用上述1.3.4.解法求解

注：求定积分时应结合分项积分与分段积分

二．积分的性质运用

1.单调性2.有界性3.积分绝对值三角不等式（Riemann和理解）

——用于放缩为“易积分形式”如常值积分

4.区间加合性 5.积分中值6.定理4.1.11

——有关积分不等式的证明

结合微分中值定理

结合Rolle定理

7．线性8.对称性

F＇(x)=(=f(x)）’=f(Ψ(x))φ’(x)-f(φ(x))φ’(x)

---积分式求导—注意区分各步的积分与微分变元

~1.研究函数极值、拐点、单调性

2.结合R’H法则求极限

3．Rolle定理

五．定积分的应用举例（详见书）

一元函数的微分

一．导数的求解

1.根据导数的定义

F’(x0)=lim(f(x)-f(x0))/(x-x0)(x->x0)

~间断点可导性判断：比较limf’(x0)（x->x0）与lim(f(x)-f(x0))/(x-x0)(x->x0)

2.复合函数

（f-1(y0)）’=1/f’(x0)(f(x)=f-1(y))

3.高阶导数

㈠Leibniz定理（uv）^(n)(n阶导数)=Σ

㈡化积商形式为和差形式

e.g:y=Pn(x)

y=㏑(ax+b)&(c/(ax+b))^(n)

sinx^(n)=sin(x+nπ/2)

~求递推关系

三．重要定理的运用

Rolle——证明ε存在性的等式（微分式的转化）

注意①辅助函数的构造

②f(a)=f(b)形式

Lagrange中值——证明不等式

求未定式极限

求函数导数

~研究函数性质——单调性—不等式证明

求极小（大）值、最值

凹凸性判断㈠定义㈡f’’(x)

渐近线求法①垂直渐近线②非垂直渐近线

Cauchy中值——证明不等式

求未定式极限

L’H法则注：①l可以无穷大，x0任意

②适用于0/0、∞/∞型，其他形式未定式应做适当转化

Taylor公式——等价无穷小量

有关ε的恒等式证明

四．求未定式极限

㈠R’H法则（仅适用于未定式）

㈡中值定理

㈢重要极限~幂指函数的转化

㈣等价无穷小量（因子替换）

㈤Taylor展开---统一形式

注：各种极限求法各有其使用范围，在具体求解过程中还应考虑比较优化、综合运用

结语：由于个人对知识的理解有限，所以只能在知识点方面作出一点总结，而无法就某个方面作深入的探讨。另外，鉴于本人对Word中数学语言表述的能力更加有限，在一些语言和

知识点上无法详细阐明，并且版面质量较差，敬请见谅姜维谦（PB08207063）