微分中值定理的证明题

第一篇：微分中值定理的证明题

微分中值定理的证明题

1.若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，f(a)f(b)0，证明：R，(a,b)使得：f()f()0。

证：构造函数F(x)f(x)ex，则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，（a,b)，使F()0 且F(a)F(b)0，由罗尔中值定理知： 即：[f()f()]e0，而e0，故f()f()0。

2.设a,b0，证明：(a,b)，使得aebbea(1)e(ab)。

1111 证：将上等式变形得：ee(1)e()

baba1x11b11a111111作辅助函数f(x)xe，则f(x)在[,]上连续，在(,)内可导，baba 由拉格朗日定理得：

11f()f()baf(1)1(1,1)，11baba11b1a1ee1a(1)e

1(1,1)，即 b11baba

即：

aebbea(1)e(ab)

(a,b)。

3.设f(x)在(0,1)内有二阶导数，且f(1)0，有F(x)x2f(x)证明：在(0,1)

内至少存在一点，使得：F()0。

证：显然F(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，又F(0)F(1)0，故由罗尔定理知：x0(0,1)，使得F(x0)0

又F(x)2xf(x)x2f(x)，故F(0)0，于是F(x)在[0，x0]上满足罗尔定理条件，故存在(0,x0)，使得：F()0，而(0,x0)(0,1)，即证 4.设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，f(0)0，f(1)1.证明：(1)在(0,1)内存在，使得f()1．

(2)在(0,1)内存在两个不同的点，使得f/()f/()1

【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【证明】（I）

令F(x)f(x)1x，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在(0,1), 使得F()0，即f()1.（II）在[0,]和[,1]上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，存在两个不同的点(0,),(,1)，使得f()于是，由问题（1）的结论有

f()f()f()1f()11.11f()f(0)f(1)f()，f()

015.设f(x)在[0，2a]上连续，f(0)f(2a)，证明在[0,a]上存在使得

f(a)f().【分析】f(x)在[0,2a]上连续，条件中没有涉及导数或微分，用介值定理或根的存在性定理证明。辅助函数可如下得到

f(a)f()f(a)f()0f(ax)f(x)0

【证明】令G(x)f(ax)f(x)，x[0,a]．G(x)在[0,a]上连续，且

G(a)f(2a)f(a)f(0)f(a)

G(0)f(a)f(0)

当f(a)f(0)时，取0，即有f(a)f()；

当f(a)f(0)时，G(0)G(a)0，由根的存在性定理知存在(0,a)使得，G()0，即f(a)f()．

6.若f(x)在[0,1]上可导，且当x[0,1]时有0f(x)1，且f(x)1，证明：在(0,1)内有且仅有一个点使得f() 证明：存在性

构造辅助函数F(x)f(x)x

则F(x)在[0,1]上连续，且有F(0)f(0)00，F(1)f(1)10，由零点定理可知：F(x)在(0,1)内至少存在一点，使得F()0，即：f()

唯一性：（反证法）

假设有两个点1,2(0,1)，且12，使得F(1)F(2)0

F(x)在[0,1]上连续且可导，且[1,2][0,1] 

F(x)在[1,2]上满足Rolle定理条件

必存在一点(1,2)，使得：F()f()10

即：f()1，这与已知中f(x)1矛盾

假设不成立，即：F(x)f(x)x在(0,1)内仅有一个根，综上所述：在(0,1)内有且仅有一个点，使得f()

17.设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0，f()=1。试

2(x)=1。证至少存在一个(0，1)，使f¢分析：f'()=1f'(x)=1f(x)=xf(x)x=0 令 F(x)= f(x)x 证明： 令 F(x)= f(x)x

F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，F(1)= f(1)110(f(1)0)F(11111)= f()0(f()1)222221由介值定理可知，一个(，1)，使 F()=0 又 F(0)=f(0)0=0 对F(x)在[0，1]上用Rolle定理，一个(0，)(0，1)使

F'()=0 即 f'()=1 8.设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)f(1)试证存在和.满足01，使f()f()0。

证 由拉格朗日中值定理知，1f()f(0)12f()(0,)

12021f(1)f()12f()(,1)

121211f()f(0)f(1)f()20 f()f()211229.设f(x)在[a,b]上连续,(a,b)内可导(0ab),f(a)f(b), 证明: ,(a,b)使得 f()abf().(1)2证:(用(ba)乘于(1)式两端,知)(1)式等价于

f()f()2(ba)(ba2).(2)12

为证此式,只要取F(x)f(x),取G(x)x和x在[a,b]上分别应用Cauchy中值定理,则知

2f()f()2(ba)(ba2), f(b)f(a)12其中,(a,b).10.已知函数f(x)在[0 ,1]上连续，在（0，1）内可导，0ab，证明存在,(a,b)，使32f/()(a2abb2)f/()

f/()f(b)f(a)解：利用柯西中值定理 2333ba而f(b)f(a)f/()(ba)

则

f/()f(b)f(a)f/()(ba)f/()（后面略）22333323babaaabb/11.设f(x)在xa时连续，f(a)0，当xa时，f(x)k0，则在(a,af(a))k内f(x)0有唯一的实根

/解：因为f(x)k0，则f(x)在(a,af(a))上单调增加 kf(a)f(a)f/()/f(a)f(a)f()f(a)[1]0（中值定理）

kkk而f(a)0故在(a,af(a))内f(x)0有唯一的实根 k12t0tsin12.试问如下推论过程是否正确。对函数f(t)在[0,x]上应用拉tt00格朗日中值定理得：

1x2sin0f(x)f(0)111xxsinf()2sinc(0sx)

ox0x0x

即：cos12sin1xsin1)

(0x

x1xsin limx00，il2nsi0

因0x，故当x0时，由m010 x

得：limcosx0

10，即limcos010

解：我们已经知道，limcos010不存在，故以上推理过程错误。

首先应注意：上面应用拉格朗日中值的是个中值点，是由f和区间[0,x]的

端点而定的，具体地说，与x有关系，是依赖于x的，当x0时，不 一定连续地趋于零，它可以跳跃地取某些值趋于零，从而使limcosx010成

立，而limcos010中要求是连续地趋于零。故由limcosx010推不出

0limcos10

13.证明：0x2成立xtgxx。cos2x

证明：作辅助函数f(x)tgx，则f(x)在[0,x]上连续，在(0,x)内可导，由拉格朗日定理知：

f(x)f(0)tgx1(0,x)f()x0xcos2即：tgx1x(0,)(0,)，因在内单调递减，故在cosx22cosx22cos111xxx即： cos20cos2cos2xcos2cos2x内单调递增，故

即：xtgx1。cos2x

注：利用拉格朗日中值定理证明不等式，首先由不等式出发，选择合适的函数f(x)及相应的区间[a,b]，然后验证条件，利用定理得

f()(ba(a,b)

f(b)f(a)，再根据f(x)在(a,b)内符号或单调

证明不等式。14.证明：当0x时，sinxtgx2x。

证明：作辅助函数(x)sinxtgx2x

则(x)cosxsec2x2

12 cos2x1cos2x2 2cosxcosxx(0,)

2

(cosx0

12)cosx

故(x)在(0,)上单调递减，又因(0)0，(x)在(0,)上连续，22

故 (x)(0)=0，即：sinxtgx2x0，即：sinxtgx2x。

注：利用单调性证明不等式是常用方法之一，欲证当xI时f(x)g(x)，常用辅助函数(x)f(x)g(x)，则将问题转化证(x)0，然后在I上

讨论(x)的单调性，进而完成证明。

15.证明：若f(x)二阶可导，且f(x)0，f(0)0，则F(x),内单调递增。)

(0

f(x)在 x证明：因F(x)xf(x)f(x)，要证F(x)单调递增，只需证F(x)0，2x

即证xf(x)f(x)0。

设G(x)xf(x)f(x)，则G(x)xf(x)f(x)f(x)xf(x)，因为

f(x)0，x0，故G(x)是单调递增函数，而G(0)0f(x)00，因此G(x)G(0)，即：xf(x)f(x)0，即：F(x)0，即F(x)当x0时单调递增。

第二篇：有关中值定理的证明题

中值定理证明题集锦

1、已知函数f(x)具有二阶导数，且limx0f(x)0，f(1)0，试证：在区间(0,1)内至少x存在一点，使得f()0.证：由limf(x)，由此又得00，可得limf(x)0，由连续性得f(0)x0x0xf(x)f(0)f(x)f(0)limlim0，由f(0)f(1)0及题设条件知f(x)在[0,1]x0x0x0x上满足罗尔中值定理条件，因此至少存在一点 c(0,1)，使得f(c)0，又因为f(0)f(c)0，并由题设条件知f(x)在[0,c]上满足拉格朗日中值定理的条件，由拉格朗日中值定理知，在区间(0,1)内至少存在一点，使得f()0.2、设f(x)在[0,a]上连续，在(0,a)内可导，且f(a)0，证明：存在一点(0,a)，使得f()f()0.证：分析：要证结论即为：[xf(x)]x0.令F(x)xf(x)，则F(x)在[0,a]上连续，在(0,a)内可导，且F(0)F(a)0，因此故存在一点(0,a)，使得F()0，F(x)xf(x)在[0,a]上满足罗尔中值定理的条件，即f()f()0.注1：此题可改为：

设f(x)在[0,a]上连续，在(0,a)内可导，且f(a)0，证明：存在一点(0,a)，使得

nf()f()0.)nf()（0给分析：要证结论nf()f()等价于nn1f(nn1n，而nf()f()0即为[xf(x)]x0.nf()f()两端同乘以n1）故令F(x)xf(x)，则F(x)在[0,a]上满足罗尔中值定理的条件，由此可证结论.注2：此题与下面例题情况亦类似：

设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)0，x(0,1)，有f(x)0，证：nnN，(0,1)，使得

nf()f(1)成立.f()f(1)分析：要证结论可变形为nf()f(1)f()f(1)0，它等价于nfn1()f()f(1)fn()f(1)0(给nf()f(1)f()f(1)0两端同乘以fn1())，而nfn1(f)f()(fn1f)(即)为(1)0[fn(x)fx1(x，用罗尔中值定理)]0.以上三题是同类型题.3、已知函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)f(1)0，f()1，证明：（1）存在一点(,1)，使f().（2）存在一点(0,)，使f()1.（3）存在一点x0(0,)，使f(x0)1(f(x0)x0).证：（1）分析：要证结论即为：f()0.12121211111显然F(x)在[,1]上连续，且F()f()0，F(1)f(1)110，2222211因此F(x)在[,1]上满足零点定理的条件，由零点定理知，存在(,1)，使F()0，22令F(x)f(x)x，则只需证明F(x)在(,1)内有零点即可。即f().（2）又因为F(0)f(0)00，由(1)知F()0，因此F(x)在[0,]上满足罗尔中值定理条件，故存在一点(0,)，使F()0，即f()10，即f()1.（3）分析：结论f(x0)1(f(x0)x0)即就是F(x0)F(x0)或F(x0)F(x0)0，F(x0)F(x0)0ex0[F(x0)F(x0)]0，即[exF(x)]xx00.故令G(x)exF(x)，则由题设条件知，G(x)在[0,]上连续，在(0,)内可导，且G(0)e0F(0)0，G()eF()0,则G(x)在[0,]上满足罗尔中值定理条件，命题得证.4、设f(x)在[0,x]上可导，且f(0)0，试证：至少存在一点(0,x)，使得f(x)(1)ln(1x)f().证：分析：要证结论即为： f(x)f(0)(1)[ln(1x)ln1]f(),也就是f(x)f(0)f()，因此只需对函数f(t)和ln(1t)在区间[0,x]上应用柯西中值定理1ln(1x)ln11即可.5、设f(x)、g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，f(a)f(b)0，且g(x)0，证明：至少存在一点(a,b)，使得f()g()f()g().证：分析：要证结论即为： f()g()f()g()0,等价于

f()g()f()g()0，2g()即就是[即可.f(x)f(x)在区间[a,b]上应用罗尔中值定理]x0，因此只需验证函数F(x)g(x)g(x)

6、设f(x)在[x1,x2]上可导，且0x1x2，试证：至少存在一点(x1,x2)，使得x1f(x2)x2f(x1)f()f().x1x2f(x2)f(x1)f(x)()xx2x1x证：分析：要证结论即为： ,因此只需对函f()f()111()xx2x1x数f(x)1和在区间[x1,x2]上应用柯西中值定理即可.xx此题亦可改为：

设f(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，若0ab，试证：至少存在一点(a,b)，使得af(b)bf(a)[f()f()](ab).7、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)0，试证：（1）(a,b)，使得f()f()0；（2）(a,b)，使得f()f()0.证:（1）令F(x)xf(x)，利用罗尔中值定理即证结论.（2）分析：f()f()0e[f()f()]0[e22x22f(x)]x0，因此令F(x)ex22f(x)，利用罗尔中值定理即证结论.8、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)1，试证：,(a,b)，使得e[f()f()]1.[exf(x)]xe[f()f()]证：分析：要证结论即为1，即就是1.xe(e)x令F(x)ef(x)，令G(x)e，则F(x)和G(x)在[a,b]上满足拉格朗日中值定理的条件，由拉格朗日中值定理知： xxebf(b)eaf(a)ebea，即就是e[f()f()].(a,b)，使得F()babaebeaebea，即就是e.(a,b)，使得F()babae[f()f()]因此，有1，即就是e[f()f()]1.e9、设f(x)、g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)g(a)，f(b)g(b)，试证：(a,b)，使得f()g().0.证：分析：要证结论即为[f(x)g(x)]x令F(x)f(x)g(x)，（1）若f(x)、g(x)在(a,b)内的同一点处取得相同的最大值，不妨设都在c点处取得最大值，则F(a)F(c)F(b)0(acb)，则F(x)分别在[a,c]、[c,b]上满足罗尔中值定理条件，故1(a,c)，2(c,b)使得F(1)0，F(2)0.由题设又知，F(x)在[1,2]上满足洛尔定理条件，故存在(1,2)，使得F()0，即就是f()g()].（2）若f(x)、g(x)在(a,b)内的不同的点处取得相同的最大值，不妨设f(x)在p点处、g(x)在q点处取得最大值，且pq，则F(p)f(p)g(p)，F(q)f(q)g(q)0，由零点定理知，c(p,q)(0,1)，使得F(c)0，由此得 F(a)F(c)F(b)0(acb)，后面证明与（1）相同.10、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(x)0，若极限limxaf(2xa)存在，xa试证：（1）存在一点(a,b)，使得

b2a2baf(x)dx22； f()22b（2）在(a,b)内存在异于的点，使得f()(ba)f(x)dx.；

aa证：（1）令F(x)xaf(t)dt，G(x)x2，则F(x)、G(x)在[a,b]上满足柯西中值定理

b2a2ba条件，故存在一点(a,b)，使得

b2a2af(t)dtf(t)dta2成立，即就是f()bab222成立，即就是2f(x)dx(ba)f()成立.af(x)dxf()（2）由（1）知，2ba22因此要证f()(ba)f(x)dx(b2a2)f()，2bf(x)dx.，aa即要证f()(ba)221a(b2a2)f(，)即要证f()(a)f(，)由已知

xalimf(2xa)f(2xa)0，可得，lim从而得f(a)0，因此要证f()(a)f()，xaxa即要证f()(a)f()f(a)，显然只需验证f(x)在[a,]上满足拉格朗日中值定理条件即可。

第三篇：2018考研数学 中值定理证明题技巧

为学生引路，为学员服务

2018考研数学 中值定理证明题技巧

在考研数学中，有关中值定理的证明题型是一个重要考点，也是一个让很多同学感到比较困惑的考点，不少同学在读完题目后不知从何下手，不会分析证明，找不到思路，之所以会出现这样的情况，主要是因为这些同学对中值定理证明题型的特点缺乏清晰的认识，对其分析和证明方法没有完全理解和掌握，为了协助这样的同学克服这方面的困难，下面本文对这类题的特点和证明方法做些分析总结，供各位考生参考。

一、中值定理证明题的特点

中值定理证明题主要有以下一些特点：

1.中值定理证明题常常需要作辅助函数；

2.中值定理证明题经常在一个题中需要结合运用三个知识点，分别是：连续函数在闭区间上的性质（包括最大值和最小值定理、零点定理和介质定理），微分中值定理和积分中值定理；

3.中值定理证明题可能需要在一个问题的证明中反复运用同一个微分中值定理两次甚至三次，比如罗尔中值定理或拉格朗日中值定理；

4.从历年考研数学真题变化规律来看，证明中用得最多的主要是罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，而泰勒中值定理和柯西中值定理则用得很少。

二、中值定理证明题的常用方法

中值定理证明题有不同的类型，对不同的类型需要运用不同的方法，主要的和常用的方法包括以下几种：

1.如果题目条件中出现关于函数值的等式，而函数是连续的，则可能需要运用连续函数在闭区间上的性质进行证明；对导数是连续的情况也可以对导函数运用连续函数的性质；

2.如果题目条件中出现关于定积分的等式，则可能需要运用积分中值定理；

3.对于以下这类问题一般使用罗尔中值定理进行证明：

6、如果是要证明两函数差值比的中值等式，或证明两函数导数比的中值等式，则可能需要利用柯西中值定理进行证明。

对于上面总结介绍的各种证明方法，在实际问题中要根据具体情况灵活运用，另外，对于需要作辅助函数的证明题，常常通过还原法分析找出需要的辅助函数，对于含积分等式的证明题，常常需要作变积分限的函数作为辅助函数，这种方法也是证明积分等式或不等式的主要方法之一，这些分析总结希望对大家提高中值定理证明题的解题能力有所帮助。最后预祝各位考研成功、金榜题名！

第四篇：高等数学考研大总结之五 微分中值定理

第五章微分中值定理

一，罗尔（Rolle）中值定理费马（Fermat）引理：设fx在点x0取得极值，且f/x0存在则f/x0=0。解析：几何意义：曲线在极值点处的切线是平行于x轴的。

2罗尔（Rolle）中值定理：函数fx在闭区间a,b上连续，在开区间a,b内可导（每一点都具有导数）并且在闭区间a,b的端点函数值相等，即：fafb，那么在开区间a,b内至少有一点使得f/0。

解析：⑴该定理是奠定一系列中值定理的基础。

⑵此定理反映了由区间端点函数值的情况来表现区间内导函数值的变化情况，给出了点的具体位置和计算方法（与Lagrange中值定理的区别）。

⑶几何意义：若连接曲线两端点的弦是水平的，则曲线上至少有一点的切线是水平的。⑷两个推论：①推论1：如果函数fx在区间a,b内的导数恒等于零，那么函数fx在区间a,b内是一个常数。②推论2：如果函数fx在区间a,b内处处有

。f/xg/x，则在此区间内fxgxC（常数）

二，拉格朗日（Lagrange）中值定理

设函数fx在闭区间a,b上连续且在开区间a,b内可导（每一点都具有导数）那么在开区间a,b内至少有一点ab使等式fbfaf

该定理的其它几种表示形式：⑴f//ba成立。fbfa ba

AB解析：反映其几何意义：如果连接曲线yfx的弧上除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，那么这弧上至少有一点，使曲线在处的切线平行于弦AB。

⑵令aba,01则fbfaf/ababa,01。解析：由于的特定取值范围，所以在证明不等式时较常用，若令ax0,bx0h那么有：fx0hfx0f/x0hh,01。

⑶有限增量公式：如果用x表示ba则函数增量yfbfa，这时该定理变成yf/x。

解析：⑴从理论上与微分的区别：该公式准确的表明了函数增量与自变量增量（不要求其趋第1页

于零或比较小而仅要求其为有限增量）的关系，而微分只能近似的表示这一关系，并且要求

x比较小，而且当x0时dy表示y的误差才趋于零。但在实际应用中仍常用微分去

近似表示函数值的改变量。⑵类比与上式，则还可表示为yf三，柯西(Cauchy)中值定理

设两个函数fx和gx在闭区间a,b上连续且在开区间a,b内可导（每一点都具有导数）且g/x在a,b内每一点均不为零，则在a,b内至少存在一点使得

/

xxx,01。

fbfaf/,ab成立。gbgag/解析：⑴要求分子与分母中的是同一个值。⑵

类

比

于

Lagrange

定

理，此

定

理

可

表

示

为

fx0hfx0f/x0h

,01。

gx0hgx0g/x0h四，Rolle,Lagrange,Cauchy中值定理间的关系

xxfafb

CauchygLagrangeRolle

五，泰勒(Taylor)中值定理定义：若fx在a,b上有直到n阶连续的导数，在开区间a,b上n1阶导数存在，则

对

于

任

意的x,x0a,b

有：

fxfx0

f

/

x0

1！

xx0

f

//

x0

2！

xx0

fnx0xx0nRnx其中

n！

fn1称为余项（与误差估计有关）。其中当x0xx0n1（介于x与x0之间）Rnx

n1！

取零时的泰勒(Taylor)公式称为麦克劳林（Maclaurin）公式。

解析：使复杂函数成为简单函数的有效方法。2 各种形式的泰勒(Taylor)公式

⑴带有皮亚诺（Peano）余项的泰勒

(Taylor)公式：

f/x0f//x0fnx02nn

Taylor:fxfxxxxxxxxx,xx000000

1！2！n！///n

Maclaurin:fxf0f0xf0x2f0xnxn,x01！2！n！





⑵带有Lagrange余项的泰勒(Taylor)公式：

f/x0f//x0fnx0fn12nn1

Taylor:fxfxxxxxxxxx00000

n11！2！n！

///nn1

xxn1,01Maclaurin:fxf0f0xf0x2f0xnf

n11！2！n！

⑶

带

有

Cauchy

余

项的泰

勒

(Taylor)

公

式

：

nfkx0

xx0kfxn1

xnm,xxm!fk！k0Taylor:0m

gkx0n!gn1k

xx0gx 

k！k0

nxx0xnn1fkx0k

xx0fCauchy:令gxx,m0则fxk！n！k0

⑷带有积分余项的泰勒(Taylor)公式：

n

fkx01xn1kn

Taylor:fxxxftxtdt0x0

k！n！k0

kn1n1f0kxnn1Maclaurin:fxxfxt1tdt0k！n！k0常见函数的麦克劳林（Maclaurin）展式

⑴带有皮亚诺（Peano）余项的麦克劳林（Maclaurin）展式：

n

x3x5x2n1x2k1n1k12n

sinxx1x1x2n

2n12k13！5！！k1



2n2kn

x2x4nxkx2n

cosx11x1x2n

2n2k2！4！！k0



kn

xx2xnk1xn

e1x1xn

1！2！n！k！k0x





nkn

x2x3n1xk1xn

ln1xx1x1xn

23nkk1



1x



n

1212n1nnkk

1xxxx1Cxxn2！n！k1

⑵带有Langrange余项的麦克劳林（Maclaurin）展式：

sinx1

k1n

n

k1

x2k1ncosx

1x2n1,012k12n1！

x2kn1cosx

cosx11x2n2,01

2k2n2！k0

k

xkex

exn1,01

！k0k！n1x

n

ln1x1`

k1

n

k1

xkxn1n

1,x1,01n1kn11x

1x



kk

1Cx

k1

n

1n1xn1xn1,x1,01

n1！Taylor公式的应用

⑴求极限。⑵近似计算，误差估计。⑶与幂级数的关系。⑷不等式证明。六，罗比塔（L”Hospital）法则解决问题的情况：

00

。

解析：不是以上两种型的转化为以上型。例如：

“0”型，“”型，“00”型，“0”型，“1”型。需注意的问题：⑴只有未定式才能应用罗比塔（L”Hospital）法则，不是未定式，则不能用罗比塔（L”Hospital）法则，且分子与分母分别求导。

⑵只有

法则。

00

未定式才能直接应用罗比塔（L”Hospital）

00



未定

⑶求其他类型未定式的值时，就首先将其转化为

式，然后才能应用罗比塔（L”Hospital）法则。

⑷可以对未定式反复应用罗比塔（L”Hospital）法则，直到求出确定的极限值为止。⑸用对数方法求极限时还要将结果还原为指数形式。

⑹有些未定式若用罗比塔（L”Hospital）法则求不出它的值时，就改用其它方法计算。

第五篇：微分中值定理的证明与应用分析

本科生毕业论文（设计）

题

目

微分中值定理的证明与应用分析

姓

名

马华龙

学号

2009145154

院

系

电气与自动化学院

专

业

测控与仪器技术

指导教师

魏春玲

职称

教授

2012 年 5月 20日 曲阜师范大学教务处制

目录

摘要............................................................................................................................................1 Abstract.......................................................................................................................................1 1 引言........................................................................................................................................1 2 微分中值定理及其相关概念.............................................................................................1 3 微分中值定理的证明方法....................................................................................................2 3.1 费马定理............................................................................................................................2 3.2 罗尔定理............................................................................................................................3 3.3 柯西中值定理....................................................................................................................4 4 定理的推广............................................................................................................................5 5 定理的应用............................................................................................................................6 5.1 利用微分中值定理证明等式与恒等式............................................................................6 5.2 利用微分中值定理证明不等式........................................................................................7 5.3 讨论根的存在性................................................................................................................8 6 总结........................................................................................................................................9 致谢..........................................................................................................................................10 参考文献..................................................................................................................................10

微分中值定理的证明与应用分析

测控与仪器专业学生 马华龙

指导教师

魏春玲

摘要：本文首先介绍了微分中值定理的基本内容极其几何意义然后又分别介绍了三个微分中值定理，最后有介绍了中值定理的推广和应用。详细介绍了中值定理在证明等式和不等式以及性态等方面的应用。

关键词：微分中值定理 推广 应用

Differential Mean Value Theorem Proof and Application Analysis Student majoring in Measurement and control technology and instrument

Ma Hualong

Tutor

Wei Chunling

Abstract：This paper first introduces the basic content of the Differential Mean Value Theorem extremely geometric meaning, then introduced the three differential mean value theorem, and finally introduced the promotion and application of the mean value theorem.The detailed explained differential mean value theorem in proving the equality and inequality.Key Words : differential mean value theorem Promotion application.1引言

在数学研究与分析中，微分学占有极其重要的地位，它是组成数学分析的重要部分。而通过对微分学整体的学习，我们可以知道微分中值定理在它所有定理中是最基本的，而且是最重要的定理之一，微分中值定理是构成微分学的主要组成部分。因此学好微分中值定理，对我们以后的继续在数学方面的研究是非常重要的。

人们对微分中值定理的研究从微积分的建立之始就开始了，微分中值定理分为：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，它出现的过程聚集了众多数学家的研究成果。而且从费马引理到柯西中值定理使微积分不断发展，理论知识也不段的丰富和完善，是自从引进微积分来数学研究的重要工具之一，并且中值定理的应用也越来越广泛。本文将首先讨论微分中值定理的证明，然后讨论它的应用，并且主要是讨论微分中值定理在证明等式、不等式、函数为常数、函数的性态等方面的应用。微分中值定理及其相关概念

微分中值定理是一系列中值定理的总称，是研究函数的有力工具，其中最重要的内容是拉格朗日中值定理，可以说其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情况或者推广。也可以说微分中值定理就是包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、以及柯西中值定理在内的定理的总称，而中值定理的证明会用到以下的概念。

limf(x)limg(x)xx0xx0极限的局部保号性： 若，则存在Δ≥0，任意x(x0,x0)，使得f(x)g(x)。

函数的单调性： 函数f(x)在定义域内，当x1x2时，有f(x1)f(x2)，则称f(x)单调递增。当x1x2时，有f(x1)f(x2)，则称f(x)单调递减。

凹凸性： 若函数曲线位于其每一点处切线的上方(下方),则称函数曲线时下凸(上

'yf(x)f凸)的,或称函数向下凸(上凸).而若的一阶导数(x)在(a,b)上单调递增(或递减),则称f(x)在(a,b)是向上凹(下凹)的,或称函数曲线向上凹(下凹).最值：设f(x)在I上有定义,若存在x0I使任意xI，f(x0)f(x)（f(x0)f(x)），则称f(x0)为f(x)的最小值（最大值）。x0为最小值点（最大值点）。

极值：设f(x)在任意xI上有定义，若存在x0I,0,任意x(x0,x0)都有f(x)f(x0)（f(x0)f(x)），则称f(x0)为f(x)的一个极小值（极大值），x0成为极小值点（极大值点）。

除此之外，我们还应该看到罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的联系。这三个定力的关系：层层递进，步步深入，前者是后者的特殊情况，后者是前者的推广。拉格朗日中值定理和柯西中值定理都是通过构造辅助函数，然后用罗尔定理加以证明的；拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例；而罗尔定理有是拉格朗日中值定理的直接推论。微分中值定理的证明方法

3.1 费马定理

费马引理是是实分析中的一个定理，以皮埃尔·德·费马命名。通过证明函数的每一个极值都是驻点（函数的导数在该点为零），该定理给出了一个求出可微函数的最大值和最小值的方法。因此，利用费马引理，求函数的极值的问题便化为解方程的问题。需要注意的是，费马引理仅仅给出了函数在某个点为极值的必要条件。也就是说，有些驻点不是极值，它们是拐点。要想知道一个驻点是不是极值，并进一步区分最大值和最小值，我们需要分析二阶导数（如果它存在）。当该点的二阶导数大于零时，该点为极小值点；当该点的二阶导数小于零时，该点为极大值点。若二阶导数为零，则无法用该法判断，需列表判断。

xx费马引理的内容：函数f(x)在点0的某邻域U(x0)内有定义，并且在0处可导，如

'xU(x)f(x)f(x)f(x)f(x)f(x0)=0。0，都有0或者0，那么果对于任意的费马定理的几何意义:若将函数f(x)的曲线置于平面直角坐标系XOY,则费马定

x(x,f(x0))理具有几何意义:对曲线yf(x)上,若有一点0存在切线,且0为f(x)极值点.则这一点处的切线平行于x轴.证明方法：x0x为f(x)的极值点.不妨设0为极小值点,则

0,x(x0,x0),有f(x0)f(x).f(x)f(x0)0xx0xx0若,则;f(x)f(x0)0xx0xx0若,则;取极限:xx0limf(x)f(x0)f(x)f(x0)lim-xxxx0xx0与0分别为T、S

limf(x)f(x0)xx0.xx0x由于f(x)在0处可导,则T=S=由极限的局部保号性有:T0, S0.故 T=S=0.f(x)f(x0)lim0xx0f(x0)0 xx0所以有 即3.2 罗尔定理

若f(x)在[a,b]上连续，在内(a,b)可导，且f(a)f(b)，则至少存在一点a,b使f()0。

罗尔定理的几何意义：罗尔定理的三个已知条件的意义：

⒈f(x)在a,b上连续表明曲线连同端点在内是无缝隙的曲线；

⒉f(x)在a,b内可导表明曲线yf(x)在每一点处有切线存在； ⒊f(a)f(b)表明曲线的割线（直线AB）平行于x轴

'f 罗尔定理的结论的直几何意义是：在（a,b）内至少能找到一点，使()0，表明曲线上至少有一点的切线斜率为0，从而切线平行于割线AB，与x轴平行。

罗尔定理的证明：根据f是闭区间a,b上连续函数的性质，由极值定理得在

a,b 上有最大值(M)和最小值(m)。

1.如果Mm，此时f(x)在a,b上恒为常数，结论显然成立。

2.如果Mm，由条件f(a)f(b)知，两个数M，m中至少有一个不等于端点的函数值f(a)f(b)，不妨设Mf(a)（如果设mf(a)，证法完全类似），那么必定在开区间(a,b)内有一点使f()M。

'f(x)f()xa,bf法1：因此，有，由费马引理可知()0。

法2：由于f(x)在ξ处最大，故不论x是正或负，总有

f(x)f()0, 因此，当x0时，{f(x)f()}/x0，故由极限的保号性有

f'()lim{f(x)f()}/x0x0（1）

而当x0时，{f(x)f)}/x0，故

f_'()lim{f(x)f()}/x0x0（2）

''f()f由(1)，(2)两式及存在知，必有()0。

拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理的内容： 若函数f(x)满足:(1)在闭区间a,b上连续;(2)在开区间a,b内可导;则至少存在一点(a,b)使得

f(b)f(a)ba.拉格朗日定理的几何意义:如图所示,过A(a,f(a)),B(b,f(b))两点的直线斜率

f()f(b)f(a)ba,而拉格朗日定理则表明了存在于曲线上的A,B两点某点的切线必定平行于直线AB.KAB拉格朗日中值定理的证明：

利用罗尔中值定理,构造辅助函数.f(b)f(a)F(x)f(x)f(a)(xa)ba.证明 作辅助函数

f(b)f(a)F(x)f(x)f(a)(xa)ba

显然,F(x)在a,b上连续, 在a,b内可导,且f(a)f(b)0,由罗尔定理可知,存

在一点(a,b)使得F()0 即

f(b)f(a)ba

推论 设f(x)、g(x)都在区间K上可导,且f(x)g(x),则

f(x)g(x)c f()3.3 柯西中值定理

柯西中值定理的内容： 设函数f(x)、g(x)满足:(1)在闭区间a,b上连续;

(2)在开区间a,b内可导,且g(x)0;则至少存在一点(a,b)使得

f()f(b)f(a)g()g(b)g(a).柯西中值定理的证明：由定理条件可知g(b)g(a),则存在(a,b)使得g(x)0,因此,只需证

 f()g(b)g(a)g()f(b)f(a)0.为此,构造函数

F(x)f(x)g(b)g(a)g(x)f(b)f(a),xa,b 显然,F(x)在a,b上连续,在a,b内可导,且F(a)F(b)根据罗尔定理,存在(a,b)使得

F()0f()g(b)g(a)g()f(b)f(a)0

f()f(b)f(a)所以,g()g(b)g(a).即 定理的推广

前面我们已经讨论了定理之间的关系，接下来我们来看它们的推广。从前面的内容

a,b我们知道，这三个定理都要求函数fx在a,b上是连续，在内是可导。那么我们如果把定理中的闭区间a,b，把它推广到无限区间a,或,，再把开区间a,b推广到无限区间a,或,的话，则这些定理是否还能满足条件，或者我们能得出哪些相应的定理呢？

通过讨论研究我们知道，按照以上的想法把中值定理的区间，推广到无限区间上可以得到几个相应的定理，本文在此只提到其中的三个，下面给出定理以及证明。

limfxfafxa,a,x定理1 若在上连续，在内可导，且，则至少

f0a,存在一点，使成立。

证明：

111xa1tta1t令xa1，则t，即可得到关于t参数函数

t0,1当xa,时，则

limtfxftgt 即1a，t0，再令gtlimffxfaftxlim1g1limt0t0 g0limgtt0 g0g1  gt0,10,1在上连续，在内可导，且g0g1，由Rolle定理可得到，使g0成立 至少存在一点0,1令，使f0成立

证毕

limfxlimfx,,fxx定理2 若在上连续，在内可导，并且x，至

f0,少存在一点，使成立。

定理2的证明可以参照定理1。

limfxMa,a,定理3 若fx在上连续，在内可导，并且x，则至少存在，有至少存在一点a,f0，而

120.一点a,，使 成立。Mfaf21a证明：设t111xa1ta1xa1，则tt，即可得到关于t参数函数

当xa,时，则t0,1 limtfxftgt 即1a，t0，再令limgtlimtlimfxM t0t0xg0limgtMt0 gt在0,1上连续，在

0,1内可导，由Lagrange定理得

g1g010成立 至少存在一点0,1，使

g即gfaM

1令，有gf，而至少存在一点a,，使

Mfaf21a21a2，成立.证毕 定理的应用

5.1 利用微分中值定理证明等式与恒等式

在证明一些出现导数的等式时,进行适当的变形后,考虑应用微分中值定理加以证明.还有,就是我们在证明一些与中值定理有关的题目时,构造辅助函数是解决问题的关键。在证明题中巧妙选用和构造辅助函数,进行系统分析和阐述,从而证明相关结论。我们一下面一个例题来讲解。

1f(0)f(1)0,f12例：设函数f(x)在[0, 1]上连续，在(0, 1)内可导，且，1(,1)2，使f()；

试证(1)存在(2)对任意实数λ，必存在(0,)，使

得

f'()[f()]1

分析(1)欲证等式可写成 f()0

1(,1)则只需设(x)f(x)x在2上存在零点.(2)欲证等式可改写成 [f'()1][f()]0

''x(x)f(x)x,(x)f(x)1F(x)e(x)，再对 由于，则只需取辅助函数

F(x)在[0,]上用罗尔定理.1110,(1)10[,1](x)f(x)x(x)证(1)，因在2上连续，22，1(,1)2，使得 故由零点定理，存在()0,即f()

(2)令F(0)= 0 ,，因F(x)在[0,]上连续，在(0,)内可导，且，故由罗尔定理，存在，使得

由于，故得

f'()[f()]1

例：设0ab,f(x)在a,b连续可导,则存在a,b使得

f(b)f(a)f()ln证明 令

ba.g(x)lnx

则g(x)0,且f(x),g(x)在a,b上连续在a,b内可导

根据柯西定理,存在a,b使得

f()f(b)f(a)g()lnblna

f(b)f(a)f()ln即,5.2 利用微分中值定理证明不等式

微分中值定理在不等式的证明中同样起到重要的作用，因此在证明不等式的时候，可以考虑从中值定理入手，从而解决问题。首先我们给出利用中值定理证明不等式的步(1)构造辅助函数f(x)；骤：（2）；构造微分中值定理需要的区间[a,b]；（3）利用(a,b)，'对f()进行适当的收缩。下面我们给出几个证明不等式的例子。

ba.例1： 证明对任何正数a、b(ab)有

baabalnba.b证明 令f(x)lnx,xa,b.则f(x)在a,b上连续,在a,b内可导,根据拉格朗日中值定理,存在a,b使得

1lnblnaba

111由于a,b,所以ba,即有

baabalnba

b例2：设x0，对01的情况，求证xx1。

分析：证明不等式最常用的方法有做差，做商，对于该题目如果直接应用做差或者做商的话显然是不行的。那我们是否能通过变形是，他们可以应用做差或是做商呢？我们来看下不等式，不难发现当x1时，等式两边就相等了，所以接下来排除x1，分两步讨论。在观察不等式两边的代数式，不难看出左边的代数式比较复杂，则是否可以把

fxx左边的代数式构造辅助函数，是题目可以运用中值定理解题呢？不妨设，Fxx。利用Cauchy定理即可证明。

fxxx,11,xx1x1证明：当时结论显然成立，当时，取或，在该区间设，Fxx，由柯西定理得：

fxf1fx,11,xFxF1F 或

x111即x

当x1时，x,1，x11即x

11

又xx10

故x1x，即x11

1,x11当x1时，则xx10

故x1x，即x11 由此，不等式得证。5.3 讨论根的存在性

在证明根的存在性问题时，当遇到满足微分中值定理的相关条件时，就能够从中值定理的角度来解决问题。因此我们可以说，微分中值定理可以应用在解决根的存在性的问题上。我们从下面的例题来看中值定理在这方面的应用。

例1：设a1,a2,,an为任意n个实数,证明函数: 在(0,)必有零点.f(x)a1cosxa2cos2xancosnx  证法 利用罗尔定理,令F(x)f(x),只需F(x)在0,上满足罗尔定理条件.证明 作辅助函数

11a2cos2xancosnx,x0,2n ,则

F(x)a1cosxa2cos2xancosnxf(x)

容易验证F(x)在0,上连续,在(0,)可导,且 F(x)a1cosxF()F(0)0,所以存在(0,)使得  F()0,即f()0.所以,f(x)在(0,)必存在零点.例2： 设aiR且满足a0a1x1a2x2...anxn0在(0,1)内至少有一个实根.x2x3xn1F(x)a0xa1a2...an23n1, 证明： 引进辅助函数显然F(0)F(1)0,F(x)又是多项式函数在[0,1]上连续,在(0,1)可导,F(x)满足罗尔中值定理的条件,故存在(0,1)使

F()0 而

F(x)a0a1x1a2x2...anxn 故方程

a0a1x1a2x2...anxn0 在(0,1)内至少有一个实根.注：本题构造F(x)的依据是使F(x)得导数恰好是所证方程的左边.a0aa1a2...n023n1,证明方程 总结

本文是研究主要是通过在大学阶段对有关数学方面的知识的分析和学习得到的，并参考了一些图书资料。从整个世界来看，人们对中值定理的研究从微积分的建立之时就开始了，至今有关微分中值定理问题的研究非常活跃,且已有丰富的成果。本文通过与老师同学的讨论，介绍了微分中值定理的主要证明方法和在数学方面的应用分析，分析了费马引理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的证明方法；在应用方面主要通过例题的形式讨论研究了中值定理在证明等式、不等式、恒等式以及在讨论方程根的存在性等方面的应用。

深入研究微分中值定理,有助于加深对这些定理的理解;清楚这些定理的证明,能促使我们掌握微分中值定理的具体应用。

致谢

完成本论文，我要特别感谢我的指导老师魏老师的热怀和指导。在我撰写论文的过程中，魏老师倾注了大量的心血和汗水，无论是在论文的选题、构思和资料的收集方面，还是在论文的研究方法以及成文定稿方面，我都得到了魏老师教诲和帮助在此表示真诚地感谢和深深的谢意。

最后，向在百忙中抽出时间对本文进行评审并提出宝贵意见的各位专家表示感谢！参考文献

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