第一篇:高等数学中值定理总结
咪咪原创,转载请注明,谢谢!
中值定理一向是经济类数学考试的重点(当然理工类也常会考到),咪咪结合老陈的书和一些自己的想法做了以下这个总结,希望能对各位研友有所帮助。
1、所证式仅与ξ相关
①观察法与凑方法
例 1设f(x)在[0,1]上二阶可导,f(0)f(1)f(0)0
2f()试证至少存在一点(a,b)使得f()1
分析:把要证的式子中的 换成 x,整理得f(x)xf(x)2f(x)0(1)
由这个式可知要构造的函数中必含有f(x),从xf(x)找突破口
因为[xf(x)]xf(x)f(x),那么把(1)式变一下:
f(x)f(x)[xf(x)f(x)]0f(x)f(x)[xf(x)]0
这时要构造的函数就看出来了F(x)(1x)f(x)f(x)
②原函数法
例 2设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,f(a)f(b)0,又g(x)在[a,b]上连续
求证:(a,b)使得f()g()f()
分析:这时不论观察还是凑都不容易找出要构造的函数,于是换一种方法
现在把与f 有关的放一边,与g 有关的放另一边,同样把 换成 x
两边积分f(x)g(x)dxg(x)lnf(x)g(x)dxlnCf(x)Ce
f(x)
f(x)eg(x)dxC 现在设C0,于是要构造的函数就很明显了
F(x)f(x)eg(x)dx
③一阶线性齐次方程解法的变形法
对于所证式为fpf0型,(其中p为常数或x 的函数)
可引进函数u(x)e,则可构造新函数F(x)fepdxpdx
例:设f(x)在[a,b]有连续的导数,又存在c(a,b),使得f(c)0
f()f(a)
ba
f()f(a)分析:把所证式整理一下可得:f()0ba
1[f()f(a)][f()f(a)]0,这样就变成了fpf0型ba求证:存在(a,b),使得f()
-dx-引进函数u(x)eba=eba(令C=0),于是就可以设F(x)eba[f(x)f(a)]
注:此题在证明时会用到f(c)
2、所证式中出现两端点
①凑拉格朗日 1xxf(b)f(a)0f(b)f(a)这个结论ba
例 3设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导
证明至少存在一点(a,b)使得bf(b)af(a)f()f()ba
分析:很容易就找到要证的式子的特点,那么可以试一下,不妨设
F(x)xf(x),用拉格朗日定理验证一下
F()f()f()
②柯西定理 bf(b)af(a)ba
例 4设0x1x2,f(x)在[x1,x2]可导,证明在(x1,x2)至少存在一点c,使得
ex1ex2e1e2f(c)f(c)(x1)f(x2)
e1f(x2)e2f(x1)
ex1x2xxxx分析:先整理一下要证的式子e
这题就没上面那道那么容易看出来了
xxf(c)f(c)x1x2发现e1f(x2)e2f(x1)是交叉的,变换一下,分子分母同除一下e
f(x2)f(x1)
ex2e
ex11x2e
③k值法 1x1于是这个式子一下变得没有悬念了用柯西定理设好两个函数就很容易证明了
仍是上题
分析:对于数四,如果对柯西定理掌握的不是很好上面那题该怎么办呢?
在老陈的书里讲了一个方法叫做k 值法
第一步是要把含变量与常量的式子分写在等号两边
以此题为例已经是规范的形式了,现在就看常量的这个式子
设 e1f(x2)e2f(x1)
ex1x2xxe
很容易看出这是一个对称式,也是说互换x1x2还是一样的记得回带k,用罗尔定理证明即可。k 整理得ex1[f(x1)k]ex2[f(x2)k]那么进入第二步,设F(x)ex[f(x)k],验证可知F(x1)F(x2)
④泰勒公式法
老陈常说的一句话,管它是什么,先泰勒展开再说。当定理感觉都起不上作用时,泰勒法往往是可行的,而且对于有些题目,泰勒法反而会更简单。
3、所证试同时出现ξ和η
①两次中值定理
例 5f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,f(a)f(b)1
试证存在,(0,1)使得e[f()f()]1
分析:首先把与分开,那么就有e[f()f()]e
一下子看不出来什么,那么可以先从左边的式子下手试一下
很容易看出e[f()f()][ef()],设F(x)exf(x)
ebf(b)eaf(a)利用拉格朗日定理可得F()再整理一下ba
ebeaebea
e[f()f()]只要找到与e的关系就行了baba
这个更容易看出来了,令G(x)ex则再用拉格朗日定理就得到
ebea
G()ee[f()f()]ba
②柯西定理(与之前所举例类似)
有时遇到ξ和η同时出现的时候还需要多方考虑,可能会用到柯西定理与拉氏定理的结合使用,在老陈书的习题里就出现过类似的题。
第二篇:高等数学中值定理总结
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中值定理一向是经济类数学考试的重点(当然理工类也常会考到),咪咪结合老陈的书和一些自己的想法做了以下这个总结,希望能对各位研友有所帮助。
1、所证式仅与ξ相关 ①观察法与凑方法
例 1 设f(x)在[0,1]上二阶可导,f(0)f(1)f(0)02f()试证至少存在一点(a,b)使得f()1分析:把要证的式子中的 换成 x,整理得f(x)xf(x)2f(x)0(1)由这个式可知要构造的函数中必含有f(x),从xf(x)找突破口 因为[xf(x)]xf(x)f(x),那么把(1)式变一下: f(x)f(x)[xf(x)f(x)]0f(x)f(x)[xf(x)]0 这时要构造的函数就看出来了F(x)(1x)f(x)f(x)②原函数法
例 2 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,f(a)f(b)0,又g(x)在[a,b]上连续 求证:(a,b)使得f()g()f()分析:这时不论观察还是凑都不容易找出要构造的函数,于是换一种方法 现在把与f 有关的放一边,与g 有关的放另一边,同样把 换成 x 两边积分f(x)g(x)dx g(x)lnf(x)g(x)dxlnCf(x)Cef(x)
f(x)eg(x)dxC 现在设C0,于是要构造的函数就很明显了 F(x)f(x)eg(x)dx③一阶线性齐次方程解法的变形法
对于所证式为fpf0型,(其中p为常数或x 的函数)可引进函数u(x)e,则可构造新函数F(x)fepdxpdx例:设f(x)在[a,b]有连续的导数,又存在c(a,b),使得f(c)0f()f(a)baf()f(a)分析:把所证式整理一下可得:f()0ba1 [f()f(a)][f()f(a)]0,这样就变成了fpf0型ba 求证:存在(a,b),使得f()-dx- 引进函数u(x)eba=eba(令C=0),于是就可以设F(x)eba[f(x)f(a)] 注:此题在证明时会用到f(c)
2、所证式中出现两端点 ①凑拉格朗日 1xxf(b)f(a)0f(b)f(a)这个结论ba
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例 3 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导 证明至少存在一点(a,b)使得bf(b)af(a)f()f()ba
分析:很容易就找到要证的式子的特点,那么可以试一下,不妨设 F(x)xf(x),用拉格朗日定理验证一下 F()f()f()②柯西定理
bf(b)af(a)ba例 4 设0x1x2,f(x)在[x1,x2]可导,证明在(x1,x2)至少存在一点c,使得 1ex1ex2e1e2f(c)f(c)f(x1)f(x2)e1f(x2)e2f(x1)ex1x2xxxx分析:先整理一下要证的式子e 这题就没上面那道那么容易看出来了xxf(c)f(c)
x1x2 发现e1f(x2)e2f(x1)是交叉的,变换一下,分子分母同除一下ef(x2)f(x1)ex2eex11x2e③k值法 1x1于是这个式子一下变得没有悬念了 用柯西定理设好两个函数就很容易证明了仍是上题分析:对于数四,如果对柯西定理掌握的不是很好上面那题该怎么办呢? 在老陈的书里讲了一个方法叫做k 值法 第一步是要把含变量与常量的式子分写在等号两边 以此题为例已经是规范的形式了,现在就看常量的这个式子 设
e1f(x2)e2f(x1)ex1x2xxe 很容易看出这是一个对称式,也是说互换x1x2还是一样的 记得回带k,用罗尔定理证明即可。k 整理得ex1[f(x1)k]ex2[f(x2)k] 那么进入第二步,设F(x)ex[f(x)k],验证可知F(x1)F(x2)④泰勒公式法
老陈常说的一句话,管它是什么,先泰勒展开再说。当定理感觉都起不上作用时,泰勒法往往是可行的,而且对于有些题目,泰勒法反而会更简单。
3、所证试同时出现ξ和η ①两次中值定理
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例 5 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,f(a)f(b)1 试证存在,(0,1)使得e[f()f()]1分析:首先把与分开,那么就有e[f()f()]e 一下子看不出来什么,那么可以先从左边的式子下手试一下 很容易看出e[f()f()][ef()],设F(x)exf(x)ebf(b)eaf(a)利用拉格朗日定理可得F()再整理一下baebeaebea e[f()f()]只要找到与e的关系就行了baba
这个更容易看出来了,令G(x)ex则再用拉格朗日定理就得到ebea G()ee[f()f()]ba②柯西定理(与之前所举例类似)
有时遇到ξ和η同时出现的时候还需要多方考虑,可能会用到柯西定理与拉氏定理的结合使用,在老陈书的习题里就出现过类似的题。
第三篇:高等数学 极限与中值定理 应用
(一)1.xsinlimxlimxsin2xx1 22xx1(洛必达法则)1x2
=lim2x22xx1
2
2.xx limxlimsinxcosx1
1
3.x0sinxlimcosxx0limtanxsinxx3
sinx3limx sinx(1cosx)x0xcosx3
x3lim23x0x12
4.limxsinx3x0lim16x1cosx3x2 x0
(二)1.若
limsinxeaxx0(cosxb)5,求常数a,b
lim(cosxb)xea sinx(cosxb)limxx0ea x0sinx由等价无穷小可得a=1
=lim(cosxb)xsinxexx05
b4
2.若x0,(x)kx,(x)21xarcsinxcosx
是等价无穷小,求常数K lim1xarcsinxkx2cosxx01
lim1xarcsinxcosxkx(1xarcsinx1xarcsinxcosx2kx2x02cosx)
limx0
x2arcsinxlimx0sinx1x4kx1x)cosx'lim31x2(x01x4k2
4k3k41
3.证明当X>02
时,(x1)lnx(x1)222
f(x)(x1)lnx(x1)则f(x)2xlnxx2xlnxx'''
1x2(x1)1x2
1x2f(x)2(lnx1)1
2lnxln1x21x211
x210'再倒推可得:f(x)0
22f(x)0f(x0),所以(x1)lnx(x1)
(三)1.设f(x)在[0,a]上连续,在(0,a)内可导,且
f(a)0,证明:(0,a),使得f()f()0。
'求原函数F(x)xf(x)
F(0)F(a)0满足罗尔定律,所以F(x)0
'即 f()f()0'
2.设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上可导。且
f(0)0,f(1)1,证明
(1)c(0,1).推出f(c)1c(2),(0,1)有f()f()=1()''
(1)F(x)f(c)c1
F(0)1,F(1)1
由零点定理得c(0,1)有F(c)=0
所以c(0,1).推出f(c)1c(2)设(o,c),(c,1)得
f()f()''f(c)f(0)c0f(1)f(c)1c1ccc1c'
'所以 ,(0,1)有f()f()=1()
第四篇:高等数学考研大总结之五 微分中值定理
第五章微分中值定理
一,罗尔(Rolle)中值定理费马(Fermat)引理:设fx在点x0取得极值,且f/x0存在则f/x0=0。解析:几何意义:曲线在极值点处的切线是平行于x轴的。
2罗尔(Rolle)中值定理:函数fx在闭区间a,b上连续,在开区间a,b内可导(每一点都具有导数)并且在闭区间a,b的端点函数值相等,即:fafb,那么在开区间a,b内至少有一点使得f/0。
解析:⑴该定理是奠定一系列中值定理的基础。
⑵此定理反映了由区间端点函数值的情况来表现区间内导函数值的变化情况,给出了点的具体位置和计算方法(与Lagrange中值定理的区别)。
⑶几何意义:若连接曲线两端点的弦是水平的,则曲线上至少有一点的切线是水平的。⑷两个推论:①推论1:如果函数fx在区间a,b内的导数恒等于零,那么函数fx在区间a,b内是一个常数。②推论2:如果函数fx在区间a,b内处处有
。f/xg/x,则在此区间内fxgxC(常数)
二,拉格朗日(Lagrange)中值定理
设函数fx在闭区间a,b上连续且在开区间a,b内可导(每一点都具有导数)那么在开区间a,b内至少有一点ab使等式fbfaf
该定理的其它几种表示形式:⑴f//ba成立。fbfa ba
AB解析:反映其几何意义:如果连接曲线yfx的弧上除端点外处处具有不垂直于x轴的切线,那么这弧上至少有一点,使曲线在处的切线平行于弦AB。
⑵令aba,01则fbfaf/ababa,01。解析:由于的特定取值范围,所以在证明不等式时较常用,若令ax0,bx0h那么有:fx0hfx0f/x0hh,01。
⑶有限增量公式:如果用x表示ba则函数增量yfbfa,这时该定理变成yf/x。
解析:⑴从理论上与微分的区别:该公式准确的表明了函数增量与自变量增量(不要求其趋第1页
于零或比较小而仅要求其为有限增量)的关系,而微分只能近似的表示这一关系,并且要求
x比较小,而且当x0时dy表示y的误差才趋于零。但在实际应用中仍常用微分去
近似表示函数值的改变量。⑵类比与上式,则还可表示为yf三,柯西(Cauchy)中值定理
设两个函数fx和gx在闭区间a,b上连续且在开区间a,b内可导(每一点都具有导数)且g/x在a,b内每一点均不为零,则在a,b内至少存在一点使得
/
xxx,01。
fbfaf/,ab成立。gbgag/解析:⑴要求分子与分母中的是同一个值。⑵
类
比
于
Lagrange
定
理,此
定
理
可
表
示
为
fx0hfx0f/x0h
,01。
gx0hgx0g/x0h四,Rolle,Lagrange,Cauchy中值定理间的关系
xxfafb
CauchygLagrangeRolle
五,泰勒(Taylor)中值定理定义:若fx在a,b上有直到n阶连续的导数,在开区间a,b上n1阶导数存在,则
对
于
任
意的x,x0a,b
有:
fxfx0
f
/
x0
1!
xx0
f
//
x0
2!
xx0
fnx0xx0nRnx其中
n!
fn1称为余项(与误差估计有关)。其中当x0xx0n1(介于x与x0之间)Rnx
n1!
取零时的泰勒(Taylor)公式称为麦克劳林(Maclaurin)公式。
解析:使复杂函数成为简单函数的有效方法。2 各种形式的泰勒(Taylor)公式
⑴带有皮亚诺(Peano)余项的泰勒
(Taylor)公式:
f/x0f//x0fnx02nn
Taylor:fxfxxxxxxxxx,xx000000
1!2!n!///n
Maclaurin:fxf0f0xf0x2f0xnxn,x01!2!n!
⑵带有Lagrange余项的泰勒(Taylor)公式:
f/x0f//x0fnx0fn12nn1
Taylor:fxfxxxxxxxxx00000
n11!2!n!
///nn1
xxn1,01Maclaurin:fxf0f0xf0x2f0xnf
n11!2!n!
⑶
带
有
Cauchy
余
项的泰
勒
(Taylor)
公
式
:
nfkx0
xx0kfxn1
xnm,xxm!fk!k0Taylor:0m
gkx0n!gn1k
xx0gx
k!k0
nxx0xnn1fkx0k
xx0fCauchy:令gxx,m0则fxk!n!k0
⑷带有积分余项的泰勒(Taylor)公式:
n
fkx01xn1kn
Taylor:fxxxftxtdt0x0
k!n!k0
kn1n1f0kxnn1Maclaurin:fxxfxt1tdt0k!n!k0常见函数的麦克劳林(Maclaurin)展式
⑴带有皮亚诺(Peano)余项的麦克劳林(Maclaurin)展式:
n
x3x5x2n1x2k1n1k12n
sinxx1x1x2n
2n12k13!5!!k1
2n2kn
x2x4nxkx2n
cosx11x1x2n
2n2k2!4!!k0
kn
xx2xnk1xn
e1x1xn
1!2!n!k!k0x
nkn
x2x3n1xk1xn
ln1xx1x1xn
23nkk1
1x
n
1212n1nnkk
1xxxx1Cxxn2!n!k1
⑵带有Langrange余项的麦克劳林(Maclaurin)展式:
sinx1
k1n
n
k1
x2k1ncosx
1x2n1,012k12n1!
x2kn1cosx
cosx11x2n2,01
2k2n2!k0
k
xkex
exn1,01
!k0k!n1x
n
ln1x1`
k1
n
k1
xkxn1n
1,x1,01n1kn11x
1x
kk
1Cx
k1
n
1n1xn1xn1,x1,01
n1!Taylor公式的应用
⑴求极限。⑵近似计算,误差估计。⑶与幂级数的关系。⑷不等式证明。六,罗比塔(L”Hospital)法则解决问题的情况:
00
。
解析:不是以上两种型的转化为以上型。例如:
“0”型,“”型,“00”型,“0”型,“1”型。需注意的问题:⑴只有未定式才能应用罗比塔(L”Hospital)法则,不是未定式,则不能用罗比塔(L”Hospital)法则,且分子与分母分别求导。
⑵只有
法则。
00
未定式才能直接应用罗比塔(L”Hospital)
00
未定
⑶求其他类型未定式的值时,就首先将其转化为
式,然后才能应用罗比塔(L”Hospital)法则。
⑷可以对未定式反复应用罗比塔(L”Hospital)法则,直到求出确定的极限值为止。⑸用对数方法求极限时还要将结果还原为指数形式。
⑹有些未定式若用罗比塔(L”Hospital)法则求不出它的值时,就改用其它方法计算。
第五篇:中值定理超强总结
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1、所证式仅与ξ相关 ①观察法与凑方法
例 1 设f(x)在[0,1]上二阶可导,f(0)f(1)f(0)0 试证至少存在一点(a,b)使得f()2f()1分析:把要证的式子中的 换成 x,整理得f(x)xf(x)2f(x)0(1)由这个式可知要构造的函数中必含有f(x),从xf(x)找突破口 因为[xf(x)]xf(x)f(x),那么把(1)式变一下: f(x)f(x)[xf(x)f(x)]0f(x)f(x)[xf(x)]0 这时要构造的函数就看出来了F(x)(1x)f(x)f(x)②原函数法
例 2 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,f(a)f(b)0,又g(x)在[a,b]上连续 求证:(a,b)使得f()g()f()分析:这时不论观察还是凑都不容易找出要构造的函数,于是换一种方法 现在把与f 有关的放一边,与 g 有关的放另一边,同样把 换成 x g(x)dx
f(x)f(x)两边积分g(x)lnf(x)g(x)dxlnCf(x)Ce f(x)eg(x)dxC 现在设C0,于是要构造的函数就很明显了 F(x)f(x)e③一阶线性齐次方程解法的变形法 g(x)dx对于所证式为fpf0型,(其中p为常数或x 的函数)pdxpdx可引进函数u(x)e,则可构造新函数F(x)fe例:设f(x)在[a,b]有连续的导数,又存在c(a,b),使得f(c)0 求证:存在(a,b),使得f()分析:把所证式整理一下可得:f() [f()f(a)]1ba1f()f(a)baf()f(a)ba0[f()f(a)]0,这样就变成了fpf0型xx--badx 引进函数u(x)e=eba(令C=0),于是就可以设F(x)eba[f(x)f(a)] 注:此题在证明时会用到f(c)f(b)f(a)ba0f(b)f(a)这个结论
2、所证式中出现两端点 ①凑拉格朗日
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例 3 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导 证明至少存在一点(a,b)使得bf(b)af(a)baf()f()
分析:很容易就找到要证的式子的特点,那么下可以试一下,不妨设 F(x)xf(x),用拉格朗日定理验证一 F()f()f()bf(b)af(a)ba(x1,x2)至少存在一点②柯西定理
例 4 设0x1x2,f(x)在[x1,x2]可导,证明在 1c,使得ex2x1ex2ex1f(c)f(c)ef(x1)f(x2)xx2x2分析:先整理一下要证的式子e1f(x2)eex1f(x1)f(c)f(c)e 这题就没上面那道那么 发现e1f(x2)exx2容易看出来了分子分母同除一下
f(x1)是交叉的,变换一下,ex1x2f(x2)ex2f(x1)e1x11x2于是这个式子一下变得没有悬念了eex1 用柯西定理设好两个函③k值法
仍是上题数就很容易证明了分析:对于数四,如果对柯西定理掌握的不是方法叫做k 值法很好上面那题该怎么办呢? 在老陈的书里讲了一个 第一步是要把含变量与 以此题为例已经是规范 设常量的式子分写在等号的形式了,现在就看常k 整理得ex1两边量的这个式子x2
ex1f(x2)eex1x2x2f(x1)e[f(x1)k]e[f(x2)k] 很容易看出这是一个对 那么进入第二步,设称式,也是说互换x1x2还是一样的F(x1)F(x2)F(x)ex[f(x)k],验证可知。记得回带k,用罗尔定理证明即可④泰勒公式法
老陈常说的一句话,管它是什么,先泰勒展开再说。当定理感觉都起不上作用时,泰勒法往往是可行的,而且对于有些题目,泰勒法反而会更简单。
3、所证试同时出现ξ和η ①两次中值定理
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例 5 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,f(a)f(b)1 试证存在,(0,1)使得e[f()f()]1分析:首先把与分开,那么就有e[f()f()]e 一下子看不出来什么,很容易看出那么可以先从左边的式子下手试一下xe[f()f()][ef()],设F(x)ef(x)利用拉格朗日定理可得F()eaef(b)ef(a)baexbba
再整理一下 e[f()f()]ebbaa只要找到eaba与e的关系就行了得到 这个更容易看出来了,G()e令G(x)e则再用拉格朗日定理就e[f()f()]ba②柯西定理(与之前所举例类似)
有时遇到ξ和η同时出现的时候还需要多方考虑,可能会用到柯西定理与拉氏定理的结合使用,在老陈书的习题里就出现过类似的题。ebe