微分几何期中考试

第一篇：微分几何期中考试

2009—2010年微分几何期中考试试题

一、判断题（10分）

1.在光滑曲线的正常点处，切线存在而且唯一。()

2.空间曲线的曲率与挠率完全确定了空间曲线的形状。()

3.保角变换一定是等距变换。()

4.挠率是空间曲线的副法向量对于弧长的旋转速度。（）

5.空间曲线穿过密切平面和从切平面,不穿过法平面。()

二、计算与证明题：

1．已知圆柱螺线的参数方程

(C):r={acost,asint,bt},t R

（1）求曲线C上任一点M的基本向量a,b,g。

（2）求曲线C上任一点M及A(a,0,0)点的切线和法平面及密切平面的一般方程。

（3）求曲线C的主法线曲面的参数方程和一般方程。

2．已知空间曲线(Viniani曲线)：

222ìïx+y+z=1(C):ïí22ïïîx+y=x

求曲线C在(0,0,1)点的曲率。

3．

第二篇：微分几何教案 第七讲

具体如下：

取M上的向量场X，对给定的xM,有

*(x)T于是X(x)TxM，xM为关于X的齐次线性函数，有

(X)(x)(x)X(x),xM.对f,gC(M)和X,YX(M), 有

(fXgY)f(X)g(Y).下面设1,,pT*M（即1-形式），X1,,XP为M上的向量场。

d(1p)(X1,,Xp)(p)(1)S()1(Xi1)p(XS()(i1ip)(1)1(Xi1)p(Xip)det(i(Xj))，其中(p)是1,2,,p的置换群，即Sp,{i1,,ip}(p),S()是的逆序数。一般地，设

i1ipai1ipi1ipi1ip(X1,,Xp)

ai1ipi1ip(X1,,Xp).1

并且，设和分别为M上的p形式和q形式，则

()(X1,,Xpq)(1)S()(X(pq)i1,,Xip)(Xip1，设U,U是M上x处的两个坐标邻域，它们的局部坐标分别为xi和xj。设M上的p形式(x)在这两个局部坐标系中分别表示为

(x)aiip1ip(x)dxi1dxii1pb

jjp1jp(x)dxjj1dxj1p.则有坐标变换公式：

b(xi1,,xip)j1jp(x)(xaii1ip1ip(x).j1,,xjp)

三、外微分

对流形M上的0-形式f（即函数fC(M)），由函数的微分，有

df(x)nfdxi1xi，i 2

Xipq,为M上的1-形式，上式表明，“d”是F0(M)到F1(M)的映射。下面将“d”推广为Fp(M)到Fp1(M)的映射。df

定义：设U为流形M上含x的坐标邻域，局部坐标为xi。如果M上的p形式在U中写成

(x)iai1ip(x)dxi1dx1ip则定义外微分如下：

dd(x)dxidai1ipi1dxip1ipani1ip(x)i1ipj1xdxjdxij1d:Fp(M)Fp1(M)d

性质：

① 对,Fp(M),1,2R有

d(12)1d2d.② 对Fp(M),Fq(M),有

d()d(1)pd.ip，dxip.r③ dd0,即F(M),都有

d(d)0.③ 当pn时，对

Fp(M),必有 d0.例 考虑R3，取它的直角坐标系(x,y,z),则R3上所有微分形式为

0形式：0f(x,y,z),fC(R3).1形式：1adxbdycdz,a,b,cC(R3).2形式：

2adydzbdzdxcdxdy,a,b,cC

3形式：3adxdydz,aC(R3).分别求它们的外微分。庞卡莱引理及逆命题

定义： 设M是n维微分流形，Fp(M)。如果d0,则称为闭微分形式（简称闭形式）。如果存在Fp1(M)使得d,则称为恰当微分形式（简称恰当形式）。显然有

(R3).定理（Poincare引理）设是M上的p形式且是恰当的，则必是闭形式。定理（Poincare引理的逆命题）

是U上的p形设开集UM可收缩为一点，式，若是闭的，则是恰当的。

对偶映射

定义：设M,N分别为m维和n维微分流形，F:MN是C映射。定义映射

F*:FP(N)FP(M),(0pn)F()*

使得对任何xM,X1,,XpTxM有

(F*())(x)X1,,XP(F(x))F*(x)X1,,F*(x)XP

其中F*即dF，是F的微分。F*称为映射F*的对偶映射。性质：

⑴ F*是线性的，即对1,2FP(N)，有

F*(1122)1F*(1)2F*(2).⑵ 对,Fp(N),有

F*()F*()F*().⑶ dF*F*d，即对Fp(N)有

d(F*)F*(d).⑷ 若 F:MN,G:NP是C的，则

(GF)*F*G*.局部地，设(U,)和(V,)分别为M和N上包含x和yF(x)的坐标图，F(U)V,局部坐标分别为xi和yj。如果设

(y)ai1ip(y)dyi1dyip，i1ip则

F()(x)ai1ip(F(x))*i1ipj1jpdxj1dxjp.(xj1,,xjp)(yi1,,yip)§5.8 流形上的积分

一、体积元与可定向流形

设 x1,,xn是Rn的一个直角坐标系e1*,,en*为xi方向的单位向量构成的一个有序标准正交基，取Rn的一个n形式：

dx1dxn, 显然

(e,,e)det(dxi(e))1.*1*n*j它给出以e1*,,en*为边构成的n维正立方体。一般地，若e1,,en是Rn的任一个有序基，则

于是

可将之视为以“有向e1,,en反）”。如R2上，取一般地，在e1,,en

enia1ije*j.j

(e1,,en)(dx1dxn)(e1,,en)det(dxi(ej))det(aij).(e1,,en)为边的平行多面体的积”。若det(aij)0(0)则称基底e**1,,en的“定向相同（相dx1dxn称为Rn的标准体积元。e1(1,0),e2(0,1).（如图示）

e1'e2,e2'e1.[ee011',2'][e1,e2]10, det(aij)10.n维实向量空间V上任取两组基e1',,en'，它们的关系为

ej'aijei,j1,,n.体与标准基及或

e',,e'e,,e[a].1n1nij定义等价关系：

e1,,en~e1',,en'det(aij)0.这样就可将V的所有有序基分为两个类，称之为V的定向。同一等价类中各元的定向相同，不同的等价类的元之间的定向相反。如 R3中，{i,j,k}代表的右手系习惯称为正定向，而{i,k,j}代表的左手系为反定向。又如Rn中1,n确定它的一个标准定向流形的定向。

定义：设M是n维微分流形，(U,)是M的一个图集。若该图集能确定xM的切空间TxM的定向，则称M是可定向的。M可定向xUU处雅可比行列式

xj(x1,,xn)det0.xix(x1,,xn)x并非所有的流形都可定向，如Mobius带。定义：设是M上的一个n-形式，若对xM，都有(x)0，则称为流形M的一个体形式（体积元）。可以证明：M可定向M上有一个体积元。设x点处局部坐标系x1,,xn，则TxM有自然基,,xnx1，若对xM都有(x)x,,1xn向，否则反向。定义：设M，形，其定向分别由:MN为C向相同，则称向的。

命题：设映射N分别由n-形式所定向，则



保定向流形上的积分首先考虑Rn中开集系。取切空间的基

0,则确定了流形M

N是两个已定向的n维微分流Fn(M)和Fn(N)确定，若微分形式*与是保定向的；否则称是:MN,xy(x),流形dx1dxn和dy1(y1,,yn)(x0.1,,xn)U，xi为Rn的整体坐标

x,,确定U的正方

1xn9

正

M和dyn的的定映射。反定 向，于是Rn成为一定向流形。

设f为U上一个可积函数，f(x)dx1dxn.UUf(x)dx1dxnUf(x1,,xn)dx1dxn.d

下面考虑n维可定向的微分流形M。设 (U,)是M上的一个图册，局部坐标为x1,,xn，下面用切空间上的自x,,1x确定M的定向。

n取M的开覆盖U的一个单位分解f在M上的C函数族f，满足

① 对任何及xM，有0f(x)xU时，f(x)0； ② 对 xM，仅有有限个f(x)0。③ 对 xM，f(x)1。

设是M上的一个n形式，且其支集SuppdxM|(x)0，是一个紧子集。如果对某个有Supp有U上可表示为

a(x)dx1dxn.然基，即存,且当

U,则1

定义：

UUa(x)dx1dxn(U)a(x1,,xn)dx1dxn.d

一般地，由于Supp是紧致的，可选有限个邻域U1,,Um覆盖Supp，即有

Suppmj1Uj.由单位分解fm可知f1jjSupp(fi)Uj,j1,,n.于是，定义：n形式在已定向流形M上的积分为dmmmMMfjUjfjj(Uj)fj(x)a(x)dxj1j1j11可以证明，有如下性质：

设 ,1,2是已定向的n维流形M上的有紧支集的n形式，则 ① M(12)M1M2;② MM,R;③ MM;

④ 若为M上的体积元，它确定M的正向，g(x)0 为M上的连续实函数，则

且

dxn.， Mg0

当且仅当g0上式取等号。

MM1M2,⑤ 若M1,M2为M的不相交开集，且M1,M2的定向与M一致，则

MMM.12变量置换公式：

设M,N是已定向的n维微分流形，:MN是一个保定向的微分同胚，为N上的n形式，则

*NM 特别地，当:U(U)Rn,x(x)y,（U为Rn的一开子集）是一微分同胚时，则对(U)上的可积函数f(y)有

(U)f(y)dy1dynUf((x))|J|dx1dxn.如 当n1时，:[a,b][a',b']是一C同胚，f(x)dx,则有

*[a',b'][a,b]，即

a'f(x)dxaf[(t)]'(t)dt，b'b即 经典的变量变换公式。

第三篇：第四版微分几何期末复习总结

1.求I弧长和交角.(1)Idu2sinh2udv2,求u=v的弧长.解：u=vIdu2sinh2udu2=（1+sinh2u）du2=cosh2udu2,设曲线u=v上两点A(u1),B(u2)u10,则在P0邻近K>0,从而对于围绕P0点的充分小的曲边四边形有Kd0得出矛盾，GK0,即曲面为可展曲面.(2)若曲面s的高斯曲率处处小于零，闭测地线....证:若存在所述闭测地线C,它所围成的曲面部分为G,由高斯-波涅公式得KdGkGgds(i)2.i1k因为K0,则Kd0,又后两项均为0，得出矛盾，所以不存在所述闭测地线.G6.证明曲线x13t3t2,y22t5t2,z1t2为平面曲线，并求出所在平面方程.证：因为r,r1，r2，r3=0=0平面曲线；令t=0r=1，2，1r1=3，-20,因为平面曲线平面方程即密切平面R-r,r1，r2=0，所以方程为2x+3y+19z-27=0k0直线.7.证明如果曲线:r=r(s)为一般螺线,,为的切线向量和主法向量，R为的曲率半径,证明:r(s)R-ds也是一般螺线.证：将r*=R-ds两边对s求微商，(ds/ds)=R,所以*=;因为是一般螺线，所以存在向量P:P=c=常数***P=P=c=常数.即得证也是一般螺线.k/t常数一般螺线8.求切平面:(1)圆柱面r=Rcos,Rsin,z.解:求r,rz(Rr,r,rz)0即XcosYsinR=0;(2)证明曲面r=u,v,a3/(uv)体积为常数.证:求ru,rv(Rr,ru,rv)0即a3/(u2v)Xa3/(u2v)YZ3a3/(uv)=0V=(1/3)(1/2)3u3v(3a/uv)=(9/2)ac9.三线三面：法平面（R-r0）r010；密切R-r0，r01，r02=0;从切R-r0，r01r02,r01=0；33 10.证明对于正螺面rucosv,usinv,bv，-u,-v, 处处有EN2FMGL0.证：由于rucosv,usinv,bv;rucosv,sinv,0;rvusinv,ucosv,b;ruu0,0,0;ruvsinv,cosv,0;rvvucosv,usinv,0;22所以E1,F0,Gub.n1/u2b2bsinv,bcosv,u.L0,Mb,N0.故EN2FMGL0.11.求出抛物面z1/2(ax2by2)在（0,0）点,方向（dx，dy）的法曲率。解：因为rx,y,1/2(ax2by2),所以pax,qby.ra,s0,tb.在（0,0）点有p0=0，q00,r0a,s00,t0b,E1,F0,G1,La,M0,Nb.Idx2dy2,IIadx2bdy2,故在（0,0）点沿方向（dx：dy）的法曲率为：k（II/I[adx2bdy2]/[dx2dy2][a(ndx：dy）

1212切线R-r0=r1(0);主法线R-r0=（r01r0r0）;副法线R-r0=(r0r0).dx2dx)b]/[()21]dydy

第四篇：微分几何答案彭家贵陈卿

习题一（P13）

2.设是向量值函数，证明：

（1）常数当且仅当；

（2）的方向不变当且仅当。

（1）证明：常数常数常数。

（2）注意到：，所以的方向不变单位向量常向量。

若单位向量常向量，则。

反之，设为单位向量，若，则。

由为单位向量。

从而，由常向量。

所以，的方向不变单位向量常向量

。即的方向不变当且仅当。

补充：

定理

平行于固定平面的充要条件是。

证明：：若平行于固定平面，设是平面的法向量，为一常向量。

于是。

：若，则。若

则方向固定，从而平行于固定平面。

若，则。令则

3.证明性质1.1与性质1.2。

性质1.1（1）证明：设，则

（2）证明：设，则

（3）证明：设，则

同理，所以。

性质1.2

证明：（1）

证明：（2）

4.设是正交标架，是的一个置换，证明：

（1）是正交标架；

（2）与定向相同当且仅当是一个偶置换。

（1）证明：当时，；

当时，所以，是正交标架。

（2）证明：

A)当

B)当

C)当

D)

当，此时，；

E)

当

F)

当

所以，与定向相同当且仅当是一个偶置换。

习题二（P28）

1.求下列曲线的弧长与曲率：

（1）

解：

所以，2.设曲线，证明它的曲率为

证明：

3.设曲线C在极坐标下的表示为，证明曲线C的曲率表达式为

证明：

所以，；；

。

因此，4.求下列曲线的曲率与挠率：

（4）

解：。

所以，。

5.证明：的正则曲线的曲率与挠率分别为。

证明：

根据弗雷内特标架运动方程，得：

所以。

6．证明：曲线

以为弧长参数，并求出它的曲率，挠率与Frenet标架。

证明：1）

所以，该曲线以为弧长参数。

由及

得

所以，2）。

3）所求Frenet标架是，其中。

10.设是中的一个合同变换。是中的正则曲线。求曲线与曲线的弧长参数、曲率、挠率之间的关系。

解：（1）

可见，与曲线除相差一个常数外，有相同的弧长参数。

（2）

可见，与曲线有相同的曲率。

（3）

可见，与曲线的曲率相差一个符号。

13.（1）求曲率（是弧长参数）的平面曲线。

解：设所求平面曲线因为是弧长参数，所以

可设，由曲率的定义，知

所以，所求平面曲线。

20.证明：曲线与曲线是合同的。

证明：1）对曲线作参数变换，则。

可知是圆柱螺线()，它的曲率和挠率分别为。因此，只要证明曲线的曲率，挠率，从而根据曲线论基本定理，它们可以通过刚体运动彼此重合。

2）下面计算曲线的曲率与挠率。

由，进而。

21.证明：定理4.4

定理4.4

设是连续可微函数，则

（1）

存在平面的曲线，它以为弧长参数，为曲率；

（2）

上述曲线在相差一个刚体运动的意义下是唯一的。

证明：先证明（1），为此考虑下面的一阶微分方程组

给定初值，其中是中的一个与自然标架定向相同的正交标架，以及，则由微分方程组理论得，有唯一一组解满足初始条件：。

若为所求曲线，则必是它的Frenet标架。因此，我们首先证明

均是与自然定向相同的正交标架。

将微分方程组改写成其中。

是一个反对称矩阵，即令

对求导，并利用有：

表明是微分方程组的解。

定义则

且

即

所以，是微分方程组的解。

注意到：，所以是微分方程组

满足初始条件的唯一解。从而

所以，均是正交标架。

由于是关于的连续函数，且。故由

知。

可见，均是与自然定向相同的正交标架。

于是由微分方程组有：，这表明为弧长参数。从而由推出是单位切向量。由推出是曲线的曲率，从而由推出由，即是单位正法向量。

可见，微分方程组的满足初始条件：

唯一一组的确表明：存在平面的曲线，它以为弧长参数，为曲率，当是连续可微函数时。

再证明（2）：设与是平面中两条以为弧长参数的曲线，且定义在同一个参数区间上。则存在刚体运动

把曲线变为，即。

证明开始：设，考虑两条曲线在处的Frenet标架

与。

则存在平面中一个刚体运动把第二个标架变为第一个标架，即与在处的Frenet标架重合。因此我们只须证明当曲线与在处的Frenet标架重合时。

曲线Frenet标架的标架运动方程为

这是一个关于向量值函数的常微分方程。曲线的Frenet标架与的Frenet标架都是微分方程组的解。它们在处重合就意味着这两组解在的初值相等，由解对初值的唯一性定理立即得到。定理证明完成。

习题三（P68）

2（1）是什么曲面？

解：

4.证明：曲面的切平面过原点。

证明：无妨假定方程确定一个的隐函数，于是

设，则

所以，处的切平面为

易见，当时，有：

所以结论为真。

6.证明：曲面在点的切平面等于曲面上过点的曲线在点的切向量的全体。

证明：设曲面的参数方程为。令为参数区域中过则的参数曲线，为曲面上过点的曲线。于是

这表明曲线过点的切向量都可由与线性表出。可见过点的切向量都在过点的切平面上。另一方面，对于任意切向量，在参数区域中取过且方向为的参数曲线

则此时，从而。

这表明：在点的切平面中每一个向量都是过点的某一曲线的位于点的切向量。

于是：曲面在点的切平面等于曲面上过点的曲线在点的切向量的全体。

25.求双曲抛物面的Gauss曲率，平均曲率，主曲率和它们所对应的主方向.解：

由，。，其中。

由。

于是Gauss曲率：，平均曲率：。

因为，所以，所以主曲率：

对应的主方向为，其中

.所以。

同理，另一个主曲率：，对应的主方向为。

注：设为外恩格尔登变换，则。

补充：定理

（1）函数是主曲率的充要条件是。

（2）方向

d

=

du:dv

是主方向的充要条件是。

证明：（1）设是对应的主方向，则有，即。

分别用与上式两边作内积，得。

所以主方向满足

由于不全为零，可得

（2）在脐点。

从而由可知，，中的两个方程成为恒等式。此时，任何方向都是主方向。

在非脐点，分别用和代入

得到相应的主方向

和。

将

改写成由于不全为零，有。

28．曲面上的一条曲线称为曲率线，如果曲线在每一点的切向量都是曲面在该点的一个主方向。证明：曲线是曲率线当且仅当沿着，与平行。

证明：

设为外恩格尔登变换，则。

所以，曲线是曲率线当且仅当沿着，与平行。

29.设是曲面的一个参数表示，证明：曲面的参数曲线和

是曲率线的充要条件是。

证明：曲面的参数曲线，记是曲率线等价于曲线在每一点的切向量都是曲面在该点的一个主方向曲线在每一点，同理，曲面的参数曲线，记是曲率线等价于曲线在每一点的切向量都是曲面在该点的一个主方向曲线在每一点，显然，（假若，则矛盾！）。从而。

所以，曲面的参数曲线和是曲率线的充要条件是。

35.若曲面是极小曲面，证明：除相差一个常数外，它可以写成，这个曲面称为Scherk面。

证明：设曲面的参数方程为，则。

因此，。

由得到，即。

上式可化为

(1)

由于上式左边是的函数，右边是的函数，故只能是常数，设此常数为。

当时，由(1)可知，其中是常数。

于是该极小曲面是平面，其中。(不是Scherk曲面)

下面设。由(1)得，令，即。则有。

于是。在轴方向作一平移，可设，从而，积分得。

同理，由可得。

于是。

第五篇：苏步青我国微分几何研究的开拓者著名数学家

苏步青——我国微分几何研究的开拓者著名数学家

（１９０２－）

谷超豪

苏步青，数学家，数学教育家。早年执教于浙江大学，后长期担任复旦大学领导工作。研究领域涉及仿射曲面理论，射影曲线一般理论，曲面的射影微分

几何理论等，获许多优秀成果。在计算几何及其应用方面颇多建树。是我国微分几何研究的开拓者之一。

苏步青１９０２年９月２３日出生于浙江省平阳县带溪村。父亲苏宗善，靠种地为生。童年的苏步青已学会做些辅助劳动，割草、喂猪、放牛等活儿都干过。由于家境贫寒，不能上学读书，他靠自己找书看，《水浒》、《聊斋》等名著不只读过一遍。每当放牛回家路过村上私塾，他总要凑上去偷听一阵。父亲眼看儿子如此好学，终于决定节衣缩食，在他９岁时送他上学。

１９１５年８月，苏步青考取温州市浙江省立第十中学，１９１９年７月中学毕业，赴日本留学进东亚日语预备校学习。第二年３月，以第一名成绩考入东京高等工业学校电机系。１９２４年，又以第一名成绩考进东北帝国大学数学系。１９２７年发表第一篇学术论文，同年入本校研究生院当研究生并兼任教员。１９３１年１月在东北帝国大学获得理学博士学位，３月偕夫人松本米子（后加入中国籍，改名苏松本，以毕生精力支持苏步青的事业）回国。６０年来他一直为中国的数学事业和教育事业奋斗不息，取得了辉煌的成就，受到数学界和全国人民的敬仰和爱戴。

学术上的重大成就

苏步青的研究方向主要是微分几何。１８７２年，德国数学家Ｆ．克莱因（Ｋｌｅｉｎ）提出了著名的“爱尔兰根计划书”，在其中总结了当时几何学发展的情况，认为每一种几何学都联系一种变换群，每种几何学所研究的内容就是在这些变换群下的不变性质。除了欧氏空间运动群之外，最为人们所熟悉的有仿射变换群和射影变换群。因而，在１９世纪末期和本世纪的最初三四十年中，仿射微分几何学和射影微分几何学都得到很迅速的发展。苏步青的大部分研究工作是属于这个方向的。此外，他还致力于一般空间微分几何学和计算几何学的研究。一共发表了１５６篇学术论文，并有专著和教材十多部。他的不少成果已被许多国家的数学家大量引用或作为重要的内容被写进他们的专著。

对仿射微分几何学的研究 仿射群是比欧几里德群大一些的变换群，它能够保持“直线”和“平行性”，但没有线段长度和正交性等概念。苏步青在２０年代后期，就致力于微分几何学这一分支的研究，当时在国际上处于热门。他的成就之一就是引进和决定了仿射铸曲面和仿射旋转曲面，他决定了所有仿射铸曲面并讨论了它们的性质，仿射旋转曲面是仿射铸曲面的一种特殊情形，它的特征是这种曲面的仿射法线必和一条定直线相交，因而它们是普通的旋转曲面非常自然的推广。

苏步青对仿射微分几何的另一极其美妙的发现是：他对一般的曲面，构作出一个仿射不变的４次（３阶）的代数锥面。在仿射的曲面理论中为人们注目的许多协变几何对象，包括２条主切曲线，３条达布（Ｄａｒｂｏｕｘ）切线，３条塞格雷（Ｓｅｇｒｅ）切线和仿射法线等等，都

可以由这个锥面和它的３根尖点直线以美妙的方式体现出来，形成一个十分引人入胜的构图，这锥面被命名为苏锥面。苏步青的关于仿射微分几何学的成果，使他在３０年代初就成为世界上著名的微分几何学家，后来据此写成了《仿射微分几何》（１９８１年出版）一书，评论者（美国《数学评论》）认为，许多内容是“绝对杰出的”，还说，“这本漂亮的、现代化的书是任何学术图书馆所必备的”。

对射影曲线论的研究射影群比仿射群更大，它能保持直线的概念，但“平行性”的概念已不复出现。在１８、１９世纪中，射影几何曾长期吸引数学家们的注意。例如，通过子群，它可以把欧氏几何和另外两类非欧几何学统一在同一理论体系中。由于既无度量，又无平行性，其微分几何的研究更为困难。即使是曲线论，虽经著名几何学家Ｅ．邦皮亚尼（Ｂｏｍｐｉａｎｉ）、蟹谷乘养等人的多年研究，甚至在３维情况，结果也并不理想，更不用说高维情况了。苏步青发现平面曲线在其奇点的一些协变的性质，运用几何结构，以非常清楚的方法，定出了曲线在正常点的相应的射影标架（随曲线而变动的基本多面体），从而为射影曲线论奠定了完美的基础，得到国际上高度的重视。搞局部微分几何的学者，往往把奇点扔掉，而苏步青恰恰是从奇点发掘出隐藏着的特性，陈省身教授对此十分欣赏。在这项研究中，苏步青和他的学生也同时推进了代数曲线奇点的研究，有关的工作完成于三四十年代，抗战期间就已写成专著，但始终不得出版，到１９５４年，才作为他所写的第一本专著，由中国科学院出版。后来又出了英译本，《数学评论》的评阅者说：“现在射影几何被应用于数学物理和广义相对论中的各种问题，这本书已成为更重要了。”

对射影曲面论的研究射影曲面论比曲线论要复杂得多，在３０年代到４０年代中，苏步青对它作了非常深入的，内容丰富的研究，在这里我们仅仅指出以下几项：

对于一个曲面上一般的点Ｐ，Ｓ．李（Ｌｉｅ）得到一个协变的二次曲面，被命名为李二次曲面。作∞２李二次曲面的包络，除原曲面外，还有４张曲面，于是，对于每点Ｐ就有４个对应点，它们形成了点Ｐ的德穆林（Ｄｅｍｏｕｌｉｎ）变换。这时，所构成的空间四边形称为德穆林四边形。苏步青从这种四边形出发，构作出一个有重要性质的协变的二次曲面，后来这二次曲面被称为苏二次曲面。

他还研究了一种特殊的曲面，称为Ｓ曲面，它们的特点是，其上每点的苏二次曲面都相同，这类曲面有许多有趣的性质。他完全地决定了它们，并作出了分类。

苏步青还研究了射影极小曲面，他的定义和Ｇ．汤姆森（Ｔｈｏｍｓｅｎ）用变分方法而引进的定义是相等价的。苏步青得到了有关射影极小曲面的戈尔多（Ｇｏｄｅａｕｘ）序列的“交扭定理”，显示出很优美的几何性质。

苏步青又研究了一类周期为４的拉普拉斯（Ｌａｐｌａｃｅ）序列，它和另一周期为４的拉普拉斯序列有共同的对角线汇，他把这种序列的决定归结为求解现在应用上很感兴趣的正弦－戈登（Ｇｏｒｄｏｎ）方程或双曲正弦－戈登方程，指出了这种序列的许多特性。这种研究在国际上很受重视，例如苏联的菲尼科夫（Φиников）学派就十分赞赏它。后来被Ｇ．博尔（Ｂｏｌ）命名为苏链。

苏步青的专著《射影曲面概论》全面总结了他在这一方面的成果。

对高维空间共轭网理论的研究本世纪的大数学家Ｅ．嘉当（Ｃａｒｔａｎ）建立了外微分形式的理论，他和Ｅ．凯勒（Ｋａｈｌｅｒ）的关于一般外微分形式方程组解的存在性和自由度的研究，是现代数学的重要成就之一。嘉当本人以及后来的几何学家们如苏联菲尼科夫学派，都用此工具，得到许多微分几何方面的重要成果。在５０年代中，苏步青也运用这一工具来研究高维射影空间中的共轭网理论，构作了高维射影空间中不少的具有优美几何性质的拉普拉斯序列，分别讨论了它们的存在性，自由度和有关的几何性质。

他的专著《射影共轭网概论》（１９７７年出版）总结了这一方面的成果。

对一般空间微分几何学的研究在１９世纪，已经出现了黎曼几何学，它是以定义空间两无限邻近点的距离平方的二次微分形式为基础而建立起来的。２０世纪以来，因受到广义相对论的刺激，黎曼几何发展很快，并产生了更一般的以曲线长度积分为基础的芬斯勒（Ｆｉｎｓｌｅｒ）空间，以超曲面面积积分为基础的嘉当空间，以二阶微分方程组为基础的道路空间和Ｋ展空间等，通称一般空间。苏步青从３０年代后期开始，对于一般空间的微分几何学的发展，作出了许多重要贡献。

对于嘉当几何学，他着重研究了极值离差理论，即研究能保持测地线的无穷小变形的方程，这是黎曼几何中十分重要的雅可比（Ｊａｃｏｂｉ）方程的一种推广。

Ｋ展空间是由完全可积的偏微分方程组所定义的，由Ｊ．道格拉斯（Ｄｏｕｇｌａｓ）最早提出。苏步青得到了射影形式的可积条件，他又研究了仿射同构、射影同构及其推广，在讨论这种空间的几何结构时，他推广了嘉当有关平面公理的研究。

１９５８年，包括上述结果的专著《一般空间微分几何学》由科学出版社出版。他在一般空间几何学的成果，获得了我国第一届自然科学奖。

对计算几何的研究７０年代初期，由于造船、汽车工业的需要和计算机在工业中的应用日趋广泛，在国际上形成了计算几何这一学科。苏步青出于对经济建设的关心，在逆境中仍然坚持科学研究。他了解到用旧方法作船体放样的困难后，毅然投入了这项密切联系工业生产的研究，把曲线论中的仿射不变量方法首创性地引入计算几何学科，使过去凭经验直观的一些方法有了可靠的理论基础，使得有广泛应用的３次参数曲线、贝泽（Ｂéｚｉｅｒ）曲线等等的研究都取得了很大的进展。

这些工作的一部分，已经在我国造船工业中的船体放样、航空工业中的涡轮叶片空间造型以及有关的外型设计等方面获得了成功的应用，因而获得了两项国家科技进步奖。

有关工作的理论部分，已写入《计算几何》（和刘鼎元合著）一书。该书英译本的出版在国际上引起了重视。

总之，苏步青在微分几何领域中做了大量的杰出的研究，在各个时期中处于国际的先进行列，并为几何学今后的发展，提供了宝贵的财富。由于数学研究的重大成就，他于１９４８年被选为当时在南京的中央研究院院士兼学术委员会常委。１９５５年被选为中国科学院学部委员（今称中国科学院院士）。

除了从事研究之外，他还做过大量的组织和交流工作。１９３５年，他是中国数学会的发起人之一，并当选为理事。他被任命为我国最早的数学研究期刊《中国数学会学报》的总编辑。中华人民共和国成立后，他又致力于中国数学会的复会工作，曾担任中国数学会副理事长和上海数学会的理事长。他还积极参加过中国科学工作者协会杭州分会的活动，主持过浙江省科学团体联合会的筹备工作。后来他又担任过上海科学技术协会主席。

他还曾主持过中国科学院数学研究所的筹备工作，任数学所筹备处主任直至正式建所时为止。在复旦大学，他除了创建数学研究所外，还创办了全国性的、高质量杂志《数学年刊》。此刊在国际上享有声誉。

杰出的教育家

苏步青不仅是一位卓越的数学家，他同时还是一位杰出的教育家。早在留学日本的时期，他就和我国数学界的另一位老前辈陈建功教授相约，要回国共同建设一个具有世界水平的数学系。

１９３１年苏步青回到祖国后，就在杭州浙江大学为这个理想而奋斗。１９３３年他晋升为教授并担任数学系主任。他和陈建功教授设计了一套现代化的教学计划，重视数学的基础训练，对学生要求严格，各门课程都有习题课，学生要上黑板算题，算不出就不得下去，称为“挂黑板”。还设置了为引导学生及早走上当时科研前沿的坐标几何、级数概论等课程。他们还强调阅读和讲解数学文献以及从事研究能力的训练。在大学学习阶段就设立了“数学研究”课（现称讨论班），由学生做报告，他们亲自听讲提问，对讲不清楚的地方抓住不放，层层提问，丝毫不能含混，这门课不及格就不得毕业。这是苏步青教授主张对学生严格要求的体现。他这种做法一直坚持到现在，代代相传。

到了１９３７年，浙江大学的数学系在培养人才方面已显示出雄厚的实力，并开始招收研究生。他的最早的学生方德植已写出了研究论文。下半年，抗日战争的烽火燃烧到杭州。浙江大学先后迁到建德、泰和、宜山，直至贵州遵义和湄潭。日本侵略军的侵略，使浙江大学受到了严重的摧残。浙江大学师生在竺可祯校长的领导下，发扬了民族正气，在极其艰苦的条件下，克服了万重困难，坚持教学，坚持科研，坚持“求是”的校风，使得这所处于穷乡僻壤的学校产生了国际影响，被前来参观的英国的李约瑟（Ｊ．Ｎｅｅｄｈａｍ）博士称誉为“东方的剑桥”。在其中，数学系的贡献是突出的。苏步青在躲避空袭时，还带着文献，在防空洞里坚持研究。在湄潭，苏步青带着他的几位早期学生熊全治、张素诚、白正国等人，坚持了射影微分几何的研究，产生了一系列的重要成果。许多论文都在国际上很有影响的杂志上发表，在国际几何学界享有崇高的声誉，以苏步青为首的浙江大学微分几何学派已开始形成。

抗战胜利后，浙江大学搬回到杭州。尽管国民党政府的各项政策使教育处于极端困难的境地，反饥饿，反内战的学生运动遍布全国各大城市，在浙江大学数学系也出现了不少积极分子，但数学系的研究空气，仍然坚持不衰。学生们在参加学运的同时，仍然认真跟着老师们学习和做研究，讨论班进行得有声有色。苏步青和陈建功看到了数学各分支之间联系的必要，贯彻因材施教的原则，决定让两名成绩突出的学生谷超豪和张鸣镛同时参加“微分几何”和“函数论”两个讨论班，这在当时也是一个创举。浙江大学还为设在上海的中央研究院数学研究所输送了几位高材生，也有几位学术上已有成就的教师被选送到国外深造，这是他们为扩大对外交流、博采众长的一项措施。

中华人民共和国建立后，苏步青不仅继续从事数学的教育工作，而且还当了浙江大学的教务长。１９５２年院系调整，他到了上海复旦大学，仍然担任教务长，后来还担任过副校长、校长，１９８３年改任名誉校长。

他在非常繁重的行政工作的同时，仍狠抓数学的教学工作，他继续为青年教师、研究生开课，举办讨论班。由于各种客观原因，微分几何的研究集体曾几起几落，一度只剩了一位成员胡和生，他们两人仍然坚持举办讨论班，一有时机，他们就合作培养研究生和高年级大学生。终于，浙江大学的微分几何学派在复旦大学不仅又生了根，而且继续发展，同时也培养出一大批学生来支援别的学科的成长。有许多学生去从事微分方程、力学、计算机科学等等，形成了一个又一个新的研究集体，出现了一代又一代的后起之秀。苏步青创建了复旦大学数学研究所，担任所长多年，为培养年轻的高质量人才和开展前沿的数学研究而努力奋斗。

作为一位老教育家，他在自己的岗位上为教育青年做出了重大贡献。他经常对青年讲话，教育他们热爱祖国，坚定社会主义信念；教育他们要勤奋学习，保持艰苦奋斗的优良传统；教育他们坚持实事求是的学风。他并且主张理科学生要有文史知识，提高这方面的修养。凡此种种，都对青年一代产生了重要的影响。

苏步青还为中等数学教育付出大量心血。６０年代初，他牵头在上海进行了中学数学教材的改革，编出了一整套高质量的中学数学试点教材。他还一直关心中学数学师资的质量，主张大学要关心支持中学教育。他年过８５高龄时，还亲自为中学教师举办系统讲座，以扩大他们的眼界，提高他们的教学水平。

从爱国主义发展到共产主义

苏步青从小抱着读书救国的宏愿去日本留学，苦读十多年，始终没有忘记为祖国效力。获得博士学位后，不顾日方的挽留和优厚的待遇，毅然回国服务，艰苦创业。

抗日战争爆发，他毅然率家小西迁，经历了千辛万苦，始终为祖国的教育事业奋斗不息。

抗日胜利，台湾回归祖国，苏步青受命去参与接管台湾大学，完成任务后，返回浙江大学向学生们介绍了这个宝岛。

反饥饿、反内战的学生运动起来了，他虽然对这个政治运动还不十分理解，但是他反对国民党政府迫害青年学生。１９４７年他建议教授会罢教以抗议学生领袖于子三被杀害。１９４８年他以训导长的身份把受迫害的共产党员保护在校内。１９４９年初又亲自去保释被监禁的进步学生和共产党员。

１９４９年杭州解放后，苏步青密切注视共产党的行为，到学校来接管的军代表、省委的宣传部长穿的竟是一双草鞋。严重的经济困难，终于被克服了。作为科学界的代表人物，他来到了北京，周总理宴请了他。在杭州，他参加了杭州市和浙江省的人民代表会议，和省市委领导有着较多的接触。他在１９５１年又加入了中国民主同盟，和广大拥护党、拥护社会主义的知识分子共求进步。经过他的仔细观察和努力学习，他相信共产党是为人民服务的，他相信，共产党不但能打天下，而且能把中国建设好。他也逐步认识到，中华人民共和国能使知识分子施展才华。他教了１８年的书，浙江大学数学系只有１００多名毕业生，可现在，复旦大学数学系每年就有１００多名毕业生；在抗战时期花了千辛万苦写出来的《射影微分几何概论》，始终不能出版，现在连同其它的专著都陆续出书了，还出了英文版。１９５６年，苏步青被邀请参加制订了第一个发展科技的十年规划，党和国家把这一重大任务交给了科学家，同时又引导科学家开拓自己的眼界，从所熟悉的那个小圈圈里扩大开去，扩大到科技工作的全局，扩大到未来的科学技术的发展，扩大到整个国家的社会主义建设。苏步青深深地感动了，他的心和党进一步靠近了。

苏步青努力结合实际学习马列主义、毛泽东著作，终于在内心产生了参加党的要求。１９５９年３月，他如愿以偿了，他被复旦大学党委接收为光荣的共产党员。

此后，他更加努力学习和工作，在历次上海市和全国人民代表大会上（他是二、三、五、六、七届全国人民代表大会代表），在全国政治协商会议上（他是第二届全国政治协商会议委员和第七、八届全国政治协商会议副主席），他都努力坚持社会主义方向，对政府工作中的缺点也毫不

保留地提出批评。在民盟里，他起着领导的作用（曾担任副主席，后任参议委员会主任委员）。在“文化大革命”期间，他的处境十分坎坷，他以６０多岁的高龄承受着常人难以承受的重压。批判的大棒，劳动的惩罚都压不倒这位坚强的共产党员。他在劳动中的表现，甚至连青年人都自愧不如。特别是在１９７２－１９７５年，当时他已超过古稀之年，还被迫乘公共汽车到江南造船厂“劳动锻炼”。他认真地以工人为师，又在劳动中看到了数学的作用。他抽出时间来为技术人员讲课，又为了解除工人们在船体放样中的繁重劳动，在我国发展了计算几何这一门应用学科。

１９７７年，他在邓小平同志召开的教育、科学工作座谈会上慷慨陈词，为在科、教战线上的“拨乱反正”提出了许多重要建议，如恢复研究生制度、恢复高校研究机构等等，产生了重大影响。

苏步青时刻牢记自己是一名共产党员，“此身到老属于党”是他的高超的诗作中的名句。他时常以周总理的教导“活到老，学到老”为自己的座右铭，尽自己的一切可能为共产主义事业而奋斗。

(作者：谷超豪)

简历

１９０２年９月２３日 生于浙江平阳县。

１９１５—１９１９年 就读于温州的浙江省立第十中学。

１９２０—１９２４年 就读于日本东京高等工业学校电机系。

１９２４—１９２７年 就读于日本东北帝国大学数学系。

１９２７—１９３１年 就读于日本东北帝国大学研究生院。１９３１年获理学博士学位。

１９３１—１９５２年 在浙江大学数学系执教。１９３１为副教授，１９３３年升任教授并兼数学系主任，１９５０年 始任浙江大学教务长。期间于１９４８年任中央研究院院士。

１９５２年 任复旦大学数学系教授。１９５６年前兼任复旦大学教务长，１９５６年始任副校长，１９７８年任校长，１９８３年后任名誉校长。

１９５５年 中国科学院院士。

１９９２年 当选为全国政治协商会议副主席（此前曾任第二、三、五、六、七届全国人民代表大会代表，第五、六、七届常务委员，第二、七届政治协商会议委员。

主要论著

１ 苏步青．射影曲线概论．北京：中国科学院，１９５４．（英译本：Ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌｐｒｏｊｅｃｔｉｖｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｃｕｒ—ｅｓ．Ｂｅｉｊｉｎｇ：ＳｃｉｅｎＣｅ

Ｐｒｅｓｓ，１９５８．）

２ 苏步青．一般空间的微分几何学．北京：科学出版社，１９５８．

３ 苏步青．射影曲面概论．上海：上海科学技术出版社，１９６４．

４ 苏步青．射影共轭网概论．上海：上海科学技术出版社，１９７８．

５ 苏步青．微分几何五讲．上海：上海科学技术出版社，１９７９．（英译本：Ｌｅｃｔｕｒｅｓ ｏｎ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａ１ ｇｅｏｍｅｔｒｙ．Ｓｉｎｇａｐｏｒｅ：Ｗｏｒｌｄ

Ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ

Ｐｕｂｌｉｓｈｅｒｓ，１９８０．）

６ 苏步青．仿射微分几何．北京：科技出版社，１９８２．（英译本：Ａｆｆｉｎｅ ｄｉｆｆｅｒ－ｅｎｅｔｉａｌ ｇｅｏｍｅｔｒｙ．Ｂｅｉｊｉｎｇ：Ｓｃｉｅｎｃｅ

Ｐｒｅｓｓ，Ｃｈｉｎａ；Ｇｏｒｄｏｎ ａｎｄ

ＢｒｅａＣｈ，Ｓｃｉｅｎｃｅ

Ｐｕｂ１ｉｓｈｅｒｓ，Ｉｎｃ，Ｎｅｗ

Ｙｏｒｋ，ＵＳＡ，１９８３．）

７ 苏步青．苏步青数学论文选集．中国科学出版社和美国高登与伯利奇科学出版社，１９８３．（英译本：Ｓｕ Ｂｕ Ｃｈｉｎ．Ｓｅｌｅｃｔｅｄ

Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ

Ｐａｐｅｒｓ，Ｓｃｉｅｎｃｅ

Ｐｒｅｓｓ ａｎｄ Ｇｏｒｄｏｎ ａｎｄ Ｂｒｅａｃｈ，Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｐｕｂｌｉｓｈｅｒｓ，Ｉｎｃ．）

８ 苏步青，刘鼎元．计算几何．上海：上海科学技术出版社，１９８１．（英译本：Ｓｕ Ｂｕ－ｑｉｎ，Ｌｉｕ Ｄｉｎｇ－ｙｕａｎ．Ｔｒａｎｓｔａｔｅｄ ｂｙ

Ｃｈａｎｇ Ｇｅｎｇ－ｚｈｅ．Ｃｏｍ－ｐｕｔｉｏｎａ１ ｇｅｏｍｅｔｒｙ－Ｃｕｒｖｅ ａｎｄ ｓｕｒｆａｃｅ ｍｏｄｅｌｉｎｇ．Ａ Ｃａｄｅｍｉｃ Ｐｒｅｓｓ，Ｉｎｓ，１９８９．）

９ 苏步青．高等几何学五讲．上海：上海科学技术出版社，１９９１．

１０ 苏步青．苏步青论文选集．北京：科学出版社，１９８６．

参考文献

〔１〕 苏步青．苏步青文选．杭州：浙江科技出版社，１９９１．