微分几何教案 第七讲

第一篇：微分几何教案 第七讲

具体如下：

取M上的向量场X，对给定的xM,有

*(x)T于是X(x)TxM，xM为关于X的齐次线性函数，有

(X)(x)(x)X(x),xM.对f,gC(M)和X,YX(M), 有

(fXgY)f(X)g(Y).下面设1,,pT*M（即1-形式），X1,,XP为M上的向量场。

d(1p)(X1,,Xp)(p)(1)S()1(Xi1)p(XS()(i1ip)(1)1(Xi1)p(Xip)det(i(Xj))，其中(p)是1,2,,p的置换群，即Sp,{i1,,ip}(p),S()是的逆序数。一般地，设

i1ipai1ipi1ipi1ip(X1,,Xp)

ai1ipi1ip(X1,,Xp).1

并且，设和分别为M上的p形式和q形式，则

()(X1,,Xpq)(1)S()(X(pq)i1,,Xip)(Xip1，设U,U是M上x处的两个坐标邻域，它们的局部坐标分别为xi和xj。设M上的p形式(x)在这两个局部坐标系中分别表示为

(x)aiip1ip(x)dxi1dxii1pb

jjp1jp(x)dxjj1dxj1p.则有坐标变换公式：

b(xi1,,xip)j1jp(x)(xaii1ip1ip(x).j1,,xjp)

三、外微分

对流形M上的0-形式f（即函数fC(M)），由函数的微分，有

df(x)nfdxi1xi，i 2

Xipq,为M上的1-形式，上式表明，“d”是F0(M)到F1(M)的映射。下面将“d”推广为Fp(M)到Fp1(M)的映射。df

定义：设U为流形M上含x的坐标邻域，局部坐标为xi。如果M上的p形式在U中写成

(x)iai1ip(x)dxi1dx1ip则定义外微分如下：

dd(x)dxidai1ipi1dxip1ipani1ip(x)i1ipj1xdxjdxij1d:Fp(M)Fp1(M)d

性质：

① 对,Fp(M),1,2R有

d(12)1d2d.② 对Fp(M),Fq(M),有

d()d(1)pd.ip，dxip.r③ dd0,即F(M),都有

d(d)0.③ 当pn时，对

Fp(M),必有 d0.例 考虑R3，取它的直角坐标系(x,y,z),则R3上所有微分形式为

0形式：0f(x,y,z),fC(R3).1形式：1adxbdycdz,a,b,cC(R3).2形式：

2adydzbdzdxcdxdy,a,b,cC

3形式：3adxdydz,aC(R3).分别求它们的外微分。庞卡莱引理及逆命题

定义： 设M是n维微分流形，Fp(M)。如果d0,则称为闭微分形式（简称闭形式）。如果存在Fp1(M)使得d,则称为恰当微分形式（简称恰当形式）。显然有

(R3).定理（Poincare引理）设是M上的p形式且是恰当的，则必是闭形式。定理（Poincare引理的逆命题）

是U上的p形设开集UM可收缩为一点，式，若是闭的，则是恰当的。

对偶映射

定义：设M,N分别为m维和n维微分流形，F:MN是C映射。定义映射

F*:FP(N)FP(M),(0pn)F()*

使得对任何xM,X1,,XpTxM有

(F*())(x)X1,,XP(F(x))F*(x)X1,,F*(x)XP

其中F*即dF，是F的微分。F*称为映射F*的对偶映射。性质：

⑴ F*是线性的，即对1,2FP(N)，有

F*(1122)1F*(1)2F*(2).⑵ 对,Fp(N),有

F*()F*()F*().⑶ dF*F*d，即对Fp(N)有

d(F*)F*(d).⑷ 若 F:MN,G:NP是C的，则

(GF)*F*G*.局部地，设(U,)和(V,)分别为M和N上包含x和yF(x)的坐标图，F(U)V,局部坐标分别为xi和yj。如果设

(y)ai1ip(y)dyi1dyip，i1ip则

F()(x)ai1ip(F(x))*i1ipj1jpdxj1dxjp.(xj1,,xjp)(yi1,,yip)§5.8 流形上的积分

一、体积元与可定向流形

设 x1,,xn是Rn的一个直角坐标系e1*,,en*为xi方向的单位向量构成的一个有序标准正交基，取Rn的一个n形式：

dx1dxn, 显然

(e,,e)det(dxi(e))1.*1*n*j它给出以e1*,,en*为边构成的n维正立方体。一般地，若e1,,en是Rn的任一个有序基，则

于是

可将之视为以“有向e1,,en反）”。如R2上，取一般地，在e1,,en

enia1ije*j.j

(e1,,en)(dx1dxn)(e1,,en)det(dxi(ej))det(aij).(e1,,en)为边的平行多面体的积”。若det(aij)0(0)则称基底e**1,,en的“定向相同（相dx1dxn称为Rn的标准体积元。e1(1,0),e2(0,1).（如图示）

e1'e2,e2'e1.[ee011',2'][e1,e2]10, det(aij)10.n维实向量空间V上任取两组基e1',,en'，它们的关系为

ej'aijei,j1,,n.体与标准基及或

e',,e'e,,e[a].1n1nij定义等价关系：

e1,,en~e1',,en'det(aij)0.这样就可将V的所有有序基分为两个类，称之为V的定向。同一等价类中各元的定向相同，不同的等价类的元之间的定向相反。如 R3中，{i,j,k}代表的右手系习惯称为正定向，而{i,k,j}代表的左手系为反定向。又如Rn中1,n确定它的一个标准定向流形的定向。

定义：设M是n维微分流形，(U,)是M的一个图集。若该图集能确定xM的切空间TxM的定向，则称M是可定向的。M可定向xUU处雅可比行列式

xj(x1,,xn)det0.xix(x1,,xn)x并非所有的流形都可定向，如Mobius带。定义：设是M上的一个n-形式，若对xM，都有(x)0，则称为流形M的一个体形式（体积元）。可以证明：M可定向M上有一个体积元。设x点处局部坐标系x1,,xn，则TxM有自然基,,xnx1，若对xM都有(x)x,,1xn向，否则反向。定义：设M，形，其定向分别由:MN为C向相同，则称向的。

命题：设映射N分别由n-形式所定向，则



保定向流形上的积分首先考虑Rn中开集系。取切空间的基

0,则确定了流形M

N是两个已定向的n维微分流Fn(M)和Fn(N)确定，若微分形式*与是保定向的；否则称是:MN,xy(x),流形dx1dxn和dy1(y1,,yn)(x0.1,,xn)U，xi为Rn的整体坐标

x,,确定U的正方

1xn9

正

M和dyn的的定映射。反定 向，于是Rn成为一定向流形。

设f为U上一个可积函数，f(x)dx1dxn.UUf(x)dx1dxnUf(x1,,xn)dx1dxn.d

下面考虑n维可定向的微分流形M。设 (U,)是M上的一个图册，局部坐标为x1,,xn，下面用切空间上的自x,,1x确定M的定向。

n取M的开覆盖U的一个单位分解f在M上的C函数族f，满足

① 对任何及xM，有0f(x)xU时，f(x)0； ② 对 xM，仅有有限个f(x)0。③ 对 xM，f(x)1。

设是M上的一个n形式，且其支集SuppdxM|(x)0，是一个紧子集。如果对某个有Supp有U上可表示为

a(x)dx1dxn.然基，即存,且当

U,则1

定义：

UUa(x)dx1dxn(U)a(x1,,xn)dx1dxn.d

一般地，由于Supp是紧致的，可选有限个邻域U1,,Um覆盖Supp，即有

Suppmj1Uj.由单位分解fm可知f1jjSupp(fi)Uj,j1,,n.于是，定义：n形式在已定向流形M上的积分为dmmmMMfjUjfjj(Uj)fj(x)a(x)dxj1j1j11可以证明，有如下性质：

设 ,1,2是已定向的n维流形M上的有紧支集的n形式，则 ① M(12)M1M2;② MM,R;③ MM;

④ 若为M上的体积元，它确定M的正向，g(x)0 为M上的连续实函数，则

且

dxn.， Mg0

当且仅当g0上式取等号。

MM1M2,⑤ 若M1,M2为M的不相交开集，且M1,M2的定向与M一致，则

MMM.12变量置换公式：

设M,N是已定向的n维微分流形，:MN是一个保定向的微分同胚，为N上的n形式，则

*NM 特别地，当:U(U)Rn,x(x)y,（U为Rn的一开子集）是一微分同胚时，则对(U)上的可积函数f(y)有

(U)f(y)dy1dynUf((x))|J|dx1dxn.如 当n1时，:[a,b][a',b']是一C同胚，f(x)dx,则有

*[a',b'][a,b]，即

a'f(x)dxaf[(t)]'(t)dt，b'b即 经典的变量变换公式。

第二篇：微分几何期中考试

2009—2010年微分几何期中考试试题

一、判断题（10分）

1.在光滑曲线的正常点处，切线存在而且唯一。()

2.空间曲线的曲率与挠率完全确定了空间曲线的形状。()

3.保角变换一定是等距变换。()

4.挠率是空间曲线的副法向量对于弧长的旋转速度。（）

5.空间曲线穿过密切平面和从切平面,不穿过法平面。()

二、计算与证明题：

1．已知圆柱螺线的参数方程

(C):r={acost,asint,bt},t R

（1）求曲线C上任一点M的基本向量a,b,g。

（2）求曲线C上任一点M及A(a,0,0)点的切线和法平面及密切平面的一般方程。

（3）求曲线C的主法线曲面的参数方程和一般方程。

2．已知空间曲线(Viniani曲线)：

222ìïx+y+z=1(C):ïí22ïïîx+y=x

求曲线C在(0,0,1)点的曲率。

3．

第三篇：第四版微分几何期末复习总结

1.求I弧长和交角.(1)Idu2sinh2udv2,求u=v的弧长.解：u=vIdu2sinh2udu2=（1+sinh2u）du2=cosh2udu2,设曲线u=v上两点A(u1),B(u2)u10,则在P0邻近K>0,从而对于围绕P0点的充分小的曲边四边形有Kd0得出矛盾，GK0,即曲面为可展曲面.(2)若曲面s的高斯曲率处处小于零，闭测地线....证:若存在所述闭测地线C,它所围成的曲面部分为G,由高斯-波涅公式得KdGkGgds(i)2.i1k因为K0,则Kd0,又后两项均为0，得出矛盾，所以不存在所述闭测地线.G6.证明曲线x13t3t2,y22t5t2,z1t2为平面曲线，并求出所在平面方程.证：因为r,r1，r2，r3=0=0平面曲线；令t=0r=1，2，1r1=3，-20,因为平面曲线平面方程即密切平面R-r,r1，r2=0，所以方程为2x+3y+19z-27=0k0直线.7.证明如果曲线:r=r(s)为一般螺线,,为的切线向量和主法向量，R为的曲率半径,证明:r(s)R-ds也是一般螺线.证：将r*=R-ds两边对s求微商，(ds/ds)=R,所以*=;因为是一般螺线，所以存在向量P:P=c=常数***P=P=c=常数.即得证也是一般螺线.k/t常数一般螺线8.求切平面:(1)圆柱面r=Rcos,Rsin,z.解:求r,rz(Rr,r,rz)0即XcosYsinR=0;(2)证明曲面r=u,v,a3/(uv)体积为常数.证:求ru,rv(Rr,ru,rv)0即a3/(u2v)Xa3/(u2v)YZ3a3/(uv)=0V=(1/3)(1/2)3u3v(3a/uv)=(9/2)ac9.三线三面：法平面（R-r0）r010；密切R-r0，r01，r02=0;从切R-r0，r01r02,r01=0；33 10.证明对于正螺面rucosv,usinv,bv，-u,-v, 处处有EN2FMGL0.证：由于rucosv,usinv,bv;rucosv,sinv,0;rvusinv,ucosv,b;ruu0,0,0;ruvsinv,cosv,0;rvvucosv,usinv,0;22所以E1,F0,Gub.n1/u2b2bsinv,bcosv,u.L0,Mb,N0.故EN2FMGL0.11.求出抛物面z1/2(ax2by2)在（0,0）点,方向（dx，dy）的法曲率。解：因为rx,y,1/2(ax2by2),所以pax,qby.ra,s0,tb.在（0,0）点有p0=0，q00,r0a,s00,t0b,E1,F0,G1,La,M0,Nb.Idx2dy2,IIadx2bdy2,故在（0,0）点沿方向（dx：dy）的法曲率为：k（II/I[adx2bdy2]/[dx2dy2][a(ndx：dy）

1212切线R-r0=r1(0);主法线R-r0=（r01r0r0）;副法线R-r0=(r0r0).dx2dx)b]/[()21]dydy

第四篇：《机械制图教案》第一章第七讲

第七讲 §2—1 投影法的基本知识

§2—2 三视图的形成与投影规律

课

题：

1、投影法的基本知识

2、三视图的形成与投影规律

课堂类型：讲授

教学目的：

1、介绍投影法的概念、种类、应用

2、讲解正投影法的基本性质

3、介绍三投影面体系和三视图的形成、投影规律 教学要求：

1、掌握正投影法的基本性质

2、理解并掌握三视图的形成和投影规律 教学重点：

1、正投影法的基本性质

2、三视图的投影规律 教学难点：三视图与物体方位的对应关系

教

具：自制的三投影面体系模型、简单几何体模型 教学方法：讲授与课堂演示、举例相结合。教学过程：

一、复习旧课

简要复习近平面图形的作图方法和步骤。

二、引入新课题

在工程技术中，人们常用到各种图样，如机械图样、建筑图样等。这些图样都是按照不同的投影方法绘制出来的，而机械图样是用正投影法绘制的。

三、教学内容

（一）投影法的基本知识

1、投影法的概念

举例：在日常生活中，人们看到太阳光或灯光照射物体时，在地面或墙壁上出现物体的 影子，这就是一种投影现象。我们把光线称为投射线(或叫投影线)，地面或墙壁称为投影面，影子称为物体在投影面上的投影。

下面进一步从几何观点来分析投影的形成。设空间有一定点S和任一点A，以及不通过点S和点A的平面P，如图2－1所示，从点S经过点A作直线SA，直线SA必然与平面P相交于一点a，则称点a为空间任一点A在平面P上的投影，称定点S为投影中心，称平面P为投影面，称直线SA为投影线。据此，要作出空间物体在投影面上的投影，其实质就是通过物体上的点、线、面作出一系列的投影线与投影面的交点，并根据物体上的线、面关系，对交点进行恰当的连线。

图2－1

投影法的概

念

图2－2

中心投影法

如图2－2所示，作△ABC在投影面P上的投影。先自点S过点A、B、C分别作直线SA、SB、SC与投影面P的交点a、b、c，再过点a、b、c作直线，连成△abc，△abc即为空间的△ABC在投影面P上的投影。

上述这种用投射线（投影线）通过物体，向选定的面投影，并在该面上得到图形的方法称为投影法。

2、投影法的种类及应用

（1）中心投影法

投影中心距离投影面在有限远的地方，投影时投影线汇交于投影中心的投影法称为中心投影法，如图2－2所示。

缺点：中心投影不能真实地反映物体的形状和大小，不适用于绘制机械图样。优点：有立体感，工程上常用这种方法绘制建筑物的透视图。（2）平行投影法

投影中心距离投影面在无限远的地方，投影时投影线都相互平行的投影法称为平行投影法，如图2－3所示。

根据投影线与投影面是否垂直，平行投影法又可以分为两种：

1）斜投影法——投影线与投影面相倾斜的平行投影法，如图2－3（a）所示。2）正投影法——投影线与投影面相垂直的平行投影法，如图2－3（b）所示。

（a）斜投影法

（b）正投影法

图2－3

平行投影法

正投影法优点：能够表达物体的真实形状和大小，作图方法也较简单，所以广泛用于绘制机械图样。

（二）三视图的形成与投影规律

在机械制图中，通常假设人的视线为一组平行的，且垂至于投影面的投影线，这样在投影面上所得到的正投影称为视图。

一般情况下，一个视图不能确定物体的形状。如图2－6所示，两个形状不同的物体，它们在投影面上的投影都相同。因此，要反映物体的完整形状，必须增加由不同投影方向所 得到的几个视图，互相补充，才能将物体表达清楚。工程上常用的是三视图。

图2－6

一个视图不能确定物体的形状

1、三投影面体系与三视图的形成

（1）三投影面体系的建立 三投影面体系由三个互相垂直的投影面所组成，如图2－7所示。在三投影面体系中，三个投影面分别为： 正立投影面：简称为正面，用V表示； 水平投影面：简称为水平面，用H表示； 侧立投影面：简称为侧面，用W表示。

三个投影面的相互交线，称为投影轴。它们分别是： OX轴：是V面和H面的交线，它代表长度方向； OY轴：是H面和W面的交线，它代表宽度方向； OZ轴：是V面和W面的交线，它代表高度方向；

三个投影轴垂直相交的交点O，称为原点。

图2－7

三投影面体系（2）三视图的形成

将物体放在三投影面体系中，物体的位置处在人与投影面之间，然后将物体对各个投影面进行投影，得到三个视图，这样才能把物体的长、宽、高三个方向，上下、左右、前后六个方位的形状表达出来，如图2－8（a）所示。三个视图分别为：

主视图：从前往后进行投影，在正立投影面（V面）上所得到的视图。俯视图：从上往下进行投影，在水平投影面（H面）上所得到的视图。主视图：从前往后进行投影，在侧立投影面（W面）上所得到的视图。

（a）

（b）

（c）

（d）

图2－8

三视图的形成遇展开

（3）三投影面体系的展开

在实际作图中，为了画图方便，需要将三个投影面在一个平面（纸面）上表示出来，规定：使V面不动，H面绕OX轴向下旋转90°与V面重合，W面绕OZ轴向右旋转90°与V面重合，这样就得到了在同一平面上的三视图，如图2－8（b）所示。可以看出，俯视图在主视图的下方，左视图在主视图的右方。在这里应特别注意的是：同一条OY轴旋转后出现了两个位置，因为OY是H面和W面的交线，也就是两投影面的共有线，所以OY轴随着H面旋转到OYH的位置，同时又随着W面旋转到OYW的位置。为了作图简便，投影图中不必画出投影面的边框，如图2－8（c）所示。由于画三视图时主要依据投影规律，所以投影轴也可以进一步省略，如图2－8（d）所示。

2、三视图的投影规律

从图2－9可以看出，一个视图只能反映两个方向的尺寸，主视图反映了物体的长度和高度，俯视图反映了物体的长度和宽度，左视图反映了物体的宽度和高度。由此可以归纳出三视图的投影规律：

主、俯视图“长对正”（即等长）； 主、左视图“高平齐”（即等高）； 俯、左视图“宽相等”（即等宽）；

三视图的投影规律反映了三视图的重要特性，也是画图和读图的依据。无论是整个物体还是物体的局部，其三面投影都必须符合这一规律。

图2－9

视图间的“三等”关系

3、三视图与物体方位的对应关系

物体有长、宽、高三个方向的尺寸，有上下、左右、前后六个方位关系，如图2－10（a）所示。六个方位在三视图中的对应关系如图2－10（b）所示。

主视图反映了物体的上下、左右四个方位关系； 俯视图反映了物体的前后、左右四个方位关系；

左视图反映了物体的上下、前后四个方位关系。（要求学生必须熟记。）

（a）立体图

（b）投影图

图2－10

三视图的方位关系

注意：以主视图为中心，俯视图、左视图靠近主视图的一侧为物体的后面，远离主视图的一侧为物体的前面。

四、小结

1、概念：投影法、中心投影法、平行投影法、斜投影、正投影。

2、正投影法的基本性质

3、三视图的投影规律

4、三视图与物体方位的对应关系

第五篇：微分几何答案彭家贵陈卿

习题一（P13）

2.设是向量值函数，证明：

（1）常数当且仅当；

（2）的方向不变当且仅当。

（1）证明：常数常数常数。

（2）注意到：，所以的方向不变单位向量常向量。

若单位向量常向量，则。

反之，设为单位向量，若，则。

由为单位向量。

从而，由常向量。

所以，的方向不变单位向量常向量

。即的方向不变当且仅当。

补充：

定理

平行于固定平面的充要条件是。

证明：：若平行于固定平面，设是平面的法向量，为一常向量。

于是。

：若，则。若

则方向固定，从而平行于固定平面。

若，则。令则

3.证明性质1.1与性质1.2。

性质1.1（1）证明：设，则

（2）证明：设，则

（3）证明：设，则

同理，所以。

性质1.2

证明：（1）

证明：（2）

4.设是正交标架，是的一个置换，证明：

（1）是正交标架；

（2）与定向相同当且仅当是一个偶置换。

（1）证明：当时，；

当时，所以，是正交标架。

（2）证明：

A)当

B)当

C)当

D)

当，此时，；

E)

当

F)

当

所以，与定向相同当且仅当是一个偶置换。

习题二（P28）

1.求下列曲线的弧长与曲率：

（1）

解：

所以，2.设曲线，证明它的曲率为

证明：

3.设曲线C在极坐标下的表示为，证明曲线C的曲率表达式为

证明：

所以，；；

。

因此，4.求下列曲线的曲率与挠率：

（4）

解：。

所以，。

5.证明：的正则曲线的曲率与挠率分别为。

证明：

根据弗雷内特标架运动方程，得：

所以。

6．证明：曲线

以为弧长参数，并求出它的曲率，挠率与Frenet标架。

证明：1）

所以，该曲线以为弧长参数。

由及

得

所以，2）。

3）所求Frenet标架是，其中。

10.设是中的一个合同变换。是中的正则曲线。求曲线与曲线的弧长参数、曲率、挠率之间的关系。

解：（1）

可见，与曲线除相差一个常数外，有相同的弧长参数。

（2）

可见，与曲线有相同的曲率。

（3）

可见，与曲线的曲率相差一个符号。

13.（1）求曲率（是弧长参数）的平面曲线。

解：设所求平面曲线因为是弧长参数，所以

可设，由曲率的定义，知

所以，所求平面曲线。

20.证明：曲线与曲线是合同的。

证明：1）对曲线作参数变换，则。

可知是圆柱螺线()，它的曲率和挠率分别为。因此，只要证明曲线的曲率，挠率，从而根据曲线论基本定理，它们可以通过刚体运动彼此重合。

2）下面计算曲线的曲率与挠率。

由，进而。

21.证明：定理4.4

定理4.4

设是连续可微函数，则

（1）

存在平面的曲线，它以为弧长参数，为曲率；

（2）

上述曲线在相差一个刚体运动的意义下是唯一的。

证明：先证明（1），为此考虑下面的一阶微分方程组

给定初值，其中是中的一个与自然标架定向相同的正交标架，以及，则由微分方程组理论得，有唯一一组解满足初始条件：。

若为所求曲线，则必是它的Frenet标架。因此，我们首先证明

均是与自然定向相同的正交标架。

将微分方程组改写成其中。

是一个反对称矩阵，即令

对求导，并利用有：

表明是微分方程组的解。

定义则

且

即

所以，是微分方程组的解。

注意到：，所以是微分方程组

满足初始条件的唯一解。从而

所以，均是正交标架。

由于是关于的连续函数，且。故由

知。

可见，均是与自然定向相同的正交标架。

于是由微分方程组有：，这表明为弧长参数。从而由推出是单位切向量。由推出是曲线的曲率，从而由推出由，即是单位正法向量。

可见，微分方程组的满足初始条件：

唯一一组的确表明：存在平面的曲线，它以为弧长参数，为曲率，当是连续可微函数时。

再证明（2）：设与是平面中两条以为弧长参数的曲线，且定义在同一个参数区间上。则存在刚体运动

把曲线变为，即。

证明开始：设，考虑两条曲线在处的Frenet标架

与。

则存在平面中一个刚体运动把第二个标架变为第一个标架，即与在处的Frenet标架重合。因此我们只须证明当曲线与在处的Frenet标架重合时。

曲线Frenet标架的标架运动方程为

这是一个关于向量值函数的常微分方程。曲线的Frenet标架与的Frenet标架都是微分方程组的解。它们在处重合就意味着这两组解在的初值相等，由解对初值的唯一性定理立即得到。定理证明完成。

习题三（P68）

2（1）是什么曲面？

解：

4.证明：曲面的切平面过原点。

证明：无妨假定方程确定一个的隐函数，于是

设，则

所以，处的切平面为

易见，当时，有：

所以结论为真。

6.证明：曲面在点的切平面等于曲面上过点的曲线在点的切向量的全体。

证明：设曲面的参数方程为。令为参数区域中过则的参数曲线，为曲面上过点的曲线。于是

这表明曲线过点的切向量都可由与线性表出。可见过点的切向量都在过点的切平面上。另一方面，对于任意切向量，在参数区域中取过且方向为的参数曲线

则此时，从而。

这表明：在点的切平面中每一个向量都是过点的某一曲线的位于点的切向量。

于是：曲面在点的切平面等于曲面上过点的曲线在点的切向量的全体。

25.求双曲抛物面的Gauss曲率，平均曲率，主曲率和它们所对应的主方向.解：

由，。，其中。

由。

于是Gauss曲率：，平均曲率：。

因为，所以，所以主曲率：

对应的主方向为，其中

.所以。

同理，另一个主曲率：，对应的主方向为。

注：设为外恩格尔登变换，则。

补充：定理

（1）函数是主曲率的充要条件是。

（2）方向

d

=

du:dv

是主方向的充要条件是。

证明：（1）设是对应的主方向，则有，即。

分别用与上式两边作内积，得。

所以主方向满足

由于不全为零，可得

（2）在脐点。

从而由可知，，中的两个方程成为恒等式。此时，任何方向都是主方向。

在非脐点，分别用和代入

得到相应的主方向

和。

将

改写成由于不全为零，有。

28．曲面上的一条曲线称为曲率线，如果曲线在每一点的切向量都是曲面在该点的一个主方向。证明：曲线是曲率线当且仅当沿着，与平行。

证明：

设为外恩格尔登变换，则。

所以，曲线是曲率线当且仅当沿着，与平行。

29.设是曲面的一个参数表示，证明：曲面的参数曲线和

是曲率线的充要条件是。

证明：曲面的参数曲线，记是曲率线等价于曲线在每一点的切向量都是曲面在该点的一个主方向曲线在每一点，同理，曲面的参数曲线，记是曲率线等价于曲线在每一点的切向量都是曲面在该点的一个主方向曲线在每一点，显然，（假若，则矛盾！）。从而。

所以，曲面的参数曲线和是曲率线的充要条件是。

35.若曲面是极小曲面，证明：除相差一个常数外，它可以写成，这个曲面称为Scherk面。

证明：设曲面的参数方程为，则。

因此，。

由得到，即。

上式可化为

(1)

由于上式左边是的函数，右边是的函数，故只能是常数，设此常数为。

当时，由(1)可知，其中是常数。

于是该极小曲面是平面，其中。(不是Scherk曲面)

下面设。由(1)得，令，即。则有。

于是。在轴方向作一平移，可设，从而，积分得。

同理，由可得。

于是。