几何证明选讲

第一篇：几何证明选讲

几何证明选讲

2007年：

15．（几何证明选讲选做题）如图4所示，圆O的直径AB6，C为圆周上一点，BC3，过C作圆的切线l，过A作l的 垂线AD，垂足为D，则DAC

A

2008年：

15．（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2．AC是圆O的直径，PC与圆O交于B点，PB=1，则圆O的半径R=

图

4l

2009年：

15.(几何证明选讲选做题)如下图，点A、B、C是圆O上的点，且AB=4，ACB30，则圆O的面积等于

o

2010年：

14．（几何证明选讲选做题）如上图3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD=

a，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF=2

2011年：

15．（几何证明选讲选做题）如图，在梯形ABCD中，AB//CAD,B4,CD2,分别为E,F，上的点，且ADBC，

3EF，EFAB

则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为

A

2012年：

15．（几何证明选讲选做题）如图3，直线PB与圆O相切与点B，D是弦AC上的点，PBADBA，若ADm,ACn，则AB

图3

2013年：

15．（几何证明选讲选做题）如图3，在矩形ABCD

中，ABBC3，BEAC，垂足为E，则ED

图3

第二篇：几何证明选讲专题

几何证明选讲

几何证明选讲专题

一、基础知识填空：

1.平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段_________.推论1: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必______________.推论2: 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线________________.2.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的________________成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段___________.3.相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于______；相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于_______________； 相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于____________________；

4.直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是______________________的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上_______与_________的比例中项.5.圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的____________的一半.圆心角定理：圆心角的度数等于_______________的度数.推论1：同弧或等弧所对的圆周角_________；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧_______.o推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是____；90的圆周角所对的弦是________.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的______________.6.圆内接四边形的性质定理与判定定理：

圆的内接四边形的对角______；圆内接四边形的外角等于它的内角的_____.如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点______；如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点_________.7.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的__________.推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过_______；经过切点且垂直于切线的直线必经过______.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的________.8.相交弦定理:圆内两条相交弦，_____________________的积相等.割线定理:从圆外一点引圆的两条割线，_____________的两条线段长的积相等.切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是__________的比例中项.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长____；

圆心和这点的连线平分_____的夹角.二、经典试题：

1.(梅州一模文)如图所示，在四边形ABCD中，EFFG+=． EF//BC，FG//AD，则D BCAD

C

2.(广州一模文、理)在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且AE：EB=1：2，DE与AC交于

点F，若△AEF的面积为6cm2，则△ABC的面积为

B cm2．

3.(广州一模文、理)如图所示，圆O上

一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的半径等于．

4.(深圳二模文)如图所示，从圆O外一点P 作圆O的割线PAB、PCD，AB是圆O的直径，若PA=4，PC=5，CD=3，则∠CBD=__ 第1页

5.(广东文、理)已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2.AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB=1，则圆O的半径R=_______.6.(广东文、理)如图所示，圆O的直径

AB=6，C圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点 D、E，则∠DAC＝，线段AE的长为

三、基础训练： 1.(韶关一模理)

如图所示，PC切⊙O于

点C，割线

PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于 点E，PC=4，PB=8，则CD=________.2.(深圳调研文)如图所示，从圆O外一点A 引圆的切线AD和割线ABC，已知AD=

AC=6，圆O的半径为3，则圆心O到AC的距 离为________.3.(东莞调研文、理)如图所示,圆O上一

点C

在直径AB上的射影为D，CD=4，则圆O的半径等于．

4.(韶关调研理)如图所示，圆O是

△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD=AB=BC=3.则BD的长______，AC的长_______．5.(韶关二模理)如图，⊙O′和

⊙O相交于A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q和M，交AB的延长线于N，MN=3，NQ=15，则 PN＝______．

6.(广州二模文、理)如图所示, 圆的内接

△ABC的∠C的平分线CD延长后交圆于点E，连接BE，已知BD=3，CE=7，BC=5，则线段.N7.（湛江一模文）如图，四边形ABCD内接

于⊙O，BC是直径，MN切⊙O于A，∠MAB=25则∠D=___.8.(湛江一模理)如图，在△ABC中，D 是AC的中点，E是BD的中点，AE交BC

BF=于F，则

FC

第2页

9.(惠州一模理)如图：EB、EC是⊙O的两

条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E＝460，∠DCF＝320，则∠A的度数是.10.(汕头一模理)如图，AB是圆O的直径，直线CE和圆O相切于点C，AD⊥CE于D，若AD=1，∠ABC=300，则圆O的面积是______.11.(佛山一模理)如图，AB、CD是圆O的两条弦，C

且AB是线段CD的中垂线，已知AB=6，CD=25，则线段AC的长度为．

12.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC∥EF，E是AB的中点，EF交BD于G，交AC于H.若 AD=5，BC=7，则GH=________.13.如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D.C

AD=2，AC= 25，则AB=____

14.如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的 割线，且PB=

B

1PABC，则的值是________.2PB

15.如图，⊙O的割线PAB交⊙O于A、B两点，割线

PCD经过圆心O，PE是⊙O的切线。已知PA=6，AB=7，PO=12，则PE=____O的半径是_______.3答 案

二、经典试题：

1.1 ；2.72；3.5 ；4.30o；5.；6.30°，3.三、基础训练：

243

.5.3..3.5.4.4，522116..7.115o.8..9.99O.10.4.25

11..12.1.13.10，4.14..15.4, 8.1.第3页

第三篇：几何证明选讲专题)

几何证明选讲专题1.了解平行线截割定理，会证直角三角形射影定理.2.会证圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理.3.会证相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.一、基础知识填空：

1.平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段 推论1: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必______________.推论2: 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线________________.2.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的________________成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段___________.3.相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于______；相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于_________________； 相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于____________________；

4.直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是______________________的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上_______与_________的比例中项.5.圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的____________的一半.圆心角定理：圆心角的度数等于_______________的度数.推论1：同弧或等弧所对的圆周角_________；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧_______.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是____；90o的圆周角所对的弦是________.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的______________.6.圆内接四边形的性质定理与判定定理：

圆的内接四边形的对角______；圆内接四边形的外角等于它的内角的_____.如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点______；如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点_________.7.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的__________.推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过_______；经过切点且垂直于切线的直线必经过______.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的________.8.相交弦定理:圆内两条相交弦，_____________________的积相等.割线定理:从圆外一点引圆的两条割线，_____________的两条线段长的积相等.切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是__________的比例中项.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长____；圆心和这点的连线平分_____的夹角.二、经典试题：

1.(梅州一模文)如图所示，在四边形ABCD中，EF//BC，FG//AD，则

EFBC+FG

AD

= D

2.(广州一模文、理)在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且AE：EB=1：2，DE与AC交于

点F，若△AEF的面积为6cm2，则△ABC的面积为

2． B

第1页

3.(广州一模文、理)如图所示，圆O上

一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的半径等于．

4.(深圳二模文)如图所示，从圆O外一点P 作圆O的割线PAB、PCD，AB是圆O的直径，若PA=4，PC=5，CD=3，则∠CBD=__

5.(广东文、理)已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2.AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB=1，则圆O的半径R=_______.6.(广东文、理)

如图所示，圆O的直径

AB=6，C圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线

AD，AD分别与直线l、圆交于点 D、E，则∠DAC＝，线段AE的长为

三、基础训练：

1.(韶关一模理)如图所示，PC切⊙O于

点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于

点E，PC=4，PB=8，则CD=________.2.(深圳调研文)如图所示，从圆O外一点A

引圆的切线AD和割线ABC，已知AD=，AC=6，圆O的半径为3，则圆心O到AC的距 离为________.3.(东莞调研文、理)如图所示,圆O上一

点C在直径AB上的射影为D，CD=4，则圆O的半径等于．

4.(韶关调研理)如图所示，圆O是

△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD=AB=BC=3.则BD的长______，AC的长_______．

5.(韶关二模理)如图，⊙O′和

⊙O相交于A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q和M，交AB的延长线于N，MN=3，NQ=15，则 PN＝______．

6.(广州二模文、理)如图所示, 圆的内接

△ABC的∠C的平分线CD延长后交圆于点E，连接BE，已知BD=3，CE=7，BC=5，则线段

N 7.（湛江一模文）如图，四边形ABCD内接

于⊙O，BC是直径，MN切⊙O于A，∠MAB=250，则∠D=___.8.(湛江一模理)如图，在△ABC中，D 是AC的中点，E是BD的中点，AE交BC

D

于F，则

BFFC=.9.(惠州一模理)如图：EB、EC是⊙O的两 条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E＝460，∠DCF＝320，则∠A的度数是.C

10.(汕头一模理)如图，AB是圆O的直径，直线CE和圆O相切于点C，AD⊥CE于D，若AD=1，∠ABC=300，则圆O的面积是______.11.(佛山一模理)如图，AB、CD是圆O的两条弦，且AB是线段CD的中垂线，已知AB=6，CD=2，则线段AC的长度为． C

12.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC∥EF，E是AB的中点，EF交BD于G，交AC于H.若

AD=5，BC=7，则GH=________.BC

13.如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D.AD=2，AC= 2，则AB=______,CD=_____.14.如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的第2页

割线，且PB=12BC，则PA

PB的值是________.15.如图，⊙O的割线PAB交⊙O于A、B两点，割线

PCD经过圆心O，PE是⊙O的切线。已知PA=6，AB=7，PO=12，则PE=____⊙O

3的半径是_______.答 案

二、经典试题：

1.1 ；2.72；3.5 ；4.30o；5.；6.30°，3.三、基础训练：

1.245.3.5.4.4，2.5.3.6.21

5.7.115o.8.12.9.99O.10.4.11.30.12.1.13.10，4.14.3.15.4, 8.1.如图4所示,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3过C作 圆的切线l,过A作l的垂线AD,垂足为D,则∠DAC =()A.15B.30C.45D.60

2.在RtABC中,CD、CE分别是斜边AB上的高和中线,是该图中共有x个三角形与ABC相似,则x()A.0B.1C.2 D.33.一个圆的两弦相交,一条弦被分为12cm和18cm两段,另一弦被分为3:8,则另一弦的长为()A.11cmB.33cmC.66cmD.99cm

4.如图,在ABC和DBE中,ABDBBCBEACDE53,若ABC与

DBE的周长之差为10cm,则ABC的周长为()A.20cmB.254cmC.50

cm D.25cm

E 第4题图 5.O的割线PAB交O于A,B两点,割线PCD经过圆心,已知

PA6,PO12,AB2

2,则O的半径为()

A.4B

.6C.612.如图,用与底面成30角的平面截圆柱得一椭圆截线, D.8

6.如图,AB是半圆O的直径,点C在半圆上,CDAB于点D, 且AD3DB,设COD,则tan2

＝()

A.13

B.1C.4D.3

7.在ABC中,D,E分别为AB,AC上的点,且DE//BC,ADE的面积是2cm2,梯形

DBCE的面积为6

cm,则DE:BC的值为()

A.B.1:2C.1:3D.1:

48.半径分别为1和2的两圆外切,作半径为3的圆与这两圆均相切,一共可作()个.A.2B.3C.4D.5 9.如图甲,四边形ABCD是等腰梯形,AB//CD.由4个这样的 等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形, 则四边形ABCD中A度数为()

第9题图

A.30B.45C.60D.75

10.如图,为测量金属材料的硬度,用一定压力

把一个高强度钢珠压向该种材料的表面,在材料表面 留下一个凹坑,现测得凹坑直径为10mm,若所 用钢珠的直径为26 mm,则凹坑深度为()

A.1mmB.2 mmC.3mmD.4 mm

第10题图

11.如图,设P,Q为ABC内的两点,且AP2AB1

5AC,AQ＝

23AB＋1

AC,则

ABP的面积与ABQ的面积之比为()

1A.5B.45C.11

4D.3

第11题图

第3页

则该椭圆的离心率为()A．1

B

2．3C．2

D．非上述结论 第12题图

13.一平面截球面产生的截面形状是_______;它截圆柱面所产生的截面形状是

________

14.如图,在△ABC中,AB＝AC,∠C＝720,⊙O过A、B两点且与BC相切于点B,与AC

O 

D

交于点D,连结BD,若BC＝51,则AC＝B

C

第 15.如图,14 题图

AB为O的直径,弦AC、BD交于点P,若AB3,CD1,则sinAPD=16.如图为一物体的轴截面图,则图中R的值是

第15题图

第16题图

17.如图:EB,EC是O的两条切线,B,C是切点,A,D是

O上两点,如果E46,

DCF32,试求A的度数.18.如图,⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P,E为⊙O

上一点,AEAC,DE交AB于点F,且AB2BP4,求PF的长度.E

A FB O

C

D

P

第18题图

第17题图 19.已知:如右图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB＝DC,过点D作AC的平行线DE,交BA的延长线于点E．

求证：(1)△ABC≌△DCB(2)DE·DC＝AE·BD．

20.如图,△ABC中,AB=AC,AD是中线,P为AD上一点,CF∥AB，BP延长线交AC、CF于E、F,求证: PB2=PE•PF．

E

C

第19题图

第20题图

21.如图,A是以BC为直径的O上一点,ADBC于点D,过点B作圆O的切线,与CA的延长线相交于点E，G 是AD的中点,连结CG并延长与BE相交于 点F,延长AF与CB的延长线相交于点P.C

(1)求证:BFEF；(2)求证:PA是O(3)若FGBF,且O的半径长为求BD第21题图

第4页

22.如图1,点C将线段AB分成两．

部分,如果ACABBC

AC,那么称点C为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割

线”，类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l将一个面积为S的图形分成两部分,这两部分的面积分别为SS11,S2,如果SS2

S,那么称直线l为该图形的黄1

金分割线.(1)研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点(如图2),则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗?为什么?

(2)请你说明:三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？

(3)研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E,再过点D作直线DF∥CE,交AC于点F,连接EF(如图3),则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．(4)如图4，点E是ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF是ABCD的黄金分割线.请你画一条ABCD的黄金分割线,使它不经过ABCD各边黄金分割点.第22题图

第四篇：几何证明选讲习题

几何证明选讲

已知正方形ABCD，E、F分别为BC、AB边上的点，且BE=BF，BH⊥CF于H，连结DH.求证：DH⊥EH.已知AD⊥BC于D，AE:ED=CD:BD,DF⊥BE于F，求证：AF⊥CF.已知正方形ABCD，E为对角线AC上一点，AE=3CE，F为AB边中点，求证：DE⊥EF.F

B

如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，BACAGF90，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点



A旋转，AF，AG与边BC的交点分别为D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BEm，CDn．

（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明；（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围；

（3）以△ABC的斜边BC所在直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图2）．在边BC上找一点D，使BDCE，求出D点的坐标，并通过计算

验证BDCEDE．

（4）在旋转过程中，（3）中的等量关系BDCEDE是否始终成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

A

C G

2F 图

1图2

如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF． 解答下列问题：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90º．

①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为，数量关系为．

F

E

A

E

C

B

图乙

FEC

B图甲

图丙

②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90º，点D在线段BC上运动．

试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）

（3）若AC

＝BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．

已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，ABAC，ADAE，BACDAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BECD；②△AMN是等腰三角形．

（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；

△PBD∽△AMN．（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：

C

B

D

B

E

图② A



如图，已知：Rt△ABC中，C90，ACBC2，将一块三角尺的直角顶点与斜边

A 图①

AB的中点M重合，当三角尺绕着点M旋转时，两直角边始终保持分别与边BC，AC交于D，E两点（D，E不与B，A重合）．（1）求证：MDME；

（2）求四边形MDCE的面积；

（3）若只将原题目中的“ACBC2”改为“BCa，ACb(ab)”其它都不变，请你探究：MD和ME还相等吗?如果相等，请证明；如果不相等，请求出MD:ME的值．B

D

M

C

E

A

第五篇：几何证明选讲练习题

选修4-1几何证明选讲综合练习题

1.如图,⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P,E为⊙O上一点,AE＝AC ,DE交AB于点F,且AB2BP4,（1）求PF的长度.（2）若圆F且与圆O内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度。解：（1）连结OC,OD,OE,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系 结合题中条件弧长AE等于弧长AC可得CDEAOC, 又CDEPPFD,AOCPOCP, 从而PFDOCP,故PFD∽PCO,E A F B 证明：（Ⅰ）AB为切线，AE为割线, AB2ADAE又 ABAC(2)由（1）有

ADAEAC2--------------5分

ADC~ACE

ADAC

又EACDACACAE

ADCACE 又ADCEGF EGFACE GF//AC

PFPD,…………4 PCPO

PCPD1

23.…………6 由割线定理知PCPDPAPB12,故PF

E PO

4（2）若圆F与圆O内切，设圆F的半径为r，因为OF2r1即r

1A

所以OB是圆F的直径，且过P点圆F的切线为PT

2F B

5．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P，（I）求证：AD∥EC；

（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长。22.解：（Ⅰ）连接AB，AC是⊙O1的切线，BACD，又BACE，DEAD//EC……………4分（Ⅱ）PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，PA2PBPD,则PT

PBPO248，即PT…………10

2.三角形ABC内接于圆O，P在BC的延长线上，PA切圆O于A，D为AB的中点，PD交AC于E,AE3EC,求

PA

.PC

62PB(PB9)PB3又⊙O2中由相交弦定理，得PAPCBPPE PE4AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，AD2DBDE916，AD12.………………10分

6．如图，已知⊙O和⊙M相交于A,B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为弧BD中点，连结AG分别交⊙O,BD于点E,F，连结CE，PA2PA2PBPCPB

解析：由PAPCPB,()，

PCPCPC2PC2

过C作CH//AB，交PD于H，因为BDAD，PBBDADAEPA

3，故3 所以有

PCCHCHECPC

GFEF2

（Ⅰ）求证：AGEFCEGD；（Ⅱ）求证：。AGCE2

证明：（I）连结AB，AC，∵AD为M的直径，∴ABD90，3．(本小题满分12分)选修4－1：几何证明选讲如图，已知点C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，DC是ACB的平分线并交AE于点F，交AB于D点，求ADF的大小。

解：如图，连接AO，因为AC是圆O的切线，则OAC900，因DC是ACB的平分线，又OAOB，设ACDECD1,ABOBAO2，在ABC中，∴AC为O的直径，∴CEFAGD90．…………2分 ∵DFGCFE，∴ECFGDF，∵G为弧BD中点，∴DAGGDF．…………4分 ∵ECBBAG，∴DAGECF，∴CEF∽AGD．…………5分

∴

CEAG

，∴AGEFCEGD．…………6分 EFGD

（II）由（I）知DAGGDF，GG，2221900180012450，而在ADC中，ADF1290，故ADF45° …………10分

∴DFG∽AGD，∴DG2AGGF．………8分

EF2GD2GFEF2

由（I）知，∴．………10分 222

CEAGAGCE

4.如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE,CFD,CGE

都是⊙O的割线，已知ACAB，（Ⅰ）证明：ADAEAC；（Ⅱ）证明：FG//AC。

7．如图，在ABC中，ABC900，以BC为直径的圆O交AC于点D，设E为AB的中点。（1）求证：直线DE为圆O的切线；（2）设CE交圆

O于点F，求证：CDCACFCE。

O，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于10．(本小题满分10分)如图，ABC内接于⊙

点D，且AB2APAD。（1）求证：ABAC；

O的半径为1，（2）如果ABC600，⊙

且P为弧AC的中点，求AD的长。

8．在ABC中，ABAC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D。

PCPD

（1）求证：；（2）若AC3，求APAD的值。

ACBD

解：（1）CPDABC,DD，DPC～DBA，11．如右上图，ABC是直角三角形，ABC900，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC

边的中点，连OD交圆O于点M，（Ⅰ）求证：O,B,D,E四点共圆；（Ⅱ）求证：2DE2DMACDMAB。

D

PCPDPCPD

又ABAC,（5分）

ABBDACBD

（2）ACDAPC,CAPCAP,APC～ACD APAC，AC2APAD9………（10分）

ACAD

9．(本小题满分12分)已知C点在⊙O直径BE的延长线上，CA切⊙O于A点，CD是ACB的平分线且交AE于点F，交AB于点D。（1）求ADF的度数；（2）若ABAC，求

AC的值。

BC

12．如图，ABC的外角EAC的平分线AD交BC的延长线于点D，延长DA交ABC的外接圆于点F，连结FB,FC。

（1）求证：FB2FAFD；

（2）若AB是ABC外接圆的直径，且EAC120,BC6，求线段AD的长。

可以得知△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC．

BFEFBFCFEFCF

∴BFEF．∵G是AD的中点，∴DGAG．∴∴．．

DGAGDGCGAGCG

（Ⅱ）连结AO，AB．∵BC是O的直径，∴BAC90°．

在Rt△BAE中，由（Ⅰ）得知F是斜边BE的中点，∴AFFBEF．

∴FBAFAB．又∵OAOB，∴ABOBAO．∵BE是O的切线，∴EBO90°．∵EBOFBAABOFABBAOFAO90°，∴PA是O的切线．

15．如图，⊙O是ABC的外接圆，D是弧AC的中点，BD交AC于E。（I）求证：CD2DEDB。（II）若CDO到AC的距离为1，求⊙O的半径。

AB1，圆O的2

割线MDC交圆O于点D,C，过点M作AM的垂线交直线AD,AC分别于点E,F，证明：（Ⅰ）MEDMCF；（Ⅱ）MEMF3。

13．如图：AB是圆O的直径（O为圆心），M是AB延长线上的一点，且MB证明：（Ⅰ）连接BC得ACB90，所以ACBBMF90，∴B,C,F,M四点共圆，∴CBACFM，又∵CBACDAEDM ∴EDMCFM，在EDM与CFM中可知MEDMCF。6分（Ⅱ）由MEDMCF，得E,F,C,D四点共圆，∴MEMFMDMC，又∵MDMCMBMA3，∴MEMF3。┈┈┈┈┈10分

A

F



C

D

E

16．如图所示，已知PA与O相切，A为切点，PBC为割线，D为O上的点，且AD=AC，AD，M

O

14.如图, 点A是以线段BC为直径的圆O上一点,ADBC于点D,BC相交于点E。（Ⅰ）求证：AP//CD；（Ⅱ）设F为CE上的一点，且EDFP，求证：CEEBFE

EP.过点B作圆O的切线,与CA的延长线相交于点E, 点G是AD的中点,连结CG并延长与BE相交于点F, 延长AF与CB的延长线相交于点P.（Ⅰ）求证:BFEF；

（Ⅱ）求证:PA是圆O的切线；

证明：（Ⅰ）∵BC是O的直径，BE是O的切线，∴EBBC．又∵ADBC，∴AD∥BE．