第四版微分几何期末复习总结

第一篇：第四版微分几何期末复习总结

1.求I弧长和交角.(1)Idu2sinh2udv2,求u=v的弧长.解：u=vIdu2sinh2udu2=（1+sinh2u）du2=cosh2udu2,设曲线u=v上两点A(u1),B(u2)u10,则在P0邻近K>0,从而对于围绕P0点的充分小的曲边四边形有Kd0得出矛盾，GK0,即曲面为可展曲面.(2)若曲面s的高斯曲率处处小于零，闭测地线....证:若存在所述闭测地线C,它所围成的曲面部分为G,由高斯-波涅公式得KdGkGgds(i)2.i1k因为K0,则Kd0,又后两项均为0，得出矛盾，所以不存在所述闭测地线.G6.证明曲线x13t3t2,y22t5t2,z1t2为平面曲线，并求出所在平面方程.证：因为r,r1，r2，r3=0=0平面曲线；令t=0r=1，2，1r1=3，-20,因为平面曲线平面方程即密切平面R-r,r1，r2=0，所以方程为2x+3y+19z-27=0k0直线.7.证明如果曲线:r=r(s)为一般螺线,,为的切线向量和主法向量，R为的曲率半径,证明:r(s)R-ds也是一般螺线.证：将r*=R-ds两边对s求微商，(ds/ds)=R,所以*=;因为是一般螺线，所以存在向量P:P=c=常数***P=P=c=常数.即得证也是一般螺线.k/t常数一般螺线8.求切平面:(1)圆柱面r=Rcos,Rsin,z.解:求r,rz(Rr,r,rz)0即XcosYsinR=0;(2)证明曲面r=u,v,a3/(uv)体积为常数.证:求ru,rv(Rr,ru,rv)0即a3/(u2v)Xa3/(u2v)YZ3a3/(uv)=0V=(1/3)(1/2)3u3v(3a/uv)=(9/2)ac9.三线三面：法平面（R-r0）r010；密切R-r0，r01，r02=0;从切R-r0，r01r02,r01=0；33 10.证明对于正螺面rucosv,usinv,bv，-u,-v, 处处有EN2FMGL0.证：由于rucosv,usinv,bv;rucosv,sinv,0;rvusinv,ucosv,b;ruu0,0,0;ruvsinv,cosv,0;rvvucosv,usinv,0;22所以E1,F0,Gub.n1/u2b2bsinv,bcosv,u.L0,Mb,N0.故EN2FMGL0.11.求出抛物面z1/2(ax2by2)在（0,0）点,方向（dx，dy）的法曲率。解：因为rx,y,1/2(ax2by2),所以pax,qby.ra,s0,tb.在（0,0）点有p0=0，q00,r0a,s00,t0b,E1,F0,G1,La,M0,Nb.Idx2dy2,IIadx2bdy2,故在（0,0）点沿方向（dx：dy）的法曲率为：k（II/I[adx2bdy2]/[dx2dy2][a(ndx：dy）

1212切线R-r0=r1(0);主法线R-r0=（r01r0r0）;副法线R-r0=(r0r0).dx2dx)b]/[()21]dydy

第二篇：微分几何期中考试

2009—2010年微分几何期中考试试题

一、判断题（10分）

1.在光滑曲线的正常点处，切线存在而且唯一。()

2.空间曲线的曲率与挠率完全确定了空间曲线的形状。()

3.保角变换一定是等距变换。()

4.挠率是空间曲线的副法向量对于弧长的旋转速度。（）

5.空间曲线穿过密切平面和从切平面,不穿过法平面。()

二、计算与证明题：

1．已知圆柱螺线的参数方程

(C):r={acost,asint,bt},t R

（1）求曲线C上任一点M的基本向量a,b,g。

（2）求曲线C上任一点M及A(a,0,0)点的切线和法平面及密切平面的一般方程。

（3）求曲线C的主法线曲面的参数方程和一般方程。

2．已知空间曲线(Viniani曲线)：

222ìïx+y+z=1(C):ïí22ïïîx+y=x

求曲线C在(0,0,1)点的曲率。

3．

第三篇：微分几何教案 第七讲

具体如下：

取M上的向量场X，对给定的xM,有

*(x)T于是X(x)TxM，xM为关于X的齐次线性函数，有

(X)(x)(x)X(x),xM.对f,gC(M)和X,YX(M), 有

(fXgY)f(X)g(Y).下面设1,,pT*M（即1-形式），X1,,XP为M上的向量场。

d(1p)(X1,,Xp)(p)(1)S()1(Xi1)p(XS()(i1ip)(1)1(Xi1)p(Xip)det(i(Xj))，其中(p)是1,2,,p的置换群，即Sp,{i1,,ip}(p),S()是的逆序数。一般地，设

i1ipai1ipi1ipi1ip(X1,,Xp)

ai1ipi1ip(X1,,Xp).1

并且，设和分别为M上的p形式和q形式，则

()(X1,,Xpq)(1)S()(X(pq)i1,,Xip)(Xip1，设U,U是M上x处的两个坐标邻域，它们的局部坐标分别为xi和xj。设M上的p形式(x)在这两个局部坐标系中分别表示为

(x)aiip1ip(x)dxi1dxii1pb

jjp1jp(x)dxjj1dxj1p.则有坐标变换公式：

b(xi1,,xip)j1jp(x)(xaii1ip1ip(x).j1,,xjp)

三、外微分

对流形M上的0-形式f（即函数fC(M)），由函数的微分，有

df(x)nfdxi1xi，i 2

Xipq,为M上的1-形式，上式表明，“d”是F0(M)到F1(M)的映射。下面将“d”推广为Fp(M)到Fp1(M)的映射。df

定义：设U为流形M上含x的坐标邻域，局部坐标为xi。如果M上的p形式在U中写成

(x)iai1ip(x)dxi1dx1ip则定义外微分如下：

dd(x)dxidai1ipi1dxip1ipani1ip(x)i1ipj1xdxjdxij1d:Fp(M)Fp1(M)d

性质：

① 对,Fp(M),1,2R有

d(12)1d2d.② 对Fp(M),Fq(M),有

d()d(1)pd.ip，dxip.r③ dd0,即F(M),都有

d(d)0.③ 当pn时，对

Fp(M),必有 d0.例 考虑R3，取它的直角坐标系(x,y,z),则R3上所有微分形式为

0形式：0f(x,y,z),fC(R3).1形式：1adxbdycdz,a,b,cC(R3).2形式：

2adydzbdzdxcdxdy,a,b,cC

3形式：3adxdydz,aC(R3).分别求它们的外微分。庞卡莱引理及逆命题

定义： 设M是n维微分流形，Fp(M)。如果d0,则称为闭微分形式（简称闭形式）。如果存在Fp1(M)使得d,则称为恰当微分形式（简称恰当形式）。显然有

(R3).定理（Poincare引理）设是M上的p形式且是恰当的，则必是闭形式。定理（Poincare引理的逆命题）

是U上的p形设开集UM可收缩为一点，式，若是闭的，则是恰当的。

对偶映射

定义：设M,N分别为m维和n维微分流形，F:MN是C映射。定义映射

F*:FP(N)FP(M),(0pn)F()*

使得对任何xM,X1,,XpTxM有

(F*())(x)X1,,XP(F(x))F*(x)X1,,F*(x)XP

其中F*即dF，是F的微分。F*称为映射F*的对偶映射。性质：

⑴ F*是线性的，即对1,2FP(N)，有

F*(1122)1F*(1)2F*(2).⑵ 对,Fp(N),有

F*()F*()F*().⑶ dF*F*d，即对Fp(N)有

d(F*)F*(d).⑷ 若 F:MN,G:NP是C的，则

(GF)*F*G*.局部地，设(U,)和(V,)分别为M和N上包含x和yF(x)的坐标图，F(U)V,局部坐标分别为xi和yj。如果设

(y)ai1ip(y)dyi1dyip，i1ip则

F()(x)ai1ip(F(x))*i1ipj1jpdxj1dxjp.(xj1,,xjp)(yi1,,yip)§5.8 流形上的积分

一、体积元与可定向流形

设 x1,,xn是Rn的一个直角坐标系e1*,,en*为xi方向的单位向量构成的一个有序标准正交基，取Rn的一个n形式：

dx1dxn, 显然

(e,,e)det(dxi(e))1.*1*n*j它给出以e1*,,en*为边构成的n维正立方体。一般地，若e1,,en是Rn的任一个有序基，则

于是

可将之视为以“有向e1,,en反）”。如R2上，取一般地，在e1,,en

enia1ije*j.j

(e1,,en)(dx1dxn)(e1,,en)det(dxi(ej))det(aij).(e1,,en)为边的平行多面体的积”。若det(aij)0(0)则称基底e**1,,en的“定向相同（相dx1dxn称为Rn的标准体积元。e1(1,0),e2(0,1).（如图示）

e1'e2,e2'e1.[ee011',2'][e1,e2]10, det(aij)10.n维实向量空间V上任取两组基e1',,en'，它们的关系为

ej'aijei,j1,,n.体与标准基及或

e',,e'e,,e[a].1n1nij定义等价关系：

e1,,en~e1',,en'det(aij)0.这样就可将V的所有有序基分为两个类，称之为V的定向。同一等价类中各元的定向相同，不同的等价类的元之间的定向相反。如 R3中，{i,j,k}代表的右手系习惯称为正定向，而{i,k,j}代表的左手系为反定向。又如Rn中1,n确定它的一个标准定向流形的定向。

定义：设M是n维微分流形，(U,)是M的一个图集。若该图集能确定xM的切空间TxM的定向，则称M是可定向的。M可定向xUU处雅可比行列式

xj(x1,,xn)det0.xix(x1,,xn)x并非所有的流形都可定向，如Mobius带。定义：设是M上的一个n-形式，若对xM，都有(x)0，则称为流形M的一个体形式（体积元）。可以证明：M可定向M上有一个体积元。设x点处局部坐标系x1,,xn，则TxM有自然基,,xnx1，若对xM都有(x)x,,1xn向，否则反向。定义：设M，形，其定向分别由:MN为C向相同，则称向的。

命题：设映射N分别由n-形式所定向，则



保定向流形上的积分首先考虑Rn中开集系。取切空间的基

0,则确定了流形M

N是两个已定向的n维微分流Fn(M)和Fn(N)确定，若微分形式*与是保定向的；否则称是:MN,xy(x),流形dx1dxn和dy1(y1,,yn)(x0.1,,xn)U，xi为Rn的整体坐标

x,,确定U的正方

1xn9

正

M和dyn的的定映射。反定 向，于是Rn成为一定向流形。

设f为U上一个可积函数，f(x)dx1dxn.UUf(x)dx1dxnUf(x1,,xn)dx1dxn.d

下面考虑n维可定向的微分流形M。设 (U,)是M上的一个图册，局部坐标为x1,,xn，下面用切空间上的自x,,1x确定M的定向。

n取M的开覆盖U的一个单位分解f在M上的C函数族f，满足

① 对任何及xM，有0f(x)xU时，f(x)0； ② 对 xM，仅有有限个f(x)0。③ 对 xM，f(x)1。

设是M上的一个n形式，且其支集SuppdxM|(x)0，是一个紧子集。如果对某个有Supp有U上可表示为

a(x)dx1dxn.然基，即存,且当

U,则1

定义：

UUa(x)dx1dxn(U)a(x1,,xn)dx1dxn.d

一般地，由于Supp是紧致的，可选有限个邻域U1,,Um覆盖Supp，即有

Suppmj1Uj.由单位分解fm可知f1jjSupp(fi)Uj,j1,,n.于是，定义：n形式在已定向流形M上的积分为dmmmMMfjUjfjj(Uj)fj(x)a(x)dxj1j1j11可以证明，有如下性质：

设 ,1,2是已定向的n维流形M上的有紧支集的n形式，则 ① M(12)M1M2;② MM,R;③ MM;

④ 若为M上的体积元，它确定M的正向，g(x)0 为M上的连续实函数，则

且

dxn.， Mg0

当且仅当g0上式取等号。

MM1M2,⑤ 若M1,M2为M的不相交开集，且M1,M2的定向与M一致，则

MMM.12变量置换公式：

设M,N是已定向的n维微分流形，:MN是一个保定向的微分同胚，为N上的n形式，则

*NM 特别地，当:U(U)Rn,x(x)y,（U为Rn的一开子集）是一微分同胚时，则对(U)上的可积函数f(y)有

(U)f(y)dy1dynUf((x))|J|dx1dxn.如 当n1时，:[a,b][a',b']是一C同胚，f(x)dx,则有

*[a',b'][a,b]，即

a'f(x)dxaf[(t)]'(t)dt，b'b即 经典的变量变换公式。

第四篇：初二期末几何证明题复习（本站推荐）

初二期末几何证明题复习2014-6-1

21．在△ABC 中，AB  AC，A 0，将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 60得到线段 BD，再将线

段BD平移到EF，使点E在AB上，点F在AC上．（1）如图 1，直接写出 ABD和CFE 的度数；

（2）在图1中证明： E CF；（3）如图2，连接 CE，判断△CEF 的形状并加以证明．

B

图

1B

C

图2

2．将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，DE的延长线与BC相交于点F，连接AF．

（1）如图1，若BAC==60，DF2BF，请直接写出AF与BF的数量关系；

（2）如图2，若BAC＜=60，DF3BF，猜想线段AF与BF的数量关系，并证明你的猜想；解：

3.已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．

（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；

（2）如图2，E是直线BC上的一点，直线AE、CD相交于点P，且∠APD=45°，求证BD=CE．

图1 图

4.在△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，D是AC边上的动点，E是BC边上的动点，AD=BC，CD=BE．

（1）如图1，若点E与点C重合，连结BD，请写出∠BDE的度数；（2）若点E与点B、C不重合，连结AE、BD交于点F，请在图2中补全图形，并求出∠BFE的度数．

5.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，CD=2，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连接EG、AF．（1）求EG的长；

（2）求证：CF=AB+AF．

6.如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，连接BM，BM的垂直平分线交BC的延长线于F，连接MF交CD于N.求证：（1）BM=EF；（2）2CN=DN.

第五篇：微分几何答案彭家贵陈卿

习题一（P13）

2.设是向量值函数，证明：

（1）常数当且仅当；

（2）的方向不变当且仅当。

（1）证明：常数常数常数。

（2）注意到：，所以的方向不变单位向量常向量。

若单位向量常向量，则。

反之，设为单位向量，若，则。

由为单位向量。

从而，由常向量。

所以，的方向不变单位向量常向量

。即的方向不变当且仅当。

补充：

定理

平行于固定平面的充要条件是。

证明：：若平行于固定平面，设是平面的法向量，为一常向量。

于是。

：若，则。若

则方向固定，从而平行于固定平面。

若，则。令则

3.证明性质1.1与性质1.2。

性质1.1（1）证明：设，则

（2）证明：设，则

（3）证明：设，则

同理，所以。

性质1.2

证明：（1）

证明：（2）

4.设是正交标架，是的一个置换，证明：

（1）是正交标架；

（2）与定向相同当且仅当是一个偶置换。

（1）证明：当时，；

当时，所以，是正交标架。

（2）证明：

A)当

B)当

C)当

D)

当，此时，；

E)

当

F)

当

所以，与定向相同当且仅当是一个偶置换。

习题二（P28）

1.求下列曲线的弧长与曲率：

（1）

解：

所以，2.设曲线，证明它的曲率为

证明：

3.设曲线C在极坐标下的表示为，证明曲线C的曲率表达式为

证明：

所以，；；

。

因此，4.求下列曲线的曲率与挠率：

（4）

解：。

所以，。

5.证明：的正则曲线的曲率与挠率分别为。

证明：

根据弗雷内特标架运动方程，得：

所以。

6．证明：曲线

以为弧长参数，并求出它的曲率，挠率与Frenet标架。

证明：1）

所以，该曲线以为弧长参数。

由及

得

所以，2）。

3）所求Frenet标架是，其中。

10.设是中的一个合同变换。是中的正则曲线。求曲线与曲线的弧长参数、曲率、挠率之间的关系。

解：（1）

可见，与曲线除相差一个常数外，有相同的弧长参数。

（2）

可见，与曲线有相同的曲率。

（3）

可见，与曲线的曲率相差一个符号。

13.（1）求曲率（是弧长参数）的平面曲线。

解：设所求平面曲线因为是弧长参数，所以

可设，由曲率的定义，知

所以，所求平面曲线。

20.证明：曲线与曲线是合同的。

证明：1）对曲线作参数变换，则。

可知是圆柱螺线()，它的曲率和挠率分别为。因此，只要证明曲线的曲率，挠率，从而根据曲线论基本定理，它们可以通过刚体运动彼此重合。

2）下面计算曲线的曲率与挠率。

由，进而。

21.证明：定理4.4

定理4.4

设是连续可微函数，则

（1）

存在平面的曲线，它以为弧长参数，为曲率；

（2）

上述曲线在相差一个刚体运动的意义下是唯一的。

证明：先证明（1），为此考虑下面的一阶微分方程组

给定初值，其中是中的一个与自然标架定向相同的正交标架，以及，则由微分方程组理论得，有唯一一组解满足初始条件：。

若为所求曲线，则必是它的Frenet标架。因此，我们首先证明

均是与自然定向相同的正交标架。

将微分方程组改写成其中。

是一个反对称矩阵，即令

对求导，并利用有：

表明是微分方程组的解。

定义则

且

即

所以，是微分方程组的解。

注意到：，所以是微分方程组

满足初始条件的唯一解。从而

所以，均是正交标架。

由于是关于的连续函数，且。故由

知。

可见，均是与自然定向相同的正交标架。

于是由微分方程组有：，这表明为弧长参数。从而由推出是单位切向量。由推出是曲线的曲率，从而由推出由，即是单位正法向量。

可见，微分方程组的满足初始条件：

唯一一组的确表明：存在平面的曲线，它以为弧长参数，为曲率，当是连续可微函数时。

再证明（2）：设与是平面中两条以为弧长参数的曲线，且定义在同一个参数区间上。则存在刚体运动

把曲线变为，即。

证明开始：设，考虑两条曲线在处的Frenet标架

与。

则存在平面中一个刚体运动把第二个标架变为第一个标架，即与在处的Frenet标架重合。因此我们只须证明当曲线与在处的Frenet标架重合时。

曲线Frenet标架的标架运动方程为

这是一个关于向量值函数的常微分方程。曲线的Frenet标架与的Frenet标架都是微分方程组的解。它们在处重合就意味着这两组解在的初值相等，由解对初值的唯一性定理立即得到。定理证明完成。

习题三（P68）

2（1）是什么曲面？

解：

4.证明：曲面的切平面过原点。

证明：无妨假定方程确定一个的隐函数，于是

设，则

所以，处的切平面为

易见，当时，有：

所以结论为真。

6.证明：曲面在点的切平面等于曲面上过点的曲线在点的切向量的全体。

证明：设曲面的参数方程为。令为参数区域中过则的参数曲线，为曲面上过点的曲线。于是

这表明曲线过点的切向量都可由与线性表出。可见过点的切向量都在过点的切平面上。另一方面，对于任意切向量，在参数区域中取过且方向为的参数曲线

则此时，从而。

这表明：在点的切平面中每一个向量都是过点的某一曲线的位于点的切向量。

于是：曲面在点的切平面等于曲面上过点的曲线在点的切向量的全体。

25.求双曲抛物面的Gauss曲率，平均曲率，主曲率和它们所对应的主方向.解：

由，。，其中。

由。

于是Gauss曲率：，平均曲率：。

因为，所以，所以主曲率：

对应的主方向为，其中

.所以。

同理，另一个主曲率：，对应的主方向为。

注：设为外恩格尔登变换，则。

补充：定理

（1）函数是主曲率的充要条件是。

（2）方向

d

=

du:dv

是主方向的充要条件是。

证明：（1）设是对应的主方向，则有，即。

分别用与上式两边作内积，得。

所以主方向满足

由于不全为零，可得

（2）在脐点。

从而由可知，，中的两个方程成为恒等式。此时，任何方向都是主方向。

在非脐点，分别用和代入

得到相应的主方向

和。

将

改写成由于不全为零，有。

28．曲面上的一条曲线称为曲率线，如果曲线在每一点的切向量都是曲面在该点的一个主方向。证明：曲线是曲率线当且仅当沿着，与平行。

证明：

设为外恩格尔登变换，则。

所以，曲线是曲率线当且仅当沿着，与平行。

29.设是曲面的一个参数表示，证明：曲面的参数曲线和

是曲率线的充要条件是。

证明：曲面的参数曲线，记是曲率线等价于曲线在每一点的切向量都是曲面在该点的一个主方向曲线在每一点，同理，曲面的参数曲线，记是曲率线等价于曲线在每一点的切向量都是曲面在该点的一个主方向曲线在每一点，显然，（假若，则矛盾！）。从而。

所以，曲面的参数曲线和是曲率线的充要条件是。

35.若曲面是极小曲面，证明：除相差一个常数外，它可以写成，这个曲面称为Scherk面。

证明：设曲面的参数方程为，则。

因此，。

由得到，即。

上式可化为

(1)

由于上式左边是的函数，右边是的函数，故只能是常数，设此常数为。

当时，由(1)可知，其中是常数。

于是该极小曲面是平面，其中。(不是Scherk曲面)

下面设。由(1)得，令，即。则有。

于是。在轴方向作一平移，可设，从而，积分得。

同理，由可得。

于是。