高等数学(上册)教案10 隐函数的导数和由参数方程确定的函数导数

第一篇：高等数学(上册)教案10 隐函数的导数和由参数方程确定的函数导数

第2章 导数与微分

隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数

【教学目的】：

1.掌握隐函数的求导方法； 2.掌握取对数求导方法；

3.掌握由参数方程所确定的函数的导数的求法；

【教学重点】：

1.隐函数的求导方法； 2.对数求导法；

3.由参数方程所确定的函数的导数的求法。

【教学难点】：

1.隐函数的求导方法； 2.对数求导法。

【教学时数】：2学时 【教学过程】：

2.3.1 隐函数的求导法则

1．显函数与隐函数

定义 显函数：函数的因变量y用自变量x的表达式f(x)直接表示的函数称为显函数．

隐函数：用二元方程F(x,y)0表示的函数，称为隐函数．

例如：ysin(xy)就是一个隐函数．

有些隐函数可以化为显函数，但有些隐函数如exyxy,却很难、甚至根本不可能化为显函数,因此我们有必要介绍一下隐函数的求导方法．

2．隐函数的求导法

（1）将方程F(x,y)0两边分别同时对x求导，并在求导过程中视y为x的函数，y的函数为x的复合函数；（2）解出含有y的方程，即为所求．

例1 求由方程xyexey0所确定的隐函数yy(x)的导数解 将方程两边分别对x求导，注意y是x的函数，得

yxyexeyy0

dy． dx由上式解出y，便得隐函数的导数为

dyexy(xey0)． ydxxe2.3.2 对数求导法

对数求导法的一般步骤：

（1）对函数yf(x)的两边同时取自然对数，得到一个隐函数；

（2）利用隐函数求导法对上述隐含数求导．

注意 对数求导法适用于由几个因子通过乘、除、乘方、开方所构成的比较复杂的函数的求导，及幂指函数的求导．

例4 已知yxsinx(x0),求y'． 解 将yxsinx两边同时取对数，得

lnysinxlnx将上式两边分别对x求导，注意到y是x的函数，得

1'1ycosxlnxsinx yxsinxsixnsinx于是 y'ycosxlnxxcosxlnx．

xx例5 求yx(x2)(x1)的导数．

(x1)解 将方程两边同时取对数，得

12)lnx(1)，lnylnxlnx(2将上式两边分别对x求导，得

1'1111y，y2xx2x1

所以 y'y1111x(x2)111．

2xx2x12(x1)xx2x12.3.3 由参数方程所确定函数的导数

1．由参数方程所确定的函数的概念 2．由参数方程所确定的函数的求导法

定理1 若函数x(t)，y(t)都可导，而且'(t)0，则参数方程（1）所确定的函数的导数存在，且

dydydtdy'(t)．(2)' 或

dxdxdx(t)dtdy例6 求由下列参数方程所确定的函数的导数：

dxx1sin（2）．

ycos解（2）dxdycos,cossin，所以 dtdtdydy/dcossin=1tan． dxdx/dcos

【教学小节】：

通过本节的学习，掌握隐函数、含参数方程函数的求导方法，尤其是要熟练掌握对数求导法。

【课后作业】：

能力训练 P56 2（1、4）、4（2）、5（2、4）；P61 4（1）

第二篇：函数的和差积商的导数教案

函数的和差积商的导数教案

教学目的

1．使学生学会根据函数的导数的定义推导出函数导数的四则运算法则；

2．使学生掌握函数导数的四则运算法则，并能熟练地运用这些法则去求由基本初等函数的和、差、积、商构成的较复杂的函数的导数．

教学重点和难点

本节课的重点是求函数的和、差、积、商的导数的运算法则．难点是求函数的积和商的导数的运算公式及其推导方法．

教学过程

一、复习提问

1．求导数的三个步骤是什么？

(先让全体学生回忆，再请一名学生单独回答．若答错或不完善则请另外学生纠正或补充．)

(1)求函数的增量：Δy=f(x＋Δx)－f(x)；

2．试用导数的定义求函数y＝x＋x2的导数．

(要求全体学生在课堂练习本上做，同时找一至两名学生板演．)

解：设y=f(x)＝x＋x2，则Δy=f(x＋Δx)－f(x)＝[(x＋Δx)＋(x＋Δx)2]－(x＋x2)

＝Δx(1＋2x＋Δx)，二、引入新课

让学生观察复习提问2的结果： y′=1＋2x．

从这个结果可以得到以下两点启示：

1．函数y＝x＋x2是两个函数(y＝x和y＝x2)的和，它的导数可以用导数的定义直接求得；

2．函数y＝x＋x2的导数y′=1＋2x，恰好是函数y＝x和y＝x2导数的和．那么，任意两个函数的和的导数是否都是这两个函数导数的和呢？

结论是肯定的．

三、讲解新课

1．和(差)的导数．

法则1 两个函数的和(差)的导数，等于这两个函数的导数的和(差)．即

其中u和v都是x的可导函数．

证明：(可让学生自己完成．)

设y=f(x)＝u(x)＋v(x)，则Δy=[u(x＋Δx)±v(x＋Δx)]－[u(x)±v(x)]

=[u(x＋Δx)－u(x)]±[v(x＋Δx)－v(x)]

=Δu±Δv，即y'=(u±v)'=u'±v'．

追问：条件“u和v都是可导函数”有没有必要？它在证明法则的过程中用于何处？

说明：这个法则可以推广到任意有限个函数，即

例1 求函数y＝x3＋sinx的导数．

解：y'＝(x3)'＋(sinx)'＝3x2＋cosx．

设问(继续引入新课)：既然有(u±v)'＝u'±v'，那么是否也有

呢？

就上述“设问”给出两个反例，以防止极限运算中，积和商的法则在此处的负迁移：

①把函数y＝x3看作函数u(x)=x和函数v(x)=x2的乘积，即 y=x·x2．

按(1)求导有：

y'＝(x·x2)'＝(x)'·(x2)'=2x．

显然与y'＝(x3)'＝3x2的正确结果不符．可见该(1)为谬．

那么，正确的法则是什么呢？我们可以由导数的定义直接推导出来．

2．积的导数．

法则2 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数．即

其中u和v都是x的可导函数．

证明：设y＝f(x)＝u(x)·v(x)，则

Δy=u(x＋Δx)·v(x＋Δx)－u(x)·v(x)

＝u(x＋Δx)·v(x＋Δx)－u(x)·v(x＋Δx)＋u(x)·v(x＋Δx)－u(x)·v(x)，因为v(x)在点x处可导，所以它在点x处连续，于是当Δx→0时，v(x＋Δx)→v(x)，从而

即 y'=(uv)'=u'v＋uv'．

若c为常数，则从[法则2]立即可以推出：(cu)'=c'u＋cu'=0＋cu'=cu'．

就是说，常数与函数的积的导数，等于常数积以函数的导数．即

例2 求函数y＝(2x2＋3)(3x－2)的导数．

＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3

＝18x2－8x＋9．

3．商的导数．

法则3 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方．即

因为v(x)在点x处可导，所以它在点x处连续，于是 当Δx→0时，v(x＋Δx)→v(x)，从而

即

解：

例4 求证当n是负整数时，公式(xn)'=nxn-1

仍然成立．

证明：设 n=－m(m为正整数)

说明：

当n＝0时，(xn)'＝nxn-1也成立，所以对于一切整数n，公式(xn)'＝nxn-1成立．

四、小结

1．通过用导数的定义求导数的方法，可直接推导得函数和(或差)、积、商的导数公式：

(1)(u±v)'=u'±v'；

(2)(uv)'＝u'v＋uv'；(cu)'＝cu'(c为常数)；

其中u和v是x的可导函数．

2．公式(2)对于u和v是对称的，而公式(3)对于u和v却不是对称的，这一点要特别注意．

3．和(或差)的导数法则可以推广到任意有限个函数的情况

那么，对于任意有限个函数的积的导数又怎样呢？(此问题要求学生在课后思考，下一节课将给予回答．)

五、布置作业

1．阅读课本中“函数的和、差、积、商的导数”这一节的课文；

2．求下列函数的导数：

(1)y＝5x5－3x3＋x－25；

(2)y=ax4－bx2＋c；

(3)y＝sinx－x＋1；

(4)y=x2＋2cosx；

(5)y=(3x2＋1)(2－x)；

(6)y=(1－2x3)(x－3x2)；

(7)y＝sinx(1－x2)；

(8)y=(1＋2x)(1－cosx)；

第三篇：几种常见函数的导数教案

几种常见函数的导数教案

教学目的

使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数的导数公式，掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．

教学重点和难点

掌握并熟记四种常见函数的求导公式是本节的重点．正整数幂函数及正、余弦函数的导数公式的推导是本节难点．

教学过程

一、复习提问

1．按定义求导数有哪几个步骤？

2．用导数的定义求下列各函数的导数：

(1)y＝x5；(2)y＝c．

几点说明：练习(1)为推导正整数幂函数导数公式作准备，在求Δy值时启发学生应用二项式定理展开(x＋Δx)5；练习(2)推导前，首先指出这里y＝c称为常数函数，可设y=f(x)=c说明不论自变量取何值，对应的函数值均为c，以避免出如下错误，Δy=f(x＋Δx)－f(x)＝c＋Δx－c＝Δx．

二、新课

1．引言：由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，本节课根据导数定义先来证明几个常见函数的导数公式．

2．几个常见函数的导数公式．

(1)设y=c(常数)，则y'=0．

此公式前面已证．下面我们还可以用几何图象对公式加以说明(图2－6)．因为y=c的图象是平行于x轴的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率都是0．此公式可叙述成“常数函数的导数为零”．

(2)(xn)'＝nxn-1(n为正整数)．

此公式的证明在教师指导下，由学生独立完成．

证明：设y=f(x)=xn，此公式可叙述成“正整数幂函数的导数等于幂指数n与自变量的(n－1)次幂的乘积”．

(3)(sinx)'=cosx．

证明：y＝f(x)=sinx，在学生推导过程中，教师要步步追问根据及思路．如：

此公式可叙述成“正弦函数的导数等于余弦函数”．

(4)(cosx)'=－sinx．

此公式证明由学生仿照公式(3)独立证明．

此公式可叙述成“余弦函数的导数等于正弦函数前面添一个负号”．

三、练习

1．默写四种常见函数的求导公式．

2．求下列函数的导数：

四、小结

四种常见函数的导数公式

1．(c)'＝0(c为常数)，2．(xn)'＝nxn-1，3．(sinx)'＝cosx，4．(cosx)'=－sinx．

五、布置作业

1．求下列函数的导数：

(1)u=t4；(2)y=xa(a为正整数)；sup 2．用导数定义证明：

(5)x=cost．

两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)．

即，已知：两个函数u(x)和v(x)，且u(x)，v(x)的导数存在，求证：[u(x)±v(x)]'=u'(x)±v'(x)．

第四篇：几种常见函数的导数教案

几种常见函数的导数教案

目的要求

1．能应用由定义求导数的三个步骤推导几种常见函数的导数公式，熟记正弦余弦函数的导数．

2．掌握并能运用四个函数导数公式求函数的导数． 3．在公式(2)的指导过程中，培养学生的创新能力． 内容分析

本节依次讲述了函数C，xn(n为有理数)、sinx、cosx等四种函数的导数公式，这些公式都是由导数定义导出的．其中，前两个导数公式要求学生能熟练地证明，后两个导数公式要求学生能熟练掌握和应用．

2．对于函数y＝C的导数公式：y＝C(C为常数)，则y′＝0．此公式不仅要求学生用前面已学的求导的三个步骤进行证明，还要求学生运用几何图象对公式加以说明．如图35－1，因为y＝C的图象是平行于x轴的直线，其上任意一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率都是0．为了让学生记得更牢，此公式可叙述为：常数函数的导数为零．

3．关于公式(xn)′＝n·xn-1(n∈Q)，这个公式的证明比较复杂，教科书只就n∈N*的情况作了证明．因此，这节课的难点就是如何引导学生利用二项式定理对这个公式进行证明，教学时，可采用从特殊到一般的教学方法．实际上，这个公式对于n∈R仍然成立．

4．对于正弦余弦函数的导数公式，由于在证明过程中，要使用三角函数的和差化积公式，以及重要的极限公式．因此，对公式(sinx)′＝cosx、(cosx)′＝－sinx，只要求学生牢记公式并能灵活应用即可，而不要求学生对上述两个公式进行证明．

5．这节课的重点是利用前面已学的求导数的三个步骤对公式(1)、(2)进行证明，同时能运用这四个公式解决一些初等数学不能解决的曲线的切线问题．

教学过程(一)复习提问

1．按定义求导数有哪几个步骤？

2．用导数的定义求下列各函数的导数．(1)y＝x5；(2)y＝C．

目的，练习(1)为推导公式(2)作准备．在求Δy值时，启发学生应用二项式定理展开(x＋Δx)5．练习(2)推导前，首先指出这里y＝C称为常数函数，可设y＝f(x)＝C，说明不论自变量取何值，对应的函数值均为C，以避免如下错误：Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝x＋Δx－C＝Δx．

略解：1．Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)5－x5＝x5＋5x4(Δx)＋10x3(Δx)2＋10x2(Δx)3＋5x(Δx)4＋(Δx)5－x5，∴Δy＝5x4(Δx)＋10x3(Δx)2＋10x2(Δx)3＋5x(Δx)4＋(Δx)5． ∴y′＝5x4．(二)新课

1．引言：由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限．这在运算上很麻烦，有时甚至很困难．为了能够较快地求出某些函数的导数．这一节我们将研究比较简捷的求导数的方法，本节课根据导数定义先来证明几个常见函数的导数公式．

2．几个常见函数的导数公式 公式1 C′＝0(C为常数)．

此公式前面已证，见教科书第116页．下面，我们还可以用几何图象，对公式加以说明：因为y＝C的图象是平行于x轴的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率都是0．

公式1可叙述为：常数函数的导数为零． 公式2(xn)′＝n·xn-1(n∈Q)这个公式的证明可在教师的指导下进行．由于前面已有y＝x5这道题的基础，可由学生只就n∈N*的情况进行独立证明．详细证明过程见教科书第117页．

注意：教学时要引导学生认真观察此公式的特点：函数的导数等于指数n与自变量的(n－1)次方的乘积．

公式3(sinx)′＝cosx． 公式4(cosx)′＝－sinx．

公式3、4可叙述为：正弦函数的导数等于余弦函数，余弦函数的导数等于正弦函数前面添一个负号．

3．例题精讲

例1 求下列函数的导数：

(1)解：y′＝(x5)′＝5x5-1＝5x4．

注意：与前面的复习提问衔接起来，说明牢记和应用导数公式解题的重要性．

目的：通过这一组题的详细讲解，使学生对公式(2)记得更牢固．要求学生今后能熟练地掌握它．

分析：先要利用公式3求出函数y＝sinx的导函数，然后利用导函 略解：∵y＝sinx ∴y′＝(sinx)′＝cosx 4．课堂练习

(1)默写四种常见的求导公式．

(2)教科书第117页练习1和练习2． 5．课堂小结

四种常见函数的导数公式．(1)(C)′＝0(C为常数)

(2)(xn)′＝n·xn-1

(3)(sinx)′＝cosx

(4)(cosx)′＝－sinx．

布置作业

1．求下列函数的导数：

(1)u＝t4(2)y＝xa(a为正整数)(3)y＝a(a为常数)2．教科书习题3．2第2题和第5题．

第五篇：函数单调性与导数教案

3.3.1函数的单调性与导数

【三维目标】

知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系

2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间

过程与方法：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法

2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想。

情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。【教学重点难点】

教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。【教

具】多媒体 【教学方法】问题启发式 【教学过程】 一．复习回顾

复习1：导数的几何意义

复习2：函数单调性的定义，判断单调性的方法，（图像法，定义法）

问题提出：判断y=x的单调性，如何进行？（分别用图像法，定义法完成）2那么如何判断f(x)sinxx,x0,;的单调性呢？引导学生图像法，定义去尝试发觉有困难，引出课题：板书课题：函数的单调性与导数

二．新知探究

探究任务一：函数单调性与其导数的关系：

问题1:如图（1）表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)4.9t6.5t10的图像，图(2）表示高台跳水运动员的速度V(t)h'(t)9.8t6.5h的图像.通过观察图像, 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？此时你能发现h(t)和h'(t)这两个函数图像有什么联系吗?

启发:函数h'(t)在(0,a)上是大于0，函数h(t)在(0,a)上有何特点呢？函数h'(t)在(a，b)上是小于0，那么函数h(t)在(a,b)上有何特点呢？

问题2：观察图（1）～图（4），探讨函数与其导函数是否也存在问题（1）的关系呢？

问题3：通过对问题1和问题2的观察，你能得到原函数的单调性与其导函数的正负号有何关系？你能得到怎样的结论？（形成初步结论，板书结论：函数的单调性与导数的关系：在某个区间(a,b)内，如果f'(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f'(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减．）

问题4：上述结论主要是通过观察得到的，你能结合导数的几何意义为切线的斜率，你能从这个角度给予说明吗？

探究任务二：f'x0与函数单调性的关系：

问题5：若函数fx的导数f'x0，那么fx会是一个什么函数呢？（板书：特别的，如果）f'(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内是常值函数．问题6：平时我们遇到很多需要数形结合的题目，那么现在我们知道了导数的正负能帮助我们判断函数的单调性，那么我们能否利用导数信息画出函数的大致图像呢？

例1:已知某函数的导函数的下列信息:

时，f'(x)0;当1x4时，f'(x)0;当x4,或x1时，f'(x)0.试画出函数fx图像的大致形状.当x4,或x

1跟踪练习

1、设yf(x)是函数yf(x)的导数, yf(x)的 图象如图所示, 则yf(x)的图象最有可能是()

问题7：根据我们得到的导数与单调性之间关系的结论，你能否利用此结论来求函数的单调区间呢？

例3：判断下列函数的单调性,并求出单调区间:（1）f(x)sinxx,x0,;（2）f(x)2x33x224x1;（3）f(x)x33x;（4）f(x)x22x3;（5）f(x)＝x＋ln x

（对于（2）让学生课后探究尝试单调性的定义法和图象法）

问:你对利用导数去研究函数的单调性有什么看法?你能总结出利用导数求单调区间的步骤吗？（简单易行）

（板书“求解函数yf(x)单调区间的步骤：

（1）确定函数yf(x)的定义域；（2）求导数y'f'(x)；（3）解不等式f'(x)0，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式f'(x)0，解集在定义域内的部分为减区间．

问题8：导数能帮助我们简洁的求出单调区间，画出大致图象，但我们知道就是递增（递减）也有快与慢的区别，在导数上如何体现呢？下面我们就来看一下下面这个问题

例3．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像．

分析：

在导数几何意义那节我们就感受了增加与减少也由快慢之分，那么我们以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．

解：1B,2A,3D,4C

思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？

一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．

如右图, 函数yf(x)的图象，在(0,b)或(a,0)内的图象“陡峭”, 在(b,)或(,a)内的图象平缓.（跟踪练习）已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是()

三，课堂练习

1．确定下列函数的单调区间

(1)y=ex

(2)y=3x－x3

(3)f(x)3x22lnx x

四，课堂小结

1.函数导数与单调性的关系:若函数y=f(x)在某个区间内可导, ′如果f(x)>0, 则f(x)为增函数;如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数.2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数形结合在解题中的应用.3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂.五，作业设计 课本98页，A组1，2