高等数学(上册)教案05 函数的连续性与间断点

第一篇：高等数学(上册)教案05 函数的连续性与间断点

第1章 函数、极限与连续

函数的连续性与间断点

【教学目的】：

1.理解函数在一点连续的概念； 2.会求简单函数的间断点；

【教学重点】：

1.函数连续、间断的概念；

2.函数在一点处连续的判定方法； 3.函数间断点的分类；

【教学难点】：

1.函数在一点处连续的判定方法； 2.分段函数分段点处的连续性判断； 3.函数间断点的分类。

【教学时数】：2学时 【教学过程】：

1.4.1函数的连续性的概念

1、函数的增量

2、函数的连续性

定义1 设函数yf(x)在点x0及其附近有定义，且limy0，则称函数

x0f(x)在点x0连续，x0称为函数yf(x)的连续点．

连续的另一等价定义是：

定义2 设函数yfx在点x0及其附近有定义，如果函数fx当xx0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值fx0，即limfxfx0，那么就称函数yfx在点x0连续.注意：由定义知函数f(x)在x0处连续要limfxfx0成立，则必须同时

xx0xx0满足以下三个条件

(1)函数f(x)在x0处有定义；

(2)极限limf(x)存在；

xx0(3)极限值等于函数值，即limf(x)f(x0)．

xx0定义3 如果函数yf(x)在x0处及其左邻域内有定义，且limf(x)=f(x0)，xx0则称函数yf(x)在x0处左连续．如果函数yf(x)在x0处及其右邻域内有定义，且limf(x)f(x0)，则称函数yf(x)在x0处右连续．

xx0yf(x)在x0处连续  yf(x)在x0处既左连续且右连续．

x1x0例5 讨论函数f(x)0x0 在点x0处的连续性.x1x0解 函数定义域为(,)，x0limf(x)=lim(x1)1，limf(x)lim(x1)1，x0x0x0由于左极限与右极限虽然都存在但不相等，所以limf(x)不存在，函数f(x)在点

x0x0处不连续.定义4 若函数f(x)在开区间(a,b)内任何一点处都连续，则称函数f(x)在开区间(a,b)内连续；若函数f(x)在开区间(a,b)内连续，且在左端点a处右连续，在右端点b处左连续，则称函数f(x)在闭区间[a,b]上连续.可以证明，基本初等函数以及常数函数在其定义区间内都是连续的．

3、函数的间断点

如果函数yf(x)在点x0处不连续，则称f(x)在x0处间断，并称x0为f(x)的间断点．

设x0是f(x)的间断点，若f(x)在x0点的左、右极限都存在，则称x0为f(x)的第一类间断点；其他的间断点都称为第二类间断点．

在第一类间断点中，如果左、右极限存在但不相等，这种间断点又称为跳跃间断点；如果左、右极限存在且相等(即极限存在)，但函数在该点没有定义，或者虽然函数在该点有定义，但函数值不等于极限值，这种间断点又称为可去间断点．在第二类间断点中左、右极限至少有一个为无穷大的间断点称为无穷间断点.【教学小节】：

通过本节的学习，理解函数连续的一系列概念，并掌握判断函数连续的方法，学会判断函数的间断点并分类。

【课后作业】：

无

第二篇：函数的间断点分类

怎么理解函数的间断点及其分类？

[答] 函数的间断点是以否定连续性来定义的，要讨论函数f(x)在点x=x0 的连续性，主要是讨论极限limfx。按现行高等数学教材的定义，只有当f(x)在xx0

x0的邻域或某个去心邻域Ux0,内有定义时，才可能讨论此极限，这时也说此



极限是有意义的（注意：极限是否有意义与极限是否存在是两码事）。如果极限没有意义，说函数f(x)在点x0是连续或间断，也就没有意义。此外，由于我们

定义了单侧极限，因此，在双侧极限无意义而单侧极限有意义时，我们也可说该点是函数的连续点或间断点。

间断点的分类也按极限limfx的情况来分：左、右极限都存在的间断点称xx0

第一类间断点（包括可去间断点和跳跃间断点两种）左右极限至少有一个不存在的间断点称为 第二类间断点（包括无穷间断点，振荡间断点，以及其它有名称或无名称的间断点）。此外，在双侧极限无意义而单侧极限有意义时，也按单侧极限存在与否来对间断点分类，例如

x=0是f1x的第二类间断点。因此f100，f1000，f1xe，所以x=0不是第一类间断点，也不是无穷间断点。1x

f2xlnx，x=0是f2x的第二类（无穷）间断点（虽然在x=0只有单侧极限）；x=-1即不是f2x的间断点，也不是连续点。

f3xx，x=0是f3x的连续点，因为limf3xf30，即f3x在x=0x00

右连续，而在x<0时f3x无定义。

f4xsinx

x，x=0是f4x的第一类（可去）间断点，因为右极限存在，而左极限无意义。

第三篇：高等数学第一章函数与极限教案

高等数学教案

课程的性质与任务

高等数学是计算机科学与技术；信息管理与信息系统两个专业的一门重要的基础理论课，通过本课程的学习，也是该专业的核心课程。要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何”，“微积分”，“常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本运算；同时要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。在传授知识的同时，要着眼于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。

第一章：函数与极限

教学目的与要求

18学时

1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4.掌握基本初等函数的性质及其图形。

5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。

6.掌握极限的性质及四则运算法则。

7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

第一节：映射与函数

一、集合

1、集合概念

具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素 表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素

1)A{a1,a2,a3,} 2)A{xx的性质P}

元素与集合的关系：aA

aA

一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。常见的数集：N，Z，Q，R，N+

元素与集合的关系：

A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作AB。

如果集合A与集合B互为子集，则称A与B相等，记作AB 若作AB且AB则称A是B的真子集。空集： A2、集合的运算

并集AB ：AB{x|xA或xB} 交集AB ：AB{x|xA且xB}

差集

AB：AB{x|xA且xB

全集I、E

补集AC：

集合的并、交、余运算满足下列法则： 交换律、ABBA

ABBA 结合律、(AB)CA(BC)

(AB)CA(BC)分配律

(AB)C(AC)(BC)

(AB)C(AC)(BC)

对偶律

(AB)AB

(AB)AB 笛卡儿积A×B{(x,y)|xA且yB}

3、区间和邻域

开区间

(a,b)闭区间

a,b 半开半闭区间

a,b有限、无限区间 cccccca,b

邻域：U(a)

U(a,){xaxa}

a 邻域的中心

邻域的半径



去心邻域

U(a,)

左、右邻域

二、映射 1.映射概念

定义

设X，Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中的每一个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作

f：XY

其中y 称为元素x的像，并记作f(x)，即

yf(x)

注意：1）集合X；集合Y；对应法则f

2）每个X有唯一的像；每个Y的原像不唯一

3)单射、满射、双射

2、映射、复合映射

三、函数

1、函数的概念：

定义：设数集DR，则称映射f:DR为定义在D上的函数

记为

yf(x)xD

自变量、因变量、定义域、值域、函数值

用f、g、

函数相等：定义域、对应法则相等

自然定义函数；单值函数；多值函数、单值分枝.例：１)ｙ＝２

2)ｙ＝x

3)符号函数

1y01x0x0x04)取整函数 yx

（阶梯曲线）

2x0x1x15)分段函数 y

2、函数的几种特性

1x1）函数的有界性(上界、下界；有界、无界)有界的充要条件：既有上界又有下界。注：不同函数、不同定义域，有界性变化。

2)函数的单调性（单增、单减）在x1、x2点比较函数值

f(x1)与f(x2)的大小（注：与区间有关）3)函数的奇偶性(定义域对称、f(x)与f(x)关系决定)

图形特点(关于原点、Y轴对称)

4)函数的周期性(定义域中成立：f(xl)f(x))

3、反函数与复合函数

反函数：函数f:Df(D)是单射，则有逆映射f反函数

函数与反函数的图像关yx于对称

复合函数：函数ug(y)定义域为D1，函数yf(x)在D上有定义、且f(D)D1。则ug(f(x))gf(x)为复合函数。(注意：构成条件)

4、函数的运算

和、差、积、商(注：只有定义域相同的函数才能运算)

5、初等函数：

1(y)x，称此映射f1为f函数的

1)幂函数：yxa

2)指数函数：yax

3)对数函数 yloga(x)

4)三角函数

()

ysin(x),ycos(x),ytan(x),ycotx

5)反三角函数

yarcsin(x)，yarccoxs)（yarctan(x)以上五种函数为基本初等函数

6)双曲函数

ee2xxyarccot(x)

shx

chxxxxxee2xx

thxshxchxeeee

注：双曲函数的单调性、奇偶性。

双曲函数公式

sh(xy)shxchychxshysh(xy)shxchychxshych(xy)chxchyshxshy ch(xy)chxchyshxshyyarshx反双曲函数：yarchxyarthx

作业： 同步练习册练习一

第二节：数列的极限

一、数列

数列就是由数组成的序列。

1）这个序列中的每个数都编了号。

2）序列中有无限多个成员。一般写成：a1缩写为un

例 1 数列是这样一个数列xn，其中

n1a2a3a4an

xn也可写为：

1121n，n1,2,3,4,5

131415

1n0 可发现：这个数列有个趋势，数值越来越小，无限接近0，记为lim1、极限的N定义：

0NnNnxna则称数列xn的极限为a，记成

limxna

n也可等价表述：

1）0

2）0NNnNnN(xna)

xnO(a)

极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没有关系。

二、收敛数列的性质

定理1：如果数列xn收敛，那么它的极限是唯一 定理2 如果数列xn收敛，那么数列xn一定有界

定理3：如果limxna且a>0(a<0)那么存在正整数N>0，当n>N时，xn0x(xn0)

定理

4、如果数列{xn}收敛于a那么它的任一子 数列也收敛,且收敛于a。

第三节：函数的极限

一、极限的定义

1、在x0点的极限

1）x0可在函数的定义域内，也可不在，不涉及f在x0有没有定义，以及函数值f(x0)的大小。只要满足：存在某个0使：(x0,x0)(x0,x0)D。2）如果自变量x趋于x0时，相应的函数值 f(x)有一个总趋势-----以某个实数A为极限，则记为 ：limf(x)A。

xx0形式定义为：

0x(0xx0)注：左、右极限。单侧极限、极限的关系

2、x的极限

设：yf(x)x(,)如果当时函数值 有一个总趋势------该曲线有一条水平渐近

f(x)A

线yA-----则称函数在无限远点有极限。记为：limf(x)A

x

在无穷远点的左右极限：

f()lim关系为： xf(x)

f()limf(x)

xlimf(x)Alimf(x)Alimf(x)

xxx

二、函数极限的性质

1、极限的唯一性

2、函数极限的局部有界性

3、函数极限的局部保号性

4、函数极限与数列极限的关系

第四节：无穷小与无穷大

一、无穷小定义

定义：对一个数列xn，如果成立如下的命题： 0NnNxn注：

1、 则称它为无穷小量，即limxn0

x的意义；

2、xn可写成xn0；(0,xn)

3、上述命题可翻译成：对于任意小的正数，存在一个号码N，使在这个号码以后的所有的号码n，相应的xn与极限0的距离比这个给定的还小。它是我们在直观上对于一个数列趋于0的认识。

定理1 在自变量的同一变化过程xx0（或x)中，函数fx具有极限A的充分必要条件是f(x)A，其中是无穷小。

二、无穷大定义

一个数列xn，如果成立：

G0NnNxnG那么称它为无穷大量。记成：limxn。

x 特别地，如果G0NnNxnG，则称为正无穷大，记成limxn

x特别地，如果G0NnNxnG，则称为负无穷大，记成limxn x注：无法区分正负无穷大时就笼统地称之为无穷大量。

三、无穷小和无穷大的关系

定理2 在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则

1f(x)为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，且f(x)0则

1f(x)为无穷大

即：非零的无穷小量与无穷大量是倒数关系：当xn0时：有

lim0limx1xnx

limlimx1xnx0

注意是在自变量的同一个变化过程中

第五节：极限运算法则

1、无穷小的性质

设xn和yn是无穷小量于是：（1）两个无穷小量的和差也是无穷小量：

limxn0xlimyn0lim(xnyn)0

xx（2）对于任意常数C，数列cxn也是无穷小量：

limxn0lim(cxn)0 xx（3）xnyn也是无穷小量，两个无穷小量的积是一个无穷小量。

limxn0xlimyn0lim(xnyn)0

xx（4）xn也是无穷小量：

xx0limxn0limxn0

xx0（5）无穷小与有界函数的积为无穷小。

2、函数极限的四则运算

1、若函数f和g在点x0有极限，则

lim(f(x)g(x))limf(x)limg(x)

xx0xx0xx0

2、函数f在点x0有极限，则对任何常数a成立

lim(af(x))alimxx0xx0f(x)

3、若函数f和g在点x0有极限，则

lim(f(x)g(x))limf(x)limg(x)

xx0xx0xx03、若函数f和g在点x0有极限，并且limg(x)0，则

xx0limf(x)f(x)xx0

lim

xx0g(x)limg(x)xx0极限的四则运算成立的条件是若函数f和g在点x0有极限 例：求下述极限

lim

x3x3x92limx12x3x5x42limx3x2x12xx5322

4、limx3x4x27x5x33232limxsinxxlimx2xx53x2x1232复合函数的极限运算法则

定理6 设函数yf[g(x)}是由函数yf(u)与ug(x)复合而成，f[g(x)]在点x0的 某去心邻域内有定义，若limg(x)u0，xx00uu0limf(u)A，且存在00，当xu(x0,0)时，有

g(x)u0，则

xx0limf[g(x)]limf(u)Auu0第六节：极限存在准则

两个重要极限

定理1 夹逼定理 ：三数列xn、yn和zn，如果从某个号码起成立：1）xnynzn，并且已知xn和zn收敛，2）limxnalimzn，则有结论：

xxlimyna

x

定理2 单调有界数列一定收敛。

单调增加有上界的数列一定收敛；单调减少有下界的数列一定收敛。

例：证明：limx0sinxx1

例：

limx0

例：证明：lim(1xtanxx

limx01cosxxlimx0arcsinxx

1x)有界。求 lim(1)x的极限

xx1x

第七节：无穷小的比较

定义：若,为无穷小

limlim0c0c01且

limlimlim

K高阶、低阶、同阶、k阶、等价～

1、若,为等价无穷小，则()

2、若～1、～1且

lim1111存在，则： limlim

例：

limx0tan2xsin5x limx0sinxx3xlimx0(1x)31cosx12

第八节：函数的连续性与间断点

一、函数在一点的连续性

函数f在点x0连续，当且仅当该点的函数值f(x0)、左极限f(x00)与右极限f(x00)三者相等：

f(x00)f(x0)f(x00)

或者：当且仅当函数f在点x0有极限且此极限等于该点的函数值。

limf(x)f(x0)

其形式定义如下：

xx00x(xx0)f(x)f(x0)

函数在区间（a,b）连续指：区间中每一点都连续。函数在区间［a,b］连续时装意端点。注：左右连续，在区间上连续(注意端点)

连续函数的图像是一条连续且不间断的曲线

二、间断点

若：f(x00)f(x0)f(x00)中有某一个等式不成立，就间断，分为：

1、第一类间断点：

f(x00)f(x00)

即函数在点的左右极限皆存在但不相等，曲线段上出现一个跳跃。、第二类间断点x0：左极限f(x00)与右极限f(x00)两者之中至少有一个不存在

例：见教材

第九节：连续函数的运算与初等函数的连续性

一、连续函数的四则运算

1.limf(x)f(x0)且limg(x)g(x0)，xx0xx0limf(x)g(x)f(x0)g(x0)

xx02limf(x)f(x0)且limg(x)g(x0)，xx0xx0limxx0f(x)g(x)xx0f(x0)g(x0)

3.limf(x)f(x0)且limg(x)g(x0)0，xx0limxxf(x)0g(x)f(x0)g(x0)

xDf是严格单调增加（减少）并且连续

反函数连续定理：如果函数f:yf(x)的，则存在它的反函数f并且连续的。

注： 1）反函数的定义域就是原来的值域。

1：xf1(y)yDf并且f1也是严格单调增加（减少）2）通常惯用X表示自变量，Y表示因变量。反函数也可表成

yf1(x)xDf1

复合函数的连续性定理：

设函数f和g满足复合条件gDf，若函数g在点x0连续；g(x0)u0，又若f函数在点u0连续，则复合函数fg在点x0连续。

注：复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换：

xx0limf(g(x))f(limg(x))

xx0从这些基本初等函数出,通过若干次四则运算以及复合，得到的种种函数统称为初等函数，并且：初等函数在其定义区间内连续。

第十节：闭区间上连续函数的性质

一、最大、最小值

设函数：yf(x),xD在上有界，现在问在值域

D1yyf(x),xD

中是否有一个最大的实数？如果存在，譬如说它是某个点x0D的函数值 y0f(x0)，则记y0maxf(x)叫做函数在D上的最大值。

xD

类似地，如果 Df中有一个最小实数，譬如说它是某个点x2Df的函数值y2f(x2)，则记y2min

二、有界性

xDff(x)称为函数在上的最小值。

有界性定理：如果函数f在闭区间a,b上连续，则它在a,b上有界。

三、零点、介值定理

最大值和最小值定理：如果函数 f在闭区间a,b上连续则它在a,b上有最大值和最小值，也就是说存在两个点和，使得

f()f(x)f(),亦即

xa,b

f()min xa,bf(x)

f()maxf(x)

xa,b 若x0使f(x0)0，则称x0为函数的零点

零点定理：

如果函数f在闭区间a,b上连续，且f在区间a,b的两个端点异号：f(a)*f(b)0则至少有一个零点(a,b)，使f()0

中值定理：

如果函数f在闭区间a,b上连续，则f在a,b上能取到它的最大值和最小值之间的任何一个中间值。

作业：见课后各章节练习。

第四篇：高等数学考研大总结之三函数的连续性

第三章函数的连续性

一，函数连续性的定义（极限定义）第一定义：设函数fx在某个Ua,内有定义，如果极限limfx

xa存在并且

limfx

xa=fa则称函数fx在a点连续或称a是fx的一个连续点。

解析:注意连续函数的邻域与极限邻域的区别与联系(局部性定义)第二定义： 设函数fx在某个Ua,内有定义，如果对于任意的正数>0,存在0,0使得当xUa,时有 fxfa<则称fx在a点连续,特别地,若记xxa，yfaxfa.则有limx

xa=0时, limy

xa=0。

解析：⑴连续函数与函数极限的联系：直观地讲,当自变量x的改变量(x)非常小时函数fx相应的改变量也非常小,则fx就叫做连续函数。

⑵ 由于x的引入使得在某点连续扩展到区间连续。

⑶ 该定义体现了自变量x所对应的点填满了整条曲线.换句话说.曲线可以一笔画出.⑷ 表明了可导与连续的关系。

⑸ 用定义证明函数连续性的一般步骤：①检查函数fx在点a处及其附近是否有定义②两种操作(由选择定义的不同而不同):㈠求极限limf(x)

xa㈡根据自变量的初值a和终

值ax求出函数的增量yfaxfa③ 两种操作(由选择定义的不同而不同):㈠检验limf(x)

xa与fa是否相等㈡求极限limy

x0是否为0。单侧连续（左（右）连续）：设fx在某个a,a（或a,a）上有定义，如果limfx

xa=fa（或limfxxa=fa）则称fx在点x=a右（左）连续。

左(右)连续与连续之间的关系:在某点既左连续又右连续则记称在该点连续。

解析:类比于单侧极限。

4.一致连续性(区间连续性):设函数f(x)在区间I上有定义,如果对于任意给定的正数总存在着正数使得对于区间I上的任意两点x1,x2当x1x2时就有f(x1)f(x2),那么称函数fx在区间I上是一致连续的.如果函数fx在a,b上第1页

连续那么它在该区间上一致连续。

解析: ⑴与柯西(Cauchy)准则的联系。

⑵如果函数在某区间上每一点都连续则称在该区间上连续.如果函数在非开区间内每一点连续,而在端点处单侧连续(即在左端点右连续,在右端点左连续)则称在整个区间上一致连续。二，函数的间断点及其分类:定义:使函数不连续的点x0叫做函数fx的间断点(或不连续点)。

解析: 间断情况的三种情形(函数fx在点x0的某去心邻域内有定义)⑴在x=x0没有定义。⑵虽然在x=x0有定义但limfx

xx0不存在。⑶虽在x=x0有定义且limfxxx0存在但

limfx

xx0≠fx0。间断点的分类(按照函数fx在间断点x0处的左右极限是否存在)⑴第一类间断点:当fx在间断点x0的左右极限都存在时, x0就叫做fx的第一类间断点。(其中第一类间断点包括可去间断点(对该点通过补充定义可以连续)和不可去间断点(或跳跃间断点))即:①第一类可去间断点:函数fx在点x0处无定义,但limfx

xx0存在或函数fx在点x0处

有定义为fx0但limfx

xx0≠fx0(特点:函数在点x0处间断但有极限)②不可去间断点

(或跳跃间断点): 函数fx在点x0处的两个单侧极限存在,但函数在该点无极限,即limfx

xx

0≠limfxxx

0③第一类间断点定理:设函数fx在开区间I上单调,如果存在间断点的话,则函数fx在开区间I上只有第一类间断点⑵第二类间断点:当函数fx在间断点x0处的左右极限至少有一个不存在时, x0就叫做fx的第二类间断点.(其中第二类间断点包括无穷大间断点和无穷振荡间断点)即:①无穷大间断点:如果在点x0处函数fx的极限为无穷大,则称点x0为第二类无穷大间断点②第二类无穷振荡间断点:如果当xx0时函数fx产生无穷振荡(函数值在某一范围之间变动无限多项)则点x0称为函数fx的第二类无穷振荡间断点。

三，连续函数的性质:四则运算性质:有限个连续函数的和差积商仍为连续函数。

第2页复合运算: 有限个连续函数的复合仍为连续函数。连续函数与函数极限的关系:若函数fx为连续函数,那么进行极限运算时可将极限符号移入函数符号之内,达到简化目的。局部性质(极限角度)(1).局部保号性:设函数f:IR在点x0I连续且fx0u,fx0u则存在0当xUx0,I时有fxu,fxu⑵局部有界性:设函数f:IR在点x0I连续,则存在0使fx在xUx0,I上有界。如果函数fx在点x0连续则fx在点x0也连续(利用极限定义证明)特别地,若fx及gx都是连续函数则,xmaxfx,gx及xminfx,gx也是连续的即:x1fxgxfxgx,x1fxgxfxgx。22闭区间上连续函数的性质: ⑴最值定理:在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得最大值和最小值(有界性)

解析:在闭区间上连续的函数在这个区间上取得最大(小)值是唯一的（值域的角度）,但取得最大(小)值的最大(小)值点则不一定是唯一的（定义域的角度）。

⑵介值定理:设函数fx在闭区间a,b上连续且在区间的端点取不同的函数值: fa =A及fb=B,那么对于A与B之间的任意一个数c在开区间a,b内至少有一点使得fc(a<

解析: ⑴几何意义:连续曲线弧y=fx与水平直线y=c至少有一个交点。

⑵该定理表明:通过闭区间端点值的属性来研究开区间内函数值的性质。

⑶推论:在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值。⑶零点定理:设函数fx在闭区间a,b上连续且fa与fb异号(即fafb0)那么在开区间a,b内至少有一点使f0。

解析: ⑴介值定理与零点定理的统一性。

⑵与方程根的分布及近似解有关进而引进了一种求解高次代数方程或其他类型方程近似根的有效方法——二分法。可使其根可达到任意精度。其方法的过程：判断一根在a,b之间，则为加强其精度，则取其中点，再应用零点定理对中点与端点进行符号判断，依次进行下去，进而无限二分，无限应用零点定理直至比较精确为止。其误差小于

⑶应用该定理时需构造函数,其具有试验的意味。

⑷此定理与单调性的结合判断“只有性”问题。

第3页 1ba。2n

四，几类函数的连续性:复合函数的连续性:设函数yfgx是由函数yfu与函数ugx复合而成,Ux0Dfg若函数ugx在xx0连续且gx0u0而函数yfu在uu0连续则复合函数yfgx在xx0也连续。反函数的连续性:如果函数y=fx在区间上严格单调且连续,那么其反函数也在对应的区间上严格单调且连续。

解析:函数是区间上为单值,严格单调的函数。分段函数的连续性的判断:⑴判断各子区间上的连续性⑵判断衔接点处的连续性。4 初等函数的连续性:一切初等函数在其定义区间内都是连续的。．．．．

五,函数连续性的证明方法利用定义证明(通法)。利用其性质证明。

第4页

第五篇：高等数学 第一章函数与极限教案

-----

y ,或 {x0xa}.记为5.点6.点7.函数是实数集到实数集的映射U(a , )a(a , a)a(a , a)f的左邻域: 的右邻域: 中有唯一的实数

...单值函数是指对于定义域

Df内的任何实数

x，在值域Rf 其中y与之对应，记作

yf(x)xDfxy，称为自变量，称为因变量.，8.函数的自然定义域: 通常指使得函数算式有意义的一切实数组成的集合.9.绝对值函数: x , x0 ,xx , x0.10.符号函数:

-----高等数学教案-----

 1 , x0,sgn(x) 0 , x0,1 , x0.11.取整函数:

xn , nxn1(n0 , 1 , 2 , )x x3.233.24330.50.其中表示不超过的最大整数.例如，.，即定义域为

x0P42211x01x00x1[1 , 0)(0 , 1]③.解: 令，得

或

.，练习1.求函数的定义域.1f(x)lnx3.-----高等数学教案-----x31 , x2 , 解: 令x30 , 得

x3 ,即定义域为

x31 ,x4 ,D( , 2)(2 , 3)(3 , (4 , ).练习2.求函数的定义域.ycosx2.解: 令cosx20，得

0x222k2x22k2，x2x2

-----高等数学教案-----

4)或即定义域为 或

2kx2k222

或

2kx2k.的定义域为，数集

.12.函数的有界性: 设对任一在对任一在(k1 , 2 , )}f(x)DXDK1f(x)K1xXf(x)XK1f(x)XK2f(x)K2xXf(x)XK2f(x)XM①.如果存在数，使得，都成立，则称

在上有上界，而

为上的一个上界.②.如果存在数，使得，都成立，则称

在上有下界，为上的一个下界.③.如果存在正数，使得

-----高等数学教案-----对任一④.如果对于任何正数则称13.函数的单调性: 设①.如果对于区间则称②.如果对于区间则称14.函数的奇偶性: 设函数①.如果对于任一f(x)MxXf(x)XMx0Xf(x0)Mf(x)Xf(x)DIDIx1x2x1x2f(x1)f(x2)f(x)IIx1x2x1x2f(x1)f(x2)f(x)If(x)DxD，都成立，则称

在上有界.，总存在，使得，在上无界.的定义域为，区间上任意两点

及，当，在区间

上是单调增加的.上任意两点

及，当

时，恒有，在区间

上是单调减少的.的定义域

关于原点对称，.时，恒有

-----高等数学教案-----恒成立，则称②.如果对于任一恒成立，则称15.函数f(x)f(x)f(x)xDf(x)f(x)f(x)yf(x)Df为奇函数.，为偶函数.的定义域为，值域为

Rf，如果

f是一一映射，则f存在逆映射f1:

RfDf1，即对于任意

yRf1为，有唯一的记作 xDf，使得

f(x)yf，称，f的反函数，xf(y)yRf 16.设函数

.yf(u)的定义域为的定义域为

Df，且，值域为

Rf;函数ug(x)由下式确定的函数

Dg，值域为

RgRgDf，则yf[g(x)] xDg，-----高等数学教案-----称为由ug(x)yf(u)uy与中间变量，因变量.构成的复合函数.x自变量，P1422 ④.解：yex2.yee1yeee，①.幂函数x2102x2212.17.基本初等函数: yx（为实数）.②.指数函数ya(a0 , a1).x，特例③.对数函数特例yeylogax(a0 , a1)ylogexlnx.④三角函数 x，ysinx ycosxytanxycotxysecxycscx，，⑤反三角函数，.-----高等数学教案-----yarcsinxyarccosx yarctanxyarccotx，.，18.初等函数: 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.19.双曲函数

①双曲正弦②双曲余弦③双曲正切

eeshx2xxeechx2xxshxeethxxxchxee..xx.§1.2 数列的极限

1.如果按照某一法则，对每个

nN，对应着一个确定的数照下标nxn，这些实数

xn按从小到大排列得到的一个序列

叫做数列，简记为数列般项.x1 , x2 ,  , xn , nxnxn，数列中的每一个数叫做数列的项，-----

当自变量例如.① xnf(n)nNnxn111 , ,  , , 2n，.依次取1，2，3，…一切正整数时，对应的函数值就排成数列

;

.②

1(1)1 , 0 , 1 , 0 ,  , , 21 , 2 ,  , n , 1 , 1 , 1 ,  , 1 , n248234n12 , , ,  , , 23nnanxnaxnxna;③

;④

;⑤

2.深刻理解数列极限的概念.当无限增大时(即

时)，对应的项

无限接近于某个确定的数值，称常数是数列的极限.无限接近于

是什么含意? 考察数列

-----高等数学教案-----

n134n12 , , ,  , , 23nn11xn1nxnn1xn1n0.110n101xn10.1n0.01100n1001xn10.01n11[]n[]

当时，无限接近于，也就是说

与要多小就有多小.比如说: ①给定，在-----它多么小），总存在正整数都成立，那么称常数NnNxnaaxnxnalimxnaxna(n)n，使得当

时，不等式

是数列的极限，或者称数列

收敛于

或，正整数，当，则称数列

以，记为

.0NnNxnaxnalimxnan0NxnaN1NxNaxnalim0.99991P3 313'.对于

.4.数列不以

为极限的定义:，对于

正整数，使得，则称数列

时，为极限，记为，1不以为极限.④证: 等价于

nn个1lim(1n)1n10.-----高等数学教案-----对于

只要011(1n)1n101011nlgN[lg]nN，要使

，取

，当时，1(1n)1101lim(1n)1n10lim0.99991nn个5.有界数列: 对于数列，所以，故

.xn，如果存在正数

M，使得对于任意

n，不等式

都成立，那么称数列无界数列: 对于数列xnMxnxn

是有界的.，如果对于任意正数

M，存在正整数

N，使得不等式

-----高等数学教案-----成立，那么称数列 6.子数列: 在数列序,这样得到的数列xNMxnxnxn，是无界的.k中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列

称为原数列

xnxn中的先后次的子数列.7.收敛数列的性质.①唯一性: 如果数列②有界性: 如果数列xnxn收敛，那么它的极限唯一.收敛，那么数列

xn一定有界.③保号性: 如果 推论: 如果数列limxnaa0a0nNnNxn0xn0xnxn0xn0limxnaa0a0n，且

(或，当

时，都有

(或

从某项起有

(或，那末

(或).④.数列)，那末).)，且xn敛，且有相同的极限；若

xxxxx与子数列

n的关系: 若

kn收敛，则

n也收

kn收敛，则

kn不一定收敛.-----高等数学教案-----P31 5xnxnM 证: 由于

都成立.对于，由于

有界，所以

M正数，对于

n，不等式

当

nNyn时，yn0N0limn，所以

正整数，故当，使得从而所以

MxnynMMlimxnyn0nP31 60x2k1a(k)N1kN1x2k1a时，..证：对于，由于，正整数，使得当

时，nN.又由于

所以x2ka(k)N2kN2x2ka，正整数，使得当

时，.-----高等数学教案-----NMax{2N11 , 2N2}xnanNxna(n)xxx0xx0xx0取时，.§1.3 函数的极限 1.自变量的六种变化趋势.① :，任意地接近于有限值

.②，当

所以xxxx0xx0xx0xx0xx0xxxxxxxf(x)xx0f(x)x0A0xx0f(x)，任意地接近于有限值

.③ :，任意地接近于有限值

.④⑤

: :

沿着数轴负向无限远离原点.沿着数轴正向无限远离原点.⑥ : 的绝对值

无限增大.2.函数当

时的极限: 设函数

在点一去心邻域内有定义.如果存在常数，对于任意给定的正数，使得当

时，对应的函数值不等式

-----高等数学教案----- : 0的某

（不论它多么小），总存在正数

都满足那么常数f(x)AAf(x)xx0limf(x)A，就叫做函数

当

时的极限，记作

或

取f(x)A(xx0)0P5382x4(4)x(2)x20x(2).③.证: 对于，要使，当

时xx0，某一左邻域内有定义.对于x4(4)x(2)x22x4lim4x2x2f(x)xx0f(x)x000.3.函数当

时的左极限: 设函数

在点，2，所以的，当

-----高等数学教案-----0x0xxx04.函数

或

时，f(x)A0.，则limf(x)Af(x)A当

时的右极限: 设函数某一右邻域内有定义.对于f(x)xx0f(x)x0000xx0f(x)A在点，时，的，当，则limf(x)Af(x)Axx0或 5.函数

0.f(x)xx0当

时的极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在且相等，即

limf(x)Axx0

limf(x)limf(x)Axx0xx0.P438limf(x)lim11.解: ①，x0x0

-----高等数学教案-----limf(x)lim11x0于

.由limf(x)limf(x)1x0x0.x0，所以limf(x)1x0②

lim(x)lim(1)1lim(x)lim11x0x0由于，x0x0.lim(x)lim(x)lim(x)x0，所以

不存在

x0x0练习1.设函数(A)

x2limf(x)f(x)x2x2101，则.(B).(C)

.当

时的极限: 设函数

在为.(D)不存在.[ D ] 6.函数一正数时有定义.如果存在常数使得当f(x)xf(x)xXAxXf(x)，对于任意给定的正数

（不论它多么小），总存在正数时，对应的函数值

都满足不等式

大于某，-----高等数学教案-----那么常数f(x)AAf(x)xlimf(x)A，就叫做函数

当

时的极限，记作

或x一负数时有定义.对于时，某一正数时有定义.对于f(x)A(x)f(x)xf(x)x0X0xXf(x)Alimf(x)Axf(x)xf(x)x0X0xXf(x)Alimf(x)Axf(x)xxxlimf(x)Ax.7.函数当

时的极限: 设函数

在，当，则

.8.函数当

时的极限: 设函数

在，当，则

.9.函数当时极限及当

时极限都存在且相等，即

小于某

大于

时，时的极限存在的充分必要条件是当

-----高等数学教案-----limf(x)limf(x)Axx9.水平渐近线: 若

.limf(x)cx或

x或 limf(x)climf(x)c是函数，x则称直线ycyf(x)图形的水平渐近线.10.函数极限的性质.①唯一性: 若limf(x)xx00，当

存在，此极限唯一.②局部有界性: 若limf(x)Axx.，那末存在常数

M0时，和00xx0，且

有 ③局部保号性: 若f(x)Mlimf(x)AA0xx0），那末存在，当

（或A000xx0时，-----高等数学教案-----有③'若f(x)0f(x)0limf(x)AA0（或）.（），那末存在点xx0x0的某一去心邻域内，使得

Af(x)2f(x)0f(x)0x0A0A0limf(x)Axx.推论: 若在点的某一去心邻域内

（，那末

（）.），且0§1.4 无穷小与无穷大

1.无穷小: 若

limf(x)0xx0为当

（或取limf(x)0f(x)xx0xx0P2421xsinxx0x），则称）时的无穷小.②.证: 对于，要使，当

时

（或，-----高等数学教案-----2.极限与无穷小的关 系:

11yxsinxsinxxxx0limf(x)Af(x)Axx，所以时的无穷小.①

.为当0②limf(x)Af(x)Ax为无穷小.在点

.其中 3.无穷大: 设函数f(x)x0M000xx0，当的某一去心邻域内有定义.如果对于时，总有

那f(x)Mf(x)xx0limf(x)，么称

为

当

.时的无穷大，记作xx03'.无穷大: 设函数f(x)x在大于某一正数时有定义.如果对于

-----高等数学教案-----M0X0，那么称，当

xX时，总有f(x)Mf(x)x为当

时的无穷大，记作limf(x).xP423.① 证: 对于

M0，要使

1x2x1x2M，而 1x21x2，只要 1x2M，xM1，取M122，当

0x

-----高等数学教案-----

时，有 ②取

12x12xMyxxx0140x10212x12xx12x，所

以的无穷大.，当

时，为当1214102410

.-----高等数学教案-----练习1.若limf(x)limg(x)xxxx，00则下列式子成立的是

(A)lim[f(x)g(x)]xxlim[f(x)g(x)]xx00.(B).(C)(D)

1lim0xxf(x)g(x)1lim0xxf(x)g(x)0..0[ D ] 4.铅直渐近线: 如果

limf(x)xx0或

limf(x)xx0

或 limf(x)xx0是函数，那么称直线xx0yf(x)图形的铅直渐近线.-----高等数学教案-----P342.解：由于

所以

4limf(x)lim20xx2xy0是水平渐近线.，由于

所以 5.无穷小与无穷大的关系: 在自变量的同一变化过程中，如果

4limf(x)lim2x2x22x4limf(x)lim2x2x22xx2x2f(x)1f(x)f(x)0f(x)1f(x)，，都是铅直渐近线.为无穷小；如果

为无穷小，且为无穷大.为无穷大，则，则§1.5 极限运算法则 1.无穷小的性质: ①有限个无穷小的和也是无穷小.-----高等数学教案-----②.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2.有限个无穷小的乘积也是无穷小.P4932.①解: 由于当

x0x时

是

当

2是无穷小，而

1sinx的无

穷

是有界变量，所以1xsinx0x21limxsin0x0xlimf(x)Alimg(x)Blim[f(x)g(x)]limf(x)limg(x)ABlim[f(x)g(x)]limf(x)limg(x)ABc时

小，故

.2.极限的四则运算:，.①..②..推论1: 为常数，-----高等数学教案-----推论2: ③.lim[cf(x)]climf(x)cAnnnnlim[f(x)][limf(x)]Af(x)limf(x)Alimg(x)limg(x)B(B0)(x)(x)lim(x)alim(x)babxx0nn1f(x)a0xa1xanlimf(x)f(x0).为正整数，..3.极限的单调性: 若，而，则

.4.有理整函数(多项式)、有理分式函数当的极限: ①.多项式，.，xx0例1.②.有理分式

16lim(x2x1)3231x3P(x)F(x)P(x)Q(x)Q(x)，其中、22.是多项式，-----高等数学教案-----Q(x0)00，P(x0)P(x)limF(x)limxxxxQ(x)Q(x0)F(x0)3x1321limlim33x2xxx222122x1limlim(x1)x1x1x122x3lim2x1x3x20.例2..例3..例4.求

.解: x3x21312limx12x3213

-----高等数学教案-----225.有理分式函数当02x3lim2x1x3x2xmm1a0xa1xamlimnn1xbxbxb01na0 , nm ,b00 , nm ,  , nm.，.的极限:

例5.111limn1223n(n1)

-----高等数学教案-----

111lim[(1)()n223 11()]nn1例6.1lim1nn11na1lima1n1n1aan11aaa1limn1n1aalim(a1)n

.（)

a1(A).例7.下列数列中收敛的是.nan(1)n1n.-----高等数学教案-----(B)bn12n.(C)(D)11 , n为奇数 ,n2Cn11 , n为偶数.n1n , n为奇数 ,n1Dnn , n为偶数.1n

[ C ] 例8.设

x1lim(axb)1xx1则有(A)(B)2，(C)a1b0a1b1a1b0，，...-----高等数学教案-----(D)a1b1，.[ C ] 例9.设

2x1lim(axb)02xx1则有(A)(B)3，(C)(D)a1b0a2b1a2b0a2b1，.，，...[ C ] 例10.已知

求xaxblim5x11xab，的值.2，解: 一方面，lim(xaxb)x122

xaxblim(1x)x11x

-----高等数学教案-----

500.另一方面，lim(xaxb)1abx1所以，即

.故

2.1ab0ba12xaxblimx11x2xaxa1limx11x(x1)(x1)a(x1)limx11xlim[(x1)a]x1

从而 6.复合函数的极限运算法则: 设函数2a2a5a7b6yf[g(x)].，得，.是由函数

-----高等数学教案-----ug(x)yf(u)yf[g(x)]x0limg(x)u0limf(u)Axxuu与

复

合在点，而成，的某去心邻域内有定义，若，且存在0000xU(x0 , 0)g(x)u0，当

时，有则

，limf[g(x)]limf(u)Axx0uu0 例如..limln(x1)ux1 limlnux2u9§1.6 极限存在准则 两个重要极限 1.准则I 如果数列

① ②ln9xnynznynxnzn(n1 , 2 , )limynalimznann.、及

满足:

，，那么limxnan.准则I' 如果

-----高等数学教案-----① ②g(x)f(x)h(x)limg(x)Alimh(x)A，，那么limf(x)A.P564②.解: n(1nn12n2n)n(11n2n2)，n2n2n原式

1，而lim2，所以

nn2nn1lim11nnn2n2n1.-----高等数学教案-----

原

式 2.重要极限I: 例1.例2.例3.sinxlim1x0xsin2xsin2xlim2limx0x0x2x212tanxsinx1limlim()x0x0xxcosxsinx1limlimx0xx0cosx12x2sin1cosx2limlim22x0x0xx...-----高等数学教案-----例4.xsin12lim2x0(x)222sinx12lim2x0x2122sin(x1)limx1x12(x1)sin(x1)lim2x1x12sin(x1)lim(x1)lim2x1x1x12

.-----高等数学教案-----2例5.求极限.解: sinmxmnlimxsinnxsinmxlimxsinnx(，为非零整数).sin(mmy)xy limy0sin(nny)m1

(1)sin(my)limn1y0(1)sin(ny)sin(my)m1(1)mmylimy0n1sin(ny)(1)nnymnm(1)n.3.单调数列:

-----高等数学教案-----①.如果数列则称数列②.如果数列x1x2x3xnxn1xnxnx1x2x3xnxn1，单调增加.满足条件: xn满足条件:，则称数列xn单调减少.4.准则II 单调有界数列必有极限.例6.利用极限存在准则证明数列

2，22.，证: 记数列的通项为 ①有界性: 222xnxn12xn…的极限存在并求此极限.，则时，.当 假设当所以对任意的n1x122nkxk2nk1xk12xk222nxn2xn0{xn}时，当

时，有，是显然的，故数列

有界.②单调性:

-----高等数学教案-----xn12xnxnxnxn，所以数列{xn}单调增加.由①②可知数列{xn}的极限存在.设此极限为

a，则

limxn1lim2xn，nn a2a，得a2.4.重要极限II: limx(11xx)elim(1z)1ze.z0例7.limx(11x)xlimx11(1xx)

-----高等数学教案-----，例8.tx limtt1(1)t1e.例9.11xxx1limlimxx1x11x1limxxx1111xx12ecsc2xlim(cosx)x



.x0

-----高等数学教案-----lim(cosx)x021csc2x2

2lim[1(sinx)]x021sin2x12

 tsinx lim(1t)t0e例10.112t

12.x0lim(1x)x01x

lim(1x)(1x)1xx0x01x

1x lim1xlim1x

-----高等数学教案-----

1limlim1x1xx01x 1xx01ee

1.§1.7 无穷小的比较

1.无穷小的比较: 设、都是无穷小，且

0.①如果lim0，就说

是比

高阶的无穷小，().②如果lim，就说

是比低阶的无穷小.③如果limc0，就说

与

是同阶无穷小.-----高等数学教案-----

记作

limkc0klim1~P59 1 ④如果，就说

是关于的 ⑤如果，就说

与..解: 由于

阶无穷小.是等价无穷小，记作

xxxxlimlim02x02xxx02x，232所以 xx2xxP592321xlimlim(1xx)3x11xx1是比

高阶无穷小..解: 由于 232，所以1x1x与3是同阶无穷小.由于

-----高等数学教案-----

1(1x2)12limlim(1x)x11x2x1，所以2.3.几组等价无穷小量: 当1(1x2)1x2()x0x~sinx~tanx~arcsinx与

是等价无穷小.与是等价无穷的充分必要条件为

.时，~arctanx；

x~ln(1x)~e1 ；

x；

121cosx~x2xa1~xlna a(1x)1~ax(a0)；

-----高等数学教案-----

.4.等价无穷小量代换: 若~~limlimlim、、、都是无穷小量，且，存在，则，.例1.求limtanxsinxx0sin3x.x022解: 由于当

时，x~sinxcosx~122x，所以

-----高等数学教案-----，1limtanxsinxx0sin3xlim1cosx x0cosxsin2x12lim2x

x0cos21xxlim2

x01cosx.例2.求lim(21arcsinx)31x0etanx1.解: 由

于

当

x0

-----高等数学教案-----

时，(1arcsinx)31~3arcsinxarcsintanxx~x，etanx1~tanx 所以

lim(~1x arcsinx)31x0etanxlim3arcsinx1 x0tanxlim3x

x03x.§1.8 函数的连续性与间断点 1.引入记号: 对于函数yf(x)，当

xx时，令

xxx0yf(x)0f(x

则 xx0)，0xyf(x0x)f(x0)，-----高等数学教案-----，，