不定积分,二元函数的定义域,极限,方向导数和梯度

第一篇：不定积分,二元函数的定义域,极限,方向导数和梯度

不定积分、二元函数的定义域、极限、方向导数和梯度

一、定积分及应用

⒈了解定积分的概念；知道定积分的定义、几何意义和物理意义；了解定积分的主要性质，主要是线性性质和积分对区间的可加性，ba(f(x)g(x))dxbabbaf(x)dxbag(x)dx

cf(x)dxcf(x)dxa

(c为常数)

还应熟悉以下性质

baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx

baf(x)dxf(x)dx

baaaf(x)dx0

例题：

1．利用定积分的几何意义，说明下列等式：(1)2xdx1;01(3)sinxdx0.解答：

（1）表示的是：由y轴，直线x1和直线y2x所围成的三角形的面积是1。（2）表示的是：由x轴，曲线ysinx和直线x所围成的图形上下的面积相等。2．根据定积分的性质，说明下列积分哪一个的值较大：(1)xdx还是01210xdx?23(2)xdx还是12 xdx?1321解答：（1）因为在区因为在区间[0，1]上，xx，因此有：023xdx210xdx?3

（2）在区间[1，2]上，x2x3，因此有：12xdx221xdx3

⒉了解原函数存在定理；会求变上限定积分的导数。

若G(x)(x)af(t)dt，则

G(x)f((x))(x)

⒊熟练掌握牛顿——莱布尼茨公式，换元积分法和分部积分法。

例题：估计积分(x1)dx.的值：

142解答：(x1)dx(ab2x33x)|bab33b(a33a)，因此

41(x1)dx21324.22.计算.解答：

⒋了解广义积分的概念；会判断简单的广义积分的收敛性，并会求值。

a10dxpxdxxp当p1时收敛，当p1时发散；

当p1时收敛，当p1时发散。

⒌掌握在直角坐标系下计算平面曲线围成图形的面积；会计算平面曲线围成的图形绕坐标轴旋转形成的旋转体体积。

由曲线yf(x)和yg(x)及直线xa,xb围成的面积S，有

Sbaf(x)g(x)dx

对于对称区间(a,a)上的定积分，要知道

当f(x)为奇函数时有

当f(x)为偶函数时有

a－aa－af(x)dx0

f(x)dx2f(x)dx20a0－af(x)dx

例题： 1.计算正弦曲线y = sinx在[0, ]上与x轴所围成的平面图形的面积.解答：

2．计算对弧长的曲线积分之间的一段弧.解答：L.yds,其中L是抛物线yx上的点（0，0）与点(2,42)2Lyds20x14xdx2182014xd4x222136

3.利用定积分定义计算由及横轴所围成的图形的抛物线yx1,两直线xa、xb(ba)面积.解答：(x1)dx(2abx33y2x)|bab33b(a33a)

练习：求椭圆答案：6。x2941所围成的图形面积.6.理解二重积分的定义、几何意义；会计算二重积分

例题：计算二重积分：

(1)xyd,其中D是由直线x0、y0、xy1所围成的闭区域；

D(2)Dexy22d,其中D是由圆周xy1所围成的闭区域.x2xx22322解答：（1）xydD2210dx21x0xydy10dx124，（2）eDxyd10dr0ed2(e1)，r二、二元函数的定义域

要求：会求二元函数的定义域 例题：

1．求下列各函数的定义域：(1)zln(yx)x1xy(2)uRxyz222222;1xyzr2222

(Rr0).解答：（1）要使函数有意义必须满足：

yx022，这样函数的定义域为：{(x,y)|yx,x0,xy1.} x0221xy0（2）要使函数有意义必须满足：Rxyz0,xyzr0,即

{(x,y,z)|r222222222xyz222R}2

练习：求函数zxy1y的定义域。

答案：{(x,y)|xy,y0} 2．已知函数f(x,y)x2y2xytanxy,试求f(tx,ty).解答：将tx,ty分别代替原函数自变量x,y的位置，通过计算我们得到：原式=t2f(x,y)3．已知函数f(u,v,)uuv,试求f(xy,xy,xy).解答：将xy,xy,xy分别代替原函数自变量u,v,w的位置，通过计算我们得到： 原式=(xy)xy(xy)2x

练习：设f(x,y)x2xyy2sin答案：t2f(x,y)。

yx,则f(tx,ty)=？

三．二元函数的极限

从形式上讲，一元函数与二元函数的极限没有多大区别。limfxA是指，对于任

xx0意给定的正数，总存在正数，当0xx0时，恒有fxA.limfPAPP0是指，对于任意给定的正数，总存在正数，当0PP0时，恒有fPA。但是在二元函数的极限中PP0要比一元函数极限中xx0复杂的多，对xx0，x趋向x0的方式虽然是任意的，但它毕竟是在x轴上变化而已，可是对PP0，P趋向P0的任意方式却是在平面上变化，因此PP0要比xx0多样化。

例如：沿着所有过P0的直线趋向P0是PP0的一种特殊方式，又例如沿着所有过P0的抛物线趋向P0也只是PP0的一种特殊方式，还有其他的PP0的方式，这就一元函数与二元函数的极限的重要区别。例题：

1.求极限：(1)lim(xy)exyxx1y2;

(2)limsinxy()yx2y0;

解答：（1）原式=12e1123e2

（2）此题与上题不一样，因为当y0时，分母趋于零，所以我们需要先对y求导，sin(xy)y即

limx2y0limxcosxy()2。

x2y0练习：(1)lim1xyxyxy22;(2)limln(xe)xy22yx0y1x1y0;(3)lim2xy4xyx0y0;

(4)limx0y0xy11;(5)lim1cos(xy)(xy)e22xy2222x0y0.14答案：（1）1；（2）ln2；（3）（4）（5）先对x, 后对y求导，然后可算出：分别为,2，

四、方向导数和梯度

定理：若函数f在点P0x0,y0,z0可微，则f在点P0处沿任意方向l的方向导数都存在，且

flP0fxP0cos+fyP0cos+fzP0cos，其中cos，cos，cos为方向余弦。

对于二元函数fx,y来说，相应的结果是

flP0fxx0,y0cos+fyx0,y0cos，其中,是平面向量l的方向角。

梯度的定义：若函数f在点P0x0,y0,z0存在对所有自变量的偏导数，则称向量（fxP0，fyP0，fzP0）为函数f在点P0的梯度，记作：

gradf（fxP0，fyP0，fzP0）

向量gradf的长度（或模）为

gradf例题：

1．求函数zxy在点（1，2）处沿从点（1，2）到点(2,2解答：方向l=21,222fxP0fyP0fzP0222

3)的方向的方向导数.32=1,3，易见z在点P0（1，2）可微，故由fxP02

，fyP04，及方向l的方向余弦：cos2113212，cos32

所以函数zxy在点（1，2）处沿从点（1，2）到点(2,21232223)的方向的方向导数为

zl（P0）=24=123 2．问函数fxy2z在点P0（1，－1，2）处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值.解答：因为f在点P0的梯度方向是f的值增长最快的方向，且沿这一方向的变化率就是梯度的模，又fxP02，fyP04，fzP01，所以gradf2i4jk是方向导数取最大的方向，此方向导数的最大值是|gradf|21。

练习：函数zx2y2在点（1，1）处沿从点（1，1）到点（3，2）方向的方向导数解答：5

zl?

第二篇：二元函数的极限

§2 二元函数的极限

(一)教学目的：

掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系．

(二)教学内容：二元函数的极限的定义；累次极限．

基本要求：

(1)掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系，熟悉判别极限存在性的基本方法．

(2)较高要求：掌握重极限与累次极限的区别与联系，能用来处理极限存在性问题．

(三)教学建议：

(1)要求学生弄清一元函数极限与多元函数极限的联系与区别，教会他们求多元函数极

限的方法．

(2)对较好学生讲清重极限与累次极限的区别与联系，通过举例介绍判别极限存在性的较完整的方法．

一二元函数的极限

先回忆一下一元函数的极限： limf(x)A 的“” 定义(c31)：

xx0

0设函数f(x)在x0的某一空心邻域U(x0,1)内由定义，如果对

0,当 xU(x0,)，即 |xx0| 时，都有 |f(x)A|，0,1，则称xx0时，函数f(x)的极限是 A.类似的，我们也可以定义二元函数的极限如下：

设二元函数f(x,y)为定义在DR2上的二元函数，在点P0(x0,y0)为D的一个聚点，A是一个确定的常数，如果对 0,0，使得当 P(x,y)U(P0,)D 时，0都有 |f(P)A|，则称f在D上当 PP0时，以A为极限。记作

PP0PDlimf(P)A

也可简写为limf(P)A或

PP0(x,y)(x0,y0)

2limf(x,y)A 例1用定义验证

2lim(x,y)(2,1)2(xxyy)7 222证明:|xxyy7||xx6xyxy1|

|x3||x2||xy1||y1|

限制在（2，1）的邻域 {(x,y)||x2|1,|y1|1}

|x3|6,|xy1|6

取 min{1,/6}，则有

|xxyy|

由二元函数极限定义lim

(x,y)(2,1)

(xxyy)7

xy,(x,y)(0,0)xy22

例2 f(x,y)xy，0,(x,y)(0,0)

证明lim

(x,y)(0,0)

f(x,y)0

xyxy

证|f(x,y)||xy

所以

lim

(x,y)(0,0)

||xy|

lim

(x,y)(0,0)

|f(x,y)|lim

(x,y)(0,0)

|xy|0

|f(x,y)|0

对于二元函数的极限的定义，要注意下面一点：

PP0

limf(P)A 是指： P(x,y)以任何方式趋于P0(x0,y0)，包括沿任何直线，沿任

何曲线趋于p0(x0,y0)时，f(x,y)必须趋于同一确定的常数。

对于一元函数，x 仅需沿X轴从x0的左右两个方向趋于x0，但是对于二元函数，P趋于P0的路线有无穷多条，只要有两条路线，P趋于P0时，函数f(x,y)的值趋于不同的常数，二元函数在P0点极限就不存在。

1,0yx2

例1 二元函数f(x,y)

0,rest

请看图像（x62），尽管P(x,y)沿任何直线趋于原点时f(x,y)都趋于零，但也不能说该函数在原点的极限就是零，因为当P(x,y)沿抛物线 ykx,0k1时，f(x,y)的值趋于１而不趋于零，所以极限不存在。

(考虑沿直线ykx的方向极限).x2y,

例2设函数f(x,y)x2y2

0,

(x.,y)(0,0)(x,y)(0,0)

求证limf(x,y)0

x0

y0

证明因为|f(x,y)0|

x|y|xy



x|y|x

|y|

所以，当(x,y)(0,0)时，f(x,y)0。

请看它的图像，不管P(x,y)沿任何方向趋于原点，f(x,y)的值都趋于零。

通常为证明极限limf(P)不存在,可证明沿某个方向的极限不存在 , 或证明沿某两

PP0

个方向的极限不相等, 或证明方向极限与方向有关.但应注意 ,沿任何方向的极限存在且相等  全面极限存在.例3

设函数

(x,y)(0,0)(x,y)(0,0)

xy,22

f(x,y)xy

0,

证明函数 f(x,y)在原点处极限不 存在。

证明尽管 P(x,y)沿 ｘ轴和ｙ轴

趋于原点时(f(x,y)的值都趋于零，但沿直线ymx 趋于原点时

xmxx(mx)

f(x,y)

mx

(1m)x



m1m

沿斜率不同的直线趋于原点时极限不一样，请看它的图象, 例１沿任何路线趋于原点时，极

限都是0，但例２沿不同的路线趋于原点时，函数趋于不同的值，所以其极限不存在。

例4

非正常极限极限

lim

(x,y)(x0,y0)

判别函数f(x,y)

xy11xy

在原点是否存在极限.f(x,y)的定义:

12x3y

例1设函数f(x,y)证明limf(x,y)

x0y0

证|

12x3y

||

13(xy)

|

只要取

16M

|x0|,|y0|时，都有

|

12x3y16

||

13(xy)

|

M

12x3y

请看它的图象，因此是无穷大量。

例2求下列极限: i)

lim

xyxy

;ii)

(x,y)(0,0)(x,y)(3,0)

lim

sinxyy

;

iii)

(x,y)(0,0)

lim

xy11xy

;iV)

(x,y)(0,0)

lim

ln(1xy)

xy

.二.累次极限: 累次极限

前面讲了P(x,y)以任何方式趋于P0(x0,y0)时的极限，我们称它为二重极限，对于两个自变量x,y依一定次序趋于x0,y0时 f(x,y)的极限，称为累次极限。对于二元函数f(x,y)在P0(x0,y0)的累次极限由两个

limlimf(x,y)和limlimf(x,y)

yy0xx0

xx0yy0

例1

f(x,y)

xyxyxyxy

222, 求在点(0 , 0)的两个累次极限.22

例2 f(x,y), 求在点(0 , 0)的两个累次极限.例3 f(x,y)xsin

1y

ysin

1x, 求在点(0 , 0)的两个累次极限.二重极限与累次极限的关系:

（１）两个累次极限可以相等也可以不相等，所以计算累次极限时一定要注意不能随意改变它们的次序。

例函数 f(x,y)

xyxy

xy

22的两个累次极限是 yyyxxx

limlim

xyxy

xyxyxy

xy

y0x0

lim

y0

lim(y1)1

y0

lim(x1)1

x0

limlim

x0y0

lim

x0

（２）两个累次极限即使都存在而且相等，也不能保证二重极限存在 例f(x,y)

xyxy

xyxy，两个累次极限都存在limlim

y0x0

0,limlim

xyxy

x0y0

0

但二重极限却不存在，事实上若点P(x,)沿直线 ykx趋于原点时，kx

f(x,y)

x(kx)



k1k

二重极限存在也不能保证累次极限存在二重极限存在时,两个累次极限可以不存在.例函数 f(x,y)xsin

1yysin

1x

由|f(x,y)|  |x||y|0 ,(x ,y)(0,0).可见二重极限存在 ,但

1x

limsin

x0

和limsin

y0

1y

不存在，从而两个累次极限不存在。

（4）二重极限极限lim

(x,y)(x0,y0)

f(x,y)和累次极限limlimf(x,y)(或另一次序)都存

xx0yy0

在 , 则必相等.(证)

（5）累次极限与二重极限的关系

若累次极限和二重极限都存在，则它们必相等

第三篇：二元函数极限的研究

二元函数极限的研究

作者：郑露遥指导教师：杨翠

摘要 函数的极限是高等数学重要的内容，二元函数的极限是一元函数极限的基础上发展起来的，本文讨论了二元函数极限的定义、二元函数极限存在或不存在的判定方法、求二元函数极限的方法、简单讨论二元函数极限与一元函数极限的关系以及二元函数极限复杂的原因、最后讨论二重极限与累次极限的关系。

关键词 二元函数极限、累次极限、二重极限、连续性、判别法、洛必达法则、运算定理引言

函数的极限是高等数学中非常重要的内容, 关于一元函数的极限及其求法, 各种教材中都有详尽的说明。二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的, 两者之间既有联系又有区别。例如, 在极运算法则上, 它们是一致的, 但随着变量个数的增加, 二元函数极限比一元函数极限变得复杂得多, 但目前的各类教材、教学参考书中有关二元函数极限的求法介绍不够详二元函数的极限是反映函数在某一领域内的重要属性的一个基本概念, 它刻划了当自变量趋向于某一个定值时, 函数值的变化趋势。是高等数学中一个极其重要的问题。但是, 一 般来说, 二元函数的极限比起一元函数的极限, 无论从计算还是证明都具有更大的难度。本文就二元函数极限的问题作如下探讨求一元函数的极限问题, 主要困难多数集中于求未定型极限问题, 而所有未定型的极限又总可转化为两类基本型即00 与∞∞型,解决这两类基本未定型的有力工具是洛泌达(LHO SP ital)法则。类似地, 二元函数基本未定型的极限问题也有相似的洛泌达法则。为了叙述上的方便, 对它的特殊情形(即(x0,y0)=(0, 0))作出如下研究, 并得到相应的法则与定理。二元函数的极限是反映函数在某一领域内的重要属性的 一个基本概念, 它刻划了当自变量趋向于某一个定值时, 函数

值的变化趋势。是高等数学中一个极其重要的问题。但是, 一

般来说, 二元函数的极限比起一元函数的极限, 无论从计算还

是证明都具有更大的难度。本文就二元函数极限的问题作如

下探讨。

第四篇：二元函数的极限与连续

§2.3 二元函数的极限与连续

定义 设二元函数有意义, 若存在 常数A,都有

则称A是函数

当点

趋于点

或 或趋于点

时的极限,记作

。的方式无关,即不,当

（即）时，在点的某邻域

内 或 必须注意这个极限值与点论P以什么方

向和路径（也可是跳跃式地，忽上忽下地）趋向分接近, 就能 使

。只要P与 充与A 接近到预先任意指定的程度。注意：点P趋于点点方式可有无穷多

种,比一元函数仅有左,右两个单侧极限要复杂的多（图8-7）。

图8-7

同样我们可用归结原则,若发现点P按两个特殊的路径趋于点时,极限

在该点

存在,但不相等, 则可以判定元函数极限不 存在的重要方法之一。

极限不存在。这是判断多 一元函数极限中除了单调有界定理外,其余的有关性质和结论, 在二元函数极

限理论中都适用，在这里就不一一赘述了。例如

若

有, 其中。

求多元函数的极限, 一般都是转化为一元函数的极限来求, 或利用夹逼定理

来计算。例4 求。

解由于 , 而,根据夹逼定理知

,所以。

a≠0)。

解 例5 求

（。例6 求。解

由于理知

且,所以根据夹逼定

.例7 研究函数在点处极限是否存在。

解 当x2+y2≠0时，我们研究函数，沿x→0,y=kx→0这一方式趋于

（0，0）的极限，有值，可得到不同的极 限值,所以极限

不存在,但 ,。很显然，对于不同的k。注意：极限方式的 的区别, 前面两个求本质是两次求一元函数的极限, 我们称为累次极限, 而最后一个是求二元函数的

极限,我们称为求二重极限。

例8 设函数极限都不存在,因 为对任何,当

时,。它关于原点的两个累次

的第二项不存在极限；同理对任何 时, 的第 一项也不存在极限,但是因此。

由例7知, 两次累次极限存在, 但二重极限不存在。由例8可知,二重极限存

在,但二个累次极限不存在。我们有下面的结果: 定理1 若累次极限都存在,则

三者相等（证明略）。推论 若但不相等,则二重极限

不

存在和二重极限, 由于, 存在。定义 设

在点的某邻域内有意义,且称函数,则

在点

处

连

续,记

上式称为函数(值)的全增量。则。

定义

增量。

为函数(值)对x的偏二元函数连续的定义可写为

偏增量。若断点, 若

在点

为函数（值）对y的处不连续,则称点

是的间在某区域

在区域G上连续。若

在闭区域GG上每一点都连续,则称的每一内点都连 续,并在G的连界点

处成立 , 则称为连续曲面。在闭域G上连续。闭域上连续的二元函数的图形称 关于一元函数连续的有关性质, 如最值定理、介值定理、Cantor定理,对于

二元函数也相应成立。可以证明如下的重要结果：

定理2 设

在平面有界闭区域G上连续,则（1）必在G上取到最大值,最小值及其中间的一切值;（2）,当

时,都有

。以上关于二元函数的在G上一致连续,即

极限和连续的有关性质和结论在n元函数中仍然成立。

第五篇：二元函数的极限与连续

§2.3 二元函数的极限与连续

定义

设二元函数有意义, 若存在常数A,都有

则称A是函数当点 趋于点

或

或

趋于点时的极限,记作。的方式无关,即不,当（即）时，在点的某邻域内或

必须注意这个极限值与点

论P以什么方

向和路径（也可是跳跃式地，忽上忽下地）趋向

分接近, 就能 使。只要P与 充与A 接近到预先任意指定的程度。注意：点P趋于点点方式可有无穷多

种,比一元函数仅有左,右两个单侧极限要复杂的多（图8-7）。

图8-7

同样我们可用归结原则,若发现点P按两个特殊的路径趋于点时,极限

在该点

存在,但不相等, 则可以判定元函数极限不 存在的重要方法之一。

极限不存在。这是判断多

一元函数极限中除了单调有界定理外,其余的有关性质和结论, 在二元函数极

限理论中都适用，在这里就不一一赘述了。例如若

有, 其中。

求多元函数的极限, 一般都是转化为一元函数的极限来求, 或利用夹逼定理

来计算。例4 求。解由于,而,根据夹逼定理知,所以。

a≠0)。

解

例

求

（。例6 求。解

由于理知

且,所以根据夹逼定

.例7

研究函数

在点

处极限是否存在。解当x

2+y2≠0时，我们研究函数，沿x→0,y=kx→0这一方式趋于

（0，0）的极限，有值，可得到不同的极 限值,所以极限

不存在,但,。很显然，对于不同的k。

注意：极限方式的的区别, 前面两个求

本质是两次求一元函数的极限, 我们称为累次极限, 而最后一个是求二元函数的极限,我们称为求二重极限。

例8

设函数极限都不存在,因

为对任何,当

时,。它关于原点的两个累次的第二项不存在极限；同理对任何

时, 的第 一项也不存在极限,但是因此。

由例7知, 两次累次极限存在, 但二重极限不存在。由例8可知,二重极限存

在,但二个累次极限不存在。我们有下面的结果:定理1 若累次极限

都存在,则

三者相等（证明略）。推论

若但不相等,则二重极限

不

存在和二重极

限,由于,存在。定义 设

在点的某邻域内有意义,且称

函

数,则

在点

处

连

续,记

上式称为函数(值)的全增

量。

则。

定义

增量。

为函数(值)对x的偏

二元函数连续的定义可写为

偏增量。

若

断点, 若

在点

为函数（值）对y的处不连续,则称点

是的间

在某区域

在区域G上连续。若

在闭区域G

G上每一点都连续,则称的每一内点都连 续,并在G的连界点

处成立,则称

为连续曲面。

在闭域G上连续。闭域上连续的二元函数的图形称

关于一元函数连续的有关性质, 如最值定理、介值定理、Cantor

定理,对于

二元函数也相应成立。可以证明如下的重要结果：定理2设

在平面有界闭区域G上连续,则

（1）必在G上取到最大值,最小值及其中间的一切值;（2）,当

时,都有

。以上关于二元函数的在G上一致连续,即

极限和连续的有关性质和结论在n元函数中仍然成立。