高中数学构造函数解决导数问题专题复习
【知识框架】
【考点分类】
考点一、直接作差构造函数证明;
两个函数,一个变量,直接构造函数求最值;
【例1-1】(14顺义一模理18)已知函数()
(Ⅰ)当时,求曲线在处的切线方程;
(Ⅱ)若在区间上函数的图象恒在直线下方,求的取值范围.
【例1-2】(13海淀二模文18)已知函数.(Ⅰ)当时,若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行,求实数的值;
(Ⅱ)若,都有,求实数的取值范围.【练1-1】(14西城一模文18)已知函数,其中.
(Ⅰ)当时,求函数的图象在点处的切线方程;
(Ⅱ)如果对于任意,都有,求的取值范围.
【练1-2】已知函数是常数.
(Ⅰ)求函数的图象在点处的切线的方程;
(Ⅱ)证明函数的图象在直线的下方;
(Ⅲ)讨论函数零点的个数.
【练1-3】已知曲线.(Ⅰ)若曲线C在点处的切线为,求实数和的值;
(Ⅱ)对任意实数,曲线总在直线:的上方,求实数的取值范围.【练1-4】已知函数,求证:在区间上,函数的图像在函数的图像的下方;
【练1-5】.已知函数;
(1)当时,求在区间上的最大值和最小值;
(2)若在区间上,函数的图像恒在直线下方,求的取值范围。
【练1-6】已知函数;
(1)求的极小值;
(2)如果直线与函数的图像无交点,求的取值范围;
答案:
考点二、从条件特征入手构造函数证明
【例2-1】若函数
在上可导且满足不等式,恒成立,且常数,满足,求证:。
【例2-2】设是上的可导函数,分别为的导函数,且满足,则当时,有()
A.B.C.D.【练2-1】设是上的可导函数,,求不等式的解集。
【练2-2】已知定义在的函数满足,且,若,求关于的不等式的解集。
【练2-3】已知定义域为的奇函数的导函数为,当时,若,则下列关于的大小关系正确的是()D
A.B.C.D.【练2-4】已知函数为定义在上的可导函数,且对于任意恒成立,为自然对数的底数,则()C
A.B.C.D.【练2-5】
设是上的可导函数,且,求的值。
【练2-6】函数为定义在上的可导函数,导函数为,且,下面的不等式在内恒成立的是()
A.B.C.D.【练2-7】已知函数为定义在上的可导函数,导函数为,当时,且,若存在,使,求的值。
(二)关系式为“减”型
(1),构造;
(2),构造;
(3),构造;
(注意对的符号进行讨论)
考点三、变形构造函数
【例3-1】证明:对任意的正整数,不等式都成立。
【例3-2】已知函数;
(1)求函数的单调区间与极值;
(2)若对于任意,恒成立,求实数的取值范围;
【练3-1】设为曲线在点处的切线。
(1)求的方程;
(2)证明:除切点之外,曲线在直线的下方;
【练3-2】已知函数;
(1)若曲线在点处的切线方程为,求的值;
(2)当时,求证:;
【练3-3】已知函数,其中;
(1)求的单调区间;
(2)若对任意的,总存在,使得,求实数的值;
【练3-4】,(1)讨论的单调情况;
(2)设,对.求证:.
【练3-5】已知函数;
(1)求的单调区间;
(2)当时,设斜率为的直线与函数相交于两点,求证:
考点四、消参构造函数
【例4-1】已知函数和的图像有公共点,且在点处的切线相同;
(1)若点的坐标为,求的值;
(2)已知,求切点的坐标。
【例4-2】(2009全国卷2理22)设函数有两个极值点,且
(Ⅰ)求的取值范围,并讨论的单调性;
(Ⅱ)证明: