有关构造函数问题的几点体会

第一篇：有关构造函数问题的几点体会

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有关构造函数问题的几点体会

作者：吴宏达

来源：《考试周刊》2013年第50期

摘 要： 构造函数是在高中数学学习中经常用到的一种方法，合理巧妙地运用它能达到化繁为简、化难为易的目的，从而激活学生的数学思维，激发学生学习数学的兴趣.关键词： 构造函数 转化 变形

在高中数学教学过程中，经常碰到一些与构造函数有关的问题.这些问题的解决涉及为什么要构造函数，如何构造函数，构造函数后又如何解决，学生对此常常感到无从下手.实际上构造函数就是数学中的函数与方程、转化与化归的思想方法，把不等式、方程与函数进行相互转化，把未知转化为已知，把陌生的转化为熟悉的，把复杂的问题简单化.那如何实现这种转化呢？关键的一点就是要找到条件与条件、条件与结论之间的关系.下面我谈谈有关如何构造函数的几点体会.1.观察对比

2.总之，对于涉及不等式证明、求解、比较大小等，若问题比较复杂，则可引导学生通过观察、分析、联想、类比、变形等方法构造函数，利用函数的性质分析问题、解决问题.这样不但能提高学生的数学思维能力，还能调动学生学习数学的积极性，进一步培养学生的自主创新能力.

第二篇：构造函数

构造函数

1.设

f(x)，g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时，f(x)g(x)f(x)g(x)0，且g(3)0，则不等式f(x)g(x)0的解集为______.2.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)0，当x0时，有x

f(x)f(x)0

恒成立，则不等式x2f(x)0的解集为__________.3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x(,0)时，有x<0成立，若a30.3

b

f(x)+f(x)1

3f(3

0.3)，blog3

f(log



3)，c(log

9)f(log

9)，则a、、c的大小关系为__________.f(x)，则当a0

4.已知可导函数f(x)满足f(x)系为__________.时，f(a)与ea

f(0)的大小关

5.若函数f(x)对任意的xR都有f(x)

A.3f(ln2)2f(ln3)

f(x)

成立，则__________.B.3f(ln2)2f(ln3)

C.3f(ln2)2f(ln3)D.3f(ln2)与2f(ln3)的大小关系不确定

6.设f(x)是R上的奇函数，且f(1)0，当x0时，(x2

1)f(x)2xf(x)0，则不等式f(x)0的解集为__________.7.已知函数f(x)是定义在(0,)的非负可导函数，且满足x对任意正数a、b，若a

f(x)+f(x)0，B.af(b)bf(a)C.af(a)f(b)

D.bf(b)f(a)，8.已知f(x)与g(x)都是定义在R上的函数，g(x)0，f(x)g(x)

f(x)ag(x)，x

f(x)g(x)0

f(1)g(1)



f(1)g(1)



.在有穷数列

f(n)

(n1,2,,10)中，前kg(n)

项和

为

1516，则k=__________.

第三篇：构造函数处理不等式问题

构造函数处理不等式问题

函数与方程，不等式等联系比较紧密，如果从方程，不等式等问题中所提供的信息得知其本质与函数有关，该题就可考虑运用构造函数的方法求解。构造函数，直接把握问题中的整体性运用函数的性质来解题，是一种制造性的思维活动。因此要求同学们多分析数学题中的条件和结论的结构特征及内在联系，能合理准确地构建相关函数模型。

一、构造函数解不等式

1、解不等式

810解不等式 x35x0 3(x1)x

1分析；本题直接将左边通分采用解高次不等式的思维来做运算较烦。但注意8102323到且题中出现()5()x5x , 启示我们构造函数3x1x1x1(x1)

f(x)=x3+5x去投石问路。解：将原不等式化为（f(232)5()x35x，令f(x)=x3+5x，则不等式变为x1x122)f(x)，∵f(x)=x3+5x在R上为增函数∴原不等式等价于x，解x1x1之得：－1＜x＜2或x＜－2。

2解含参不等式中参数范围问题

例3已知不等式11112loga(a1)对大于1的一切自然数n1n22n12

3n恒成立，试确定参数a的取值范围。解：设f(n)

∵f(n+1)-f(n)111，n1n22n11110,∴f(n)是关于n 的增函2n12n2n1(2n1)(2n2)

数。又n≥2∴f(n)≥f(2)=

恒成立,必须有

∴1＜a＜712∴f(n)loga(a1)对大于1的一切自然数n121237121loga(a1)∴loga(a1)1，而a＞1，∴a-1＜12123a151∴a的取值范围为（1，）。2

2二、构造函数证明不等式。

1。移项作差，构造一元函数

【例】当x(1,)时，122xlnxx3 2

3【解】设F(x)g(x)f(x)，即F(x)

231

2xxlnx，32

1(x1)(2x2x1)

则F(x)2xx=

xx(x1)(2x2x1)

当x1时，F(x)=

x

从而F(x)在(1,)上为增函数，∴F(x)F(1)故在区间(1,)上，0 6

122xlnxx3 23

【警示启迪】本题首先根据题意构造出一个函数（可以移项，使右边为零，将移项后的左

式设为函数），并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式。读者也可以设F(x)f(x)g(x)做一做，深刻体会其中的思想方法。2。二元不等式，定主元化为一元函数（全国）已知函数gxxlnx

设0ab,证明 ：0g(a)g(b)2g（ab)(ba)ln2.2

分析：对于本题绝大部分的学生都会望而生畏.学生的盲点也主要就在对所给函数用不上.如果能挖掘一下所给函数与所证不等式间的联系，想一想大小关系又与函数的单调性密切相关，由此就可过渡到根据所要证的不等式构造恰当的函数，利用导数研究函数的单调性，借助单调性比较函数值的大小，以期达到证明不等式的目的.证明如下： 证明：对g(x)xlnx求导,则g(x)lnx1.在g(a)g(b)2g（'

ab)中以b为主变元构造函数, 2

ax'axax

.)]lnxln),则F'(x)g'(x)2[g（222

设F(x)g(a)g(x)2g（'

当0xa时，F(x)0,因此F(x)在(0,a)内为减函数.当xa时,F(x)0,因此F(x)在(a,)上为增函数.从而当xa时, F(x)有极小值F(a).因为F(a)0,ba,所以F(b)0,即g(a)g(b)2g(又设G(x)F(x)(xa)ln2.则G'(x)lnxln

''

ab)0.2

ax

ln2lnxln(ax).2

当x0时,G(x)0.因此G(x)在(0,)上为减函数.因为G(a)0,ba,所以G(b)0,即g(a)g(b)2g(3。幂指数函数不等式，对数法构造函数

ab)(ba)ln2 2

例：证明当x0时,(1x)

1

1x

e

1

x2

4。数列和型不等式，利用通项构造函数 例：证明：对任意的正整数n，不等式ln(n1)令h(x)x3f(x)x3x2ln(x1),（k

1n

)都成立。k2k3

3x3(x1)2

0在[0,)上恒成立，则h'(x)

x1

所以h(x)在[0,)上单调递增，8分

则当x(0,)时，恒有h(x)h(0)0.即当x(0,)时，有x3x2ln(x1)0, 整理，得ln(x1)x2x3.9分

对任意正整数n，取x所以ln

1111

得ln(1)23，nnnn

10分

n11111

23，整理得ln(n1)lnn23,nnnnn

1111

,ln3ln2,2223121311

, 23nn

则有ln2ln1……

ln(n1)lnn

所以(ln2ln1)(ln3ln2)[ln(n1)lnn]（1111

)(

12132223

（11

3)，2

nn

即ln(n1)

(k

k1

n

).3k

作业：1设f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)2,当x0时，有f(x)xf(x)恒成立，则不等式f(x)x的解集是（D）（A）（2，0）∪（2，）（C）（，2）∪（2，）

（B）（2，0）∪（0，2）（D）（，2）∪（0，2）

证明当bae,证明ab

b

a3、（2007年，安徽卷）设a0,f(x)x1lnx2alnx

求证：当x1时，恒有xlnx2alnx1，（2007年，陕西卷）f(x)是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足

xf(x)f(x)≤0，对任意正数a、b，若a < b，则必有

（A）（A）af(b)≤bf(a)（C）af(a)≤f(b)4

（B）bf(a)≤af(b)

（D）bf(b)≤f(a)

5。已知a0,x1,求证: xlnx2alnx1

n

6。已知nN,求证:lnn

ii1i2i2

*

n

第四篇：构造函数法

函数与方程数学思想方法是新课标要求的一种重要的数学思想方法，构造函数法便是其中的一种。

高等数学中两个重要极限

1．limsinx1 x0x

11x2．lim(1)e（变形lim(1x)xe）x0xx

由以上两个极限不难得出，当x0时

1．sinxx，2．ln(1x)x（当nN时，(1)ne(1)n1）．

下面用构造函数法给出两个结论的证明．

（1）构造函数f(x)xsinx，则f(x)1cosx0，所以函数f(x)在(0,)上单调递增，f(x)f(0)0．所以xsinx0，即sinxx．

（2）构造函数f(x)xln(1x)，则f(x)11n1n1x0．所以函数f(x)在1x1x

(0,)上单调递增，f(x)f(0)0，所以xln(1x)，即ln(1x)x． 1要证1n事实上：设1n111e,两边取对数，即证ln1, nn111t,则n(t1), nt1

1因此得不等式lnt1(t1)t

1构造函数g(t)lnt1(t1),下面证明g(t)在(1,)上恒大于0． t

11g(t)20, tt

∴g(t)在(1,)上单调递增，g(t)g(1)0, 即lnt1, 1

t

111∴ ln1,∴1nnn1n1e,以上两个重要结论在高考中解答与导数有关的命题有着广泛的应用．

第五篇：高中数学构造函数解决导数问题专题复习

高中数学构造函数解决导数问题专题复习

【知识框架】

【考点分类】

考点一、直接作差构造函数证明；

两个函数，一个变量，直接构造函数求最值；

【例1-1】（14顺义一模理18）已知函数（）

（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）若在区间上函数的图象恒在直线下方，求的取值范围．

【例1-2】（13海淀二模文18）已知函数.（Ⅰ）当时，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求实数的值；

（Ⅱ）若，都有，求实数的取值范围.【练1-1】（14西城一模文18）已知函数，其中．

（Ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方程；

（Ⅱ）如果对于任意，都有，求的取值范围．

【练1-2】已知函数是常数．

（Ⅰ）求函数的图象在点处的切线的方程；

（Ⅱ）证明函数的图象在直线的下方；

（Ⅲ）讨论函数零点的个数．

【练1-3】已知曲线.(Ⅰ)若曲线C在点处的切线为，求实数和的值；

(Ⅱ)对任意实数，曲线总在直线:的上方，求实数的取值范围.【练1-4】已知函数，求证：在区间上，函数的图像在函数的图像的下方；

【练1-5】.已知函数；

（1）当时，求在区间上的最大值和最小值；

（2）若在区间上，函数的图像恒在直线下方，求的取值范围。

【练1-6】已知函数；

（1）求的极小值；

（2）如果直线与函数的图像无交点，求的取值范围；

答案：

考点二、从条件特征入手构造函数证明

【例2-1】若函数

在上可导且满足不等式，恒成立，且常数，满足，求证：。

【例2-2】设是上的可导函数，分别为的导函数，且满足，则当时，有（）

A.B.C.D.【练2-1】设是上的可导函数，，求不等式的解集。

【练2-2】已知定义在的函数满足，且，若，求关于的不等式的解集。

【练2-3】已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，若，则下列关于的大小关系正确的是（）D

A.B.C.D.【练2-4】已知函数为定义在上的可导函数，且对于任意恒成立，为自然对数的底数，则（）C

A.B.C.D.【练2-5】

设是上的可导函数，且，求的值。

【练2-6】函数为定义在上的可导函数，导函数为，且，下面的不等式在内恒成立的是（）

A.B.C.D.【练2-7】已知函数为定义在上的可导函数，导函数为，当时，且，若存在，使，求的值。

（二）关系式为“减”型

（1），构造；

（2），构造；

（3），构造；

（注意对的符号进行讨论）

考点三、变形构造函数

【例3-1】证明：对任意的正整数，不等式都成立。

【例3-2】已知函数；

（1）求函数的单调区间与极值；

（2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围；

【练3-1】设为曲线在点处的切线。

（1）求的方程；

（2）证明：除切点之外，曲线在直线的下方；

【练3-2】已知函数；

（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；

（2）当时，求证：；

【练3-3】已知函数，其中；

（1）求的单调区间；

（2）若对任意的，总存在，使得，求实数的值；

【练3-4】，（1）讨论的单调情况；

（2）设，对．求证：．

【练3-5】已知函数；

（1）求的单调区间；

（2）当时，设斜率为的直线与函数相交于两点，求证：

考点四、消参构造函数

【例4-1】已知函数和的图像有公共点，且在点处的切线相同；

（1）若点的坐标为，求的值；

（2）已知，求切点的坐标。

【例4-2】（2009全国卷2理22）设函数有两个极值点，且

（Ⅰ）求的取值范围，并讨论的单调性；

（Ⅱ）证明：