函数的导数和它的几何意义

第一篇：函数的导数和它的几何意义

2.8 函数的导数和它的几何意义

8-A 函数的导数

前一节中描述的例子给出了引进导数概念的方法。我们从至少定义在x-轴上的某个开区间（a,b）内的函数f(x)开始，然后我们在这个区间内选择一点x，引进差商

(8.1)f(xh)f(x)，h这里，数h(可以是正的或者负的但不能是0）要使得x+h还在（a, b）内。这个商的分子测量了当x从x变到x+h时函数的变化。称这个商为f在连接x与x+h的区间内的平均变化率。

现在让h→0，看看这个商会发生什么。如果商趋于某个确定的值作为极限（这就推得无论h是从正的方向还是负的方向趋于0，这个极限是一样的），成这个极限为f在x点的导数，记为f /(x)（读作“f一撇x”）。因此，f /(x)的正规定义可以陈述如下：

导数定义。如果

(8.2)f(x)limh0f(xh)f(x)，h存在极限，导数f /(x)由等式（8.2）定义。数f /(x)也称为f在x点的变化率。

对比（8.2）与前一节的（7.3），我们看到瞬时速度仅仅是导数概念的一个例子。速度v(t)等于f /(t)，这里f是位移函数，这就是常常被描述为速度是位移关于时间的变化率。在7.2节算出的例子中，位移函数由等式f(t)=144t-32t2表示，而它的导数f / 是由 f /(t)=144-32t给出的新的函数（速度）。

一般地，从f(x)产生f /(x)的极限过程给我们从一个给定函数f获得一个新函数f / 的方法。这个过程称为微分法，f / 称为f的一阶导数。依次地，如果f / 定义在开区间上，我们可以设法求出它的一阶导数，记为f // 并称其为f的二阶导数。类似地，由f(n-1)定义的一阶导数是f的n阶导数记为f(n)，我们规定f(0)= f，即零阶导数是函数本身。

对于直线运动，速度的一阶导数（位移的二阶导数）称为加速度。例如，要计算7.2节中的例子的加速度，我们可以用等式（7.2）形成差商

v(th)v(t)14432(th)14432t32.hh因为这个差商对每一个h≠0都是常数值-32，因此当h→0时它的极限也是-32.于是在这个问题中，加速度是常数且等于-32.这个结论告诉我们速度是以每秒32尺/秒的速率递减的。9秒内，速度总共减少了9·32=288尺/秒。这与运动9秒期间，速度从v(0)=144变到v(9)=-144是一致的。

8-B 导数作为斜率的几何意义

通常定义导数的过程给出了一个几何意义，就是以自然的方式导出关于曲线的切线的思想。图2-8-1是一个函数的部分图像。两个坐标(x,f(x))和(x+h,f(x+h))分别表示P, Q两个点坐标，考虑斜边为PQ的直角三角形，它的高度：f(x+h)-f(x)，表示P, Q两个点纵坐标的差，因此差商

(8.4)f(xh)f(x)

h表示PQ与水平线的夹角α的正切，实数tanα称为通过P, Q两点直线的斜率，而它提供了一种测量这条直线“陡度”的方法。例如，如果f是线性函数，记为f=mx+b，则（8.4）的差商是m, 所以m是这条直线的斜率。图2-8-2表示的是一些各种斜率的直线的例子。对于水平线而言，α=0，因而tanα也是0.如果α位于0与π/2之间, 直线是从左到右上升的，斜率是正的。如果α位于π/2与π之间，直线是从左到右下降的，斜率是负的。对于α=π/4的直线，斜率是1.当α从0增加到π/2时，tanα递增且无界，斜率为tanα相应的直线趋于垂直的位置，因为tanπ/2没有定义，所以我们说垂直的直线没有斜率。

假设f在x点有导数，这就意味着，当h→0时，P点保持不动，Q沿曲线向P移动，通过P, Q两点直线不断改变方向，结果其斜率趋于极限f /(x)。基于这个原因，将曲线在点P的斜率定义为数f /(x)似乎是自然的。通过P点具有这个斜率的直线称为过点P的切线。

第二篇：导数几何意义的应用

七、导数几何意义的应用

例15（1）求曲线y= x11+ 在点(1,21)处的切线方程

（2）已知曲线（t为参数），求曲线在t=1处的法线方程。

....= += tarctanty)t1ln(x2

解（1）2)x1(1x11y+.= ′......+ =′，41)x1(1y1x21x.= +.=′ = =，即k= － 41，所以过（1，21）点的切线方程为：y-21= －

41(x-1)，即 x+4y-3=0

（2）2t])t1[ln()tarctant(dxdy2= ′+ ′.=，21dxdy1t= = ；即k法=-2，又t=1时，.....π.= = 41y0x ；

所以过切点(0,1-4π)的切线方程为：y-1+ 4π=-2(x-0)

即 2x+y+ 4π-1=0

第三篇：导数几何意义说课稿

导数的几何意义说课稿

尊敬的各位评委老师下午好，我是**第一中学的刘*，今天我说课的内容是人教B版选修2-2第一章1.3节导数的几何意义。

下面我将从六个方面来阐述对本节课的理解与设计

一、教材分析：本节课是在学生学习了平均变化率、瞬时变化率，以及用极限定义导数的基础上，进一步从几何意义上理解导数的含义与价值。导数的几何意义的学习为常见函数导数的计算、导数的应用奠定了基础。因此，导数的几何意义有着承前启后的作用，是本节的重要概念。

根据上述教材分析我制定了如下教学目标和重点难点

二、教学目标

知识与技能：通过观察探究理解导数的几何意义；体会导数在刻画函数性质中的作用； 过程与方法：培养学生分析、抽象、概括等思维能力；通过“以直代曲”思想的具体运用，使学生达到思维方式的迁移，了解科学的思维方法。

情感态度与价值观：渗透逼近和以直代曲思想，激发学生学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知识的精神，引导学生从有限中认识无限，体会量变和质变的辩证关系，感受数学思想方法的魅力。

教学重点：1.导数的几何意义.2.“数形结合、以直代曲”的思想方法。

教学难点：1.发现和理解导数的几何意义；2.运用导数的几何意义解决实际问题。

为充分调动学生的学习积极性，变被动学习为主动学习，突出重点，突破难点，我再从教法上分析一下：

三、教法分析

1.学情分析：从知识上看，学生通过学习习近平均变化率，特别是导数的瞬时变化率及导数的概念，对导数概念有一定的理解与认识，也在思考导数的另外一种体现形式——形，学生对曲线的切线有一定的认识，特别是对抛物线的切线的概念在学习圆锥曲线与直线关系时有很深的了解与认识。从学生能力上看，经过一年多的学习实践，学生掌握了一定的探究问题的经验，具有一定的想象能力和研究问题的能力。

2.教法分析： “教必有法而教无定法”只有方法得当才会有效。

根据新课标的“自主——合作——探究”的教学要求，我将采用开放式探究、启发式引导、小组合作讨论、反馈式评价等教学方法。采用“问题驱动”的教学模式，增强课堂的时效性。3.教学手段：由于本节课几何特点强，我采用多媒体辅助教学，为学生提供直观感性的材料，激发学生的学习兴趣。

四、学法指导 “授人以鱼，不如授人以渔”最有价值的知识是关于方法的知识，学生作为教学活动的主体。在学习过程中的参与度是影响教学效果最重要的因素。在学法上我主要采用：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结的学习方法。

五、教学过程

为了打造和谐高效课堂，这节课采用了我校推行的五环节教学法 如图所示，为本节课的教学过程和结构设计 第一个环节，创设情境，导入新课。

首先，通过3个问题作为引入和切入点。问题是数学的灵魂，提出问题，解决问题，能够激发学生探究新知的欲望，变被动学习为主动探究。设计意图是：通过类比，构建认知冲突。接着提问学生，复习回顾，求f'x0的步骤。这是从“数”的角度描述导数，为探求导数的几何意义做好准备。要研究导数的几何意义，就要结合导数的概念，探究△x0时图像的变化情况。所以第二个环节是组织学生带着需要探究的问题，小组探究，合作交流。观察下面的动画，通过flash生动形象的展示使学生感受到由割线到切线的变化过程，消除学生对极限的神秘感。通过小组合作讨论，启发引导学生回答探究1.平均变化率表示割线的斜率。探究2让学生分别从“数”和“形”的角度描述△x0的变化过程，引导出一般曲线的切线定义。同时给出探究3引入问题的合理解释。强化切线的真实直观本质。探究4从上述过程中引导学生概括出 f'x0的几何意义，即切线PT的斜率。借助多媒体教学手段引导学生发现导数的几何意义，使问题变得直观，易于突破难点，突出重点。学生在探究过程中，可以体会逼近的思想方法，能够同时从数与形两个角度强化学生对导数概念的理解。

在小组合作讨论之后，进入第三个环节，以学习小组为单位展示探究成果。通过板演问答，给出切线的定义和导数的几何意义。师生合作共同对这两个知识点进行理解、分析、阐述。适时引导、讨论，即时评价。通过师生互动，实现提出问题解决问题的能力提升。同时介绍微积分中重要思想方法——以直代曲。

在前面的讨论交流过程中，意识到学生对切线的概念还有一些模糊，为此我特地设计了下面的思考题，讨论y=x在x0=0处的切线是否存在。从形的角度，发现它的位置。转而思考，从数的角度，如何求解这条切线方程，需要哪些条件?引出了几何意义中最常见的题型，求切线方程，恰到好处的实现由形到数的自然过渡。进入第四环节 通过例1.发现求切线方程的条件是切线的斜率和一个点的坐标，引导学生自主归纳总结解题步骤。通过例2让学生动手练习，巩固做题步骤，突出导数几何意义的应用这一难点。关于求切线方程问题有一个常见的易错点——“曲线在P点处的切线”与“曲线过点P处的切线”的区别，为了解决这个问题，要求学生合作交流，积极探索，结合课件的动画展示，共同发现，找出本质区别。

在P点处的切线，P一定是切点，直接由例1总结方法求解。

过P点的切线，分点P在曲线上和点P不在曲线上。点P不在曲线上，就一定不是切点。点P在曲线上，也未必就是切点。因此解决这类问题的关键就是设出切点。利用切点处的导数值等于点P与切点共同确定的切线斜率。来求出切点坐标，从而得到切线方程。进一步突出了导数的几何意义这一重点。

通过例3对探究成果，实战演练，并引导学生归纳总结，求曲线过点P的切线方程的分析思路，轻松解决易错点，强化这节课的重点。

为了掌握和巩固知识的多样化、多元化，提高学生的解题能力和应变技巧，最后一环节（第五环节）设计了4道反馈练习。当堂完成，即时点评纠错，使教学更有针对性，同时提高了教学效率。

借着高涨的学习气氛，对本节课的内容进行总结反思。采取一名同学总结，其他同学补充，教师完善的方式进行。最后布置作业，专题专练。以下是我的板书设计和教学评价

六、评价与感悟

本节课我设计为一节“科学探究——合作学习”的活动课，在整个教学过程中，学生以研究者的身份学习，在问题解决的过程中，通过自身的体验，对知识的认识从模糊到清晰，从直观感悟到精确掌握。

力求使学生体会微积分的基本思想，感受近似与精确的统一，运动与静止的统一，感受量变到质变的转化。教师在这个过程中始终扮演学生学习的协助者和指导者。学生通过自身的情感体验，能够很快的形成知识结构，转化为数学能力。

我的说课到此结束，恳请各位评委老师批评指正。谢谢！

第四篇：导数的定义与几何意义

导数

一．导数的定义

1.给定函数f(x)，则limx0f(x0x)f(x0)（）

x

A f'(x0)B f'(x0)C f'(x0)Df'(x0)

f(x0k)f(x0)（）

k02kf(12x)f(1)（）3.已知函数f(x)2lnx8x，则limx0x2.若f'(x0)2，则lim二．导数的几何意义 1.已知曲线f(x)

2.已知函数f(x)的图像如图所示，f'(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是（）

A.ax在x4处的切线方程为5x16yb0，求实数a,b的值 x0f'(2)f'(3)f(3)f(2)

B

0f'(3)f(3)f(2)f'(2)

C 0f'(3)f'(2)f(3)f(2)

D

0f(3)f(2)f'(2)f'(3)3.设P为曲线C：yx2x3上的点，且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为[0，4.已知曲线yf(x)x3x上一点P(1,-2),过点P作直线l。（1）求与曲线yf(x)相切且以P为切点的直线l的方程。（2）求与曲线yf(x)相切且切点异于点P的直线l的方程。

325.设函数f(x)xax9x1(a0)，若曲线f(x)的斜率最小的切线与直线

324]，则点P横坐标的取值范围为（）

12xy6平行，求实数a的值。

6.已知曲线yx1，问：是否存在实数a，使得经过点(1,a)能够做出该曲线的两条 2切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由。

三．基本初等函数的导数公式 1.求下列函数的导数（1）ycos 2xxsin2

（2）yxxxytanx

（3）22xx11yxsincosln(2x)y221x1x（4）

（5）

四．利用导数求曲线的切线方程 1.已知点P在曲线y2cos范围为（）

2.已知直线ykx是曲线ylnx的切线，则k的值为（）

3.已知函数yx(x0)的图像在点(ak,ak)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak1，其中kN，若a116，则a1a3a5的值为（）

4.已知两条曲线y1sinx,y2cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使得在这一点处，两条曲线的切线相互垂直？并说明理由。

25.若曲线f(x)acosx与曲线g(x)xbx1在交点（0，m）处有公切线，则abxxsin上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值2222的值为（）

四．能力提升

1.已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且满足f(x)2xf'(1)lnx，则f'(2)=（）

2.已知f1(x)sinxcosx，记f2(x)f'1(x)，f3(x)f'2(x)，.....fn(x)f'n1(x)(nN,n2), 则f1()f2()...f2015()f2016()=（）2222

3.已知函数f(x)exmx1的图象为曲线C,若曲线C存在与直线yex垂直的切线,则实数m的取值范围为（）

4.已知曲线S:y

5.已知直线x2y40与抛物线y4x相交于A,B两点，点O是坐标原点，试在曲线段AOB上求一点P,使△ABP的面积最大。

6.设函数f(x)ax233xx24x，及点P（0，0），求过点P的曲线S的切线方程。2b，曲线yf(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x4y120 x（1）求f(x)的解析式

（2）证明曲线yf(x)上任意一点的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形的面积为定值，并求此定值。

第五篇：导数的概念及其几何意义3导学案

导数的概念及其几何意义3导学案

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三大段

一中心

五环节

高效课堂—导学案

制作人：张平安

修改人：

审核人：

班级：

姓名：

组名：

课题

第六课时

导数的几何意义

（二）学习

目标

掌握切线斜率由割线斜率的无限逼近而得，掌握切线斜率的求法

学习

重点

（1）能体会曲线上一点附近的“局部以直代曲”的核心思想方法；（2）会求曲线上一点处的切线斜率．

学习

难点

（1）能体会曲线上一点附近的“局部以直代曲”的核心思想方法；（2）会求曲线上一点处的切线斜率．

学法

指导

探析归纳，讲练结合 学习

过

程

一

自主学习

．情境：设是曲线上的一点，将点附近的曲线放大、再放大，则点附近将逼近一条确定

的直线．

2．问题：怎样找到在曲线上的一点处最逼曲线的直线呢？

如上图直线为经过曲线上一点的两条直线．

（1）判断哪一条直线在点附近更加逼近曲线．

（2）在点附近能作出一条比更加逼近曲线

的直线吗？

（3）在点附近能作出一条比更加逼近曲线的直线吗？

3.归纳

（1）．割线及其斜率：连结曲线上的两点的直线叫曲线的割线，设曲线上的一点，过点的一条割线交曲线于另一点，则割线的斜率为

．

（2）．切线的定义：随着点沿着曲线向点运动，割线在点附近越来越逼近曲线。当点无限逼近点时，直线最终就成为在点处最逼近曲线的直线，这条直线也称为曲线在点处的切线；

（3）．切线的斜率：当点沿着曲线向点运动，并无限靠近点时，割线逼近点处的切线，从而割线的斜率逼近切线的斜率，即当无限趋近于时，无限趋近于点处的切线的斜率．

二

师生互动

例1．已知曲线，（1）判断曲线在点处是否有切线，如果有，求切线的斜率，然后写出切线的方程．

（2）求曲线在处的切线斜率。

分析：（1）若是曲线上点附近的一点，当沿着曲线无限接近点时，割线的斜率是否无限接近于一个常数．若有，则这个常数是曲线在点处的切线的斜率；（2）为求得过点的切线斜率，我们从经过点的任意一点直线（割线）入手。

例2．已知，求曲线在处的切线的斜率．

分析：为了求过点的切线的斜率，要从经过点的任意一条割线入手．

例3．已知曲线方程，求曲线在处的切线方程．

三、自我检测

练习第1，2，3题；

习题2-2A组中第3题

四、课堂反思、这节课我们学到哪些知识？学到什么新的方法？

2、你觉得哪些知识，哪些知识

还需要课后继续加深理解？

五、拓展提高、补充：判断曲线在点处是否有切线？如果有，求出切线的方程．

2、习题2-2中B组1、2