二元函数分析性质的几何意义总结5篇

第一篇：二元函数分析性质的几何意义总结

二元函数极限的几何意义

二元函数连续的几何意义

二元函数可偏导与连续问题

可微的几何意义

要使得有切面，则要求在曲面的相应点处，所有通过这一点的曲线在该点处都有唯一的不与xoy平面垂直的切线，由于这些切线都与切点处的法线垂直，因此这些切线都在一张平面上，这张平面就是曲面在该点处的切平面。

全微分的几何意义

可微与可导的关系

可微要求在某个邻域内连续光滑，所以可微必然在该邻域内连续，也必然在该邻域内可导

总结

第二篇：函数的导数和它的几何意义

2.8 函数的导数和它的几何意义

8-A 函数的导数

前一节中描述的例子给出了引进导数概念的方法。我们从至少定义在x-轴上的某个开区间（a,b）内的函数f(x)开始，然后我们在这个区间内选择一点x，引进差商

(8.1)f(xh)f(x)，h这里，数h(可以是正的或者负的但不能是0）要使得x+h还在（a, b）内。这个商的分子测量了当x从x变到x+h时函数的变化。称这个商为f在连接x与x+h的区间内的平均变化率。

现在让h→0，看看这个商会发生什么。如果商趋于某个确定的值作为极限（这就推得无论h是从正的方向还是负的方向趋于0，这个极限是一样的），成这个极限为f在x点的导数，记为f /(x)（读作“f一撇x”）。因此，f /(x)的正规定义可以陈述如下：

导数定义。如果

(8.2)f(x)limh0f(xh)f(x)，h存在极限，导数f /(x)由等式（8.2）定义。数f /(x)也称为f在x点的变化率。

对比（8.2）与前一节的（7.3），我们看到瞬时速度仅仅是导数概念的一个例子。速度v(t)等于f /(t)，这里f是位移函数，这就是常常被描述为速度是位移关于时间的变化率。在7.2节算出的例子中，位移函数由等式f(t)=144t-32t2表示，而它的导数f / 是由 f /(t)=144-32t给出的新的函数（速度）。

一般地，从f(x)产生f /(x)的极限过程给我们从一个给定函数f获得一个新函数f / 的方法。这个过程称为微分法，f / 称为f的一阶导数。依次地，如果f / 定义在开区间上，我们可以设法求出它的一阶导数，记为f // 并称其为f的二阶导数。类似地，由f(n-1)定义的一阶导数是f的n阶导数记为f(n)，我们规定f(0)= f，即零阶导数是函数本身。

对于直线运动，速度的一阶导数（位移的二阶导数）称为加速度。例如，要计算7.2节中的例子的加速度，我们可以用等式（7.2）形成差商

v(th)v(t)14432(th)14432t32.hh因为这个差商对每一个h≠0都是常数值-32，因此当h→0时它的极限也是-32.于是在这个问题中，加速度是常数且等于-32.这个结论告诉我们速度是以每秒32尺/秒的速率递减的。9秒内，速度总共减少了9·32=288尺/秒。这与运动9秒期间，速度从v(0)=144变到v(9)=-144是一致的。

8-B 导数作为斜率的几何意义

通常定义导数的过程给出了一个几何意义，就是以自然的方式导出关于曲线的切线的思想。图2-8-1是一个函数的部分图像。两个坐标(x,f(x))和(x+h,f(x+h))分别表示P, Q两个点坐标，考虑斜边为PQ的直角三角形，它的高度：f(x+h)-f(x)，表示P, Q两个点纵坐标的差，因此差商

(8.4)f(xh)f(x)

h表示PQ与水平线的夹角α的正切，实数tanα称为通过P, Q两点直线的斜率，而它提供了一种测量这条直线“陡度”的方法。例如，如果f是线性函数，记为f=mx+b，则（8.4）的差商是m, 所以m是这条直线的斜率。图2-8-2表示的是一些各种斜率的直线的例子。对于水平线而言，α=0，因而tanα也是0.如果α位于0与π/2之间, 直线是从左到右上升的，斜率是正的。如果α位于π/2与π之间，直线是从左到右下降的，斜率是负的。对于α=π/4的直线，斜率是1.当α从0增加到π/2时，tanα递增且无界，斜率为tanα相应的直线趋于垂直的位置，因为tanπ/2没有定义，所以我们说垂直的直线没有斜率。

假设f在x点有导数，这就意味着，当h→0时，P点保持不动，Q沿曲线向P移动，通过P, Q两点直线不断改变方向，结果其斜率趋于极限f /(x)。基于这个原因，将曲线在点P的斜率定义为数f /(x)似乎是自然的。通过P点具有这个斜率的直线称为过点P的切线。

第三篇：利用几何画板探索反比例函数的性质

利用几何画板探索反比例函数的性质教学设计

福州聋哑学校

魏苏珊

杨帆

【课题】利用几何画板探索反比例函数的性质

【教学内容】形如y=k/x（k≠0）的函数叫做反比例函数，利用描点法可以画出反比例函数的图象，描出的点越多，画出的图象就越准准确。利用数学软件可以快速准确的画出反比例函数图像，而且能够帮助我们研究反比例函数的性质。本节课拟用几何画板作为工具探索反比例函数图象的对称性、以及k对函数图象形状的影响等方面的性质。【教学目标】

1、探索利用动点研究反比例函数性质的方法，并获得反比例函数对称的性质；

2、培养学生动手动脑的实践能力，观察、分析、抽象、概括等数学思维能力；

3、培养学生利用计算机技术理解数学和解决数学问题的能力，使学生在体验中获得成功的乐趣。

【教学过程】

一、复习

复习反比例函数的图象以及不同k值反比例函数图象的性质。

二、探索反比例函数y

打开“探索一”

画出反比例函数y

在反比例函数y1x1x1x的图象关于直线y=x轴对称。的图象。的图象上选定A（1,1），B（－1,－1）.过A、B两点作一条直线，即正比例函数y=x的图象.并画出直线y=x。

把直线y=x选定为对称轴。在反比例函数yy=x的对称点C'.做出点C'后，显示点C和C'的坐标，运动点C，观察这两点坐标的变化。（也可以直接拖动点C）

1x上任意选取一点C，再作点C关于直线 可以得到结论1：反比例函数y1x的图象关于直线y=x轴对称。

（操作结束后，返回页面，继续“探索二”）

三、探索反比例函数y

以及反比例函数y1xkx关于直线y=－x对称 的图象关于直线y=±x对称。

1、打开“探索二”

做出对称直线y=－x，并在图象上任意选定C点。并做出点C的对称点C'点。运动点C，观察点C和C'的坐标变化。（也可以直接拖动点C）得到结论2：反比例函数y1x图象关于直线y=－x轴对称。

2、操作结束后，选择“下一页”。

探索“反比例函数y

①探讨反比例函数ykxkx的图象是否关于直线y=±x对称。” 的图象关于直线y=x对称。

”。

单击“探讨不同的k值，反比例函数的性质”，出现“

可在方框中输入任意的k值，探讨反比例函数关于直线y=x的对称性。

在反比例函数上任意选定点C，并做出点C关于直线y=x对称的对称点C'，运动点C，并观察两点坐标的变化情况，可得出结论：反比例函数y

②探讨反比例函数ykxkx的图象关于直线y=x对称。的图象关于直线y=－x对称。

隐藏直线y=x，显示直线y=－x。

在方框中输入任意的k值，探讨反比例函数关于直线y=－x的对称性。

在反比例函数上任意选定点C，并做出点C关于直线y=－x对称的对称点C'，运动点C，并观察两点坐标的变化情况，可得出结论：反比例函数ykx的图象关于直线y=－x对称。

kx综合以上两个结论，即“反比例函数y的图象关于直线y=±x对称。”

kx

四、探索“随着|k|的增大，反比例函数y越近还是越来越远？”

选择“探索三”

讨论：随着|k|的增大，反比例函数ykx图象的位置是否相对于坐标原点的距离是越来

图象的位置相对于坐标原点的距离是越来越近还是越来越远？

以下是对不同的k值进行探讨，将k值分为大于0和小于0这两类：

①当k>0时，可输入不同的k1和k2值，显示直线y=x，并显示直线y=x与反比例函数图象的交点到原点的距离，比较这四段距离的大小，可得到结论：当|k|增大时，反比例函数ykx图象的位置相对于坐标原点的距离是越来越远。（操作结束后，隐藏直线y=x，并选择“返回”）②当k<0时，可输入不同的k3和k4值，显示直线y=－x，并显示直线y=－x与反比例函数图象的交点到原点的距离，比较这四段距离的大小，可得到结论：当|k|增大时，反比例函数ykx图象的位置相对于坐标原点的距离是越来越远。（操作结束后，隐藏直线y=－x，并选择“返回”）

综合上述两个结论，可知：随着|k|的增大，反比例函数y原点的距离是越来越远。

五、小结 反比例函数ykxkx图象的位置相对于坐标 的图象关于直线y=±x对称。

kx随着|x|的增大，反比例函数y

图象的位置想对于坐标原点的距离越来越远。

第四篇：二元函数的极限

§2 二元函数的极限

(一)教学目的：

掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系．

(二)教学内容：二元函数的极限的定义；累次极限．

基本要求：

(1)掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系，熟悉判别极限存在性的基本方法．

(2)较高要求：掌握重极限与累次极限的区别与联系，能用来处理极限存在性问题．

(三)教学建议：

(1)要求学生弄清一元函数极限与多元函数极限的联系与区别，教会他们求多元函数极

限的方法．

(2)对较好学生讲清重极限与累次极限的区别与联系，通过举例介绍判别极限存在性的较完整的方法．

一二元函数的极限

先回忆一下一元函数的极限： limf(x)A 的“” 定义(c31)：

xx0

0设函数f(x)在x0的某一空心邻域U(x0,1)内由定义，如果对

0,当 xU(x0,)，即 |xx0| 时，都有 |f(x)A|，0,1，则称xx0时，函数f(x)的极限是 A.类似的，我们也可以定义二元函数的极限如下：

设二元函数f(x,y)为定义在DR2上的二元函数，在点P0(x0,y0)为D的一个聚点，A是一个确定的常数，如果对 0,0，使得当 P(x,y)U(P0,)D 时，0都有 |f(P)A|，则称f在D上当 PP0时，以A为极限。记作

PP0PDlimf(P)A

也可简写为limf(P)A或

PP0(x,y)(x0,y0)

2limf(x,y)A 例1用定义验证

2lim(x,y)(2,1)2(xxyy)7 222证明:|xxyy7||xx6xyxy1|

|x3||x2||xy1||y1|

限制在（2，1）的邻域 {(x,y)||x2|1,|y1|1}

|x3|6,|xy1|6

取 min{1,/6}，则有

|xxyy|

由二元函数极限定义lim

(x,y)(2,1)

(xxyy)7

xy,(x,y)(0,0)xy22

例2 f(x,y)xy，0,(x,y)(0,0)

证明lim

(x,y)(0,0)

f(x,y)0

xyxy

证|f(x,y)||xy

所以

lim

(x,y)(0,0)

||xy|

lim

(x,y)(0,0)

|f(x,y)|lim

(x,y)(0,0)

|xy|0

|f(x,y)|0

对于二元函数的极限的定义，要注意下面一点：

PP0

limf(P)A 是指： P(x,y)以任何方式趋于P0(x0,y0)，包括沿任何直线，沿任

何曲线趋于p0(x0,y0)时，f(x,y)必须趋于同一确定的常数。

对于一元函数，x 仅需沿X轴从x0的左右两个方向趋于x0，但是对于二元函数，P趋于P0的路线有无穷多条，只要有两条路线，P趋于P0时，函数f(x,y)的值趋于不同的常数，二元函数在P0点极限就不存在。

1,0yx2

例1 二元函数f(x,y)

0,rest

请看图像（x62），尽管P(x,y)沿任何直线趋于原点时f(x,y)都趋于零，但也不能说该函数在原点的极限就是零，因为当P(x,y)沿抛物线 ykx,0k1时，f(x,y)的值趋于１而不趋于零，所以极限不存在。

(考虑沿直线ykx的方向极限).x2y,

例2设函数f(x,y)x2y2

0,

(x.,y)(0,0)(x,y)(0,0)

求证limf(x,y)0

x0

y0

证明因为|f(x,y)0|

x|y|xy



x|y|x

|y|

所以，当(x,y)(0,0)时，f(x,y)0。

请看它的图像，不管P(x,y)沿任何方向趋于原点，f(x,y)的值都趋于零。

通常为证明极限limf(P)不存在,可证明沿某个方向的极限不存在 , 或证明沿某两

PP0

个方向的极限不相等, 或证明方向极限与方向有关.但应注意 ,沿任何方向的极限存在且相等  全面极限存在.例3

设函数

(x,y)(0,0)(x,y)(0,0)

xy,22

f(x,y)xy

0,

证明函数 f(x,y)在原点处极限不 存在。

证明尽管 P(x,y)沿 ｘ轴和ｙ轴

趋于原点时(f(x,y)的值都趋于零，但沿直线ymx 趋于原点时

xmxx(mx)

f(x,y)

mx

(1m)x



m1m

沿斜率不同的直线趋于原点时极限不一样，请看它的图象, 例１沿任何路线趋于原点时，极

限都是0，但例２沿不同的路线趋于原点时，函数趋于不同的值，所以其极限不存在。

例4

非正常极限极限

lim

(x,y)(x0,y0)

判别函数f(x,y)

xy11xy

在原点是否存在极限.f(x,y)的定义:

12x3y

例1设函数f(x,y)证明limf(x,y)

x0y0

证|

12x3y

||

13(xy)

|

只要取

16M

|x0|,|y0|时，都有

|

12x3y16

||

13(xy)

|

M

12x3y

请看它的图象，因此是无穷大量。

例2求下列极限: i)

lim

xyxy

;ii)

(x,y)(0,0)(x,y)(3,0)

lim

sinxyy

;

iii)

(x,y)(0,0)

lim

xy11xy

;iV)

(x,y)(0,0)

lim

ln(1xy)

xy

.二.累次极限: 累次极限

前面讲了P(x,y)以任何方式趋于P0(x0,y0)时的极限，我们称它为二重极限，对于两个自变量x,y依一定次序趋于x0,y0时 f(x,y)的极限，称为累次极限。对于二元函数f(x,y)在P0(x0,y0)的累次极限由两个

limlimf(x,y)和limlimf(x,y)

yy0xx0

xx0yy0

例1

f(x,y)

xyxyxyxy

222, 求在点(0 , 0)的两个累次极限.22

例2 f(x,y), 求在点(0 , 0)的两个累次极限.例3 f(x,y)xsin

1y

ysin

1x, 求在点(0 , 0)的两个累次极限.二重极限与累次极限的关系:

（１）两个累次极限可以相等也可以不相等，所以计算累次极限时一定要注意不能随意改变它们的次序。

例函数 f(x,y)

xyxy

xy

22的两个累次极限是 yyyxxx

limlim

xyxy

xyxyxy

xy

y0x0

lim

y0

lim(y1)1

y0

lim(x1)1

x0

limlim

x0y0

lim

x0

（２）两个累次极限即使都存在而且相等，也不能保证二重极限存在 例f(x,y)

xyxy

xyxy，两个累次极限都存在limlim

y0x0

0,limlim

xyxy

x0y0

0

但二重极限却不存在，事实上若点P(x,)沿直线 ykx趋于原点时，kx

f(x,y)

x(kx)



k1k

二重极限存在也不能保证累次极限存在二重极限存在时,两个累次极限可以不存在.例函数 f(x,y)xsin

1yysin

1x

由|f(x,y)|  |x||y|0 ,(x ,y)(0,0).可见二重极限存在 ,但

1x

limsin

x0

和limsin

y0

1y

不存在，从而两个累次极限不存在。

（4）二重极限极限lim

(x,y)(x0,y0)

f(x,y)和累次极限limlimf(x,y)(或另一次序)都存

xx0yy0

在 , 则必相等.(证)

（5）累次极限与二重极限的关系

若累次极限和二重极限都存在，则它们必相等

第五篇：利用几何画板探究二次函数一般式的性质

2yaxbxc(a0)的性质 二次函数

目标：学生经历使用几何画板绘制二次函数图像，通过观察、思考、讨论得出二次函数yax2bxc(a0)中的待定系数a、b、c与图像之间的关系 重点：二次函数yax2bxc(a0)的性质 难点：二次函数yax2bxc(a0)性质的得出

信息技术硬件：信息技术教室、学生计算机 信息技术软件：几何画板、幻灯片投影 过程：

一、几何画板操作讲解

1.将下载好的几何画板分发给学生机器

，并控制所有学生机

2.启动几何画板的方法：双击

图标，进入界面

3.启动函数绘图的操作方法：图表→绘制新函数→新建函数对话框 或用快捷键（Ctrl+G）

4.绘制指定函数图像的输入方法： 注意：指数使用“

”输入 例如：要绘制函数y3x24x1，应该在对话框中依次输入3,X，︿，2，+，4，*，X，-，1，然后确定，就得到图像

可以通过向右、向左拖拽下图中的红点控制坐标系的精度大小和图像的大小

例如：要绘制函数y3(x1)22，应该在对话框中依次输入3，（，X,-,1，）︿,2，+,2然后确定，就得到图像

二、学生实践

1.教师取消学生机控制，让学生尝试用几何画板作函数yx2和yx22x1的图像

2.教师指导个别边缘学生操作

三、自主探究

探究1.利用几何画板分别作函数yx23x2，y2x2x1的图像

探究2.利用几何画板分别作函数yx22x2，yx23x

4四、思考与讨论

1.教师利用幻灯展示以上四个函数的图像

2.教师提问，学生独立思考一下问题，教师随机抽查：

问题1：以上四个二次函数都是以一般式yax2bxc(a0)形式给出的，他们的图像都是什么形状的？

问题2：以上四个二次函数中的待定系数a、b、c各是多少？

问题3：以上四个二次函数图像的开口方向、顶点位置、图像与y轴的交点位置情况如何？

3.学生以四人小组讨论：二次函数中的待定系数a、b、c与图像的开口方向、顶点位置、图像与y轴的交点位置有怎样的关系？ 学生展示，教师逐一抽查各小组讨论结果

五、教师讲解难点问题：“待定系数b的作用”

注意观察第一组函数yx23x2和y2x2x1的待定系数与图像，他们的二次项系数与一次项系数同号，且顶点都位于y轴的左侧；而第二组函数yx22x2，yx23x4的二次项系数与一次项系数异号，且顶点都位于y轴的右侧，由此我们不难得出这样的猜想：二次函数yax2bxc(a0)中的待定系数b与抛物线的顶点位置有关，当b与a同号时，顶点位于y轴的左侧，当b与a异号时，顶点位于y轴的右侧。这是一般性结论呢还是巧合，请同学们再次验证

六、学生验证

1.每一位学生写出一个b与a同号的二次函数和一个b与a异号的二次函数并用几何画板验证以上猜想 2.学生展示结果、质疑

七、教师给出一般性证明

对一般的二次函数yax2bxc(a0)进行配方后我们能得到

b4acb2)顶点坐标公式：(,2a4a分类讨论：

1.顶点位于y轴的左侧时，顶点横坐标同乘2得

bb0，两边同时除以1得0，两边2a2ab0，因此b与a同号 abb0，两边同时除以1得0，两边2a2a2.顶点位于y轴的右侧时，顶点横坐标同乘2得b0，因此b与a异号 a

八、师生互动、共同小结

二次函数一般式yax2bxc(a0)的图像是抛物线

1.二次项系数“a”决定抛物线的开口方向 当a0时，开口向上 当a0时，开口向下

2.一次项系数“b”与二次项系数“a”共同决定抛物线的顶点位置（左同右异）当b与a同号时，顶点位于y轴的左侧 当b与a异号时，顶点位于y轴的右侧 3.常数项“c”决定抛物线与y轴的交点位置 当c0时，抛物线与y轴交于正半轴，交点为(0,c)当c0时，抛物线与y轴交于负半轴，交点为(0,c)当c0时，抛物线经过原点(0,0)

反之亦然，我们也可以通过图像的特征得出待定系数a、b、c的正负。给出抛物线的形状让我们判断待定系数的正负是数学学业水平考试的重要考点之一。

九、课堂作业 1.2.3.4.5.6.